probabilidade ii - de/ufpbtarciana/probabilidade2/aula9.pdf · seja z =x +iy um número complexo,...

Probabilidade II

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Função Característica 10/13 1 / 26

Função Característica

Vimos que a função geradora de momentos é uma ferramenta muito útil

DESVANTAGEM: A integral que define a função geradora de momentos pode,nem sempre ser finita.

Definiremos uma nova transformada que tem a vantagem de sempre existir.

As funções características são um pouco mais complicadas, dado que envolvemnúmeros complexos.


VANTAGENS da Função Característica



A função característica é finita para todas as variáveis aleatórias X e todos osnúmeros reais t .

A função de distribuição de X e em geral a função de densidade, quando existe,podem ser obtidas da função característica.

Usando as propriedades das funções características é possível demonstrarteoremas e resultados importantes da estatística.


LEMBRANDO: Números Complexos

Variáveis Complexas: Se X e Y são variáveis aleatórias em (Ω,A ,P), entãoZ = X + iY é chamada uma variável aleatória complexa

Z é uma função definida em Ω e que assume valores complexos comZ(ω) = X(ω) + iY (ω) para ω∈Ω.

i =p−1

Seja z = x + iy um número complexo, com x e y números reais.

O valor absoluto de um número complexo é dado por |z|=p

(x2 + y2).

A distância entre dois números complexos z1 e z2 é dada por |z1− z2|.


Função CaracterísticaDefinição 9.1: Seja X uma variável aleatória. A função característica de X é afunção ϕ :R→C definido por,

ϕX (t) =ϕ(t) = E(eitX ),

para t real (−∞< t <∞) e i =p−1.

Lembrando que eX pode ser escrita com uma expansão em série de potências.

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ . . . +

xn

n!+ . . .

Temos então que

eitx = 1 + itx +(itx)2

2!+

(itx)3

3!+ . . . +

(itx)n

n!+ . . .

eitx = 1 + itx −(tx)2

2!−

i(tx)3

3!+

(tx)4

4!+

i(tx)5

5!− . . .



eitx =

1−(tx)2

2!+

(tx)4

4!− . . .

+ i

tx −(tx)3

3!+

(tx)5

5!− . . .

Como as duas séries nesta última expressão correspondem a cos(tX) e sen(tX),segue que

eitx = cos(tX) + isen(tX)

Assim, temos que

ϕX (t) = E(eitX ) = E[cos(tX)] + iE[sen(tX)]



Usando o fato de que cos(−t) = cos(t) e sen(−t) =−sen(t), temos que

e−itx = cos(tx)− isen(tx)

Assim, podemos obter

cos(tx) =eitx + e−itx

2

sen(tx) =eitx −e−itx

2i


Função CaracterísticaEXEMPLO 9.1: A V.A. X assume os valores 1 e −1 com a mesma probabilidade.Determine a função característica de X .


Função CaracterísticaEXEMPLO 9.2: Determine a função característica da variável aleatória X cujafunção de densidade é f (x) = ce−a|x |, −∞< x <∞, com a> 0 e c umaconstante conveniente.


EXEMPLO 9.3:Determine a função característica de uma variável aleatória X com distribuiçãouniforme contínua no intervalo [a,b].



PROPRIEDADES:

i) A função característica assume 1 no ponto 0: ϕX (0) = 1;

ii) A função característica é limitada por 1: |ϕX (t)| ≤ 1, ∀t ∈R;

iii) Para a e b constantes, ϕaX+b(t) = eitbϕX (at);

iv) Se as variáveis aleatorias X e Y são independentes então,ϕX+Y (t) =ϕX (t)ϕY (t) (vale para n variáveis);



PROPRIEDADES:

v) ϕX também gera momentos:

∂ n

∂ tnϕX (t)

t=0= inE(X n), n = 1,2, . . . , se E(|X |n)<∞

vi) ϕX (t) =ϕX (−t), onde c é o compexo conjugado de c. (Sec = x + iy o seu complexo conjugado é c = x − iy ).

vii) A variável aleatória X tem distribuição simétrica em torno de zerose, e somente se, ϕX (t) é real para todo t .


Demonstração Propriedades


EXEMPLO 9.4:Sendo X ∼N(µ,σ2), use o resultado obtido para a função geradora demomentos para determinar sua função característica. Determine a média e avariância a partir do resultado.


Função CaracterísticaResultados Importantes:

A função característica de uma variável aleatória X determina a função dedistribuição de X .

Já vimos a recíproca: a função característica é determinada pela função dedistribuição, pois ϕX (t) =

∫

eitx dFX (x). Como consequencia, temosFX = FY ⇔ϕx =ϕY .

Teorema 9.1: (Unicidade) Se as variáveis aleatórias X e Y têm a mesma funãocaracterística, então elas têm a mesma função de distribuição.

Esses resultados decorrem da fórmula da inversão:

f (x) =1

2π

∫ ∞

−∞e−ixtϕX (t)dt

Essa fórmula é também conhecida como transformada inversa de Fourier, dadoque ϕX (t) =

∫

eitx f (x)dx representa a transformada de Fourier da função dedensidade f (x).


EXEMPLO 9.5:Sejam X1,X2, . . . ,Xn variáveis aleatórias independentes e indenticamentedistribuídas, seguindo o modelo Poisson de parâmetro λ. Qual a distribuição deX1 + X2 + . . . + Xn.


EXEMPLO 9.6:Obtenha a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória cuja funçãocaracterística é ϕ(t) = cos(at), com a> 0.


probabilidade ii - de/ufpbtarciana/probabilidade2/aula9.pdf · seja z =x +iy um número complexo,...

Documents