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9 de Agosto de 2007 – Aula 3

IA360E - Topicos em Controle ITema: caracterizacoes de estabilidade de sistemas

lineares atraves de desigualdades matriciais lineares

Pedro L. D. Peres & Ricardo C. L. F. Oliveira

Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas

2o Semestre 2007

P. L. D. Peres & R. C. L. F. Oliveira IA360E - Topicos em Controle I - Aula 3 1/20

Estabilidade Robusta Incertezas Politopicas Condicoes de Estabilidade

Topicos

1 Estabilidade Robusta

2 Incertezas Politopicas

3 Condicoes de Estabilidade



Estabilidade Robusta

O sistema linear

x = A(·)x ; A(·) ∈ A

possui parametros incertos (fixos ou variantes no tempo, com taxas de variacaoconhecidas ou entao com taxas de variacao arbitrarias).

A estabilidade robusta ocorre se a seguinte condicao for verificada ∀A(·) ∈ A :

limt→∞

x(t) → 0, para condicao inicial x(0) arbitraria

para sistemas invariantes no tempo, a condicao acima e equivalente a

maxi

Re{λi (A)} < 0, i = 1, . . . ,n ; ∀A(α) ∈ A

Alem de variantes ou invariantes no tempo, as incertezas podem serclassificadas em funcao da descricao do conjunto A como incertezas politopicas,intervalares, estruturadas ou nao estruturadas, satisfazendo alguma estruturaespecial, etc



Incertezas politopicas

x = A(α)x ; A(α) ∈ A

A ={

A(α) : A(α) =N

∑i=1

αiAi ;N

∑i=1

αi = 1 ; αi ≥ 0}

vertices Ai , i = 1, . . . ,N sao conhecidos

Incertezas na forma afim (p parametros incertos)

x = (A0 +θ1A1 + · · ·+θpAp)x ; θj ∈ [θ j ,θ j ] ; j = 1, . . . ,p

Incertezas limitadas em norma

x = (A+F∆G)x ; ‖∆‖ ≤ 1

Incertezas intervalares

x = Ax ; Amin ≤ A ≤ Amax



Incertezas na forma linear fracionaria

Considere o sistema

x = Ax +Bw

z = Cx +Dw

e suponha que a entrada exogena w e proporcional a saıda z , ou seja, w = ∆z .Entao,

x = (A+B∆(I−D∆)−1C)x

A representa o sistema nominal

∆ ∈ A∆ representa a incerteza

pode ou nao ter alguma estrutura particular (por exemplo, diagonal)

Outra maneira de representar incertezas: “blocos”em diagramas envolvendomatrizes de transferencia



Incertezas politopicas

A estabilidade dos vertices nao garante a estabilidade do politopo

A1 =

[

−1 30 −1

]

; A2 =

[

−1 03 −1

]

; λ (A1) = λ (A2) = −1;−1

No entanto: λ(

A1 +A2

2

)

= −2.5;0.5

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

real

imag

a estabilidade dos vertices e apenas condicao necessaria para a estabilidaderobusta



Uma propriedade interessante de politopos estaveis: se A(α) ∈ A e estavel,entao ρA(α) tambem e estavel ∀ ρ > 0

−30 −25 −20 −15 −10 −5 0−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

real

imag

ρ = 5

ρ = 2ρ = 1



Uma condicao necessaria e suficiente para a estabilidade robusta dex = A(α)x , ∀A(α) ∈ A (sistema variante ou invariante no tempo, conjunto A

qualquer) e dada pela existencia de P(α) = P(α)′ > 0 tal que

A(α)′P(α)+P(α)A(α)+ P(α) < 0

Condicao para que a funcao quadratica v(x(t)) = x(t)′P(α)x(t) > 0 possuaderivada negativa para todo x(t). De fato, x(t) = A(α)x(t) e

v = x ′P(α)x +x ′(

P(α)x + P(α)x)

= x ′(

A(α)′P(α)+P(α)A(α)+ P(α))

x

P(α) e uma matriz de Lyapunov dependente do parametro α

A condicao e de dimensao infinita (teria que ser testada para todo α, ou seja,para toda matriz A(α) ∈ A )

Depende de avaliacoes convenientes de P(α) (nem sempre e possıvel)

Com algumas“escolhas”para A(α) e P(α), e possıvel obter um numero finitode LMIs que fornece uma condicao suficiente de estabilidade robusta



Sistemas lineares com incertezas politopicas

x = A(α)x ; A(α) ∈ A

A ={

A(α) : A(α) =N

∑i=1

αiAi ;N

∑i=1

αi = 1 ; αi ≥ 0}

Estabilidade Quadratica (EQ)

O sistema e estavel ∀A(α) ∈ A se existir P = P ′ > 0 tal que

A′iP +PAi < 0 ; i = 1, . . . ,N

Prova: Multiplicando por αi ≥ 0 e somando de 1 ate N, tem-se

( N

∑i=1

αiAi

)′P +P

( N

∑i=1

αiAi

)

= A(α)′P +PA(α) < 0

parametros incertos podem ser variantes no tempo, com taxas arbitrariamenterapidas



A estabilidade quadratica e uma condicao suficiente para a estabilidade robustade um sistema incerto, pois assume

P(α) = P ; P(α) = 0

mesma funcao de Lyapunov e usada para verificar a estabilidade de todo odomınio de incertezas

se verificada, a condicao garante a estabilidade de ρA(α) para qualquer ρ > 0(ou, em outras palavras, para qualquer combinacao linear positiva dos vertices Ai )

resultado pode ser conservador na avaliacao de domınios de estabilidade nocaso de sistemas invariantes no tempo (ou no caso de sistemas cujos parametrosvariantes no tempo possuem limites nas taxas de variacao)

outras escolhas para P(α) (ou outras formas para v(x)) podem reduzir oconservadorismo

funcoes de Lyapunov quadraticas por partes, poliedrais, afins, polinomiais, etc.



Incerteza politopica invariante no tempo

x = A(α)x ; A(α) ∈ A

A ={

A(α) : A(α) =N

∑i=1

αiAi ;N

∑i=1

αi = 1 ; αi ≥ 0}

Para α fixo, o Lema de Finsler fornece as seguintes condicoes equivalentes:

w =

[

x

x

]

; B(α) =[

A(α) −I]

; B⊥(α) =

[

IA(α)

]

; Q(α) =

[

0 P(α)P(α) 0

]

➀ ∃P(α) = P(α)′ > 0 tal que

[

x

x

]′ [0 P(α)

P(α) 0

][

x

x

]

< 0 ; ∀ x , x 6= 0 :[

A(α) −I]

[

x

x

]

= 0

➁ ∃P(α) = P(α)′ > 0 tal que A(α)′P(α)+P(α)A(α) < 0



➂ ∃µ(α) ∈ R,P(α) = P(α)′ > 0 tais que

[

−µ(α)A(α)′A(α) µ(α)A(α)′ +P(α)µ(α)A(α)+P(α) −µ(α)I

]

< 0

➃ ∃X (α) ∈ R2n×n,P(α) = P(α)′ > 0 tais que

[

0 P(α)P(α) 0

]

+X (α)[

A(α) −I]

+

[

A(α)′

−I

]

X (α)′ < 0

Definindo as particoes X1(α) ∈ Rn×n, X2(α) ∈ R

n×n

X (α) =

[

X1(α)X2(α)

]

a condicao ➃ pode ser reescrita como ∃X1(α) ∈ Rn×n, X2(α) ∈ R

n×n eP(α) = P(α)′ > 0 tais que

[

X1(α)A(α)+A(α)′X1(α)′ P(α)−X1(α)+A(α)′X2(α)′

P(α)+X2(α)A(α)−X1(α)′ −X2(α)−X2(α)′

]

< 0



Uma escolha para P(α) e a funcao afim

P(α) =N

∑i=1

αiPi ;N

∑i=1

αi = 1 ; αi ≥ 0

Primeira ideia: P(α) aparece isolada (nao esta multiplicada por nenhumamatriz funcao de α) nas LMIs da condicao ➃

Fixando algumas matrizes como constantes (independentes de α), tem-se:

[

X1A(α)+A(α)′X ′1 ⋆

P(α)+X2A(α)−X ′1 −X2−X ′

2

]

=N

∑i=1

αi

[

X1Ai +A′iX

′1 ⋆

Pi +X2Ai −X ′1 −X2−X ′

2

]

e portanto, uma condicao suficiente para a existencia de P(α) > 0 tal queA(α)′P(α)+P(α)A(α) < 0 e dada pela existencia de Pi = P ′

i > 0, i = 1, . . . ,N eX1, X2 tais que

[

X1Ai +A′iX

′1 Pi −X1 +A′

iX′2

Pi +X2Ai −X ′1 −X2−X ′

2

]

< 0 ; i = 1, . . . ,N



Lema (EE): Se existirem matrizes Pi = P ′i > 0, i = 1, . . . ,N e matrizes X1, X2 tais

que

[

X1Ai +A′iX

′1 Pi −X1 +A′

iX′2

Pi +X2Ai −X ′1 −X2−X ′

2

]

< 0 ; i = 1, . . . ,N

entao P(α) = P(α)′ > 0 dada por

P(α) =N

∑i=1

αiPi ;N

∑i=1

αi = 1 ; αi ≥ 0

e tal que A(α)′P(α)+P(α)A(α) < 0.

Prova: Multiplicando as condicoes por αi ≥ 0, ∑Ni=1 αi = 1 e somando, tem-se

[

X1A(α)+A(α)′X ′1 P(α)−X1 +A(α)′X ′

2P(α)+X2A(α)−X ′

1 −X2−X ′2

]

< 0

aplicando a transformacao de congruencia obtem-se a condicao desejada

[

IA(α)

]′ [X1A(α)+A(α)′X ′

1 P(α)−X1 +A(α)′X ′2

P(α)+X2A(α)−X ′1 −X2−X ′

2

][

IA(α)

]

=

= A(α)′P(α)+P(α)A(α) < 0



Uma segunda ideia: uso de P(α) afim e de A(α) ∈ A diretamente naexpressao A(α)′P(α)+P(α)A(α) < 0

Lema (ER): Se existirem matrizes Pi = P ′i > 0, i = 1, . . . ,N tais que

A′iPi +PiAi < −I ; i = 1, . . . ,N

A′iPj +PjAi +A′

jPi +PiAj <2

N −1I ; i = 1, . . . ,N −1 ; j = i +1, . . . ,N

entao P(α) = P(α)′ > 0 dada por

P(α) =N

∑i=1

αiPi ;N

∑i=1

αi = 1 ; αi ≥ 0

e uma funcao de Lyapunov dependente de parametro para todo A(α) ∈ A

A(α) =N

∑i=1

αiAi ;N

∑i=1

αi = 1 ; αi ≥ 0



Prova:

A(α)′P(α)+P(α)A(α) =N

∑i=1

α2i

(

A′iPi +PiAi

)

+N−1

∑i=1

N

∑j=i+1

αi αj

(

A′iPj +PjAi +A′

jPi +PiAj

)

Impondo as condicoes do Lema (lembrando que αi αj ≥ 0):

A(α)′P(α)+P(α)A(α) < −( N

∑i=1

α2i −

N−1

∑i=1

N

∑j=i+1

αi αj2

N −1

)

I ≤ 0

pois

(N −1)N

∑i=1

α2i −2

N−1

∑i=1

N

∑j=i+1

αi αj =N−1

∑i=1

N

∑j=i+1

(αi −αj )2 ≥ 0



Do ponto de vista numerico, por homogeneidade das LMIs, tem-se

A′iPi +PiAi < −I

A′iPj +PjAi +A′

jPi +PiAj <2

N −1I

m

A′iPi +PiAi < −εI

A′iPj +PjAi +A′

jPi +PiAj < ε2

N −1I

para qualquer escolha de ε > 0. Fazendo ε → 0, tem-se as condicoes equivalentes:

A′iPi +PiAi < 0

A′iPj +PjAi +A′

jPi +PiAj < 0

Impondo-se que todas as parcelas de uma soma ponderada por coeficientespositivos sejam definidas negativas, tem-se uma condicao suficiente para que asoma seja definida negativa



Terceira ideia: usar a segunda ideia diretamente na condicao ➃ do lema deFinsler.Lema (EC1): Se existirem matrizes Pi = P ′

i > 0, e matrizes X1i , X2i , i = 1, . . . ,N

tais que

[

X1iAi +A′iX

′1i Pi −X1i +A′

iX′2i

Pi +X2iAi −X ′1i −X2i −X ′

2i

]

< 0 ; i = 1, . . . ,N

[

A′iX

′1j +X1jAi +A′

jX′1i +X1iAj Pj +Pj −X1i −X1j +A′

iX2j +A′jX2i

Pi −Pj −X ′1i −X ′

1j +X ′2jAi +X ′

2iAj −(X2i +X ′2i +X2j +X ′

2j )

]

< 0

i = 1, . . . ,N −1 ; j = i +1, . . . ,N

entao com X1(α), X2(α) e P(α) = P(α)′ > 0 dadas respectivamente por

X1(α) =N

∑i=1

αiX1i , X2(α) =N

∑i=1

αiX2i ;N

∑j=1

αj = 1 , αj ≥ 0, j = 1, . . . ,N

P(α) =N

∑i=1

αiPi ;N

∑i=1

αi = 1 ; αi ≥ 0, tem-se

[

X1(α)A(α)+A(α)′X1(α)′ P(α)−X1(α)+A(α)′X2(α)′

P(α)+X2(α)A(α)−X1(α)′ −X2(α)−X2(α)′

]

< 0



A condicao garante que P(α) e uma funcao de Lyapunov dependente deparametro α que assegura a estabilidade assintotica de qualquer A(α) ∈ A .

O mesmo resultado poderia ser expresso em termos das matrizes Q(α) eX (α) da condicao ➃ do lema de Finsler, definindo a seguinte estrutura para amatriz Q(α)

Q(α)=

[

0 P(α)P(α) 0

]

; Qi =

[

0 Pi

Pi 0

]

; B(α)=[

A(α) −I]

; Bi =[

Ai −I]

Lema (EC2): Se existirem matrizes Qi ∈ R2n×2n com a estrutura acima e

matrizes Xi ∈ R2n×n, i = 1, . . . ,N tais que

Qi +XiBi +B′iX

′i < 0 ; i = 1, . . . ,N

Qi +Qj +XiBj +XjBi +B′iX

′j +B

′jX

′i < 0 ; i =1, . . . ,N−1 ; j = i +1, . . . ,N

entao Q(α)+X (α)B(α)+B(α)′X (α)′ < 0.



Comentarios Finais

Extensoes para tratar D-estabilidade (regioes convexas genericas no planocomplexo) sao imediatas

As condicoes apresentam diferentes graus de complexidade (numero devariaveis escalares e numero de LMIs)

Mesmo condicoes equivalentes podem apresentar desempenhos numericosdiferentes (dependem do resolvedor de LMIs)

As condicoes (EE) e (ER) sao independentes, ou seja, ambas sao suficientespara a estabilidade robusta porem uma nao contem a outra nem vice-versa

A condicao (EC) contem as duas anteriores como casos particulares

As condicoes (EE), (ER) e (EC), baseadas em funcoes de Lyapunovdependentes na forma afim do parametro α contem a condicao da estabilidadequadratica (EQ) como caso particular

✔ P(α) > 0 tal que A(α)′P(α)+P(α)A(α) < 0 poderia ser testado com funcoespolinomiais em α (condicoes mais abrangentes do que as da funcao de Lyapunovafim no parametro α)


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