engenharia sismica - caderno de exercicios [fctunl]

Universidade Nova de Lisboa Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento de Engenharia Civil

Licenciatura em Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006

Engenharia Sísmica Caderno de Exercícios

2005 2006 Caderno de Exercícios base 1

Exercício 1.1

Determinar os coeficientes nas formas trigonométrica simples e compacta da série de Fourier da função periódica de período T:

A 0 t T / 4x(t) A T / 4 t 3T / 4

A 3T / 4 t T

< <= − < < < <

0a 0= ; n

4A n 1, 5, 9, ...n

4Aa n 3, 7,11n

0 n par

= π= − = π

; nb 0= ; 12Tπ

ω = ; n

4A n imparc n

0 n par

= π

; n

n 1, 5, 9, ...2

n 3, 7,112? n par

π =

πφ = − =

forma trigonométrica simples

(n 1) / 21 1 1 1 1

n 1,3,5..

4A 1 1 1 4Ax(t) cos( t) cos(3 t) cos(5 t) cos(7 t) .... ( 1) cos(n t)3 5 7

∞−

=

= ω − ω + ω − ω + = − ω π π ∑

forma trigonométrica compacta

1 1 1 1

(n 1) / 21

n 1,3,5..

4A 1 1 1x(t) sin( t ) sin(3 t ) sin(5 t ) sin(7 t ) ....2 3 2 5 2 7 2

4A sin(n t ( 1) )2

∞−

=

π π π π = ω + + ω − + ω + + ω − + π

π= ω + −

π ∑

Exercício 1.2 Determinar os coeficientes na forma complexa da série de Fourier da função periódica de período T:

0 T / 2 t T / 4x(t) A T / 4 t T / 4

0 T / 4 t T / 2

− < < −= − < < < <

0d 0= ; n

A n 1, 5, 9, ...n

Ad n 3, 7, 11n0 n par

= ± ± ± π= − = ± ± ±

π

; n

A n impard n

0 n par

= π

; n

0 n 1,5,9,...n 3, 7,11

? n par

=φ = −π =


Exercício 2.1 Um pórtico plano de um tramo é assimilado a um oscilador linear de um grau de liberdade. Pretendendo-se estimar as suas características dinâmicas procedeu-se a um ensaio de tracção com libertação súbita do tirante de tracção. O pórtico foi deslocado 0.502 cm da sua posição de equilíbrio horizontal pela aplicação de uma força de 90 kN no tirante através de um macaco hidráulico. Os sucessivos deslocamentos de pico foram medidos electronicamente, tendo sido obtidos os seguintes valores das amplitudes de pico:

Tempo (s) 1.4 2.81 4.22 5.61 7.01 8.40 nº ordem do pico 1 2 3 4 5 6 Deslocamento (cm) 0.406 0.328 0.266 0.215 0.1656 0.1324

a) Estimar a fracção de amortecimento crítico. b) Estimar o período próprio e a massa da estrutura. c) Qual a força de corte em cada pilar no instante de medição do quarto pico. d) Qual o tempo necessário para que a estrutura apresente amplitude pico a pico inferior a 1% do

deslocamento inicial? a) decremento logarítmico 0.222δ ≈ fracção de amortecimento crítico 3.5%β = b)período amortecido aT 1.4 s= ; rigidez da estrutura k 17.93 MN / m= ; massa da estrutura m 890 t=

c) V 23.8kN= d) r1ln

0.01 δ =

r 20.7 21 ciclos= ≈ tempo t 29 s≈

Exercício 2.2

Considerar o pórtico da Figura sujeito a uma aceleração aplicada da forma 290 sin(30.2 t) (cm / s ) imposto síncronamente na base dos pilares. Supondo que β=2%: a) Estimar os valores máximos do deslocamento, velocidade e aceleração da travessa b) Estimar a força de corte e o momento basais em cada pilar Peso total da viga 220 kN; h=4.5 m; E=29 GPa; 2

c cb h 0.40 0.35 m× = ×

a) 3 4cI 1.429 10 m−= × ; 4K 1.092 10 kN / m= × ; n 22.1rad / sω = ; nT 0.285s=

1.369ω =% ; Rd( , ) 1.142ω β =% ; tRa ( , ) 1.144ω β =% ; t 2maxu 1.03 m / s≈&& ; tRv ( , ) 0.038ω β =% ;

tmaxu 0.034 m / s≈& ; t 3Rd ( , ) 1.254 10−ω β = ×% ; t 3

maxu 1.13 10 m−≈ × ;

b) 3maxu 2.11 10 m−= × ; V 11.5 kN= ; M 25.9 kNm=


Exercício 2.3

Relativamente ao viaduto em betão acima representado considere a modelação do deslocamento horizontal do tabuleiro através de um oscilador linear de um grau de liberdade. a) Estimar a frequência próprias correspondente à translacção horizontal no plano do desenho.

Supondo o viaduto actuado por um movimento sinusoidal síncrono na base dos pilares (em A e B) de equação 2

gu 1.2 sin (9t 0.5) (m / s )= +&& e considerando uma fracção de amortecimento crítico de 5%: b) Estimar o valor máximo do deslocamento relativo do tabuleiro relativamente aos apoios A e B. c) Estimar o valor máximo do momento de encastramento em cada um dos pilares. Dados

3b 25 kN m/γ = ; 2

cA 3 58 m.= ; 4I 0 129m.= a) m 229.9 t= ; 5K 1.039 10 kN / m= × n 21.26 rad/sω = nT 0.296 s=

b) Rd( , ) 1.217ω β =% ; 3maxu 3.23 10 m−= × ; maxM 1007 kNm=

Exercício 2.4

Determinar as respostas estacionárias em acelerações relativa e absoluta de um oscilador com frequência própria de 1.5 Hz e fracção de amortecimento crítico igual a 5% sujeito ao movimento imposto na sua base com variação periódica definida por:

g

g

g

U 0 t 0.125 (s)

u (t) 0 0.125 t 0.375 (s)U 0.375 t 0.5 (s)

< ≤

= < ≤− < ≤

&&

&&

&&

Desenvolvimento em série de Fourier ( )gg 1 2

Uu (t) 2 sin t sin t≈ ω + ω

π

&&&&&& 1 24 ; 8ω = π ω = π

1Rd 1.2672= 2Rd 0.1635= 1 0.17θ = − 2 0.044θ = − g 2 2U

u(t) (2 1.267 (4 ) sin(4 t 0.17) 0.1635 (8 ) sin(8 t 0.044))= − × × π π + + × π π +π

&&&&

tg g

g 2 2

u (t) u (t) u (t)

U(2 sin 4 t sin 8 t 2 1.267 (4 ) sin(4 t 0.17) 0.1635 (8 ) sin(8 t 0.044))

= + ≈

≈ π + π − × × π π + − × π π +π

&& &&

&&


Exercício 2.5

a) Determinar os valores máximos da força de corte e do momento flector em cada pilar. b) Determinar a aceleração máxima da massa m. c) Critique a adopção de iguais secções nos pilares. Dados:

m=35 t, h=3.5 m, secção dos pilares 30x30 cm2, E=26 GPa, ω=9.5 rad/s, β=5%, 2b s/m8.1U =&&

a) K 5 526 MN m. /= 0 756.ω =% Rd 2.299= U 0.0262 m= 1V 128.7 kN= 2V 16.1kN=

1M 225.3 kNm= 2M 56.3 kNm= b) tRa 2.305= t 2U 4.15 m / s=&&

Exercício 2.6 Considere uma viga de Euler-Bernoulli simplesmente apoiada actuada por um movimento horizontal na direcção transversal à viga aplicado de forma síncrona a ambos os apoios com equação

g gu (t) U sin(12 t)= &&&& . Determinar: a) As configurações modais e as frequências próprias dos primeiro e segundo modos de vibração

envolvendo deslocamentos na direcção horizonral transversal. b) A rigidez rK , a massa rM e o factor de participação rL modais associadas a cada um dos dois modos. c) A resposta forçada em deslocamento relativo ao longo do tempo. d) Uma estimativa do momento máximo a meio vão por aplicação de combinação quadrática das

respostas modais. Dados

2gU 2.05 m / s=&& ; 2b h 0.35 0.60 m× = × ; E 29 GPa= ; 325 kN / mγ = ; L 9 m= ; 5%β =

a) 4 2EI 6.217 10 kN m= × m 0 535 t/m.=

1 41.5 rad / sω = ; 2 166.1 rad / sω = ; 3 373.8 rad / sω = r r(x) sin ( x)φ = ω b) 1 2 3M M M 2.4 t= = = ; 1K 4.1MN / m= ; 2K 66.6 MN / m= ; 3K 336 MN / m=

1 2 31.273; 0; 0.424Γ = Γ = Γ = c) 1Rd 1.091= 1Rd 1.004= 1Rd 1.001= 3

1Qp 1.65 10 m−= × 2Qp 0= 63Qp 6.23 10 m−= × ; 1 0.032θ = ; 3

2 7.2x10−θ = ; 33 3.2x10−θ =

3 6pu (t) 1.65x10 sin(12t 0.032) 6.23x10 sin(12t 0.0032)− −= − + −

d) 1M (L / 2) 12.5 kNm= 2M (L / 2) 0 kNm= 3M (L / 2) 0.4 kNm= M(L / 2) 12.5 kNm=


Exercício 2.7

Considere a viga e a acção do exercício 2.6. Recorrendo ao método de Rayleigh e à função de forma

correspondente à deformada estática sob o peso próprio da viga, 3 2 3mg(x) x(L 2Lx x )24 EI

ψ = − + , estimar:

a) A frequência própria fundamental da viga. b) O valor instantâneo máximo da energia de deformação armazenada pela viga do regime forçado. c) O valor máximo da amplificação de aceleração horizontal transversal na secção de meio vão

correspondente ao regime forçado.

a) 4 2M 1.263x10 [tm ]−= K 0.218 [kNm]= 2n 41.6 [rad / s]ω =

b) Rd 1.09= 176.06Γ = pQ 0.228= 3p;maxE 5.664x10−=

c) tRa 1.091= ; pQ 393.722=&& ; 3(L / 2) 7.214x10 m−ψ = ; t 2pU (L / 2) 2.84 m / s=&& ; amp 1.385=

Exercício 2.8 Considere uma viga de Euler-Bernoulli em consola com uma massa concentrada de 8 t no extremo da viga e actuada na base por um movimento horizontal de equação 2

gu (t) 2.1sin(20 t) (m / s )=&& . Utilizando

o método de Rayleigh e a função de forma normalizada 2 3

33x L x(x)

2L−

ψ = resultante da aplicação de uma

força horizontal tranversal no topo da viga, estimar: a) A frequência própria fundamental da viga. b) A máxima tensão axial na fundação circular de diâmetro 2 m induzida pela resposta forçada da viga Dados Secção circular com de=0.6 m e di=0.53 m; E=210 GPa ; γ=78 kN/m3; L=10 m; 5%β =

a) 1M 1.164= 3K 1.568x10= n 13.08 rad / sω =

b) Rd 0.742= 0.202Γ = 3Q 1.842x10−= 5max (x 0) 5.5x10−χ = = M 28.88 kN m=

max 37 kPa∆σ =

Exercício 2.9

Estimar, utilizando o método de Rayleigh, a frequência própria fundamental do pórtico plano representado na Figura. Considerando o pórtico actuado síncronamente na sua base pelo movimento gu (t) 140 sin(10.5t)=&& estimar: a) O deslocamento máximo da massa 1. b) O valor máximo do corte nos pilares de fundação. c) A distribuição de momentos máximos. Dados

hi=3.2 m, EIP= 8500 kNm2, ∞=VEI , mi=15 t , β=5%.

a) [ ]T 0.1418 0.1182 0.0709ψ = M 0.587= K 48.69= n 9.1rad / sω = 8.46Γ =

Rd 2.87= Q 0.41= 1U 0.0582 m= t1U 0.07 m= b) 3U 0.029 m= 3V 90.3 kN=

c) 2U 0.0484 m= 1M 50.8 kNm= 2M 94.63 kNm= 3M 144.4 kNm=


Exercício 3.1

Considere o depósito de água sujeito a um movimento sísmico horizontal do qual se conhece o espectro de resposta correspondente a uma fracção de amortecimento crítico de 5% representado. a) Estimar os valores de pico do esforço de corte e do momento flector basais. b) Repetir o cálculo considerando o depósito vazio. Dados Secção transversal do depósito circular com diâmetros interno e externo de 1.8 m e 2.10 m. E=25 GPa, Altura do pedestal do depósito: 15 m, Volume do depósito:118 m3 , Massa do depósito: 30 t .Tomar β=5% e aceleração de pico igual a 0.178 g

a) 7 2EI 1.098x10 kNm= ; 3K 9.76x10 kN / m= ; nT 0.774 s= ; nA(T , ) 0.19 gβ =

nD(T , ) 0.028 mβ = ; M 4.13 MNm= ; V 275.9 KN= b) nT 0.348s= ; nA(T , ) 0.37 gβ = ; nD(T , ) 0.011mβ = ; M 1.63 MNm= ; V 108.9 KN=

Exercício 3.2

Considere o pórtico representado na figura sujeito a um movimento sísmico horiontal síncrono nos dois apoios representado pela representação tri-logarítmica do pseudo-espectro de resposta de velocidade representado na página seguinte. a) Determinar a aceleração de pico da travessa. b) Determinar os valores máximos do corte e do momento flector na base dos pilares. c) Determinar os valores máximos do corte e do momento flector basais caso se desprezasse a

deformabilidade de flexão da viga. Comentar quanto à importância do modelo estrutural no dimensionamento.

Dados

Vigas 2bxh 0.3x0.5 m= L=6 m; Pilares 2bxh 0.3x0.65 m= L=3.2 m; E 25 GPa= 325 kN / mγ = ; massa solidária à viga 150 t; 5%β =


0.5

15

1050

100

250 0.5151050 0.1

2010510.50.10.020.1

15

1050

100

500

Des

loca

men

to [c

m]

Aceleração [g]

Vel

ocid

ade

[cm

/s]

Período [s]

a) 4 2vEI 7.813x10 kNm= 5 2

pEI 1.716x10 kNm= 0.121α = ; K 56.6 MN / m= ; M 153.75 t= ;

nT 0.327 s= ; 2A 1.92 m / s= ; b) D=5.2 mm; V=147.5 kN; M=332.0 kNm c) K=125.7 MN/m; Tn=0.22 s ; A=0.1 g; D=1.2 mm; V=75.4 kN; M=120.7 kNm

Exercício 3.3

Considerar a viga do exercício 2.6 com uma massa concentrada a meio vão. Tomando o espectro de resposta de amplificação correspondente a um movimento com valores de pico de aceleração de 1.43 m/s2 , de velocidade 16.6 cm/s e de deslocamento de 9.7 cm, estimar, recorrendo ao conceito de oscilador generalizado e ao método de Rayleigh: a) A aceleração de pico da massa concentrada. b) O valor máximo do momento em toda a viga.


Dados Massa concentrada 6.5 t; β=5% (2º espectro a contar de cima); utilizar a função de forma

2 316 x x x(x) 1 25 L L L

ψ = − +

a) Mtotal=8.93 t; K=4.19 MN/m3; L=9.583; Γ=1.073; Tn= 0.29 s; A(Tn,β)=2.72 m/s2; t 2u 2.92 m / s≈&& b) Q=6.2x10-3 ; k(L/2)=7.36x10-4; M=45.8 kNm

Exercício 3.4 Considerar o pórtico do exercício 2.10. Tomando como espectro de dimensionamento o espectro de Newmark e Hall estimar, com base no conceito de oscilador generalizado de Rayleigh: a) As acelerações de pico das travessas b) O deslocamento relativo máximo entre as massas. c) A distribuição de momentos máximos. Dados a=1.43 m/s2 , v=16.6 cm/s, d=9.7 cm, β=5% .

a) αa=2.706; αv=2.302; αd=2.006; Tc=0.62 s; Td=3.20 s; Tn=0.69 s; A(Tn,b)=3.481 m/s2;

[ ]Tt 2U 4.18 3.48 2.09 m / s≈&&

b) D(Tn,β)=0.042 m; [ ]TU 0.05 0.042 0.025 (m)= ; δ12=0.008 m; δ23=0.017 m c) M1=26.1 kNm; M2=52.2 kNm; M3=78.3 kNm


Exercício 4.1

Estimar o perfil dos valores de pico da tensão de corte numa camada de areia saturada praticamente homogénea de 18 m de possança sob a acção de um movimento ocorrendo no firme rochoso subjacente, com as seguintes características conhecidas: - aceleração de pico 1.46 m/s2 - velocidade de pico 15.6 cm/s - deslocamento de pico 1.9 cm. Dados H=18 m; Gs=2.65; Id=60%; γd;min=14.2 kN/m3; γd;max =17.6 kN/m3, vs=280 m/s γd=16.06 kN/m3; ρ=2.02 t/m3; γ=10-4; vs=194 m/s; β=12%; T1=0.37s; V(T1)=0.155 m/s; A(T1)=2.62 m/s2; T2= 0.124 s; T3= 0.074 s; A(T2,β)=0.124 s ; A(T3;β)=0.074 s; γ(2)=1.9x10-4; τ(2)=14 kPa; γ(4)=3.6x10-4; τ(4)=28 kPa

Exercício 4.2

Seja uma camada de areia com uma espessura de 15 m e sobrejacente a uma formação Miocénica muito rija. O solo encontra-se num estado pouco denso tendo sido obtida a informação geotécnica que anexa. Considerando a acção sísmica definida pelos movimentos de pico em afloramento rochoso abaixo indicados. a) Qual a amplificação de aceleração à superfície relativamente ao firme rochoso? Criticar os resultados obtidos, referindo, nomeadamente, quais as hipóteses subjacentes e as limitações por elas introduzidas. b) Estimar o valor máximo do deslocamento relativo entre as profundidades de 6 m e 12m. c) Estimar a deformação de corte de pico à profundidade de 6 m. Dados H=15 m; g=16.5 kN/m3; vs=140 m/s; amax=1.97 m/s2; vmax=0.128 m/s e dmax=0.035 m a) γiter=5x10-4; vs=177 m/s; β=13%; αa=1.712; αv=1.661; αd=1.576; Tc=0.396 s; Td=1.629 s; T1=0.339 s;

V(T1)=0.182 m/s; Aiter=3.374 m/s2; γeq=5.3x10-4; T2=0.113 s; V(T2)=0.058 m/s; A(T2)=3.246 m/s2; asup=4.51 m/s2; amp=2.29.

b) D(T1)= 9.8 mm ; D(T2)= 1.1 mm; (z=6 m u1=10 mm ; u2=0.14 mm) (z= 12m u1=3.86 mm ; u2=0.36 mm) ; drel= 7 mm.

c) γ1=6.5x10-4; γ2=-1.4x10-4; γ=6.7x10-4; τ=35 kPa..

Exercício 4.3 Estimar a aceleração máxima no topo de uma camada argilosa mole praticamente homogénea, cobrindo um substrato rígido, sob actuação da acção sísmica tipo 1 do RSA. Dados ρ=1.8 t/m3; vs=90 m/s; H=15 m γiter=10-3; vs=47.6 m/s; β=16%; T1=1.26 s; S(f1)=186.6 cm2/s3; Aiter=0.65 m/s2; γeq=1.4x10-3; f2=2.38 Hz; S(f2)=360 cm2/s3; A(f2)=1.95 m/s2; asup=1.17 m/s2.


Exercício 5.1 O nível freático numa formação aluvionar essencialmente arenosa com 15 metros de espessura encontra-se a 2 metros de profundidade. Os resultados de ensaios SPT são indicados seguidamente. Considerando ser possível assimilar o substrato a um meio semi-infinito de rigidez ao corte muito elevada, avaliar o factor de segurança à liquefacção às profundidades de 3 m e de 7 m na ocorrência de um sismo distante de magnitude 7.5 causando no local uma aceleração de pico a à superfície. NSPT =11 0<z<2 (m), a=1.8 m/s2 NSPT =14 2<y<4 (m), γ=20 kN/m3 NSPT =17 4<y<10 (m), NSPT =13 10<y<15 (m).

z=3 m σ’=50 kPa; CN=1.412; N1;60=20 R=0.22; rd=0.97 ; L=0.138; FS=1.59 z=7 m σ’=91 kPa ;CN=1.049; N1;60=17 R=0.19; rd=0.95 ; L=0.174; FS=1.08

Exercício 5.2

Considerar uma baixa aluvionar silto-arenosa sobrejacente a solos muito rijos, encontrando-se o nível freático à superfície. Estimar o coeficiente de segurança à liquefacção à profundidade de 7 m para a acção sísmica do tipo 1 na zona A, como definida no RSA. Dados H=10 m; z=5m; NSPT= 13; vs=180 m/s, γ=18 kN/m3

γ=6x10-4; vs=112.4 m/s; β=13%; T1=0.356s; S(f1)=360 (cm2/s3); A(T1)=2.43 m/s2; γ=6.3x10-4 z=5m; γ1=1.1x10-3; T2= 0.119 s; S(f2)=159.6 (cm2/s3); A(T2)=3.48 m/s2; γ2=-1.76x10-4; γ=1.11x10-3; τ=26 kPa; σ’=41kPa L=0.631; CN=1.563;N1;60=20; CM=1.19; R=0.35; FS=0.56

Exercício 5.3

Seja uma camada praticamente homogénea de areia limpa com uma possança de 19 m e sobrejacente a uma formação Miocénica muito rija. O solo encontra-se num estado pouco denso tendo sido obtida a seguinte informação geotécnica: ρ=1.6 t/m3; vS = 125 m/s; nível freático a 1 m de profundidade.

y (m) 0 a 3 3 a 7 7 a 10 10 a 14

NSPT 4 8 10 17

Considerando uma acção sísmica regulamentar longínqua na zona A com magnitude próxima de 7.8:

a) Estimar a deformação de corte de pico à profundidade de 4 m.

b) Para a profundidade de 4 m, avaliar o factor de segurança à liquefacção usando a informação obtida na alínea a).

c) Supondo inalteradas as características dinâmicas obtidas na alínea a) e considerando ainda a profundidade de 4 m, qual o valor de SPTN necessário (eventualmente alterável através de tratamento do solo) para manter o mesmo nível de segurança caso o nível freático se deslocasse para 1 metro acima da superfície do solo?

(Adaptado do Exame de 20 de Setembro de 2002)

a) γ=5x10-4; vs= 83 m/s; T1=0.916 s; S(f1)=285.4 (cm2/s3); A(T1)=1.14 m/s2; γ=1x10-3 γ=1x10-3; vs= 66 m/s; T1=1.15 s; S(f1)=256.4 (cm2/s3); A(T1)=0.512 m/s2; γ=1.16x10-3 z=4m; γ1=9.3x10-4; T2= 0.383 s; S(f2)=360 (cm2/s3); A(T2)=1.31 m/s2; γ2=-4.3x10-4; γ=1x10-3; b) τ=7 kPa; σ’=33kPa; CN=1.732; N1;60=14; R7.5=0.14; CM=1; R7.8=0.14; L=0.214; FS=0.65; c) R7.8=L; N1;60=19; NSPT=11

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