equações_fluxo carga

8/2/2019 Equaes_Fluxo carga

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Equaes de Fluxos de Carga (forma polar)

1. Equaes de fluxo de carga em linha de transmisso

Considere o circuito equivalente de uma linha de transmisso mostrado na

Figura 1.

As tenses nos ns ke m sokj

kk eVE=&

mj

km eVE=&

De acordo com a primeira lei de Kirchhoff, no km-se

shkmkmkm III &&& = (1)

)( mkkmkm EEyI&&&& = (2)

onde

kmkmkm jbgy +=& : Admitncia srie da linha

22

kmkm

kmkm

xr

rg

+= : Condutncia srie

22kmkm

km

km xr

x

b +

=

: Susceptncia srie

k

sh

km

sh

km EyI&&& = : Corrente atravs da capacitncia shunt da linha

sh

km

sh

km jby =& : Admitncia do ramo shunt, dada por2

shsh

km

cwb =

A potncia complexa que flui de kpara m

kmkmkmkmkmkm jQPSjQPS =+=

*&&

sh

kmysh

kmy

kmykmIkmI

mk

sh

kmI

Figura 1 Circuito equivalente de uma linha de transmisso

kkE mmE

mkI


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ou, em funo da tenso nodal e da corrente na linha

kmkkmkmkkm IESIES&&&&&& *** ==

Escrevendokm

I& em termos da potncia complexa conjugada

kmkkmkm

k

kmkm

k

kmkm IEjQP

E

jQP

E

SI &&

&&

&& *

**

*

=

== (3)

Substituindo (1) em (2) e o resultado em (3), chega-se equao

2*2 )( ksh

kmkmkkmkmkm EyEEEyjQP &&&& += (4)

Agora, substituindo os valores de kmy& , kE& , mE

& esh

kmy& em (4), resulta

22 ))(( ksh

km

j

mkkkmkmkmkm VjbeVVVjbgjQPmk ++= (5)

onde

kmmk =

Fazendo mkmkj

jsene mk += cos em (5) e resolvendo-a, obtm-se os fluxos de

potncia na linha de transmisso de kpara m

kmkmmkkmkmmkkmkkm senbVVgVVgVP = cos2

kmkmmkkmkmmk

sh

kmkmkkm sengVVbVVbbVQ ++= cos)(2

Os fluxos de potncia de m para k,Pmke Qmkso obtidos analogamente

kmkmmkkmkmmkkm

m

kmk senbVVgVVgVP += cos2

kmkmmkkmkmmk

sh

kmkmmmk sengVVbVVbbVQ +++= cos)(2

As perdas de potncia ativa e reativa (perdas tcnicas) na linha k-m so dadas,

respectivamente, pelas somas ( mkkm PP + ) e ( mkkm QQ + )

222 )cos2( mkkmkmmkmkkmmkkm EEgVVVVgPP

&& =+=+

2222222 )()cos2()( mkkmmk

sh

kmkmmkmkkmmk

sh

kmmkkm EEbVVbVVVVbVVbQQ&& +=++=+


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2. Equaes de fluxo de carga em transformador

As equaes de fluxos de potncia em transformador so obtidas a partir domodelo adotado para o transformador, que, comumente, dividido em dois:

transformadorem fase e fora de fase ou defasador.

2.1. Transformador em fase

O modelo de um transformador em fase consiste de uma admitncia kmy& em srie

com um autotransformador ideal de relao 1:a, conforme mostrado na Figura 2.

Considerando o fato das tenses pE& e kE

& estarem em fase ( kp = ), a relao

do transformador ideal (sem perdas ativa e reativa), a, um escalar

aE

E

p

k 1=&

&

ou

aI

I

pm

km =&

&

Escrevendo as correntes nos dois lados do transformador em funo das tenses

resulta

)()( mkkmmpkmpm EEayEEyI&&&&&&& ==

mkmkkmmkkmpmkm EyaEyaEEayaIaI &&&&&&&&& ===2)( (6)

Por sua vez,

mkmkkmmkkmpmmk EyEyaEEayII&&&&&&&&& +=== )( (7)

Em concordncia com (6) e (7), um transformador em fase pode ser representado

por um circuito equivalente do tipo como est mostrado na Figura 3.

Figura 2 Modelo de um transformador em fase

a:1

mkIkmykmI

mkkkE

mmE

p

ppE

pmI


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Do circuito da Figura 3, retiram-se as equaes

mkkm EAEBAI&&& )()( ++= (8)

mkmk ECAEAI&&& )()( ++= (9)

Comparando (8) com (6) e (9) com (7), resulta

kmyaA &=

kmyaaB &)1( =

kmyaC &)1( =

onde

kmkmkm jbgy +=& : Admitncia srie, obtida do ensaio de curto-circuito do

transformador. Em que

22

kmkm

kmkm

xr

rg

+=

22

kmkm

km

km xr

x

b +

=

Deve-se observar que o valor assumido pora determina a natureza (capacitivaou indutiva) e os valores dos elementos A, B e C do circuito representativo do

transformador, conforme est resumido na Tabela 1.

B C

AkmI

mk

Figura 3 Circuito equivalente de um transformador em fase

kkE mmE

mkI


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Tabela 1 Valores e natureza de A, B e C em funo de a

B Ca AValor Natureza Valor Natureza

1kmy& 0

---- 0 -----

1 a kmy& >0Indutivo


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que no caso de um transformador ideal, so iguais

pm

j

km

j

k

p

pm

kmpmkm IeIe

E

E

I

ISS &&

&

&

&

&&& ==

==

*

**

A partir dos fasores das tenses obtm-se as correntes pmI& e kmI

&

)()( mkj

kmmpkmpm EEeyEEyI&&&&&&& ==

mkm

j

kkmmk

j

km

j

pm

j

km EyeEyEEeyeIeI&&&&&&&&& )()( +=== (10)

mkmkkm

j

mk

j

kmmpkmpmmk EyEyeEEeyEEyII&&&&&&&&&& +==== )()()( (11)

Observando essas equaes conclu-se que impossvel a determinao dosparmetros A,B e Cdo circuito equivalente, tendo em vista que o coeficiente de mE

&

em (10) diferente do coeficiente de kE& em (11). Assim, o transformador defasador no

pode ser representado por um circuito equivalente do tipo .

A potncia complexa conjugada *kmS& no transformador

)(***

mkm

j

kkmkkmkmkmkkm EyeEyEjQPIES&&&&&&&&

==

Resolvendo essa equao obtm-se os fluxos de potncia atravs de um transformadordefasador puro

)()cos(2

++= kmkmmkkmkmmkkmkkm senbVVgVVgVP

)()cos(2

+++= kmkmmkkmkmmkkmkkm sengVVbVVbVQ

3. Expresses gerais de fluxos de potncia em linha e transformador

As equaes gerais de fluxos de potncia em linhas de transmisso,

transformadores em fase e defasadores (puro ou no) so expressas como

)()()cos()()(2

++= kmkmmkkmkmmkkmkkm senbVaVgVaVgaVP

)()()cos()()()( 2 ++++= kmkmmkkmkmmksh

kmkmkkm sengVaVbVaVbbaVQ

A Tabela 2 fornece os valores particulares assumidos pelos parmetros a, esh

kmb para os casos de linhas de transmisso e transformadores.


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Tabela 2- Valores assumidos pora, e shkmb nas

equaes gerais de fluxos de carga

Dispositivo a shkmb

Linha de transmisso 1 0 ---

Transformador em fase --- 0 0

Transformador defasador puro 1 --- 0

Transformador defasador --- --- 0

4. Formulao matricial (anlise nodal)

Considere o sistema de potncia reduzido mostrado na Figura 5, onde seobservam a corrente injetada na barra 1, os fluxos de corrente nas linhas e seus

parmetros. O parmetro

sh

y1 representa a potncia reativa injetada na barra 1, atravsde um banco de capacitores, por exemplo.

Aplicando a primeira lei de Kirchhoff ao n 1, obtm-se

shshshsh IIIIIIII 14141313121211 &&&&&&&& +++= ,

ou, em funo das tenses nodais

114411411331131122112111 )()()( EyEEyEyEEyEyEEyEyIshshshsh &&&&&&&&&&&&&&&&&& ++++++=

Organizando essa equao, escreve-se

414313212114141313121211 )( EyEyEyEyyyyyyyIshshshsh &&&&&&&&&&&&&&& ++++++=

ou ainda

112y

14y

12I

13y

Figura 5 Injeo de corrente na barra 1 e fluxos de corrente nas linhas

13I1I

14I

shy12

shI12

shy13

shI13

shy1

shI1 sh

y14

shI14

2

3

4


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4143132121111 EYEYEYEYI&&&&& +++= (12)

onde

1414

1313

1212

141413131212111

yY

yY

yY

yyyyyyyY shshshsh

&

&

&&

&&&&&&&&

=

=

=

++++++=

Esses elementos constituem a primeira linha da matriz Ybar do sistema mostrado na

Figura 5.

Escrevendo a corrente 1I& em funo da potncia complexa conjugada

*

1

111

E

jQPI

&

&

= (13)

Substituindo (12) em (13)

414313212111*

1

11 EYEYEYEYE

jQP&&&&

&+++=

(14)

em que

kmkmkm jBGY +=&

, k=1 e m =1,..., 4 (15)

kj

kk eVE=& , k=1,...,4 (16)

Substituindo (15) e (16) em (17) e resolvendo a equao, obtm-se

)cos()cos()cos( 1414141441131313133112121212212

1111 senBGVVsenBGVVsenBGVVVGP ++++++=

)cos()cos()cos( 1414141441131313133112121212212

1111 BsenGVVBsenGVVBsenGVVVBQ +++=

Generalizando, as injees lquidas de potncias ativa e reativa em uma barra k

podem ser escritas na forma compacta

)cos(K

kmkmkmkm

m

mkk senBGVVP +=

)cos(K

kmkmkmkm

m

mkk BsenGVVQ =

onde K o conjunto formado pela barra kmais todas as barras ligadas a ela.

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