prof: danilo dacar...

Prof: Danilo Dacar ([email protected]).

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Parte A:

1. (Uece 2014) Sejam f : R R a função definida por 2f(x) x x 1, P e Q pontos do gráfico

de f tais que o segmento de reta PQ é horizontal e tem comprimento igual a 4 m. A medida da distância do segmento PQ ao eixo das abscissas é Observação: A escala usada nos eixos coordenados adota o metro como unidade de comprimento. a) 5,25 m. b) 5,05 m. c) 4,95 m. d) 4,75 m. 2. (Unicamp 2014) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas da forma

2f(x) x a x b, definidas para todo x real.

a) Sabendo que o gráfico de y f(x) intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é tangente ao eixo x,

determine os possíveis valores de a e b.

b) Quando a b 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm um ponto em comum.

Determine as coordenadas desse ponto. 3. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor

mensal resultante da venda deste produto é 2V(x) 3x 12x e o custo mensal da produção é

dado por 2C(x) 5x 40x 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor

resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes.

4. (G1 - ifce 2014) Seja f : 1, uma função dada por x

f(x) .x 1

A expressão da

função composta g x f f x 1 é

a) 1

g(x) .x 1

b) x

g(x) .x 1

c) g(x) x 1. d) g(x) x 1. e) x 1

g(x) .x 1

5. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, cujos gráficos estão representados na figura abaixo.

O valor de f(g(1)) g(f(1)) é igual a

a) 0. b) – 1. c) 2. d) 1.


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Parte B:

1. (Ufes 2012) Em uma competição de tiro, um alvo é lançado a partir do ponto B e percorre uma trajetória parabólica. Um competidor situado no ponto A atira na direção da reta r e acerta o alvo no ponto P, conforme a figura plana esboçada a seguir.

a) Sabendo que a distância do competidor ao local do lançamento do alvo é de 24 m e que a

altura máxima da trajetória do alvo é de 16 m, determine a equação da parábola que descreve a trajetória do alvo.

b) Sabendo que o competidor atirou formando um ângulo 30ºα com a horizontal, determine

as coordenadas cartesianas do ponto P. 2. (Ueg 2012) Em um terreno, na forma de um triângulo retângulo, será construído um jardim retangular, conforme figura abaixo.

Sabendo-se que os dois menores lados do terreno medem 9 m e 4 m, as dimensões do jardim para que ele tenha a maior área possível, serão, respectivamente, a) 2,0 m e 4,5 m. b) 3,0 m e 4,0 m. c) 3,5 m e 5,0 m. d) 2,5 m e 7,0 m. 3. (Uff 2012) Fixado um sistema de coordenadas retangulares no plano, sejam T o triângulo

cujos vértices são os pontos 2,0 , 2,0 e 0,3 , e R o retângulo de vértices

x,0 , x,0 ,0 x 2 , e cujos outros dois vértices também estão sobre os lados de T .

Determine o valor de x para o qual a área de R é máxima. Justifique sua resposta.

4. (Ufpr 2012) Considere as funções f(x) x 1 e 2

g(x) (x 1)(x 2).3

a) Esboce o gráfico de f(x) e g(x).

b) Calcule as coordenadas (x, y) dos pontos de interseção dos gráficos de f(x) e g(x).


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5. (Mackenzie 2011) Na figura, temos o gráfico da função real definida por y = x2 + mx + (8 –

m). O valor de k + p é

a) –2 b) 2 c) –1 d) 1 e) 3 6. (Ufpb 2011) Em uma partida de futebol, um jogador, estando na lateral do campo, cruzou a bola para um companheiro de equipe o qual se encontrava na lateral oposta, a uma distância de 64 m. A bola passou 1,20 m acima da cabeça de um jogador, com 1,80 m de altura, da equipe adversária, o qual, nesse instante, estava a 4 m de distância do jogador que realizou o cruzamento, conforme figura abaixo.

Nessa situação, a bola descreveu uma trajetória em forma de arco de parábola até tocar o gramado, quando foi dominada pelo companheiro de equipe. Com base nessas informações, é correto afirmar que, durante o cruzamento, a bola atinge, no máximo, uma altura de: a) 12,8 m b) 12 m c) 11,2 m d) 10,4 m e) 9,6 m 7. (Ufsm 2011) Uma pessoa ingere uma certa substância que se concentra em seu cérebro. O gráfico a seguir mostra essa concentração em função do tempo t.

Admitindo que a concentração y seja dada por uma função quadrática y=at

2 +bt+c, é correto

afirmar que a) a > 0 e b

2 - 4ac > 0.


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b) a > 0 e b2 - 4ac < 0.

c) a < 0 e b2- 4ac > 0.

d) a < 0 e b2 - 4ac < 0.

e) a 0 e b2 - 4ac = 0.

8. (Upe 2011) Se o valor mínimo de 25x 6x m é estritamente maior que 3, então é correto

afirmar que necessariamente a) m>4 b) m>5 c) m<4 d) m<5 e) 4<m<5 9. (G1 - ccampos 2011) Na figura abaixo, os gráficos das funções reais f e g são tangentes.

Sabendo que 2f x x 2k e g x 2x k , calcule f 2 g 3 .

10. (Fuvest 2011) No plano cartesiano 0xy, considere a parábola P de equação y = - 4x

2 + 8x +

12 e a reta r de equação y = 3x +6. Determine: a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o

vértice V da parábola P. b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r. c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V. 11. (Ufpel 2011) Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(2,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do vértice é a) 2 b) -2 c) 1 d) -1 12. (Fuvest 2010) A função f: R → R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) – f(x) =

6x - 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a

a) 11

6

b) 7

6

c) 5

6

d) 0

e) 5

6


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13. (Fgv 2010) A função quadrática f (x) = 16x – x2 definida no domínio dado pelo intervalo [0,

7] tem imagem máxima igual a: a) 64 b) 63,5 c) 63 d) 62,5 e) 62 14. (Unifesp 2008) Dado x > 0, considere o retângulo de base 4 cm e altura x cm. Seja y, em

centímetros quadrados, a área desse retângulo menos a área de um quadrado de lado x/2 cm.

a) Obtenha os valores de x para os quais y > 0.

b) Obtenha o valor de x para o qual y assume o maior valor possível, e dê o valor máximo de y.

15. (Ufscar 2005) A figura representa, em sistemas coordenados com a mesma escala, os

gráficos das funções reais f e g, com f(x) = x2 e g(x) = x.

Sabendo que a região poligonal T demarca um trapézio de área igual a 120, o número real k é

a) 0,5. b) 1.

c) 2 . d) 1,5. e) 2. 16. (Fuvest 2005) Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h,

situadas à distância d (ver figura), assuma a forma de uma parábola.

Suponha também que

(i) a altura mínima do fio ao solo seja igual a 2;

(ii) a altura do fio sobre um ponto no solo que dista d

4 de uma das colunas seja igual a

h

2.

Se h = 3d

8

, então d vale


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a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22 17. (Fuvest 2005) Seja f(x) = ax

2 + (1 - a) x + 1, onde a é um número real diferente de zero.

Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x)=0 são reais e o número x=3

pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.

18. (Unifesp 2003) A figura representa, na escala 1:50, os trechos de dois rios: um descrito

pela parábola y=x2 e o outro pela reta y=2x-5.

De todos os possíveis canais retilíneos ligando os dois rios e construídos paralelamente ao

eixo Oy, o de menor comprimento real, considerando a escala da figura, mede

a) 200 m. b) 250 m. c) 300 m. d) 350 m. e) 400 m. 19. (Pucsp 2001) Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de

combustível. O teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidade

constante, uma distância de 100 km em estrada plana, cada vez a uma velocidade diferente.

Observou-se então que, para velocidades entre 20 km/h e 120 km/h, o consumo de gasolina,

em litros, era função da velocidade, conforme mostra o gráfico seguinte.


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Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter

consumido no teste feito à velocidade de 120 km/h?

a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez

é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e

diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras

palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que

conhecem o boato, tem-se:

R(x) = k . x . (P - x), onde k é uma constante positiva característica do boato.

20. (Enem 2000) Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000

pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por

um número de pessoas igual a:

a) 11.000. b) 22.000. c) 33.000. d) 38.000. e) 44.000. 21. (Unesp 1999) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço

descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão

h(t) = 3t - 3t2,

onde h é a altura atingida em metros.

a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?

b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?

22. (Unesp 1999) Considere um retângulo cujo perímetro é 10 cm e onde x é a medida de um

dos lados. Determine:

a) a área do retângulo em função de x;

b) o valor de x para o qual a área do retângulo seja máxima.

23. (Puccamp 1998) Seja R um retângulo que tem 24cm de perímetro. Unindo-se

sucessivamente os pontos médios dos lados de R obtém-se um losango. Qual deve ser a

medida do lado desse losango para que sua área seja máxima?

a) 3 cm


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c) 6 cm e) 9 cm 24. (Mackenzie 1997) Em y - (x - x

2) = 0, seja t o valor real de x que torna y máximo. Então 4

t

vale:

a) 0,25 b) 0,50 c) 1,00 d) 2,00 e) 4,00 25. (Fgv 1997) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = -x

2 + 30x - 5, onde x é a

quantidade mensal vendida.

a) Qual o lucro mensal máximo possível?

b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?


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Gabarito: Parte A: Resposta da questão 1: [D]

Calculando o x do vértice, temos:

Vb 1 1

x2 a 2 1 2

Pela simetria, temos:

P1 3

x 22 2

A distância da reta PQ ao eixo x será dada por 3

f2

2

3 3 3 19f 1 4,75.

2 2 2 4

Resposta da questão 2:

a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em (0,1), então b 1. Além disso,

como o gráfico é tangente ao eixo das abscissas, vem

20 a 4 1 1 0

a 2.

Δ

Portanto, a 2 e b 1.

b) Se a b 1 b 1 a, então 2f(x) x ax 1 a. Agora, sem perda de generalidade,

tomando a 0 e a 1, obtemos 21f (x) x 1 e 2

2f (x) x x, respectivamente. Ora, como os

gráficos de 1f e de 2f possuem um ponto em comum, tem-se 2 2x 1 x x x 1. Em

consequência, o resultado pedido é (1, 2).

Resposta da questão 3: [D]


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Seja L(x) o lucro obtido, então: L(x) = V(x) – C(x) = – 2x

2 + 28x + 40

O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por:

Vb 28

x 72 a 2 ( 2)

Resposta da questão 4: [C] Desde que

x 1 x 1f(x 1) f(x 1) ,

x 1 1 x

temos

g(x) f(f(x 1))

x 1

xx 1

1x

x 1

xx 1 x

x

x 1.

Resposta da questão 5: [D]

Do gráfico, sabemos que g(1) 0 e f(1) 1. Logo, como f(0) 1 e g( 1) 0, obtemos

f(g(1)) g(f(1)) f(0) g( 1)

1 0

1.

Parte B: Resposta da questão 1: a)


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y = a.( x – 0 ).( x – 24) 16 = a.12.(12-24)

a = -1/9 2 21 x 24 x 8x

y x.(x 24) y y9 9 9 9 3

b) A reta será dada pela equação y = tg30º.x, ou seja y = 3

x3

Resolvendo o sistema

2x 8xy

9 3,

3y x

3

temos :

P(0,0) ou P(24 3 3,8 3 3)

Resposta: P(24-3 3,8 3 3) .

Resposta da questão 2: [A]

Utilizando semelhança de triângulos temos: 4 x y 9x 36

y4 9 4

.

Calculando a função da área, temos:

2

A x x y

9x 36A x x.

4

9x 36xA x

4

Determinando o x do vértice, temos:


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v

36

4x 29

2.4

Portanto, x = 2 e 36 9.2

y 4,54

Logo, as dimensões do jardim são 2m e 4,5m. Resposta da questão 3:

Utilizando semelhança de triângulos podemos escrever que:

2x 3 h 3.xh 3

4 3 2

Considere A, a área do retângulo R.

2

V

3.xA 2x. 3

2

A 3x 6x

b 6x 1

2.a 2.( 3)

Portanto, x = 1. Resposta da questão 4:

a) A função f é uma função do afim; logo, seu gráfico é uma reta. Para construir o gráfico de f, basta obter as coordenadas de 2 pontos.

PortantoPara x 0 y 1

Para x 1 y 0

A função g é uma função quadrática; logo, seu gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima (a > 0). Para construir o gráfico de

22 2 4g(x) (x 1)(x 2) g(x) x 2x

3 3 3 , temos:

Intercepta y 4

(0,c) 0,3

Intercepta x 1 2(x ,0) e (x ,0) (1,0) e (2,0) , onde 1 2x e x são as raízes de g(x)


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Coordenadas do vértice:

v vb ( 6) 3

x x2a 2(2) 2

2

v v

2 4( 2) 4

13 3y y

24a 64

3

Δ

Portanto, localizando os pontos no Plano Cartesiano, obtemos a representação abaixo:

b) 2

f(x) g(x) x 1 x 1 x 23

22x 9x 7 0

x 1 y 0

7 5x y

2 2

Logo, os pontos de interseção entre f(x) e g(x) são:

7 5

1,0 e ,2 2

Resposta da questão 5: [B] Como a função apresenta raiz dupla, temos:

2

2

0

m 4.1(8 m) 0

m 4m 32 0 m 4 ou m = -8

Δ

Logo y = x

2 + 4m + 4 (raiz m = -2) ou y = x

2 – 8m + 16 (raiz m = 4) (não convém, segundo o

gráfico a raiz é negativa) m = -2 e p = 4, portanto m + p = 2 Resposta da questão 6: [A]


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Considerando o sistema cartesiano na figura acima, temos a função do segundo grau fatorada: h(x) = a(x – 32).(x + 32) e o ponto ( -28,2)

3 = a.(-28 – 32).(-28 + 32) 1

a80

Portanto h(x) = 1

80 .(x - 32).(x + 32)

A altura máxima será quando x for zero.

Portanto h(0) = 1

80 .(0 - 32).(0 + 32) = 12,8m

Resposta da questão 7: [C] Concavidade para baixo: a < 0

Intercepta o eixo horizontal em dois pontos distintos. 2b 4ac 0

Resposta da questão 8: [A]

8,49620320

36203

5.4

).5.4)6((3

.4

2

mmmm

a

Portanto, a resposta A é a mais adequada. Resposta da questão 9: f(x) = g(x)

2

2

x 2k 2x k

x 2x k 0

O valor do delta será zero, pois os gráficos das funções são tangentes. 4 – 4k = 0 k = 1

Logo, 2f(x) x 2 e g(x) 2x + 1

Portanto, 2f(2) g(3) 2 2 2 3 1 13 .


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Resposta da questão 10: a) Fazendo a = 0, temos: 0 = -4x

2 + 8x + 12

Resolvendo a equação, temos: x = -1 ou x = 3. Logo, A(-1,0) e B(3,0)

Vértice da parábola v

2

V

8x

2.( 4) 1

y 4.1 8.1 1 16

Logo, V = (1,16)

b) Resolvendo o sistema 2y 4x 8x 12

y 3x 6

-4x2 + 8x + 12 = -3x + 6 -4x

2 + 5x + 6 = 0 resolvendo a equação temos

3c

4 e x = 2

Considerando x = 2, temos y = 12. Logo, C(2,12)

A = A1 + A2

+ A3

A = 12 16 .12.16 1.12

2 2 2

A = 36 Resposta da questão 11: [D]

Seja f : a função quadrática definida por 2f(x) ax bx c.

Temos que f(0) 5 c 5.

Além disso, f(2) 3 4a 2b 5 3 b 2a 4.

Daí, f(3) 4 9a 3b 5 4 3a b 3 3a 2a 4 3 a 1 e, desse modo,

b 2a 4 2 1 4 6.

Portanto, e a lei de f é 2f(x) x 6x 5. As coordenadas do vértice do gráfico de f são

dadas por 26V , 3 6 3 5 (3, 4).

2 1


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Por conseguinte, a soma pedida é v vx y 3 ( 4) 1.

Resposta da questão 12: [C] f(x) = ax

2 + bx + c

f(x+1) - f(x) = 6x – 2

a(x+1)2 + b(x+1) + c – ax

2 – bx – c = 6x – 2

ax2 + 2ax + a + bx + b + c – ax

2 – bx – c = 6x – 2

2ax + a + b = 6x – 2 (para todo x, conceito de identidade), logo:

2a = 6 a = 3

a + b = -2

3 + b = -2 b = -5

Então f(x) = 3x2 - 5x + c

xv= b ( 5) 5

2a 2.3 6

( x do vértice)

Resposta da questão 13: [C] Esboçando o gráfico notamos que f(x) é máximo, no intervalo considerado, para x = 7.

f(7) = 16.7 – 72 =63


a) 0 < x < 16

b) x = 8; y = 16 Resposta da questão 15: [E] Resposta da questão 16: [B] Resposta da questão 17: - 2/3 ≤ a < 0 Resposta da questão 18: [A] Resposta da questão 19: [D]


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Resposta da questão 20: [B] Determinando o x do vértice temos:

Vb 44000k

x 220002a 2.( k)


a) 1 segundo

b) 0,75 metro Resposta da questão 22:

a) - x2 + 5x (0< x < 5)

b) 2,5 cm Resposta da questão 23: [B] Resposta da questão 24: [D] Resposta da questão 25:

a) 220

b) 10 ≤ x ≤ 20.

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