Instituto Superioi' Técni,~o

e> O~

lVII Secção de Mecânica Aplicada

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2

ESTABILIDADE DO EQUILÍBRIO

ENCURVADURA

Prof. Luis Calado

Maio de 1994

1. INTRODUÇÃO

Uma agulha perfeitamente recta pode ficar em equilíbrio apoiada na sua ponta.

Todavia, a menor perturbação ou imperfeição no seu fabrico tornará impossível

o equilíbrio. Este tipo de equilíbrio é designado como instável, sendo necessário

evitar situações análogas em sistemas estruturais.

Os conceitos de equilíbrio estável, neutro e instável podem ser facilmente

entendidos através do exemplo clássico de uma esfera sobre uma superfície

(Figura 1).

a- estável b -neutro c- instável

Figura 1

As forças que actuam sobre a esfera (gravidade W e reacção normal à superfície R)

estão nitidamente em equilíbrio quando a superfície é horizontal.

Imagine-se que se desloca a esfera da posição a para uma posição a'. As forças de

reacção R e de gravidade W deixam de estar em equilíbrio, surgindo uma força

que tende a levar a esfera para a posição inicial a. Se largarmos a esfera na posição

a', ela voltará à sua posição inicial a. Este tipo de equilíbrio é designado de estável.

A situação c' é completamente oposta, pois a força de "desequilíbrio" tende a

afastar a esfera da sua posição inicial c. Este tipo de equilíbrio é designado de

instável.

O caso b está compreendido entre os dois casos anteriores. Se a esfera for

deslocada da posição b para a posição b', ela permanecerá em equilíbrio e não

apresentará qualquer tendência para voltar à configuração inicial b. Este tipo de

equilíbrio é designado de neutro.

-1-

Tendo por base critérios energéticos estudados anteriormente, pode mostrar-se que:

Ao equilíbrio estável corresponde

Ao equihôrio neutro corresponde

Ao equihôrio instável corresponde

onde V representa a energia potencial, que é a soma da energia de deformação U

com o potencial das forças exteriores II, e o2 a segunda variação cujas

propriedades são muito semelhantes às do diferencial de 2a ordem d2.

A partir do exemplo da esfera, pode chegar-se à definição de estabilidade do

equilíbrio. Um sistema diz-se que está em equilíbrio estável se para todos os

pequenos deslocamentos possíveis dados a partir da configuração de equihôrio, as

forças de "desequilíbrio" resultantes tendem a levar o sistema à configuração

inicial de equilíbrio.

-2-

2. TIPOS DE INSTABILIDADE

A instabilidade pode ser causada por insuficiência de vínculos externos, ou pelo

facto da estrutura ser muito esbelta (conceito que analisaremos mais à frente)

(Figura 2).

/'

/'

I I I I I I --~~~~~~~c=~ Ares~

simplesmente apoiadas

Figura 2

Se admitirmos que a estrutura se encontra devidamente ligada ao exterior, a

instabilidade devida à esbelteza será a que mais preocupará os engenheiros.

Se por exemplo, considerarmos duas colunas, com os mesmos vínculos externos

e a mesma secção transversal, mas comprimentos diferentes (Figura 3), elas terão

certamente comportamentos diferentes quando submetidas a esforço axial. A

coluna a, mesmo sob a acção de uma pequena carga axial P1, encurvará. Do ponto

de vista da engenharia a coluna atingiu o colapso.

o..) ~Y-)

Figura 3

-3-

A coluna mais curta, com a mesma secção transversal, não terá problemas de

instabilidade.

Neste caso, o colapso seria causado pela resistência máxima à compressão, e,

certamente, para uma carga P2 muito maior que a carga P1.

Embora os modos de colapso sejam diferentes, ambas as colunas teriam atingido

o colapso, a mais longa devido à encurvadura e com uma carga axial

consideravelmente menor do que a coluna mais curta, a qual seria esmagada.

A encurvadura tal como descrita acima, é um tipo de colapso resultante da

instabilidade estrutural devida à acção de forças de compressão sobre o elemento

estrutural. Ocorre normalmente de modo inesperado e é sempre espectacular e

catastrófica.

A carga para a qual a instabilidade ocorre e a tensão devida a esta carga são

designadas de carga crítica P cr e de tensão crítica O"cr·

Muitos tipos de instabilidade resultam de carregamentos de compressão, como no

caso de colunas e chapas carregadas no seu plano, e da deformação devido à

flexão. Algumas vezes, sob certos tipos de carregamento de compressão ou de

torção, as deformações devido à torção ocorrem sózinhas ou em combinação com

deformações devido à flexão. Na Figura 4 mostram-se alguns exemplos.

I I I I

i I I I I '/

I . '/ I -,= -- I I -'i I " I I I I I I I I I

I

Figura 4

A coluna indicada na Figura 4 apresenta instabilidade, resultando em

deformações de torção, enquanto que a viga em consola, quando sujeita a

-4-

momento flector, apresenta flexão lateral e torção (bambeamento). Este tipo de

instabHidade é particularmente importante em vigas de secção aberta (pequena

rigidez de torção) e de grande altura.

A instabilidade pode ainda ser classificada em instabilidade local, instabilidade do

elemento e instabilidade global (estrutural).

A instabilidade local corresponde à instabilidade das placas que constituem as

paredes das secções, e à formação de ondas nas chapas (Figura 5).

Figura 5

A instabilidade local não provoca necessariamente a instabilidade global ou a

instabilidade do elemento.

A instabilidade do elemento pode causar a instabilidade global da estrutura. Tudo

dependerá da importância do elemento para a estabilidade global da estrutura

(Figura 6).

-5-

A B

A

Figura 6

A instabilidade do elemento CD implica o colapso da estrutura, pois a estrutura

toma-se um mecanismo. A instabilidade do elemento GE não implica o colapso

da estrutura, pois ficará ainda interiormente hiperstática.

-6-

3. ENCURVADURA DE COLUNAS

Nesta secção estudar-se-á a carga crítica de colunas com várias condições de apoio.

Considerar-se-ão somente colunas constituídas por material homogéneo e com

secção transversal bi-simétrica, isto é, com dois eixos de simetria. Além do

material ser homogéneo e elástico, admite-se também que as secções planas

permanecem planas depois da coluna encurvar (hipótese de Bernoulli), que as

deformações por esforço axial e transverso são desprezáveis, que a encurvadura

se dá num plano principal de inércia e que a concentração de tensões tem um

efeito desprezável sobre o comportamento global da coluna.

As deformações por esforço transverso podem ser desprezadas em materiais

como o aço ou alumínio. Em materiais plásticos ou não homogéneos a

deformação por esforço transverso deve ser considerada, já que diminui a carga

crítica ·da coluna.

3.1 Caso fundamental- coluna bi-articulada (Euler, 1778)

Considere-se a coluna bi-articulada de comprimento L, carregada axialmente por

uma força de compressão aplicada no centro de gravidade da secção transversal

(Figura 7). Admita-se ainda, como anteriormente referido, que a coluna

encurvará por flexão num plano principal de inércia.

-7-

p

2

Figura 7

O deslocamento u2(x3) é o deslocamento segundo o eixo 2 de uma secção genérica

localizada à distância x3. Nessa secção existirá um momento flector dado pela

equação de equilibrio:

(3.1)

Viu-se, aquando do estudo da flexão, que a relação entre o momento flector e o

raio de curvatura R pode ser expresso pela seguinte equação constitutiva:

(3.2)

(para simplicidade de escrita das equações passar-se-á a escrever Mi = M e a omitir

(x3))

Por geometria diferencial

compatibilidade:

1 U2.33 R = - [1 +(u2,3)2]3/2

obtem-se para a curvatura a seguinte equação de

(3.3)

Na hipótese dos pequenos deslocamentos, a quantidade (uz,3)2 pode ser

desprezada relativamente à unidade, e a curvatura é dada pela expressão (análise

linear da encurvadura):

-8-

1 R=- U2,33 (3.4)

A partir das equações (3.1), (3.2) e (3.4) pode escrever-se:

EI p U2 = M = R = - EI U2,33 (3.5)

ou então

(3.6)

p U2,33 + EI U2 = o (3.7)

p Se considerarmos k2 = EI a expressão (3.7) pode ser escrita da seguinte forma:

U2,33 + k2 u2 =O (3.8)

esta equação de equilíbrio relaciona a carga aplicada P com o deslocamento u2 da

coluna.

A solução geral para a equação (3.8) é:

u2 = A sen kx3 + B cos kx3 (3.9)

Nesta equação A e B são constantes que podem ser calculadas a partir das

condições de fronteira.

Para a coluna em estudo obtem-se:

X3=0 U2= 0 B=O

JC3=L U2=0 AsenkL=O

a equação A sen kL é satisfeita para A= O ou sen kL =O, isto é:

(solução trivial e não existe encurvadura)

sen kL =O kL = n 1t com n = 1, 2, 3, ...

atendendo à definição de k, vem:

~L=n1t (3.10)

-9-

e para o deslocamento uz obtem-se:

n 1t X3 uz=Asen L

(3.11)

(3.12)

(3.13)

Quando P apresenta estes valores, a amplitude dos deslocamentos, dada pelo

valor de A, é indeterminada. O valor da carga P que toma possível a configuração

curva da coluna é designado por carga crítica e é representado por P cr·

As cargas críticas para a coluna bi-articulada são, então:

(3.14)

Por conseguinte, uma coluna perfeitamente rectilínea e bi-articulada tem um

número infinito de cargas críticas. A menor delas será quando n = 1, isto é:

(3.15)

Esta carga crítica, deduzida por Euler, é usualmente representada por PE

(3.16)

Nesta expressão I é o momento de inércia mínimo da secção e constante ao longo

do comprimento da coluna, E o módulo de elasticidade e L o comprimento. O

caso da coluna bi-articulada é geralmente designado como caso fundamental. Para

este caso a coluna encurvará segundo uma função seno e amplitude A

indeterminada (Figura 8).

-10-

I I I I I I

A~ I I

Figura 8

Na Figura 9 encontram-se representadas as configurações para as cargas críticas 1 2 3

Pcr,PcrePcr·

-11-

I I I I I I

A~ I I I I

1 1t2 EI Pcr=v

1 1tX3 u 2 =A1senL

I'

A~T L/2

-l-I

L/2

I _1

2 41t2 EI Per= L2

2 21tX3 u 2 = A2 sen-L-

Figura 9

!'

" "T Lí3

+ L/3

+ L/3

t

3 91t2 EI Per= L2

3 37tx3 u 2 = Ag sen L

A solução do problema da coluna bi-articulada é apresentado no gráfico seguinte

(Figura 10):

-12-

:p

'- .,.,.; \i~ \irNOJL ( 1. "F"''"'"'Õo)

Figura 10

1 Verifica-se que para cargas superiores a Per a configuração é instável, a menos que

a coluna esteja impedida de se deslocar transversalmente.

1 A carga crítica P cr é de todas a que confere à coluna a menor energia potencial,

sendo, por conseguinte, o valor da carga para o qual a coluna irá encurvar

(Princípio da Mínima Energia Potencial).

A indeterminação da amplitude do modo de encurvadura deve-se ao facto de as

expressões terem sido deduzidas admitindo a hipótese dos pequenos

deslocamentos.

Caso se tivesse utilizado a equação

1 U2.33 R=- [1 + (U2,3)2]3/2 (3.3)

a resolução da equação diferencial mostraria que a coluna teria um

comportamento estável de pós-encurvadura, e que para um deslocamento a meio

vão da coluna da ordem de L/4 a carga aumentaria de cerca de 10%. Pode-se,

portanto, concluir que a análise linear efectuada nesta secção descreve, com

suficiente precisão, o comportamento de uma coluna recta carregada axialmente à

compressão no seu centro de gravidade.

-13-

Exemplo:

Determinar a carga crítica de Euler para a coluna de comprimento igual a 10.00 m

e de secção rectangular igual a 100 x 200 mm2. A coluna é bi-articulada e o

módulo de elasticidade é de 200 GPa.

10.00""

- 2. ,r 200""""' r

Encurvadura em torno do eixo 1

200 X 1003 . _4 4 1t = 12 = 0.167 x 10 m

1t2 X 200 X 0.167 X 10-4 Pcq = 102 = 329 kN

Encurvadura em torno do eixo 2

Iz 100 X 2003 _4 4

12 = 0.67 x 10 m

_ n2 X 200 X 0.67 X 10·4 _ 1 16

kN Pcrz- 102 - 3

A coluna encurvará para o menor dos dois valores e, por conseguinte, a carga

crítica de Euler será:

PE =329 kN

-14-

Problema

Determine o valor máximo da força de compressão que pode ser aplicada a uma

coluna de 3.00 m de comprimento, com secção quadrada de 20 x 20 mm2 e com

módulo de elasticidade igual a 210 GPa. Pe = 3.07 kN)

Problema

Determine o comprimento máximo que pode ter uma coluna bi-articulada com

secção circular (r = 25 mm) de modo a que consiga suportar uma força de 100 kN

aplicada no centro de gravidade sem encurvar. Admita E = 200 GPa. (L = 2.46 m)

3.2 Colunas com outras condições de apoio ideais

Um processo análogo ao utilizado para a coluna bi-articulada pode ser empregue

para determinar a carga crítica de colunas com condições de apoio diferentes. As

soluções destes problemas são muito sensíveis às condições de apoio.

Considere-se, por exemplo, uma coluna com uma extremidade encastrada e outra

articulada, conforme representado na Figura 11.

p

Figura 11

-15-

A equação de equilíbrio, numa secção genérica à distância x3 é:

Mo M= Puz -r:-(L-X3) (3.17)

M= P uz- Mo (1- x3/L) (3.18)

A relação constitutiva é:

(3.2)

Analogamente ao caso fundamental e na hipótese dos pequenos deslocamentos, a

relação de compatibilidade é dada pela seguinte expressão (análise linear da

encurvadura):

1 R=- U2,33 (3.4)

A equação diferencial de equilibrio vem então:

1 U2,33 = EI (- P uz +Mo (1- x3/L)) (3.19)

p Se fizermos k2 = EI a expressão (3.19) pode ser escrita da seguinte forma:

k2Mo X3 kz (1--L) uz,33 + uz = p (3.20)

A solução homogénea desta equação diferencial, isto é, quando se iguala o seu

segundo membro a zero, é a já obtida para o caso da coluna bi-articulada. A

solução particular, quando não é nulo o segundo membro da equação, pode ser

obtida dividindo o termo do segundo membro por k2. A solução composta é

então dada por:

Mo X3 uz = A sen kx3 + B cos kx3 + p (1 - L ) (3.21)

Nesta equação A e B são constantes arbitrárias e Mo é o momento flector

desconhecido no encastramento.

As três condições de fronteira são:

-16-

uz= O

X3=L uz= O

U23 = 0 '

Analogamente ao efectuado para o caso bi-articulado, obtém-se a seguinte

equação transcendente

kL=tangkL (3.22)

a quai deve ser satisfeita para uma configuração de equilíbrio não trivial da

coluna sob a acção da carga crítica. A menor raiz da equação kL = tang kL é:

kL =4.493

e, portanto, a carga crítica correspondente à coluna articulada-encastrada é:

20.19 EI n2 EI Per= L2 = 2.05 --v (3.23)

Esta expressão mostra que a introdução de um vínculo (impedimento da rotação

no encastramento) numa das extremidades, aumenta a carga crítica

relativamente ao caso fundamental (coluna bi-articulada).

Para a coluna bi-encastrada, a carga crítica seria:

(3.24)

valor que é mais elevado, quando comparado com a coluna encastrada-apoiada.

A carga crítica numa coluna com uma extremidade livre e outra encastrada é:

Para este caso extremo, a carga crítica é igual apenas a um quarto da

correspondente ao caso fundamental.

Todas estas fórmulas podem ser representadas por uma expressão idêntica à do

caso fundamental, desde que se utilize o conceito de comprimento de encurvadura Le (distância entre os pontos de inflexão da deformada) em lugar do

-17-

seu comprimento real. O comprimento de encurvadura para o caso fundamental

é L, enquanto para o caso encastrado-apoiado é 0.7L, bi-encastrado é O.SL e livre­

encastrado é 2L. Estes valores são facilmente recordados traçando a deformada da

coluna e verificando o comprimento do troço deformado que corresponde a uma

coluna bi-articulada (comprimento entre pontos de inflexão da deformada).

(3.26)

Na Figura 12 estão representados os comprimentos de encurvadura para colunas

com diferentes condições de apoio.

:p<ll. LJ!.

n2EI -4Y L ~

X

Lz

4n 2EI -~ • • "-.... ~ 1L Lz 2

2.04n 2EI -~ Lz ~ 0.70L

n2EI -~ • -~ 2L 4L2

n2EI -~ • rn. L Lz Ull

n2EI lk 'T 2L

4L2

----

n2EI Pcr=-2-

L e

Le - comprimento de encurvadura

Figura 12

-18-

A tensão crítica de uma coluna, pode ser calculada pela expressão:

em que:

i é o raio de giração

Le Â. = T a esbelteza que permite caracterizar o tipo de coluna:

Â. < 20 barras curtas

20 < Â. < 105 barras intermédias

Â. > 105 barras longas

3.3 Colunas com encastramentos elásticos

3.3.1 - Encastamentos elásticos em ambas extremidades (Figura 13)

T

Figura 13

-19-

(3.27)

Para a coluna representada na Figura 13 o momento flector numa secção genérica

à distância X3 é:

M=Pu2-m (3.28)

As relações constituiva e de compatibilidade são as mesmas dos casos anteriores,

pelo que se obtem para este caso:

p com k2 = EI , como anteriormente considerado.

A solução completa para este caso é dada por:

m u2 = A sen kxs + B cos kx3 + k2EI

(3.29)

(3.30)

A e B são constantes de integração e podem ser determinadas a partir das

seguintes condições de fronteira:

U2= o m B =- k2EI

Devido às condições de simetria obtem-se:

U2,3 =o m 1 A=-kEI tang 2kL

m 1 u2,3 "'<I> =- k EI tang 2 kL

Se definirmos um coeficiente a como:

virá:

m a=-

<1>

1 2EI kL tang-kL=--.-

2 aL 2

-20-

(3.31)

(3.32)

(3.33)

a L com ~= EI

A equação (3.33) pode ser resolvida graficamente, desenhando ambos os membros

da equação e determinando a intersecção como indicada na Figura 14.

11 2

to.rrq kL . o 2

â!r 2 kL

2

_2 kL {32

-6~----~-----+----_,

Figura 14

Substituindo os diversos valores do ~ na equação (3.33), é possível determinar a

variação da carga crítica com a restrição das rotações nos apoios. A carga crítica

para colunas com apoios elásticos pode escrever-se da seguinte forma

(semelhante aos apoios ideais):

1t2 EI Pcr=-2- (3.26)

Le

O valor do comprimento de encurvadura pode ser determinado facilmente a

partir da curva da Figura 15.

-21-

L~ L

1,0

o,'i'J

o, t

o, 6.

1\

\\ \

\

5 o, o

~ t--

~ r----._

5 10

a L p = EI

15

ri _jL. rl-

-/~m -tp

/ -p

~·m·

J]· jl ,-;._,c·m

20

m a=-

<1>

25 30 f3

(a- representa a rigidez da mola)

Figura 15

-22-

3.3.2 - Encastamento elástico numa extremidade e articulado na outra (Figura 16)

p ~p

Figura 16

A equação diferencial de equilibrio para este caso é:

p m com k2 = El" Da Figura 16 verifica-se que Q =r

A solução completa para este caso é:

m x3 u2 = A sen kx3 + B cos kx3 + k2 EI (1 - L)

Com o raciocínio análogo ao do caso anterior, vem:

X3=0

X3=0

U2= 0

U2= 0

m B= -k2 EI

m A = - k2 EI tang kL

m [ 1 1 J u2,3 = <I> = kEI tang kL - kL

-23-

l L

J

(3.34)

(3.35)

(3.36)

Definindo analogamente a e ~ como:

m a=-

$

a L ~= EI

a equação (3.36) pode ser escrita como

~kL tang kL = (kL)2 + ~ (3.37)

que, tal como no caso anterior, poderá ser resolvida graficamente para obter os

valores de kL correspondentes a um determinado valor de ~·

Substituindo os diferentes valores de ~ na equação (3.37), obter-se-á analogamente

a variação da carga crítica com a restrição do apoio. A carga crítica pode ser escrita

de modo semelhante ao do caso fundamental:

A Figura 15 apresenta a variação do comprimento de encurvadura com a L

restrição do apoio. Repare-se que para ~ = oo os valores obtidos para a relação {

são os valores que correspondem aos apoios ideais, isto é, encastrado-encastrado

ou encastrado-apoiado.

Por exemplo, para a curva da coluna com encastramentos elásticos nas duas

extremidades e fazendo ~ = oo obtem-se:

se kL =2n

A carga crítica será então:

L 1 isto é, Le = 2 , como se tinha verificado anteriormente.

-24-

Exemplo:

Determinar o valor da carga crítica que provoca a encurvadura da coluna BC no

plano xy. Considere para o módulo de elasticidade o valor de 210 GPa.

,/ 15,00""

2oo~ c

( """") !>o()

A coluna BC pode ser considerada como apoiada em C e como tendo um

encastramento elástico em B, isto é:

O comprimento da encurvadura da barra BC irá depender da rigidez a da mola.

Cálculo da rigidez a da mola:

-25-

(podemos calcular a flexibilidade da barra invertendo em seguida para obter o 1

valor da rigidez a = 7)

f:=i-J~~ (). I.

:

~

..Lab-L 3

3EJViga Virá para a rigidez da mola o valor o: = 4

Cálculo de ~:

3EJViga

1

d.i"i'"""" d.t ~· {ltc"\o<t.

4 3EI

4 .15

~ = Elcoluna . 0.24 4 4

JVIga = U = 1.333 x 10- m

034 Jcoluna = i

2 = 6.75 x 10-4 m4

1.5 4 X 1.333 X lQ-4

~ = 6.75 X 10-4 2·22

L Entrando no gráfico da Figura 15, obtem-se ~ = 0.88

Le = 0.88L

Le = 0.88 x 15 = 13.20 m

-26-

1t2 X 210 X 1Q6 X 6.75 X 1Q4 P cr = (13.20)2 = 8029 KN

O valor da carga que provoca a encurvadura da barra BC é de 8029 KN.

!l..lu..: A rigidez da mola a dependerá do tipo de esforço que vai impedir a

encurvadura da barra. Neste caso, trata-se de um esforço de flexão e, por isso, a

rigidez da mola é uma rigidez de flexão. No caso da figura seguinte, será de flexão

para encurvadura no plano da figura e de torção para a encurvadura da barra

num plano prependicular ao plano da figura. O comprimento de encurvadura Le

depende do plano no qual a estrutura encurvará.

Problema

Determinar o valor da carga que provoca a encurvadura da coluna AB no plano

xy. Considere para o módulo de elasticidade o valor de 200 GPa. (Per= 7.64 kN)

r 5m

L 20mm ,....,----.1 fio IOOmm •i.

L 114--- 5m •! t:.__y

-27-

Problema

Determinar o valor da carga crítica da coluna, admitindo que os nós estão

impedidos de se deslocar no plano prependicular ao da estrutura,e que todas as

barras têm secção quadrada de 35 x 35 mm2. Considere para o módulo de

elasticidade o valor de 200 GPa. (Per= 166 kN)

p

~ :;:: ;;. ;;.

2m

/ !;; ~ 1\ r

'"

L1.5m-._L.,.__'1.5m __..j

-28-

4. ENCURVADURA DE COLUNAS UTILIZANDO A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 4• ORDEM

A expressão para a carga crítica pode também ser obtida a partir da equação

diferencial de 4• ordem da linha elástica. Essa equação pode ser determinada

considerando o equilíbrio de um elemento infinitesimal (Figura 17) .

. --?3

' H ;v

vtdv

U2,3 = P

Figura 17

O equilíbrio de forças e momento permite escrever as seguintes equações:

LF3=0

LFz =O

LM1=0

- N + (N + dN) + vp - cv + dV) CP + dp) = o -v+ (V + dV) - NP + (N + dN) CP + dP) = o - M + (M + dM)- VdX3= O

N,3 = VP,3 + V,3 p

V,3 = -NP,3- N,3 P

M3=V '

com (,3) = d/ <ix3

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

Em colunas as tensões tangenciais são em geral pequenas, pelo que VP,3 e V,3 P

são termos desprezáveis em comparação com as associadas às tensões normais:

1• aproximação das equações de equilíbrio:

N,3 =O (4.7)

V,3 =- NP,3 (4.8)

-29-

M3=V '

(4.9)

M,33 + N~,3 = O (4.10)

1 U2,33 =-R (4.11)

EI M=R (4.12)

A equação diferencial do equilíbrio será então:

(EI U2,33) ,33 - N U2,33 = o (4.13)

como N,3= O vem que N=-P

Se EI for constante, obtem-se finalmente para a equação diferencial de equilíbrio

de um elemento de coluna na configuração deformada a seguinte equação:

p U2,3333 + EI U2,33 = o (4.14)

A determinação da carga crítica de uma coluna reduz-se ao cálculo do menor

valor de P para o quaJ a equação (4.14), com as respectivas condições de fronteira,

tem solução não nula. Matematicamente é um problema de valores e vectores

próprios:

Valores próprios - cargas críticas

Vectores próprios - modos de instabilidade 1 2

uz 'uz' ...

-30-

5. INFLlffiNCIA DO ESFORÇO TRANSVERSO

Caso se pretenda estudar a influência do esforço transverso, será necessário

escrever a equação da linha elástica tendo em consideração a deformação por corte:

M 1 U2,33 =- EI + GA' V13 (5.1)

ou ainda

M 1 U2,33 = - EI + GA' M,33 (5.2)

Para o caso da coluna bi-articulada viu-se que a equação de equilibrio é:

M=Puz

Substituindo este valor do momento na equação (5.2) obtem-se:

p p U2,33 =- EI U2 + GA' U2,33 (5.3)

p EI U2,33 + 1 uz = o (5.4)

1 - GA'p

esta expressão é análoga à equação (3.7) em que, em vez de P, temos agora:

p

podendo concluir-se que, entrando em conta com o esforço transverso, a carga

crítica pode relacionar-se com a carga crítica de Euler pela expressão:

(5.5)

donde se conclui que:

-31-

(5.6)

Carga crítica de uma coluna bi-articulada, considerando a deformabilidade por esforço transverso:

(5.7)

(5.8)

O esforço transverso diminuiu o valor da carga crítica. Para os perfis metálicos

usualmente utilizados o efeito de V é da ordem de 0.5%, motivo pelo qual não é

considerado no cálculo de P cr·

Obs: analogamente ao efectuado para o esforço transverso, poder-se-ia mostrar que o efeito da deformação axial pode ser desprezado no cálculo da carga crítica de colunas.

-32-

6. EFEITO DAS IMPERFEIÇÕES GEOMÉTRICAS

Existem diversos tipos de imperfeições. Na cadeira de Resistência de Materiais II

estudar-se-á unicamente o efeito da deformação inicial e o efeito da

excentricidade de aplicação da força. Analisaremos apenas a coluna bi-articulada,

mas os outros tipos de condições de apoio poderão ser estudados de forma

análoga.

6.1 Efeito da deformação inicial

Não existem na prática colunas perfeitamente rectilíneas. Para o estudo do efeito

da deformação ínicial admitir-se-á que na ausência de carga a coluna tem a forma

deformada índicada na Figura 18.

l I ' ' ~ l

/" I'NC>Lb.

( ~·"'~"~ (~:'f) j

i IL I ! I I

X3 I

~--'-- _j_

para

Figura 18

P=O

A configuração inicial (sem carga) pode ser representada através de uma série de

Fourier do tipo:

-33-

0 1t X3 21t X3 31t X3 u 2 = b1 sen L+ bz sen -y:- + b3 sen -y:- + .... (6.1)

onde b1, bz, ... são coeficientes que permitem ajustar a série à configuração

deformada da coluna na ausência de carregamento.

Depois da aplicação da carga P, a coluna passará para a configuração uz e o

momento numa secção à distância X3 do apoio vale:

M = P uz (6.2)

Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos, o momento flector M será

proporcional à variação da curvatura na secção, isto é:

o d2(uz- uz)

M=-EI 2 dx3

a equação de equilíbrio poder-se-á escrever então:

com

o uz,33 + k2 uz = u2.33

p k2-­-m

Se o deslocamento ug for substituido pela série de Fourier, vem:

(1t Jz 1t X3 (21t Jz 21t X3

uz,33 + k2 uz =- L) b1 sen L- T) bz sen -y:- + ...

(6.3)

(6.4)

(6.5)

A solução desta equação diferencial resultará da adição da solução homogénea

(coluna bi-articulada) com a solução particular, vindo então:

Jrr_ 1tX3 4 (rJ 21tX3

Uz = Asen kx3 + B cos kx3 +(r)- k2 bl sen L+ 4([)- k2 bz sen -y:- + .. (6.6)

A e B são constantes que podem ser calculadas a partir das seguintes condições de

fronteira.

X3=Ü uz= O B=O

-34-

XiJ=L uz=O AsenkL=O

Se restringirmos o estudo a cargas inferiores à carga crítica de Euler (P<PE) teremos que kL < 1t e, por isso, A = O.

Os deslocamentos uz serão então:

b1 1t X3 bz 21t X3 uz = --p- sen L+ 1 p sen ---y:- + ...

1-pE l-4PE (6.7)

A contribuição mais importante provém da componente do 1° termo do

desenvolvimento em série, pelo que se pode usar a seguinte expressão:

b1 1t X3 uz = --p- sen L

1--PE

(6.8)

sem introduzir erro significativo.

Comparando com a equação da coluna bi-articulada, verifica-se a existência de um factor de ampliação dado por

1 p

1-­PE

Este resultado pode ser representado pela Figura 19.

-0,15 -o.ro o

Figura 19

-35-

!!J - C} L -

0,05

(6.9)

o.ts

Obs: as trajectórias de equilíbrio são hipérboles assimptóticas a:

p e a Pe =1

1 bl ' 1 d o va or r e norma mente representado pela letra e e designa-se parâmetro e

imperfeição.

b1 representa a amplitude da deformação a meio vão da coluna sem carga.

A equação que traduz o eixo da coluna na configuração deformada sem carga é:

(6.10)

A coluna imperfeita não apresenta carga de bifurcação (carga crítica).

6.2 Efeito da excentricidade

Na prática as forças axiais não estão aplicadas no centro de gravidade das colunas,

e por isso actuam com uma certa excentricidade. Essa excentricidade vai fazer com

que a coluna não se comporte como uma coluna perfeita, isto é, deixa de

apresentar carga de bifurcação.

Considere-se a coluna da Figura 20 na qual a força axial actua com uma

excentricidade e.

-36-

Figura 20

Por equilíbrio obtem-se:

(6.11)

A equação diferencial de equilíbrio pode ser obtida de modo análogo ao dos

outros casos e é dada pela seguinte equação:

uz,33 + k2 uz = - k2 e (6.12)

p com k2=m

A solução da equação diferencial de equilíbrio é:

uz = A sen kx3 + B cos kx3 - e (6.13)

As constantes A e B podem ser obtidas a partir das condições de fronteira.

Assim:

X3=0 uz= O B=e

X3=L uz= O A sen kL =e (cos kL- 1)

-37-

A _ .:_e -'-'( c'-'-os::..ck:.::L::c..--=1:.!_) - senkL

A equação da deformada é:

[1-coskL J

u2 = e sen kL sen kx3 + cos kx3 - 1 (6.14)

e o deslocamento a meio vão é:

L/2 [1 - cos kL . 1 1 J u 2 = e sen kL sm 2 kL + cos2 kL - 1 (6.15)

Para todas as cargas diferentes da carga crítica, sen kL *O e a expressão (6.15) pode

escrever-se:

(6.16)

Neste estudo, interessam-nos cargas inferiores à carga crítica de Euler. Quando P 1 1

tende para Pe o valor 2 kL tende para 2n. Por conseguinte, o intervalo que nos

1 interessa para o parâmetro 2 kL é:

1 Para este intervalo a expressão sec 2kL pode ser substituída pela seguinte

expressão:

O deslocamento máximo a meio vão pode ser então obtido pela expressão:

(1 2 PJ L/2 g1t Pe

u 2 ~e p 1-­

Pe

(6.17)

(6.18)

O efeito da excentricidade pode ser traduzido pelo seguinte gráfico (Figura 21):

-38-

'""' e:o

•)O

Figura 21

Obs: O comportamento é semelhante ao efeito da deformação inicial. A tragetória

fundamental deixa de ser uma tragetória de equilíbrio da coluna carregada

excentricamente. Os deslocamentos u2 aumentam gradualmente desde o início

do carregamento.

-39-

7. DIMENSJONAMENTO DE COLUNAS

A teoria que se expôs é válida para colunas perfeitas (rectilíneas e sem tensões

residuais) e cargas axiais aplicadas no centro de gravidade. Como vimos, a coluna

permanecerá rectilínea, pelo menos até que a carga crítica seja atingida.

Na realidade as colunas apresentam sempre imperfeições iniciais, quer sob a

forma de deformações iniciais quer sob a forma de excentricidade da carga.

Devido a estes aspectos inevitáveis, a coluna encurva sob a acção do esforço axial

desde o irúcio da aplicação da carga. A encurvadura provoca, como se viu, tensões

de flexão adicionais, que se elevam quando a carga se aproxima do valor crítico e

fazem com que, de uma maneira geral, a carga crítica dada pela expressão de Euler

não seja atingida, por antes disso se atingir a tensão de cedência do material.

Além disso, a rotura de uma peça por encurvadura tem características de rotura

frágil, isto é, após a encurvadura a resistência da coluna à compressão é

praticamente nula, mesmo que seja constituída por um material dúctil.

Por estes motivos, para a verificação da segurança de colunas esbeltas (peças em

que a tensão crítica de Euler é igual ou inferior à tensão limite de

proporcionalidade) pela teoria anteriormente exposta, utiliza-se um coeficiente

de segurança suplementar (IJI).

Le em que Â.= -.

. 1

(7.1)

(7.2)

'A designa-se por coeficiente de esbelteza e é dado pela relação entre o

comprimento de encurvadura da barra (Le) e o raio de giração (i) da secção

transversal da barra em relação ao eixo correspondente ao plano de encurvadura

considerado.

O coeficiente IJI é geralmente bastante superior à unidade.

-40-

Na regulamentação portuguesa (REAE - Regulamento de Estruturas de Aço para

Edifícios - decreto lei n° 211/86 de 31 de Julho) adopta-se uma valor de \jl = 1.80

para barras longas (Â. > 105).

Para barras curtas, Â. < 20, o coeficiente \jl é considerado igual à unidade, enquanto

que para barras intermédias o seu valor varia linearmente entre 1.0 e 1.8.

A variação do coeficiente de segurança \jl com a esbelteza da barra, é indicado na

Figura 22:

1.?, ------------- ----------------,_,-.,-----

2o 105

Figura 22

n2 E A equação de Euler crer= ---:;:2 representada num gráfico (cr, Â.) por uma hipérbole

é aplicável desde que a tensão crítica (crer) não ultrapasse a tensão limite de

proporcionalidade do material. Isto verifica-se para colunas com Â. > 105. Para

valores inferiores a 105 o valor da tensão (crer) é maior que o valor da tensão

limite de proporcionalidade e a expressão de Euler deixa de ser utilizável.

Para esbelteza inferior a 105, a coluna pode encurvar ainda, mas agora em regime

não elástico. A fórmula de Euler pode ainda ser aplicada desde que se substitua o

módulo de elasticidade E pelo módulo de elasticidade tangente Et, vindo então:

(7.3)

-41-

O módulo de elasticidade tangente Et pode ser obtido a partir dum gráfico cr,e e o

seu valor é dado pela tangente à curva. Verifica-se que é variável com e (Figura

23).

L--------é.

Figura 23

O comportamento das colunas para Â. < 105, é em geral assimilado num gráfico

cr,Â. por uma recta (recta de Tetmayer). Ensaios experimentais realizados em

diversas colunas, mostraram que a expressão do módulo tangente (Et) e a recta de

Tetmayer concordam bastante bem com os resultados obtidos

experimentalmente.

Para esbelteza inferior a 20 (barras curtas), as colunas não são sujeitas a

fenómenos de encurvadura, e o colapso dá-se por esmagamento do material. Para

Â. < 20 a tensão é limitada pela tensão de cedência do material.

As tensões máximas permitidas para os vários tipos de colunas podem então ser

representadas pelo seguinte gráfico (Figura 24):

-42-

020

r-­\

\OS

Figura 24

Na regulamentação nacional (REAE) a verificação da segurança em relação à

encurvadura consiste em satisfazer a condição:

(7.4)

em que <Jsd é o valor de cálculo da tensão actuante, determinado tendo em conta

os efeitos de encurvadura, e <Jrd o valor de cálculo da tensão resistente.

Fe360 <Jrd = 235 MPa

Fe430 <Jrd = 275 MPa

Fe510 <Jrd = 355 MPa

O valor <Jsd pode ser obtido pela expressão:

Nsd <Jsct=-­

A<p

em que;

Nsd é o valor de cálculo do esforço normal actuante.

A é a área da secção transversal.

(7.5)

<pé o coeficiente de encurvadura da barra, função da esbelteza e do tipo de aço.

-43-

O coeficiente de encurvadura tem também em conta os efeitos de 2• ordem

através da utilização do coeficiente de segurança ljf.

O valor de ljf pode ser obtida pela expressão:

O"máx <p=--

ljf. <Jc (7.6)

Por exemplo, para uma barra longa (/.., > 105) a tensão máxima é condicionada pela

tensão crítica de Euler.

Â, > 105

Se tivermos um aço Fe 360 será <Jc = 235 MP a e E = 206 GPa. Se a esbelteza coluna

fôr maior que 105 ; ljf é 1.8.

Virá então:

rc2 X 2.06 X 105 ;>..,2

<p = 1.8 X 235 4802

que é a expressão que vem no RSA para Â. > 105 e Fe 360.

Em muitos países, o dimensionamento de colunas é baseado em geral numa

única curva de resistência como o da Figura 24.

No entanto, o processo de fabrico (perfis laminados, perfis soldados) introduz

diferenças significativas nas tensões residuais, as quais dependem também da

geometria da secção. As incertezas, no que diz respeito à resistência, podem ser

minoradas a partir da definição de sub-grupos de colunas. Para cada um destes

sub-grupos adopta-se, com base numa análise estatística, uma curva de resistência

média. Obtêm-se assim as chamadas curvas múltiplas de colunas. É importante

notar, nas curvas propostas no ECCS ou no Eurocode n° 3, a referência aos eixos

de flexão. Assim, pela tabela de selecção de curvas, uma secção em I laminada

com h/b > 1.2 deverá ser dimensionada com base na curva a ou na curva b

consoante se considera a encurvadura por flexão em torno do eixo horizontal ou

vertical.

-44-

Em anexo é apresentada a parte do Eurocode 3 referente à verificação da

resistência de colunas sujeitas à compressão.

BIBLIOGRAFIA

A. C. Walker- The buckling of strutts (Chatto & Windus- London 1975)

E. Popov- Mechanics of Materials (Prentice - Hall, Inc. - New Jersey 1978)

C. Massonnet- Resistence des Materiaux (Dunod, Paris)

Timoshonko & Gere - Teory of Elastic Stability (McGraw - Hill, London)

L. Carradi Dell'Acqua - lnstabilitá delle Strutture (Clup - Milano 1978)

-45-

5 Ultimate Limit State ( tUJ\0(0~ ~)

5.1 (5.1] BASIS

5.1.1 (5.1] General

(1) [5.1.1.(2)] The partia/ safety factor y., can be taken as follows:

for resistance of cross-section to overall yielding -r...,

for resistance to buckting -r.,,

for resistance of net section at bolt holes -r..,

for resistance of connections see chapter 6

(2) Numerical values ol the partia! safety factors (as indicated at the time of preparation of the document) are glven in table 5.1

Toble 5.1 Numerical values

EC3 A" B CH o DK E El F GR I IS L N NL p s• SF TR UK Part1

..,_ 1,10 1,00 1,0011 1,10 1,10 1,00 1,10 1.oo• 1,10 1,10 1,00 1,10 1,00 1,10 1,00 1,10 1,05

..,., 1,10 1,00 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,10 1,00 1,10 1,00 1,10 1,05

..,., 1,25 1,25 1,2!; 1.25 1,25 1.25 1.25 1,25 1,25 1,25 1,25 1,25 1.25 1.25 1,20 1,25 1.20

11 in exceptional cases 5% higher 21 in exceptional cases 10% higher 31 in exceptional cases 15% higher

5.4 [5.5] STABIUTY

5.4. 1 Overall stability of structures

(1) The overall stabüity of structures shall be checked. The stabüizing elements shall be designed to resist horizontal forces during and alter construction.

5.4.2 [5.5.1] Buckling of concentrically loaded compression members

(1) The stabüity of compression members (buclding by plane bending) shall be checked according to tihe two principal axes of tihe sectiori with tihe appropriate effective leogths. Exceptionally, lateral­torsional buckting govem.

A f NotJ -" X .:..:....:1:

y IJI

where: x = f(>.) see table 5.21

I = ..l. • ...!.._ I .1.1

>., =r Jf, t,

-46-

(5.11)

Fe360 Fe 430 Fe 510

93,9 86,8 76,4

~able 5.21 Reduction factor x = f(Ã) I olled h/b > 1,2; ~ :S 40mm ny hfb; h/b > 1,2 anyhfb > 100 mm

l·sections ~ :S 100 mm ~:S40mm ~ :S 100 mm both axis

Yi±:-Y --t YIY Z- ~ ~ ly lh z-H-z z z--H-z t, -·

-1.--=Ft .Jo-b--l<- t ,y

f.,elded 1 ~ 40 mm

YIY f. > 40mm; 1 ~ 40mm ~ > 40 mm

-sections

Y±Y ZHZ zHz ~ollow hot rolled: any axis ~ections

(Q) D o welded box

~} thick welds and

ections "/1, < 30; h /1, < 30

~y&YJs D .j._ b _!_J._

pther U-, L~, T- and solid sections lsections ny axis

~[ lT -

-À a . b c d

0.2 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Q.3 0.9775 0.9641 0.9491 0.9235 0.4 0.9528 0.92ti1 0.8973 0.8504 0.5 0.9243 0.8842 0.8430 0.7793 0.6 0.8900 0.8371 0.7654 0.7100 0.7 0.8477 0.7837 0.7247 0.6431 0.8 0.7957 0.7245 0.6622 0.5797 0.9 0.7339 0.6612 0.5998_ 0.5208 -1.0 0.6656 0.5970 0.5399 0.4571 1.1 0.5960 0.5352 0.4842 0.4189 1.2 0.5300 0.4761 0.4338 0.3762 1.3 0.4703 0.4269 0.3688 0.3365 1.4 0.4179 0.3617 0.3492 0.3055 1.5 0.3724 0.3422 0.3145 0.2766 1.6 0.3332 0.3079 0.2842 0.2512 1.7 0.2994 0.2781 0.2577 0.2289 1.8 0.2702 0.2521 0.2345 0.2093 1.9 0.2449 0.2294 0.2141 0.1920 2.0 0.2229 0.2095 0.1962 0.1766 2.1 0.2036 0.1920 0.1803 0.1630 2.2 0.1667 0.1765 0.1662 0.1508 2.3 0.1717 0.1628 0.1537 0.1399 2.4 0.1585 0.1506 0.1425 0.1302 2.5 0.1457 0.1397 0.1325 0.1214 2.6 0.1362 0.1299 0.1234 0.1134 2.7 0.1267 0.1211 o. 1153 0.1062 2.8 0.1182 0.1132 0.1079 0.0997 2.9 0.1105 0.1060 0.1012 0.0937 3.0 0.1036 0.0994 0.0951 0.0882

-47-

_/'

(2) [5.8.3.(1 )J

(3)

The effective sleoderness of angles connected at least with two bolts may be calculated as follows:

buckling about the v-v axis:

I .... = 0,35 + o,7I v

buckling about y-y or z-z axis:

I ... , = 0,50 + 0,71,

I.,.. = 0,50 + o,7I.

z ! u

:• •. ~: / I ' : / h l ' i/'

' ' i y-- :i:--- -y ' I ' __,__ =t

/\ I ·J u z v

I -+ h

z

For class 4 sections A .. instead of A should be used, however >. (>. using the radius of gyration of the gross section (p = 1 ,00) .

1/i) rnay be determined

._. Ccnls0 (~)

tnr--~~~~~~~~-;:~=r.·~·~AUO==·~~---,

"' .......... ,

$--... + s:~w.•Jb>l2 Hi Wt.! \V.Iifb :S 12

-i_- Wt"6cd 11 (FCJ

.... ,, Ht W""l H (UM)

..+. R.."Ct .. w M:ll ~ e:ct-fbttt.

-· .......................... + ...... "'· """"'"' 001...-s(twl~ ....... HJ """ IV, •w> !2 '- '-.../ l .................. 05

T Ukc1 lV ri!! wtbf ICOfa-sMi-"t ...... ....., .,.. .... _ ·!fi· l'ôdlklll kl. -.ult4 t.rN: c .... _

ftl W- ... H • .- j: '""'\V,hJ&,;; L2 ----- --=-~-"0 ::j: ,_.III UM) -----~ Tet: Cww d. (lf!M."H}

fil C'bllo:d Hmt sll:.es o o r.bn.. co!d-f'Jiistlrd. d cw~ s ' ..

o~0 -L~~L-~~J--L-L~-7~L-~-L-L~·~~L-~ O!i 1,0 !!i

1- ~L '>..=-:cvEr ·. Europcan multiptc column curves. recommendcd by thc Europc.."Ul Convcntion.of

Constructional Stcclworks (ECCS). (Dascd on initi;s.i out-o[-straightness s, = 0.001 L.)

-48-