equações diferenciais estocásticas (simpep 2015)

Uma Iniciao s Equaes Diferenciais Estocsticas: discusses e insights sem minudncia matemtica

Uma Iniciao s Equaes Diferenciais Estocsticas: discusses e insights sem minudncia matemtica

Trabalho a ser apresentado, SIMPEP 2015, Bauru, So Paulo, BrasilApoio&Financiamento Universit degli Studi dellAquilaDipartimento di Ingegneria e Scienze dellInformazione e MatematicaVia Vetoio s.n.c. 67010 COPPITO (LAquila) Tel: 0862 43-3122/3006 Fax: 0862 43-3003

Jorge Guerra Pires, DoutorandoDepartamento: Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquilarea: BiomathematicsOutro: Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.

Trabalho possivelmente correlacionadosso Temtica 04 - Sala Netuno 6 - PESQUISA OPERACIONALTtulo:AGREGAO DE ESTADOS PARA O MODELO HIPERCUBOSub-rea:6.3 - Processos EstocsticosAutor(es): CAIO VITOR BEOJONE REGIANE MXIMO DE SOUZA

Apresentador(es): CAIO VITOR BEOJONE

Os porqus?Por que nossa realidade imprecisa, mas modelos usando clculo determinstico? Por que o clculo determinstico surgiu primeiro, mesmo hoje sendo to limitado? Por que a matemtica do clculo estocstico mais complicada? Por que as bases do clculo estocsticos tiveram de esperar pelo sculo passado?...... Por os Estados Unidos e Europa so superiores?

?

Pessoas?

Albert Einstein (1905)

Robert Brown (1827) v movimentos estranhos de polens

Louis Bachelier (1900)

Marian Smoluchowski (1906)

Por que?

Formas de modelagemVelocity Mass

Classical MechanicsRelativistic MechanicsRelativistic- Quantum MechanicsQuantum Mechanics?

Dimensions Mass Super String Theory?General Theory of RelativityClassical MechanicsQuantum Mechanics?

Por que?

Formas de modelagemTraditional Moderna Equaes diferenciais ordinrias, equaes diferenciais parciais, equaes diferenais integrais, equaes de diferenas, equaes com retardos, equaes aleatrias.....Aprendizado de mquina, redes neurais, lgica nebulosa, algoritmos evolutivos, simulaes ad hoc,....

Diferenas?

Funo exponencial, ex. Morte e nascimento.

Diferenas?

Funo exponencial, ex. Morte e nascimento.

Vdeos.

Uma Iniciao s Equaes Diferenciais Estocsticas: discusses e insights sem minudncia matemticaJ. G. Pires; Dipartimento di Ingegneria e Scienze dell'Informazione e Matematica, Universita degli Studi dell' Aquila; Institute of Systems Analysis and Computer Science, Biomathematics Laboratory, IASI-CNR, Rome.

Resumo.Entre as maiores revolues do sculo vinte jaz na mutao de como se v e modela a realidade que nos rodeia.

Iniciamos de uma realidade imprecisa, para ento uma realidade previsvel com cientistas como Laplace e Einstein, para ento uma realidade estocstica, com cientistas como Ito.

Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudana na forma de pensar que aconteceu nas cincias aplicadas e terica, dissertar-se sobre o clculo estocstico, produto do sculo vinte, mas com razes no sculo dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se mtodos tanto analticos como numricos para resolver problemas matemticos que nascem desta mentalidade.

Algumas referncias so deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho chamar a ateno de cientistas em geral para a rea de modelagem estocstica, e a motivao a aparente falta de interesse pela modelagem estocstica por cientistas de algumas reas, com engenharia de produo.

Palavras-chaves. Clculo Estocstico; Modelos Estocsticos; Evoluo do Pensamento cientifico; Histria da Cincia; Estatstica.


Entre as maiores revolues do sculo vinte jaz na mutao de como se v e modela a realidade que nos rodeia.





Resumo.




Neste artigo, disserta-se, mesmo que de maneira inacabada, a mudana na forma de pensar que aconteceu nas cincias aplicadas e terica, dissertar-se sobre o clculo estocstico, produto do sculo vinte, mas com razes no sculo dezesseis. Mostra-se alguns exemplos, apresenta-se mtodos tanto analticos como numricos para resolver problemas matemticos que nascem desta mentalidade. Algumas referncias so deixadas como ponto de partida para interessados no assunto. O escopo do trabalho chamar a ateno de cientistas em geral para a rea de modelagem estocstica, e a motivao a aparente falta de interesse pela modelagem estocstica por cientistas de algumas reas, com engenharia de produo.


Resumo.







Resumo.







Resumo.


1. Introduo Umas das maiores questes no-respondidas do sculo vinte - que continua at os tempos atuais - com razes no sculo dezoito e dezenove, encontrar-se na natureza da nossa realidade: determinstica ou estocstica?

Por determinstica, diz-se que ao se repetir um experimento vrias vezes- dado que se tome os devidos cuidados de se manter as mesmas condies (condies iniciais, parmetros, variveis de estado e etc.) para todos os experimentos-, obter-se-ia os mesmos valores.

Um caso fcil de se visualizar, mas tendencioso, equivale a resolver numericamente uma equao diferencial ordinria repetidamente, ou mesmo calcular timos de funes sobrepondo mtodos como gradiente, assumindo-se que se inicie sempre do(s) mesmo(s) valor(es) inicial(is).


1.2 Fatores histricos e filosficos As investigaes de Einstein no movimento browniano institui um dos pontos mais supinos na longa reminiscncia de averiguaes na teoria cintica do calor, hoje asilada no meio acadmico de forma visivelmente unnime, ou mesmo na estrada de Einstein no campo.

Seus artigos em movimento browniano ajudaram a estabelecer um novo campo, hoje considerado "moda" (tendncia), em estudos de flutuaes em fenmenos como um novo campo da fsica.

Seus mtodos, criados durante o percurso de suas pesquisas para estender o conceito de osmose a superfcies, abriram caminhos para a termodinmica estatstica, depois continuada por seu ex-aluno Leo Szilard e outros, e uma teoria geral de processos estocsticos (Stachel, 1998; traduo livre).










1.3 Organizao do trabalho Este trabalho dividido em duas partes, a primeira j apresentada, e a segunda sendo o restante do artigo. Na primeira parte, discusses de carter geral, tanto histricas quanto filosficas, foram posicionadas. Na segunda parte, procura-se mostrar pontos importantes do clculo estocsticos, mas ainda iniciais.

Leitores interessados em materiais completos, com discusses avanadas em modelos estocsticos, so convidados a consultar a literatura; existe um nmero considervel de materiais, por exemplo Scott (2013) uma referncia de livre acesso e "em termos simples". Infelizmente, a maioria so para "matemticos".

Um dos motivos de artigos como esse sendo apresentado chamar a ateno para a rea, para engenharias mais focadas em "sistemas reais", sendo assim provocando a publicao de livros sobre clculo estocstico para leitores mais focados a aplicaes, sem formao, ou mesmo interesse, em matemtica terica.










1.3 Organizao do trabalho Equaes diferenciais estocsticas constituem apenas um aspecto dos modelos estocsticos.

Por exemplo, modelos em Arena seriam um exemplo "simples"; nestes casos no se faz uso de equaes, mas sim de funes probabilsticas, com parmetros originados de experimentos em sistemas reais, observaes durante um perodo de tempo, cada simulao no surge de uma equao como em equaes diferenciais estocsticas, mas sim de um "sistema aleatrio", "roleta", como jogar uma moeda toda vez que se tem dvida, e valer-se do valor para decidir qual a prxima deciso a ser tomada.


1.3 Organizao do trabalho Equaes diferenciais estocsticas constituem apenas um aspecto dos modelos estocsticos.

Por exemplo, modelos em Arena seriam um exemplo "simples"; nestes casos no se faz uso de equaes, mas sim de funes probabilsticas, com parmetros originados de experimentos em sistemas reais, observaes durante um perodo de tempo, cada simulao no surge de uma equao como em equaes diferenciais estocsticas, mas sim de um "sistema aleatrio", "roleta", como jogar uma moeda toda vez que se tem dvida, e valer-se do valor para decidir qual a prxima deciso a ser tomada.


2. Alguns modelosModelo MatemticoObservaoEste processo padro em EDE e se chama Processo de OrnsteinUhlenbeck. O processo de OrnsteinUhlenbeck um processo estocstico que descreve a velocidade de uma partcula browniana com massa sobre a influncia de atrito. Este processo um processo de Markov, estacionrio e Gaussiano; essas propriedades facilitam a matemtico, formulao do problema matematicamente, este o nico processo estocstico conhecido com todas essas propriedades. Ainda mais, esse processo uma EDE linear, com soluo "em forma de receita de bolo".


2. Alguns modelosModelo MatemticoObservaoProcesso de OrnsteinUhlenbeck, segundo exemplo.


3. Exemplos de modelos com soluo analtica

O processo de OrnsteinUhlenbeck simples o suficiente para ser facilmente entendido, e geral o bastante para ser aplicvel a casos reais, posto desta forma, esse modelo ser discutido.

Equao diferencial estocstica linear


3. Exemplos de modelos com soluo analtica

Soluo fundamental.


3. Exemplos de modelos com soluo analticaProcesso de OrnsteinUhlenbeck.


4. Solues numricasComo no clculo determinstico, mas com grau de avano diferente, o calculo estocstico possui mtodos numricos, que so usados na maior parte do tempo.

Mesmo para o clculo determinsticos precisamos usar na maior parte do tempo mtodos numricos, mas a diferena se encontra na qualidade dos mtodos numricos; por exemplo, no existe Runge-Kutta para EDE, um mtodo relativamente simples, mas eficiente, largamente usado para resolver EDOs and EDPs.

Como no clculo determinstica, o mtodo mais simples o de Euler, chamado de Euler-Maruyama; deve-se proceder de forma equivalente ao clculo determinstico, mas em vez de aplicar a expanso de Taylor, faz-se uso da frmula de Ito. Uma segunda opo o mtodo de Milstein, que seria o equivalente dos mtodos Runge-Kutta. Ver Kloeden e Platen (1999) para discusses.










5. Estudo de caso: Preo de Estoque

Verso determinstica de uma exponencialVerso Estocstica de uma exponencial








6. Concluses e consideraes finaisNeste trabalho, discerniu-se sobre o clculo estocstico como rota de investigar sistemas estocsticos, que abundantemente so modelados empregando-se clculo determinstico.

O sucesso de cada modelagem, ou seja, determinstica ou estocstica, depende do quo a componente estocstica contribui para o processo como um tudo.

Modelos estocsticos podem nascer de sistemas determinsticos, por exemplo, quando se negligencia, por falta de conhecimento ou escolha, variveis de estado; ver Tabak (2004) para algumas discusses nesta direo.


6. Concluses e consideraes finaisInfelizmente, com o passar do tempo, menos se sabe da natureza que nos cerca, mas como alguns asseveraram, "estamos mais perdidos do que nunca, mas agora com um grau maior de astcia".

Modelagens estocsticas abrolham tanto da inpcia temporria e espacial de entender o processo posto diante de ns como pendncia terica, como o principio de Heisenberg.

Independente do motivo, o clculo estocstico, desenvolvido nomeadamente no sculo vinte e vinte e um, principalmente devido demanda de reformar o clculo clssico, tem sido uma opo. Outras formas existem, como "fora brutal", um exemplo so modelos em Arena, bem conhecido em engenharia de produo.


Referncias EDELSON, E. Gregor Mendel: And the Roots of Genetics. Oxford University Press, 1999. EINSTIEN, A. On the Motion of Small Particles Suspended in Liquids at Rest Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat. 1905. In: J. Stachel. Einsteins Miraculous Year. Princeton University Press: 1998. EVANS, L.C. An Introduction to Stochastic Differential Equations, Version 1.2, online: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.299.5323&rep=rep1&type=pdf. Acessado em Junho, 2015.KLOEDEN, P.E.; PLATEN, E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equation. Applications of Mathematics. Stochastic modelling and applied probability. Springer: 1999. PICCHINI, U. SDE Toolbox Simulation and Estimation of Stochastic Differential Equations with Matlab. 2007. Online: http://sdetoolbox.sourceforge.net/. Acessado em 20 Junho 2015.SCOTT, M. Applied Stochastic Processes in science and engineering. 2013. Online: http://www.math.uwaterloo.ca/~mscott/Little_Notes.pdf. Acessado em 20 Junho 2015.SEN, R.P. Operations Research: algorithms and applications. PHI Learning Private Limited: 2010. STACHEL, J. Einsteins Miraculous Year: Five Papers That Changed the Face of Physics. Princeton University Press: 1998. STIGLER, S. M. The history of statistics: the measurement of uncertainly before 1900. Present and Fellows of Harvard College: 1986. TABAK, J. Probability and Statistics: the science of uncertainty. The History of Mathematics. Facts on File Inc.: 2004. WINSTON, W. L. Operation Research: application and algorithms. Third edition, 1996.

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