encceja matematica ens medio

Matemtica

e suas Tecnologias

Livro do Estudante

Ensino Mdio

Braslia

MEC/INEP

2006

Matemtica

e suas Tecnologias

Livro do Estudante

Ensino Mdio

Coordenao Geral do Projeto

Maria Ins Fini

Coordenao de Articulao de Textos do Ensino MdioZuleika de Felice Murrie

Coordenao de Texto de reaEnsino Mdio

Matemtica e suas Tecnologias

Maria Silvia Brumatti Sentelhas

Leitores Crticos

rea de Psicologia do Desenvolvimento

Mrcia Zampieri TorresMaria da Graa Bompastor Borges DiasLeny Rodrigues Martins TeixeiraLino de Macedo

rea de Matemtica

rea de Matemtica e suas Tecnologias

Eduardo Sebastiani FerreiraMaria Eliza FiniMaria Cristina Souza de Albuquerque Maranho

Diretoria de Avaliao para Certificao de Competncias (DACC)

Equipe Tcnica

Atade Alves DiretorAlessandra Regina Ferreira AbadioClia Maria Rey de CarvalhoCiro Haydn de BarrosClediston Rodrigo Freire

Daniel Verosa AmorimDavid de Lima SimesDorivan Ferreira Gomesrika Mrcia Baptista CaramoriFtima Deyse Sacramento PorcidonioGilberto Edinaldo MouraGislene Silva LimaHelvcio Dourado PachecoHugo Leonardo de Siqueira CardosoJane Hudson AbranchesKelly Cristina Naves PaixoLcia Helena P. MedeirosMaria Cndida Muniz TrigoMaria Vilma Valente de AguiarPedro Henrique de Moura ArajoSheyla Carvalho LiraSuely Alves WanderleyTase Pereira LiocdioTeresa Maria Abath PereiraWeldson dos Santos Batista

Capa

Marcos Hartwich

Ilustraes

Raphael Caron Freitas

Coordenao Editorial

Zuleika de Felice Murrie

O MEC/INEP cede os direitos de reproduo deste material s Secretarias de Educao, que podero reproduzi-lo respeitando a integridade da obra.

M425 Matemtica e suas tecnologias : livro do estudante : ensino mdio /Coordenao : Zuleika de Felice Murrie. 2. ed. Braslia : MEC : INEP, 2006.244p. ; 28cm.

1. Matemtica (Ensino Mdio). I. Murrie, Zuleika de Felice.

CDD 510

Sumrio

Introduo ..........................................................................................................................................

Captulo I

A Matemtica: uma construo da humanidade ........................................

Suzana Laino Cndido

Captulo II

Lgica e argumentao: da prtica Matemtica .....................................

Fabio Orfali

Captulo III

Convivendo com os nmeros .........................................................................

Elynir Garrafa

Captulo IV

Nossa realidade e as formas que nos rodeiam ............................................

Marlia Toledo

Captulo V

Medidas e seus usos ........................................................................................

Jos Luiz Pastore Mello

Captulo VI

As grandezas no dia-a-dia ............................................................................

Lci M. Loreto Rodrigues

Captulo VII

A Matemtica por trs dos fatos ...................................................................

Wilson Roberto Rodrigues

Captulo VIII

Grficos e tabelas do dia-a-dia .....................................................................

Jayme Leme

Captulo IX

Uma conversa sobre fatos do nosso dia-a-dia ...........................................

Helenalda Nazareth

8

11

39

65

87

117

143

175

197

221

8Este material foi desenvolvido pelo Ministrio da Educao com a finalidade de ajud-lo a

preparar-se para a avaliao necessria obteno do certificado de concluso do Ensino

Mdio denominada ENCCEJA Exame Nacional de Certificao de Competncias de Jovens e

Adultos.

A avaliao proposta pelo Ministrio da Educao para certificao do Ensino Mdio

composta de 4 provas:

1. Linguagens, Cdigos e suas Tecnologias

2. Matemtica e suas Tecnologias

3. Cincias Humanas e suas Tecnologias

4. Cincias da Natureza e suas Tecnologias

Este exemplar contm as orientaes necessrias para apoiar sua preparao para a prova de

Matemtica e suas Tecnologias.

A prova composta de 45 questes objetivas de mltipla escolha, valendo 100 pontos.

Este exame diferente dos exames tradicionais, pois buscar verificar se voc capaz de usar

os conhecimentos em situaes reais da sua vida em sociedade.

As competncias e habilidades fundamentais desta rea de conhecimento esto contidas em:

I. Compreender a Matemtica como construo humana, relacionando o seu

desenvolvimento com a transformao da sociedade.

II. Ampliar formas de raciocnio e processos mentais por meio de induo,

deduo, analogia e estimativa, utilizando conceitos e procedimentos

matemticos.

III. Construir significados e ampliar os j existentes para os nmeros naturais,

inteiros, racionais e reais.

IV. Utilizar o conhecimento geomtrico para realizar a leitura e a representao da

realidade- e agir sobre ela.

V. Construir e ampliar noes de grandezas e medidas para a compreenso da

realidade e a soluo de problemas do cotidiano.

VI. Construir e ampliar noes de variao de grandeza para a compreenso da

realidade e a soluo de problemas do cotidiano.

VII. Aplicar expresses analticas para modelar e resolver problemas, envolvendo

variveis socioeconmicas ou tcnico-cientficas.

Introduo

9VIII. Interpretar informaes de natureza cientfica e social obtidas da leitura de

grficos e tabelas, realizando previso de tendncia, extrapolao, interpolao

e interpretao.

IX. Compreender o carter aleatrio e no determinstico dos fenmenos naturais e

sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas e clculos de

probabilidade, para interpretar informaes de variveis apresentadas em uma

distribuio estatstica.

Os textos que se seguem pretendem ajud-lo a compreender melhor cada uma dessas nove

competncias. Cada captulo composto por um texto bsico que discute os conhecimentos

referentes competncia tema do captulo. Esse texto bsico est organizado em duas

colunas. Durante a leitura do texto bsico, voc encontrar dois tipos de boxes: um boxe

denominado de desenvolvendo competncias e outro, de texto explicativo.

O boxe desenvolvendo competncias apresenta atividades para que voc possa ampliar

seu conhecimento. As respostas podem ser encontradas no fim do captulo. O boxe de texto

explicativo indica possibilidades de leitura e reflexo sobre o tema do captulo.

O texto bsico est construdo de forma que voc possa refletir sobre vrias situaes-

problema de seu cotidiano, aplicando o conhecimento tcnico-cientfico construdo

historicamente, organizado e transmitido pelos livros e pela escola.

Voc poder, ainda, complementar seus estudos com outros materiais didticos, freqentando

cursos ou estudando sozinho. Para obter xito na prova de Matemtica e suas Tecnologias

do ENCCEJA, esse material ser fundamental em seus estudos.

Suzana Laino Cndido

A MATEMTICA: UMA CONSTRUO

DA HUMANIDADE

COMPREENDER A MATEMTICA COMO CONSTRUO

HUMANA, RELACIONANDO SEU DESENVOLVIMENTO

COM A TRANSFORMAO DA SOCIEDADE.

Captulo I

Matemtica e suas Tecnologias Ensino Mdio

12

Captulo I

A Matemtica: umaconstruo da humanidade

A Matemtica e o dia-a-diaAs condies de vida da humanidade semodificaram ao longo do tempo, com odesenvolvimento da agricultura, do comrcio, daindstria, do conhecimento e da tecnologia . Eatravs das conseqncias do avano em todasessas reas.

Apesar de o homem no ter registrado o que faziae pensava no incio de sua histria, ele precisavaresolver problemas de seu dia-a-dia, ligados suasubsistncia.

Ao buscar solues para eles, o conhecimentomatemtico comeou a ser construdo.

Figura 1 - Na comparao entre o nmero de aves do

caador e o nmero de peixes do pescador est a raiz de

uma das mais belas idias matemticas: a

proporcionalidade.

1

Desenvolvendo competncias

Reflita sobre a seguinte situao:

Se os pescadores e caadores daquela poca trocassem sempre 2 aves por 3 peixes, quantospeixes deveria ter um pescador para trocar por 22 aves?

Como voc resolveria esse problema?

Os homens das cavernas no dispunhamainda dos registros e tcnicas operatriasatuais para resolver a questo.

O pescador poderia pensar assim: queroaves, mas s tenho peixes. Vou agruparmeus peixes de 3 em 3 e para cada grupoponho 2 pedrinhas ao lado para representaras aves, at completar 22 pedrinhas. Ento,conto quantos peixes preciso. So 33 peixes!

Figura 2

Captulo I A Matemtica: uma construo da humanidade

13

O caador poderia pensar de um modo semelhante,para resolver o problema, agrupando suas 22 avesem grupos de 2; agora, as pedrinhas seriam peixes:3 para cada grupo de aves. Contanto as pedrinhas,ele descobre que so 33 peixes!

Assim como esse, outros problemas que o homemtem resolvido em seu cotidiano deram grandeimpulso ao conhecimento da humanidade e, emparticular, ao conhecimento matemtico.

A Matemtica e a linguagemTanto o pescador como o caador pensaram deum modo at bastante sofisticado. Entretanto,talvez a estratgia que utilizaram para resolvera questo da troca j no fosse to eficiente setivessem que decidir quantos peixes trocar por560 aves!

Com o correr do tempo, o homem passou aproduzir mais e a ter um estoque do queproduzia (supervit), alm da necessidade doconsumo prprio e de seu grupo. Com isso, asidias e tcnicas matemticas foram seaperfeioando, para poder resolver osproblemas que envolviam grandesquantidades, por exemplo.

bem possvel que voc tenha resolvido oproblema dos peixes de um modo mais rpido,como por exemplo:

Esses smbolos que atualmente combinamos eusamos de um modo conveniente para registrar aresoluo do problema dos peixes fazem parte deuma linguagem escrita que foi sendo construda, medida que as idias e conceitos matemticosforam sendo descobertos, elaborados e aplicadospelo homem em outras situaes: a linguagemmatemtica.

Essa linguagem, quando escrita, utiliza smbolosprprios e universais, o que permite umacomunicao que ultrapassa fronteiras dasdiversas lnguas. Entretanto, quando noscomunicamos oralmente, utilizando essalinguagem, lanamos mo da lngua materna.Veja um exemplo:

Um fregus de uma padaria compra,todos os dias, leite a R$1,10 o litro ealguns pezinhos a R$ 0,20 cada. Comose pode representar a despesa dessapessoa num dia?

A situao acima, descrita em nossa lnguamaterna, pode ser registrada por meio dalinguagem matemtica, que favorece arepresentao da despesa desse fregus paraqualquer quantidade de pes que ele compre.

Podemos representar por n o nmero de pes epor f(n) (l-se f de n) a despesa. Assim, adespesa pode ser representada pela igualdade:

f (n) = 1,10 + 0,20 . n

Despesa

total

Despesa

com o leite

Despesa

com os pes

Figura 3

11 . 3 = 33

ou

22 2

1100

23

22x

=

ento x = = 333 . 222


14

2

3


Voc e as placas de trnsito

Algumas placas de trnsito que vocencontra nas ruas e estradas utilizam umalinguagem simblica, muitas vezesimpregnada de idias matemticas.Observe as placas ao lado.

a) O que elas significam?

b) Que idia matemtica cada uma delasutiliza?


Represente o que solicitado em cada situao por uma sentena matemtica, de acordocom as informaes dadas:

1. Um txi cobra R$3,50 a bandeirada e R$1,20 por quilmetro rodado. Como voc poderepresentar a despesa de um passageiro que faz um percurso de alguns quilmetros nessetxi? Represente por n o nmero de quilmetros rodados e por f(n) a despesa do passageiro.

2. Todos os terrenos de um condomnio tm 10m de frente, porm tm largura que varia deum terreno para outro. Como voc pode representar a rea de um terreno qualquer dessecondomnio, que tem alguns metros de largura? Represente por A a rea do terreno e por lsua largura.

claro que at chegarmos a esse tipo delinguagem, milhares de anos se passaram.

Alm de todos esses smbolos que utilizamos paranos comunicar e para resolver problemas, muitasvezes nos valemos de uma linguagem ,constituda de cones, grficos e diagramas,

impregnada de idias matemticas e cujo objetivo comunicar informaes do modo mais claro epreciso possvel.Agora sua vez de simbolizar:

A linguagem matemtica est sempre emevoluo, j que novas idias e conceitos socriados a todo momento.

Figura 4


15

A todo momento, podemos constatar nos meiosde comunicao (televiso, jornais, revistas,internet, folhetos, livros etc.), a presena dessalinguagem. Uma pessoa que no a domina, no

Pense um pouco sobre os grficos acima:Os grficos publicados pelo jornal fizeram parte dematria sobre o caso cracolndia, ocorrido na

capaz de compreender as informaes apresentadas,o que poder torn-la incapaz de participar demaneira integral de uma vida em sociedade.

cidade de So Paulo, no final de 2001, e dizemrespeito s aes promovidas pela Corregedoria dapolcia civil e situao de seus funcionrios.

Adaptado da Folha de S. Paulo, So Paulo, 17 dez. 2001. Cotidiano, p. C4.


16

5

O grfico denominado de Os motivos dasdemisses chamado grfico de barras, pois constitudo de barras retangulares horizontais,cujo comprimento representa o percentual dosmotivos de corrupo no perodo de 1996 a 2001.

Ao justificar suas respostas sobre o grfico dosdemitidos , voc deve ter argumentado, baseando-se nos conhecimentos que construiu at hoje.

Por exemplo, quando dizemos que em 2001 o

nmero de demitidos foi de aproximadamente

22% do total, entre 1996 e 2001, estamos

comparando 172 com 797 e registrando o

nmero na forma percentual.

Confira:

dividimos 172 por 797, obtendoaproximadamente 0,215808 (confira com umacalculadora);

multiplicamos 0,215808 por 100 para escreveresse nmero na forma percentual: 21,5808%(agora voc j no precisa de calculadora!);

4

O grfico denominado de O nmero de demitidos chamado grfico de linha, j que uma linha (a laranja)liga os pontos que representam os nmeros dedemitidos, mostrando a evoluo desse nmero noperodo de 1996 a 2001.


a) Voc pode concluir que no perodo de 1996 a 2001 o nmero de demitidos da polcia civil,em So Paulo, sempre cresceu? Por qu?

b) Na primeira metade desse perodo (1996-1998) foram demitidos aproximadamente 50%dos policiais demitidos no perodo todo (1996-2001). Voc considera essa afirmaoverdadeira? Justifique sua resposta.

tambm aproximamos esse nmero para 21,6%,desprezando as demais casas decimais que norepresentariam sequer 1 pessoa.

A forma percentual indica que comparamos umaparte dos demitidos com um total de 100.Assim, o nmero 21,6 % representa a seguintesituao ideal: se pudssemos agrupar os 797demitidos em grupos de 100 e espalharigualmente por esses grupos os 172 demitidos,aproximadamente 21,6 pessoas em cada grupoteriam sido demitidas em 2001, o que narealidade no acontece, j que no existe 0,6 depessoa. Ento, esse nmero (21,6%), por estarmais prximo de 22% do que de 21%, deve seraproximado para 22%, significando que, emcada grupo de 100 demitidos entre 1996 e2001, h aproximadamente 22 demitidos em 2001.


Agora com voc.

Observe o grfico de barras e verifique quantos policiais foram demitidos no perodo de1996 a 2001 por corrupo.

A partir das situaes apresentadas, voc deve terpercebido a importncia da linguagem matemticapara controlar e prever resultados (como no casoda despesa dos pes e leite), bem como paracomunicar dados e idias (como no caso das

placas de trnsito e dos grficos do jornal).Essa linguagem foi pseudo-construda ao longodo tempo, medida que as idias matemticas queela descreve foram ficando cada vez mais claras eprecisas para a humanidade.


17

O desenvolvimento da Matemticae os outros campos do conhecimento

Voc j viu que o desenvolvimento da Matemticase deve em grande parte busca de solues paraproblemas que a humanidade tem enfrentado emseu dia-a-dia. Apenas para dar alguns exemplos:

Que chance tenho em ter meu bilhete sorteadonuma loteria de nmeros?

Como fixar as ripas de meu porto?

Quantas estampas diferentes posso obter nostecidos da tecelagem onde trabalho, se o fundopode ser ou azul ou amarelo e o desenho podeser de bolinhas brancas ou de listras pretas ou,ainda, xadrez vermelho?

Questes semelhantes a essa fizeram o homempensar nos fenmenos probabilsticos, emquestes geomtricas, e nos problemas decontagem, respectivamente. Alm desses camposespecficos da Matemtica aos quais eles sereferem, outros mais foram desenvolvidos a partirde problemas que envolviam nmeros, medidas,lgebra, ligados realidade da humanidade.

Entretanto, os outros campos do conhecimentotambm tm solicitado respostas da Matemticapara solucionar seus problemas especficos,contribuindo indiretamente para seudesenvolvimento.

Para citar um exemplo que mostra a Matemticasendo utilizada em outro campo do conhecimento,

vamos focalizar nosso olhar na Trigonometria,ramo da Matemtica que, at por volta do sculoXVII, desenvolveu-se em decorrncia de umaligao estreita entre a teoria e a prtica.

No incio de sua criao, a Trigonometria eraum campo da Matemtica no qual os ngulos deum tringulo e as medidas de seus lados eramrelacionados.

As razes trigonomtricas apareceraminicialmente por necessidades da Astronomia,da Agrimensura e da navegao.

Posteriormente, por volta dos sculos XVI e XVII,a Trigonometria esteve a servio da Fsica paradescrever e explicar fenmenos peridicos, comopor exemplo:

o movimento peridico dos planetas, estudadopor Kepler.

o movimento peridico dos pndulos, estudadopor Galileu.

a propagao do som em forma de ondas,estudada por Newton.

a propagao da luz em forma de ondas,estudada por Huyghens.

a vibrao de uma corda de violino, estudadapor Mersenne.

Astronomia

a cincia que estuda as posies relativas, os movimentos, a estrutura e a evoluo dos astros.

Agrimensura

a tcnica de medida dos elementos geomtricos das partes de um terreno

Tri gono metria(trs) (medida)(ngulo)

Todos sabem que, se voc deseja ser um fsico ou engenheiro, deveria ser bom em Matemtica.Mais e mais pessoas esto descobrindo que, se desejam trabalhar em certas reas daEconomia ou Biologia, deveriam rever sua Matemtica. A Matemtica penetrou naSociologia, Psicologia, Medicina e Lingstica. Sob o nome de cliometria, est se infiltrandona Histria, para sobressalto dos mais velhos.

DAVIS, Philip J.; KERSH, Reuben. A experincia matemtica. Traduo de Joo Bosco Pitombeira. Rio de Janeiro: F. Alves,

c 1989. 481p. (Coleo Cincia): The Mathematical experience.


18

J no final do sculo XVII, com o incio dodesenvolvimento do conceito de Funo, oestudo da Trigonometria se ampliou para umcampo mais abstrato, desligando-se assim dasaplicaes prticas.

Figura 6 Onde a, b e c so as medidas dos catetos

e da hipotenusa desse tringulo retngulo; a e b seus

ngulos agudos; e sen (seno), cos (co-seno) e tg

(tangente) so razes entre medidas dos lados desse

tringulo, como esto descritas acima.

h1 h2 h3

v1 v2 v3= = = ... = c (constante)

As razes trigonomtricas j eram utilizadas pelosegpcios para resolver problemas de Arquitetura,por ocasio das construes das pirmides. Paramanter constante a inclinao das paredes daspirmides durante a construo, eles mantinhamconstante o quociente do afastamentohorizontal pelo afastamento vertical, que erammedidos com unidades diferentes.

Na figura a seguir os afastamentos horizontaisforam representados por h

1

, h2

e h3

e osverticais, por v

1

, v2

e v3

.

Figura 7

Assim, quando eles constatavam que

Atualmente, as razes trigonomtricas numtringulo retngulo so apresentadas como naFigura 6.

concluam que a parede apresentava sempre amesma inclinao.

Ora, o quociente entre essas medidas nada mais,nada menos, do que uma razo trigonomtrica,conhecida hoje por cotangente do ngulo deinclinao da parede com o cho.

Hoje em dia mede-se a inclinao de uma reta poruma razo entre segmentos verticais e horizontais(tangente do ngulo de inclinao), razo essainversa da utilizada pelos egpcios pararesolverem problemas arquitetnicos.

Figura 5 - Tringulo retngulo o tringulo que tem um

ngulo reto (de 90).


19

Hoje usa-se:

Egpcios usavam:

tg vh

=

cotg hv

=

Atualmente, os topgrafos dispem deinstrumentos de medida de ngulo que lhespermitem determinar medidas por vezesinacessveis.

tg 30 = h

200ou 0,57 =

h

200

Desejando saber qual a altura do morro que tinha sua frente, um topgrafo colocou-se com seuteodolito a 200m do morro. Ele sabe que a alturado teodolito de 1,60m. Posiciona o aparelho quelhe fornece a medida do ngulo de visada de partedo morro: 30. Consulta uma tabela de tangentes everifica que tg 30 = 0,57.Assim, no tringulo TPM temos:

Figura 8

o que lhe permite calcular h:

h = 200 x 0,57 = 114

O topgrafo conclui que o morro tem114 + 1,60 = 115,60m de altura.

Figura 9


20

Uma experincia que voctambm pode fazerVeja como possvel encontrar a tangente de umngulo agudo, experimentalmente. Como exemplo,vamos determinar a tangente de um ngulo de 35(indica-se tg 35), utilizando:

Construmos, com a rgua e o transferidor, umngulo de 35.

Apoiamos o esquadro em um dos lados dongulo em vrios pontos desse lado (porexemplo, A, B, C); traamos perpendiculares aesse lado at encontrar o outro lado em pontoscorrespondentes (A, B, C).

Rgua

Transferidor

Esquadro

Figura 10

Figura 11

Figura 12


21

Foram construdos, assim, vrios tringulosretngulos: OAA, OBB, OCC, destacados a seguir

medida do cateto oposto ao ngulo de 35

Como

tg 35 = ,medida do cateto adjascente ao ngulo de 35

em cada tringulo medimos o cateto oposto aongulo de 35 (AA, BB, CC) e o cateto adjacentea esse ngulo (OA, OB, OC) para encontrarmos ovalor de tg 35:

1,02tg 35 = = 0,67

1,52

3,05

4,06tg 35 = = 0,75

tg 35 = = 0,733,564,83

Calculamos a mdia aritmtica dos valores obtidospara expressar o valor mais representativo de

tg 35, do seguinte modo:

tg 35 = = 0,710,67 + 0,75 + 0,733

Com um processo semelhante podemos determinarexperimentalmente o seno e o cosseno de ngulosagudos.Figura 13


22

6


Para voc desvendar uma construo estranha

O quebra-cabea a seguir muito conhecido.Para desvend-lo, voc precisa pensar natangente de ngulos agudos em tringulosretngulos. Vamos experimentar?

A Figura 14 uma regio quadrada, montadacom figuras de um quebra-cabea formado por4 peas: dois tringulos e dois trapzios.

Essas peas so compostas de outra maneira,formando outra regio retangular na Figura15.

Isso possvel, j que as peas que formam oquebra-cabea da Figura 14 so as mesmasque formam o quebra-cabea da Figura 15.Concorda ou no?

Voc acha que eles deveriam ter a mesmarea, j que so compostos pelas mesmaspeas?

Agora, confira se a regio quadrada da Figura14 tem 64 de rea e a regio retangular daFigura 15 tem 65 de rea.

Finalmente responda: por que a rea daFigura 14 tem uma unidade a mais do quea rea da Figura 15?

Para resolver esse problema, imite os egpcios,porm usando a tangente dos ngulos e assinalados na Figura 16 ao lado.

Se eles possurem a mesma tangente porqueso iguais e, ento, a linha AB realmenteum segmento de reta.

Caso eles no tenham a mesma tangente,ento a linha AB muda de inclinao no

ponto X.

Aproveite o quadriculado e escolha doistringulos retngulos convenientes, na figura,para voc determinar tg e tg . Considere olado do quadradinho como uma unidade demedida (u).

Mos obra! Figura 16

Figura 14

Figura 15


23

Depois de tirar sua concluso, voc podeconfirm-la, montando o quebra-cabea da Figura14 numa malha quadriculada de 2cm x 2cm edepois recortando as peas e montando o quebra-cabea da Figura 15. Vai ter uma surpresa, queconfirmar sua resoluo anterior. Experimente!

Neste quebra-cabea voc foi incentivado autilizar seu conhecimento sobre as tangentes dengulos agudos, na prtica, a fim de explicar porque a rea da nova regio retngular diferenteda rea da regio quadrada inicial.

Voc observou que foi necessria uma ferramentaterica para dar tal explicao: o conceito detangente de um ngulo agudo de um tringuloretngulo.

Mas voc fez tambm o caminho inverso.Experimentou montar a regio quadrada inicialnum quadriculado maior, separando suas peas,rearranjando-as para montar a segunda regioretangular. Verificou, ento, que nesse caso, oquebra-cabea no fecha (fica uma fenda nomeio dele), mostrando que a rea da segundafigura maior do que a da primeira. Essa prticaconfere ao conhecimento construdo (conceito detangente) uma certa confiabilidade.

Esse movimento (conhecimento-prtica-conhecimento) ocorreu inmeras vezes naconstruo do conhecimento matemtico.Algumas teorias, como as geometrias no-euclidianas, foram criadas no por necessidadesimpostas pela realidade, nem para atender aoutras cincias, nem Matemtica, mas porsimples exerccio do intelecto e s muito tempodepois de sua criao encontraram aplicao naFsica. A teoria geral da relatividade elaboradapor Einstein no teria sido possvel sem umadessas geometrias. a aplicao prticanovamente dando confiabilidade ao conhecimentomatemtico construdo.

Ainda vale a pena lembrar que muitos problemasprticos ou cientficos so resolvidos pormodelizao, isto , criam-se modelosmatemticos para resolv-los, como no caso daQumica.

Durante muito tempo, no campo daQumica, procuraram-se modelos pararepresentar os tomos de elementosqumicos. Era desejvel que tais modelos,por meio de sua configurao espacial,pudessem descrever e explicar aspropriedades desses elementos, como porexemplo, o tetraedro que representa otomo de carbono.

O que voc pensa sobre isso?

Voc considera que um modelo desse tipo algbrico, geomtrico ou aritmtico?

7


Esse modelo do tomo de carbono pode serconsiderado como o esqueleto de um slido o tetraedro.

No caso da modelizao, nem sempre os modelosconstrudos so suficientemente bons pararesponder s necessidades prticas. Por isso, asteorias tm que ser colocadas prova: aexperincia validando o conhecimento construdo.

Figura 17


24

A Matemtica e suas questes internasQuantas vezes voc j deve ter feito a mesmapergunta que aparece na Figura 18, no mesmo?

Muitas vezes aprendemos conceitos matemticosque, primeira vista, nada tm a ver com arealidade em que vivemos. Posteriormente,percebemos que eles serviram para construirmosnovos conceitos e idias matemticas que tmgrande aplicao em nossa vida.

Um exemplo interessante o dos nmeroscomplexos. muito comum entrarmos em contatocom esse tipo de nmero por meio de problemasque envolvem raiz quadrada de nmero negativo.Veja um problema famoso a seguir:

Descubra dois nmeros cujasoma 10 e cujo produto 40.

Esse problema foi objeto de estudo do matemticoitaliano Cardano, em 1545, que o consideroumanifestamente impossvel, mas mesmo assimvamos operar.

A equao do segundo grau j era conhecida notempo de Cardano: ax

2

+ bx + c = 0 e a frmulaque a resolve tambm:

onde a, b e c so nmeros reais.

Cardano concluiu que a equao que resolvia esseproblema x

2

10 x + 40 = 0 e que

eram solues do problema. Entretanto considerouessas expresses inteis, pois envolviam nmerospara os quais ainda no tinha sido dado nenhumsignificado: a raiz quadrada de nmero negativo.

Nesse tempo, Bombelli, outro matemtico italiano,resolveu operar com esses nmeros, mesmo semdar a eles um significado, imitando oprocedimento que utilizava para operar comnmeros reais.

Bombelli confirma, por exemplo, que a soma e oproduto dos nmeros e solues do problemainicial so 10 e 40, respectivamente. Ele operoucom esses nmeros usando as mesmas regras epropriedades dos nmeros reais que conhecia.

Figura 18


25

9


Voc j operou com os nmerosAgora, represente-os por dois pontos no plano.

Antes, porm, escreva-os na forma e construa os dois eixos perpendiculares: o daparte real (onde voc vai marcar o nmero a) e o da parte imaginria (onde voc vai marcaro nmero b).

Figura 19

8

As razes quadradas de nmeros negativos

continuaram a aparecer nos sculos XVI, XVII

e XVIII. Os matemticos manipulavam esses

nmeros sem saber o que significavam, tanto

que os nomes que tais nmeros

receberam na poca descreviam bem esse

desconforto: sofsticos, fictcios, impossveis,

msticos, sem sentido, imaginrios (este ltimo

perdura at hoje).

O conjunto desses nmeros s passou a ter status

de campo numrico a partir dos trabalhos de

Gauss, no final do sculo XVIII e incio do sculo

XIX, quando os nmeros da forma ,

onde a e b so nmeros reais, passaram a ser

Como voc pode ver, a criao dos nmeroscomplexos no se deveu a nenhum problema docotidiano das pessoas, mas sim necessidade dedar um significado a solues de equaes ondeapareciam razes quadradas de nmeros negativos.E essa uma questo interna Matemtica!

Aprender sobre os avanos da Matemtica quesurgiram em virtude da necessidade de resolver

seus problemas internos, contribui para:

desenvolver maneiras particulares de raciocinar.

compreender como um contedo matemtico degrande aplicao na realidade foi criado a partirde outro que, aparentemente, nada tem a vercom ela, mas somente como exerccio do pensar.

aumentar sua cultura.

chamados de nmeros complexos e a serrepresentados por um par ordenado de nmerosreais (a, b), que admitia uma representaogeomtrica por um ponto no plano.


Imitando Bombelli

Tente encontrar a soma e o produto abaixo:


26

Afinal, o que a Matemtica tem a ver com o lixo?

Ora, uma campanha de conscientizao sobre acoleta do lixo pode ser feita com as pessoas quemoram em seu quarteiro. Ela pode serdesenvolvida em vrias etapas, como, por exemplo:

Um grupo de vizinhos interessados em solucionar

o problema pode se organizar para fazer essa

campanha.

Fazer um levantamento:

do tipo de lixo que jogado nas ruas(observando as ruas todos os dias, durante umcerto perodo estipulado pela equipe,recolhendo e anotando o lixo encontrado:papis, casca de frutas, embalagens, garrafas etc).Para fazer essa coleta, o grupo de vizinhos devese munir de luvas de borracha, sacos de lixo de20 litros marcados com cores diferentes (azul

Usando a Matemtica para modificar o mundoA todo momento convivemos com uma grandequantidade de objetos, fatos e informaes deprocedncias e naturezas diversas. Por isso,precisamos compreend-los, analis-los,relacion-los e, muitas vezes modific-los, paratornar melhor a realidade em que vivemos.

Voc pode notar que essas trs situaes so decarter muito diferente.

Arrumar os objetos no armrio demanda de vocuma habilidade em ocupar o espao de modoconveniente para que todos os objetos caibam.

Mas no s isso. possvel que voc queiracolocar na prateleira de cima os objetos que usapara escrever (lpis, caderno e livro) e na debaixo os que no utiliza para esse fim (relgio,tesoura, caixinhas). Isso mesmo, voc classifica osobjetos de acordo com o critrio que mais lheinteressa.

J a questo do lixo mais complexa, pois suasoluo no depende apenas de voc! Que tal umacampanha de conscientizao entre as pessoas quemoram no seu quarteiro? Como fazer isso? Seriabom fazer uma coleta seletiva? As pessoas sabemo que isso?

Os exemplos so tantos, que tropeamos neles emnosso dia-a-dia, desde os mais simples, at osmais complexos:

Figura 20 Figura 21 Figura 22


27

para papel; verde para vidro; amarelo paralatas; vermelho para plsticos; branco para lixoorgnico).

de como feita a coleta de lixo nesse quarteiro(por caminho coletor, por cada morador quequeima seu lixo ou leva-o para um depsitocomunitrio etc.);

sobre o conhecimento que as pessoas tm sobrecoleta seletiva e se praticam a coleta seletiva;

Papel

Vidro

Latas de bebida

Orgnico (restos de

alimentos, folhas,

animais mortos etc)

Plstico

2kg

1kg

3kg

3kg

Sarjeta

Portas de casas

Sarjeta, caladas

Sarjeta, caladas, rua

porta de casa

Tipo de lixo Quantidade Local

1kg Sarjeta, esquinas

Conhece

No conhece

10

1

15

64

Coleta seletiva de lixo Pratica No pratica

papel

34

12

44

vidro

2

0

88

lata

24

15

51

orgnico

13

8

69

plstico

6

10

74

Tipo de lixo

Em relao ao hbito de jogar lixo na rua,

a Tabela 1 apresenta o n de moradores em cada situao:

Em relao ao conhecimento e prtica da coleta seletiva de lixo,

a Tabela 2 apresenta o n de moradores em cada situao:

Em relao ao tipo de lixo e quantidade encontrados nas ruas durante

um certo perodo (por exemplo, 1 semana):

Tabela 1

Tabela 2

Tabela 3

sobre os insetos mais freqentes nas casas dessequarteiro e na parte externa s moradias;O grupo de vizinhos poder encontrar outrositens que considerar mais convenientes.

De posse desses dados, o grupo poder arrum-los

em tabelas, poder tambm confeccionar grficos

para a conscientizao dos moradores do

quarteiro, como, por exemplo:

Joga

freqentemente

raramente

nunca


28

A elaborao das tabelas favorecer:

a observao de semelhanas e diferenas entreos materiais coletados e, portanto, favorecer osprocessos de classificao para a realizao decoleta seletiva.

a tabulao e anlise de dados. Na coletaencontrou-se um nmero muito maior de latasdo que garrafas de vidro. A que se deve essefato? Na pesquisa, percebeu-se que o hbito dejogar papel e latinhas de refrigerante ou cervejaainda muito forte entre os moradores dessequarteiro. O que se poderia fazer a respeito?

os clculos que por ventura devam ser feitospara, por exemplo, fazer previses: se cadagarrafa coletada pesa em mdia 300g e cada lata50g, quantas garrafas e quantas latas foramcoletadas na semana? Se os sacos de lixoutilizados na coleta suportam em mdia 20kg,de quantos sacos vamos precisar para a prximasemana de coleta?

a observao de regularidades. A tabela anteriormostra que na sarjeta que se encontra a maiordiversidade de lixo.

a verificao de quantos moradores estoenvolvidos, direta ou indiretamente, na coletade lixo do quarteiro em questo: na primeiratabela fcil perceber que so 90 essas pessoas.

a previso sobre as medidas que devero sertomadas para conscientizar as pessoas que noconhecem ou no praticam a coleta seletiva (aotodo 80 moradores do quarteiro). Essasmedidas podem ser de vrios tipos: folhetosexplicativos, reunies com os moradores doquarteiro, visitas do grupo de pesquisa a cadacasa do quarteiro para explicar sobre a coletade lixo etc.

a confeco de grficos que possam, por meiodo impacto visual, mostrar aos moradores doquarteiro o problema do lixo de formaimediata. Um cartaz como o seguinte (Figura23) nos mostra que os moradores do quarteiroprecisam ser informados sobre o que a coletaseletiva e suas vantagens.

Para confeccionar um grfico desse tipo(grfico de setores), voc precisa mobilizarconhecimentos sobre:

ngulo, ngulo central.

setor circular.

proporcionalidade (entre ngulo central do setore o nmero de moradores que no conhecem ouno praticam coleta seletiva do lixo).

80= 0,8888... = 88,8%

90

~

Veja como possvel fazer isso.

Dentre os 90 moradores pesquisados, 80 noconhecem ou no praticam a coleta seletiva. Issopode ser registrado assim:

ou seja, 88,8% dos moradores no conhecem ouno praticam coleta seletiva.

O setor circular que corresponde a 88,8% docrculo determinado por um ngulo centralque deve medir 88,8% de 360 , que 0,888 . 360 320.

AB um ngulo central

(tem o vrtice no centro do

crculo pintado de duas

cores).

Cada uma das regies (branca

e cinza) chamada de setor

circular.Figura 24

No conhecem ou

no praticam coleta

seletiva

Figura 23


29

O valor que se obtm com a calculadora 319,68, que aproximamos para 320, parafacilitar a confeco do grfico com umtransferidor.

Caso o elaborador do grfico disponha de ummicrocomputador e de um programa que faagrficos, tudo fica bem mais fcil. s alimentar oprograma com os dados obtidos na pesquisa que ogrfico sai prontinho!

De posse de todo esse material, o grupo devizinhos que fez a pesquisa poder discutir comos demais moradores sobre a questo do lixodaquele quarteiro, no sentido de conscientiz-losa no jogar lixo nas ruas, a praticar a coletaseletiva e, quem sabe, a ampliar esse projeto paraoutros quarteires do bairro.

Eis a um grupo de vizinhos que usou aMatemtica para modificar as condies de suarealidade, de seu mundo!

Voc tambm pode fazer isso!

Construindo o setor de 320

Dica:

Comece por reduzir o consumo. Aproveiteprodutos que usualmente no costuma utilizar(como, por exemplo, as folhas da beterraba parafazer um refogado ou as cascas do abacaxi paraum refresco) e depois, sempre que possvel,reutilize as embalagens. Com isso, voc estarcombatendo o aumento do lixo, o que facilitar,posteriormente, a reciclagem.

Caso o grupo tenha algum outro tipo de interesseem promover mudanas em seu bairro, noquarteiro onde mora, no espao em que trabalhaou nas instituies que freqenta (igrejas, centrosde sade, por exemplo), possvel promov-las nosmesmo moldes da coleta do lixo, com as devidasadaptaes que o prprio grupo far.

Alguns temas podero ser escolhidos como motivode um levantamento estatstico para ser o pontoinicial de tais mudanas:

Interesse da comunidade em promover umsbado cultural, a cada ms, com os artistas daprpria comunidade.

A vacina contra a gripe e os idosos: funciona ouno?

O perodo de lazer das crianas do bairro: quem,como e onde promov-lo e organiz-lo?

O trabalho voluntrio: uma opo para qualquerpessoa.

Mos obra!

Para voc intervir em sua realidadeVoc tambm pode fazer uma campanha deesclarecimento junto sua comunidade sobre areduo reutilizao reciclagem do lixo.

O levantamento de dados sobre essas aes podeser obtido mediante um questionrio que seriaaplicado s pessoas da comunidade, alvo da talcampanha.

Para que essa comunidade se conscientize daimportncia da reduo reutilizao reciclagem do lixo, importante que osresultados de sua pesquisa sejam mostrados eanalisados por elas; nesse caso, nada melhor doque um grfico para que percebam clara eimediatamente em que situao se encontramdiante do problema e decidam que atitudes tomarpara elimin-lo.

Ento, combine com alguns amigos interessadosnas vantagens da reduo-reutilizao-reciclagem e da coleta seletiva do lixo paradesenvolver um programa de conscientizao emseu quarteiro, em seu bairro ou em sua escola,como o que foi descrito anteriormente.

Figura 25


30

Fazendo umamaquete

claro que quando se quer modificar o mundo anossa volta preciso pensar no s naMatemtica, mas tambm muito alm dela: emoutras reas do conhecimento. Por exemplo,iniciar uma campanha de esclarecimento sobre olixo leva as pessoas envolvidas a buscarconhecimentos sobre desvantagens do lixo a cuaberto, processos de coleta, de reciclagem,vantagens e desvantagens da reciclagem, comoreaproveitar o material reciclado, comorecoloc-lo no mercado para o consumo, etc.Muito provavelmente, a Fsica, a Qumica, aBiologia, a Sociologia e a Economia so camposdo conhecimento que contribuiro para que essacampanha tenha sucesso.

Se a Matemtica tem algo a ver com o problemado lixo o que dizer sobre sua relao com aexposio da qual a menina deseja participar?

Como a Matemtica pode ajudar a garota aexternar esse sentimento de prazer e orgulho deser aluna de uma escola que ela considera bonita?

Para comear seu projeto, a menina foi medir oterreno de sua escola e a altura, comprimento elargura do prdio. Percebeu que seria difcil,pensou at em providenciar um teodolito paraimitar o topgrafo quando vai encontrar o ngulode visada e, com sua tangente, determinar a alturado prdio. Entretanto, no foi necessrio.

Como havia um terrao no alto desse prdio, foiajudada por alguns colegas: enquanto segurava aponta do barbante do alto do terrao do prdio,um colega cortava o barbante no ponto em queele atingia o cho e depois mediu o barbante. Paramedir a largura e comprimento mais fcil, poispode-se fazer todas essas medies no chomesmo.

.

Figura 26


31

Depois de tanto trabalho algum lhe deu a idiade procurar a planta do prdio da escola naPrefeitura e foi o que ela fez. Com a planta namo, resolveu fazer uma maquete de tal maneiraque a relao entre as medidas da maquete e asmedidas reais deveriam estar na razo 1: 50, isto, cada centmetro de comprimento na maqueterepresentava 50 cm na realidade ou cada 2 cmcorrespondia a 1 m.

Fez sua maquete em cartolina, com uma base depapelo. Construiu um paraleleppedo pararepresentar o prdio principal, com as medidasadequadas e outro para representar a cantina. Noesqueceu de um prisma triangular para o telhadoda cantina. Recortou vrios retngulos para asjanelas e parte da porta e um semicrculo para oalto da porta. Com arame fino fez os enfeites doterrao do telhado, que foram fixados empequenos prismas de isopor.

A exposio foi um sucesso e a menina chamou aateno dos visitantes para sua escola que, durantetantos anos, havia passado despercebida pelosmoradores do bairro, menos para as crianas,professores e funcionrios que l trabalhavam.Muitas pessoas se interessaram em saber se nessaescola havia trabalho voluntrio das pessoas dacomunidade, se a escola recebia os moradores dobairro para oferecer cursos de alfabetizao deadultos, de atendente de enfermagem etc, etc, etc.

A partir desse dia, professores, alunos e demaisfuncionrios dessa escola, juntamente compessoas da comunidade, resolveram desenvolverum projeto de carter scio-educativo a cada ano.O primeiro foi o de alfabetizao de adultos.

Figura 27


32

10


Como ser que a menina fez?

a) Se o prdio principal da escola tem 10 m de altura, 12 m de comprimento e 8 m delargura, quais as medidas desse prdio na maquete?

b) Dos moldes abaixo qual voc acha que a menina utilizou para fazer o prdio da escola?

c) E para fazer o telhado da cantina?

d) Quantos cm2 de cartolina a menina gastou na confeco do prdio da escola em suamaquete?

Terminando...

Figura 28

Figura 29

Nestas poucas pginas, voc teve a oportunidadede refletir sobre a Matemtica como uma cinciaque foi e continua sendo construda pelahumanidade, no s em decorrncia de problemasque surgem em muitas situaes de nossa

realidade, mas tambm por solicitao de outroscampos do conhecimento e por questes internas prpria Matemtica.

Voc deve ter notado tambm que os problemasque resolvemos em nosso cotidiano tm carter


33

interdisciplinar: ningum sai de casa pensandohoje vou resolver um problema de subtraopara calcular o troco, quando fizer as compras nosupermercado.

Muito provavelmente, alm do troco, precisofazer estimativas, para ver se o dinheirodisponvel para as compras ser suficiente ou se adata de validade conveniente, tendo em vista oritmo de consumo do comprador em relao aoproduto que est querendo comprar.

Um comprador tambm precisa estar atento, nahora da compra, para o que mais vantajoso emtermos de preo: uma embalagem de molho detomate de 350 ml por R$ 2,80, ou outra, damesma marca, de 500 ml por R$ 3,80?

Alm disso, preciso decidir por uma ou outramarca de um produto; prefervel comprar umproduto de marca comprovadamente idnea do

Afinal...Por que a Matemtica importante? Por ser til como instrumentador para a vida. Por ser til como instrumentador para o

trabalho. Por ser parte integrante de nossas razes

culturais. Porque ajuda a pensar com clareza e a

raciocinar melhor. Por sua prpria universalidade. Por sua beleza intrnseca como construo

lgica, formal etc.

Texto adaptado de: DAMBRSIO, Ubiratan.Etnomatemtica: arte ou tcnica de explicar e conhecer.So Paulo: tica,c1990. 88 p. (Fundamentos; v. 74)

Figura 30

Figura 31

Figura 32

11


E voc o que acha?

O que mais vantajoso: comprar uma embalagem de molho de tomate de 350 ml por

R$2,80 ou outra, da mesma marca, com 500ml por R$3,80?

que de outra, desconhecida, da qual no sabemosa procedncia dos artigos utilizados na confecodo produto e os cuidados com seu preparo.

No podemos esquecer tambm que, aoescolhermos este ou aquele supermercado parafazermos as compras, temos que levar em conta oque sabemos sobre a higiene do estabelecimento,seus procedimentos de estocagem, o tratamentoque os funcionrios dispensam aos fregueses, etc.Enfim, o problema das compras, como muitos emuitos problemas que resolvemos a todomomento em nossa vida, no se limita a um nicocampo do conhecimento humano.


34

Conferindo seu conhecimento

Voc e as placas de trnsito

Largura mxima 1,8mMedidaGrandeza medida: comprimento

Velocidade mxima permitida: 80km/hMedida

Grandeza medida: velocidade

Altura mxima: 3mMedida

Grandeza medida: comprimento

Restaurante a 500mMedidaGrandeza medida: comprimento

3

a) Entre 1996 e 2001, o nmero de demitidos nem sempre cresceu. Ele diminui de 1998para 1999 e de 2000 para 2001.

b) De 1996 a 1998 foram demitidos 75 + 96 + 134 = 305 policiais corruptos.

De 1996 a 2001 foram demitidos 797 policiais corruptos. Logo,

4

1 - f(n) = 1,20 . n + 3,50

2 - A=10 . l

2

305= 0,38 = 38% = 50%

797

~

Agora com voc:

De 1996 a 2001 foram demitidos 75 + 96 + 134 + 131 + 189 + 172 = 797 policiaiscorruptos.

5


35

Para voc desvendar uma construo estranha:

Como as duas figuras so compostas pelas mesmaspeas, ento deveriam ter mesma rea.

rea da Figura 33 = 64

rea da Figura 34 + 65

6

7

8tg = = 2,66...

3

5

2tg = = 2,5 } logo, e no so iguais,porque suas tangentes sodiferentes

Assim, o segmento AB no um segmento na verdade,j que AX e XB tm inclinaes diferentes. Nessa Figura34 o que ocorre que as quatro peas no se juntamno meio, mas ficam dispostas como ao lado.

O primeiro de rea extra a rea do paralelogramosombreado, que na Figura 34 est exagerada. Fazendo aspeas num quadriculado de 2cm x 2cm jse pode notar o paralelogramo.

O modelo para descrever o tomo de carbono de carter geomtrico.

O tetraedro associado a esse modelo um poliedro: slido, cuja superfcie sempre pode serdecomposta num nmero finito de partes planas e poligonais (as faces).

Figura 33

Figura 34

8 Imitando Bombelli:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+ + = + =+ = = + =22

5 15 5 15 =(5+5)+ 15 15 10 0 10

5 15 5 15 = - 15 25 15 25 15 405


36

a b

Representando-os no plano cartesiano

Como voc viu, os nmeros complexos

podem ser postos na forma , onde ae b so nmeros reais. Nesse caso, quandob = 0, o nmero fica reduzido a a queindica simplesmente um nmero real. Issosignifica que todo nmero real um nmero

complexo da forma .

9 Registrando os nmeros na forma :

a b


37

a) Na maquete, o prdio dever ter 20 cmde altura, 24 cm de comprimento e 16 cmde largura.

c) Molde do telhado da cantinaMolde do prdio da escola

Na maquete No prdio

E voc, o que acha?

Efetuando-se R$2,80 : 350 ml obtm-se R$0,008 por 1ml de molho.

Efetuando-se R$3,80 : 500ml obtm-se R$0,0076 por 1ml de molho.

Ento o molho mais barato o segundo, o da embalagem maior.

10

11

d) A menina gastou 2 . 24 . 20 + 2 . 24 . 10 + 2 . 20 . 10 = 1.840cm2 de cartolina.

b)


38

ORIENTAO FINAL

Para saber se voc compreendeu bem o que est apresentado neste captulo, verifique se est apto ademonstrar que capaz de:

Identificar e interpretar, a partir da leitura de textos apropriados, diferentes registros do conhecimentomatemtico ao longo do tempo.

Reconhecer a contribuio da Matemtica na compreenso e anlise de fenmenos naturais, e daproduo tecnolgica, ao longo da histria.

Identificar o recurso matemtico utilizado pelo homem, ao longo da histria, para enfrentar e resolverproblemas.

Identificar a Matemtica como importante recurso para a construo de argumentao.

Reconhecer, pela leitura de textos apropriados, a importncia da Matemtica na elaborao deproposta de interveno solidria na realidade.

Fabio Orfali

LGICA E ARGUMENTAO: DA PRTICA

MATEMTICA

AMPLIAR FORMAS DE RACIOCNIO E PROCESSOS

MENTAIS POR MEIO DE INDUO, DEDUO,

ANALOGIA E ESTIMATIVA, UTILIZANDO CONCEITOS E

PROCEDIMENTOS MATEMTICOS.

Captulo II


40

Captulo II

Lgica e argumentao:da prtica Matemtica

Argumentao

Voc j pensou no que existe em comum entreuma propaganda de certo produto na televiso,um artigo do editorial de um jornal e um debateentre dois polticos? Essas situaes podemparecer bem diferentes, mas, se voc analisar comcuidado, ver que, nos trs casos, basicamente,tenta-se convencer uma ou mais pessoas dedeterminada idia ou teoria.

Os criadores do comercial procuram convencer opblico de que aquele produto melhor do que ode seus concorrentes. O jornalista que escreve umartigo defende seu ponto de vista sobre umacontecimento do dia anterior e procuraconvencer os leitores de que suas idias so asmais corretas. J cada um dos polticos tentamostrar aos eleitores que possui melhores

condies de ocupar determinado cargo pblicodo que seu adversrio.

Mas como convencer algum, ou ns mesmos, deque determinada idia , de fato, correta? necessrio que sejam apresentados fatos quejustifiquem aquela idia. Esses fatos so chamadosde argumentos. Eles devem ser bem claros, teruma relao lgica entre si, de tal maneira que aidia considerada seja uma conseqncia naturaldos argumentos apresentados.

Nem sempre, porm, isso ocorre. Muitas vezes, aargumentao no feita de modo consistente e oresultado que aquela idia acaba no sendoaceita pelas outras pessoas. Observe o exemplo aseguir:

Voc acha que o argumento utilizado pelo marido para justificar seu atraso est consistente?Figura1

Captulo II Lgica e argumentao: da prtica Matemtica

41

argumentar uma habilidade extremamenteimportante ao ser humano. Ora, os resultados deuma teoria matemtica s so aceitos medianteuma argumentao rigorosamente correta. o queos matemticos chamam de demonstrao.Assim, no estudo da matemtica, as regras doraciocnio lgico devem ser muito bemconhecidas e analisadas, o que leva aoaprimoramento de nossa capacidade deargumentar, mesmo em situaes fora damatemtica.Observe a histria abaixo:

Voc j percebeu o quanto a argumentao importante no dia-a-dia das pessoas? Observe queutilizamos argumentos para convencer nossochefe de que merecemos um aumento, paraconvencer nossa namorada, ou namorado, a ir aocinema quando ela, ou ele, preferia ficar em casa,e em diversas outras ocasies. De uma boaargumentao pode mesmo depender o resultadode uma entrevista para se conseguir um novoemprego.

Mas afinal como a matemtica se relaciona comtudo isso? J discutimos que a capacidade de

Figura 2


42

A expresso utilizada por Juninho (CQD- comoqueramos demonstrar) foi emprestada daMatemtica. Ela normalmente usada ao final deuma demonstrao, quando os argumentosexpostos j so suficientes para comprovar aafirmao que foi feita inicialmente.

Assim, o menino fez duas afirmaes, querendodizer que na sua cama o ambiente est tranqilo,aconchegante e fora dela a situao ruim,confusa. Neste instante, a me grita, pedindoauxlio com as compras. Ora, como algum podepreferir guardar compras a uma cama quente econfortvel? Para Juninho, essa uma prova deque l fora o caos. Por isso, na sua opinio,aquele era um argumento que demonstrava suasafirmaes iniciais.

Muitas vezes, na vida real, usamos apenas um fatopara demonstrar que nossas idias soverdadeiras. Em certas ocasies isso aceitvel,em outras no.Observe os exemplos abaixo:

No disse que aquele time no era bom? Aps 25jogos, ele foi derrotado no ltimo domingo.

No disse que aquele poltico era desonesto? Foicomprovado pela polcia seu envolvimento como crime organizado.

As duas argumentaes baseiam-se em apenas umfato. Em sua opinio, qual dos argumentos omais razovel?

No ambiente cientfico, porm, as regras so bemmais rgidas. Uma afirmao no pode sercomprovada baseando-se em apenas um fato. Eesse rigor est muito presente na matemtica, deonde tiraremos vrios exemplos analisados nestecaptulo. Observe o dilogo abaixo:

Paulo: Todo nmero elevado ao quadrado igual ao seu dobro.

Cludia: Como voc pode comprovar isso?

Paulo: Veja s: o quadrado de 2 22

= 4 e odobro de 2 tambm 4.

Encontre um exemplo que mostre que a primeiraafirmao feita por Paulo falsa.

Est vendo? Neste caso pode at ter sido fcilencontrar um exemplo mostrando que a afirmaoacima no verdadeira. Observe que o quadradode 3 3

2

= 9, mas o dobro de 3

2 x 3 = 6.

Existem outros casos, porm, em que certocomportamento pode ser observado em muitosnmeros diferentes, o que nos d vontade de dizerque ele ocorre com todos os nmeros. Cuidado!Em Matemtica, analisar apenas alguns exemplosno suficiente para comprovar uma propriedade,pode no mximo nos dar uma pista de queaquela propriedade possa ser verdadeira.

Vamos mostrar um outro exemplo, para ressaltarainda mais a importncia desse fato:

Considere trs retas r, s e t que se cruzam numnico ponto P. possvel que r e s sejamperpendiculares e, ao mesmo tempo, r e t sejamperpendiculares?

(Lembre que retas perpendiculares so

aquelas que se cruzam formando ngulos retos,

como mostra a Figura 3.)

Figura 3


43

Tente pensar nesse problema antes de ler asoluo. Uma boa dica utilizar modelos pararepresentar as retas como, por exemplo, trscanetas, colocando-as em diferentes posies eobservando se, em alguma delas, uma dascanetas fica perpendicular, ao mesmo tempo, soutras duas.

Ao tentar resolver esse problema, Carlos noutilizou modelos: foi fazendo diversos desenhos,imaginando a situao sugerida no enunciado. Noentanto, depois de desenhar as retas r e sperpendiculares, nunca conseguia uma posiopara a reta t, de tal modo que ela tambm ficasseperpendicular a r. Observe alguns dessesdesenhos:

Muitos desenhos depois, sempre sem sucesso,Carlos finalmente concluiu: No possvelobtermos trs retas r, s e t nas condies doproblema. Os desenhos anteriores comprovam essaconcluso.

Ao utilizar apenas desenhos, Carlos novisualizou todas as situaes possveis para asretas. Com as canetas, voc enxergoupossibilidades diferentes das de Carlos? Vocconcorda com o argumento utilizado em suaconcluso?

Dias depois, olhando uma caixa de sapatos, Carlosfinalmente visualizou uma soluo para oproblema: conseguiu enxergar, sobre a caixa, trsretas que se cruzavam em um ponto e eramperpendiculares entre si!

Se voc no encontrou a soluo do problema comas canetas, pegue uma caixa com o mesmoformato de uma caixa de sapatos e tenteencontrar a soluo de Carlos para o problema.

Na Figura 5, voc encontra uma caixa parecidacom a utilizada por Carlos. Observe as retas r, s e tque passam por trs arestas da caixa.

Figura 4

Figura 5


44

1

Note que Carlos, em seus desenhos, noconsiderou a possibilidade das trs retas noestarem no mesmo plano. Assim, mesmo quefizesse muitos desenhos, no conseguiriavisualizar a soluo do problema. Ento, suaargumentao inicial estava invlida do ponto devista matemtico: ele tirou uma conclusobaseando-se apenas em alguns desenhos, que norepresentavam todas as possibilidades.

Ento no se esquea: embora no nosso dia-a-diafaamos isto em algumas situaes, em matemticano devemos generalizar uma afirmaobaseando-nos em apenas alguns exemplos, sembuscar uma comprovao daquele fato por umademonstrao que englobe todas as possibilidades.


1. Observe os seguintes clculos efetuados entre nmeros mpares:

1 + 1 = 2 3 + 3 = 6

1 + 3 = 4 3 + 5 = 8

1 + 5 = 6 5 + 5 = 10

A partir apenas dos clculos efetuados acima, voc pode concluir que sempre que somamosdois nmeros mpares, obtemos como resultado um nmero par? Por qu?

2. Num torneio de basquete, seis equipes enfrentam-se entre si, num total de cinco rodadas.Se uma equipe vencer todas as suas partidas, automaticamente declarada campe. Casocontrrio, as duas equipes com maior nmero de vitrias disputam uma final para decidira campe. A tabela abaixo mostra a posio de cada equipe, aps a realizao de trsrodadas:

Pelas regras do torneio e pela anlise da tabela pode-se afirmar que a:

a) equipe V ser a campe do torneio.

b) final do torneio ser entre as equipes III e IV ou entre as equipes IV e V.

c) equipe V a nica que pode ser a campe sem ter de jogar a partida final.

d) equipe I no pode mais ser a campe do torneio.

Equipe Vitrias Derrotas

Tabela 1

I 1 2

II 0 3

III 2 1

IV 2 1

V 3 0

VI 1 2


45

1 220 210

2 100 330

3 180 210

4 230 360

5 90 250

6 200 160

7 180 410

Jorge 150 270

2


No ltimo ms, o consumo de energia eltrica na residncia de Jorge, apontado na conta deluz, teve um aumento significativo, subindo de 150 para 270 kWh. Como aparentementeno havia motivo para tal aumento, Jorge comeou a desconfiar que o problema pudesseser da companhia fornecedora de energia eltrica. Por isso, ele decidiu perguntar aos seusvizinhos se eles tinham tido problema semelhante ultimamente. A Tabela 2 mostra o quecada vizinho respondeu:

Tabela 2

1. Em quantas das 8 casas da rua de Jorge houve aumento do consumo de energia eltrica doms de maro para o ms de abril?

2. Das residncias onde houve aumento do consumo, em quantas esse aumento foi maiordo que 100 kWh?

3. Utilizando como argumento os nmeros da tabela acima, voc diria que a companhiafornecedora de energia eltrica:

a) certamente a responsvel pelo aumento do consumo de energia nas casas da rua deJorge.

b) provavelmente a responsvel pelo aumento do consumo de energia nas casas da ruade Jorge.

c) provavelmente no tem relao com o aumento do consumo de energia nas casas da ruade Jorge.

d) certamente no tem relao com o aumento do consumo de energia nas casas da rua deJorge.

4. Jorge vai solicitar companhia fornecedora de energia eltrica que verifique se halgum problema com a instalao eltrica de sua rua, que possa explicar o aumento doconsumo de energia em algumas casas. Para isso, ele deve preencher um formulrio,fazendo uma pequena justificativa de seu pedido. Escreva, em no mximo trs linhas, essajustificativa, dando argumentos que convenam a companhia da necessidade de enviar umtcnico rua de Jorge.

Casa Consumo em maro (kWh) Consumo em abril (kWh)


46

Silogismos

Embora, do ponto de vista matemtico, aargumentao de Jlio no esteja rigorosamentecorreta (no podemos generalizar uma conclusoa partir de apenas trs observaes), voc tomariaa mesma atitude que Jlio? Por qu?

Note que o fato de Jlio ter passado maljustamente nos trs dias em que almoou lpoderia ser uma coincidncia. Como, porm, nose tratava de uma comprovao cientfica, baseadaem argumentos rigorosos, Jlio preferiu no searriscar e no voltou mais ao restaurante.

Vamos tentar agora obter uma conclusobaseando-nos em argumentos rigorosos.

Observe este exemplo:

Toda ave tem penas.

As garas so aves.

Que concluso pode-se tirar a partir das duasafirmaes acima?

Bem, se voc respondeu que as garas tm penas,ento acertou. Se voc no tinha chegado a essaconcluso, tente pensar por que ela est correta.

Note ainda que, no caso de Jlio, a concluso erabem provvel, mas no era necessariamenteverdadeira. J nesse exemplo, considerando asduas afirmaes iniciais, a concluso obrigatoriamente verdadeira.

Este tipo de argumentao, composta de duasafirmaes e uma concluso, conhecida comosilogismo e foi muito estudada pelos filsofosgregos.

Observe agora o seguinte silogismo:

Todos os carros da marca X tm direohidrulica.

Alguns carros da marca Y tm direohidrulica.

Logo, alguns carros da marca X so da marca Y.

Note que a concluso do silogismo certamenteinvlida, pois um carro no pode ser ao mesmotempo de duas marcas. Explique, nesse caso, porque, considerando as duas afirmaes iniciais, aconcluso no necessariamente verdadeira.

Flvia possui dois filhos: Pedro, de 7 anos, eAmanda, de 3 anos.

Considerando as afirmaes acima, o que Flviapode concluir? Ela deve levar seus dois filhos aum posto de sade?

Como voc pde notar no exemplo acima, muitocomum, a partir de duas ou mais afirmaes,tirarmos concluses sobre um determinadoassunto. Quando, porm, essas concluses sovlidas? Em outras palavras, ser que existemmaneiras que nos ajudem a decidir se a conclusoobtida realmente era uma conseqncia necessriadas afirmaes iniciais?

A resposta sim: dentro daquilo que osmatemticos chamam de raciocnio formal, existemregras claras para decidir se um argumento ouno vlido. muito til trabalharmos algunsexemplos disso, que nos ajudem a melhorar nossasargumentaes e a no aceitar certasargumentaes completamente sem fundamentos.

Lembre-se sempre, porm, de uma coisa: a nossavida cotidiana no exige tanta preciso quanto amatemtica. Em algumas situaes do dia-a-dia,certos raciocnios, embora no sejamrigorosamente corretos, so plenamente aceitveis.

Observe o exemplo:

Jlio foi almoar trs sextas-feiras seguidasem um restaurante que foi inauguradorecentemente perto de seu trabalho. Nas trsvezes, acabou passando muito mal doestmago. Concluiu que a comida dorestaurante no lhe fazia bem e decidiu queno almoaria mais naquele lugar.

A vacina contra a Paralisia Infantil vai estardisponvel nos postos de sade at o dia 31de agosto. Todas as crianas com menos decinco anos de idade devem tomar a dose.

Fonte: http://www.saude.sc.gov.br

Observe a frase abaixo, sobre a campanha devacinao contra a paralisia infantil:


47

Observe agora este outro exemplo:

A direo de uma empresa decidiu que somente osfuncionrios que trabalham h mais de 10 anos nafirma tm direito de solicitar ao setor debenefcios emprstimo para compra de casaprpria. O funcionrio mais antigo dodepartamento de compras trabalha na empresa h7 anos.Se o Sr. Odcio trabalha no departamento decompras, pode-se concluir que:

a) dentre os funcionrios do departamento decompras, somente o Sr. Odcio no tem direitode solicitar emprstimo para compra de casaprpria.

b) somente os funcionrios do departamento decompras no tm direito de solicitaremprstimo para compra de casa prpria.

c) no possvel saber se o Sr. Odcio tem direitode solicitar emprstimo para compra de casaprpria, pois no sabemos h quanto tempo eletrabalha na firma.

d) o Sr. Odcio e todos os demais funcionrios dodepartamento de compras no tm direito desolicitar emprstimo para compra de casaprpria.

Na realidade, temos trs afirmaes iniciais equeremos, a partir delas, tirar uma concluso:

1. Somente funcionrios com mais de 10 anos naempresa tm direito de solicitar emprstimo paracompra de casa prpria.

2. Nenhum funcionrio do departamento decompras tem mais de 10 anos na empresa (pois omais antigo tem 7 anos).

3. O Sr. Odcio trabalha no departamento decompras.

Usando as informaes 2 e 3, conclumos que oSr. Odcio trabalha na empresa h menos de 10anos. Ento, usando a informao 1, conclumosque ele no tem direito a solicitar emprstimopara compra da casa prpria.

Note ainda que, usando as informaes 1 e 2,podemos concluir que nenhum funcionrio dodepartamento de compras tem direito de solicitaremprstimo para compra de casa prpria. Assim,conclumos que a alternativa correta d.

Vamos analisar tambm a alternativa b. Peloenunciado, no podemos afirmar com certeza sea afirmao est correta, pois podem existiroutros funcionrios com menos de 10 anos naempresa que no trabalham no departamento decompras e, portanto, no tm direito de solicitaremprstimo para compra de casa prpria. Sendoassim, a afirmao no pode ser consideradacorreta.

3


1. Numa escola particular, 20 das suas 100 vagas so reservadas a alunos que, por sedestacarem nos estudos, no pagam mensalidade. Metade desses alunos participam dotime de futebol da escola. A partir dessas informaes, pode-se concluir que:

a) Pelo menos 10 alunos da escola fazem parte do time de futebol.

b) Todos os integrantes do time de futebol da escola no pagam mensalidade.

c) Alguns alunos que pagam mensalidade fazem parte do time de futebol.

d) Metade dos integrantes do time de futebol no pagam mensalidade.


48

4


O diagrama abaixo (Figura 6) mostra a distribuio dos alunos de uma escola de EnsinoMdio nos cursos optativos que so oferecidos no perodo da tarde:

T: curso de teatro

F: curso de fotografia

D: curso de dana

Note que o diagrama mostra, por exemplo, que apenas 1 aluno freqenta os trs cursos aomesmo tempo e que 31 alunos no freqentam nenhum dos cursos optativos.

1. Dever ser entregue um aviso por escrito a todos os alunos que freqentam mais de um cursooptativo. Assim, o nmero de alunos que receber o aviso igual a:

a) 30 b) 13 c) 12 d) 1

2. Os nmeros de alunos matriculados nos cursos de teatro, de fotografia e de dana so,respectivamente:

a) 10, 12 e 8 b) 11, 7 e 9 c) 16, 18 e 20 d) 21, 19 e 17

Diagramas e problemas numricos construo de um espao de recreao e prtica

de esportes para crianas

construo de uma sala para leitura e realizaode palestras

nenhuma das duas

Os dados da pesquisa, que foi respondida portodas as famlias, foram organizados na tabelaabaixo:

Na atividade 4, ns utilizamos diagramas pararepresentar as quantidades de alunos quefreqentavam cada um dos cursos optativosoferecidos pela escola. Vamos agora, usandodiagramas, resolver outros problemas envolvendoquantidades numricas.

A associao de moradores de uma comunidadeconseguiu verba para melhorar o centro decultura e lazer existente em sua sede. Decidiu-se,ento, fazer uma consulta aos membros dacomunidade, para definir a melhor maneira deaplicar o dinheiro.

Cada uma das 250 famlias recebeu uma ficha coma seguinte pergunta: Quais das opes abaixo asua famlia considera importantes para o centrode cultura e lazer de nossa comunidade? Asopes de resposta eram:

Figura 6

Opo N de respostas

espao pararecreao e 111

Tabela 3

183

24

esportes sala paraleitura e palestras

nenhuma das duas


49

(dentro de F, mas fora de R e fora de L, ou seja,dentro do retngulo, mas fora dos dois crculos).

Para preenchermos o diagrama com dadosnumricos, devemos comear pela regio deinterseco, pois as outras regies dependem dela.Como no conhecemos, no nosso problema,quantas famlias esto nessa regio, chamamosesta quantidade de x.

H 111 famlias que optaram pelo espao pararecreao. Destas, x tambm optaram pela sala deleitura. Ento, 111 - x so as que optaramapenas pelo espao para recreao. Com o mesmoraciocnio, conclumos que 183 - x optaramapenas pela sala de leitura. Como 24 no seinteressaram por nenhuma das duas obras, nossodiagrama fica:

Um lder comunitrio, ao observar a Tabela 3anterior, perguntou se muitas famlias seinteressaram tanto pelo espao para recreao eesportes quanto pela sala de leitura, pois,dependendo da quantidade,eles poderiam pensar em adiar a compra de umcomputador para a associao, que estavaprogramada, e construir as duas coisas.

A partir dos dados da tabela, possvel identificarquantas famlias se interessaram pelas duas obras,quantas apenas pelo espao para recreao equantas apenas pela sala de leitura?

Pode ser que, fazendo apenas algumas contas,voc consiga responder questo acima. Mas e sea pesquisa fosse mais complexa e o questionrioenvolvesse trs opes, por exemplo?

Por isso, bastante til representarmos oproblema acima com diagramas. Observe aFigura 7. Nela, F o conjunto de todas asfamlias, R o conjunto das famlias que optarampelo espao de recreao e L o das que optarampela sala de leitura. Quais famlias estariamrepresentadas na regio quadriculada dodiagrama?

Como h 250 famlias na comunidade, a soma dasquantidades das quatro regies deve ser igual a250. Obtemos, ento, a seguinte equao:

(111 x) + x + (183 x) + 24 = 250

318 x = 250

x = 68

x = 68

Com isso, conclumos que 68 famlias estointeressadas pelas duas obras. Somente peloespao para recreao, existem 111 68 = 43famlias interessadas. Somente pela sala de leitura,so 183 68 = 115 famlias interessadas.

Note que a soma 68 + 43 + 115 + 24 deve serigual ao total de famlias, ou seja, 250.

Figura 7

Observe que a regio quadriculada na figurapertence tanto ao conjunto R quanto ao L e porisso reservada s famlias que optaram pelasduas obras, pois isso era possvel na pesquisa.Dizemos que essa regio corresponde interseco dos dois conjuntos.

H ainda uma regio reservada s famlias queno se interessam por nenhuma das duas obras

Figura 8


50

A partir dos dados do grfico, pode-se concluir que o nmero de entrevistados quehabitualmente lem os jornais I e II igual a:

a) 44 b) 55 c) 63 d) 71

2. Uma academia de ginstica, aps a inaugurao de sua piscina, ofereceu mais dois cursosa seus freqentadores: hidroginstica e natao. 52 pessoas inscreveram-se na hidroginsticae 47 na natao. Constatou-se que 7 pessoas inscreveram-se nos dois cursos. Ento, onmero de pessoas que se interessaram por pelo menos um dos novos cursos :

a) 106 b) 99 c) 92 d) 85

Implicao

1. A frase abaixo foi retirada de uma propagandaveiculada em um jornal de grande circulao ediz respeito a uma grande festa promovida poruma empresa:

SE VOC NO CONSEGUIU INGRESSO PARA AFESTA DESTE ANO,TENTE ENCARAR PELO LADO BOM:VOC DANOU

As pessoas que no conseguiram ingresso, nopuderam ir festa deste ano. Sendo assim, apalavra danou foi utilizada na propagandacom qual significado?

Note que existe uma relao entre dois fatosmencionados na propaganda: SE voc noconseguiu ingresso, ENTO danou. Esta uma

5


1. O Grfico 1 mostra uma pesquisa realizada com 500 pessoas sobre o seu hbito deleitura dos jornais I e II:

relao de causa e conseqncia (tambmchamada de causa e efeito):

CAUSA no conseguiu ingresso

CONSEQNCIA danou

Em matemtica, esta relao conhecida comoimplicao e representada pelo smbolo:

Poderamos representar nosso exemplo daseguinte maneira:

no conseguiu ingresso danou2. Vamos analisar agora um outro exemplo deimplicao. Suponha que voc chegue a sua casa eobserve que a rua est molhada.

A partir desse fato, voc pode concluir que choveuna sua casa naquele dia?

Grfico 1


51

Note que a sua rua pode estar molhadaporque algum cano de gua se rompeu oualgum estava regando as plantas do jardim.Ento, no possvel afirmar com certezaque choveu naquele dia.

Pensando sobre essa situao, observe as duasimplicaes abaixo:

1) Se chove, ento a rua fica molhada.

2) Se a rua est molhada, ento choveu.

As duas implicaes acima tm o mesmosignificado?

Repare que, apesar de serem muito parecidas (aimplicao 2 a implicao 1 invertida), as duasfrases no tm o mesmo significado. A nica coisaque fica garantida com a primeira frase que, nocaso de ocorrer chuva, a rua ficar molhada. Ocontrrio, porm, no necessariamenteverdadeiro. Como j vimos, a rua pode estarmolhada sem que tenha chovido.

Inverter uma relao de implicao um errobastante comum em argumentaes, que no deveser feito. Existe, no entanto, uma maneiraequivalente de escrevermos uma implicao,muito utilizada em matemtica, que iremosdiscutir a seguir.

3. Observe a questo abaixo:

O prefeito de uma cidade declarou imprensaque, se forem contratados mais mdicos para ohospital municipal, ento os impostos devero seraumentados. Qual das frases abaixo equivalente declarao do prefeito?

1) Se os impostos aumentaram, ento maismdicos foram contratados para o hospitalmunicipal.

2) Se os impostos no aumentaram, ento noforam contratados mais mdicos para o hospitalmunicipal.

3) Se no foram contratados mais mdicos para ohospital, ento os impostos no foramaumentados.

Note que a afirmao inicial do prefeito umaimplicao:

contratao de novos mdicos aumento deimpostos

Observe ainda que outros fatores podem levar aoaumento de impostos: a contratao de novosprofessores para a escola municipal ou oaumento do salrio dos funcionrios daprefeitura pode levar a um aumento de impostos,mesmo que no sejam contratados novosmdicos. Ento, no correto afirmar que se osimpostos aumentaram, obrigatoriamente novosmdicos foram contratados. Assim, a afirmao 1no est correta.

Da mesma maneira, mesmo que no tenham sidocontratados novos mdicos, os impostos podemter subido, devido a outros motivos. Logo, aafirmao 3 tambm no est correta.

Mas uma coisa, porm, certa: se os impostos notiveram de ser aumentados, podemos concluir queno foram contratados novos mdicos (afinal, sefossem contratados, os impostos subiriam). Aafirmao 2 , portanto, equivalente frase inicialdo prefeito.

Vamos fazer um esquema das concluses quetiramos:

contratao de mdicos aumento de impostos

Assim, se temos uma afirmao a que implica umaafirmao b, isto equivalente a dizer que no bimplica no a. Veja:

a b EQUIVALENTE A no b no aEsse esquema dado acima pode ajud-lo a decifrarum argumento, principalmente quando as frasesso muito longas ou complexas. Basta transformaras afirmaes em smbolos!

no aumento de impostos no contrataode mdicos


52

6

Desenvolvendo competnciasDesenvolvendo competncias1. Um analista econmico disse, em uma entrevista televiso, que, se os juros internacionais estiveremelevados, ento a inflao no Brasil crescer. A partir dessa afirmao, pode-se concluir que, certamente:

a) se os juros internacionais estiverem baixos, ento a inflao no Brasil diminuir.

b) se a inflao no Brasil no tiver crescido, ento os juros internacionais estaro baixos.

c) se a inflao no Brasil tiver crescido, ento os juros internacionais estaro elevados.

d) se os juros internacionais no forem elevados, ento a inflao brasileira cair ou ficar igual.

2. Um quadriltero um polgono de 4 lados. A Figura 9 mostra um quadriltero ABCD. Os segmentosAC e BD so chamados diagonais do quadriltero. Lembre-se que um retngulo e um quadrado soquadrilteros.

As duas afirmaes abaixo, sobre quadrilteros, so verdadeiras.

Se um quadriltero um quadrado, ento ele tambm um retngulo.

As diagonais de qualquer retngulo so congruentes (isto , tm a mesma medida).

A partir das informaes acima, correto afirmar que:

a) se um quadriltero tem as diagonais congruentes, ento ele um quadrado.

b) todo retngulo tambm um quadrado.

c) um quadriltero que no um quadrado no pode ter as diagonais congruentes.

d) um quadriltero que no tem as diagonais congruentes no pode ser um quadrado.

Figura 9


53

Deduo

Note que a menina dona do ursinho sabe quem foio autor da brincadeira. Utilizando-se de umraciocnio dedutivo ela concluiu quem teriadeixado o ursinho do outo lado da margem,baseando-se em um fato: o menino est molhado!

Tente lembrar-se de uma situao que lhe tenhaocorrido, em que voc utilizou a deduo.

Figura 10

Vamos usar o que discutimos sobre argumentaopara entender como se organizam as teoriasmatemticas, ou seja, como as pessoas conseguemdescobrir novos fatos dentro da matemtica econvencer-se de que eles so verdadeiros.

Na matemtica, assim como no nosso dia a dia,usamos com muita freqncia o raciocniodedutivo. Observe a histria abaixo paraentender o que chamamos de deduo:


54

Vamos agora, partindo de alguns fatosmatemticos, deduzir um novo fato, que voctalvez j tenha ouvido falar: a soma dos ngulosinternos de qualquer tringulo sempre iguala 180.

I. Fatos iniciais

a) Considere, em um plano, uma reta r e um pontoP fora de r, como mostra a Figura 11. Ento,existe uma nica reta s, paralela a r, passandopelo ponto P.

b) Considere, num plano, duas retas paralelas a eb, como mostra a Figura 12, e uma retatransversal t. Ento, os ngulos e assinalados na figura so congruentes, isto ,tm medidas iguais.

c) Se um ngulo raso (ngulo de meia volta) dividido em trs ngulos, ento a soma dessesngulos igual a 180.

II. Deduo da propriedade

Vamos considerar um tringulo ABC qualquer,cujos ngulos internos medem x, y e z, comomostra a Figura 14.

Pelo fato a, podemos desenhar uma reta r,paralela ao lado BC, passando pelo ponto A.

Finalmente, pelo fato c conclumos quex + y + z = 180. Acabamos de deduzir que asoma dos ngulos internos de qualquer tringulo sempre igual a 180. Note que a nossa deduo muito parecida com a da menina do ursinho oucom aquela que usamos no dia-a-dia: partindo dealguns fatos conhecidos e usando argumentoslogicamente vlidos, podemos produzir novasafirmaes, tambm verdadeiras. A nicadiferena que na matemtica sempre deixamosclaros os fatos iniciais que estamos utilizando, oque no cotidiano nem sempre fazemos.

Figura 11

Figura 12

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Pelo fato b, podemos representar:

Figura 13


55

7


Usando como fato conhecido que a soma dos ngulos internos de qualquer tringulo vale180, deduza quanto vale a soma dos ngulos internos de um quadriltero.

Sugesto: utilize a Figura 17 e divida o quadriltero em dois tringulos.

Vamos observar agora a deduo de umapropriedade algbrica. Utilizando a propriedadedistributiva da multiplicao, deduza umamaneira equivalente de escrever o produto

(a + b) . (a - b).

Vamos relembrar a propriedade distributiva damultiplicao antes de iniciarmos nossa deduo.Desenvolva o produto 2y . (y - 3).

Note que o fator 2y deve ser distribudo tantoao y quanto ao 3. Assim:

Voltando nossa pergunta, vamos desenvolver oproduto (a + b) . (a - b) utilizando a propriedadedistributiva:

Note que usamos tambm a lei do cancelamentoda adio: a . b - a . b = 0. Assim, conclumos que(a + b) . (a b) = a

2

b2

.

Figura 17


56

8


Utilizando a propriedade distributiva da multiplicao, deduza uma maneira equivalentede escrever o produto (a + b)2.

Sugesto: Lembre-se de que (a + b)2 = (a + b) . (a + b).

Induo

Observe a seguinte seqncia de figuras:

Figura 1 2 3 4 5

Bolinhas 1 x 1=1 2 x 2=4 3 x 3=9 4 x 4=16 5 x 5=25

Figura 18

Note que o nmero de bolinhas em cada figura vaiaumentando seguindo uma certa lei. De acordocom essa lei,

a) desenhe a 5 figura dessa seqncia.

b) Quantas bolinhas h na Figura 5?

c) Responda, sem fazer o desenho, quantasbolinhas h na figura 6?

Ao fazer o desenho, voc deve ter observado quea 5

figura possui 25 bolinhas.

Em seguida, voc pde, sem fazer o desenho, darum bom palpite sobre o nmero de bolinhasexistentes na 6 figura. Para isso, voc teve deanalisar o comportamento das figuras anteriores.Observe a Tabela 4 abaixo:

Se o comportamento for mantido, esperaremosque a 6 figura tenha 6 . 6 = 36 bolinhas. Fazendoo desenho, voc pode comprovar que, de fato,esse o nmero de bolinhas da figura 6 e quenosso palpite estava certo.

O raciocnio que utilizamos na nossa resposta, semfazer o desenho, um exemplo do que chamamosraciocnio indutivo. A partir da observao dealguns casos particulares, identificamos umcomportamento que se repetia e fizemos umaconjectura (ou seja, um palpite).

Observe que o raciocnio indutivo, emmatemtica, ajuda-nos a desconfiar de umresultado e, por isso, extremamente importante.

Tabela 4


57

No entanto, no devemos considerar vlida umaconcluso baseando-nos apenas na induo. Nonosso caso, o desenho da 6 figura da Figura 18poderia nos confirmar a validade de nossaconcluso.

Esse fato no tira a importncia do raciocnioindutivo. graas a ele que a maioria dasdescobertas em matemtica e nas demais cinciasfoi feita. Normalmente, da observao de umcomportamento que se repete em alguns casosparticulares que os cientistas tiram inspirao

para estudar determinado fenmeno. O raciocniodedutivo, depois, serve para confirmar ou noaquelas suspeitas.

No nosso caso, poderamos usar um argumentogeomtrico para confirmar o nosso palpite: a6 figura da Figura 18 um quadrado com 6bolinhas em cada lado. Sendo assim, possui 6fileiras com 6 bolinhas cada, ou seja, 6 . 6 = 36bolinhas. Observe ainda que, com esse argumento,poderamos generalizar a nossa concluso: afigura n possui n . n = n

2

bolinhas.

9

Desenvolvendo competnciasDesenvolvendo Competncias1. Considere a sequncia de figuras formadas por bolinhas, representada na figura 18.Note que, em cada figura, acrescentamos uma nova camada de bolinhas, todas damesma cor. Assim, a 4 figura, por exemplo, era formada por 4 camadas de bolinhas:

1 (laranja) + 3 (brancas) + 5 (laranjas) + 7 (brancas) = 16 bolinhas.

a) Usando a 5 figura, desenhada por voc, tente, sem efetuar a adio, prever o resultadoda soma 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

b) Note que o resultado que voc obteve no item a a soma dos 5 primeiros nmerosmpares positivos. Usando esse raciocnio, tente prever o resultado da soma dos 10primeiros nmeros mpares positivos.

2. Um restaurante tem mesas retangulares de diferentes tamanhos, para acomodar umnmero diferente de clientes. A Figura 19 mostra os trs menores tipos de mesa e onmero de clientes acomodados em cada um deles:

Figura 19

Seguindo o mesmo padro apresentado na seqncia de figuras acima, o nmero declientes que podem ser acomodados em uma mesa do tipo 6 :

a) 12 b) 14 c) 16 d) 18


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Seqncias

Os jogos olmpicos, o mais importante eventoesportivo do planeta, ocorrem a cada 4 anos. Osltimos jogos olmpicos ocorreram na cidade deAtenas, no ano de 2004. possvel sabermos emquais anos teremos a realizao de jogosolmpicos? Ora, essa no uma pergunta difcil,j temos as informaes necessrias pararespond-la:

2004, 2008, 2012, 2016, 2020, ...

Os nmeros acima formam uma seqncia. Noteque obedecemos uma ordem ao escrevermos essesnmeros. Dizemos que 2004 o 1 termo daseqncia, 2008 o 2 termo, 2012 o 3 termoe, assim, sucessivamente. Essa informaonormalmente dada de maneira mais resumida.Observe:

a1 = 2004

a2 = 2008

a3 = 2012

Quem , na nossa seqncia, a4? E a

6?

A nossa seqncia formada por nmeros, mastambm podemos estudar seqncias de figuras,objetos, letras ou qualquer outra coisa quedesejarmos.

Note que existe uma lei em nossa seqncia, quenos permite descobrir quais sero os seus

prximos elementos. Nem sempre, porm, issoocorre. Imagine que a seqncia (3, 0, 2, 1, 1, 2)seja o nmero de gols que uma equipe marcounos 6 primeiros jogos de um campeonato.

possvel sabermos o prximo elemento dessaseqncia apenas observando os anteriores?

Neste captulo, vamos estudar apenas asseqncias que obedecem alguma lei, permitindoprever quais sero seus prximos elementos. Comisso, estaremos utilizando tanto o nosso raciocniodedutivo quanto o indutivo.

Uma estrada possui telefones de emergncia a cada3 quilmetros. O primeiro telefone est colocado noquilmetro 2 da estrada.

a) Determine a localizao dos cinco primeirostelefones de emergncia.

b) Determine a localizao do 72 telefone deemergncia.

c) Se a estrada tem uma extenso de 350 km,quantos telefones de emergncia ela possui?

a) Observe que, das informaes do enunciado,percebemos a existncia de um padro regularna colocao dos telefones. Assim, partindo doquilmetro 2, basta acrescentarmos 3quilmetros para obtermos a localizao doprximo telefone:

Figura 21


59

Ento, os cinco primeiros telefones de emergnciaesto localizados nos quilmetros 2, 5, 8, 11 e 14.

b) possvel obtermos a localizao do 72telefone da mesma maneira que fizemos no itemanterior, ou seja, somando 3 quilmetros

1

2

3

4

5

Telefone Operao realizada Localizao (km)

2 + 3

2 + 3 + 3

2 + 3 + 3 + 3

2 + 3 + 3 + 3 + 3

2

5

8

11

14

Note que temos de efetuar uma srie de adies,sempre com a mesma parcela 3. Ento, podemos

2 + 1 . 3

2 + 2 . 3

2 + 3 . 3

2 + 4 . 3

2

5

8

11

14

1

2

3

4

5

encceja matematica ens medio

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