escoamento isentrópico em condutas de secção variável matéria pressão de estagnação...

Escoamento isentrópico em condutas de secção variável Matéria

Pressão de estagnação isentrópica Análise qualitativa do escoamento isentrópico em

condutas de secção variável Exemplo Formação de ondas de choque normais

Escoamento isentrópico em condutas com variação de área Pressão de estagnação isentrópica: pressão que se atingiria se o

fluido fosse levado ao repouso em condições isentrópicas.

Exemplo 1:

Enquanto o escoamento for isentrópico a pressão de estagnação isentrópica mantém-se (ver evolução em diagrama T-s)

p0=84 kPa

VpR=84 kPa

Escoamento isentrópico em condutas com variação de área Pressão de estagnação isentrópica: pressão que se atingiria se o

fluido fosse levado ao repouso em condições isentrópicas.

Exemplo 2:

O atrito nas paredes da conduta faz baixar a pressão de estagnação isentrópica num escoamento adiabático (T01=T02, mas s2>s1)

p0=100 kPa

V

p0=84 kPa

V1 2

Escoamento isentrópico em condutas com variação de área Evolução isentrópica entre 1 e 2 (T01=T02):

1

1

2

1

2

T

T

p

p

1 2

p2, T2

V2

p1, T1

V1

Pressão de estagnação isentrópica na secção 1:

1

1

0

1

01

T

T

p

p

Pressão de estagnação isentrópica na secção 2:

1

2

0

2

02

T

T

p

p

1

2

1

2

0

1

1

2

2

0

0

0

p

p

p

p

p

p

p

p 1 cte.0p

1

0

11

1

21

2

0

T

T

T

T

T

T

Escoamento isentrópico em condutas com variação de área Equações na forma

diferencial (ver aula anterior):

0V

dV

A

dAd

02

2

d

dx

A

Mf

RT

VdV

p

dp

spa

o Continuidade:

o Quantidade de movimento:

o Velocidade do som:

dp

a

d2

1

Eliminando p e entre as 3 equações resulta em: V

dVM

A

dA 21

Escoamento isentrópico em condutas com variação de área

V

dVM

A

dA 21

Conduta convergentedA/A < 0

Tubeira subsónica M>1 dV/V < 0 Difusor supersónico

p

M<1 dV/V > 0


V

dVM

A

dA 21 Conduta divergente

M<1 dV/V < 0 Difusor subsónico M>1 dV/V > 0 Tubeira supersónica

dA/A > 0

garganta


Conduta convergente -divergente

dA/A = 0 em x = 0

V

dVM

A

dA 21

dV/V = 0 em x = 0 se Mg ≠ 1

Se Mg ≠ 1 a velocidade atinge um mínimo (se Mg>1 – escoamento supersónico no convergente, permanece supersónico no divergente) ou um máximo (se Mg<1 – escoamento subsónico no convergente, permanece subsónico no divergente).

Se Mg = 1 dV/V ≠ 0 (o escoamento pode passar de subsónico a supersónico, ou vice-versa), ou dV/V = 0 (caso anterior) – é a diferença de pressões que determina.

garganta


dA/A ≠ 0 e M=1?

V

dVM

A

dA 21

IMPOSSÌVEL pois dV/V=∞

Só pode ocorrer escoamento sónico Mg = 1 na garganta onde dA/A = 0

Escoamento isentrópico em condutas com variação de área: Exemplo Uma conduta convergente-divergente liga um reservatório de

ar (=1,4; R=287 J/kg/K), onde a temperatura é de 293 K e pressão de 380 kPa, à atmosfera. Sabendo que a temperatura na secção de saída é de 200 K e o caudal mássico de 2 kg/s, calcule as áreas da garganta e da secção de saída. Despreze a transferência de calor e o atrito nas paredes da conduta convergente-divergente.

?, gs AA

Ts=200 K

qm=2 kg/s

pR=380 kPaTR=293 K

Resposta: As?

Eq. Energia: T0=constante=293 K

Evolução isentrópica: p0=cte. =380 kPa

1

001

T

T

p

p ss kPa9,99sp

Escoamento isentrópico em condutas com variação de área: Exemplo

Definição T0:pc

VTT

2

2

0

sm2,4322 0 sps TTcV

em que KKgJ5,10041

R

cp

3mkg74,1s

ss RT

pEq. Gases Perfeitos:

kPa9,99sp

?sA

Ts=200 K

qm=2 kg/s

pR=380 kPaTR=293 K

Caudal mássico: ssssmm VAqq

2m00266,0ss

ms V

qA

Escoamento isentrópico em condutas com variação de área: Exemplo

Mach na saída – Ms: 52,1s

s

s

ss

RT

V

a

VM

Sendo Ms>1

3mkg92,3g

gg RT

pEq. Gases Perfeitos:

?gA

Ts=240 K

qm=2 kg/s

pR=380 kPaTR=293 K

Caudal mássico: ggggmm VAqq

2m00154,0gg

mg V

qA

20

2

11 M

T

T

833,0

2

11

0

T

T

K244 TTg

1

00

T

T

p

p gg

Evolução isentrópica:

kPa274gp

Definição T0: sm8,3312 0 gpg TTcV

sm2,432sVMg=1

Ondas de choque normais: Exemplo Um escoamento de ar à temperatura de 202 K e uma

pressão de 100 kPa tem uma velocidade de 427,8 m/s. Qual a pressão que seria medida por um tubo de Pitot colocado neste escoamento?

p?

p=100 kPaT=202 KV=427,8 m/s

Resposta:

5,1RT

V

a

VM

Supersónico: não pode haver desaceleração isentrópica até V=0 na boca do Pitot!

Ocorre uma onda de choque à entrada do Pitot, que é normal na vizinhança da boca do Pitot.

t=-1

Ondas de choque normais: Fonte sonora em movimento

t=0

t=-1

t=-2

t=-3

t=-2

t=-3

Consideremos uma fonte sonora que se desloca a um número de Mach = 0,5 (as frentes de ondas sonoras deslocam-se ao dobro da velocidade da fonte).

Frentes de onda mais próximas à frente da fonte do que atrás (efeito de doppler).

Observador fixo ouve ruído com maior frequência (mais agudo) antes da passagem da fonte que depois.

t=-1


t=0

t=-1

t=-2

t=-3

t=-2

t=-3

Consideremos uma fonte sonora que se desloca a um número de Mach = 1 (as frentes de ondas sonoras deslocam-se à mesma velocidade da fonte).

Frentes de onda juntam-se na fonte criando uma onda de choque normal (p finito) junto da fonte.

Observador fixo ouve forte estampido da passagem da frente de onda (e da fonte).

Frentes de onda juntam-se num cone criando uma onda de choque oblíqua (p finito) junto da fonte.

t=-1


t=0

t=-1

t=-2

t=-3

t=-2

t=-3

Observador fixo ouve estampido da frente de onda depois da passagem da fonte).

11sin MCone de Mach:

Consideremos uma fonte sonora que se desloca a um número de Mach = 2 (as frentes de ondas sonoras deslocam-se a metade da velocidade da fonte).

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Pressão de estagnação isentrópica Análise qualitativa do escoamento isentrópico em condutas

de secção variável Exemplo Formação de ondas de choque normais

Bibliografia Secção 9.5 do Fluid Flow (3ª edição) - Sabersky Secções 9.3 e 9.4 do Fluid Mechanics (4ª ed.) – White Mecânica dos Fluidos, L. A. Silva e A. G. Lopes: 10.3.1,

10.4.1

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