enem em fascÍculos - 2012 8 - projeto medicina -...

INTRODUÇÃO

Olá, querido estudante,

As aplicações da função quadrática abrangem situações do meio social, relações de mercado e capital, engenharia, economia, saúde, transportes, indústrias, artes, energia, problemas de otimização etc.

OBJETO DO CONHECIMENTO

Função QuadráticaToda função f: R → R defi nida por f(x) = ax2 + bx + c,

em que a, b e c são números reais e a ≠ 0, recebe o nome de função quadrática.

Pode-se interpretar a função quadrática como sendo uma transformação do número real x no número real ax2 + bx + c. Em símbolos:

x ax bx c� 2 + +

Raízes da função quadráticaAs raízes de uma função são os valores que a variável

x pode assumir de modo que f(x) = 0. Geometricamente, as raízes de uma função representam as abscissas das coordenadas dos pontos nos quais o gráfi co da função intersecta o eixo-x. Uma função quadrática, cujo gráfi co é uma parábola, pode possuir até duas raízes reais, geralmente designadas por x1 e x2. Seus valores podem ser obtidos através

da fórmula de Bhaskara.

xb

a1

2= − + ∆

xb

a2

2= − − ∆

xb

a= − ± ∆

2

O valor de ∆ = b2 – 4ac determina, portanto, o número de raízes reais de uma equação do 2º grau e, por esse motivo, é chamado discriminante da equação.

Interpretação do discriminante

1º caso: se ∆ > 0, então haverá duas raízes reais diferentes.

2º caso: se ∆ = 0, então as duas raízes serão reais e iguais.

3º caso: se ∆ < 0, então não haverá raízes reais.

Resumo gráfi co

Com a > 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui concavidade voltada “para cima”).

y

xx

1 = x

2

x2

x1

∆ < 0y

x

∆ = 0y

x

∆ > 0

Com a < 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possui concavidade voltada “para baixo”).

x

y y y

x x

x1 = x

2x

1x

2

∆ < 0 ∆ > 0∆ = 0

Para o traçado do gráfi co de funções quadráticas, é útil lembrar que as coordenadas do vértice da parábola são dadas por:

Vértice = − −

b

a a2 4,

∆

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

8Fascículo

ENEM EM FASCÍCULOS - 2012

A necessidade de compreender o comportamento de fenômenos, descrever regularidades, estabelecer relações de interdependência, qualifi car,

quantifi car e generalizar conduziu, gradualmente, a humanidade ao moderno conceito de função. Tal conceito é uma forma mais precisa e

de maior utilidade do que a noção comum de “fórmula matemática”.Neste fascículo, abordaremos algumas das principais funções matemáticas: função quadrática, funções exponenciais, funções logarítmicas

e as trigonométricas.

Bom estudo para você!

CARO ALUNO,

2 Matemática e suas Tecnologias

Enem em fascículos 2012

Forma fatorada

Se os valores x1 e x

2 representam as raízes de uma função

quadrática y = ax2 + bx + c, então podemos reescrevê-la na

forma fatorada: y = a·(x – x1)·(x – x

2), em que a é denominado

coefi ciente dominante. Essa forma é especialmente útil para determinar a função quadrática em estudo quando possuímos as suas raízes. Determinar as relações de interdependência entre as variáveis é uma das habilidades mais cobradas pelo Enem. Acompanhe no exemplo como utilizar a forma fatorada para obter a função quadrática desejada.

Exemplo:

A fi gura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o ponto médio de AB.

C

A M B

Tomando o ponto A como origem de um sistema cartesiano, teremos a fi gura abaixo:

y C (20, 16)

A (0, 0) M (20, 0) B (40, 0)

x

Assim, as raízes de tal função são 0 e 40. Dessa forma, pode-se aplicar a forma fatorada:

y = a(x – x1) (x – x

2) ⇒ y = a(x – 0) (x – 40) ⇒ y = a(x2 – 40x).

Como f(20) = 16, temos:

16 = a(202 – 40 · 20) ⇒ 16 = – 400a ⇒ a = − 1

25

Logo, a função procurada é:

y x x yx x= − − ⇒ = − +1

2540

25

8

52

2

. ( )

Máximos e mínimos em função quadrática

Para a função f(x) = ax2 + bx + c, temos dois casos a considerar com relação ao coefi ciente a.

1º caso: a > 0

a > 0

ponto mínimo

Nesse caso, como a concavidade da parábola está voltada

para cima, seu vértice V =− −

b

a a2 4,

∆representa um ponto de

mínimo, o ponto mais baixo da parábola.Dessa forma, y

V representa o menor valor da função,

dado por:

ya

V = −∆4

2º caso: a < 0

ponto máximo

a < 0

Nesse caso, como a concavidade da parábola está

voltada para baixo, seu vértice V =− −

b

a a2 4,

∆ representa um

ponto de máximo, o ponto mais alto da parábola.Dessa forma, y

V representa o maior valor da função,

dado por:

ya

V = −∆4

Observação importante:

Interpretar corretamente o texto é essencial para

responder com sucesso à questão. Assim, observe que a abscissa

do vértice da parábola, isto é, xb

aV = −

2 não representa nem

o máximo, nem o mínimo valor da função. O valor−b

a2está

relacionado à condição necessária para se atingir o extremo

da função (máximo ou mínimo). Isto é, xb

aV = −

2é a condição

(ou circunstância) para termos o máximo (ou mínimo) valor da

função. Acompanhe o quadro-resumo abaixo.

3Matemática e suas Tecnologias


ya

representa o mínimo, se a > 0

mínimo, se a > 0

representaV =−∆4

o máximo, se a < 0

máximo, se a < 0

a condição para se atingir =

−x

ba

representaV 2

o

a condição para se atingir orepresenta

��

��

Por fi m, note que se o exercício cobrar o máximo (ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular

ya

V = −∆4

. Entretanto, se a questão perguntar sobre uma

condição (ou circunstância) em que se obtém o máximo (ou mínimo) valor da função quadrática, você deve calcular

xb

aV = −

2.

Em qualquer caso, a parábola que representa a função y = ax2 + bx + c intersecta o eixo-y no ponto de coordenadas (0, c) e apresenta uma simetria em relação à reta vertical que

passa por seu vértice (ou seja, a reta cuja equação é xb

a= −

2).

Acompanhe a ilustração a seguir.

y

x

yv v

0

(0, c)

x1

xv x

2

eixo de simetria: x = b2a

Exemplo:

Um posto de combustível vende 10000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10200 litros. Dessa forma, considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, o valor V, em R$, arrecadado diariamente com a venda do álcool, pode ser obtido pela relação:

V(x) = (preço do litro de combustível, em reais) ⋅ (quantidade vendida diariamente) ⇒

⇒ = −

+ ⇒

⇒ = − + +

V xx

x

V x x x

( ) , . ( )

( )

150100

1500 100

50 150002

Uma vez que o valor arrecadado (receita) é uma função quadrática com a concavidade voltada para baixo, a receita terá um valor máximo, e o desconto necessário para que a

receita seja máxima é xb

axV V= − ⇒ = −

⋅ −( ) =2

50

2 125 , isto é, se

o proprietário conceder 25 centavos de desconto por litro de combustível e, consequentemente, vendê-lo a R$ 1,25, obterá a maior receita possível, ou seja, atingirá o valor máximo que é

ya

V V= −∆ ⇒− − ⋅ −( ) ⋅

⋅ −( ) ⇒4

50 4 1

4 1

2

y = 15000

⇒ = y RV $ . , .15 625 00

QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.

C-5H-21

• Para certo produto comercializado, a função receita e a função custo estão representadas a seguir em um mesmo sistema de eixos, onde q indica a quantidade desse produto.

0 50 250 350 500

3500045000

105000

125000Custo

Receita

R,C

q

Com base nessas informações e considerando que a função

lucro pode ser obtida por L(q) = R(q) – C(q), assinale a

alternativa que indica essa função lucro.

a) L(q) = – 2q2 + 800q – 35000

b) L(q) = – 2q2 + 1000q + 35000

c) L(q) = – 2q2 + 1200q – 35000

d) L(q) = 200q + 35000

e) L(q) = 200q – 35000



Comentário

A função custo é do tipo afi m, sua forma é:

C(q) = m ⋅ q + n.

Como m é taxa de variação da função, podemos obter:

m =105000 45000

350 50=

60000300

= 200 −

−

O valor de n que obtemos pelo gráfi co é 35000.Logo, a função custo é: C(q) = 200 ⋅ q + 35000.A função receita é quadrática, suas raízes são 0 e 500,

então, usando a forma fatorada, podemos escrever:

R(q) = a ⋅ (q – x1) ⋅ (q – x2)R(q) = a ⋅ (q – 0) ⋅ (q – 500)R(q) = a ⋅ (q2 – 500q)

Do gráfi co, vemos que R(250) = 125000. Assim,

125000 = a 250 500 250 a =125000

62500= 22⋅ − ⋅( ) ⇒

−−

Daí, a função receita é:

R(q) = 2 q 500q

R(q) = 2q + 1000q

2

2

− ⋅ −( )−

Assim, a função lucro será:

L(q) = R(q) C(q)

L(q) = 2q + 1000q 200q + 35000

L(q) = 2q + 800

2

2

−

−( ) − ( )

− qq 35000−

Resposta correta: a

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

Compreendendo a Habilidade– Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando

conhecimentos algébricos.C-5 H-23

01. Um técnico está editando um vídeo através de 8 computadores ligados em rede. Nesses termos, cada computador processa o vídeo a uma taxa de 9,6 Mb/s. Assim, a velocidade total do processo é 76,8 Mb/s. Contudo, o técnico pretende aumentar a velocidade total de processamento do vídeo interligando mais computadores à rede. Porém, para cada novo computador adicionado a taxa de processamento de cada computador diminui 0,4 Mb/s. Dessa forma, a quantidade de computadores ligados em rede, para que o técnico tenha a máxima velocidade de processamento possível, deve ser:a) 24 b) 20c) 16 d) 12e) 8

Compreendendo a Habilidade– Interpretar gráfi co cartesiano que represente relações entre grandezas.– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.

C-5H-20H-21

02. Um veículo foi submetido a um teste para a verifi cação do consumo de combustível. O teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidade constante, uma distância de 100 km em estrada plana, cada vez a uma velocidade diferente. Observou-se então que, para velocidades entre 20 km/h e 120 km/h, o consumo de gasolina, em litros, era função da velocidade, conforme mostra o gráfi co seguinte.

20 60 100 120

8

16

consumo (litros)

velocidade (km/h)

Se esse gráfi co é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à velocidade de 120 km/h?a) 20 b) 22c) 24 d) 26e) 28

DE OLHO NO ENEM

ANTENAS, RADARES, FARÓIS E PARÁBOLAS

Quando um satélite artificial é colocado em uma órbita geoestacionária, ele emite um conjunto de ondas eletromagnéticas que podem ser captadas por antenas ou radares na Terra. O que talvez você não saiba é que esses objetos são construídos tendo a parábola como referência, isto porque tal curva possui propriedades geométricas extremamente úteis. Na construção de antenas parabólicas, radares ou faróis, a propriedade mais explorada é a refl exiva. Quando um feixe de raios luminosos incide paralelamente ao eixo de simetria de uma superfície paraboloide espelhada, sua refl exão ocorre de forma a fazer convergir os raios em um único ponto. Da grande quantidade de calor produzido nesse ponto, surgiu o nome foco (em latim focus signifi ca fogo). Como os sinais recebidos (ondas de rádio ou luz) são muito fracos, é necessário captá-los e concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplifi cados. Portanto, a superfície da antena ou do espelho deve ser tal que todos os sinais recebidos de uma mesma direção sejam direcionados para um único ponto após a refl exão. Aplica-se o mesmo princípio na construção de espelhos para telescópios, antenas de radar, antenas parabólicas e faróis.



guia direcional

O prato curvo focaliza as ondas de rádio que chegam para a guia direcional.

A secção de um farol de um automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um paraboloide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que, após incidirem sobre a parábola, serão refl etidos numa mesma direção, segundo retas paralelas ao eixo de simetria da parábola.

F

Sup. espelhada

Farol de um automóvel

Secção de um farol

ANOTAÇÕESANOTAÇÕES

INTRODUÇÃO

As funções exponenciais e logarítmicas ocupam lugar de destaque em todas as áreas do conhecimento, desde estudos relativos a taxas de crescimentos, nascimentos e morte de indivíduos de uma população (animais ou plantas) até a propagação de doenças em sistemas epidemiológicos, todos constituem casos típicos de situações cuja modelagem é feita através de funções logarítmicas e exponenciais.


Função Exponencial e Logarítmica

Defi nição da função exponencial

A função f: R → R dada por f(x) = bx (com b ≠ 1 e b > 0)

é denominada função exponencial de base b e defi nida para

todo x real.

Se x = 0, então y = b0 = 1, isto é, o par ordenado (0, 1)

satisfaz a lei y = bx. Isso quer dizer que o gráfi co de qualquer

função desse tipo intersecta o eixo y no ponto de ordenada 1.

Com relação à base b, há dois casos a considerar:

1º caso: se b > 1, então a função é crescente, isto é:

x > y ⇔ bx > by

Gráfi co

y

0x

1

f é crescente


Enem em fascículos 20122º caso: 0 < b < 1, então a função é decrescente:

x > y ⇔ bx < by

Gráfi co

y

0x

1

f é decrescente

Uma generalização são as funções com a forma

f x a bx

k( ) = ⋅ . Nessas funções, o coefi ciente a é frequentemente

associado ao valor inicial da função, pois f a b f ak0 00

( ) = ⋅ ⇒ ( ) = .

Por sua vez, para cada aumento de k unidades no valor de x, a função é multiplicada pelo fator b. Essa compreensão dos

coefi cientes das funções do tipo f x a bx

k( ) = ⋅ é de fundamental

importância para montagem rápida de modelos exponenciais.

Acompanhe o exemplo a seguir.

Exemplo:

Um agricultor está sofrendo com a infestação de determinada espécie de formiga que está destruindo sua plantação. Após buscar a ajuda de um especialista, este recomenda a aplicação de certo inseticida, explicando que, após seu uso, a população dessas formigas será reduzida à metade a cada 5 dias. A população inicial de formigas é estimada em 30000 espécimes. A partir dessas

informações, podemos escrever a população P t a bt

k( ) = ⋅de formigas em função do tempo t, medido em dias,

transcorrido após a aplicação do inseticida. Nessa função, temos

a = 30000 (população inicial), temos também b =1

2

t

k

t

5

(pois a

população dessas formigas é reduzida meà tadeb= 1

2

a cada diask

55=

� �� ).

Portanto, a população de formigas poderá ser estimada pela

lei P(t) = 30000 · 1

2

5

t

.

Logaritmos

Defi nição

Dados os números reais N, a e α, com N > 0, a > 0 e a ≠ 1, o expoente α que colocamos na base a para obtermos o número N é chamado logaritmo de N na base a. Em símbolos:

loga N a N= ⇔ =α α

A nomenclatura usada é a seguinte:N – logaritmando ou antilogaritmoa – base (quando a base é omitida, diremos que a base é 10)α – logaritmo

Exemplos:

1º) log2 16 = 4, pois 24 = 16

2º) log3 9 = 2, pois 32 = 9

3º) log7 1 = 0, pois 70 = 1

Decorrências da defi nição

Alguns logaritmos, pelo fato de que vamos encontrá-los muitas vezes, devem ter seus valores rapidamente reconhecidos. São logaritmos cujos resultados decorrem de maneira imediata da defi nição.

Consideradas satisfeitas todas as condições de existência, temos:

1ª decorrência: loga 1 = 0

Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 0, apresenta resultado igual a 1.

2ª decorrência: loga a = 1

Pois qualquer que seja a base a elevada ao expoente 1, apresenta resultado igual a a.

3ª decorrência: loga aα = α

Pois α é justamente o expoente que devemos colocar na base a para obtermos o resultado aα.

4ª decorrência: aloga N = N Pois log

aN é, por força de defi nição, justamente o expoente

que devemos colocar na base a para obtermos o resultado N.

Propriedades

A partir da defi nição, podemos desenvolver algumas utilizações frequentes dos logaritmos e transformá-las em propriedades que passaremos a estudar.

Considerando os números reais positivos a, N e M, com a ≠ 1:

P1: log log loga a aN M N M⋅( ) = ( ) + ( )P2: log log loga a a

N

MN M

= ( ) − ( )

P3: log loga aN Nα α( ) = ⋅

P4: log loga aN Nα

α( ) = ⋅1


Enem em fascículos 2012P5: Mudança de Base

loglog

logM

a

a

NN

M= , onde a é uma base convenientemente

escolhida.

Função Logarítmica

Defi nição

É toda função f: R*+ → R na forma f(x) = log

a x, em que,

a > 0 e a ≠ 1.Para a > 1, tal função é crescente. Acompanhe o gráfi co

na página seguinte.

y = logax

(a > 1)

1 a x

y

1

Para 0 < a < 1, tal função é decrescente. Acompanhe o gráfi co abaixo.

y = logax

(0 < a < 1)

1a x

y

1

Logaritmo naturalO logaritmo natural ou logaritmo neperiano é o logaritmo

cuja base é o número irracional e, que é aproximadamente igual a 2,718281828459045...

Tal logaritmo é normalmente representado por �n x. Isto é:

�n x é equivalente a logex


algébricos.

C-5H-21

• A onça-pintada, também conhecida por jaguar ou jaguaretê, costuma ser encontrada em reservas fl orestais e matas cerradas, mas, atualmente, é um dos carnívoros brasileiros que corre perigo de extinção. Suponha que, em determinada região, a população de onças-pintadas, P(t), daqui a t anos, será estimada pela função:

P(t) = 60 (1 + e–0,05t).

Se mantiver esse decrescimento, daqui a quantos anos será atingido o ponto em que a extinção é inevitável, considerada pelos biólogos em cem indivíduos?

Utilize: �n 2 = 0,69;

�n 3 = 1,10.

a) 7,2 b) 8,2c) 9,2 d) 10,2e) 11,2

Comentário

Para que a população seja de cem indivíduos, temos:

P(t) = 100 ⇒ 60 ⋅ (1 + e–0,05t) = 100 ⇒ 1 + e–0,05t = 5

3

e–0,05t =2

3⇒ �n e–0,05t = �n

2

3

⇒ – 0,05t = �n 2 – �n 3 ⇒

⇒ – 0,05t = 0,69 – 1,10 ⇒ – 0,05t = – 0,41 ⇒ t = 8,2 anos

Daqui a 8,2 anos será atingido o número de cem indivíduos.

Resposta correta: b




Compreendendo a Habilidade– Interpretar gráfi co cartesiano que represente relações entre

grandezas.– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.

C-5H-20H-21

03. Durante três semanas um estudante acompanhou, pelos noticiários, a evolução mundial da pneumonia asiática ou síndrome respiratória aguda severa (SARS). Por curiosidade, ele construiu o gráfi co abaixo e estimou que o total (T) de casos confi rmados até o enésimo dia de observação seria dado por:

T = 100 ⋅ 3kn, em que k é uma constante positiva.

300

900

2700

T(total de casos confirmados)

n(dias)

7 14 21

Depois do 21º dia, o estudante não acompanhou mais os noticiários sobre os casos dessa doença. Pela estimativa dele, qual seria o total de casos confi rmados até o 28º dia?a) 3000 b) 3600c) 4500 d) 5600e) 8100

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.C-5

H-21

04. O processo de aquisição de conhecimento e destreza tem sido estudado em várias perspectivas e com diferentes objetivos. As famosas curvas de aprendizado têm se mostrado ferramentas úteis no monitoramento do desempenho de uma nova tarefa, avaliando um progresso na medida em que algumas repetições são efetuadas. Essas curvas foram introduzidas por Wright em 1936, e, desde então, têm sido utilizadas para avaliação do tempo demandado para a conclusão de corridas de produção, estimação da redução de custos de produção e alocação de trabalhadores para tarefas com base em suas características de atuação ou habilidades, por exemplo.

Considere que o número de artigos que um operário recém contratado é capaz de produzir diariamente, após n dias de treinamento é dado por P(n) = 40 – 40 ⋅ 2–0,175n. Determine quanto tempo é necessário para que a produção diária desse trabalhador seja pelo menos 25 artigos por dia.

Use log 2 ≈ 0,30 e log 3 ≈ 0,48

a) Aproximadamente 4 dias.b) Aproximadamente 5 dias.c) Aproximadamente 6 dias.d) Aproximadamente 7 dias.e) Aproximadamente 8 dias.

DE OLHO NO ENEM

Como se realiza a prova do carbono-14 para conhecer a idade dos restos encontrados por paleontólogos?

Fósseis podem ser datados com o teste do carbono-14

A técnica do carbono-14 foi descoberta nos anos quarenta por Willard Libby. Ele percebeu que a quantidade de carbono-14 dos tecidos orgânicos mortos diminui a um ritmo constante com o passar do tempo. Assim, a medição dos valores de carbono-14 em um objeto fóssil nos dá pistas muito exatas dos anos decorridos desde sua morte.

Essa técnica é aplicável à madeira, carbono, sedimentos orgânicos, ossos, conchas marinhas – ou seja – todo material que conteve carbono em alguma de suas formas. Como o exame se baseia na determinação de idade através da quantidade de carbono-14 e que esta diminui com o passar do tempo, ele só pode ser usado para datar amostras que tenham entre 50 mil e 70 mil anos de idade.

A RADIOATIVIDADE DO CARBONO-14

Libby, que era químico, utilizou em 1947 um contador Geiger para medir a radioatividade do C-14 existente em vários objetos. Este é um isótopo radioativo instável, que decai a um ritmo perfeitamente mensurável a partir da morte de um organismo vivo. Libby usou objetos de idade conhecida (respaldada por documentos históricos) e comparou esta com os resultados de sua radiodatação. Os diferentes testes realizados demonstraram a viabilidade do método até cerca de 70 mil anos.


Enem em fascículos 2012O C-14 se produz pela ação dos raios cósmicos sobre

o nitrogênio-14 e é absorvido pelas plantas. Quando estas são ingeridas pelos animais, o C-14 passa aos tecidos, onde se acumula. Ao morrer, este processo se detém e o isótopo começa a desintegrar-se para converter-se de novo em nitrogênio-14. A partir desse momento, a quantidade de C-14 existente em um tecido orgânico se dividirá pela metade a cada 5730 anos. Cerca de 50 mil anos depois, essa quantidade começa a ser pequena demais para uma datação precisa.

Depois de uma extração, o objeto a datar deve ser protegido de qualquer contaminação que possa mascarar os resultados. Feito isso, leva-se ao laboratório onde se contará o número de radiações beta produzidas por minuto e por grama de material. O máximo são 15 radiações beta, cifra que se dividirá por dois por cada período de 5730 anos de idade da amostra.

Disponível em: http://noticias.terra.com.br

ANOTAÇÕESANOTAÇÕES

INTRODUÇÃO

Situações relacionadas com a medição de lados e ângulos de triângulos deram início à Trigonometria, que com o passar do tempo, transformou-se numa genuína ferramenta na resolução de um considerável número de problemas relacionados com a mecânica, topografi a, navegação e sobretudo nos cálculos astronômicos. Assim, esta abordagem tem como objetivo principal a aplicação de conceitos trigonométricos em situações que envolvam triângulos e a exploração de fenômenos periódicos reais, recorrendo às funções trigonométricas. Vale salientar que a efi cácia desta ferramenta, nas aplicações que iremos apresentar, exigirá naturalmente um razoável domínio algébrico e geométrico do leitor.


Trigonometria e suas aplicações

Trigonometria no triângulo retângulo

Considere um ângulo agudo α = med(CÂB). Construindo perpendiculares ao lado AB a partir dos pontos C

1, C

2, C

3 etc.,

os triângulos retângulos obtidos C1B

1A, C

2B

2A, C

3B

3A etc. serão

semelhantes por terem o ângulo α comum.

Aα

C1

B1

B2

BB3

C2

C3

C

Considerando que é amplamente conhecida a proporcionalidade dos lados homólogos em triângulos semelhantes, então podemos escrever as seguintes proporções:

B C

AB

B C

AB

B C

ABk

AB

AC

AB

AC

AB

ACk

B

1 1

1

2 2

2

3 3

31

1

1

2

2

3

32

= = = =

= = = =

...

...

11 1

1

2 2

2

3 3

33

C

AC

B C

AC

B C

ACk= = = =...

Estas constantes k1, k

2 e k

3 dependem apenas do ângulo

α e não dos comprimentos dos lados envolvidos. É oportuno dar nomes a essas constantes que dependem de α (agudo).


Enem em fascículos 2012Assim, considerando o triângulo retângulo ABC, e

fi xando um ângulo agudo α, podemos defi nir:

B A

C

ahipotenusa

cateto oposto

cateto adjacente

b

cα

seno:

cossecante: cossec

sencatetooposto

hipotenusa

b

aα

α

= = ⇒

⇒ = hhipotenusa

catetooposto

a

b=

cosseno:

secante:

cos

sec

α

α

= = ⇒

⇒ =

cateto adjacente

hipotenusa

c

a

hhipotenusa

catetoadjacente

a

c=

tangente:

cotangente:

tgcatetooposto

cateto adjacente

b

cα = = ⇒

⇒ ccotg =α cateto adjacente

catetooposto

c

b=

Os benefícios que a Trigonometria propicia à facilitação nas resoluções de problemas aparentemente difíceis é incontestável.

Exemplo 1:

Para mostrar uma aplicação, suponha que se quer medir o raio r da Terra, que é um comprimento impossível de ser obtido pelo cálculo direto. Um processo, usado desde os gregos, é o seguinte:

Sobe-se a uma torre de altura h e mede-se o ângulo α que faz a reta BC do horizonte de B com a vertical BO do lugar. Considerando a Terra esférica, temos a ilustração:

Torre

Terra

r

B

r O

h

C

Linha

do

horiz

onte

α

Usando as razões trigonométricas apresentadas, encontramos:

senr

r hr sen hsen r r sen hsenα α α α α=

+→ + = → − =. ( )1

Logo, se tivermos as medidas de h e α (valores acessíveis) e uma tabela de senos, podemos tranquilamente determinar o raio da Terra:

rhsen

sen=

−αα1

Exemplo 2:

Uma outra situação-problema, para mostrar a importância da Trigonometria na resolução de problemas relacionados com ângulos e lados de um triângulo, é a questão do topógrafo que deseja medir a altura de uma montanha e para tal toma como referência o ponto P, no pico. A partir de um ponto A no solo, calcula a medida do ângulo α que o segmento AP forma com a horizontal local e, afastando-se 1 km até o ponto B, mede o ângulo θ de BP com a horizontal. Fazendo um desenho ilustrativo, encontramos:

P

h

P’x

α1B A

Temos que:

tgh

xx

h

tgI

tgh

xx

h

tgII

αα

θθ

= → =

=+

→ + =

( )

( )1

1

Substituindo (I) em (II), encontramos:

h

tg

h

tg

h

tg

h

tgtg tg h tg tg

α θ θ αα θ α θ+ = → = − → ⋅ = ⋅ −1 1 ( )

Portanto, a altura desejada é dada por:

htg tg

tg tg= ⋅

−α θα θ

Trigonometria num triângulo qualquerEm vista das numerosas aplicações em que se consideram

triângulos quaisquer, vamos apresentar duas leis de grande relevância na Trigonometria.


Enem em fascículos 2012• Lei dos senos:

Em todo triângulo, as medidas dos lados são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos opostos, onde a constante de proporcionalidade é igual ao diâmetro da circunferência circunscrita.

Demonstração:

O teorema dos senos estabelece que a

sen A( ) é constante.

a

R

O

P

A

BC

α

α

Acompanhe:I. Seja O o circuncentro do ∆ABC;II. Prolongando o segmento BO até encontrar a circunferência,

obtemos o diâmetro BP;III. Observe que o triângulo PCB é retângulo em C� , pois BP é

um diâmetro;

IV. Os ângulos inscritos A e P� são iguais (arco capaz);V. No triângulo retângulo PCB, temos:

sen A = sen P�= → =aR

Ra

sen A22 �

Portanto, podemos escrever:

a

sen A

b

sen B

c

sen CR= = = 2� � �

Exemplo:

Para mostrar uma aplicação, suponha que um navio, viajando em linha reta, avista um farol em F, 45º à direita; após ter caminhado 20 km, avista o mesmo farol numa direção que forma 75º com sua trajetória, como mostra a fi gura.

A B

F

20 km

45º 75º

Nesse ponto, a distância do navio ao farol pode ser

calculada facilmente. Evidentemente, a medida do ângulo AFBˆ

é igual a 60º. Portanto, aplicando a lei dos senos, temos:

BF

sen senBF km

o o45

20

60

202

23

2

16 3= → =⋅

≅ ,

• Lei dos cossenos:

Em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles.

B

C

a

c

b

^

^

^

Lei dos cossenos:a2 = b2 + c2 – 2bc cos Ab2 = a2 + c2 – 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C

A

Observação:

Essas fórmulas são de fácil demonstração e muito úteis na determinação dos ângulos de um triângulo, conhecendo as medidas dos lados.

Exemplo:

Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a fi gura a seguir.

C

200

m

50º

BN

20ºA P

300 √3 m


Enem em fascículos 2012Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:

• o ponto de partida fi car localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);

• o ponto de partida fi car localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária.

Sendo AB m= 300 3 , BC = 200 m, BÂP = 20º e CBNˆ = 50º, a distância entre os pontos A e C, pode ser facilmente calculada a partir da lei dos cossenos.

Acompanhe:

C20

0 m

50º150º

20º

NB

P

d

A

300 √3 m

Temos:

d o2 2 2300 3 200 2 300 3 200 150= + −( ) ( ) . . . cos

Simplifi cando, obtemos:

d = 700 metros.

Pitágoras e a relação fundamental da Trigonometria

A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras (geômetra grego, nascido por volta de 572 a.C. na ilha egeia de Samos) a descoberta independente do teorema sobre triângulos retângulos, hoje universalmente conhecido pelo seu nome – que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados sobre os catetos. É sabido que esse teorema era conhecido pelos babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes, mas sua primeira demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras. Desde os tempos de Pitágoras, muitas demonstrações desse teorema foram apresentadas.

Vejamos uma demonstração utilizando as razões trigonométricas:

θ

θα

α

b

C

A

hc

Bnm

a

H

• cos ( )α = = → =c

a

n

cc na I2

• senb

a

m

bb ma IIα = = → =2 ( )

Somando (I) e (II), obtemos:

c2 + b2 = na + ma = a · (n + m) = a · a = a2.

Logo, c2 + b2 = a2 (Pitágoras).

Por outro lado, tem-se:

• cos . cos . cos ( )α α α= → = → =c

aa c a c III2 2 2

• senb

aa sen b a sen b IVα α α= → = → =. . ( )2 2 2

Somando (III) e (IV), obtemos:

a2 · cos2 α + a2 · sen2 α = c2 + b2

a2 · (cos2 α + sen2 α) = a2

Logo, cos2 α + sen2α = 1 (R. Fundamental), ∀α agudo.

Funções trigonométricas: Seno e CossenoAs seis razões trigonométricas apresentadas até o

momento variam conforme o ângulo a que se referem. São perfeitamente determinadas para cada um dos ângulos compreendidos entre 0º e 90º e a cada ângulo, nesse intervalo, corresponde apenas um valor para cada razão. As razões trigonométricas são, pois, funções dos ângulos a que se referem e costumamos nomeá-las de funções trigonométricas. No entanto, as defi nições acima podem ser generalizadas para qualquer ângulo α da seguinte forma:

A ampliação do domínio das funções trigonométricas a toda reta real faz-se recorrendo à circunferência trigonométrica. Ela é defi nida por uma circunferência de raio unitário (raio = 1) centrada na origem dos eixos cartesianos.

(0,1) 90º

180º

270º

(–1,0)

(0,–1)

(1,0) x

y+

–

(arcos positivos, sentido anti-horário)

(arcos negativos, sentido horário)

P(xp,y

p)y

p

O

1

αx

p

0º = 360º

Dessa forma, podemos defi nir o seno e o cosseno do ângulo α para todos os valores de α e não somente para aqueles

entre 0º (ou 0 radianos) e 90º (ou π2

radianos).


Enem em fascículos 2012Vejamos:

senypα =1

e cosα =xp

1

Assim, as coordenadas do ponto P são:

P(xp, y

p) = (cos α , sen α).

Consequentemente, temos:

cosπ2

0= e senπ2

1=

De modo semelhante, para o ângulo α = π radianos (meia-volta na circunferência), temos cos(π) = –1 e sen(π) = 0, pois o ponto (x

p, y

p) = (0, –1).

Quando α = 2π radianos, voltamos a ter o ponto (1, 0), o que nos dá cos(2π) = 1 e sen(2π) = 0. Prosseguindo para outros valores, verifi camos que as funções trigonométricas se repetem cada vez que adicionamos 2π radianos ao ângulo primitivo α. Da mesma forma que temos valores possíveis para o seno e o cosseno quando α > 0, também é possível atribuir valores às funções trigonométricas quando α < 0. Nesses casos, temos ângulos descritos no sentido dos ponteiros do relógio (sentido horário). Portanto, as duas funções, seno e cosseno, fi cam bem defi nidas para todos os valores de α na reta real.

Observação:

É possível defi nir a função tangente do ângulo α de modo semelhante.

• Representação geométrica das funções seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica.

eixo dos senos eixo das tangentes

eixo dos cossenos

90º

II Q

III Q

I Q

IV Q

180º

270º

O

B(0,1)

P TP’

(–1,0)

(0,–1)

A(1,0)

tg α

cos α

sen α

α 0º = 360º

Para se ter uma ideia do comportamento geral de uma função trigonométrica, é conveniente construir o seu gráfi co. A princípio, seria necessário conhecer todos os pontos para obter o gráfi co, entretanto, o conjunto de pontos notáveis discutidos anteriormente permite construir uma fi gura bastante próxima do gráfi co desejado.

• Gráfi co da função seno

Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde y = sen x, construímos o gráfi co da função seno no intervalo de 0 a 2π.

x y = sen x

0 0

π/6 1/2

π/4 2 2/

π/3 3 2/

π/2 1

π 0

3π/2 –1

2π 0

Propriedades

• D(f) = R.

• Im(f) = {y ∈ R| – 1 ≤ y ≤ 1} = [– 1; 1].

• f é função ímpar, pois sen(–x) = – sen x, ∀x ∈ R.

• f é limitada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.

• f é periódica, de período p = 2π.

• Gráfi co

π6

π4

π3

π π

y1

0

--1

2

π2x

π23

• Gráfi co da função cosseno

Utilizando os pontos (x, y) da tabela abaixo, onde y = cos x , construímos o gráfi co da função cosseno no intervalo de 0 a 2π.

x y = cos x

0 1

π/6 3 2/

π/4 2 2/

π/3 1/2

π/2 0

π – 1

3π/2 0

2π 1

Propriedades

• D(f) = R.

• Im(f) = [– 1; 1].

• f é função par, pois cos(–x) = cos x, ∀x ∈ R.

• f é função limitada, pois – 1 ≤ f(x) ≤ 1, ∀x ∈ R.

• f é periódica, de período p = 2π.


Enem em fascículos 2012• Gráfi co

π6

π4

π3

ππ

y1

0

--1

2π23 π2 x

• Gráfi co da função tangente

Utilizando os pontos (x, y) da tabela a seguir, onde

y = tg x, com x ≠ ( )2 1

2

k + π, construímos o gráfi co da função

tangente no intervalo de 0 a 2π.

x y = tg x

0 0

π/6 3 3/

π/4 1

π/3 3

π/2 ∃

2π/3 – 3

3π/4 – 1

5π/6 – 3 3/

π 0

2π 0

Propriedades

• D(f) = x xk

k e∈ ≠ +

R z|( )

,2 1

2

π.

• Im(f) = R.

• f é função ímpar, pois tg(– x) = – tg x, ∀x ∈D.

• f não é limitada.

• f é periódica, de período p = π.

• Gráfi co

y

xπ π2

0 π23 π2

Exemplo:

Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de Ciências Exatas, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo era periódico e podia ser aproximado pela expressão:

P t t( ) cos= + +

21

22

6

5

4

π π ,

onde t é o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t = 0) e P(t) é a profundidade da água (em metros) no instante t.

Evidentemente, P(t) será maximizado quando tomarmos

cos .π π6

5

41t +

= Consequentemente, t k= −1215

2, com

k inteiro. Daí, podemos garantir que, depois de 4,5 horas

(k = 1), ocorreu a primeira maré alta após o início da observação.


algébricos.

C-5H-21

• O alcance máximo no lançamento oblíquo de um corpo é

dado pela expressão Av sen

g= 0

2 θ, onde v0 e g denotam,

respectivamente, a velocidade inicial de lançamento do corpo e a aceleração da gravidade. Um jogador de golfe lança uma bola com velocidade inicial v

0 = 10 m/s obtendo

um alcance máximo de 2 – cos θ metros.

y

g

v0

xθ

Considerando que θ é um ângulo do 1º quadrante, e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, o ângulo de lançamento θ é:

a) π2

b) π3

c) π4

d) π6

e) π8



Comentário

De acordo com o enunciado, podemos escrever a expressão do alcance da seguinte forma:

210

10

2

− =( ) ⋅

coss

θθen

Simplifi cando a equação trigonométrica, obtemos:

2 2− = → = +cos s s cosθ θ θ θen en

Dividindo ambos os membros por 2 , teremos:

11

2

1

2

14 4

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

s cos

cos s cos

en

en sen

adição de arcos

θ θ

π θ π θ

14

= +

sen θ π

Para que ocorra a igualdade acima, devemos ter:

θ π π π θ π π+ = + ⋅ ∈ → = + ⋅4 2

24

2k m k, co . k Z

Como θ é agudo, concluímos que θ π=4

rad.

Resposta correta: c


Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

C-2H-8

05. Uma indústria fabrica uma peça, mostrada na Figura 1, formada pela junção de dois sólidos de revolução: um cone de raio da base 1 cm, cuja inclinação da geratriz mede 60º, e uma esfera cujo centro é o vértice do cone. A altura total da peça é 2,23 cm. Por demanda dos clientes, o fabricante necessita colocar um acabamento em forma de um pequeno anel, de espessura desprezível, na interseção dos dois sólidos, como mostra a Figura 2.

Figura 1 Figura 2

Considere que haja um corte passando pelo eixo de simetria do cone, conforme mostra a Figura 3.

X

X

X Xr

60º

1 cm

2,23 cm

Dado :

3 173≅ ,

Figura 3

Em vista dos dados apresentados, é correto afi rmar que o raio do anel a ser produzido é igual a:a) 0,18 cm b) 0,21 cmc) 0,25 cm d) 0,30 cme) 0,35 cm

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

C-2H-9

06. Considere as seguintes informações:• De dois pontos A e B, localizados na mesma margem de

um rio, avista-se um ponto C, de difícil acesso, localizado na margem oposta;

• Sabe-se que B está distante 1000 metros de A;• Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para

medir ângulos) foram obtidas as seguintes medidas: BÂC = 30° e AB�C= 80°.

Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que seu comprimento seja mínimo. Podemos afi rmar que o comprimento da ponte será de aproximadamente:a) 1048 metros b) 532 metrosc) 524 metros d) 500 metros e) 477 metros

Dado: Considere sen 80° = 0,985, sen 70°= 0,940, cos 80° = 0,174 e cos 70° = 0,340

DE OLHO NO ENEM

Formulário Trigonométrico

Fórmulas da adição

sen(β + α) = sen β · cos α + sen α · cos β

cos(β + α) = cos α · cos β – sen β · sen α

tgtg tg

tg tg( )β α β α

β α+ = +

− ⋅

1



Arco duplo

sen(2α) = 2 · sen α · cos α

cos(2α) = cos2 α – sen2 α

tgtg

tg( )2

2

1 2α α

α= ⋅

−

Fórmulas da subtração

sen(β – α) = sen β · cos α – sen α · cos β

cos(β – α) = cos β · cos α + sen β · sen α

tgtg tg

tg tg( )β α β α

β α− = −

+ ⋅

1

Arco metade

sen( / )cosα α

21

2= ± −

cos( / )cosα α

21

2= ± +

tg( / )cos

cosα α

α2

1

1= ± −

+

Fórmulas de Werner

sen + sen sen +

cos α β α β α β= ⋅

⋅ −

22 2

cos + cos cos +

cos α β α β α β= ⋅

⋅ −

22 2

tg + tg +

cos

α β α β

α β=

⋅sen( )

cos

sen sen sen cos α β α β α β− = ⋅ −

⋅ +

22 2

cos cos sen +

sen α β α β α β− = − ⋅

⋅ −

22 2

tg tgcos

α β α βα β

− = −⋅

sen( )

cos

Saiba que alguns problemas de geometria exigem a utilização de algumas dessas fórmulas.

Constatação:

Um farol localizado a 36 m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância x da base do farol, a partir de um ângulo α, conforme a fi gura:

α

36 m

x

Admitindo-se que sen(α) = 3

5 e que o barco se aproximou

do farol e uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo α passou exatamente para 2a, a nova distância x’ a que o barco se encontrará da base do farol pode ser calculada facilmente usando a fórmula do arco duplo:

tg2 =tg

1 tg

2

α αα

2 ⋅−

Ilustração

αα

36 m

x’

α

36 m

• sen I tg α α= ⇒ =3

5

3

4( )

• tgx

II (22tg

1 tg 2

α αα

) ( )=−

= 36

’

Substituindo (I) em (II), encontramos:

23

4

13

4

362

.

−

= ⇒x’

x’ = 10,5 m.



EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a

construção de argumentação.C-5

H-22

01. Um posto de combustíveis vende diariamente uma média de 20000 litros de gasolina ao preço de R$ 2,60 por litro. Um estudo demonstrou que, para uma variação de 1 centavo no preço do litro, corresponde a uma variação de 100 litros nas vendas diárias. Com base nesse estudo, o preço por litro que garante a maior receita é:a) R$ 2,75 b) R$ 2,65c) R$ 2,30 d) R$ 2,40e) R$ 2,10


algébricos.C-5

H-21

02. O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades A e B é feito por uma única companhia em um único voo diário. O avião utilizado tem 180 lugares, e o preço padrão da passagem é 300 reais. Certo dia, a empresa resolve fazer uma promoção, a viagem será paga apenas quando o avião chegar ao seu destino, e o preço da passagem será reduzido em 75 centavos por cada passageiro. Dessa forma, se por exemplo, 10 pessoas fi zerem a viagem, então cada passageiro deverá pagar 300 – 10 ⋅ 0,75 = 292,50. Nessas condições, a receita máxima possível nessa viagem é, em reais:a) 30000 b) 29900c) 29800 d) 29700e) 29600


algébricos.C-5

H-21

03. Os cabos da ponte pênsil, indicada na fi gura a seguir, tomam a forma de arcos de parábola do segundo grau. As torres de suporte têm 24 m de altura e há um intervalo entre elas de 200 m. O ponto mais baixo de cada cabo fi ca a 4 m do leito da estrada. Considerando o plano horizontal do tabuleiro da ponte contendo o eixo dos x e o eixo de simetria da parábola como sendo o eixo dos y, perpendicular a x, determine o comprimento do elemento de sustentação BA, que liga verticalmente o cabo parabólico ao tabuleiro da ponte, situado a 50 m do eixo y.

200 m

50 m

4 m

24 m

TORRETORRE

TORRE

ESTRADA ESTRADA

x

y

B O

A

TORRE

a) 9 mb) 12 mc) 15 md) 18 me) 21 m

Compreendendo a Habilidade– Interpretar gráfi co cartesiano que represente relações entre grandezas.C-5

H-20

04. Na fi gura abaixo, temos os gráfi cos das funções custo (C) e receita de vendas (R) diárias de um produto de uma empresa, em função da quantidade produzida e vendida, em número de unidades.

C

R

00

200400600800

1000120014001600

10 20 30 40 50 60

Quantidade

Rece

ita e

Cus

to

Podemos afi rmar que:a) o lucro será nulo somente se a quantidade produzida e

vendida for 30.b) haverá prejuízo somente quando a quantidade

produzida e vendida for menor que 10.c) o prejuízo máximo será de $ 400.d) o lucro máximo é superior a $ 800.e) haverá lucro quando a quantidade produzida e vendida

estiver entre 10 e 30.

• Texto para as questões 05 e 06.

Uma empresa de transporte de carga estima em 20% ao ano a taxa de depreciação de cada caminhão de sua frota. Ou seja, a cada ano, o valor de seus veículos se reduz em 20% em relação ao ano anterior. Para cada caminhão, a área fi nanceira da empresa criou um fundo para repor a depreciação. Em cada instante t, o fundo deve ter exatamente o dinheiro necessário para completar, sobre o valor do caminhão depreciado, os R$ 100.000,00, preço de um caminhão novo.



Compreendendo a Habilidade– Interpretar gráfi co cartesiano que represente relações entre grandezas.C-5

H-20

05. O gráfi co que melhor representa o dinheiro disponível nesse fundo (f) ao longo do tempo para um caminhão é:

a)

100000

90000

80000

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

1 2 3 4 5 6 7 8 9

f

t

b)

100000

90000

80000

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

1 2 3 4 5 6 7 8 9

f

t

c)

100000

90000

80000

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 t

f

d)

100000

90000

80000

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 t

f

e)

100000

90000

80000

70000

60000

50000

40000

30000

20000

10000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 t

f

Compreendendo a Habilidade– Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos

algébricos.C-5

H-23

06. Pela política da empresa, quando o valor de um caminhão atinge 25% do valor pelo qual foi comprado, ele deve ser vendido, pois o custo de manutenção passa a fi car muito alto. Considerando a aproximação log 2 = 0,30, os caminhões dessa empresa são vendidos em, aproximadamente: a) 3 anos após sua compra. b) 4 anos após sua compra. c) 6 anos após sua compra. d) 8 anos após sua compra. e) 10 anos após sua compra.


algébricos.C-5

H-21

07. À medida que repetições são efetuadas, o trabalhador demanda menos tempo para a execução da tarefa, seja pela familiaridade adquirida com os meios de produção, seja pela adaptação às ferramentas utilizadas ou pela descoberta de “atalhos” para realização da tarefa.”

WRIGHT, 1936; TEPLITZ, 1991; DAR-EL, 2000.


Enem em fascículos 2012 Um trainee de rede de fast food, em seu primeiro dia de

trabalho, conseguiu preparar 60 sanduíches. No segundo dia, preparou 90 sanduíches e no terceiro dia preparou 105 sanduíches. O modelo utilizado para descrever essa aprendizagem é da forma: s(t) = a – b ⋅ ct.

Em que, s(t) representa a produção diária de sanduíches após t dias de experiência, a constante a representa o patamar máximo de desempenho a ser atingido quando a aquisição de conhecimento for integral. Com base nessas informações, o valor desse patamar máximo é:a) 105 b) 110c) 115 d) 120e) 125

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para aconstrução de argumentação.

C-5H-22

08. Em certo lago, a massa de algas, medida em quilogramas, varia de maneira periódica conforme a função

m(t) = 2500 + 2100 sen120

⋅

πt, em que t é o tempo

em dias, a partir de 21 de dezembro de cada ano. Assinale a alternativa que apresenta a massa mínima de algas nesse lago e o período de tempo decorrido entre o registro sucessivo de duas massas mínimas.a) 1450 kg e 60 dias b) 1450 kg e 120 diasc) 1450 kg e 180 dias d) 400 kg e 60 diase) 400 kg e 240 dias

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.

C-2H-9

09. Um método utilizado pelos gregos para medir o raio da Terra consistia em observar a linha do horizonte, medir o ângulo θ que a linha OH fazia com a vertical OA e medir OA, conforme as fi guras 1 e 2 .

O

A

θ

H Horizonte

Figura 1

O

θ

A

RH

R

C

Figura 2

Fazendo uso desse raciocínio, com θ = 80º e OA = 100 m e considerando sen 80º ≈ 0,984, pode-se concluir que o raio da Terra vale, aproximadamente:a) 5280 m b) 5460 m c) 6150 m d) 6270 m e) 7320 m

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.

C-2H-8

10. Duas escadas foram encostadas em um muro, conforme mostra a fi gura.

Escada de 4 m

Muro

27º

1,7 m

Escada

Lojas

65º

Dados: sen 65º = 0,90 ; cos 65º = 0,42 e tg 65º = 2,10 sen 27º = 0,45 ; cos 27º = 0,89 e tg 27º = 0,50

A altura total do muro é:a) 5,0 m b) 5,5 m c) 6,0 m d) 6,5 m e) 7,0 m

GABARITOS


01 02 03 04 05 06

c d e e c c

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01 02 03 04 05

c d a e e

06 07 08 09 10

c d e c e

ExpedienteDiretor-Superintendente: Tales de Sá Cavalcante Diretora Pedagógica: Hilda PriscoDiretora Controller: Dayse TavaresSupervisão Pedagógica: Marcelo PenaGerente do FBEscolas: Fernanda DenardinGerente Gráfi co: Andréa Menescal

Coordenador Gráfi co: Sebastião PereiraProjeto Gráfi co: Joel Rodrigues e Franklin BiovanniEditoração Eletrônica: Rejane PierreIlustrações: GracoRevisão: Eveline Cunha

OSG.: 61951/12

enem em fascÍculos - 2012 8 - projeto medicina -...

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