,EXERCICIOS 11.6

Encontrando LinearizaçõesNos exercícios1-6, encontrea linearizaçãoL(x, y) da funçãoemcadaponto.

1. f(x, y) = x2 + i + 1 em (a) (O, O), (b) 0,1)

2. f(x, y) = (x + y + 2)2em (a) (O,O), (b) (1,2)

3. f(x, y) = 3x - 4y + 5 em (a) (O,O), (b) (1,1)

4. f(x, y) = x3l em (a) (1,1), (b) (O,O)

5. f(x, y) = eXcos y em (a) (O,O), (b) (O,17'/2)

6. f(:r, y) = e2)-x em (a) (O,O), (b) (1, 2)

Limitantes Superiores para Erros emAproxi mações LinearesNos exercícios 7 -12, encontre a linearização L(x, y) da funçãof(x, y) em Po. Então encontre um límitante superior para a magni-tudel E I do erro na aproximaçãof(x, y) = L(x, y) no retângulo R.

7. f(x, y) = X2- 3xy + 5 em Po(2, 1),

R: Ix - 21:5 0,1, I)' - 11:5 0,1

8. f(x, y) = (1/2)X2 + X)'+ (1/4)/ + 3x - 3y + 4 em Po(2,2),

R: 1x - 21 :5 0,1, Iy - 2 I:5 0,1

9. f(x, y) = 1 + Y + x cos y em Po(O,O),

R: Ix I :5 0,2, Iy I :5 0,2

(Use Icos Y 1:5 1 e Isen y 1:5 1 para estimar E.)

10. f(x, y) = x/ + Y cos (x - 1) em PoO, 2),

R: Ix-ll:50,1, ly-21:50,1

11. f(x, y) = eXcos y em Po(O,O),

R: Ixl:5 0,1, IYI:5 0,1

(Use e-t:5 1,11 e Icos )' 1:5 1 para estimar E.)

12. J(x, y) = In x + In y em P0(1, 1),

R: Ix-li :5 0,2, Iy - 11 :5 0,2

Sensibilidade à Variação: Estimativas13. Escrevendo p(1((] aprender Você planeja calcular a área de um re-

tângulo comprido e fino a par1ir de medidas de seu compri-mento e largura. Qual dimensão você deve medir com maiscuidado? Justifique sua resposta.

14. Escrevendoparaaprender

(a) Ao redor do ponto (I, O),f(x, y) = );.2()'+ I) é maissensí-vel a variações em x ou y? Justifique sua resposta.

(b) Qual razão entre dx e dy fará (ifigual a zero em (1, O)?

15. Estimando o erro máximo Suponha que T seja encontrado a par-tir da fórmula T = x (e)' + e-Y), onde se sabe que x e y são 2 e

ln2 com erros máximos possíveis de Idx I ::: O,I e Idy I = 0,02.Estime o erro máximo possível no valor calculado de T.

16. Estimando o volume de um cilindro Com que precisão V = 7rr2h

pode ser calculado, a partir de medidas de r e h com um erromenor que 1%?

17. Erropercentuul mÔximo Se r = 5,0 cm e h = 12,0 em, com pre-cisão milimétrica, qual o erro máximo percentual que devemosesperar ao calcular V = 7TT2h?

,.~. Estif/1ondoo volumcdeumcilindro Para estimar o volume de um',! cilindro de raio de cerca de 2 m e altura de cerca de 3 m, com

qual precisão devem sei- medidos o raio e a altura de modo queo erroestimadodo volumenão exceda0,1 m3?Considereque t<

o erro possível dr ao medir r seja igual ao erro possível dh ao ~

medir h. ' ~

19. COlltro/(",uu o erro dentro de um quadrado Dê um quadrado cen-trado em (I, 1) no qual o valor de f(x, y) = x3l não variará em ~Imais que ::tO,1. ,,"

20. Vor;uçeíocluresistenc;oelétricuA resistênciaR produzidaporre-sistores de RI e R?,ohms em paralelo (Figura 11.42) pode sercalculada a partir da fórmula

1=1-+1-R RI R2'

,j~~ .'I~"

.~..~

(a) Mostre que

(R

)2

(R

)2

dR = li; dR1 + R2 dR2.

(b) Escrevendopara aprender Vocêprojetouum circuitocomdois resistores como aquele da Figura 11.42 com resistên-cias de R I = 100 ohms e R2 = 400 ohms, mas sempreexiste uma variação na fabricação e os resistores recebi-dos por sua empresa provavelmente não terão os valoresexatos. O valor de R será mais sensível a variações em RIou em R2?Justifique sua resposta.

J;F~"

FIGURA11.42 O circuito dos exercícios 20 e 21.

21. (Continuação do Exercício 20) Em outro circuito como o daFigura 11.42 você planeja trocar RI de 20 para 20,1 ohms e R2de 25 para 24,9 ohms. Em que porcentagem R variará devidoa isso?

22. Errocarregado na mudança de coordenadas

y

P(3 = 0,01,4 = 0,01)4

xo 3

'\

(a) Se x = 3 ::!:0,01 e y = 4 ::!:0,01, como mostrado aqui,aproximadamente com qual precisão você pode calcularas coordenadas polares r e ()do ponto P(x, y) a partir dasfónnulas,.2= x2 + )'2 e () = arc tg (y /x)? Expresse suasestimativas como variações percentuais dos valores de r e() em (xo, )'0) = (3,4).

(b) Escrevendo para aprender No ponto (xo,Yo) = (3,4), os va-lores de r e () são mais sensíveis a variações de x ou de y?

Justifique sua resposta.

Funçõesde TrêsVariáveisEncontre as linearizações L(x, y,23-28 nos pontos dados.

23. f(x, y, z) = xy + yz + xz em

(a) (1,1, 1) (b) (1, O,O)

24. f(x, y, z) = x2 + y2 + Z2em

z) das funções dos exercícios

(c) (O, O, O)

(a) (1, 1, 1) (b) (0,1, O) (c) (1, O, O)

11.6 Linearização e Diferenciais 315

25. f(x, y, z) = VX2 +)'2 + z2em

(a) (1, O, O) (b) (1,1, O) (c) (1,2,2)

26. f(x, )', z) = (sen xy)/ z em

(u) (71/2,1,1) (b) (2, O, 1)

27. f(x, )', z) = eX+ cos ()' + z) em

(a) (O,O,O) (b) (O, ~,o)28. I(x, )', z) = arc tg (x)'z) em

( 71 71)(c) 0'4'4

(a) (1, O,O) (b) (1, 1. O) (c) (1,1,1)

Nos exercícios 29-32, encontre a linearização L(x, y, z) da funçãof(x, y, z) em Po. Então encontre um limitante superior para a mag-nitude eloerro E na aproximação f(x, y, z) """L(x, )', z) na região R.

29. f(x, )', z) = xz - 3)'2 + 2 em Po(1, 1,2)

R: Ix - 11::; 0,01, I)' - 11::; 0,01, Iz - 21::; 0,02

30. f(x, y, z) = X2+ x)' + yz + (1/4) Z2 em Po(1, 1,2)

R: Ix - 1I ::; 0,01, Iy - 11 ::; 0,01, 12 - 21 ::; 0,08

31. f(x, y, z) = xy + 2yz - 3xz em Po(1, 1, O)

R: Ix-ll::;O,Ol, ly-11::;0,01, Izl::;O,Ol

32. f(x, y, z) = \12 cos x sen (y + z) em Po(O,0,71/4)

R: Ixl::;O,OI, IYI::;O,Ol, 12-71/41::;0,01

Teoria e Exemplos

33. Novamentea /JarraarqueadaA barrado Exemplo8 foi viradade lado, elemodo que h = 0,1 m e 11'= 0,2 m.

(a) Qual é o valor de dS agora?

(b) Compare a sensibilidade da barra na nova posição a umapequena variação da altura com a sensibilidade da barra ailma variação igualmente pequena da largura.

34. Desenhandoumalata derefrigeranteUma lata de refrigerantepadrão de 12pés oz é essencialmente um cilindro de raio r = 1pol e altura h = 5 pol.

(a) Com essas dimensões, qual é a sensibilidade do volumeda lata'em relação a pequenas variaçõesdo raio e da altura?

(b) Você consegue desenhar uma lata de refrigerante que pa-reça maior, mas que na verdade contenha o mesmo vo-lume de 12pés oz? Quais dimensões ela pode ter? (Existemais eleuma resposta correta.)

35. Valordeum determinante2 x 2 Se Ia I for muito maior queIb I, Ic I e Id I,para quais valores de a, b, c e d o valor do de-terminante

f(a, b, c, d) = I ~ ~ I

é mais sensível? Justifique sua resposta.

36. Estímando o erro de um produto Estime o quanto erros simultâ-neos ele 2% em a, b e c podem afetar o cálculo do produto

p(a,b,c)=abc.

37. Desenhandouma caixa Estime quanta madeira é necessária parafazer uma caixa retangular oca cujas medidas internas sejam 5

316 Capítulo 11: Funções de Várias Variáveis e Suas Derivadas

pés de comprimento por 3 pés de largura por 2 pés de profun-didade se a caixa for feita com madeira de 0,5 pol de espessurae não tiver tampa.

38. MedindoumcampotriangularA áreade um triânguloé (1/2)absen C, onde a e b são os comprimentos dos dois lados do triân-gulo e C é a medida do ângulo formado por eles. Avaliandouma planta triangular, você mediu a, b e C como sendo 150pés, 200 pés e 60°, respectivamente. Qual o erro do cálculo dasua área se seus valores de a e b tiverem um erro de meio pécada e sua medida de C tiver um erro de 2°,?Veja a figura.Lembre-se de usar radianos.

39. Estimando o erro máximo Suponha que li = xe) + )' sen z e quex, )' e z sejam medidos com erros máximos possíveis de ::!:0,2,

::!:0,6 e ::!:7T/180, respectivamente. Estime o erro máximo pos-sível ao calcular li a partir de valores medidos x = 2, Y =ln 3,.: = 7T/2.

40. A fórmula do tamanho do lote c/eWilson A fórmula do tamanho do

lote de Wilson em economia diz que a quantidade mais econô-mica Q de produtos (rádios, sapatos, vassouras, qualquer coisa)para uma loja pedir é dada pela fórmula Q = Y2KM / h, onde Ké o custOdo pedido, !vIé o número ele itens vendidos por se-mana e h é o custo semanal de manUtençãode cada item (custoeloespaço, luz, água, segurança e assim por diante). Para qualdas variáveis K,!vI e h a sensibilidade de Q é maior, próximo ao

ponto (Kq,Mo,110)= (2, 20, 0,05) ? Justifique sua resposta.

41. A lillearizaçõode f(x, y) é lima aproximação por plano tangente

Mostre que o plano tangente no ponto Po(.ro, Yo./(xo, )'0» na su-

perfície z = f(x, y) definidaporumafunçãoc1iferenciávelf é o .

plano

j~(xu, Yo)(x- xo) + f;<.ro,)'o>()'- )'0) - (z - f(xo, )'0» = O

ou

z = f(xo, Yu)+ j~(xo' Yu)(x - xo) + i;<xo, )'0)(Y - }'o).

Seneloassim, o plano tangente em Pu é o gnifico ela lineariza-ção defem Po(Figura 11.43).

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Fl(;UI~A 11.43 O gráfico de uma função z = f(x, y) e sua li-nearização no ponto (xo,)'0)' O plano definido por L é tan-gente à superfície no ponto acima do ponto (.ro,Yo).Isso for-nece uma explicação geométrica do porquê de os valores deL estarem próximos aos de f na vizinhança imediata de(xo,Yo)(Exercício 41).