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Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos

MEDIDAS, ERROS

E

ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

FÍSICA EXPERIMENTAL III

“ A Ciência está escrita nestegrande livro colocado semprediante dos nossos olhos – oUniverso – mas não podemos lê-losem aprender a linguagem eentender os símbolos em termosdos quais está escrito. Este livroestá escrito na linguagemmatemática ” – Galileu Galilei

José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville

1. Introdução – O Método Científico

2. Algarismos Significativos

3. Precisão do Instrumento de Medida

4. Prefixos do SI e Notação Científica

5. Critérios de Arredondamento

6. Operações com Algarismos Significativos

MEDIDAS, ERROS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

7. Teoria de Erros

8. Propagação de Erros


3

Definir e/ou indentificar o problema

Formar uma hipótese

Fazer observações (Medidas

de grandezas físicas)Testar hipótese/Fazer experimentos

Organizar e analisar dados

(Tratamento de Dados)

Os experimentos e observações

suportam a hipótese?

Sim!

Fazer conclusõesPublicar resultados

NãoErro nos experimentos?

Novos experimentos



1. INTRODUÇÃO – O MÉTODO CIENTÍFICO

O Método Científico

4




Algumas definições importantes: grandeza física

1) Grandeza física : é o conceito que descreve qualitativae quantitativamente as relações entre as propriedadesobservadas no estudo da natureza.

a) Qualitativa : uma grandeza descrevequalitativamente um conceito porque para cada noçãodiferente pode haver (pelo menos em princípio) umagrandeza diferente e vice-versa.

a) Quantitativa : uma grandeza descrevequantitativamente um conceito porque o exprime em formade um binário de número e unidade.

5

a) Grandezas fundamentais (independentes): massa,comprimento e tempo, que como se sabe formam o SI(Sistema Internacional).

As grandezas físicas são divididas em:

b) Grandezas derivadas (dependentes): correnteelétrica, diferença de potencial elétrico, resistência elétrica, etc…




Grandeza física

Exemplos : corrente elétrica, diferença de potencialelétrico, resistência elétrica, capacitância, comprimen to,tempo.

6

Então, surge a pergunta: como medir uma grandezafísica?

Medir uma grandeza física significa compará-la comoutra, da mesma espécie, definida como unidade, paraverificar a relação numérica entre elas.




Como medir uma grandeza física?

Toda grandeza física deve ser passível de ser medida.

L=4,6 pés

7

Toda medida traz consigo erros intrínsecos, isto éassociados ao processo de medição.



Medidas e erros experimentais


Qual o valor da medida do volumedo líquido dentro da proveta?

É 17 mL?

Como definir cientificamente ovalor deste volume?

É 18 mL?

8



Medidas e erros experimentais: medidas elétricasanalógicas


Qual o valor da medida de diferença de potencialelétrico fornecido pelo voltímetro abaixo?

É 40 V?

Como definir de formacientífica o valor desta ddp?

É 45 V?

9



Medidas e erros experimentais: medidas elétricas digitais


Qual o valor da medida de diferença de potencialelétrico fornecido pelo voltímetro abaixo?

É 3,999 V?

Qual é a precisão destamedida?

Qual a confiança nestamedida?

10

Assim, a toda medida experimental associamos umERRO.

G ⇒ Grandeza

Este ERRO experimental deve fazer parte do resultadoda medição.



Apresentação das medidas e seus erros e unidades


ΔM ⇒ Erro da medida

M ⇒ Medida U ⇒ Unidade

G = [M(G) ± ∆M)] U

11

V = (17,7 ± 0,5) mL



Exemplos da apresentação de medidas


17 mL < V < 18 mL45 V < V < 46 V

V = (42 ± 2) V

12

Em medidas diretas o valor desconhecido da grandeza écomparado com o valor padrão.

L = 4,57 cm

Não levando em conta a medida do erro experimental,qual o comprimento do pedaço de madeira?



Medidas diretas


13

Já em medidas indireta as mesmas são realizadasefetuando-se operações matemáticas com os resultados dasmedidas diretas.

Qual a área do pedaço de madeira?



Medidas indiretas


A área do pedaço de madeira é calculada a partir dasmedidas de comprimento e largura do mesmo.

14

L = 4,57 cm

A = 4,54 cm × 0,43 cm = 1,9522 cm2

Individualmente, as medidas de L e H apresentam erros.



Medidas indiretas: o cálculo


HLA ⋅= H = 0,43 cm

A = 2,0 cm2

Consequentemente, a medida indereta da área Atambém possui erros!!!

15

A person with a

watch knows what

time it is.



Filosofia básica no laboratório


A person with two

watches is never

sure.








7. Teoria de Erros



17

Todos os números obtidos em uma medida,acompanhados de um último duvidoso são chamados dealgarismos significativos .

Ou seja, na prática algarismos significativos de umamedida são aqueles que temos plena certeza , mais umduvidoso .

O algarismo duvidoso está diretamente ligado à escalado instrumento de medida...

…logo, algarismo duvidoso é um indicativo da escala doinstrumento de medida.



2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

Como distinguir algarismos significativos

18

V = (17,7 ± 0,5) mL



Exemplos de algarismos significativos: medidor analógico

V = (42 ± 2) V


(17,7 mL): três A.S. (42 V): dois A.S.

19




Exemplos de algarismos significativos: medidor digital

V = (3,999) V

3,999 V: 4 A.S.

t = (27) °°°°C

27 °°°°C: 2 A.S.

32.30C

32.330C

20

O número de algarismos significativos de uma medidadepende do instrumento de medida usado.




Algarismos significativos e instrumentos de medida

21

dm

cm

mm




Algarismos significativos: exemplos de réguas

Réguas com diferentes graduações fornecem a mesmamedida com número de algarismos significativos distintos.

22

Instrumento de Medida L Quantidade de Algarismos

Significativos Obtidos

régua decimetrada

régua centimetrada

régua milimetrada




Réguas e o número de algarismos significativos

dm

cm

mm

23



régua decimetrada 1,1 dm

régua centimetrada 11,3 cm

régua milimetrada 113,4 mm

Suposição…”chute”: Depende do olho do medidor!




Medindo o comprimento da barra com cada régua...

dm

cm

mm

24



régua decimetrada 1,1 dm ?

régua centimetrada 11,3 cm ?

régua milimetrada 113,4 mm ?




O número de algarismos significativos em cada caso

dm

cm

mm

25



régua decimetrada 1,1 dm 2

régua centimetrada 11,3 cm 3

régua milimetrada 113,4 mm 4




O número de algarismos significativos em cada caso é...

dm

cm

mm

26



régua decimetrada

régua centimetrada

régua milimetrada




Mais um exemplo...

dm

cm

mm

27




dm

cm

mm



régua decimetrada 1,0 dm ?

régua centimetrada 10,0 cm ?

régua milimetrada 100,0 mm ?

O número de algarismos significativos em cada caso

28




dm

cm

mm

O número de algarismos significativos em cada caso é...






29

?




Agora é a hora de vocês pensarem um pouco...

2) 4,54 cm

Qual o comprimento da barra acima.

1) 4,5 cm

3) 4,547 cm

30




Vamos pensar mais um pouco...

31

A. 0,030 m 1 2 3

B. 4050 litros 2 3 4

C. 0,0008 g 1 2 4

D. 3,00 m 1 2 3

E. 0,8340 3 5 4




E agora, múltiplas alternativas...

32

A. 0,030 m 1 2 3

B. 4050 litros 2 3 4

C. 0,0008 g 1 2 4

D. 3,00 m 1 2 3

E. 0,8340 3 5 4




E as respostas são...








7. Teoria de Erros



34

A precisão da medida de uma grandeza física refere-se areprodutibilidade desta medida quando a repetimos sob asmesmas condições.

Já o termo acurácia refere-se a quão próximo a medidarealizada está do valor real, previamente adotado comoreferência



3. PRECISÃO DO INSTRUMENTO DE MEDIDA

Algumas definições

Em outras palavras, quando falamos de precisãoestamos falando de quão próximo as medidas estão uma daoutra quando as repetimos sob as mesmas condições.

35




Distinção entre precisão e acurácia: acurado e preciso

Seja uma pessoa em um jogo dedardos, testando a sua precisão eacurácia.

No caso em questão eleapresenta alta acurácia e altaprecisão.

A alta acurácia está associadaao fato de todos os seus tirosestarem próximos ao centro do alvo.

Já a alta precisão está associada ao fato de todos osseus tiros estarem próximos entre si, com baixa dispersão.

36




Distinção entre precisão e acurácia: não acurado e preciso

No caso em questão eleapresenta baixa acurácia e altaprecisão.

A baixa acurácia está associadaao fato de todos os seus tirosestarem distantes do centro do alvo.

Já a alta precisão estáassociada ao fato de todos os seustiros estarem distantes entre si,diminuindo a sua dispersão.

37




Distinção entre precisão e acurácia: acurado e não preciso

No caso em questão eleapresenta alta acurácia e baixaprecisão.

A alta acurácia está associadaao fato de todos os seus tirosestarem próximos ao centro do alvo.

Já a baixa precisão estáassociada ao fato de todos os seustiros estarem distantes entre si,aumentando a sua dispersão.

38




Distinção entre precisão e acurácia: não acurado e nãopreciso

Por fim, no caso em questão eleapresenta baixa acurácia e baixaprecisão.

A baixa acurácia está associadaao fato de todos os seus tirosestarem distantes do centro do alvo.

Já a baixa precisão estáassociada ao fato de todos os seustiros estarem distantes entre si.

39




Distinção entre precisão e acurácia: conclusão

Observamos agora asquatro situações e analisamosas diferenças entre elas.

A precisão e a acurácia deuma medida estão associadasaos tipos de erros cometidosdurante o processo de medição.

40

Erros podem ser divididos em erros sistemáticos eerros aleatórios.

a) Erro sistemático: acontece quando todos osvalores medidos são muito altos ou muito baixos do que ovalor real.

b) Erro aleatório: na ausência de erro sistemático,ocorre quando alguns valores são muito maiores e outrosmuito menores do que o valor real.




Tipos de erros cometidos durante a medição

41

Preciso e acurado

Preciso mas não acurado




Erros: precisão e acurácia no laboratório

42

Erro sistemático

Erro aleatório




Classificação dos erros segundo as medidas realizadas

43








Instrumentos de medida e precisão

dm

cm

mm


Qual a régua mais precisa? Por quê?

44








dm

cm

mm


É a régua milimetrada, pois tem maior número de A. S..

Definição de instrumento de medida mais preciso

45




Medida e escala do instrumento de medida

O resultado de uma medida fornece informação sobre aescala do instrumento adotado para a medição.

Considere a medida apresentada abaixo.

Perguntamos: qual a escala da régua usada nestamedição.

cmL 3,11=

46




A função do algarismo duvidoso

Para responder a esta pergunta devemos olhar para oúltimo algarismo significativo à direita do númeroapresentado.

Como vimos, este último algarismo significativo é oalgarismo duvidoso.

L = (17,3) cm

Desta forma, concluímos que a régua usada écentimetrada pois o algarismo duvidoso está na primeiracasa decimal , que é a casa indicadativa de milímetro.

47




Mudanças no uso de unidades

Esta mesma medida pode ser escrita com a unidadedada em metros.

Perguntamos agora para o número apresentado naforma L = 0,113 m qual é a escala da régua utilizada?

Será que, por apresentarmos a medida em m estamosnecessariamente usando agora uma escala em metros?

mcmL 113,03,11 ==

48




Conclusões finais

A mudança na escala (de cm para m) não altera aquantidade de algarismos significativos obtidos na medida .

O número 11,3 cm = 0,113 m indica que temos 0 m, 1 dm,1 cm e 3 mm.

Isto indica que o algarismo duvidoso está na casa dosmm, e que temos certeza até a casa dos cm.

Logo, podemos concluir sem sombra de dúvida quecom a medida 11,3 cm = 0,113 m, a escala usada é acentimetrada.

49




E para finalizar.... Um cartoon...








7. Teoria de Erros



51



4. PREFIXOS DO SI E NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Relembrando...

Abaixo mostramos uma tabela com os principaisprefixos usados no SI.

52

Recapitulando: a mudança de unidades de uma medidade uma grandeza física altera a quantidade de algarismossignificativos obtidos na medida.




A regra geral da notação científica

18,7 dm ≠≠≠≠ 1870 mm 18,7 dm = 187××××10 mm

53




A conveniência da notação científica

A notação científica é uma forma conveniente deescrever números muito grandes ou muito pequenos.

Em notação científica qualquer número pode ser escritocomo o produto de um número real entre 1 e 10 vezes onúmero 10 elevado a uma dada potência (número inteiro).

Seja, por exemplo o número 215; vamos escrevê-lo emnotação científica!!

101015,210015,2215 ××=×=21015,2215 ×=

54




A conveniência da notação científica

Observe que no caso do número 215, movemos avírgula duas posições para a esquerda, e assim o expoenteda potência de dez é dois.

Seja, agora o número 0,00215; vamos escrevê-lotambém em notação científica!!

310

115,2

101010

115,2

1000

115,200215,0 ×=

×××=×=

31015,200215,0 −×=

55




d = 30 dm →→→→ d = 30××××105 µµµµm

Sejam as medidas abaixo, as quais convertemos paramicrômetros.

Exemplos

d = 300 cm →→→→ d = 300××××104 µµµµm

d = 3000 mm →→→→ d = 3000××××103 µµµµm

Lembremos que o número antes da vírgula deve ser umnúmero entre real 1 e 10.

d = 30 dm →→→→ d = 30××××105 µµµµm →→→→ d = 3,0××××106 µµµµm

d = 300 cm →→→→ d = 300××××104 µµµµm →→→→ d = 3,00××××106 µµµµm

d = 3000 mm →→→→ d = 3000××××103 µµµµm →→→→ d = 3,000××××106 µµµµm

56




Exemplos

Digamos o número de A.S. dos números da tabelaabaixo.








7. Teoria de Erros



58

Se os algarismos desprezados em um resultadonumérico formarem números SUPERIORES a 5, 50, 500, 5000,50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior a osdesprezados deve ser AUMENTADO de uma unidade.



5. CRITÉRIOS DE ARREDONDAMENTO

Regra 1

Por exemplo, escreva o número abaixo com trêsalgarismos significativos.

5,379 5,379

Como o número à direita do duvidoso é 9 > 5, entãoarredondamos “para cima”!

5,38

59

Se os algarismos desprezados em um resultadonumérico formarem números INFERIORES a 5, 50, 500, 5000,50000, etc., o algarismo duvidoso imediatamente anterior a osdesprezados NÃO SE ALTERA .




Regra 2

Por exemplo, escreva o número abaixo com doisalgarismos significativos.

0,2413 0,2413

Como o número à direita do duvidoso é 13 < 50, entãoarredondamos “para baixo”!

0,24

60

Se os algarismos desprezados em um resultadonumérico formarem números IGUAIS a 5, 50, 500, 5000,50000, etc., deve-se proceder como segue:




Regra 3

a) Se o algarismo duvidoso imediatamente anterior àparte desprezada for IMPAR, deve ser AUMENTADO em umaunidade;

b) Se o algarismo duvidoso imediatamente anterior àparte desprezada for PAR deve ficar INALTERADO .(ZERO TAMBÉM É PAR!).

61Física Experimental III – Medidas, Erros e Algarismos Significativos



Regra 3: exemplo


1,9500 1,9500

Como o número à direita do duvidoso é 00, entãodevemos olhar para o número à direita deste duvidoso.

Como este número é ímpar (9 é impar!!), entãoarredondamos “para cima”, aumentando o númeroapresentado!

2,0




Regra 3: mais um exemplo


3,8400 3,8400

Como o número à direita do duvidoso é 00, entãodevemos olhar para o número à direita deste duvidoso.

Como este número é par (8 é par!!), então arredondamos“para baixo”, mantendo o número como apresentado!

3,8







MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

7. Objetivos da Disciplina

8. FEX3001 e o Curso de Engenharia Elétrica

Física Experimental III – Medidas e Algarismos Significativos








7. Teoria de Erros



65

Além disso, em inúmeras situações é necessário efetuaruma ou mais operações matemáticas com resultados demedidas obtidas com instrumentos de precisão diferentes.



6. OPERAÇÕES COM ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

Ideias gerais

Como vimos anteriormente o resultado de uma medidaindireta é efetuada utilizando-se operações matemáticas co mnúmeros obtidos de medidas diretas.

Há situações em que se podem obter medidas comdiferentes números de A.S. com um mesmo aparelho demedida.

66

O resultado da adição de várias medidas de uma mesmagrandeza física não pode ter maior número de algarismossignificativos, na sua parte decimal, do que a parte decimalmais pobre das parcelas.

25,2 uma casa decimal

+ 1,34 duas casas decimais

_______

26,54




Regra para adição e subtração

Resposta: 26,5 uma casa decimal

67

O resultado da adição de várias medidas de uma mesmagrandeza física não pode ter maior número de algarismossignificativos, na sua parte decimal, do que a parte decimalmais pobre das parcelas.

83,5 ml

+ 23,28 ml

_______

106,78




Mais exemplos

Resposta:

106,8 ml

865,9 ml

- 2,8121 ml

_________

863,0879 ml

Resposta:

863,1 ml

68




Pense um pouco...

A. 235,05 + 19,6 + 2,1 =

1) 256,75 2) 256,8 3) 257

B. 58,925 - 18,2 =

1) 40,725 2) 40,73 3) 40,7

69




E o resultado correto é...

A. 235,05 + 19,6 + 2,1 =

1) 256.75 2) 256,8 3) 257

B. 58,925 - 18,2 =

1) 40.725 2) 40.73 3) 40,7

70

O resultado da multiplicação de várias medidas nãopode ter maior número de algarismos significativos do que o“mais pobre” dos fatores.

= 23,4225 cm 3 = 23 cm 39,2 cm ×××× 6,8 cm ×××× 0,3744 cm




Regra para multiplicação e divisão

Ω=⋅×

=⋅ − 30,3

1540

1030,3

540,1

30,3

540,13 A

V

mA

V

Ω== 467667,466




Mais exemplos

=×=× cmcmcmdm 38,32834,1538,352834,1

2657892,51 cm=

27,51 cm=

72

A. 2,19 X 4,2 =

1) 9 2) 9,2 3) 9,198



Agora é com vocês...


B. 4,311 ÷ 0.07 = 1) 61,58 2) 62 3) 6××××10

C. 57,38 ÷ 2,1=

1) 27,3238 2) 27 3) 27,323

73

A. 2,19 X 4,2 =

1) 9 2) 9,2 3) 9,198




B. 4,311 ÷ 0.07 = 1) 61,58 2) 62 3) 6××××10

C. 57,38 ÷ 2,1=

1) 27,3238 2) 27 3) 27,323

E as respostas corretas são...

74

Regra geral: cada operação deve ser feita respeitandosua característica, priorizando-se as somas e subtraçõesem relação às multiplicações e divisões.




Regra para operações mistas

Regra do “bom senso”: o resultado final deve conter amesma quantidade de algarismos significativos que amedida direta mais pobre!




Exemplo

Considere que em um circuito RLC em série forammedidas as seguintes grandezas físicas: frequência f = 60Hz, indutância L = 18,91 mH, capacitância C = 15,42 µµµµF,resistência R = 173,0 ΩΩΩΩ. Determine a impedância Z destecircuito.

2

2

2

12

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+=

CfLfRZ

ππ

Ω×= 2104,2Z

josé fernando fragalli departamento de física – udesc ... · instrumento de medida. medidas,...

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