escola secundária de alberto sampaio braga

Escola Secundária de Alberto SampaioBragaEscola Secundária de Alberto SampaioBraga

PRODEPOFICINA MULTIMÉDIAMEDIDA 3 ACÇÃO 3.1

Intersecção de sólidos geométricos por planosIntersecção de sólidos geométricos por planos by

Jorg

e F

reit

as

• Intersecção de poliedros• Intersecção de poliedros

• Intersecção de sólidos de revolução• Intersecção de sólidos de revolução

• Intersecção de cubos• Intersecção de cubos

• Intersecção de pirâmides• Intersecção de pirâmides

• Intersecção de prismas• Intersecção de prismas

Plano passando por três pontos dados (triângulo)Plano passando por três pontos dados (triângulo)

Plano passando por três pontos dados (trapézio)Plano passando por três pontos dados (trapézio)

Plano passando por três pontos dados (pentágono)Plano passando por três pontos dados (pentágono)

Plano passando por três pontos dados (hexágono)Plano passando por três pontos dados (hexágono)

Plano perpendicular à diagonal espacial Plano perpendicular à diagonal espacial

Plano perpendicular a uma das faces (rectângulo)Plano perpendicular a uma das faces (rectângulo)

CubosCubos

Intersecção de cubos por planosIntersecção de cubos por planos

Planos perpendiculares a uma diagonal espacial

A B

CD

E F

GH

A B

CD

E F

GH

M2

M1

M3

Desta intersecção resulta um triânguloequilátero


Exemplo 1Exemplo 1

Plano perpendicular a uma diagonal espacial

1º - Traçar o segmento de recta M1M3.


5º - Desenhar a secção M2M1M3


A B

CD

E F

GH

Exemplo 2Exemplo 2




A B

CD

E F

GH

Exemplo 3Exemplo 3




X

Y

z

1º - Traçar a recta XY.2º - Traçar a recta paralela a XY, passando em Z.

4º - Prolongar a aresta CG.

5º - Determinar o ponto I de intersecção de XY com CG

I

6º - Unir o ponto I com o ponto J, determinando o ponto K

3º - Determinar o ponto J , da aresta BF

J

7º - Unir os pontos K e Y

K

8º - Traçar uma recta paralela a K Y, passando em Z definindo o ponto L9º - Unir os pontos L e X

L

10º -Está determinada a secção [XYKJZL]

Plano perpendicular a uma diagonal espacialPassando pelo centro

Exemplo 4Exemplo 4

Desta intersecção resulta um hexagono regularDesta intersecção resulta um hexagono regular

X

Y

z




I



J


K

8º - Traçar uma recta paralela a K Y, passando em Z definindo o ponto L9º - Unir os pontos L e X

L



Exemplo 5Exemplo 5

Desta intersecção resulta um hexágonoDesta intersecção resulta um hexágono

A B

CD

E F

GH

Exemplo 6Exemplo 6




A B

CD

E F

GH

Exemplo 7Exemplo 7




Intersecção de cubos por planosperpendiculares a uma faceIntersecção de cubos por planosperpendiculares a uma face

A B

CD

E F

GH

Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO)Intersecção do cubo com um plano perpendicular a uma face (ou base) (RECTÂNGULO)

Exemplo 2Exemplo 2

A B

CD

E F

GH


Exemplo 3Exemplo 3

A B

CD

E F

GH


Exemplo 4Exemplo 4

A B

CD

E F

GH


Exemplo 5Exemplo 5

A B

CD

E F

GH


Exemplo 6Exemplo 6

A B

CD

E F

GH


Exemplo 7Exemplo 7

A B

CD

E F

GH


Exemplo 8Exemplo 8

A B

CD

E F

GH


Exemplo 9Exemplo 9

A B

CD

E F

GH


Exemplo 10Exemplo 10

A B

CD

E F

GH



A B

CD

E F

GH

Intersecção do cubo com um plano perpendicular á base e paralelo a uma facea uma face (QUADRADO)Intersecção do cubo com um plano perpendicular á base e paralelo a uma facea uma face (QUADRADO)


Intersecção de cubos por planosdefinidos por três pontosIntersecção de cubos por planosdefinidos por três pontos

Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G) e o ponto X (TRIÂNGULO)

X

1º - Traçar o segmento [DG].

2º -Traçar o segmento [GX]

3º -Traçar o segmento [XD]

4º - Desenhar a secção DGX

Exemplo 1Exemplo 1

Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO)

X





Exemplo 2Exemplo 2

Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRIÂNGULO)





Exemplo 3Exemplo 3

X

Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e B ) (TRIÂNGULO)


2º -Traçar o segmento [GB]

3º -Traçar o segmento [BD]

4º - Desenhar a secção DGB

Exemplo 4Exemplo 4

Determinar a intersecção do cubo com um plano definido pelos pontos X, Y e B (TRAPÉZIO)


X

Y1º - Traçar o segmento [XY].

2º -Traçar o segmento paralelo a [XY] passando em Z, determinando os pontos I e J

3º -Traçar o segmento [XI]

5º - Desenhar a secção XYIJ

Z J

I

4º -Traçar o segmento [YJ]


Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO)

Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (QUADRILÁTERO)

X



4º -Traçar o segmento [ID]

5º - Desenhar a secção DGXI

3º -Traçar o segmento paralela a [DG], passando em X, determinando o ponto I

I

Exemplo 5Exemplo 5

Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO)Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por três vértices (D, G e F) (RECTÂNGULO)


2º -Traçar o segmento [GF]

4º -Traçar a aresta [AD]

5º - Desenhar a secção DGFA

3º -Traçar o segmento paralelo a[DG], passando em F

Exemplo 6Exemplo 6

Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO)Determinar a intersecção do cubo com um plano definido por dois vértices (D e G ) e o ponto X (TRAPÉZIO)

X


3º -Traçar o segmento [DX]

4º -Traçar o segmento [IG]

5º - Desenhar a secção DGIX

2º -Traçar o segmento paralelo a [DG], passando em X, determinando o ponto I

I

Exemplo 7Exemplo 7



X

Y1º - Traçar o segmento XY.

2º -Traçar a o segmento paralelo a XY passando em Z, determinando os pontos I e F

3º -Traçar o segmento IX

5º - Desenhar a secção XYFIZ

I

4º -Traçar o segmento YF




X

Y

1º - Traçar o segmento XY.

2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z, determinando os pontos I e J

4º -Traçar o segmento YJ

5º - Desenhar a secção XYJI

Z

I

J

3º -Traçar o segmento IX




X

Y

1º - Traçar o segmento XY.

2º -Traçar o segmento paralelo a XY passando em Z, determinando os pontos I e J

3º -Traçar o segmento XI

5º - Desenhar a secção XYJI

Z

I

4º -Traçar o segmento YJ

J


X

Y

Z

1º - Traçar a recta XZ.

2º - Traçar a recta YZ.

4º - Traçar uma paralela a YZ, passando por J e encontrar K

5º - Unir o ponto K com o ponto X,

3º - Traçar uma paralela a XZ, passando por Y e encontrar J

J

6º - Está determinada a secção [XYJZK]

K

Determinar a intersecção do cubocom o plano XYZ (PENTÁGONO) Determinar a intersecção do cubocom o plano XYZ (PENTÁGONO)


X

Y

z

1º - Traçar a recta XY.


4º - Unir o ponto Z com o ponto I, determinando o ponto J na aresta GF

5º - Unir o ponto J com o ponto Y,

I

6º - Traçar uma recta paralela a J Y, passando em Z definindo o ponto K na aresta AD


J

7º - Unir os pontos K e X

8º - Está determinada a secção [XYJZK]

K

Determinar a intersecção do cubocom o plano XYZ (PENTÁGONO) Determinar a intersecção do cubocom o plano XYZ (PENTÁGONO)


Determinar a intersecção do cubocom o plano XYZ (HEXÁGONO) Determinar a intersecção do cubocom o plano XYZ (HEXÁGONO)

X

Y

z




I



J


K

8º - Traçar uma recta paralela a K Y, passando em Z definindo o ponto L9º - Unir os pontos L e X L



PrismasPrismas

• Prisma triângular• Prisma triângular

• Prisma pentagonal• Prisma pentagonal

• Prisma quadrângular• Prisma quadrângular

• Prisma hexagonal• Prisma hexagonal

Intersecção de prismaspor planos (prisma triangular)

Intersecção de prismaspor planos (prisma triangular)

C

N

B

F

ED

A

1º- Traçar um segmento paralelo a [DF] passando em N, e determinar I

Determinar a intersecção do prismacom o plano paralelo à face [ACFD],passando em N

Determinar a intersecção do prismacom o plano paralelo à face [ACFD],passando em N

2º- Traçar um segmento paralelo a [DA] passando em N e determinar J

I

J

3º- Traçar um segmento paralelo a [FC] passando em I

4º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em J

5º- Eis a secção

C

N

B

F

ED

A

1º- Traçar um segmento [NA]

Determinar a intersecção do prismacom o plano ACNDeterminar a intersecção do prismacom o plano ACN

2º- Traçar um segmento paralelo a [AC] passando em N e determinar I

I

3º- Traçar um segmento IC

4º- Traçar um segmento [CA]

5º- Eis a secção [ACIN]

P

C

N

M

B

F

ED

AX

Y

1º- Traçar o segmento [MN].

2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN] (segmento [XY]).

3º- Traçar o segmento [XN], (unindo X a N)4º- Traçar o segmento [YM], (unindo Y a M)

Determinar a intersecção do prismacom o plano MNP Determinar a intersecção do prismacom o plano MNP

5º- O polígono [YXNM], é a intersecção pedida.

P

C

N

M

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [NM].

2º- Traçar o segmento [PM]

3º- Traçar o segmento [NP]


4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida.

P

C

N

M

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [MN].

2º- Traçar o segmento [MP]



4º- O triângulo [NMP], é a intersecção pedida.

P

C

N

M

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [NP].


5º- Traçar o segmento [NI], determinando o ponto K


8º- O trapézio [NPMK], é a intersecção pedida.

3º- Prolongar o segmento [PM]4º- Prolongar a aresta [CF], determinando o ponto I

I

K

6º- Traçar o segmento [NK]

7º- Traçar o segmento [KM]

P

C

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [FN].


Determinar a intersecção do prismacom o plano FNP Determinar a intersecção do prismacom o plano FNP

4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida.

3º- Traçar o segmento [PF]

N

C

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [FA].

2º- Traçar o segmento [AB]

Determinar a intersecção do prismacom o plano FAB Determinar a intersecção do prismacom o plano FAB

4º- O triângulo [ABF], é a secção pedida.

3º- Traçar o segmento [BF]

P

C

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [FN].


Determinar a intersecção do prismacom o plano FNP Determinar a intersecção do prismacom o plano FNP

4º- O triângulo [NPF], é a secção pedida.


N

P

C

N

M

B

F

ED

A

1º- Traçar o segmento [NP].


Determinar a intersecção do prismacom o plano MNP paralelo à base Determinar a intersecção do prismacom o plano MNP paralelo à base

4º- O triângulo [NPM], é a secção pedida.

3º- Traçar o segmento [MN]

C

B

F

ED

A

Intersecção do prisma com umplano MNP paralelo às bases

(caso geral)

Intersecção do prisma com umplano MNP paralelo às bases

(caso geral)

Intersecção de prismaspor planosIntersecção de prismaspor planos

FE

D C

BA

HG

Determinar a intersecção do prisma com umplano paralelo à base, que passa em PDeterminar a intersecção do prisma com umplano paralelo à base, que passa em P

P

1º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AB], determinando M

2º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [AD] , determinando N

M

N3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [DC] ,

4º- Traçar o segmento que passa por M e é paralelo a [BC] ,

5º- Eis a secção definida pelo plano MPN

FE

D C

BA

HG

Intersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em PIntersecção do prisma com um plano paralelo à base, que passa em P

Outros exemplosOutros exemplos

FE

D C

BA

HG

Exemplo 1Exemplo 1

Intersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em PIntersecção do prisma com um plano perpendicular à base, que passa em P

P

FE

D C

BA

HG

Exemplo 2Exemplo 2


P

FE

D C

BA

HG

Exemplo 3Exemplo 3


P

FE

D C

BA

HG

Exemplo 4Exemplo 4


P

FE

D C

BA

HG

Exemplo 5Exemplo 5


P

FE

D C

BA

HG

Exemplo 6Exemplo 6


P

FE

D C

BA

HG

Exemplo 7Exemplo 7


P

FE

D C

BA

HG

Intersecção do prisma com um plano perpendicularà base, que passa em dois vértices (E e H)Intersecção do prisma com um plano perpendicularà base, que passa em dois vértices (E e H)

1º- Traçar o segmento EH

2º- Traçar a aresta HC

5º- Eis a secção ACHE

3º- Traçar o segmento CA

4º- Traçar a aresta AE

FE

D C

BA

HG

Determinar a intersecção do prisma com o plano AMHDeterminar a intersecção do prisma com o plano AMH

1º- Traçar o segmento [AM]

2º- Traçar o segmento [MH] ,

M

3º- Traçar o segmento que passa por A e é paralelo a [MH] ,

4º- Traçar o segmento que passa por H e é paralelo a [AM] ,

5º- Eis a secção definida pelo plano AMH

FE

D C

BA

HG

Determinar a intersecção do prisma com o plano MNPDeterminar a intersecção do prisma com o plano MNP

P


2º- Traçar o segmento [MN] ,

M

N3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP] ,

4º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN] ,


FE

D C

BA

HG


P


2º- Traçar o segmento [MN] ,

M

N

3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP] ,

4º- Traçar o segmento que passa por P e é paralelo a [MN] ,

5º-Unir as intercecções destes com as arestas


FE

D C

BA

HG


P1º- Traçar o segmento [MP]

2º- Traçar o segmento [PN]

M

N

3º- Traçar o segmento que passa por N e é paralelo a [MP], determinando I

4º- Traçar o segmento [MI] ,


I

FE

D C

BA

HG

Determinar a intersecção do prisma com o plano MPGDeterminar a intersecção do prisma com o plano MPG

P1º- Traçar o segmento [MP]

2º- Traçar o segmento [PG] M

3º- Traçar o segmento [MG]

4º- Eis a secção definida pelo plano MPG

FE

D C

BA

HG

Determinar a intersecção do prisma com o plano PFGDeterminar a intersecção do prisma com o plano PFG

P


2º- Traçar o segmento [PG]

3º- Traçar o segmento [FG]

4º- Eis a secção definida pelo plano PFG

FE

D C

BA

HG

Determinar a intersecção do prisma com o plano AFGDeterminar a intersecção do prisma com o plano AFG

1º- Traçar o segmento [AF]

2º- Traçar o segmento [AG]


4º- Eis a secção definida pelo plano AFG

FE

D C

BA

HG

Determinar a intersecção do prisma com o plano PFGDeterminar a intersecção do prisma com o plano PFG



3º- Traçar um segmento paralelo a [GF] passando por P, determinando o ponto I

5º- Eis a secção definida pelo plano PFG

P

I

4º- Traçar o segmento [IG]

FE

D C

BA

HG

Determinar a intersecção do prisma com o plano MPHDeterminar a intersecção do prisma com o plano MPH

1º- Traçar a recta MP

2º- Prolongar a aresta CB, e encontrar I

3º- Traçar o segmento [HI], e encontrar J

5º-Traçar um segmento paralelo a HJ, passando em M, e encontrar K

P

M

4º- Traçar o segmento [JP]

I

J7º-Eis a secçãoPJHKM

K

6º-Traçar o segmento KH

FE

D C

BA

HG

Determinar a intersecção do prisma com o plano MPFDeterminar a intersecção do prisma com o plano MPF

1º- Traçar a recta MP

2º- Desenhar a recta paralela a MP, passando em F e encontrar I

3º- Prolongar [FI] e a aresta EG encontrar L

5º-Traçar um segmento paralelo a DK, passando em F, e encontrar J

P

M

4º- Traçar o segmento [ML] e encontrar K

I

J

8º -Eis a secção PJFIKM

K

6º-Traçar o segmento PJ

L

7º-Traçar o segmento KI

Alguns exemplos de intersecção de planoscom um prisma pentagonal

Alguns exemplos de intersecção de planoscom um prisma pentagonal

Intersecção com planoperpendicular à baseIntersecção com planoperpendicular à base

Intersecção com planoparalelo à baseIntersecção com planoparalelo à base

A

BC

G

FN

J

I

E

D

H

Y

Z

X

Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZDeterminar a intersecção do prisma com o plano XYZ

1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABGF] e [CDHI]

2º-Determinar a intersecção dos planos das faces [BCHG] e [EDIJ]

3º-Desenhar a recta XY e encontrar K

K

4º-Desenhar a recta YZ e encontrar L L

5º-Desenhar a recta KZ e encontrar M

M

6º-Desenhar a recta LM e encontrar N

7º-Desenhar o segmento XN

8º- Está encontrada a secção XYZMN

Alguns exemplos de intersecção de planoscom um prisma hexagonal

Alguns exemplos de intersecção de planoscom um prisma hexagonal

LK

J

IH

G

FE

D

CB

A

Z

X

Determinar a intersecção do prisma com o plano XYZDeterminar a intersecção do prisma com o plano XYZ

1º-Determinar a intersecção dos planos das faces [ABHG]2º- Desenhar a recta XY e encontrar M3º-Desenhar a recta MZ e encontrar N4º-Desenhar o segmento YN5º-Desenhar a recta paralela a XY passando em Z e encontrar O

7º- Desenhar o segmento PO

8º- Está encontrada a secção XYNZOP

MY

N

O

P

6º-Desenhar a recta paralela a NZ passando em X e encontrar P

• Pirâmides• Pirâmides

• Triângulares• Triângulares

• Quadrangulares• Quadrangulares

Alguns exemplos de intersecção de um planocom uma pirâmide triangular

Alguns exemplos de intersecção de um planocom uma pirâmide triangular

Intersecção da pirâmidecom o plano ABZ (Triângulo)Intersecção da pirâmidecom o plano ABZ (Triângulo)

V

C

BA

1º-Desenhar o segmento AB

2º-Desenhar o segmento BZ

3º-Desenhar o segmento ZA

4º- Eis a secção ABZZ

Exemplo 1

Intersecção da pirâmidecom o plano XYZ (triângulo)Intersecção da pirâmidecom o plano XYZ (triângulo)

V

C

BA

1º-Desenhar o segmento XY

2º-Desenhar o segmento YZ

3º-Desenhar o segmento ZX

4º- Eis a secção XYZZ

YX

Exemplo 2


V

C

BA

Z

YX

Exemplo 3


V

C

BA

Z

Y

X

Exemplo 4


V

C

BA

Z

Y

X

Exemplo 5

Intersecção da pirâmidecom o plano XYZ (Quadrilátero)Intersecção da pirâmidecom o plano XYZ (Quadrilátero)

V

C

BA Z

Y

X

Exemplo 1

1º-Desenhar o segmento [YZ]

2º-Desenhar o segmento [ZX] e prolongá-lo

3º-Prolongar a aresta VA, e determinar k

K

4º-Desenhar a recta YK, e determinar L

L

5º-Eis a secção LYZX

5º-Desenhar o segmento [XL]


V

C

BA

Z

Y

X

Exemplo 2

1º-Desenhar o segmento [ZY]

2º-Desenhar o segmento [ZX]

3º-Prolongar a aresta ZY

K

5º-Desenhar a recta XK, e determinar L

L

7º-Eis a secção XLYZ

6º-Desenhar o segmento [LY]

4º-Prolongar a aresta CB, e determinar k

Alguns exemplos de intersecção de um planocom uma pirâmide quadrangular

Alguns exemplos de intersecção de um planocom uma pirâmide quadrangular

V

C

BA

D

Intersecção da pirâmidecom o plano XYZ (Quadrilátero)(com XY paralelo a AB)


Exemplo1

1º-Desenhar o segmento [XY]


3º-Desenhar a recta paralela a YX passando em Z, e determinar K4º-Desenhar a recta XK

5º-Eis a secção XYZK

Z

YX

K

V

C

BA

D

Exemplo 2





Z

YX

K



V

C

BA

D

Exemplo 3





Z

YX

K



V

C

BA

D

Exemplo 4





Z

YX

K




Exemplo 5


2º-Desenhar o segmento [YZ]3º-Prolongar o segmento ZY e a aresta CB, determinando J4º- Prolongar o segmento YX e a aresta BA determinando L


V

C

BA

D

Z

Y

X

K

L

J

6º- Prolongar a aresta CD determinando M

M

7º- Unir Z a M, determinando K8º- Unir X a K

5º- Desenhar a recta JL

• Intersecção de sólidos de revolução• Intersecção de sólidos de revolução

• Cilindros• Cilindros

• Cones• Cones

Exemplos daintersecção docilindro com um plano

Exemplos daintersecção docilindro com um plano

Intersecçãocom um plano oblíquoIntersecçãocom um plano oblíquo

Exemplos daintersecção docone com um plano

Exemplos daintersecção docone com um plano

Intersecção com planoparalelo à base(círculo)

Intersecção com planoparalelo à base(círculo)

Intersecção de um cone com um planoIntersecção de um cone com um plano

Intersecção com planooblíquo em relação à base(elipse)

Intersecção com planooblíquo em relação à base(elipse)


Intersecção com planooblíquo em relação à baseIntersecção com planooblíquo em relação à base


Elipse

Intersecção com planooblíquo em relação à base(parte de uma elipse)

Intersecção com planooblíquo em relação à base(parte de uma elipse)


Intersecção com planoparalelo à geratriz(parábola)

Intersecção com planoparalelo à geratriz(parábola)


Intersecção com planoparalelo ao eixo do duplo cone(hipérbole)

Intersecção com planoparalelo ao eixo do duplo cone(hipérbole)


Intersecção com planoparalelo ao eixo do duplo coneIntersecção com planoparalelo ao eixo do duplo cone


Hipérbole

FF II MM PRODEPOFICINA MULTIMÉDIAMEDIDA 3 ACÇÃO 3.1

PRODEPOFICINA MULTIMÉDIAMEDIDA 3 ACÇÃO 3.1

Escola Secundária de Alberto SampaioBragaEscola Secundária de Alberto SampaioBraga

1999/20011999/2001

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