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FI092 Capítulo I Mauro M.G. de Carvalho

1

CAPÍTULO I

MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

Qual o comprimento afinal?

É melhor assunir que a medida é1: 4,32 ± 0,05

Qualquer algarismo à direita, no sentido usual de leitura, do primeiro algarismo não nulo é um algarismo

significativo

Exemplos:

0,02 1 algarismo significativo

0,2 1 algarismo significativo

2 1 algarismo significativo

2,0 2 algarismos significativos

2,00 3 algarismos significativos

2000 4 algarismos significativos

2,0 x 103 2 algarismos significativos

1 Convencionalmente, o erro de medida é a metade da menor escala, no caso ± 0,05. Todavia essa faixa pode ser

diminuída de acordo com a exatidão do aparelho de medida e da confiança do experimentador.

0 1 2 3 7 4 5 6

4,32

Algarismo duvidoso

0 1 2 3 7 4 5 6

Medimos


2

Regras de arredondamentos

N = 3,88 Se X > 5

N = 3,87XY N = 3,87 Se X < 5 N = 3,88 se Y ≥ 5

Se X =5

N = 3,87 se Y < 5

Operações levando em conta os algarismos significativos

Soma:

135 + 2,73 - 10,57 - 4,3 + 0,8 123

Multiplicação e divisão:

24,63 x 12,3 = 302 no de algs.significativos = ao que tem menos


3

REVISÃO DE MATEMÁTICA

Relações trigonométricas

sem B =AC/BC cosec B = 1/sem B

cos B = AB/BC sec B = 1/cos B

tg B = AC/AB

tg B = sem B/cos B

Pelo teorema de Pitágoras:

(AB)2 +(AC)

2 = (BC)

2 Dividindo por (BC)

2 , temos:

sen2B+cos

2B = 1 Dividindo por cos

2B, temos:

tg2B+1 = sec

2B

Outras relações trigonométricas:

sen(x±y) = senx.cosy ± cosx.seny

cos(x±y) = cosx.cosy senx.senyy

sen2x = 2senx.cosx

cos2x = cos2x – sen

2x

Gráficos

Representação de pontos (x,y) no gráfico cartesiano.

Na figura estão os pontos (1,4); (-4,2); (-3,-3); (2, -5)

Exercício: (a) Marque os pontos (1,1), (3,2), (-2,3),

(-4, -1), (-2,3)

(b) Marque os pontos (-4,-1), (-2,0), (0,1), (2,2) e

(4,3).

Em seguida ligue esses pontos. Qual a realção que eles

guardam entre si?

Fig.2 – Eixos Cartesianos

A C

B

Fig.1 – Triângulo retângulo

(1,4)

(2,-5)

(-3,-3)

(-4,2)

X

Y


4

Cosideremos a equação: y = x2 + x - 2

Calculando y para alguns valores de x (abaixo) podemos

traçar a curva ao lado

x y

-3 4

-2 0

-1 -2

0 -2

1 0

2 4

3 10

F

Fig. 3 – Parábola

Em resumo, gráficos representam o comportamento de y em decorrência da variação de x. Por exemplo y pode ser, o

número de crianças nascidas num hospital e x os anos. O gráfico irá mostrar, no eixo y, número de crianças nascidas a

cada ano representado no eixo x, cmo se vê abaixo:

y

x

Número de

crianças nascidas

Ano

500

400

300

200

1990 1991 1992 1993 1990


5

Derivada

Fixando x1 e fazendo x2 x1 (fig.4a), a secante se transforma em tangente à curva em (x1,y1) (fig.4b) e:

(a)

(b)

Fig4: A secante (em vermelho) de transforma em tangente quano x2 → x1

x1

y

dx

dytgα

y1

x

y2

y1

x1 x2

y

x

dx

dy

x

y


6

dy/dx é a derivada da curva em (x1,y1).

Portanto, a derivada num ponto dá a tangente trigonométrica (tgdo ângulo que a tangente geométrica, no ponto

considerado, forma com o eixo dos X.


7

VETORES

Nomenclatura: A é normalmente representado por A (em negrito). O módulo de A é representado por A (sem negrito)

Se A e B têm o mesmo módulo direção e sentido, então A = B

Algumas propriedades importantes:

Soma de vetores: Método geométrico

Produto de escalar por vetor

K1>1

0<K2<1

K3<0

Diferença entre vetores: Note que A-B = A + (-B) . Essa operação pode ser visualizada abaixo

direção

sentido

A

Módulo

A k1A

k2A

k3A

A

B

A - B

A B

A + B

A

B

A + B

-B


8

Soma (diferença) de vetores colineares. É só somar (subtrair) seus módulos:

A

A+B


9

EXERCÍCIOS

1) Na figura abaixo, dê o resultado das medidas de AB.

2) Quantos algarismos significativos têm os números abaixo:

a) 98,75 b) 2,00 c) 0,003 d) 0,0450 e) 3000 f) 1,0 x 103

3) Faça as aproximações solicitadas:

a) = 3,14159 Para uma, duas, três e quatro casas decimais

b) e = 2,71828 Para uma, duas, três e quatro casas decimais.

c).me = 9,1091 x 10-31

kg Para uma e duas casas decimais

d) e = 1,6021 C Para uma e duas casas decimais

4) Transforme:

a) 2,3 mm → m

b) 2,303 m → mm

c) 2,8 km →m

d) 2,0 kg →g

e) 2,753 mg →g

6) Calcule x nas figuras a seguir:

A

0 2 1

0 2 1

0 2 1

0 2 1

A B

biol

biol

biol

biol

AB =

AB =

AB =

AB =

B


10

5,0 cm

30o

30o

2,0 cm

75o 75

o

x

x x

x

4,0 cm

6,0 cm

10,0 m

5o

x

2,0 cm

60o

x

(a) (b)

(c)

(d)

(e) (f)

30o

FI092 Capítulo II Mauro M.G. de Carvalho

11

CAPÍTULO II

Movimento

Velocidade média: Velocidade média de um corpo entre dois pontos é o deslocamento desse corpo (distância entre os

pontos) por unidade de tempo, ou seja, a razão entre o deslocamento e o tempo em que esse deslocamento foi feito.

v = S/t

S é o deslocamento, medido em metros no sistema internacional (SI), e t é o tempo decorrido durante o

deslocamento, medido em segundos no SI.

A unidade de velocidade é o m/s no SI. Uma unidade muito usada na prática é o km/h.

Aplic.1: Transforme: a) 10 m/s em km/h. b) 80 km/h em m/s

R: a) 36 km/h; b) 22,2 m/s

Aplic.2: Um automóvel faz a viagem de Campinas a S.Paulo em 1h 30min. A distância entre essas duas cidades é

120 km. Qual a velocidade média na vigem? R: 80 km/h

A velocidade média entre um ponto A e outo ponto muito perto de A (distância tendendo a zero) é chamada velocidade

instantânea em A. A velocidade indicada no velocímetro de um carro é a velocidade instantânea.

Se a velocidade é constante, a velocidade média e a velocidade instantânea são iguais.

Aceleração média: Aceleração média de um corpo entre dois pontos é a variação da velocidade do corpo (diferença

entre as velocidades nos dois pontos) por unidade de tempo.

a = v/t

A unidade de aceleração é o m/s2 no SI.

A aceleração média entre um ponto A e outo ponto muito perto (distância tendendo a zero) é chamada aceleração

instantânea em A. A velocidade indicada no velocímetro de um carro é a velocidade instantânea.

Se a aceleração é constante, a aceleração média e a velocidade instantânea são iguais.

Aplic. 3: A velocidade de um carro vai de zero a 20 m/s em 10s. Qual sua aceleração média? R: 2 m/s2

Aplic.4: Qual a distância percorrida por um automóvel que mantém uma velocidade de 70 km/h durante 2h?

R: 140 km

Aplic.5:Uma pedra cai do 3º andar de um prédio (10m do chão). A aceleração da gravidade é 9,8 m/s2 . Qual a

velocidade que a pedra chega ao chão? R: 14 m/s

Equações do movimento:

a) Uniformemente acelerado (aceleração constante):

(1) v = vo + at (2) 2

o at2

1tvΔS

(3) S2a.vv2

o2

Onde: v - Velocidade final

vo – Velocidade inicial

a – Aceleração

t – Intervalo de tempo

b) Movimento circular uniforme:

Velocidade angular t

Velocidade: v =R

Aceleração normal: aN = v2/R

v aN


12

FORÇAS Leis de Newton

1

a Um corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme se nenhuma força atua sobre ele.

2a A taxa de variação do momento de uma partícula é a força resultante que atua sobre ela, isto é:

dt

dpF

onde p = mv é o momento da partícula (quantidade de movimento). Se a massa m é constante, podemos fazer: aF m

3a À ação de um corpo A sobre um corpo B, existe uma reação igual e de sentido oposto do corpo B sobre A.

Obs: Por enquanto vamos sempre usar F = ma

Aplic.6: Um bloco de 300,0 kg é puxado por uma força de 60,0N. Determine a aceleração do bloco.

R: 0,2m/s2

Torque. Quando uma força atua num corpo sólido, o módulo do torque em relação a um ponto é o produto da força

pela sua distância ao ponto de aplicação.

Seja x

ON o troque da força Fx em relação ao ponto O. Na figura ao

lado, teríamos.

1

ON = 0 Módulo do torque da força F1 em relação a O

2

ON = F2xD2 Módulo do torque da força F2 em relação a O

3


4


Observe que alguns torques giram o sólido num sentido e outros, no sentido inverso. Normalmente assume-se como

positivo o torque num dos sentidos e, naturalmente, negativo no sentido inverso

Alguns tipos de força:

Peso, Normal, Atrito, Tração, Atração gravitacional, Atração / repulsão elétrica, Magnética, Nuclear etc

Força de atrito: Quando um corpo está no limite do deslizamento sobre uma superfície, a força de atrito estático é dada

por Fa = aN, onde a é chamado coeficiente de atrito estático e é característico das superfícies em contato. N é a força

normal entre as superfícies.

Força de deslizamento: Quando um corpo desliza sobre uma superfície, a força de atrito de deslizamento é dada por

F= dN, onde d é chamado coeficiente de atrito de deslizamento (ou cinético) e é característico das superfícies em

contato. N é a força normal entre as superfícies. Normalmente, d < a

Condições de equilíbrio para um sólido: Um sólido está em repouso quando a soma das forças e dos torques que

atuam sobre ele é nula.

Aplic.7: a)Um bloco de 10,0 kg está em repouso sobre um plano inclinado de 30o. Qual a força de atrito que atua sobre

ele? R:50 N

b) É possível determinar o coeficiente de atrito entre o bloco e o plano?

c) Aumentando o ângulo do plano, verificamos que a partir de 45o o bloco começa a deslizar. Qual o coeficiente de

atrito entre o bloco e o plano? R : =1,0

30o

O

F4

F3

F2 F1 D2

D3 D4


13

Exercícios

1) O tempo de reação do ser humano (TRH) é, em média, 0,2s quando descansado e 0,45s em condições de cansaço.

Determine a distância percorrida por um automóvel a 60 km/h entre o instante em que o motorista vê o perigo e o

instante em que começa a frear o veículo nas duas condições, descansado e cansado.

R: 3m e 7,5m

2) Repita o problema anterior para o caso em que o automóvel está a 100 km/h.

R: 5,5m e 12,5m

3) A desaceleração máxima de um carro é de 6,0 m/s2. Determine a distância mínima para um carro a 60 km/h parar.

Repita o cálculo para um carro a 100 km/h.

R: 23m e 64m

4) A felicidade. Determine o tempo para um motorista descansado parar seu carro a 60 km/h após ver o perigo.

R: 26m.

5) A infelicidade. Determine o tempo para um motorista cansado parar seu carro a 100 km/h após ver o perigo..

R: 76m

6) Um automóvel acelera de 0 a 100km/h em 10s. Determine sua aceleração média e a compare com a da gravidade.

R: 2,8m/s2

7) Um automóvel de 1200 kg a 72km/h freia e para em 40 m. Qual sua aceleração? Qual a força de atrito entre os

pneus e o chão?

R: 5,m/s2 e 6,0x10

3N

8) Um bloco de gelo é solto no alto de uma rampa que forma um ângulo com a horizontal. Considerando desprezível

o atrito entre o o gelo e a rampa, determine a aceleração do gelo. A aceleração da gravidade é g.

R: g.sen

9) No problema anterior considere = 30º , g= 9,8 m/s2 e o comprimento da rampa 3,0 m. Calcule a aceleração do

bloco e sua velocidade final.

10) Como você pode notar nas figuras ao lado, a parte inferior do esqueleto humano é mais “robusta” que a parte

superior. Em particular, observe como as vértebras lombares da coluna são maiores do que as cervicais e dorsais.

Dê sua explicação para isso.


14

11) No exercício mostrado na figura, o torque que o peso exerce sobre o joelho varia com a posição da perna. Calcule o

torque para as quatro posições mostradas.

R: (a) 36 N.m; (b) 31 N.m;

(c) 18 N.m; (d) Não há torque

12) Uma pedra cai de uma altura de 12,0 m em 1,57 s. Determie a aceleração da gravidade. R: 9,7 m/s2

12) Uma carro de 1000 kg para numa ladeira que faz 30º com a horizontal. Qual a força de atrito em cada roda?

Use g =10 m/s2

R: 5,0 x 103 N

13) Um homem de 80 kg calçando tamancos empurra um caixote de madeira. Qual a maior massa possível do caixote?

R: 80 kg

14) Na figura, a roldana e a corda têm massa desprezível. Determine aceleração do bloco B sabendo que: mA = 2kg,

mB = 4kg, g= 10 m/s2 . Considere

a) Não há atrito entre B e a superfície onde se apoia. R: 5 m/s2

b) O coeficiente de atrito estático entre B e a superfície onde se apoia é 0,6.

R: 0

A

B

FI092 Capítulo III Mauro M. G. de Carvalho

15

F F

F

F F

F

d d d

CAPÍTULO III

TRABALHO & ENERGIA

PARTE 1

Trabalho: Quando uma força F constante que atua sobre um corpo se desloca r ao longo de uma reta, o trabalho

realizado é definido por W = F.r.cos, onde é o ângulo entre a força F e a direção do deslocamento r. Se a força

não é constante e/ou o deslocamento não é em linha em linha reta, a definição de trabalho requer uso de trabalho e

deslocamento infinitesimais. Não estudaremos esses casos. A unidade de trabalho é o Joule (J)

Aplic. 1: Calcule o trabalho realizado pela força F (constante) nos casos abaixo:

W = W = W =

Energia: É a capacidade de realizar trabalho

Aplic. 2: O bloco da figura tem 2,40 kg de massa e é arrastado por um cabo em cuja extremidade é aplicada uma força

constante de 15,0 N. Qual o trabalho realizado pela força que puxa o bloco quando ele é deslocado de A até B sendo

2,00 m a distância entre A e B? Qual o trabalho realizado pelo peso do bloco? Despreze qualquer forma de atrito.

R: 30 J ; zero

Relação entre Trabalho e Energia cinética

Não havendo atrito, a aceleração do bloco da

figura 1 é dada por:

a = F/m

Portanto: v2 = vo

2 + 2(F/m).x

Dividindo todos os membros por 2 e

multiplicando por m, temos:

(1/2)mv2 = (1/2)mvo

2 + F.x

Mas F.x é o trabalho W realizado pela força F, e (1/2) mv2 é chamada energia cinética do corpo. Logo podemos

escrever :

W = (1/2)mv2 – (1/2)mvo

2 = Ec

Ou seja o trabalho realizado por uma força F sobre uma massa m é igual à variação da energia cinética de m.

1

5

N

A B

x

Fig. 1: O bloco de massa m é submetido a uma força constante F.

F

vo

F

v

F F


16

E se houver atrito? Nesse caso, a força para deslocar o corpo terá que deslocar também a força de atrito fa. Portanto o

trabalho de F será igual ao trabalho da força de atrito, fa.x ,mais a variação da energia cinética do bloco.

W = Ec + fa.x

Aplic. 3: Na aplicação 2, desprezando qualquer forma de atrito, calcular a energia cinética do bloco quando ele está em

B supondo que tenha partido do repouso em A.. Calcule também sua velocidade. R: 30 J

Aplic. 4: Repita o exercício anterior, considerando que exista uma força de atrito entro o bloco e o piso e que o

coeficiente de atrito seja 0,5. R: 6 J

Aplic. 5: Um corpo de massa m cai de uma altura h. Qual o trabalho realizado pelo peso do corpo? Qual a energia

cinética do corpo quando está no ponto mais baixo de sua queda? Qual sua velocidade?

R: mgh; mgh; v = (2gh)1/2

Energia Potencial

Uma massa m cai do nível A para B sob a ação do peso, o trabalho da força peso é o mesmo qualquer que seja o

caminho seguido: W = p.h = mgh onde h é a altura de A em relação a B (demonstrado em aula).

Esta energia é utilizada pela massa para aumentar sua energia cinética. Assim mgh = EcB-EcA

.

Dizemos então que massa está parada em A

tem uma energia potencial de mgh em

relação a B, isto é, ela pode chegar em B

com energia cinética de mgh (pode chegar

com menos se houver perdas por atrito, por

exemplo). Se ela já tiver uma certa energia

cinética em A, ela chegará em B

(desprezando qualquer perda) com sua

energia cinética aumentada de mhg. Então

podemos escrever:

Fig .2: Uma massa m está em A a uma

altura h em relação a B

EcB = EpAB + EcA (1) desprezando as perdas ou

EcB = EpAB + EcA - Eperdida Se houver energia perdida

onde EpAB é a energia potencial de A em relação a B.

Energia potencial é sempre em relação a alguma referência, isto é, não existe energia potencial simplesmente, só

existe energia potencial em relação a uma origem ou referência. No caso anterior, como dissemos energia potencial de

A em relação a B, a referência é B. Poderíamos ter usado outra referência. Por exemplo, vamos supor que A esteja a

uma altura h1 e B a uma altura h2 de um mesmo piso que tomaremos como referência.

Temos então: EpA = mgh1 EpB = mgh2 ambas em relação ao piso. A

energia potencial de A em relação a B será dada por:

EpAB = EpA - EpB = mg(h1-h2) = mgh (2)

como antes.

Podemos escrever a equação 1 da seguinte forma:

EcB = EpA - EpB + EcA

ou

EcA + EpA = EcB + EpB (3)

h

A

B

A

B h1

h2

referência (h=0)

Fig. 3: A energia potencial só

depende de h1 - h2

h


17

Esta equação é importantíssima! Ela diz que, não importa onde está B, a energia cinética mais a potencial da massa m

em B é igual à mesma soma em A. Assim, podemos escrever que, de uma forma geral, quando as forças envolvidas são

conservativas,

E = Ep + Ec (3) onde E é, a energia mecânica total do sistema.

Nem sempre a energia potencial é mgh. A energia potencial entre duas massas, por exemplo, é: Ep = - G.m1m2 / r, onde

G = 6,7x10-11

N.m2 é a constante de gravitação universal e r a distância entre as massas m1 e m2. Todavia, a equação (3)

vale sempre (se a força for conservativa!).

Aplic. 6: Um carrinho está parado no ponto A de uma montanha

russa quando começa a descer. Desprezando as forças dissipativas,

qual, será a velocidade do carrinho em B. R: 17,9m/s

Potência - É a variação da energia por unidade de tempo: P = W/t Unidade: J/s = Watt (W)

Aplic. 7: Uma pessoa empurra um bloco de pedra de 20kg, a partir do repouso, com uma força constante de 30N

durante 4 segundos. Despreze atritos.

(a) Qual o deslocamento do bloco nos 4s ? (b) Qual o trabalho realizado pela pessoa? (c) Qual a potência usada pela

pessoa?

R: a) 12m; b) 360 J; c)90 W

Aplic. 8: Considere que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o solo na aplicação anterior é 0,2. Qual o

trabalho para a pessoa deslocar o bloco a mesma aceleração.

R: 840 J

Aplic. 9: Mostre que a potência necessária para uma força F manter uma massa com velocidade v é : P= F.v

R: 40N, 400 W

Aplic. 10: Um carro usa toda sua potência de 60hp para subir uma serra a 18km/h. Qual a força de atrito entre os pneus

do carro e a pista? Dado: 1hp = 750W

R: 9,0x103N

Aplic. 11: Qual a energia em joules consumida por uma casa que consome 150kW.h em um mês?

R: 5,4x108 J

A

B 20m

4m


18

Exercícios

1) Uma criança brinca num balanço. A figura mostra o balanço na posição de máximo afastamento da posição de

equilíbrio. Determine a velocidade da criança quando ela passa pela posição de equilíbrio (a) desprezando o atrito e (b)

considerando uma perda de 25% na energia devido às forças dissipativas.

Dado: sen37o=0,6

R: (a) 2,8 m/s ; (b) 2,4 m/s

2) Qual a energia térmica liberada no sistema de freios de um trem de 1,0x107kg que freia para diminuir sua velocidade

de 30m/s para 10m/s. Despreze todas as forças que também podem diminuir a velocidade do trem.

R: 4x109J

3) A energia potencial acumulada numa mola é dada por (1/2)kx

2, onde k é uma constante característica da mola e x

sua deformação (em qualquer sentido). Suponha que uma massa de 4,0 g seja colocada na extremidade de uma mola

que é comprimida de 10,0 cm. A constante da mola é 103 N/m. Se soltarmos a mola, qual a velocidade máxima atingida

pela massa?

R: 50m/s

37o2,0m


19

CAPÍTULO III

PARTE 2

Equilíbrio térmico

Quando vários corpos que estão em temperaturas diferentes são colocados em contato, a energia térmica, que

chamaremos de calor, se redistribui entre os corpos passando dos mais quentes para os menos quentes até que a

temperadora de todos eles seja a mesma. Os corpos que perdem calor têm suas temperaturas reduzidas e os que ganham

calor têm suas temperaturas aumentadas. A quantidade Q de calor ganho ou perdido por um corpo quando sua

temperatura varia de é:

Q = m.c.

onde m é a massa do corpo é a variação de temperatura e c o calor específico do material de que é constituído o

corpo.

O calor específico é característica do material e é dado, usualmente, por cal/g.oC, embora no Sistema Internacional seja

dado por J/kg.oC (usar

oC ou K (Kelvin) não muda nada no valor do calor específico porque a variação de 1

oC é igual à

variação de 1K). Se um material tem um calor específico de x cal/g.oC, então 1g desse material necessita de x calorias

para que sua temperatura varie de 1oC.

Tabela 4:Alguns calores específicos a 20oC (salvo menção contrária) de alguns materiais e gases a pressão constante

Material c (cal/goC ou kcal/kg

oC)

Alumínio 0,217

Cobre 0,092

Porcelana 0,26

Madeira 0,4

Água (15oC) 1,000

gelo (0oC) 0,5

Vapor d´água (100oC) 0,482

Corpo humano 0,83

Ar 0,25

Define-se a capacidade térmica de um sistema como: ΔΘ

QC . A capacidade térmica é dada por cal/

oC, J/

oC etc. A

capacidade térmica é usual para caracterizar um sistema, i.é, um conjunto de materiais.

Observe que para um material, a capacidade térmica pode ser dada por: C = m.c

Calor latente de mudança de estado (L): É o calor necessário para mudar de estado a unidade de massa do material:

m

QL

Unidade: U(L)= cal/g ; J/kg etc.

Tabela 5: Algumas temperaturas de fusão (Tf), ebulição(Te) e alguns calores latentes de fusão (Lf) e evaporação(Lv)

Material Tf(oC) Lf(cal/g ou kcal/kg

)) Te(

oC) Lv (cal/g ou kcal/kg)

Oxigênio -218,8 (54,2K) 3,3 -183(90K) 51

Etanol -114 25 78 204

Água 0 80 100 540

Alumínio 327 90 2450 2720

Cobre 1083 32 2300 1211

Os líquidos podem permanecer líquidos mesmo abaixo da temperatura de solidificação. É o fenômeno da superfusão

que ocorre principalmente em capilares, como os capilares que levam a seiva das plantas. Por isso algumas delas podem

permanecer vivas mesmo a temperaturas muito abaixo de zero.

R: 8,5 g/min


20

Aplic. 12: Um copo metálico de 20 cal/oC está em equilíbrio térmico com 100g de água a 20

oC nele contida. Um bloco

de Al com 200g de massa é mergulhado na água. Desprezando as trocas de calor com o ambiente, determine a nova

temperatura de equilíbrio.

R:55oC

Dilatação

Os materiais variam suas dimensões quando aquecidos. Essa variação, em geral, é um aumento de comprimento (área e

volume) quando a temperatura aumenta e vice-versa.

O aumento de volume para uma mesma massa faz com que a densidade dos materiais ( = massa/volume) diminua com

o aumento da temperatura. Todavia isso nem sempre ocorre. A água tem uma dilatação irregular. Seu volume diminui

quando a temperatura aumenta de 0oC a 4

oC. Quando se solidifica a água aumenta seu volume causando a quebra de

garrafas de vidro, por exemplo (ver gráficos abaixo).

Fig. 6: Gráfico da

densidade e do volume

de certa massa de água

em função da

temperatura. Observe

que o mínimo de

volume corresponde a

um máximo de

densidade. Na

realidade, a variação

da densidade da água

entre 0 e 4oC é muito

pequena (0,015%), mas

tem consequências

importantíssimas.

É interessante mencionar ainda o baixo coeficiente de dilatação térmica do quartzo. Isto permite usá-lo para a confecção

de ampolas que podem ser levadas a altas temperaturas e resfriadas rapidamente sem risco de trincas. Além disso, o

quartzo não funde. Ele amolece e, dependendo de sua pureza, pode ser usado em temperaturas de até 1500oC .

Aplic. 13: Dê algumas consequências, para a vida, do alto calor específico da água e de sua dilatação irregular.

Transporte de calor

O transporte de calor se faz por três processos: Condução, convecção e irradiação.

Tipicamente, temos: Em sólidos condução;

Em fluidos convecção;

No vácuo irradiação

Pode ocorrer mais de um processo simultaneamente. Por exemplo, condução e convecção nos líquidos, convecção e

irradiação nos gases etc.

Na condução, temos:

Q/t = kA(T1-T2)/d , onde Q/t é a taxa de calor transferido de uma

face, na temperatura T1, para outra face, na temperatura T2, de um

paralelepípedo onde d é a distância entre as faces e A é a área da seção reta do

paralelepípedo. k é a constante de condutividade térmica do material. K é dado

por cal/s.m.oC ou J/s.m.

oC

Fig 7: Condução de calor numa barra

T2 T1

A

d

4oC 0

oC 100

oC

Densidade

(g/cm3 )

Volume

1,0 g/cm3

Volume

densidade

Vmin


21

Tabela 6: Constante de condutividade térmica de alguns materiais

Material k (J/s.m oC)

Prata 420

cobre 380

Alumínio 200

Aço Inox 53

água 0,56

Tecidos Humanos sem sangue 0,2

Lã de vidro 0,025

Ar 0,023

Na irradiação, temos: Q/t = eA(T14-T2

4) , onde Q/t é a taxa de calor irradiado por um corpo de área A e

temperatura absoluta T1 para um meio cuja temperatura absoluta é T2. A emissão de radiação dos corpos depende de um

fator e chamado emissividade que varia de 0 a 1 dependendo da superfície do corpo. O corpo negro perfeito tem

emissividade 1 assim como o branco perfeito tem emissividade zero para a luz visível. Para radiação infravermelha, as

pessoas têm emissividade em torno de 0,97 independente da cor da pele. Finalmente, é uma constante que vale

5,67x10-8

J/s.m2K

4 (constante de Stefan-Boltzmann)


22

Exercícios

Obs: Para a resolução dos problemas use as tabelas dos capítulos anteriores se for necessário.

1) Duas barras iguais, uma de cobre outra de alumínio, têm uma de suas extremidades soldadas. A região da solda é

aquecida e as duas extremidades são mantidas à mesma temperatura. Qual a razão entre as potências escoadas pelas

duas barras.

R: 1,9

3) Numa caixa de isopor existe 100g de água a 10oC. Um pedaço de 300g de um metal desconhecido a 50

oC é colocado

dentro da caixa que é fechada. Após algum tempo, verifica-se que a temperatura da água dentro da caixa estabilizou-se

a 26oC. Desprezando as perdas de calor, qual deve ser o material desconhecido.

R: Alumínio

4) Um fogareiro, que fornece uma potência de 500W, é utilizado para aquecer 100g de gelo fundente contido numa

caneca de massa desprezível. Considerando que a eficiência do processo é 80%, qual o tempo necessário para fundir o

gelo e levar a água resultante à ebulição.

R: 187,5s

FI092 Capítulo IV Mauro M.G. de Carvalho

23

CAPÍTULO IV

FLUIDOS

Hidrostática

Pressão média: É a razão entre a força normal a uma superfície de área A e a área A considerada:

P= F/A

Unidade: u(P)= u(F)/u(A) = N/m2 = Pascal (Pa)

Existem outras unidades: Torr, atm, bar, mm de Hg, kgf/cm2, pound/sq.inch (psi) etc. Todas são usadas até hoje. A

tabela 1 dá os fatores de conversão entre as vátias unidades. A unidade torr não está na tabela porqie é igual ao mmHg.

A pressãopode ser diferenteda média numa determinada região, mas não estudaremos estes casos m detalhe. Portanto

usaremos sempre o termo pressão para a pressão média.

Tabela1:Fatores de conversão de unidades de pressão

Pa(N/m2) mmHg Bar Psi(lb/in2) atm

1 Pa(N/m2) 1 7,5x10-3

1x10-5

1,45x10-4

9,87x10-6

1 mmHg 1,33x102 1 1,33x10

-3 1,93x10

-2 1,32x10

-3

1 Bar 1x105 750 1 14,5 0,987

1 Psi (lb/in2) 6,89x103 51,71 6,89x10

-2 1 6,8x10

-2

1 atm 1,013X105 760 1,013 14,7 1

Na tabela acima o caminho é da linha para a coluna. Por exemplo: 1 atm = 14,7 Psi; 1Bar = 750 mmHg etc

Princípio de Pascal: A pressão aplicada a um fluido confinado se transmite integralmente a todos os pontos do fluido.

Sistemas hidráulicos:

1

1

22

2

2

1

1

2

22

1

11

FA

AF

A

F

A

F

A

FP

A

FP

Portanto, se A2>A1 então F2>F1

Aplic. 1: Na figura acima os cilindros 1 e 2 têm raios de 2,0 cm 20,0 cm respectivamente. Determine a força que deve

ser feita no cilindro 1 para equilibrar um peso de 4,0 ton no cilindro 2. R:4000N

P1

P2

P

P1+P

P2+ P

F1 F2


24

Aplic. 2: O êmbolo de uma seringa tem 2,0 cm de diâmetro. Que força deve ser exercida sobre ele para injetar um

remédio numa veia cuja pressão é 10,0 mm de Hg. R: 2,3x10-5

N

Pressão devido a uma coluna de fluido.

No fundo da coluna a força será : F = mg = V.g, onde = m/V é a densidade do fluido

A pressão será; P = F/A = .V.g /A= A.h/A, onde A é a área da base do tubo.

Portanto:

Observe que em todos os casos abaixo a pressão no fundo dos recipientes é a mesma:

Aplic. 3: Determine em atmosferas a pressão no fundo de um lago de 10m de profundidade. A pressão atmosférica

sobre o lago é 0,94 atm e a aceleração da gravidade 9,8 m/s2. R: 1,91 atm

Aplic. 4: Uma pessoa pode conseguir uma pressão de 0,8 atm sugando um tubo. Se um tubo tem uma extremidade

imersa num refrigerante, a que altura acima do refrigerante (basicamente água) pode uma pessoa conseguir tomá-lo

sugando a outra extremidade do tubo? R: 2 m

Pressão total e pressão manométrica : A pressão medida por um manômetro tipo bourdon é a pressão manométrica:

Pabs = Pman + Patm

Manômetro de Bourdon

h

P = .h.g


25

Empuxo

Princípio de Arquimedes: Qualquer objeto imerso num fluido sofre uma força de baixo para cima igual ao peso de

fluido deslocado

E = F1 – F2 = P1.A – P2.A = f.h.A.g = f Vig

Ou seja: E = f Vi g

Aplic. 5: Uma pedra de densidade 2,7x103 kg/m

3 pesa 80 kg. Determine seu peso aparente quando dentro d’água.

R: 29,6 kg

Aplic. 7: A densidade do gelo é a 0oC é 0,917 g/cm

3 e da água a 0

oC é 0,970 g/cm

3. Determine a fração do volume e

gelo que fica imersa quando um bloco de gelo flutua na água. R: 95%

Tabela2: Densidade de alguns materiais

Sólidos em g/cm3 ou 10

3 kg/m

3

Alumínio 2,70

Latão 8,44

Cobre 8,8

Ouro 19,3

Ferro 7,8

Chumbo 11,3

Prata 10,1

Vidro 2.6

Granito 2,7

Madeira 0.3 – 0,9

Gelo(0oc) 0,917

Osso 1,7

Líquidos

Água (4oC) 1,000

Plasma sanguíneo 1,03

Sangue 1,05

Água do mar 1,025

Mercúrio 13,6

Álcool etílico 0,79

Glicerina 1,26

Azeite 0,92

Gases

Ar 1,29x10-3

Oxigênio 1,43x10-3

Metano 0,72x10-3

Vapor d´água(100oC) 0,60x10

-3

F1

F2

h


26

Exercícios

1) Um bloco de madeira de densidade 0,7 g/cm3 flutua na água (H20 = 1,0 g/cm

3). Qual a porcentagem do volume total

do bloco fica submersa?

R: 70%

2) Qual a força necessária para manter uma bola de borracha de 20,0 cm de diâmetro é submersa em água. Despreze o

peso da bola e faça g = 10 m/s2. O volume de uma esfera é dado por V = 4R

3/3.

R: 41,9 N

3) Pra afundar uma lata de massa desprezível com 8,0cm de diâmetro e 5,0cm de altura num líquido desconhecido, é

necessário colocar um peso mínimo de 800g no seu interior. Determine a densidade do líquido. R: 796 kg/m3

4) Um tubo contendo de mercúrio ( = 13,6x103 kg/m

3) está ligado a um balão de

vidro conforme mostra a figura. Determine a pressão dentro do balão.

R: 0,73 atm

20 cm

FI092 Capítulo V Mauro M.G. de Carvalho

27

CAPÍTULO V

ONDAS

Ondas transmitem energia. Existem ondas mecânicas, que necessitam um meio para se propagar, e eletromagnéticas,

que se propagam (até melhor) no vácuo.

Exemplo de ondas mecânicas – Som

Exemplo de ondas eletromagnéticas – luz

Quanto ao sentido da vibração, uma onda pode ser

Fig. 1: A- onda longitudinal e b- onda transversal

Fenômenos ondulatórios

Reflexão, Refração, Difração e Interferência

Fig 2 : Reflexão, refração e transmissão de uma onda Fig3.: Difração: Ela é maior em fenda fina

Velocidade, comprimento de onda e período (frequência).

Período (T) : É o intervalo de tempo mínimo para a repetição do efeito ondulatório.

Frequência (f) : É o número de repetições na unidade de tempo. Se o período é medido em segundos, a frequência é

medida em Hertz (Hz). A frequência e o período se relacionam através de: f = 1/T

Comprimento de Onda (): É a distância percorrida pela onda em um período.

reflexão

refração

transmissão

v

v

A - Onda longitudinal

B – Onda Transversal


28

Na difração, a abertura provocada por uma fenda de largura a é dada por sen(/2) = /a

Aplic.1 Considere uma fenda de 5,0m de largura. Determine a abertura de uma radiação vermelha ( = 780nm) e de

um radiação violeta ( = 380nm) que passam por essa fenda. R: 18º e 8,7o

Espectro Eletromagnético

Fig.4: Espectro eletromagnético

LUZ VISÍVEL

Máxima sensibilidade do olho humano

On

da

s lo

ng

as

On

da

s d

e rá

dio

Mic

roo

nd

as

infr

av

erm

elh

o

ult

rav

iole

ta

Ra

ios

X

Ra

ios

103

100 10

-3 10

-6 10-9

10-12

780nm 380nm

v

v

A partir das definições acima, temos::

f = 1/T

= vT

v = f


29

Polarização da luz: Normalmente a luz vibra em todos os planos que contêm sua linha de propagação, conforme

mostra a figura 5.

Fig. 5: Em cada instante o campo elétrico ( e o magnético) vibram em direções diferentes. A luz é não polarizada,

Ao passar por certos materiais - denominados polarizadores – e ao sofrer reflexões, um plano de vibração prevalece

sobre os outros e a luz torna-se parcialmente ou totalmente polarizada, com forme mostra a figura 6. .

Fig.6: O polarizador só deixa passar a luz que vibra numa direção tornando-a totalmente polarizada.

A luz refletida sob certo ângulo (ângulo de Brewstwer) é altamente polarizada. Isso ajuda muito no aumento de

contraste em microscopia óptica e também na fabricação de óculos para sol.

Se um polarizador é seguido de outro – chamado analisador – a luz que sair polarizada do polarizador terá sua

intensidade diminuída pelo analisador de acordo com o ângulo entre eixos de polarização. Se essa diferença for 90º,

dizemos que polarizador e analisador estão cruzados e não sai luz pelo analisador. Se o ângulo entre seus eixos é

então a intensidade I que sai do analisador pode se comparada com a que entra (Im) pela lei de Malus : I = Imcos2

A figura 7 ilustra este efeito

(a) (b) (c)

Fig. 7: (a) Polarizado e analisador com eixos paralelos. A superposição dos dois fica mais ecura dvido à cor dos

vidros. (b) Polarizador e analisador cruzados. Nenhuma luz passa na superposição entre eles. (c) acrescentou-se um

polarizador que forma uma ângulo de 45o com os outros dois.

Sentido de propagação da onda

Direções de propagação do campo

elétrico em quatro instantes

distintos

Sentido de propagação da onda Direções de propagação do campo

elétrico em quatro instantes

distintos

polarizador

Luz polarizada

Eixo do polarizador


30

Espectro sonoro

Fig5: Espectro Sonoro

Aplic.2: Determine a faixa de comprimentos de onda audíveis. A velocidade do som no ar é 340m/s.

R: 17m e 17mm

Aplic.3: Determine a faixa de frequências visíveis. A velocidade da luz no ar 3x108m/s.

R: 3,8x1014

Hz e 7,9x1014

Hz

Aplic.4: Uma radiação tem comprimento de onda 6000Å no ar. Determine seu comprimento de onda num meio cujo

índice de refração é 1,5. R: 4000 Å

Intensidade: Define-se a intensidade de uma onda como a razão entre a potência incidente numa área e a área

considerada.:

I = P/A

A unidade de intensidade é o W/m2. Na prática usa-se muito o W/cm

2.

Aplic.5: Mostre que a intensidade de uma onda a uma distância R de sua fonte pontual é dada por I = P/4R2, onde P é

a potência da fonte. Calcule a intensidade de luz a 2m de uma lâmpada de 100W. R: 2 W/m2

Nível de intensidade: Define-se como = 10 log(I/Io). Apesar do nível de intensidade não ter unidade, criou-se u

nome para ele. É o Decibel, cujo símbolo é o dB. Note que também pode-se escrever = 10log(P/Po)

Fig.8: A figura mostra a curva 10.logx versus x. Note que ela não aumenta linearmente. Nosso ouvido comporta-se de

forma parecida

Faixa

audível Infrasom Ultrasom

20 Hz 20000 Hz

Máxima sensibilidade do ouvido humano

(3000 a 5000Hz)

200 400 600 800 10000

5

10

15

20

25

30

.10 log( )x

x


31

Tabela 1: O efeito da intensidade do som no homem é mostradod na tabela abaixo

Nível

Do

Som (dB)

Intensidade

(W/m2)

Efeitos

0 1X10-12

Limite de audição para 1000Hz

10 1X10-11

Farfalhada

20 1X10-10

Sussurro a 1m de distância

30 1X10-9

Casa em silêncio

40 1X10-8

Música suave

50 1X10-7

Escritório

60 1X10-6

Conversa normal

70 1X10-5

Escritório barulhento trânsito intenso

80 1X10-4

Rádio alto, Aula

90 1X10-3

Dentro de um metrô. Danos após exposição prolongada

100 1X10-2

Fábrica, sirene a 30m. Danos para uma exposição de 8h/dia

110 1X10-1

Danos para uma exposição de 30min/dia

120 1 Hard Rock em ambiente fechado. Limite de dor. Danos em minutos

140 1X102 Avião a jato a 30m. Dor forte

160 1X104 Rompimento do tímpano


32

Interferência: As amplitudes das ondas se somam algebricamente onde elas se encontram. A isso se chama

Interferência.

As figuras abaixo mostram a interferência entre dois pulsos iguais. À esquerda, temos uma interferência construtiva e ,à

direita, uma destrutiva.

Fig.9: Interferência construtiva (a) e destrutiva (b) entre dois pulsos

No caso de ondas periódicas alguns casos importantes ocorrem. Se a defasagem entre elas é /2 ou um número ímpar

de/2 (também dizemos ondas de fase invertidas), a interferência dá uma anulação:

Fig.10: Interferência destrutiva entre duas ondas progressivas iguais

/2

A

B

A+B

(a) (b)


33

Se a defasagem é zero ou um número inteiro de ou um número par de, a interferência dá um reforço :

Fig.11: Interferência construtiva entre duas ondas progressivas iguais

Existem muitas aplicações da interferência, tanto luminosa como acústica. Para a luminosa podemos citar a medida de

espessura (ou variação da) de filmes finos. Em acústica, podemos citar a ultra-sonografia de uso corrente na medicina.

Ondas Estacionárias

Interferência de ondas periódicas iguais e deslocando-se em sentidos opostos dá como resultado uma Onda

Estacionária. A característica deste tipo de onda é ter pontos igualmente espaçados cuja amplitude é sempre zero e,

exatamente entre esses pontos, pontos cuja amplitude da onda é máxima e igual ao dobro da amplitude das ondas que a

Geraram. A figura abaixo mostra duas ondas (vermelha e azul) que se deslocam em sentidos contrários formando uma

onda estacionária.

Fig.12: Formação de uma onda estacionária

A

B

A+B


34

Aplic.6: Num violão as cordas são fixas nas duas extremidades. A velocidade de uma onda numa corda está ligada à

tração T na corda e à sua densidade linear (massa por unidade de comprimento) através da equação

μ

Tv . Considere uma corda que tem 1,00 g de massa por metro de comprimento. Se usarmos esta corda num violão

cuja distância entre os pontos fixos das cordas é 65,0 cm, qual deverá ser a tração sobre ela para que vibre na nota C

(264Hz) no seu modo fundamental. R: T = 117,8 N

Batimento

A interferência entre duas ondas periódicas de frequências próximas e deslocando-se no mesmo sentido dá como

resultado uma onda de frequência igual à média entre as das duas ondas e uma amplitude modulada com seus valores

máximos (em valor absoluto) ocorrendo a uma frequência igual a diferença entre as frequências das duas ondas. Essa

frequência é chamada de frequência de batimento entre as duas ondas.

Fig.13: Formação do batimento. Na figura acima, onda X1 tem frequência f1, a onda X2 tem frequência f2 e a onda

X1+X2 tem frequencia (f1 + f2)/2 e sua amplitude é modulada numa frequência f1 - f2. As linhas verdes mostram a

posição dos picos das ondas e o resultado da interferência.

Aplic.7: Determine a frequência de batimento entre duas notas musicais de 400Hz e 450Hz.

R: 50Hz

Efeito Doppler

0 10 20 30 40 50 601

0

1

X1( )x

x

0 10 20 30 40 50 601

0

1

X2( )x

x

0 10 20 30 40 50 601

0

1

X1( )x X2( )x

x


35

Uma fonte de ondas em movimento muda o comprimento de onda (frequência) da onda emitida, mas não sua

velocidade. Quando uma fonte se aproxima de um observador parado, o comprimento de onda (a frequência) diminui

(aumenta). Quando a fonte se afasta do observador parado, o comprimento de onda (a frequência) aumenta (diminui).

Fig. 14: Um observador ouve freqüências diferentes se está na frente ou atrás de uma fonte sonora em movimento

Na figura 14, vemos que o comprimento de onda quando a fonte está parada (à esquerda) é o mesmo em todas as

direções; já com a fonte em movimento, o comprimento de onda é menor para o observador A de quem a fonte se

aproxima, e maior para o observador B, de quem a fonte se afasta.

O comprimento de onda l1 vale:1= (vs –vf)T = (vs –vf)/f (1)

O observador A percebe a frequência da onda como: fA = vs/1 (2)

Substituindo (1) em (2), temos: )vv(

vff

fs

sA

Analise esta equação e entenda porque o observador B percebe uma frequência:

)vv(

vff

fs

sB

Portanto, o sinal + ou – no denominador será usados conforme a fonte afasta-se ou aproxima-se do observador

respectivamente.

E quando a fonte está parada e o

observador em movimento?

A velocidade do som percebida pelo

observador é : v = vo+ vs (1)

Portanto para ele: v = fA , onde fA é a

frequência que percebe. Mas = vs/f,

sendo f a frequência verdadeira do

som. Então podemos escrever:

v = vsfA/f

Substituindo v em (1), temos:

vsfA/f = vo + vs

Ou seja: fv

vvf

s

soA

Analise esta equação e entenda que quando o observador se afasta da fonte: fv

vvf

s

osA

A B

v

Fonte sonora

parada

vs vo


36

Ouvido humano

Fig.15: Uma vista interna do ouvido humano

Fig. 16: Sensibilidade do ouvido humano. O percentual refere-se a quantos por centos de pessoas seguem a curva.


37

Exercícios:

1) A velocidade do som é mais rápida nos sólidos do que nos gases. Por quê? E o que dizer da velocidade do som nos

líquidos?

2) Qual a intensidade do som num ponto onde o nível sonoro é zero?

R: 10-12

W/m2

3) Qual o fator mais importante para uma nota musical quebrar um cristal, a frequência ou a potência?

R: A frequência

4) Qual o tempo necessário para um ciclo completo de vibração no ultra-som de 2,0 MHz?

R: 5,0x10-7

s

5) A velocidade de uma onda numa corda (ou fio) é dada por

T

v , onde T é a tração e a massa específica linear

da corda (massa por unidade de comprimento). Uma corda de aço de 0,5 mm de diâmetro é esticada entre o cavalete e a

pestana de um violão. A distância entre esses dois elementos é 65 cm e a densidade do aço é 7,86 g/cm3. Determine a

tração com que deve ser esticada a corda para que ela emita a nota C (264 Hz) no seu modo fundamental.

R: 181 N

6) Se a nota C (264 Hz) e D (297Hz) de um violão são tocadas simultaneamente, qual será a frequência dos batimentos?

R: 33 Hz

7) Quais as frequências de ressonância de um tubo de 34,0 cm fechado numa das pontas e aberto na outra?

R: (2n+1)x250 Hz

8) A figura mostra um tubo semi-aberto no qual existia um pó muito fino quando entrou em ressonância com uma onda

sonora. Os pontos a, b, c e d são pontos onde o pó ficou acumulado devido ã ressonância. Qual o comprimento de onda

da onda sonora?

R: 3400Hz

9) Um caminhão desloca-se numa estrada com a buzina ligada. Nominalmente a buzina emite um som de 800 Hz, mas

um observador parado na estrada observa 750 Hz. (a) O caminhão aproxima-se ou afasta-se do observador? (b) Qual a

velocidade do caminhão?

R: Afasta-se a 81,6km/h

11) A trompa de ouvido, muito usada pelos deficientes auditivos até o início do séc. XX, aumenta a intensidade do som

devido à diferença de área entre a parte que capta o som e o tímpano. Qual o ganho, em decibéis, de uma trompa com

uma entrada de 884 cm2 se a área do tímpano é 0,45 cm

2 e a eficiência da trompa para transmitir o som é 5%.

R: 20dB

5 cm 5 cm 5 cm 5 cm

a b c d

FI092 Capítulo VI Mauro M.G. de Carvalho

38

CAPÍTULO VI

ELETRICIDADE

A carga elétrica

Fig. 1: Experiência que demonstra a existência de dois tipos de carga

A experiência demonstra a existência de dois tipos de cargas que, convencionalmente formam denominadas positiva e

negativa.

As características principais das forças entre cargas são:

1) A força pode ser de atração ou repulsão;

2) A força entre duas cargas tem a direção linha que as une;

3) A força que duas ou mais carga exercem sobre uma carga q é a soma vetorial das forças que cada uma das

cargas exerceria sobre q se não existissem as outras (Princípio da Superposição).

4) Vale a lei da ação e reação entre duas cargas

Lei de Coulomb

O módulo da força entre duas cargas é:

2

21

r

qqKF

Onde K = 9x109 u(SI), q1 e q2 são as cargas em Coulomb(C) e r a distância entre as cargas. O valor de K está ligado ao

meio e pode ser expresso como: K=1/(4o) , onde o é a permissividade elétrica do meio (8,85x10-12

u(SI) no vácuo).

A direção da força é a direção da reta que as une e o sentido, depende se a força é atração ou repulsão.

ATRAI

ATRAIREPELE

REPELE

RESULTADO PARCIAL DA EXPERIÊNCIA

ATRAÇÃO !

CONTATO NÃO HÁ FORÇA


39

Exemplos:

(a) (b)

Fig. 2: Atração e repulsão entre cargas e força resultante(azul) na carga C (positiva) usando o princípio da

superposição.

Aplic. 1: Calcule a força sobre a carga q1= 2,0 C nas figuras abaixo:

3,0C 3,0C -2,0C

3,0C

q1

3,0m 3,0C

q1

1,5m

1,0m 3,0m

3,0C

1,0m 3,0m

a)

c)

b)

d)

q1

q1 q1

+ -

+ +

+

- C

+


40

Campo Elétrico:

A intensidade de campo elétrico é definida como: E = F/q

A unidade de E é o N/C ou V/m.

Aplic. 2: Calcular o campo elétrico num ponto A distante r de uma carga q positiva. Faça uma figura para mostrar o

vetor Campo Elétrico. Repita o exercício para uma carga q negativa. R: E = kq/r2

Aplic. 3: O campo elétrico numa certa região é dado por E = 100 (V/m) na direção e sentido do eixo x. Calcule o

trabalho para deslocar uma carga de 2 C (a) de (1,0) a (5,0); (b) de (3,0) a (0,0); (c) de (2,0) a (2, 7). As coordenadas

estão em metros.

R: (a) 8x10-4

J ; (b) -6x10-4

J; (c) zero

Aplic. 4: Na figura abaixo identificar os pontos onde o campo é mais intenso, onde ele é menos intenso e onde ele é

zero.

Diferença de Potencial (ddp): Def: VA-VB = VAB = WAB /q onde WAB é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a

carga q durante o deslocamento de q entra A e B.

Unidade de VAB é o Volt

Essa definição só é possível porque o campo elétrico é conservativo.

Aplic. 5: Mostre que o campo elétrico também pode ser medido em V/m.

Aplic.6: Duas placas metálicas iguais de 25cm2 são colocadas faca-a-face a uma distância de 1cm. Uma ddp de 100V é

aplicada entre as placas. Qual o campo elétrico entre elas. Pode-se demonstrar que o campo entre duas placas é dado,

neste caso, por /o, onde é a densidade de carga das placas (carga por unidade de área) e o é a permissividade

elétrica do meio (no vácuo (e no ar) o = 8,85x10-12

u(SI)). Calcule a carga nas placas. R: 104V/m; 2,2x10

-10C

Aplic. 7: Um elétron é acelerado entre dois pontos entre os quais a ddp é 1000V. Considerando que inicialmente sua

velocidade era de 10m/s, calcule sua velocidade final. A massa do elétron é 9,1x10-31

kg. R:1,9x107m/s

Propriedades específicas dos condutores em equilíbrio elétrico.

O campo eletrostático dentro de um condutor é zero.

O potencial elétrico dentro de um condutor é constante, logo a ddp entre dois pontos no seu interior é zero.

Cuidado! O potencial dentro do condutor não é ZERO e sim constante.

Capacitores: São armazenadores de energia.

Símbolo:

As cargas nas placas dos capacitores são sempre iguais e de sinais opostos. O campo elétrico no seu interior é : E = /

onde é a permissividade do meio. A razão k = o é chamada constante dielétrica do meio.


41

Capacitância: A capacitância de um capacitor é definida por: C = Q/V

Onde Q é a carga na placa positiva do capacitor e V a diferença de potencial entre suas placas.

A unidade de C é o Farad (F).

Aplic. 8: Calcule a capacitância de uma capacitor de capacitor cujas placas têm área A , distam d entre si e , entre elas

existe um dielétrico de constante k. R: C=koA/d

Aplic. 9: Aplica-se uma tensão de 100V num capacitor de 20F. Qual a carga no Capacitor. R: 2x10-3

C

Aplic. 10: Quando um capacitor está carregado, a energia nele armazenada é dada por U= CV2/2. Calcule a energia

armazenada no capacitor do exercício acima. R: 0,1 J

Aplic. 11: Considere um capacitor carregado e duas lâmpadas, uma de 20W e outra de 100W. Ao se ligar a lâmpada de

100W no capacitor, ela acende e apaga logo depois. Explique o porquê desse comportamento. O que aconteceria se a

lâmpada ligada fosse a de 20W.


42

A corrente elétrica

No caso de corrente constante, matematicamente i é definido por: i = q/t

Unidade: A unidade de i é Coulomb/segundo que é chamada Ampère (A).

Para haver corrente é necessário haver:

1) Cargas livres (ou quase).

2) Um Campo elétrico (ou, o que vem a ser a mesma coisa, uma ddp).

Resistência eletrica : É a resistência que um condutor opõe à passagem de corrente elétrica. É dada pela razão entre a

ddp e a corrente no condutor. R = V/I (volt/Ampère)

A unidade de R é o Ohm ()

Lei de Ohm: É constante a resistência de um condutor.

A resistência elétrica de um material é diretamente proporcional a seu comprimento (L) e de suas características

intrínsecas e inversamente proporcional à área de sua seção reta (A).

A

LρR

é a resistividade do material e é medido em Ohm-m ou Ohm-cm. O inverso da resistividade é a condutividade que é

medida em Ohm-1

-cm-1

A resistividade (condutividade) está ligada ao material. É uma característica intrínseca de cada

material..

Resistor : É um elemento passivo que dissipa energia elétrica. Símbolo:

Aplic. 12: Determine a ddp num resistor de 100k percorrido por uma corrente de 1mA. R: 100V

Aplic. 13: Calcule a ddp nos resistores da figura abaixo onde VAB = 120V. R:24 V e 96V

Gerador: É um elemento que transforma algum tipo de energia em energia elétrica. Símbolo

Força Eletromotriz (FEM): É a energia por unidade de carga que um gerador fornece às cargas. E = W/q

A unidade de FEM é o Volt.

Os geradores têm uma resistência interna que dissipa parte da energia que é obtida da sua fonte de energia. A potência

útil de um gerador é, portanto: Pu = Pf - Pp , onde Pu é a potência útil que um gerador pode fornecer, Pf é a potência

fornecida pelo sua fonte de energia (química, mecânica, solar etc) e Pp é a energia dissipada no gerador (internamente).

Energia e potência elétrica

Se V é a ddp entre dois pontos, então, pela própria definição de V , W = qV., mas sendo q = it, temos:

W = V.i t

Evidentemente, a potência será: P = Vi

Obs: Como a potência é definida por P=W/t , temos que W = P.t. Portanto, se multiplicarmos a potência por

qualquer unidade de tempo, teremos energia. Uma unidade de energia muito usada é o kW.h.

1kWh é a energia gasta (ganha) durante 1 hora por um aparelho que dissipa (absorve) 1kW. Em Joules essa energia

corresponde a:

- +

A B

2 8


43

1Kw.h= 1000Wx3600s = 3,6 x 106J

A conta de luz: A energia gasta em sua casa é medida em kWh (quilowatt hora). Se o ferro de engomar que dissipa

500W fica ligado durante 1 hora, a energia consumida é de 500Wh. Um chuveiro elétrico que dissipa 3000W, consome

3000Wh (3kWh) em 1hora. A companhia de luz cobra cada kWh que você gasta em seus equipamentos elétricos!

Aplic. 14: Num gerador a ddp entre seu terminal positivo e negativo é 10V quando a corrente é 10A. Qual sua potência

útil. R: 100W

Aplic. 15: Mostre que a potência dissipada numa resistência pode ser dada por : P = Vi = Ri2 = V

2/R

Aplic. 16: Se a resistência interna da bateria da aplicação 16 é 0,20, qual sua FEM? R: 12V

Aplic. 17: Qual a resistência de uma lâmpada de 60W-120V? R: 240

Aplic. 18: Qual a corrente num chuveiro elétrico de 2200W-220V? R: 10ª

Aplic. 19: Se você tem que escolher entre um chuveiro elétrico de 2200W-120V e outro de 2200W-220V, qual

escolheria.


44

Magnetismo

Existem dois pólos - norte e sul - que não podem existir separadamente. A divisão de um imã gera outros imãs sempre

com os dois pólos

Figura 3 – Imãs divididos continuam imãs com dois pólos

A passagem de uma corrente elétrica num fio faz aparecer um

campo magnético. Isso pode ser constatado pelo movimento de uma agulha magnética colocada sobre o fio, conforme

mostra afigura ao lado.

Figura 4 - Desvio da agulha magnética devido à corrente no

fio.

O fio também sofre ação do campo magnético como pode ser constatado com a experiência mostrada na figura

Figura 5 – O condutor sobe quando é

colocado num campo magnético

demonstrando que aparece uma forçca

na corrente devido ao campo magnético

N S

S

S

N

N

N

N

N

S

D

S

D

S

D

S

D

N

D

Sem corrente

i

F


45

Figura 6 – O imã em movimento faz aparecer uma corrente na espira circular.

Em resumo, campo magnético variando dentro de um circuito fechado gera corrente elétrica

Do que acabamos de ver, a conclusão é óbvia: Magnetismo e eletricidade estão intrinsicamente ligados!

Força sobre carga em campo magnético

Características:

1. Força magnética só se manifesta em cargas em movimento;

2. A força magnética é perpendicular à velocidade da carga e ao campo magnético (ou

seja, ao plano formado por v e B). Portanto, a força magnética não muda o módulo da

velocidade ou, em outras palavras, não muda a energia cinética da carga.

3. O módulo da força magnética vale F= qvBsenPortanto, se a velocidade tem a

mesma direção do campo, a força magnética é nula.

Figura 7 – Os três vetores v,B e F.

Regra da mão direita:

Esta é uma regra útil para determinar a direção

de um dos três vetores (v, B ou F) conhecendo

os outros dois.

Figura 8 – A posição da mão direita representando v B e F

N S v

V

B

F


46

Num plano, se uma força é sempre normal à velocidade o movimento é circular uniforme. Portanto, se uma partícula

carregada entra numa região de campo magnético uniforme e perpendicular a sua velocidade, seu movimento será

circular e uniforme. Vejamos algumas propriedades desse movimento.

Partícula carregada em campo magnético uniforme

A força que faz a partícula girar é a força centrípeta que, no caso é a força magnética

Fc = FM

onde Fc = m v2/R e FM = qvB sen90

o , logo:

mv2/R = qvB

R = mv/qB (Não precisa decorar!)

Observe que mv é o momento da partícula, ou seja, p = mv. Logo,

podemos escrever:

R = p/qB (Não precisa decorar!)

Se expressarmos a energia cinética da partícula em função do

momento, o raio da trajetória poderá ser dado em função da energia

cinética e da massa da partícula. Isto é muito útil para os

espectrômetros de massa com campo magnético (ver exercício 6 da

lista 4).

Figura 9 – Trajetória de uma partícula carregada

(no caso, positiva) num campo magnético uniforme

Uma importante característica do movimento da partícula é o seu período. Por definição, o período T é o tempo

necessário para a partícula completar uma volta:, portanto, como sua velocidade escalar é v, temos: vT = 2R , ou seja,

v = 2R/T. Substituindo esta expressão para v na primeira equação para R, temos :

T = 2m/qB

ou ainda, lembrando que =2/T

= qB/m (Não precisa decorar!)

que é chamada frequência ciclotrônica.

Observe que nem o período nem a frequência ciclotrônica dependem da velocidade da carga.

Força sobre um fio que conduz uma corrente i.

A corrente num fio é o deslocamento de cargas. O sentido convencional da corrente é o de cargas positivas deslocando-

se. Logo é de se esperar que um fio sofra ação de

campo magnético se estiver conduzindo corrente.

Esta ação é uma força dada por:

F = iBLsen

(não precisa decorar!)

Figura 10 – Fio num campo magnético

R

F

v

L

i

B

F


47

Campo devido a um fio.

O campo magnético em torno de um fio retilíneo, infinito (mas nem tanto!) e conduzindo uma corrente i é dado por:

2ππ

io

μB , onde o é a permeabilidade magnética do vácuo

(ar) e vale: o = 4 x 10-7

u(SI). (Não precisa decorar!)

A direção do campo é perpendicular ao fio e o sentido é o do

fechamento da mão direita que tem o polegar apontando no

mesmo sentido da corrente (isto precisa saber!), conforme

mostra a figura 12.

Figura 11 – Campo devido a um fio

Figura 12 - Regra da mão direita para campo de um fio

Aplic. 22: Dois fios paralelos e distantes d entre si conduzem correntes iguais a i1 e i2. Determine a força por unidade de

comprimento entre eles:

a) no caso das correntes terem o mesmo sentido. R: Atração - F/l = oi1i2/2r

b) no caso das correntes terem sentidos opostos . R: Repulsão - F/l = oi1i2/2r

i

r


48

Campos magnéticos importantes (não precisa decorar as equações!)

Fluxo de campo uniforme através de uma superfície plana: É o produto da componente do campo na direção normal

à superfície pela área da superfície.

= B.A.cos

Lei de Faraday

A força eletromotriz induzida num circuito fechado é numericamente igual ao valor absoluto da taxa de variação de

fluxo magnético no circuito.

dt

dφE

A corrente induzida é tal que cria um campo oposto à variação do fluxo.

Aplic. 23: Determine a força eletromotriz induzida numa espira quadrada de 2 cm de lado quando o campo magnético

uniforme e perpendicular a seu plano varia de acordo com a equação:

a) B(t) = 2t R: E = 2V

Aplic. 24: No exercício anterior, representar o sentido da corrente.

i

B

Campo no centro de uma espira

B= oi/2R

Campo no interior de um solenoide. É aproximadamente

uniforme e vale: B = oni, onde n é o número de espiras por

unidade de comprimento

i

i B

B


49

Exercícios

I- ELETRICIDADE

1) Qual a massa de um grupo de prótons cuja carga total é 1C? Qual a carga total de 1kg de prótons?

dado: mp = 1,67x10-27

kg

R: 1,04 x 10-8

kg; 9,6 x 107 C

2) A massa de um elétron é 9,1x10-31

kg e a do próton 1,67x10-27

kg. A constante de gravitação universal vale

6,67x10-11

u(SI). calcule a razão entre as forças de atração gravitacional e elétrica entre um próton e um elétron.

3) Calcule a força sobre uma carga de 10-10

C no pontos A da figura ao lado.

R: 0,176 N para baixo.

4) O campo elétrico num determinado ponto vale 300V/cm na direção e sentido do eixo X. Qual a

força que atuaria numa carga de –2mC colocada no ponto considerado.

R: 60 N na direção x e sentido –x

5) A Figura abaixo representa um campo elétrico, através de linhas de força, e quatro pontos .

a) Em qual ou quais dos pontos o campo elétrico é mais intenso?

b) Em qual ou quais dos pontos o campo é horizontal?

c) Em qual ou quais dos pontos o campo pode ser considerado

uniforme?

d) Desenhe o vetor força para uma carga positiva colocada em D;

e) Idem para uma carga negativa colocada em B.

R: a) C; b) A e C; c) A

6) Considere os pontos A, B e B’ do campo elétrico uniforme de 1000V/m representado abaixo.

a) Qual a força elétrica que atua numa carga de 20 C em A ? E em B?

b) Onde a energia potencial da carga é maior, em A ou em B?

c) Onde o potencial é maior, em A ou em B?

d) Responda aos itens a e b considerando uma carga de –20 C.

e) Determine a diferença de potencial ente B e B’.

f) Desenhe uma equipotencial que passe por A e outra que passe por B.

R: a) 2,0x10-2

N no sentido das linhas de força; b) Em A ; c) Em A; d) 2,0x10-2

N no sentido oposto ao das linhas de

força; e) 500 V; f) zero

A

B

0,50 m

B'

A B

C

D

-4 C

2,5m

0,5m

4 C

A


50

7) Considere um sólido qualquer (uma batata, por exemplo) carregado com carga q positiva. Qual o campo para pontos

a uma distância r do sólido, r sendo muito maior que a maior dimensão do sólido.

R: É o mesmo que o de uma carga pontual q no lugar do sólido.

8) Num tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de 16kV.

Qual a energia cinética final do elétron? Qual sua velocidade?

Dado: me = 9,1 x 10-31

kg

R: 16 keV; 7,5x107 m/s

9) Duas placas metálicas de 10x10 cm2 são colocadas face-a-face e ligadas numa fonte de tensão fixa de 500V. Se à

distância entre as placas é 10 cm, qual o campo elétrico entre elas?

R: 5000 V/m

10) Experiência de Millikan -A massa m de uma gotícula de óleo pode ser facilmente calculada conhecendo seu

diâmetro e a densidade do óleo . Suponha que uma gotícula carregada com N elétrons (o que também não é difícil se

fazer em laboratório) entra, por cima, numa região entre duas placas paralelas, horizontais e submetidas a uma ddp V

que pode ser variada. Um operador (em geral, aluno) observa, através de uma luneta, as gotículas passarem e tenta, até

conseguir, parar uma. Conhecendo a massa m da gotícula, a distância d entre as placas, a ddp V aplicada e a aceleração

local da gravidade qual a carga da gotícula? Como, com muitas repetições desta medida pode-se chegar ao valor da

carga do elétron?

R: q = mdg/V

11) Nos trechos de circuitos abaixo, calcular :

a) A corrente em cada resistor;

b) A ddp em cada resistor;

c) A ddp entre A e C

d) A potência dissipada em cada resistor

R: a) 3A (6) , 6A(3) e 9A (8); b) 18V (6 e 3e 72V; c) 90V; d) 54W (6), 108W (3) e 648W (8)

12) Na figura, cada lado do hexágono é um fio de resistência 1,0 e C é um capacitor de

20 F.

a) Uma tensão de 15 V é aplicada entre A e D. Calcule a corrente em cada fio;

b) Nas mesmas condições, determine a carga no capacitor;

c) Nas mesmas condições, determine a ddp ente B e C;

R: a) 5,0 A; b) 3,0x102 C; c) 5,0 V

d

.

.

.

. .

.

.

.

. pulverizador

ionizador

Fonte de tensão

variável

Olho do aluno

lâmpada

B C A I=9A

3 6

8

A

B C

E

D

F

C


51

II- MAGNETISMO 1) Uma partícula (2 prótons + 2 nêutrons) com energia de 1,0MeV penetra num campo magnético uniforme de

2000G. A velocidade da partícula é perpendicular ao campo.

(a) Determine o raio do círculo descrito pela partícula; R: 0,72m

(b) Determine o tempo para a partícula descrever meia volta. R: 6,5x10-7

s

Mp ≈ Mn ≈ 1,67 x 10-27

kg

2) Um feixe de elétrons de 10keV penetra numa região de campo

magnético uniforme perpendicular a esta folha. A trajetória do feixe é

mostrada abaixo. Determine:

(a) O(s) sentido(s) do(s) campo(s);

R: Entrando na folha no 1o arco e saindo no segundo

(b) O(s) módulo(s) do(s) campo(s);

R: 200G

3) Na figura abaixo, calcule a força (módulo, direção e sentido) na espira de 40x60 cm2 percorrida por uma corrente de

100mA. O módulo de B é 0,5T. R: 2x10 –2

N

4) Acelerado por uma ddp V, um feixe de ions positivos de massa m penetra num campo magnético uniforme B

conforme mostra a figura abaixo. Os ions têm carga +e (ionização simples). (a) Determine D. (b) Determine D para

ions de ionização dupla. Considere íons de H , C e N, todos com carga +e. Para um campo magnético de 0,5T, e ddp

V = 10kV, calcule D para os três casos.

R: (a) 21

me

2V

B

2D (b)

21

me

V

BD

2

(c)DH= 5,0 cm; DC = 17,4 cm; DN = 18,7 cm

5) Na figura abaixo, o campo magnético cresce. Qual o sentido da corrente induzida?.

3,4cm

3,4cm

40 cm

60 cm

D Canhão de íons

capÍtulo i medidas e algarismos significativosmauro/profis/apostila i.pdf · exemplos: 0,02 1 ......

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