erros de computação e representação...

Erros de Computação e

Representação Numérica

Computação – 2º Semestre 2016/2017

Exactidão e Precisão

Para caracterizar os resultados associados a cálculos e

medidas.

Exactidão (accuracy):

O valor calculado ou medido

estar próximo do valor real

Precisão (precision):

O valor calculado ou medido

estar próximo de outros

valores calculados ou medidos

214 Março 2017 Erros de Computação e Representação Numérica

Tipos de Erros Erros grosseiros ou enganos:

Programação, software,…

Erros do modelo: Simplificações e idealizações

(ex: coeficiente de resistência constante)

Incerteza nos dados: Erros de medição

(ex: uso do valor médio e informação estatística)

Erros de truncatura: Aproximações de um procedimento matemático para um número finito de

operações aritméticas.

(ex: truncatura de série infinita ou sequência iterativa antes da convergência)

Erros de arredondamento: Representação aproximada dos números reais e das operações aritméticas

(ex: irracionais não podem ser representados por um número finito de dígitos)

3Erros de Computação e Representação Numérica14 Março 2017

Tipos de Erros

Erros grosseiros ou enganos

Erros do modelo

Incerteza nos dados

Erros de truncatura

Erros de arredondamento

A qualidade dos resultados depende da sua conjugação

A incerteza no input pode ser amplificada pelo problema

Condicionamento de um problema

Erros cometidos durante a computação podem ser amplificados pelo método numérico

Estabilidade de um método

4Erros de Computação e Representação Numérica

Antes da computação

Durante a computação

14 Março 2017


Um problema cuja solução é muito sensível a variações nos

dados (ou parâmetros) diz-se mal condicionado.

É bem condicionado se pequenas variações nos dados e

parâmetros induzem pequenas variações na solução.

A condição de f em x é uma medida quantitativa da

sensibilidade de f(x) a uma alteração de x:

O problema é mal condicionado se Cond >>1


xf

xfx

x

xx

xf

xfxf

xfCondxx

~

~

lim~

14 Março 2017


Ex: a função Tangente é sensível para valores perto de /2

A variação relativa no resultado é um quarto de milhão de

vezes maior que a variação relativa no argumento


51058058.157079.1tan

41012490.657078.1tan

51048275.257079.1tan Cond

14 Março 2017

Instabilidade de um método

Um método numérico diz-se instável se a acumulação dos

erros durante o processo de cálculo tiver grande influência

no resultado final.

Num método estável, o efeito dos erros computacionais é

comparável ao efeito de pequenos erros de input.

A estabilidade não garante a qualidade dos resultados

Esta depende do condicionamento do problema e da

estabilidade do método

Usar um método estável num problema bem condicionado

produz sempre bons resultados.


Erro Absoluto e Erro Relativo

Erro (E):

diferença entre o valor exacto (x) e o valor aproximado ( )

Erro absoluto (|E|):

valor absoluto do erro (E)

Erro relativo ():

razão entre o erro (E) e o valor exacto (x)


x~

xxE ~

xxE ~

x

xx ~

x

xx ~ %100

14 Março 2017

Algarismos Significativos

Notação Científica Normalizada:

Representação na forma com R, Z e

Ex:

Algarismos Significativos:

O número de algarismos de a em notação científica normalizada

Ex:

Ex:


ba 10 101 aa b310250.1 5103.5 510300.5 31025.1

410250.1 3 2103.5 5

410300.5 5 31025.1 3

410250.11250 3

2103.5000053.0 5

410300.500005300.0 5

14 Março 2017


O número de algarismos significativos exactos de uma aproximação indica a qualidade da aproximação.

Quanto maior for o número de algarismos significativos exactos, menor é o erro relativo.


3333.0~

3

1 xx(4 alg. sig.)

0003.0~

3000

1 yy(1 alg. sig.)

%01.0...3333333.0

...0000333.0~~

x

xxx %10

...0003333.0

...0000333.0~~

y

yyy

3333.0...3333333.0~~ xxEx

...0000333.0

0003.0...0003333.0~~ yyEy

...0000333.0

%01.0...0003333.0

...30000000333.0

...0003333.0

0003333.0...0003333.01

~

y3

1 103333.0~ y(4 alg. sig.)

14 Março 2017


Quanto menor for o erro relativo, maior é o número de

algarismos significativos exactos da aproximação.


xnn

x~%105.0105.0 2

~ (n alg. sig.)

3333.0~

3

1 xx(4 alg. sig.)

0003.0~

3000

1 yy(1 alg. sig.)

xx~%105.0%105.0%01.0 321

~ (3 alg. sig.)

yy~%105.0%105.0%10 022

~ (0 alg. sig.)

14 Março 2017

Estimativas de Erro

Erro relativo ():

razão entre o erro (E) e o valor exacto (x)

mas normalmente não sabemos o valor exacto (x)!

Estimativa do erro relativo ( ):

razão entre o erro estimado ( ) e o valor aproximado ( )

Em métodos numéricos iterativos:


~

x

E

x

xx

~ %100

x~

x

E~

~~ %100

i

iii

x

xx~

~~~ 1 %100 (critério de paragem: )%~ toli

14 Março 2017

𝐸

Estimativas de Erro

Exemplo de método numérico iterativo

Cálculo de y=e0.5 com 3 algarismos significativos:

Valor do erro relativo que garante a correcção dos 3 alg. sig.

Estimativa inicial:

Iterações:


!!321

32

n

xxxxe

nx

%05.0%05.0105.0 3~ toly

1~0 y

!

5.0~~1

iyy

i

ii

i

iii

y

yy~

~~~ 1

5.0

5.0 ~

e

ye ii

5.15.0~~01 yy %3.33

5.1

15.1~1

%02.9

5.15.0

5.0

1

e

e

625.1~2 y 2

1.625 1.57.69%

1.625

%44.1

625.15.0

5.0

2

e

e

648697917.1~6 y %0158.0~

6 %00142.06 <tol

e0.5=1.648721…

14 Março 2017

Erros de Arredondamento

Diferença entre o resultado obtido pelo algoritmo com

aritmética exacta e o mesmo algoritmo com aritmética de

precisão limitada.

Originados pela representação aproximada dos números

reais e das operações aritméticas

Representação em Vírgula Flutuante

Algumas manipulações numéricas são muito sensíveis a

erros de arredondamento

Aritmética em Vírgula Flutuante



Representação decimal:

Representação binária:


21012 10610710710510276.257

1875.11

)21212020(

)21212021()0011.1011(

10

4321

0123

2

14 Março 2017


Conversão de um inteiro para representação binária:

Conversão de uma fracção para representação binária:


Quociente Resto

11/2 5

5/2 2

2/2 1

1/2 0

01 a

11 a

20 a

31 a

2

20123

10

)1011()(

)11(

aaaa

Produto Parte fraccionária

Parteinteira

0.375 0.375

0.75 0.75

1.5 0.5

1.0 0.0

10 a

20 a

31 a

41 a

21875.0

2375.0

275.0

25.0

2

24321

10

)0011.0()(

)1875.0(

aaaa

14 Março 2017

(11.1875)10= (1011.0011)2=1 × 23 + 0 × 22+1 × 21+1 × 20 + 0 × 2−1 + 0 × 2−2+1 × 2−3+1 × 2−4


Alguns números fraccionários não têm representação

binária exacta:


Produto Parte fraccionária

Parte inteira

0.6 0.6

1.2 0.2

0.4 0.4

0.8 0.8

1.6 0.6

23.0

26.0

22.0 24.0 28.0

10 a

21 a

30 a

40 a

51 a

28125.0)01001.0()()3.0( 225432110 aaaaa

50.29882812)010011001.0( 2

14 Março 2017

Representação Binária em Vírgula Flutuante

Representação binária da forma:

sinal (0 para números positivos; 1 para números negativos)

mantissa

expoente (inteiro negativo ou positivo)

Ex: representação com palavras de 9 bits

1º bit: sinal do número; 2º bit: sinal do expoente

4 bits seguintes: mantissa; 3 bits seguintes: expoente


ems 2

s

32122 .1101 aaammm (1 não é guardado!)

e

2101

2

5

2

210

21011.1

21011011.1

11.11011075.54

0 0 1 0 1 1 1 0 1

Sinal do

número

mantissa

Sinal do

expoente

expoente

14 Março 2017


A precisão da máquina é a diferença entre o número

1 e o número seguinte que pode ser representado


1º bit: sinal do número; 2º bit: sinal do expoente

4 bits seguintes: expoente; 4 bits seguintes: mantissa


mach

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

4210625.1 mach

Número

seguinte

101

102 0625.10001.1

(número de bits da mantissa)

Sinal do

númeroSinal do

expoente

expoente mantissa

14 Março 2017


O erro relativo || na representação de um número é

menor do que a precisão da máquina



mach

2

5

10 2

0101

2

0.02832 1.1100 2

1.1100 2

0 1 0 1 0 1 1 1 0 0

2

0101

2

4

1.1100 2 0.0274375

0.02832 0.0274375

0.02832

0.034472 2 0.0625

Sinal do

númeromantissaSinal do

expoente

expoente

14 Março 2017

Norma IEEE-754

Standard para aritmética em vírgula flutuante:

Formatos para representação de números em vírgula flutuante.

ex: de precisão simples (32 bits) e de precisão dupla (64 bits)

Regras de arredondamento.

ex: propriedades das conversões entre formatos

Operações aritméticas em vírgula flutuante.

Referência: What every computer scientist should know about

floating point arithmetic!

http://www.validlab.com/goldberg/paper.pdf


http://www.validlab.com/goldberg/paper.pdf

Representação Numérica em MATLAB

O MATLAB adoptou o formato de precisão dupla (64 bits)

da norma IEEE-754.

Palavras de 64 bits


52 bits

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Sinal (s) Expoente (e’) Mantissa (m)

1023'

221)1(Valor . es m

11 bits1 bit

(evita o bit do sinal do expoente)

14 Março 2017


Ex:Palavras de 64 bits


52 bits

1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Sinal (s) Expoente (e’) Mantissa (m)

1023'

221)1(Valor . es m

11 bits1 bit

1023)01000010001(

2

12210100000.11

102310582625.11

1035 105834.52625.11

14 Março 2017


Expoente:

11 bits para representar o e’:

e’=0 (tudo zeros) e e’=2047 (tudo uns) são reservados para

casos especiais, logo:

Casos especiais:


2047222'0 0910 e

10232046102311023' eee

2046'1 e

10231022 e

s e' m Representa

0 tudo zeros tudo zeros 0

1 tudo zeros tudo zeros -0

0 tudo uns tudo zeros

1 tudo uns tudo zeros

0 ou 1 tudo uns não-zero NaN

14 Março 2017


Maior número representável (>> realmax):

Menor número representável (>> realmin):

Precisão da máquina (>> eps):

Permite uma representação aproximada de qualquer

número com cerca de 15/16 algarismos significativos:


30810241023

2 107977.1221........1.1

30810221022

2 102251.2220........0.1

1652 102204.22 mach

xn

x~105.0~ (n alg. sig.)

xmachx~105.0102204.2 1516

~ (15 alg. sig.)

14 Março 2017


Adição e Subtracção

com o ajuste da mantissa para igualar os expoentes podem-se

perder algarismos do número mais pequeno

ex: representação decimal (4-dígitos mantissa; 1-dígito expoente)


04341.0

557.1

60041.1

1101557.0 110004341.0 110160041.0

1101600.0

1.764

2.764

1.0

3107642.0 3107641.0 3100001.0

0101000.0

(perde 2 alg. sig.)

(acrescenta 3 alg. não sig.)

14 Março 2017


Multiplicação

o produto entre dois números com n-dígitos de mantissa pode

resultar num número não representável com 2n-dígitos de mantissa

ex: representação decimal (4-dígitos mantissa; 1-dígito expoente)

Divisão

o quociente entre dois números com n-dígitos de mantissa pode

resultar num número não representável

ex: 1/10 não é representável numa sequência binária finita


06357.0

4.192

230868.12

3101924.0 1106357.0

21012230868.0

2101223.0

(perde 4 alg. sig.)

210 ...)01100110001100110.0()1.0(

14 Março 2017

Erros de Truncatura

Diferença entre o resultado correcto e o obtido por um

determinado algoritmo com aritmética exacta.

Originados por truncatura de séries infinitas ou interrupção

de uma sequência iterativa antes da convergência.

Ex: truncatura da Série de Taylor


Série de Taylor

Permite exprimir o valor de uma função num dado ponto

através de uma soma de termos (do valor da função e suas

derivadas num outro ponto)

O termo do resto, Rn, representa toda a soma dos termos

de n+1 a infinito:


n

n

iii

n

iii

iii

ii Rxxn

xfxx

xfxx

xfxfxf )(

!

)()(

!2

)()(

!1

)()()( 1

)(2

1

"

1

'

1

11

)1()1(

,max,,min)!1(

)(

iiii

nn

n xxxxhn

fR

n

ni

n

iiii Rh

n

xfh

xfh

xfxfxf

!

)(

!2

)(

!1

)()()(

)(2

"'

1

ii xxh 1

14 Março 2017

Série de Taylor

Considerando x=xi+1, uma função f(x) pode ser aproximada por um polinómio da ordem que se quiser:

ordem zero:

primeira ordem:

segunda ordem:

n-ésima ordem:

Cada termo contribui para uma melhoria na aproximação.

Em geral, só com um número infinito de termos se pode garantir o resultado exacto.

Frequentemente, com apenas alguns termos obtêm-se boas aproximações em termos práticos.


))(()()( '

iii xxxfxfxf

)()( ixfxf

n

ii

n

ii

ii

i xxn

xfxx

xfxx

xfxfxf )(

!

)()(

!2

)()(

!1

)()()(

)(2

"'

2"'

)(!2

)()(

!1

)()()( i

ii

ii xx

xfxx

xfxfxf

14 Março 2017

Série de Taylor

Aproximação da função:

De xi = 0 com h = 1 aproximar o valor de f(x) no ponto xi+1 = 1


432 1.015.05.025.02.1)( xxxxxf

14 Março 2017

Série de Taylor

Aproximação de f(x) = ex

escolher x = xi+1 e xi = 0

como (ex)’ = ex tem-se: (ex)’ = (ex)” = (ex)(n) = ex

e como e0 =1 ficamos com a aproximação:


n

iii

n

iii

iii

ii xxn

xfxx

xfxx

xfxfxf )(

!

)()(

!2

)()(

!1

)()()( 1

)(2

1

"

1

'

1

nn

xn

fx

fx

ffxf

!

)0(

!2

)0(

!1

)0()0()(

)(2

"'

nx xn

ex

ex

eee

!!2!1

02

000

!!21

2

n

xxxe

nx

14 Março 2017

Série de Taylor

Erro de truncatura Rn de uma aproximação de ordem n:

Em geral não se sabe o valor de

Diz-se que o erro de truncatura Rn é de ordem n+1:

quanto maior for o n menor é o erro (0<h<1)

quanto menor for o h menor é o erro (0<h<1)

Ex: se o erro é de ordem 1, O(h), ao reduzir para metade o h o erro é também

reduzido para metade;

se o erro é de ordem 2, O(h2), ao reduzir para metade o h o erro é reduzido para um quarto;


11

)1()1(

,max,,min)!1(

)(

iiii

nn

n xxxxhn

fR

ii xxh 1

1 n

n hOR

14 Março 2017

Erro Numérico Total

Soma dos erros de truncatura e de arredondamento.

Os erros de truncatura aumentam com o passo h

Os erros de arredondamento diminuem com o aumento de h

Existe um ponto a partir do qual não vale a pena reduzir o passo porque a diminuição dos erros de truncatura não compensa o aumento dos erros de arredondamento


erros de computação e representação...

Documents