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Elvis Yuri Mamani Vargas

Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno

Tese de Doutorado

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio

Orientador: Prof. Ney Augusto Dumont

Rio de Janeiro Setembro de 2015

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PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1112061/CA

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Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada

Prof. Ney Augusto Dumont Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Alexandre Antonio de Oliveira Lopes Petrosoft Design

Prof. Jose Claudio de Faria Telles Universidade Federal do Rio de Janeiro

Prof. Leandro Palermo Junior Universidade de Campinas

Prof. José Eugenio Leal

Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 14 de setembro de 2015

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização do autor, do orientador e da universidade.


Graduou-se em Engenharia Civil na UNSAAC (Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco – Perú) em 2005. Em 2011 obteve o grau de mestre no curso de Mestrado em Engenharia Civil na PUC–Rio na área de Estruturas. Atualmente atua na linha de pesquisa do método híbrido dos elementos de contorno.

Ficha Catalográfica

Mamani Vargas, Elvis Yuri

Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno / Elvis Yuri Mamani Vargas; orientador: Ney Augusto Dumont. – 2015.

119 f. ; il. ; 30 cm

Tese (doutorado) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2015.

Inclui bibliografia

1. Engenharia civil - Teses. 2. Elementos de contorno. 3. Métodos híbridos. 4. Mecânica da fratura. 5. Funções de tensão de Westergaard. 6. Fator de intensidade de tensão. 7. Zona plástica. I. Dumont, Ney Augusto. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

CDD: 624

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Para meus pais Rosa e Vidal, pelo amor, apoio e estímulo. Para minha irmã Chris pela compreensão e confiança.

Ao Peru, pelo legado das culturas antigas.

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Agradecimentos

Ao Deus por ter me concedido a vida.

À CAPES, ao CNPq e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado.

Ao meu professor Ney Dumont pela orientação, confiança e amizade. Ao meu professor Alexandre Lopes pelas importantes contribuições e palavras de apoio.

Aos professores da PUC-Rio, pelos ensinamentos transmitidos nos estudo de pós-graduação. Aos professores da UNSAAC no Peru, pelos ensinamentos do fascinante mundo da engenharia. A todos aqueles educadores que foram parte de minha formação tanto pessoal como profissional.

Aos meus pais e irmãos pela educação, atenção e carinho. À Melissa por ter me acompanhado nas etapas mais decisivas deste trabalho. A todos os familiares que de uma forma ou de outra me estimularam ou me ajudaram.

Aos amigos de infância, juventude e a todos aqueles cuja amizade resistiu ao tempo.

Aos amigos das peladas, da dança, do parque da cidade, das salas 610 e 617 na favelinha, aos cusqueños, peruanos, colombianos, bolivianos, equatorianos e tantos outros amigos ganhados no Brasil pelo apoio, paciência e compreensão que tornaram esta jornada mais agradável.

Ao Brasil e a sua gente que sempre me fez sentir em casa.

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Resumo

Mamani Vargas, Elvis Yuri; Dumont, Ney Augusto (orientador). Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno. Rio de Janeiro, 2015. 119p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Apresenta-se uma formulação do método híbrido dos elementos de contorno

para a análise de problemas planos de potencial e de elasticidade que, apesar de

completamente geral para domínios finitos, é mais apropriada a aplicações de

mecânica da fratura. A formulação exige integrações apenas ao longo do contorno

e usa como soluções fundamentais, para interpolar campos no domínio, funções

generalizadas do tipo Westergaard, inspiradas numa proposta feita por Tada et al.

em 1993. Os conceitos de elementos de contorno são semelhantes aos conceitos

apresentados por Crouch e Starfield em 1983, mas em um contexto variacional

que permite interpretações mecânicas das equações matriciais resultantes.

Problemas de topologia geral podem ser modelados, como ilustrado para

domínios infinitos ou multiplamente conexos. A formulação é diretamente

aplicável à solução de problemas de placas com entalhes ou trincas curvas

internas ou de bordo, pois permite a descrição adequada de altos gradientes de

tensão, sendo uma ferramenta simples para a avaliação de fatores de intensidade

de tensão. Além disso, é possível determinar, num processo iterativo, a zona

plástica ao redor da ponta de uma trinca. Esta tese tem foco no desenvolvimento

matemático da formulação para problemas de potencial e de elasticidade. Vários

exemplos numéricos de validação são apresentados.

Palavras-chave Elementos de contorno; métodos híbridos; mecânica da fratura; funções de

tensão de Westergaard; fator de intensidade de tensão; zona plástica.

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Abstract

Mamani Vargas, Elvis Yuri; Dumont, Ney Augusto (Advisor). Crack modeling using generalized Westergaard stress functions in the hybrid boundary element method. Rio de Janeiro, 2015. 119p. DSc. Thesis - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

A particular implementation of the hybrid boundary element method is

presented for the two dimensional analysis of potential and elasticity problems,

which, although general in concept, is suited for fracture mechanics applications.

The formulation requires integrations only along the boundary and uses

fundamental solutions to interpolate fields in the domain. Generalized

Westergaard stress functions, as proposed by Tada et al in 1993, are used as the

problem‘s fundamental solutions. The proposed formulation leads to

displacement-based concepts that resemble those presented by Crouch and

Starfield, although in a variational framework that leads to matrix equations with

sound mechanical meanings. Problems of general topology, such as in the case of

unbounded and multiply-connected domains, may be modeled. The formulation,

which is directly applicable to notches and generally curved, internal or external

cracks, is especially suited for the description of the stress field in the vicinity of

crack tips and is an easy means of evaluating stress intensity factors. The plastic

phenomenon is taken into account around the crack tip through an iterative

process. This thesis focuses on the mathematical fundamentals of the formulation

of potential and elasticity problems. Several validating numerical examples are

presented.

Keywords Boundary elements; hybrid methods; fracture mechanics; Westergaard stress

functions; stress intensity factors; plastic zone.

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Sumário

1 Introdução 21

2 Método Híbrido dos Elementos de Contorno 23

2.1. Formulação do problema 23

2.2. Tensões e deslocamentos assumidos 23

2.3. Equações matriciais que governam o problema 24

2.4. Solução do problema 26

3 Mecânica da Fratura 27

3.1. Critério Energético de Griffith 27

3.2. Campo de tensões próximo à trinca 28

3.3. Fator de Intensidade de Tensão 29

3.4. Série de Williams 30

3.5. Funções de tensão de Westergaard 32

3.6. Integral J 34

3.7. Zona plástica 35

4 Funções de Tensão de Westergaard Generalizada s 39

4.1. Formulação de Tada, Ernst e Paris baseada em deslocamentos. 42

4.2. Funções de tensão para trincas de comprimento 1a e rotação 1θ . 43

4.3. Semitrinca de abertura elíptica na ponta da trinca 44

4.4. Semitrinca de abertura polinomial na face da trinca 44

4.5. Semitrinca de rotação na ponta da trinca 45

4.6. Semitrinca de rotação na face da trinca 46

4.7. Singularidades das funções de tensão 46

5 Formulação para Problemas de Potencial 48

5.1. Construção da solução fundamental 48

5.2. Integração da matriz H 50

5.3. Campo de potenciais e gradientes em pontos internos 53

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6 Formulação para Problemas da Mecânica da Frat ura Linear

Elástica 58

6.1. Expressões analíticas do campo de deslocamentos 58

6.2. Expressões analíticas do campo de tensões 60

6.3. Avaliação numérica do campo de tensões para uma trinca curva

geral 60

6.4. Avaliação numérica da abertura da trinca 64

6.5. Fator de intensidade de tensão 67

7 Formulação para a Simulação da Zona Plástica 73

7.1. Equações básicas 73

7.2. Derivação do termo residual para o calculo iterativo 75

7.3. Algoritmo de busca linear para a obtenção da fronteira plástica 77

7.4. Solução iterativa do problema não linear 79

7.5. Avaliação numérica do termo residual 81

7.6. Simulação confiável do campo de tensões ao redor da ponta da

trinca 83

7.7. O problema não-linear: testes e problemas de convergência 87

7.8. Considerações finais no cálculo da zona plástica 91

8 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 93

8.1. Conclusões 93

8.2. Sugestões para trabalhos futuros 94

9 Referências Bibliográficas 96

10 Apêndice 101

10.1. Estudo do comportamento das funções de tensão na origem da

trinca 101

10.2. Estudo de singularidades em problemas de potencial 108

10.3. Expressões analíticas para a integração da matriz H em

problemas de potencial quando elementos de forma polinomial

são usados 116

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Lista de figuras

Figura 1. Sistema de coordenadas e modos de carregamento. 29

Figura 2. Trinca horizontal numa placa infinita de espessura fina. 32

Figura 3. Contorno Γ ao redor da ponta da trinca. 34

Figura 4. Curvas tensão-deformação, materiais elasto-plásticos. 36

Figura 5. Estimativas da zona plástica ao longo da projeção do eixo

da trinca. 37

Figura 6. Uso de trincas de forma elíptica para simular contornos

curvos (Adaptado de Dumont e Lopes, 2003). 39

Figura 7. Uso de trincas semi-elípticas para simular contornos

curvos (Adaptado de Mamani, 2011; Dumont e Mamani, 2011). 40

Figura 8. Uso de semitrincas elípticas e polinomiais para simular

contornos curvos (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015). 41

Figura 9. Elementos usados para discretizar uma trinca curva geral,

em termos de abertura e sobreposição (Adaptado de Mamani e

Dumont, 2015). 42

Figura 10. Semitrincas de comprimento 1a e rotação 1θ usadas para

representar efeitos de abertura e rotação relativa (Adaptado de

Mamani e Dumont, 2015). 44

Figura 11. Construção de um elemento de descontinuidade a partir

de duas semitrincas. 49

Figura 12. Ilustração dos cinco casos na avaliação numérica da

matriz H . 51

Figura 13. Ilustração de um corpo discretizado com 12 elementos

de contorno lineares. 51

Figura 14. Recorte para a modelagem numérica de um corpo

multiplamente conexo. 54

Figura 15. Potencial ao longo da reta AB da Figura 14. 55

Figura 16. Gradientes em x ao longo da reta AB da Figura 14. 55

Figura 17. Gradientes em y ao longo da reta AB da Figura 14. 56

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Figura 18. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura

14 em termos de potenciais. 57

Figura 19. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura

14 em termos dos gradientes. 57

Figura 20. Ilustração de uma trinca discretizada com n parâmetros

nodais (elementos), 1n + segmentos e 2n + pontos geométricos. 61

Figura 21. Trinca horizontal reta em um domínio infinito (Adaptado

de Mamani e Dumont, 2015). 62

Figura 22. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada

com elementos de forma elíptica (Adaptado de Dumont e Lopes,

2002; Mamani, 2011). 62


com elementos combinados de abertura ou deslizamento

(Mamani e Dumont, 2015). 63


com elementos combinados de abertura e rotação (Mamani e

Dumont, 2015). 64

Figura 25. Abertura da trinca da Figura 21 usando vários elementos

de discretização (Mamani e Dumont, 2015). 65

Figura 26. Abertura da trinca da Figura 21 para várias discretizações

da trinca (Mamani e Dumont, 2015). 66

Figura 27. Deslocamentos de abertura da trinca reta da Figura 21a

(Mamani e Dumont, 2015). 67

Figura 28. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura 21,

a partir dos parâmetros *p e deslocamentos num ponto de

coordenadas 0.01x = − (Mamani e Dumont, 2015). 69

Figura 29. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura 21,

a partir de tensões em pontos e por comparação com a série de

Williams (Mamani e Dumont, 2015). 70

Figura 30. Curva tensão-deformação para a análise elasto-plástica em

termos de tensões iniciais (esquerda); e superfície de escoamento em

termos de tensões principais ( ),I IIσ σ com o estado de tensões

representado pelo ponto ( ),I IIP σ σ (Dumont e Mamani, 2013). 76

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Figura 31. Busca linear (Regula-Falsi) e processo de discretização

da zona plástica (Adaptado de Dumont e Mamani, 2013). 78

Figura 32. Estudo de convergência para a avaliação da zona plástica,

em termos de regula-falsi, para três setores angulares, como

mostrado na parte direita da Figura 31 (Dumont e Mamani, 2013). 82

Figura 33. Convergência na avaliação do vetor residual de

deslocamentos equivalentes * resd , como introduzido na Equação

(7.5), para 1 (esquerda) e 16 elementos de trinca e um número

crescente de setores (direção angular) (Dumont e Mamani, 2013). 82

Figura 34. Estudos de convergência para a avaliação do vetor

residual de deslocamentos equivalentes * resd , como introduzidos

na Equação (7.5) para 1 (esquerda) e 16 elementos de trinca e

diferentes números de pontos de Gauss na direção radial

(Dumont e Mamani, 2013). 83

Figura 35. A partir do topo: tensões xxσ , yyσ e a tensão equivalente de

Von Mises eqσ (em MPa) ao longo do eixo vertical

( )4 410 ,10y m m− −= − localizada a 410x m−= à direita da ponta da

trinca, para varias discretizações da trinca, com seus

correspondentes erros na parte direita (Dumont e Mamani, 2013). 85

Figura 36. A mesma representação de tensões da Figura 35 dada

uma reta vertical 100 vezes maior (Dumont e Mamani, 2013). 85

Figura 37. Contornos de zona plástica obtidos elasticamente para o

estado plano de deformações (esquerda) e o estado plano de

tensões (Dumont e Mamani, 2013). 86

Figura 38. Contornos da zona plástica para o estado plano de

deformações. Trinca discretizada com 1ne= , carregamento

uniaxial remoto de 0.1yy Yσ σ= , aplicado em um passo (esquerda)

e em 5 passos (Dumont e Mamani, 2013). 88


deformações. Trinca discretizada com 16ne= , carregamento

uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= , aplicado em um passo (esquerda)

e em 5 passos (Dumont e Mamani, 2013). 89

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deformações. Trinca discretizada com vários elementos, carrega-

mento uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= , para um material

elasto-plástico perfeito (esquerda) e para um material elasto-

plástico bi linear com rigidez de endurecimento de 5E (Dumont

e Mamani, 2013). 89

Figura 41. Contornos da zona plástica para o estado plano de defor-

mações. Trinca discretizada com vários elementos de trinca, carrega-

mento uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= (esquerda), como obtida por um

material elasto-plástico (direita) com uma curva tensão-defor-mação

não-linear para Yσ σ≥ , dado de acordo com a relação de Ramberg-

Osgood (tensões em MPa) (Dumont e Mamani, 2013). 90

Figura 42. Zona plástica elasticamente calculada para vários níveis

de carregamento remoto obtidos com 16ne= elementos de trinca,

medidos ao longo de 0y = (esquerda) e 0x = (direita) (Dumont e

Mamani, 2013). 90

Figura 43. Zona plástica elasticamente e plasticamente calculada

para vários níveis de carregamento remoto obtidos com 1ne=

elementos de trinca, medidos ao longo de 0y = (esquerda) e

0x = (Dumont e Mamani, 2013). 91

Figura 44. Casos de integração da Matriz H em problemas de

potencial. 117

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Lista de tabelas

Tabela 1. Campo de tensões e deslocamentos para modos

I e II (Anderson, 1995). 30

Tabela 2. Resumo das singularidades das funções de tensão

propostas. 46

Tabela 3. Numero dos nós das esquinas das diferentes

discretizações da Figura 14. 56

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Lista de símbolos

Caracteres latinos:

A Comprimento do semieixo de uma trinca reta, ponto extremo

da elipse

a Comprimento do semieixo de um elemento de trinca

ca Comprimento crítico da trinca

1a Comprimento do semieixo do primeiro elemento de trinca

1na + Comprimento do semieixo do ultimo elemento de trinca

B Ponto extremo da elipse

b Comprimento do entalhe elíptico

kb , b Deslocamentos do sistema interno equivalentes ao campo de

deslocamentos referentes às forças de massa

ijC Constantes arbitrárias do campo de deslocamentos referentes

à solução fundamental

ijklC Tensor da relação constitutiva

jd , d Deslocamentos nodais do sistema externo

*kd , d* Deslocamentos nodais equivalentes do sistema interno

E Módulo de Young, módulo de elasticidade

klE , [E] Projetor ortogonal

ijf Função adimensional de θ

( *, )F θ λ Função adimensional de *θ e λ

iF , F Forças de massa prescritas

klF , [F] Matriz de flexibilidade do sistema interno

G Taxa de liberação de energia de deformação

cG Taxa crítica de liberação de energia de deformação

klH , [H] Matriz de incidência cinemática

i Constante complexa

J Integral J

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K Fator de intensidade de tensão

, ,I II IIIK Fator de intensidade de tensão relacionados aos modos I, II e

III de fratura

tK Fator de concentração de tensões

klK , [K] Matriz de rigidez do sistema externo

k Constante de potencial

LN Funções de interpolação

ip , p Forças nodais equivalentes

*ip , p* Forças singulares

*ijp , p* Função de transformação de forças referente à solução

fundamental

iq , q Fluxo

R Raio do circulo

r Módulo do vetor posição (raio)

kt , t Forças nodais do sistema externo, equivalentes às forças de

massa

iT , T Forças de superfície

iT , T Forças de superfície prescritas

*iT , T* Forças de superfície referentes à solução fundamental

,I IIu Deslocamentos segundo o eixo x de coordenadas devido aos

modos I e II de trincamento

iu , u Deslocamentos, potenciais

iu , u Deslocamentos prescritos, potenciais prescritos

*iu , u* Deslocamentos referentes à solução fundamental

*niu , *nu Deslocamentos totais referentes às forças de massa

* piu , *pu Deslocamentos referentes à solução particular da equação de

equilíbrio

iju , [u] Funções de interpolação de deslocamentos

*iju , [u*] Função de transformação de deslocamentos referente à

solução fundamental

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0( )ijU ε Densidade de energia interna de deformação

0 ( )cijU σ Densidade de energia interna na forma complementar

*0 ( )c

ijU σ Densidade de energia interna na forma complementar,

referente ao sistema interno

klV , [V] Matriz cujas colunas formam a base das forças singulares que

correspondem a forças nodais equivalentes nulas

v Espaço nulo ,I IIv Deslocamentos segundo o eixo x de coordenadas devido aos

modos I e II de trincamento

0v Espaço nulo decorrente da ortogonalidade a deslocamentos

de corpo rígido

lv Espaços nulos adicionais provenientes de cada par de nós

com a mesma coordenada

w Comprimento da placa

W Energia de deformação

klW , [W] Matriz cujas colunas formam a base dos deslocamentos de

corpo rígido

ix , x Coordenadas cartesianas

Caracteres gregos:

∆ Trabalho não recuperável associado à deformação

permanente na ponta da trinca

ij∆ Delta de Dirac

Φ Funções de tensão de Airy

,I IIΦ Função de tensão de Westergaard (modificada ou

generalizada) para os modos I e II de trincamento

,'I IIΦ Derivada da função de tensão de Westergaard (modificada

ou generalizada) para os modos I e II de trincamento

,''I IIΦ Segunda derivada da função de tensão de Westergaard para

os modos I e II de trincamento

Γ Contorno do corpo elástico, contorno arbitrário em torno da

ponta da trinca

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JΓ Região do contorno relacionado à Integral J

uΓ Região do contorno onde se têm deslocamentos ou

potenciais prescritos

σΓ Região do contorno onde se têm forças ou gradientes

prescritos

*Γ Contorno referente à solução fundamental

0Γ Região do contorno correspondente à parte externa da

superfície esférica

0Γ Região do contorno contida na superfície esférica

Π Energia potencial total

gΠ Forma generalizada da energia potencial total

RΠ Potencial de Hellinger-Heissner

Ω Domínio do corpo elástico

*Ω Domínio referente à solução fundamental

0Ω Região onde a força singular é aplicada

ijδ Delta de Kronecker

ijε Deformações

γ Trabalho necessário para formar uma nova superfície de

trinca

jη Cossenos diretores de um elemento de superfície

ijλ , iλ Multiplicadores de Lagrange

µ Módulo de elasticidade transversal

ν Coeficiente de Poisson

π Constante

θ Ângulo do sistema de coordenadas polares

iθ Ângulo de rotação da trinca i em relação ao eixo positivo de x

ρ Raio de curvatura

σ Tensão normal

σ ∞ Tensão normal aplicada no meio infinito

cσ Tensão crítica a partir da qual o crescimento da trinca é

instável

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nσ Tensão normal nominal

ijσ Tensões normais, tensões

,I IIijσ Tensões normais, tensões devido aos modo I e II de

trincamento *ijσ Tensões referentes à solução fundamental

* nijσ Tensões totais referentes às forças de massa

* pijσ Tensões referentes à solução particular da equação de

equilíbrio

τ Tensão cisalhante aplicada

τ ∞ Tensão cisalhante aplicada no meio infinito

ijτ Tensões cisalhantes

,I IIijτ Tensões cisalhantes devido aos modos I e I de trincamento

ξ , η Coordenadas paramétricas

( )ℑ Parte imaginária de um número complexo

( )ℜ Parte real de um número complexo

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Eu tentei 99 vezes e falhei, mas na centésima tentativa eu consegui, nunca desista de seus objetivos mesmo que esses pareçam impossíveis, a próxima tentativa pode ser a vitoriosa.

Albert Einstein

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1 Introdução

A engenharia existe desde tempos antigos. Polias, alavancas e rodas são

consideradas as invenções antigas mais importantes, já entre as construções

importantes da antiguidade têm-se o Partenon na Acrópole de Atenas, o Coliseu

Romano, as Pirâmides do Egito, as cidades Maias e Incas. É suposto que estas

construções foram projetadas usando basicamente conhecimentos empíricos do

comportamento estrutural de diferentes materiais e configurações geométricas.

Com o desenvolvimento da civilização foram aparecendo novos campos do

conhecimento humano como a Mecânica dos Materiais e a Teoria da Elasticidade,

os quais foram, e são usados no desenho, construção e avaliação de estruturas. Até

meados do século passado foram usados coeficientes de segurança altos para

evitar falhas nas estruturas. A chegada da era moderna permitiu o uso de novos

materiais e a construção de estruturas cada vez mais complexas, este fato gerou a

necessidade de técnicas avançadas para o estudo e projeto de estruturas.

A necessidade de compreender os efeitos das descontinuidades nos

materiais, das transições de geometrias e dos carregamentos pontuais motivaram o

surgimento da Mecânica da Fratura, por outro lado o desenvolvimento de

poderosos computadores permitiu a rápida evolução dos métodos numéricos para

a análise de problemas complexos. No cálculo numérico, o método dos elementos

finitos é um dos métodos mais usados na atualidade, no entanto o método dos

elementos de contorno tem mais vantagens para a solução de determinado tipo de

problemas. Entre as principais vantagens do método quando usado na mecânica da

fratura é que a descontinuidade ou trinca é representada somente pela

discretização com elementos retos ou curvos no problema bidimensional (planas

ou superfícies em um problema tridimensional). No contexto apresentado acima o

método híbrido dos elementos de contorno apresentado por Dumont (1989) tem se

mostrado eficiente para problemas da mecânica da fratura [Dumont e Lopes

(2003); Dumont e Mamani (2011), Sousa et al (2013)].

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Tada, Ernst e Paris (1993, 1994) propuseram um simples e eficiente método

de avaliar Funções de Tensão de Westergaard para a análise de problemas da

mecânica da fratura com deslocamentos e tensões prescritas. A investigação foi

restrita ao significado matemático na obtenção das funções de tensão e à avaliação

de varias formas de abertura de trinca, sempre em termos analíticos. Inspirados

nesta proposta Dumont e Mamani (2011) desenvolveram funções de tensão

generalizadas do tipo Westergaard, funções de forma semielíptica foram usadas

como solução fundamental no método híbrido dos elementos de contorno. Este

desenvolvimento se mostrou eficiente para o cálculo do campo de tensões

próximo à ponta da trinca, não obstante, elementos semielípticos introduzem

singularidades desnecessárias ao longo das faces da trinca, tornando-se necessário

combinar elementos de trincas de diferentes formas para evitar ou minimizar essas

singularidades.

A análise adequada do campo de tensões e deslocamentos produzidos pela

presença de trincas motivou o desenvolvimento do presente trabalho. A

formulação é diretamente aplicável a placas com entalhes ou trincas curvas

internas ou de bordo e permite a descrição adequada de altos gradientes de tensão,

sendo uma ferramenta simples para a avaliação de fatores de intensidade de

tensão. Além disso, é possível determinar, num processo iterativo, a zona plástica

ao redor da ponta de uma trinca. Esta tese tem foco no desenvolvimento

matemático da formulação para problemas de potencial e de elasticidade. Vários

exemplos numéricos de validação são apresentados.

Os capítulos 2 e 3 correspondem à revisão bibliográfica, o método híbrido

dos elementos de contorno e os conceitos básicos da mecânica da fratura são

apresentados brevemente. No capitulo 4 sãos desenvolvidas as funções de tensão

de Westergaard generalizadas, as quais serão adequadamente combinadas para

desenvolver soluções fundamentais em problemas tanto de potencial quanto de

elasticidade. No capitulo 5 é abordado o problema de potencial onde o elemento

de forma polinomial é avaliado como solução fundamental. No capítulo 6 é

abordado o desenvolvimento da mecânica da fratura linear elástica, e são

apresentados alguns exemplos de validação. No capitulo 7 introduz-se a mecânica

da fratura elasto-plástica, e apresenta-se uma formulação iterativa para a obtenção

da zona plástica, além de exemplos de validação. No capítulo 8 são discutidas

algumas conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

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2 Método Híbrido dos Elementos de Contorno

O método híbrido dos elementos de contorno (MHEC) foi apresentado em

1987, baseado no potencial de Hellinger-Reissner e como uma generalização do

método híbrido dos elementos finitos de Pian [Pian (1964), Dumont (1989)]. A

formulação do MHEC requer a avaliação de integrais somente ao longo do

contorno e usa soluções fundamentais (Funções de Green) para interpolar campos

no domínio. Por conseguinte, um corpo elástico de forma arbitrária pode ser

tratado como um único macro-elemento finito com quantos graus de liberdade de

contorno, conforme exigido pelo problema. Ao longo do tempo a formulação tem

evoluído para muitas aplicações, incluindo problemas dependentes do tempo

(Dumont e de Oliveira, 2001), mecânica da fratura (Dumont e Lopes, 2003;

Dumont e Mamani, 2011), materiais não homogêneos (Dumont, Chaves e

Paulino, 2004) e elasticidade gradiente (Dumont e Huamán, 2009).

2.1. Formulação do problema

Dado um corpo elástico submetido a forças de superfície it na parte σΓ do

contorno Γ e a deslocamentos iu na parte complementar uΓ . Por simplicidade,

não são incluídas forças de corpo [Dumont (2011)]. Tenta-se encontrar a melhor

aproximação para as tensões e deslocamentos ijσ e iu , de tal modo que

, 0ji jσ = no domínio Ω , (2.1)

i iu u= ao longo de uΓ e i ij j it tσ η= = ao longo de σΓ (2.2)

onde jn é o vetor unitário externo normal ao contorno. Notação indicial é usada.

2.2. Tensões e deslocamentos assumidos

São assumidos dois campos, um campo de deslocamentos e outro de

tensões. [Pian (1964), Dumont (1989)]. O campo de deslocamentos é

explicitamente aproximado ao longo do contorno por diu , onde ()d significa

DBD


24

deslocamentos pressupostos, em termos de funções polinomiais imu com suporte

compacto e parâmetros de deslocamentos nodais [ ]dn

md= ∈d ℝ , para dn graus de

liberdade de deslocamento do modelo discretizado. O campo independente de

tensões sijσ , onde ()s significa tensões pressupostas, é dado no domínio em termos

de uma série de soluções fundamentais *ij mσ com suporte global, multiplicado por

parâmetros de força ** *[ ] n

mp= ∈p ℝ aplicado nos mesmos pontos nodais m aos

quais os deslocamentos nodais md estão ligados (* dn n= ). Deslocamentos siu são

obtidos a partir de sijσ . Então,

di im mu u d= em Γ de modo que di iu u= em uΓ e (2.3)

* *sij ijm mpσ σ= de modo que *

, 0jim jσ = em Ω (2.4)

⇒ * * *s ri im m is sm mu u p u C p= + em Ω (2.5)

onde *imu são soluções fundamentais em termos de deslocamentos correspondentes

a *ijmσ . O deslocamento de corpo rígido é incluído em termos da função r

isu

multiplicada por uma constante smC em princípio arbitrária [Dumont (2003,

2011)].

2.3. Equações matriciais que governam o problema

O potencial de Hellinger-Reissner, baseado nos dois campos apresentados

na Seção 2.2, como foi proposto por Pian (1964) e generalizado por Dumont

(1989), conduz a duas equações matriciais que expressam equilíbrios nodais e

relações de compatibilidade. Dumont (2011) mostrou que a simples, e ainda

matematicamente consistente forma de definir estas equações é em termos de dois

princípios de trabalhos virtuais independentes entre si, como são apresentados

brevemente em seguida.

2.3.1. Trabalho Virtual em termos de deslocamentos

Na ausência de forças de corpo, o equilíbrio na forma fraca é dado por

, d ds d dij i j i iu t u

σσ δ δ

Ω ΓΩ = Γ∫ ∫ (2.6)

para s sij j iσ σ= . Assumindo que s

ijσ é dada pela Equação (2.4) e diuδ pela Equação

(2.3), após integração por partes do primeiro termo da Equação (2.6) e aplicação

do teorema de Green, obtém-se

DBD


25

* * *,d d dn ijm j in ijm j in m n i ind n u u p d t uδ σ σ δ

Γ Ω Γ Γ − Ω = Γ ∫ ∫ ∫ (2.7)

Em seguida, para deslocamentos nodais arbitrários ndδ obtém-se a matriz de

equações de equilíbrio * T *ormn m nH p p= =H p p (2.8)

na qual *

[ ]dn n

nmH ×= ∈H ℝ , dado pelo primeiro termo em colchetes da Equação (2.7)

, é a mesma matriz potencial do método tradicional dos elementos de contorno

[Brebbia, Telles, e Wrobel (1984)], e [ ]dn

np= ∈p ℝ , dada pelo segundo termo em

colchetes da Equação (2.7), são forças nodais equivalentes obtidos da mesma

forma que no método dos elementos finitos. A integral de domínio da Equação

(2.7) na verdade é omitida, desde que *ijmσ são soluções fundamentais, como na

Equação (2.4).

2.3.2. Trabalhos virtuais em termos de tensões

Por outro lado, o campo de deslocamentos diu , explicitamente aproximado

somente ao longo de Γ segundo a Equação (2.3) é tornado compatível com o

campo de deslocamentos de domínio siu em termos do seguinte princípio de

trabalhos virtuais:

( ), , d 0s d si j i j iju u δσ

Ω− Ω =∫ (2.9)

para um campo virtual de tensões sijδσ que está em equilíbrio em Ω , segundo a

Equação (2.4). Aplicando integração por partes e o teorema de Green no termo à

esquerda da Equação (2.9), chega-se a

( ) ( )d , d 0s d s di i ij j i i ij ju u u uδσ η δσ∗ ∗

Γ Ω− Γ − − Ω =∫ ∫ (2.10)

Esta equação conduz, após assumir que sijδσ é aproximado segundo a

Equação (2.4) e que diu é dado pela Equação (2.3), a

* * *ormn n mn nF p H d ∗= =F p Hd (2.11)

onde H , que também está na Equação (2.8), é conhecida como a matriz de

transformação cinemática, e * ** *[ ] n n

nmF ×= ∈F ℝ é a matriz simétrica de flexibilidade.

O termo da integral de domínio da Equação (2.11) é omitido, segundo a Equação

(2.4). As matrizes H e *F podem ser definidas em forma compacta como

DBD


26

* d mn mn ijm j in inH F n u uσ ∗ ∗

Γ = Γ ∫ (2.12)

2.4. Solução do problema

Resolvendo para *p nas Equações (2.8) e (2.11), chega-se no sistema de

matrizes T *( 1)− =H F Hd p (2.13)

onde T *( 1)− ≡H F H K é uma matriz de rigidez. A inversa *( 1)−F tem que ser avaliada

em termos de inversas generalizadas, pois *F é singular para um domínio finito Ω

(Dumont , 2011). Os resultados em pontos internos são expressos em termos das

Equações (2.4) e (2.5) após a avaliação de *p na Equação (2.8) ou (2.11).

Para condições de contorno de Neumann, somente a Equação (2.8) é

necessária, como é o caso da maioria dos problemas da mecânica da fratura

propostos na literatura.

Esta Seção apresentou o contexto no qual as funções de Westergaard

generalizadas das subsequentes seções podem ser usadas e aplicadas.

DBD


27

3 Mecânica da Fratura

A mecânica da fratura é a área da mecânica que estuda o comportamento de

materiais e estruturas com presença de trincas, as quais diminuem sua resistência.

A mecânica da fratura aplica as teorias da elasticidade e plasticidade na avaliação

de tensões e deformações, aos defeitos cristalográficos microscópicos encontrados

em materiais reais, a fim de prever a falha mecânica macroscópica dos corpos. No

presente capítulo são abordados os conceitos básicos da mecânica da fratura

linear-elástica e elasto-plástica, ambas independentes do tempo.

3.1. Critério Energético de Griffith

Inglis (1913) calculou a concentração de tensões em uma placa contendo um

furo elíptico. Baseado nesse trabalho e no fato que a resistência real à tração de

um material é muito menor que a teórica, Griffith (1920) explicou a falha de

materiais frágeis. Esta abordagem é conhecida como o Balanço Energético de

Griffith e tem sido o ponto inicial para a mecânica da fratura moderna. Griffith

realizou experimentos com vidro, e, segundo ele, em materiais idealmente frágeis

a trinca se propagaria de maneira instável se a energia de deformação liberada

quando a trinca avançasse de um comprimento infinitesimal fosse maior que a

energia requerida para formar uma nova superfície de trinca.

Assume-se uma placa infinita contendo uma trinca horizontal reta de

comprimento 2a no estado plano de tensões. Para que esta trinca possa se

propagar deve existir na placa energia potencial suficiente para ultrapassar a

energia de superfície do material. A energia equilibrada de Griffith para um

incremento de área dA , em condições de equilíbrio pode ser expressa na seguinte

forma:

0SdWdE d

dA dA dA

Π= + = (3.1)

DBD


28

onde E é a energia total, Π é a energia potencial formada pela energia de

deformação interna e pelas forças externas, e SW é o trabalho necessário para criar

novas superfícies. Partindo da abordagem de Inglis, Griffith propôs

2 Sf

E

a

γσπ

= (3.2)

onde Sγ é a energia de superfície do material e fσ é a tensão normal remota

aplicada na trinca. Griffith obteve boa aproximação entre a Equação (3.2) e

ensaios experimentais da resistência à fratura dos vidros, embora a equação de

Griffith subestime a resistência à fratura dos materiais, pois a Equação (3.2) é

válida somente para sólidos frágeis ideais. Irwin (1948) e Orowan (1948)

independentemente modificaram a expressão de Griffith para considerar o efeito

plástico nos materiais.

3.2. Campo de tensões próximo à trinca

Para um determinado número de configurações geométricas e de carga é

possível obter expressões analíticas que descrevem o campo de tensões num

domínio. Westergaard (1939), Irwin (1957), Sneddon (1946) e Williams (1957)

foram os primeiros a publicar tais soluções para materiais isotrópicos com

comportamento linear-elástico.

Seja um sistema polar de coordenadas com a origem coincidindo com a

ponta da trinca (Figura 1a), a estimativa linear-elástica do campo de tensões

próximo à ponta da trinca é dada por:

( ) ( )( )2

0

mm

ij ij m ijm

kf A r g

rσ θ θ

∞

=

= +

∑ (3.3)

onde ijσ é o tensor de tensões, r e θ são coordenadas do sistema polar (Figura

1a), k é uma constante cujo significado físico será definido na próxima Seção e

ijf é uma função unidimensional. Os termos de ordem superior dentro do

operador de somatório dependem da geometria e são próximos a zero quando

0r → .

DBD


29

Trinca

σij

r

θ

x

y

θ*

a) Sistema de coordenadas

Modo I Modo II Modo III

b) Modos de carregamento

Figura 1. Sistema de coordenadas e modos de carregamento. Existem três modos distintos de carregamento aos quais uma trinca pode ser

submetida, como são mostrados na Figura 1b, estes são:

• Modo I de fratura: abertura (tensão de tração normal ao plano da trinca).

• Modo II de fratura: cisalhamento (tensão cortante agindo paralela ao plano

da trinca e perpendicular à ponta da trinca).

• Modo III de fratura: cisalhamento perpendicular (tensão cortante agindo

perpendicular ao plano e paralela à ponta da trinca).

3.3. Fator de Intensidade de Tensão

Para um material isotrópico linear-elástico, o campo de tensões num ponto

( ),rθ próximo à ponta da trinca ( 0r → ) pode ser aproximado em função de uma

constante mK , chamada fator de intensidade de tensão e definido como

( )2

m mmij ij

Kf

rσ θ

π ≈

(3.4)

onde mijσ é o tensor de tensões para o modo de carregamento m segundo a Figura

1b.

A constante mK depende da geometria e da combinação do carregamento.

Para problemas típicos da mecânica da fratura estas constantes estão disponíveis

em tabelas, para problemas mais complexos são necessários experimentos e/ou

testes numéricos. A Tabela 1 mostra os campos de tensões e deslocamentos

próximos à ponta da trinca para os modos I e II.

Modo I Modo II

xxσ 3

cos 1 sin sin2 2 22

K

r

θ θ θπΙ −

3

sin 2 cos cos2 2 22

K

r

θ θ θπΙΙ − +

yyσ 3cos 1 sin sin

2 2 22

K

r

θ θ θπΙ +

3sin cos cos

2 2 22

K

r

θ θ θπΙΙ

DBD


30

xyτ 3

sin cos cos2 2 22

K

r

θ θ θπΙ

3cos 1 sin sin

2 2 22

K

r

θ θ θπΙΙ −

xu 2cos 1 2sin

2 2 2 2

K r θ θκµ πΙ − +

2sin 1 2cos

2 2 2 2

K r θ θκµ πΙΙ + +

yu 2sin 1 2cos

2 2 2 2

K r θ θκµ πΙ + −

2cos 1 2sin

2 2 2 2

K r θ θκµ πΙΙ − − −

Tabela 1. Campo de tensões e deslocamentos para modos I e II (Anderson, 1995). Na tabela 1, µ é o modulo cortante e v o coeficiente de Poisson.

κ=3-4ν para estado plano de deformações e κ= (3-ν) (1+ν) para estado plano de

tensões.

3.4. Série de Williams

Paralelo aos estudos de Irwin (1957), Williams (1957) também demonstrou

a natureza universal do campo de tensões próximo à ponta de uma trinca,

(Anderson, 1995). Considerando a Figura 1a, que ilustra o sistema polar de

coordenadas cuja origem situa-se na ponta da trinca, Williams propôs a função de

tensão

1 * * * *1 2 3 4

1 *

sin( 1) cos( 1) sin( 1) cos( 1) , ou

( , )

r c c c c

r F

λ

λ

λ θ λ θ λ θ λ θ

θ λ

+

+

Φ = + + + + − + −

Φ = (3.5)

onde 1 2 3 4, , ,c c c c são constantes. As funções de tensões de Airy são tais que:

2 2 0∇ ∇ Φ = (3.6)

sendo ( , )r θΦ = Φ , a partir das quais as tensões são dadas

2

2 2

2

2

2

2

1 1

1 1

rr

r

r r r

r

r r r

θθ

θ

σθ

σ

σθ θ

∂ Φ ∂Φ= +∂ ∂

∂ Φ=∂

∂ Φ ∂Φ= +∂ ∂ ∂

(3.7)

Substituindo-se a Equação (3.5) na Equação (3.7), tem-se

1 * *

1 *

1 *

"( ) ( 1) ( )

( 1) ( )

'( )

rr

r

r F F

r F

r F

λ

λθθ

λθ

σ θ λ θ

σ λ λ θ

τ λ θ

−

−

−

= + +

= +

= −

(3.8)

DBD


31

onde *'( )F θ é a derivada de F em relação a *θ . Para o caso particular da ausência

de forças de superfície nas faces da trinca tem-se

(0) (2 ) (0) (2 ) 0r rθθ θθ θ θσ σ π τ τ π= = = = (3.9)

que implica em

(0) (2 ) '(0) '(2 ) 0F F F Fπ π= = = = (3.10)

Supondo-se o caso geral, em que as constantes da Equação (3.5) não são

nulas, as condições de contorno descritas na Equação (3.10) são satisfeitas

somente para

sin(2 ) 0πλ = (3.11)

logo,

, onde n 1,2,3,...2

nλ = = (3.12)

Na Equação (3.5) nota-se a existência de quatro constantes, a priori

indeterminadas, aplicando-se a Equação (3.10) podem-se eliminar duas

constantes, obtendo-se assim a seguinte função de tensão:

1 * * * *23 4

2sin( 1) sin( 1) cos( 1) cos( 1)

2 2 2 2 2

n n n n n nr c c

nθ θ θ θ

+ − Φ = − − + + − − + + (3.13)`

Em problemas da mecânica da fratura é mais conveniente expressar a

função de tensão em termos de θ (ver Figura 1a). Substituindo *θ θ π= − na

Equação (3.13), obtém-se

[ ]3

221 1 2

1 3 3cos cos sin sin 1 cos2 ...

2 3 2 2 2r s t s r

θ θ θ θ θ Φ = − − + − − + − +

(3.14)

onde is e it são constantes a serem definidas. Com isto as tensões da Equação

(3.8) são dadas por:

21 1 2

21 1 2

1 1

1 3 35cos cos 5sin 3sin 4 cos ...

2 2 2 24

1 3 33cos cos 3sin 3sin 4 sin ...

2 2 2 24

1 3 3sin sin cos 3cos

2 2 2 24

rr

r

s t sr

s t sr

s tr

θθ

θ

θ θ θ θσ θ

θ θ θ θσ θ

θ θ θ θσ

= − + + − + + +

= − − + − − + +

= − − + + 22 sin 2 ...s θ− +

(3.15)

As constantes 1s e 1t estão relacionadas aos modos I e II de fratura,

mediante as expressões da Equação (3.16).

DBD


32

1 1 e 2 2

I IIK Ks t

π π= − = (3.16)

Substituindo-se a Equação (3.16) na Equação (3.15) obtêm-se as expressões

das tensões em função dos fatores de intensidade de tensão.

3.5. Funções de tensão de Westergaard

Westergaard (1939) mostrou que um limitado tipo de problemas pode ser

resolvido introduzindo uma variável complexa z x iy= + , onde 1i = − . Para um

material isotrópico linear-elástico o campo de tensões no modo I de carregamento

foi proposto em termos da função de tensão Iφ como

( ) ( ' )

( ) ( ' )

( ' )

Ixx I I

Iyy I I

Ixy I

y

y

y

σ φ φσ φ φ

τ φ

= ℜ − ℑ

= ℜ + ℑ

= − ℜ

(3.17)

onde ()ℜ e ()ℑ são parte real e imaginária, respectivamente. Para uma trinca reta

de comprimento 2a submetida a um carregamento biaxial normal remoto (ver

Figura 2a) Westergaard propôs a função de tensão:

2 2( )I

zz

z aφ σ=

− (3.18)

Uma solução equivalente para o modo II pode ser obtida a partir de

2 ( ) ( ' )

( ' )

( ) ( ' )

IIxx II II

IIyy II

IIxy II II

y

y

y

σ φ φσ φ

τ φ φ

= ℜ − ℑ

= ℑ

= −ℑ − ℜ

(3.19)

onde

2 2( )II

zz i

z aφ τ= −

− (3.20)

2a

σ

σ x

y

σ

σ

a) Placa de Westergaard

σyy=1

σyy∞≈0

b) Placa de Westergaard modificada

Figura 2. Trinca horizontal numa placa infinita de espessura fina.

DBD


33

O modo III poderia também ser considerado a partir de expressões similares.

Do mesmo modo, é também possível obter os campos de deslocamentos

para o modo I de fratura

[ ]

[ ]

(1 )(1 2 ) ( * ) ( )

(1 )2(1 ) ( * ) ( )

II I

II I

u yE

v yE

ν ν φ φ

ν ν φ φ

+= − ℜ − ℑ

+= − ℑ − ℜ (3.21)

e os campos de deslocamentos para o modo II de fratura

[ ]

[ ]

(1 )2(1 ) ( * ) ( )

(1 )(1 2 ) ( * ) ( )

IIII II

IIII II

u yE

v yE

ν ν φ φ

ν ν φ φ

+= − ℜ − ℑ

+= − ℑ − ℜ (3.22)

onde * Iφ é a integral da função de tensão Iφ , ( * I I dzφ φ= ∫ ou ( * )I Id dzφ φ= ), v e

E são os coeficientes de Poisson e elasticidade, respectivamente.

Dumont e Lopes (2003) propuseram uma pequena modificação ao campo de

tensões da trinca da Figura 2a, adicionaram um termo constante de modo a obter

uma força de superfície constante ao longo das faces da trinca e zerar os valores

em pontos longe da trinca, como mostrado na Figura 2b (para o campo de tensões

yyσ ). Com esta modificação as novas expressões para as funções de tensão das

Equações (3.18) e (3.20) são dadas pelas Equações (3.23) e (3.24), onde o termo

2z garante a ausência de saltos da variável complexa devido à mudança de

quadrante do sistema local de coordenadas cartesianas.

2

2 2( ) 1I

zz

z aφ σ

= − −

(3.23)

2

2 2( ) 1II

zz i

z aφ τ

= − − −

(3.24)

O sentido físico da Equação (3.23) que corresponde ao modo I de

carregamento foi mostrado na Figura 2b, de forma similar poderia ser mostrado o

sentido físico da Equação (3.24) que corresponde ao modo II de carregamento.

DBD


34

3.6. Integral J

A abordagem teórica da Integral J foi dada por Rice (1968), que mostrou

que o valor da integral de energia ao longo de um contorno arbitrário Γ é o

mesmo, independentemente do caminho que circunscreve a ponta da trinca.

Trinca

n

Γ y

x

ds Figura 3. Contorno Γ ao redor da ponta da trinca.

Considere-se um corpo homogêneo linear ou não linear de material elástico,

livre de forças de corpo e submetido a um campo de deformações bidimensionais

(estado plano de deformações ou de tensões generalizado, ou anti-plano de

deformações) de modo que todas as tensões ijσ dependem somente de duas

coordenadas cartesianas x e y . Considere-se o contorno arbitrário ao redor da

ponta da trinca com caminho Γ em sentido anti-horário como ilustrado na Figura

3. O contorno Γ começa em um ponto qualquer da face inferior e termina na face

superior da trinca. Define-se a densidade da energia de deformação W como

( ) ( )0

, ij ijW W x y W dε

ε σ ε= = = ∫ (3.25)

onde ijε = ε é o tensor de deformações infinitesimais. A integral J é dada por:

uJ Wdy T ds

xΓ

∂ = − ∂

⌠⌡

(3.26)

onde T é o vetor de forças de superfície normais ao longo de Γ ( i ij jT nσ= ), u é o

vetor de deslocamentos e ds é um elemento infinitesimal de comprimento de arco

ao longo de Γ .

A integral J é a versão mais geral da taxa de liberação de energia G . Para o

caso especial de um material linear elástico J G= . Também, pode-se relacionar a

integral J com o fator de intensidade (Anderson, 1995) através da equação:

2IK

JE

= (3.27)

para o modo I de carregamento.

DBD


35

3.7. Zona plástica

A análise linear-elástica prevê um campo de tensões infinitas na ponta da

trinca. Isto não acontece em materiais reais, dado que as tensões próximas à ponta

são finitas devido às deformações inelásticas do material, como plasticidade em

metais (ou outro comportamento não linear, como crazing em polímeros) que

levam a uma relaxação do campo de tensões ao redor da ponta da trinca.

3.7.1. Superfícies de escoamento

Os critérios de escoamento de Von Mises e de Tresca são os mais usados

para prever escoamento em metais. A condição de Von Mises prevê que o

comportamento plástico se inicia quando a máxima energia de distorção de um

material (segundo invariante deviatório de tensão 2J ) atinge um valor crítico 2k .

Por outro lado, a condição de escoamento de Tresca prevê escoamento quando a

máxima tensão de cisalhamento atinge um valor crítico. No sistema cartesiano de

coordenadas, o critério de escoamento de Von Mises para o início do escoamento

é dado pela relação

( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 22 6Y x y y z z x xy xz yzσ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= − + − + − + + + , (3.28)

Para o estado plano de tensões e deformações tem-se, respectivamente.

2 2 23 , 0Y x y x y xy yz zx zσ σ σ σ σ τ τ τ σ= + − + = = = (3.29)

( )2 2 2 23 , 0, Y x y z x y y z z x xy yz zx z x yvσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ σ σ σ= + + − − − + = = = + (3.30)

onde Yσ é a tensão uniaxial de escoamento, v é o coeficiente de Poisson e ,ij ijσ τ

são os tensores de tensões normais e de cisalhamento, respectivamente. Para o

caso uniaxial a Equação (3.28) se reduz a

Y xσ σ= (3.31)

No capítulo 7 do presente trabalho são usados os materiais perfeitamente

elasto-plásticos, materiais com encruamento linear (bi linear) e o material descrito

pela equação de Ramberg-Osgood. A Figura 4 mostra as curvas tensão-

deformação unidimensional para os três materiais.

DBD


36

σ

Ɛ

Elástica

Elasto-plástica

σY

E

1

a) Elasto-plástico perfeito

σ

Ɛ

Elástica

Elasto-plástica

σY

E

Eep 1

1

b) Elasto-plástico linear

σ

Ɛ

Elástica

Elasto-plástica

σY

E

Eep 1

1

c) Ramberg-Osgood

Figura 4. Curvas tensão-deformação, materiais elasto-plásticos.

As equações que descrevem cada um dos materiais da Figura 4 são

para , para YY YE E

σσε σ σ ε σ σ= < = = , Elasto-plástico perfeito (3.32)

para , para YY YK

E E

σσε σ σ ε α σ σ= < = + ≥ , Elasto-plástico linear (3.33)

para , para n

Y YKE E E

σ σ σε σ σ ε σ σ = < = + ≥

, Ramberg-Osgood (3.34)

3.7.2. Métodos clássicos para o cálculo da zona plástica

Uma primeira aproximação da zona plástica é obtida usando uma análise

linear-elástica. Contudo estes resultados são imprecisos e irreais devido à

redistribuição de tensões necessárias para satisfazer o equilíbrio. Para pequenos

deslocamentos é comum utilizar a analise linear-elástica com algumas correções

simples. Já para escoamentos maiores, pode-se usar parâmetros adicionais de

modo a considerar o comportamento não linear.

Os métodos de Irwin e da faixa de escoamento de Dugdale são

aproximações clássicas da zona plástica. No método de Irwin uma estimativa de

primeira ordem baseada numa analise linear elástica para 0θ = (Figura 5) é

calculada mediante a expressão

21

2I

yYS

Kr

π σ

=

, para estado plano de tensões, ou (3.35)

( )2

211 2

2I

yYS

Kr v

π σ

= −

, para estado plano de deformações (3.36)

DBD


37

onde YSσ é a tensão de escoamento uniaxial. Desconsiderando o encruamento, a

distribuição de tensões para yr r≤ é representada pela linha reta yy YSσ σ= (estado

plano de tensões) na Figura 5a.

Trinca

ry

rp

σyy

σYS

r(θ=0)

Elastica

Elasto-plastica

a) Irwin

2a+2ρ

σYS

Zona plástica

2a ρ

b) Dugdale

Figura 5. Estimativas da zona plástica ao longo da projeção do eixo da trinca. Quando o material escoa, as tensões têm que se redistribuir de modo a

satisfazer equilíbrio.

0 0

p yr r

YS yydr drσ σ=∫ ∫ , de onde 0

1

2

yr

Ip

YS

Kr dr

rσ π= ⌠

⌡

(3.37)

O simples balanço de forças conduz a uma estimativa de segunda ordem do

tamanho da zona plástica pr .

21 I

pYS

Kr

π σ

=


( )2

211 2I

pYS

Kr v

π σ

= −


note que 2p yr r= .

A faixa de escoamento proposta por Dugdale (1960) e Barenblatt (1962)

assume uma longa e delgada faixa plástica na ponta da trinca considerando um

material sem escoamento no estado plano de tensões (Figura 5b). As primeiras

análises consideraram somente uma trinca reta em um meio infinito. A faixa

plastificada é modelada assumindo uma trinca do mesmo comprimento da zona

plástica, com tensão YSσ aplicada a cada ponta da trinca (parte inferior da Figura

5b). Sendo a zona plástica proposta

2

8I

YS

Kπρσ

=


DBD


38

( )2

21 2

8I

YS

Kv

πρσ

= −


note a semelhança entre as Equações (3.40) e (3.41) com as Equações (3.38) e

(3.39). Os desenvolvimentos de Irwin e Dugdale estimam zonas plásticas

semelhantes.

As estimativas do tamanho da zona plástica até aqui apresentadas

consideram somente o plano paralelo ao eixo da trinca ( 0θ = ). É possível obter

uma estimativa de primeira ordem para a zona plástica ao longo de todos os

ângulos aplicando um critério apropriado de escoamento nas equações da Tabela 1

ou na Equação (3.17), para o modo I.

Para um material de Von Misses obtêm-se as estimativas de primeira ordem

para o modo I, com o raio r em função do ângulo θ (Unger, 1995)

( )2

2 21cos 1 3sin

2 2 2I

yYS

Kr

θ θθπ σ = +


( ) ( )2

22 21cos 1 2 3sin

2 2 2I

yYS

Kr v

θ θθπ σ = − +


Uma estimativa de segunda ordem, similar à de Irwin para o eixo da trinca

[Equação (3.38) ou (3.39)], nesta vez considerando todos os ângulos pode ser

obtida considerando a tensão de escoamento de Von Mises (Sousa, 2011).

A correção de Irwin, que atende a uma redistribuição de tensões por meio de

um comprimento efetivo de trinca, é também simplista e não totalmente correta.

Métodos numéricos como o método dos elementos finitos têm sido usados

intensamente, contudo os custos computacionais são altos. Os métodos de

elementos de contorno têm sido apresentados como uma ferramenta eficiente na

avaliação do tamanho e forma da zona plástica.

DBD


39

4 Funções de Tensão de Westergaard Generalizadas

Dumont e Lopes (2003) foram os primeiros a apresentar as funções de

tensão de Westergaard (após algumas modificações) como solução fundamental

no método híbrido dos elementos de contorno. Considere-se uma trinca curva

discretizada com, por exemplo, 7 pontos geométricos numerados de 0 a 6 e

formando uma série de segmentos como ilustrado na Figura 6a. A curva que

representa a trinca da Figura 6a pode ser aproximada por seis elementos lineares,

três elementos quadráticos ou dois elementos cúbicos para representar o campo e

cinco parâmetros nodais numerados de 1 a 5 para representar a fonte. Estes

parâmetros nodais estão relacionados às forças de superfície dadas pelas funções

complexas de Westergaard aplicadas como uma sucessão de elementos

parcialmente superpostos. Desta forma pode-se aproximar qualquer configuração

de abertura (modo I) ou deslizamento (modo II) de trinca pela superposição de

descontinuidades elípticas relacionadas a funções de Westergaard. Para problemas

de elasticidade, o elemento de trinca com abertura de forma elíptica representa o

modo I e a trinca com deslizamento de forma elíptica entre suas faces representa o

modo II.

1

3 4

5

0

2

1

2

3 4

5

6

element number

point number

a) Contorno discretizado com 5 elementos

3 2

3 4

2a3

b) Elemento elíptico

Figura 6. Uso de trincas de forma elíptica para simular contornos curvos (Adaptado de Dumont e Lopes, 2003).

A principal desvantagem da proposta de Dumont e Lopes é que uma trinca

curva não é bem representada pela superposição de elipses. Por exemplo, o grau

DBD


40

de liberdade 3 é representado pela elipse 3, cujo eixo une somente os pontos 2 e 4.

Esta aproximação não é a mais apropriada quando se quer representar contornos

curvos, quinas e reentrâncias.

Tada et al (1993, 1994) propuseram um simples e eficiente método de

desenvolver as funções de tensão de Westergaard para a análise de problemas de

trincas com deslocamentos prescritos. Sua intervenção foi restrita à parte

matemática na obtenção destas funções de tensão e à ilustração de varias formas

de abertura de trincas, sempre em termos de expressões analíticas.

Baseados nos trabalhos apresentados acima, Dumont e Mamani (2011)

propuseram uma formulação mais geral. Um contorno curvo qualquer (ver Figura

7a) é representado pela superposição de elementos compostos. Estes elementos

são formados pela superposição de duas trincas semielípticas dispostas em

sentidos opostos, como ilustrado na Figura 7b, não somente para uma melhor

representação geométrica da trinca, mas também para simular furos, quinas e

reentrâncias. O desenvolvimento matemático para problemas de potencial e de

elasticidade, incluindo verificações de consistência e continuidade foi apresentado

por Dumont e Mamani (2011). Exemplos numéricos que validam a formulação

foram apresentados por Mamani (2011).

1

3

4

5

2

element number


3

2

4 3

a2

a3

b) Elemento semieliptico

Figura 7. Uso de trincas semi-elípticas para simular contornos curvos (Adaptado de Mamani, 2011; Dumont e Mamani, 2011).

Dumont e Mamani (2013) refletiram sobre a boa representação da ponta da

trinca por elementos de forma elíptica (ou semielíptica) e observaram a inclusão

desnecessária de singularidades no campo de tensões próximo às faces da trinca,

deteriorando inclusive o campo de tensões próximo à ponta da trinca. Deste modo,

uma maior discretização leva a uma melhor representação global do problema,

DBD


41

porém deteriora o campo de tensões locais próximo à trinca. Contornos

discretizados com elementos de forma diferente à elíptica têm sido implementados

e testados por Dumont e Mamani (2011), com resultados globais satisfatórios, que

aparentemente não justificavam investigações adicionais.

A proposta atual é restringir o uso das trincas de forma semielíptica somente

aos elementos que representam as pontas da trinca em estudo (ver Figura 8) e para

representar as faces são desenvolvidos elementos de trinca a partir de formas

polinomiais (polinômios de Hermite) suaves. A principal vantagem da proposta é

que as singularidades do tipo 1 r são introduzidas apenas na ponta da trinca.

1

3

4

5

2

element number


Crack face element

ak

ak+1

k≠1≠ne

a1 1

3 2 a2

k=1

Crack tip element

b) Elementos de face e ponta

Figura 8. Uso de semitrincas elípticas e polinomiais para simular contornos curvos (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015).

Os elementos mostrados na Figura 8b podem estar relacionados aos modos I

de abertura ou II de deslizamento.

Uma solução mais elaborada e exata do problema é obtida acrescentando

graus de liberdade que consideram rotação. Estes elementos de rotação são

desenvolvidos para representar tanto as faces quanto as pontas da trinca. Estes

elementos de rotação podem estar relacionados tanto ao modo I como ao modo II

de fratura. A proposta de Dumont e Mamani (2011) continua valida para o caso

particular da trinca discretizada apenas com um elemento. A Figura 9 mostra os

quatro elementos a serem usados (em termos de abertura ou sobreposição) para

representar um contorno curvo qualquer.

DBD


42

z=z1

x1

(x1,z1) plane

a1

Opening

0.5

0.5

a2

x2

z=-z2 (x2,z2) plane

Opening

a) Elemento de abertura na face

z=z1

x1

(x1,z1) plane

a1

Opening

0.5

0.5

a2

x2

z=-z2 (x2,z2) plane

Opening

b) Elemento de abertura na ponta

z=z1

x1

(x1,z1) plane

a1

a2

x2

z=-z2 (x2,z2) plane

Opening Overlap

c) Elemento de rotação na face

z=z1

x1

(x1,z1) plane

a1 a2

x2

z=-z2 (x2,z2) plane

Opening Overlap

d) Rotação adjacente à ponta da trinca

Figura 9. Elementos usados para discretizar uma trinca curva geral, em termos de abertura e sobreposição (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015).

As seções apresentadas a seguir são restritas à obtenção matemática das

funções de tensão envolvidas para a construção de soluções fundamentais tanto

para problemas de potencial (capítulo 5) quanto para problemas de elasticidade

(capítulo 6).

4.1. Formulação de Tada, Ernst e Paris baseada em desloc amentos.

Tada, Ernst, e Paris (1993) mostraram que, para uma trinca com abertura

prescrita da forma ( )f x no intervalo 1 2[ , ]x x ao longo do eixo x e simétrica em

torno deste eixo, no sistema de condenadas cartesiano ( , )x y , pode-se definir a

função potencial ( )zΦ em função do argumento complexo z x iy= + ,

2

1

1 ( )( ) d

2

x

x

f xz x

z xπΦ = −

−∫ (4.1)

e a partir deste obter os campos de tensões e deslocamentos, como uma

generalização da proposta inicial de Westergaard no contexto da mecânica da

fratura. Muitas configurações de trincas e tensões foram investigadas por Tada et

DBD


43

al. O desenvolvimento clássico de Westergaard (1939) para uma trinca elíptica de

comprimento 2a é obtido escolhendo-se a função

2 2

( )a x

f xa

−= (4.2)

e avaliando-se a integral da Equação (4.1) no intervalo [ , ]a a− .

4.2. Funções de tensão para trincas de comprimento 1a e rotação 1θ .

Dumont e Mamani (2011) desenvolveram uma solução simples: avaliaram a

Equação (4.1) no intervalo [0,1] , obtendo assim a função de tensão para uma

trinca de forma semielíptica. A rotação e normalização foram consideradas através

da introdução de um termo complexo ( )1 1 1,T a θ , de modo que a variável ( )1 1,Z z T

da Equação (4.3) seja usada como argumento ao invés de z na Equação (4.1).

( ) ( )1 1( )1 1

11 1

1 1

cos sin1

e ei izi

rZ zT x iy

a a aθ θ θθ θ− −= ≡ ≡ + ≡− (4.3)

A função de tensão para uma trinca de forma semielíptica desenvolvida por

Dumont e Mamani (2011) é resumida na Seção 4.3. Tomando como referência

esse trabalho, na Seção 4.4 obtém-se a função de tensão para uma semitrinca de

abertura polinomial, as Seções 4.5 e 4.6 mostram as funções de tensão usadas para

considerar os efeitos da rotação entre as faces da trinca. Considerando a

superposição de efeitos, estas quatro funções (ver Figura 10) servirão de base para

formular elementos combinados (ver Figura 9) que serão usados na elaboração de

soluções fundamentais tanto para problemas de potencial como para problemas de

elasticidade.

x

y x1

y1

θ1

a1

0.5

0.5

a) Abertura elíptica na ponta da trinca

x

y x1

y1

θ1

a1

0.5

0.5

b) Abertura polinomial na face da trinca

DBD


44

x

y

x1

y1

θ1

a1

0.5

0.5

c) Rotação adjacente à ponta da trinca

y

x1

y1

θ1

a1

0.5

0.5

x

d) Rotação na face da trinca

Figura 10. Semitrincas de comprimento 1a e rotação 1θ usadas para representar efeitos

de abertura e rotação relativa (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015).

4.3. Semitrinca de abertura elíptica na ponta da trinca

Deseja-se obter a função de tensão para uma semitrinca de forma elíptica de

comprimento 1a e rotação 1θ em relação ao eixo de coordenadas x (Figura 10a).

A função que descreve a forma da abertura (ou deslizamento) para o caso

particular de 1 1a = é dada pela Equação (4.4).

2( ) 1f x x= − , onde ( )0 1f = , ( )1 0f = , ( )' 0 0f = e ( )' 1f undefined= (4.4)

A correspondente expressão da Equação (4.1) para a função de forma da

Equação (4.4) no intervalo [ ]0,1 , sua primeira e segunda derivada são,

respectivamente

( )2 22

11 1

1

1 1

1 ln 1 1( ) ln

2

1

2 2 4

1Z ZZ ZZ Z

ππ π

− − −− −

−Φ −+=

− (4.5)

( )21

2 21

111

11

1

ln 1 1( ) ln

22

1 1

41 2 1

ZZZ Z

Z

Z

Z Z ππ π′Φ =

− − −− −

−−

− (4.6)

( )( ) ( )

21

3/22 2 221

1

1

13 2

1 1

ln 11( ) ln

2 ) 22

1 1

(1 11

Z

Z ZZ

ZZZ

π ππ

− − −+

− −−′′Φ = − , (4.7)

em função do argumento complexo 1Z dado pela Equação (4.3), que considera

rotação e normalização.

4.4. Semitrinca de abertura polinomial na face da trinca

A função de tensão para a semitrinca de forma polinomial (Figura 10b) é

obtida definindo-se a função de forma

DBD


45

3 2( ) 2 3 1f x x x= − + , onde ( )0 1f = , ( )1 0f = , ( )' 0 0f = e ( )' 1 0f = (4.8)

A correspondente expressão da Equação (4.1) para a função de forma da

Equação (4.8) avaliada no intervalo [0,1] , sua primeira e segunda derivada são,

respectivamente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 21 1 1 1 1 1

1 11

1 3 2 1 3 2 5 12 12ln ln 1

2 2 12( )

Z Z Z Z ZZ ZZ

Z

π π π− + − + + −

− −Φ − += (4.9)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 111 1 1

11

3 1 3 1 1 1ln l' ( n 1 3 6

2)

Z Z Z ZZ Z Z

ZZ

π π π− −

− − − + −Φ

=

(4.10)

( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 2

1

3 1 2 1 2 1 6ln l

3'' ( n 1)

2

Z ZZZ Z

Zπ π π π− −

− − + +Φ = (4.11)

dado como argumento a variável complexa 1Z .

4.5. Semitrinca de rotação na ponta da trinca

A função de tensão para a semitrinca de rotação mostrada na Figura 10c é

obtida definindo-se incialmente um comprimento 1 1a = e escolhendo-se a função

de forma

2( ) 1f x x x= − , onde ( )0 0f = , ( )1 0f = , ( )' 0 1f = e ( )' 1f undefined= . (4.12)

Nota-se que as propriedades desta função de forma na sua ponta são as

mesmas que a semitrinca de abertura (deslizamento) elíptica apresentada na Seção

4.3. A expressão da Equação (4.1), para a função de forma da Equação (4.12),

avaliada no intervalo [0,1] , sua primeira e segunda são, respectivamente.

( )2 22

1 1 1 21

1 11 1 1

1 ln 1( ) ln

2

1

2 8 4

1

2

1 ZZ Z ZZZ

ZZ

Z

ππ π

− − − −− +

−Φ = − −+ (4.13)

( ) ( )22 1

21

2 21

1

1

1

11

2 12 1 1( ) ln

22 2

ln 1 1

1 1

ZZ ZZ Z

Z

Z Z ππ π

−−′Φ = −− − −

− −− −

(4.14)

( ) ( ) ( )( ) ( )

22 31

1 1 12 3/2 221 1 1

221 11 1

1 1

1

3 2

ln 1 1 1 2

(

2 32 3( ) ln

2 ) 221 11

Z Z Z Z

Z Z ZZ

Z ZZ ZZ Z

π ππ ππ

−− − −′

− − − + ++

−=

− −′Φ − (4.15)


DBD


46

4.6. Semitrinca de rotação na face da trinca

A função de tensão para a semitrinca a ser usada para considerar a rotação

relativa entre as faces da trinca (Figura 10d), para o caso 1 1a = é obtida a partir da

função de forma 3 2( ) 2f x x x x= − + , onde ( )0 0f = , ( )1 0f = , ( )' 0 1f = e ( )' 1 0f = (4.16)

As propriedades desta função de forma na sua ponta são iguais às da

semitrinca de abertura (deslizamento) polinomial apresentada na Seção 4.4. A

Equação (4.1), considerando a Equação (4.8), avaliada no intervalo [0,1] , e suas

respectivas derivadas são

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 21 1 1 11(

2 2 1ln ln 1 2 9 6

2 2)

2 1

Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z

π π π− + − +

− −= − + −Φ + − (4.17)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 1

1 1 11

1 3 1 3 1ln ln 1 5 6

4 4(

2 4' )

2

Z Z ZZ

ZZ Z Z

π π π− + − +

− −Φ + −= − (4.18)

( ) ( ) ( ) ( )1 11 1

11

2 3 2 3 1 1ln ln 1 6

2''( )

Z ZZ Z

ZZ

π π π− + − +

+ − − +

= −

Φ (4.19)


4.7. Singularidades das funções de tensão

As singularidades das funções de tensão Φ e suas derivadas são resumidas

na Tabela 2.

ORIGEM (Z=0) PONTA (Z=0)

Função Φ 'd

dZ

ΦΦ = '

''d

dZ

ΦΦ = Φ 'd

dZ

ΦΦ = '

''d

dZ

ΦΦ =

Abertura elíptica

( )ln r 1

r

2

1

r r

1

r

3

1

r

Abertura polinomial

( )ln r 1

r

2

1

r sem sem ( )ln r

Rotação elíptica

sem ( )ln r 1

r r

1

r

3

1

r

Rotação polinomial

sem ( )ln r ( )ln r ,1

r sem sem ( )ln r

Tabela 2. Resumo das singularidades das funções de tensão propostas.

DBD


47

Neste Capítulo foram desenvolvidas as expressões analíticas das funções de

tensão. Estas funções serão usadas na construção das soluções fundamentais tanto

para problemas de potencial quanto para problemas de elasticidade dos

subsequentes Capítulos. Também foram mostradas as singularidades na origem e

na ponta, estudos mais detalhados destas singularidades são apresentados na

Seção 10.1.

DBD


48

5 Formulação para Problemas de Potencial

O principal objetivo do presente capítulo é validar a função de tensão do

tipo Westergaard obtida para uma trinca com abertura polinomial (como mostrado

na Figura 9a) quando usada como solução fundamental no método híbrido dos

elementos de contorno.

É apresentado um problema com soluções analíticas conhecidas, para

comparação com os resultados numéricos. O conteúdo deste capítulo não tem

relação direta com a mecânica da fratura, pois os contornos avaliados não

apresentam pontas. O que será apresentado tem valor didático no uso de funções

de Westergaard como solução fundamental no método híbrido.

5.1. Construção da solução fundamental

A solução da equação de Laplace 2 2

2 20

u u

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

para o estado estacionário de

transferência de calor em uma placa homogênea, de espessura constante t , com

coeficiente de condutividade k , pode ser obtida em função de 1Φ , pela seguinte

expressão

1 1

1Imu

k= Φ (5.1)

com fluxos referenciados ao sistema global de coordenadas cartesianas ( , )x y

( )

( )1

1

11 1

11 1

Im

Re

x

y

uq k T

xu

q k Ty

′

′

∂= − = − Φ∂∂= − = − Φ∂

(5.2)

e o fluxo normal

1 1 1ao longo den x x y yq q n q n= − − Γ (5.3)

onde xn e yn são as projeções do vetor normal unitário externo n .

DBD


49

Considera-se que 1u é a temperatura no ponto ( , )x y da placa, 1x

q e 1y

q são

fluxos de calor (taxa de transferência de calor por unidade de superfície do corpo)

para um fluxo de calor total por unidade de espessura / 1Q t = que entra na placa.

O sistema cartesiano de coordenadas 1 1( , )x y é introduzido com o propósito

de fornecer um tratamento formal do problema:

1 1 11 1

1 1 1

cos sin, ou

sin cos

x x

y y

θ θθ θ

= = −

x T x . (5.4)

Em seguida, os fluxos da Equação (5.2) são expressos matricialmente como

1(0)1

1 1(0)

1 1 T1 1 1(0)

1 1

cos sin, ou

sin cos

xx

y y

qq

q q

θ θθ θ

− = =

q T q (5.5)

onde os subscritos 1(0)() indicam que os fluxos estão referenciados ao sistema

cartesiano 1 1( , )x y , rotacionado de um ângulo 1θ :

( )

( )

1(0)

1(0)

11

1 1

11

1 1

1Im

1Re

x

y

uq k

x a

uq k

y a

′

′

∂= − = − Φ∂∂= − = − Φ∂

(5.6)

Um elemento é formado por dois segmentos retos de comprimentos 1a e 2a

rotacionados de um ângulo 1θ e 2θ , respectivamente, compondo linhas de saltos

de potencial (que correspondem a linhas de descontinuidade de deslocamentos ou

trincas no caso de elasticidade) ao longo do contorno Γ de um corpo de domínio

Ω , com o segmento 2 antes do segmento 1, como mostrado na Figura 11a.

a1

a2

Descontinuidade

Plano (x,y) Domínio

Sentido do contorno

a) Descontinuidade geral

z1

x1

Abertura Semi-trinca 1

a1

0.5

0.5

a2

x2

-z2

Abertura Semi-trinca 2

b) Construção de um elemento de trinca

Figura 11. Construção de um elemento de descontinuidade a partir de duas semitrincas. O caso mais simples é a superposição de duas semitrincas elípticas

colineares de comprimentos 1 2 1a a= = formando uma trinca elíptica, similar à

proposta original de Westergaard (1939) e computacionalmente implementado por

Dumont e Lopes (2003). A generalização para um elemento formado por duas

DBD


50

trincas semielípticas (não necessariamente colineares e/ou 1 2a a≠ ) foi tratada por

Dumont e Mamani (2011). A Figura 11b mostra a superposição em termos de

abertura de duas trincas semi-elípticas nos seus planos locais de coordenadas.

Como já foi discutido no capítulo anterior, o uso de elementos de forma

elíptica tem alguns inconvenientes, o que motivou o desenvolvimento de outros

tipos de elementos (ver Figura 9).

O efeito combinado do campo potencial devido à superposição das

semitrincas 1 e 2 é dado por:

1 2u u u= − , (5.7)

e a superposição de efeitos dos fluxos

1 2x x xq q q= − e 1 2y y yq q q= − . (5.8)

As justificações matemáticas de singularidade na ponta e na origem do

elemento são amplamente discutidas no item 10.2 do apêndice. Na maioria dos

problemas da mecânica da fratura somente condições de contorno de Neumann

são necessárias, porém o problema é resolvido apenas pela Equação (2.8), sendo

necessária somente a matriz H .

5.2. Integração da matriz H

A expressão geral da matriz H para problemas de potencial é

( ) | |dk kki x x y y iH q n q n N J ξ

Γ≡ = − +∫H (5.9)

onde k é o nó onde a fonte de potencial é aplicada, ou seja, o nó em comum de

dois segmentos de contorno adjacentes, k k− na esquerda (o segmento 2,

rotacionado de um ângulo 2θ ) e kk + na direita (o segmento 1, rotacionado de um

ângulo 1θ ), como ilustrado na Figura 12. O potencial aplicado varia linearmente

no contorno, segundo a função de interpolação iN , do nó i aos nós adjacentes na

esquerda e na direita. Em seguida, o intervalo de integração Γ da matriz de

coeficientes kiH na Equação (5.9) compreende os dois segmentos de contorno que

têm em comum o nó i (ver Figura 13). No caso particular de segmento de

contorno reto, | |J é o correspondente comprimento do elemento, para a variável

natural do contorno [0,1]ξ ∈ .

DBD


51

(a) (b) (c)

(b) (e)

i

j

km k 1

2

kp

i j

kp

km k

1

2

i

j

kp

km k 1

2

i

j kp

km k 1

2

i j

kp

km k 1

2

Figura 12. Ilustração dos cinco casos na avaliação numérica da matriz H .

5

4 3

2

1

7

6

5

3 2

1

4

a6

a5

a4

a3 a2

a1

Número de ponto

Número de elemento

Comprimento de semi-trinca

Ω

Γ

+ 8

9

10 11

12 7

9 8

6

11

10

12

a7

a8

a9 a10

a11

a12

3

5

3 4

a4

5

3

4

representa

a4

a3

a3

3

Figura 13. Ilustração de um corpo discretizado com 12 elementos de contorno lineares.

Deseja-se obter a matriz H para um problema onde o modelo é discretizado

com um número total de nós nn , que coincide com o número total de segmentos,

como mostrado na Figura 13. A integração da matriz H será avaliada em termos

analíticos, cujas respectivas demonstrações são levadas a cabo na Seção 10.3. O

algoritmo proposto é:

Loop Externo para os saltos de potencial -> k variando de 1 a nn .

Determinar os nós adjacentes k + e k − , definidos no sentido anti-horário. Em

seguida, obter 1cosθ , 1sinθ , 2cosθ , 2sinθ .

Definir a matriz de constantes T , cujos elementos são dados no capítulo 4

[ ]1 2T T= −T (5.10)

DBD


52

Loop Interno para a integração dos segmentos -> i variando de 1 a nn .

Determinar os nós subsequente j+ e precedente j− , a integração será avaliada ao

longo dos segmentos ij+ e ij

−.

Definir a matriz de constantes A e C cujos elementos são dados pela Equação

(7.126)

[ ] [ ]1 2 1 2 and A CA C= − = −A C (5.11)

Em seguida, definir a matriz que contem expressões analíticas da integração ao

longo dos segmentos adjacentes ao nó i (Seção 10.3)

[ ] [ ] [ ] [ ], , , , , e ,Na n c Nb n c Nc n c Nd n c (5.12)

Avaliar numericamente a matriz h de 2 2× na estrutura lógica if. Onde, 1,2c = se

refere à semitrinca 1 ou 2, 1, 2n = se refere às extremidades i ou j do segmento

onde a integral é avaliada.

a) If i k= , caso (a) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir

[ ][ ]

[ ,1] ,1

[ , 2] ,2

n n

n

Na

b nN

=

=

h

h End do loop com variável de controle n .

b) Else if j k= , caso (b) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir

[ ][ ]

[ ,1] ,1

[ , 2] ,2

n n

n

Nb

a nN

=

=

h

h

End do loop com variável de controle n .

c) Else if i k += , caso (c) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir

[ ][ ]

[ ,1] ,1

[ , 2] ,2

n n

n

Nc

d nN

=

=

h

h


d) Else if j k −= , caso (d) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir

[ ][ ]

[ ,1] ,1

[ , 2] ,2

n n

n

Nd

c nN

=

=

h

h


e) Else, caso (e) da Figura 12. For n de 1 a 2 em um loop aninhado, definir

[ ][ ]

[ ,1] ,1

[ , 2] ,2

n n

n

Nd

d nN

=

=

h

h


DBD


53

End if (fim da estrutura lógica if)

Definir a matriz de projeções unitárias do segmento ij , apresentado na Equação

(5.3),

x yn n = n (5.13)

Os coeficientes coefH da matriz H são obtidos no seguinte loop, para os nós i e j

dados no vetor [ , ]i j≡i .

Loop para os extremos i e j , com n variando de 1 a 2

2T

1

[1]Im( [ , ]) [2]Re( [ , ])coefc

H n c n c=

= + ∑T h T h n (5.14)

A matriz H , cujos coeficientes podem já ter alguma contribuição da integração ao

longo de algum segmento adjacente, é obtido de coefH como

[ , [ ]] [ , [ ]] coefk n k n H= +H i H i (5.15)

Fim dos loops com variáveis de controle , ,n i k .

Para condições de contorno de Neumann o problema é resolvido apenas a

partir da Equação (2.8), onde podem ser necessários conceitos de inversa

generalizada para na obtenção do vetor *p . Para demostrar a consistência do

algoritmo na próxima Seção é apresentado um exemplo, cujos resultados

numéricos serão comparados com a solução analítica, com a solução fundamental

de tipo logarítmica e com a solução de Westergaard de forma semielíptica

(Dumont e Mamani, 2011).

5.3. Campo de potenciais e gradientes em pontos internos

Uma fonte de potencial logarítmica 2 2ln ( 10) ( 25) / (2 )x y πΦ = + + − é

aplicada no nó F de um contínuo bidimensional infinito, como ilustrado na parte

esquerda da Figura 14. Os gradientes nodais equivalentes são avaliados ao longo

dos contornos representados pelas linhas cheias, criando assim um problema (para

a equação de Laplace) de solução analítica simples e conhecida. O furo, as

reentrâncias e as quinas formadas pelos contornos representam algumas

dificuldades topológicas para a simulação numérica. O contorno é discretizado

DBD


54

com um total de 104 nós e a mesma quantidade de segmentos lineares, os quais

estão igualmente espaçados entre as quinas numeradas, cujas coordenadas são

dadas na parte direita da Figura 14. Uma série de 51 pontos ao longo da reta

tracejada AB gerada para a representação de alguns resultados numéricos no

domínio. Por simplicidade, e por ser um problema acadêmico, não são

especificadas as unidades de medida, podendo-se assumir qualquer sistema de

unidades desde que haja coerência nas grandezas.

17

50

69 87

93

99

F

A

B

1

27

x

y

Sistema cartesiano

Node X y 1 0 0 17 10 15 27 20 10 50 15 35 69 0 20 87 10 20 93 11 21 99 12 20 A 5 20 B 15 18 F -10 25

Figura 14. Recorte para a modelagem numérica de um corpo multiplamente conexo. O problema mais simples que pode ser resolvido neste exemplo é para as

condições de contorno de Neumann, onde o problema é governado apenas pela

Equação (2.8). Embora a matriz H dada pela Equação (5.9) seja uma matriz

singular para um domínio limitado, os gradientes nodais equivalentes p estão

balanceados e o problema de álgebra linear admite apenas uma solução de *p , a

ser obtida no contexto de matrizes inversas generalizadas (Dumont e Lopes, 2003;

Mamani, 2011). Após *p ser calculado, gradientes e potenciais podem ser obtidos

segundo as Equações (2.4) e (2.5).

A parte esquerda da Figura 15 mostra as soluções analítica (Analytic) e

numérica (W. pol.) usando elementos de forma polinomial, obtidos em termos de

potenciais ao longo do segmento reto AB . Uma vez que o problema tem

condições de contorno de Neumann, um potencial constante foi adicionado nos

resultados numéricos a fim de que os valores numéricos e analíticos sejam

próximos. Também foram feitas comparações com a solução fundamental de

Kelvin (Kelvin) e com elementos semielípticos do tipo Westergaard (W. ell.).

DBD


55

-0.53

-0.52

-0.51

-0.5

-0.49

-0.48

-0.47

-0.46

-0.45

-0.44

-0.43

0 10 20 30 40 50

Pot

entia

l val

ues

Points along the line segment AB

Analytic

Kelvin

W. pol.

W. ell.

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

0 10 20 30 40 50

Err

or p

oten

tial v

alue

s (%

)


Kelvin

W. pol.

W. ell.

Figura 15. Potencial ao longo da reta AB da Figura 14. As soluções numéricas mostradas na parte esquerda da Figura 15 estão

praticamente superpostas com a solução analítica. Uma melhor interpretação de

resultados pode ser obtida a partir dos erros numéricos calculados por

( )% 100%num ana

ana

v v

vε −

= × (5.16)

onde numv e anav representam valores numéricos e analíticos, respectivamente. Os

erros calculados segundo a Equação (5.16) e mostrados na parte direita da Figura

15 demonstram que os melhores resultados são aqueles obtidos com as funções de

tensão de forma polinomial, inclusive menores que a solução de Kelvin.

Valores dos gradientes xq e yq , e seus correspondentes erros são também

mostrados na Figura 16 e Figura 17, respectivamente.

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

0 10 20 30 40 50

Gra

dien

t x v

alue

s


Analytic

Kelvin

W. pol.

W. ell.

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

0 10 20 30 40 50

Err

or g

radi

ent x

val

ues

(%)


Kelvin

W. pol.

W. ell.

Figura 16. Gradientes em x ao longo da reta AB da Figura 14.

DBD


56

-3.5

-3.3

-3.1

-2.9

-2.7

-2.5

-2.3

-2.1

-1.9

-1.7

-1.5

0 10 20 30 40 50

Gra

dien

t y v

alue

s


Analytic

Kelvin

W. pol.

W. ell.

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

0 10 20 30 40 50

Err

or g

radi

ent y

val

ues

(%)


Kelvin

W. pol.

W. ell.

Figura 17. Gradientes em y ao longo da reta AB da Figura 14.

Os resultados em termos de gradientes apresentaram um padrão similar aos

do potencial. Para o mesmo nível de discretização a solução com elementos

polinomiais alcançou melhores resultados que usando elementos semielípticos e,

inclusive, do que usando a solução fundamental logarítmica (Kelvin). Isto não

necessariamente significa que a solução proposta é melhor que a simples solução

logarítmica, a solução proposta não é tão geral quanto à solução logarítmica.

Um estudo de convergência é mostrado na Figura 18, para discretizações

numéricas com número total de elementos de 30, 58, 114 e 170. As respectivas

quinas estão representadas pelos nós da Figura 14 e dadas na Tabela 3.

nó 1 nó 17 nó 27 nó 50 nó 69 nó 89 nó 93 nó 99 Nro. nós

1 5 8 14 19 24 26 28 30

1 9 14 26 36 45 49 53 58

1 17 27 50 69 87 95 103 114

1 25 40 74 103 130 142 154 170

Tabela 3. Numero dos nós das esquinas das diferentes discretizações da Figura 14. A Figura 18 mostra para cada simulação numérica realizada, a norma do

erro Euclidiano de potenciais e gradientes avaliados segundo

( )51 51

2 2

1 1

[ ] [ ] [ ]a n ai i

v i v i v i= =

= −∑ ∑ε (5.17)

onde [ ]nv i e [ ]av i são os valores numérico e analítico obtidos em cada um dos 51

pontos ao longo da linha reta AB . Os resultados na Figura 18 estão indicados para

as soluções fundamentais de Kelvin (K), elemento elíptico de Westergaard (We) e

elemento polinomial de Westergaard (Wp). Os resultados de Kelvin convergem

mais rápido que os obtidos com os elementos de forma semielíptica do tipo

Westergaard, porém mais lento que a solução de Westergaard com elementos

DBD


57

polinomiais, como era esperado. No entanto, um padrão de convergência é

apresentado tanto para a formulação em termos de funções de Westergaard quanto

para a solução de Kelvin.

3058

114170

30

58

114

170

30

58

114

170

1.E-07

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

Euc

lidea

n N

orm

of t

he e

rror

Number of elements along the boundary

u - We

u - K

u - Wp

Figura 18. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura 14 em termos de potenciais.

3058

11417030

58

114

170

30

58

114

170

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

Euc

lidea

n N

orm

of t

he e

rror


qx - We

qx - K

qx - Wp

30

58

114170

30

58

114

170

30

58

114

170

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

Euc

lidea

n N

orm

of t

he e

rror


qy - We

qy - K

qy - Wp

Figura 19. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura 14 em termos dos gradientes.

Os resultados numéricos apresentados acima validam os desenvolvimentos

teóricos. O objetivo final da pesquisa é a obtenção da formulação para a

modelagem de trincas o qual é desenvolvido no próximo capítulo.

DBD


58

6 Formulação para Problemas da Mecânica da Fratura Li near Elástica

Para problemas de elasticidade, a construção de soluções fundamentais é

menos intuitiva e mais complexa do que para problemas de potencial, uma das

complicações é a ação combinada dos modos I e II. Para trincas curvas

discretizadas somente com elementos semielípticos Dumont e Mamani (2011)

verificaram a consistência da formulação, Mamani (2011) apresentou vários

exemplos para validar a aplicação na mecânica da fratura. Com base nos conceitos

abordados por Dumont e Mamani (2011) apresenta-se as expressões analíticas do

campo de tensões e deslocamentos devido à superposição de efeitos de duas

semitrincas opostas formando um elemento de trinca, contido num domínio

bidimensional infinito e homogêneo.

6.1. Expressões analíticas do campo de deslocamentos

Conhecida a função de tensão 1Φ , que corresponde a uma trinca de forma

prescrita (abertura para o modo I e deslizamento para o modo II), o campo de

deslocamentos devido aos modos I e II de fratura é matricialmente expresso como

(Dumont e Mamani, 2011)

1 11 1 1 1

1 11(0) 1(0)1(0)

1(0) 1(0) 1 11 1 1 1

1 1

(1 2 )Re Im 2(1 ) Im Re1

2(1 ) Im Re (1 2 )Re Im

I II

I II

y y

a au u

v v y yE

a a

ν νν

ν ν

′ ′− Φ − Φ − Φ + Φ + = = ′ ′− Φ − Φ − − Φ − Φ

u (6.1)

onde E é o módulo de elasticidade, v o coeficiente de Poisson, 1a o comprimento

do eixo da semitrinca e 1y a coordenada perpendicular ao eixo da trinca.

1 11

1

( )'

Z

Z

∂ΦΦ =∂

e 2

1 11 2

1

( )''

Z

Z

∂ ΦΦ =∂

são a primeira e segunda derivada da função

1Φ , respectivamente. O subscrito (0)( )⋅ quer dizer no sistema local de

coordenadas, cuja abcissa coincide com o eixo da trinca.

DBD


59

Dumont e Mamani (2011) desenvolveram a expressão geral do campo de

deslocamentos devido à superposição de efeitos de duas trincas semielípticas

opostas de comprimentos 1a e 2a , e rotações 1θ e 2θ . A consistência matemática e

a interpretação física também foram discutidas. A expressão proposta pelos

autores (com sinal trocado no termo em parêntesis, por conveniência) é

( )1 1(0) 1 2 2(0) 2T T ∗+u = T u M T u M p , (6.2)

onde os subscritos 1( )⋅ e 2( )⋅ estão relacionados às semitrincas 1 e 2, que

compõem a trinca completa, conforme o modelo da Figura 7b. A matriz 1T que

transforma as coordenadas do sistema global de coordenadas ( , )x y ao sistema

local de coordenadas 1 1( , )x y é dada

1 1 1

1 1 1

cos sin

sin cos

x x

y y

θ θθ θ

= −

, ou 1 1=x T x , (6.3)

e a matriz 1M que transforma parâmetros nodais de um sistema global *p a um

sistema local 1p de modo a garantir a compatibilidade de deslocamento na

superposição de efeitos, é dada como

1 11

1 11

sin cos

cos sin

Ix

IIy

pp

pp

θ θθ θ

∗

∗

= − , ou 1 1

∗=p M p (6.4)

onde 11

1

I

II

p

p

=

p é um vetor de parâmetros de força que contém as contribuições

dos modo I e II, respectivamente, atuando simultaneamente na semitrinca 1. Para

a semitrinca 2 basta substituir o subscrito 1( )⋅ pelo subscrito 2( )⋅ nas expressões

acima.

O vetor de parâmetros de força *

**x

y

p

p

=

p é o vetor de variáveis

desconhecidas do problema (graus de liberdade) cujo significado físico resulta

compreensível em comparação com as expressões iniciais propostas por

Westergaard para os modos de fratura I e II (Mamani, 2011).

DBD


60

6.2. Expressões analíticas do campo de tensões

De forma similar à Seção 6.1, a partir da função de tensão 1Φ e suas

primeira e segunda derivadas é obtido o campo de tensões devido aos modos de

fratura I e II (Dumont e Mamani, 2011)

1 11 1 1 12 2

1 1 1 11(0) 1(0)

1 11(0) 1(0) 1(0) 1 1 12 2

1 1 11(0) 1(0)

1 11 1 12 2

1 1 1

1 2Re Im Im Re

1Re Im Re

1Re Re Im

I IIxx xxI IIyy yyI IIxy xy

y y

a a a a

y y

a a a

y y

a a a

σ σσ στ τ

′ ′′ ′ ′′Φ − Φ Φ + Φ ′ ′′ ′′= = Φ + Φ − Φ

′′ ′ ′′− Φ Φ − Φ

σ (6.5)

A expressão geral do campo de tensões que considera a superposição de

efeitos de duas semitrincas opostas é

( )1 1(0) 1 2 2(0) 2∗= +R M R M pσ σ σ , (6.6)

onde 1R é a matriz que transforma o campo de tensões 1(0)σ , orientados segundo

o sistema local de coordenadas (eixo da trinca), ao campo de tensões 1(0)σ

orientados segundo o sistema global de coordenadas

1(0) 1(0)1

1 1(0) 1(0)

1 1(0) 1(0)

2 21 1 1

2 2 11 1 1 1 1 1(0) 1

11 1 1

cos sin sin 2

sin cos sin 2 ,

sin 2 / 2 sin 2 / 2 cos 2

I IIxx xxxx II II

yy yy yy II

I IIxy xy xy

p

p

σ σσ θ θ θσ θ θ θ σ σ

θ θ θτ τ τ

− = = −

R pσ σ (6.7)

6.3. Avaliação numérica do campo de tensões para uma tri nca curva geral

Seja uma trinca curva discretizada com 2n + pontos geométricos,

numerados de 1 a 2n + e formando uma série de 1n + segmentos (campo) como

ilustrado na Figura 20. A curva que representa a trinca é aproximada por n

parâmetros nodais numerados de 1 a n (fonte). Estes parâmetros nodais estão

relacionados às forças de superfície dadas pelas funções complexas de

Westergaard aplicadas como uma sucessão de elementos parcialmente

superpostos.

DBD


61

k=1

k=2 k=3

k=n-1

k=n

i=1

i=2

i=3 i=n+1

i=n+2

i=4 a2

a3

an

point number

element number

...

i=n

length of the semi-crack axis

Figura 20. Ilustração de uma trinca discretizada com n parâmetros nodais (elementos),

1n + segmentos e 2n + pontos geométricos. Para condições de contorno de Neumann, o problema é governado apenas

pela Equação (2.8), onde a matriz H é calculada pela integral da Equação (2.12),

e p é o vetor de forças nodais equivalentes. Após o vetor de parâmetros nodais *p

ser avaliado, os campos de tensões e deslocamentos são facilmente avaliados

mediante as Equações (2.4) e (2.5).

No primeiro exemplo é estudada a trinca da Figura 21a discretizada com

elementos semielípticos, como proposto por Dumont e Lopes (2003) e

generalizado por Dumont e Mamani (2011). A trinca reta de comprimento 2 2a =

está contida no domínio bidimensional infinito, isotrópico e contínuo, e é

submetida a uma tensão normal remota 1yyσ ∞ = , porém somente o modo I é

estudado. A trinca é discretizada com 4, 16, 64 e 256 elementos de forma elíptica,

todos de igual comprimento. As funções de interpolação usadas para o cálculo da

matriz H , ou seja, inu na Equação (2.12) são lineares. Deseja-se analisar o campo

de tensões ao longo da linha tracejada da Figura 21a, que coincide com o eixo de

coordenadas 0x > , cuja origem está na ponta da trinca. A parte esquerda da

Figura 22 mostra os resultados numéricos e analíticos, e a parte direita mostra os

correspondentes erros numéricos calculados pela Equação (5.16). Os valores

numéricos da tensão yyσ são visualmente semelhantes aos valores analíticos,

assim, melhores conclusões podem ser obtidas a partir da análise dos erros. Para

um ponto 0.0001x = bastante próximo da ponta da trinca os erros entre as quatro

discretizações são bem próximos, sendo o melhor resultado 2.10%ε ≈ ± para a

trinca discretizada com 4 elementos. Para um ponto 0.01x = , cem vezes mais

distante que o ponto anterior, o erro com 4 elementos é próximo a 4.00%± , já para

a trinca discretizada com 256 elementos o erro 0.40%ε ≈ ± é menor, em termos

gerais os resultados numéricos convergem à solução analítica somente quando o

DBD


62

ponto em analise é distante da ponta da trinca, porém existe uma natureza

flutuante dos resultados numéricos em torno da solução analítica, pelo qual não é

possível garantir a convergência de tensões num determinado ponto com o

refinamento da discretização.

σyy∞=1

A B

2a 2.0

σyy∞=1

y

x

a) Placa infinita

1 2 3 4 5

Tip elementFace element

Opening

Rotation

Overlap Opening Overlap Opening

A B

b) Trinca reta discretizada com 5 elementos

Figura 21. Trinca horizontal reta em um domínio infinito (Adaptado de Mamani e Dumont, 2015).

Figura 22. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada com elementos de forma elíptica (Adaptado de Dumont e Lopes, 2002; Mamani, 2011).

O segundo exemplo, corresponde à mesma trinca da Figura 21a discretizada

com elementos polinomiais para representar as faces da trinca e elementos mistos

para representar as pontas da trinca, esta discretização é mostrada na parte

superior da Figura 21b para uma trinca reta discretizada com 5 elementos, como

exemplo. Os elementos 2 a 4 correspondem a elementos de face e os elementos 1

e 2 a elementos de ponta. As funções de interpolação usadas no cálculo da matriz

H , ou seja, inu na Equação (2.12) têm a mesma forma da abertura *imu do

correspondente elemento. Os resultados numéricos da tensão yyσ plotados na

parte esquerda da Figura 23 apresentam pequenas diferenças em relação à solução

analítica. Uma analise similar ao exemplo anterior é levada a cabo: para um ponto

de coordenada 0.0001x = o erro 0.50%ε ≈ ± com 64 elementos foi bem melhor

DBD


63

que todas as discretizações, inclusive ao da trinca discretizada com 256 elementos

( 4.50%≈ ). Para o ponto 0.01x = o menor erro 0.90%ε ≈ foi para uma

discretização com 16 elementos e o maior 8.20%ε ≈ para uma discretização de 4

elementos. Apesar destes resultados não serem melhores que os do exemplo

anterior, os resultados da trinca discretizada com elementos mistos parecem ter

uma natureza menos oscilatória do que aqueles que foram obtidos usando somente

elementos elípticos.

Figura 23. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada com elementos combinados de abertura ou deslizamento (Mamani e Dumont, 2015).

O terceiro exemplo é semelhante ao segundo, aos elementos do exemplo

anterior são superpostos elementos para considerar os efeitos da rotação relativa

entre as faces da trinca, como exemplificado na parte inferior da Figura 21b. Em

termos do modo I, estes elementos têm uma parte em abertura e outra em

sobreposição, esta sobreposição existe somente na representação local, no

comportamento global esta sobreposição é eliminada na soma de efeitos com

elementos de abertura (parte superior da Figura 21b). Os resultados numéricos da

Figura 24 são visualmente iguais ao analítico. Os erros para o ponto de

coordenada 0.0001x = estão entre 4.60%± e 6.50%± , os quais não apresentaram

melhoras significativas em relação aos exemplos anteriores. Para o ponto com

coordenada 0.01x = os erros tiveram um melhor comportamento, o erro com 4

elementos foi próximo a 2.70%± e o erro com 256 elementos foi menor a 0.07%± .

A melhor característica dos resultados usando-se elementos de abertura com

rotação é que as flutuações foram radicalmente diminuídas, isto garante a

convergência das tensões em pontos bem próximos da trinca.

DBD


64

Figura 24. Campo de tensões para a trinca da Figura 21 discretizada com elementos combinados de abertura e rotação (Mamani e Dumont, 2015).

Os exemplos demonstraram que a trinca discretizada com elementos mistos

com rotação conduz a um bom comportamento do campo de tensões, garantindo a

convergência para pontos bem próximos à ponta da trinca.

6.4. Avaliação numérica da abertura da trinca

Nesta seção é apresentado o estudo da forma de abertura de uma trinca reta:

uma primeira análise é feita usando-se o método híbrido dos elementos de

contorno e uma segunda análise usando-se o método convencional dos elementos

de contorno.

6.4.1. Abertura de trinca usando o método híbrido dos elem entos do contorno

Para condições de contorno de Neumann, depois de calculado o vetor de

parâmetros nodais *p na Equação (2.8) o cálculo do campo de deslocamentos é

facilmente obtido mediante a Equação (2.5), a menos de uma constante de

deslocamentos de corpo rígido. O problema apresentado é para o estado plano de

deformações.

O primeiro exemplo é para a trinca da Figura 21a, desta vez com a

coordenada 0x = deslocada para coincidir com o centro da trinca. Uma primeira

avaliação é para a trinca reta discretizada com 16 elementos elípticos, na segunda

avaliação numérica a trinca é discretizada com elemento mistos (polinomiais nos

elementos das faces e semielípticas nos elementos das pontas), na terceira

DBD


65

avaliação além de serem considerados elementos mistos para representar a

abertura da trinca são também considerados elementos para representar os efeitos

da rotação relativa entre as faces da trinca. Os resultados são mostrados na Figura

25, onde os valores da abertura foram calculados para 22(1 )

1E

ν− = , de modo a

obter uma abertura unitária da solução analítica no centro da trinca, os valores das

aberturas foram calculados ao longo de 201 pontos igualmente distribuídos no

eixo da trinca. A parte esquerda da Figura 25 mostra a comparação dos resultados

numéricos com o analítico e à direita seus respectivos erros calculados como

( )(max)

% 100%num ana

ana

v v

vε −

= × (6.8)

onde numv e anav representam valores numéricos e analíticos, neste caso (max) 1anav =

é a abertura analítica no centro da trinca. Na parte central da trinca, os piores

resultados numéricos foram dos elementos elípticos ( 10%ε ≈ ± ) e os melhores dos

elementos mistos com rotação ( 0.1%ε ≈ ± ).

a) Forma da abertura

b) Erro relativo da abertura

Figura 25. Abertura da trinca da Figura 21 usando vários elementos de discretização (Mamani e Dumont, 2015).

O segundo exemplo é o estudo da mesma trinca do exemplo anterior, agora

discretizada com 4, 16 e 64 elementos mistos com rotação. Na Figura 26a pode-se

observar que os resultados numéricos coincidem visualmente com os resultados

analíticos, inclusive para a trinca discretizada com 4 elementos. Segundo a Figura

26b a trinca discretizada com maior quantidade de elementos (64) apresenta maior

estabilidade (menor flutuação) do que a trinca discretizada com menor quantidade

de elementos (4 e 16).

DBD


66

a) Forma de abertura


Figura 26. Abertura da trinca da Figura 21 para várias discretizações da trinca (Mamani e Dumont, 2015).

6.4.2. Abertura de trinca usando o método convencional dos elementos de contorno

Uma formulação a partir do método dos resíduos ponderados conduz à

expressão clássica do método dos elementos de contorno dada pela Equação

(Brebbia et al, 1984)

ou mn n mn nH d G t= =Hd Gt , (6.9)

onde d é o vetor de deslocamentos nodais (nos nós 1 até 5 na parte direita da

Figura 21, por exemplo) e t são parâmetros nodais de intensidade de forças de

superfície aplicados nos mesmos nós. A matriz de transformação cinemática H é

exatamente a mesma da Equação (2.8) e a matriz G que realiza um tipo de

transformação de flexibilidade é dada por

*ml im ilG u t d

Γ= = Γ∫G , (6.10)

com deslocamentos *imu dados pelas funções de tensão de Westergaard e as

funções de interpolação com suporte local ilt , que têm a mesma forma da abertura

*imu .

O exemplo numérico estudado é a para a mesma trinca do segundo exemplo

da Seção 6.4.1, porém agora resolvido pelo método convencional dos elementos

de contorno. A Figura 27a mostra os resultados numéricos da abertura da trinca

para discretizações de 4, 16 e 64 elementos igualmente espaçados e seus

correspondentes erros são mostrados à direita. Embora os erros sejam um pouco

DBD


67

maiores do que no método híbrido dos elementos de contorno, no método

convencional os erros apresentam maior estabilidade (menor flutuação).

a) Forma de abertura


Figura 27. Deslocamentos de abertura da trinca reta da Figura 21a (Mamani e Dumont, 2015).

6.5. Fator de intensidade de tensão

Na mecânica da fratura linear elástica, o fator de intensidade de tensão é

usado para estimar o campo de tensões próximo à ponta da trinca. O fator de

intensidade de tensão (K ) define a amplitude da singularidade na proximidade da

ponta da trinca, isto é, tensões próximas à ponta da trinca aumentam

proporcionalmente a K . Além disso, este fator define completamente as

condições da ponta da trinca; se K é conhecido, é possível resolver todos os

componentes de tensões, deformações e deslocamentos como uma função de r e

θ . Este parâmetro K usado para a descrição das condições da ponta da trinca é

um dos conceitos mais importantes na mecânica da fratura (Anderson, 1995).

Soluções fechadas para K têm sido definidas para um número determinado

de configurações simples, para situações mais complexas ele pode ser estimado

através de experimentos ou analises numéricas. Point matching e os métodos de

energia são tradicionalmente usados para avaliar os parâmetros da mecânica da

fratura a partir de análises numéricas. Os fatores de intensidade de tensão em

termos de tensões são formalmente definidos como

0

0

lim 2 ( ,0)

lim 2 ( ,0)

I yyr

II yxr

K r r

K r r

π σ

π σ→

→

=

= (6.11)

DBD


68

O fator de intensidade de tensão pode ser calculado a uma determinada

distância da ponta da trinca, e extrapolado para 0r = . Alternativamente K pode

ser estimado a partir de uma extrapolação da abertura da trinca:

( )

( )

0

0

2lim 2 ,

12

lim 2 ,1

I yr

II xr

K u r

K

r

u rr

µ π πκ

µ π πκ

→

→

=+

=+

(6.12)

A Equação (6.12) tende a ser mais precisa do que a Equação (6.11) devido

ao fato de que os deslocamentos nodais podem ser obtidos com melhor precisão

do que as tensões. No método clássico dos elementos finitos, esta abordagem de

extrapolação precisa de um alto nível de refinamento da malha para obter um

nível razoável de precisão. Por exemplo, para uma análise bidimensional com uma

malha de 2000 graus de liberdade, o método de extrapolação gera tipicamente um

erro em torno de 5%± para IK (Anderson, 1995).

6.5.1. Fator de intensidade de tensão em termos de *p

Os valores de K são diretamente obtidos a partir dos elementos do vetor *p

(dado na Equação (2.8)) que correspondem às pontas da trinca. A expressão

analítica de IK como função de *p é obtida substituindo-se as expressões da

Equação (2.4) na Equação (6.11) e avaliando-se para 0r → , assim

( ) * *( ) ( ) ( )

( )

1

2 3n

I n y n ry nn

aK p p

a

π = +

. (6.13)

Para o modo misto, os fatores de intensidade de tensão IK e IIK num

problema linear elástico bidimensional são dados pela Equação

* *( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

* *( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

sin cos 1cos sin2 3

nI n n n x n rx n

I n n n y n ry nn

aK p p

K p pa

π θ θθ θ

− = + , (6.14)

onde, ( )

( )

*

*

x n

y n

p

p

e *

( )*

( )

rx n

ry n

p

p

são incógnitas primárias do problema, relacionadas à

abertura (ou deslizamento) e rotação. *

( )*

( )

0rx n

ry n

p

p

=

é o caso particular onde as

rotações não são consideradas.

DBD


69

Como exemplo numérico, apresenta-se o estudo da mesma trinca da Figura

21a, cuja solução analítica do fator de intensidade de tensão para o modo I é

IK π= . O estudo aqui apresentado é para a trinca reta discretizada com 1, 4, 16,

64 e 256 elementos. Os resultados são apresentados na Figura 28a, onde uma série

de resultados corresponde à trinca discretizada com elementos de forma elíptica e

a outra à trinca discretizada com elementos mistos com rotação. O fator de

intensidade de tensão IK para a trinca discretizada com um elemento corresponde

à solução analítica, Os resultados numéricos para a trinca discretizada com 256

elementos foram melhores para os elementos elípticos ( 6%≈ ± ) em comparação

com os resultados para elementos mistos com rotação ( 8%≈ ± ), porém não foi

obtida uma regra de convergência em nenhum dos casos.

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1 4 16 64 256

Knu

m/K

ana

Number of elements

Elliptical

Mixed with rotation

a) IK a partir de *p

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1 4 16 64 256

Knu

m/K

ana

Number of elements

HBEM

BEM

b) IK com MHEC e MEC

Figura 28. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura 21, a partir dos parâmetros *p e deslocamentos num ponto de coordenadas 0.01x = − (Mamani e Dumont, 2015).

6.5.2. Fator de intensidade de tensão em termos da abertur a da trinca

O valor numérico da abertura da trinca, pode ser usado para calcular o fator

de intensidade de tensão a partir da Equação (6.12), quando a variável r é

aproximada por r ε= , sendo ε um valor bem pequeno.

Como exemplo numérico apresenta-se a mesma trinca da Figura 21a cuja

solução analítica para o modo I é IK π= , a trinca é discretizada com 1, 4, 16, 64

e 256 elementos mistos com rotação. O cálculo numérico do fator de intensidade é

realizado pelo método hibrido e convencional dos elementos de contorno, cujos

resultados são mostrados na Figura 28b. Os fatores de intensidade de tensão foram

calculados a partir do ponto 0.01r ε= = (sobre o eixo x ). Os resultados melhoram

à medida em que a discretização da trinca é aumentada, não foi obtido um padrão

DBD


70

de convergência, no entanto os melhores resultados foram obtidos usando o

método híbrido dos elementos de contorno.

6.5.3. Fator de intensidade de tensão em termos de tensões

A solução do campo de tensões num ponto em frente à ponta da trinca é

usada para calcular o fator de intensidade de tensão, K é calculado a partir da

Equação (6.11) quando a variável r é aproximada por r ε= , sendo ε um valor

bem pequeno.

Como exemplo numérico apresenta-se a mesma trinca da Figura 21a cuja

solução analítica para o modo I é IK π= , a trinca é discretizada com 1, 4, 16, 64

e 256 elementos mistos com rotação. O cálculo numérico do fator de intensidade

IK foi obtido em três pontos ( 0.1, 0.01 e 0.001r = ) cujos resultados são mostrados

na Figura 29a. Não foi obtido um padrão de convergência, no entanto o melhor

resultado é para 0.01r = , com erros menores que 1%± para discretizações de 64 e

256 elementos.

Outra estimativa do fator de intensidade de tensão poderia ser obtida

calculando-se IK a uma determinada distância da ponta da trinca, e extrapolado

para 0r = .

a) IK relativo a partir de pontos

b) IK a partir da série de Williams

Figura 29. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura 21, a partir de tensões em pontos e por comparação com a série de Williams (Mamani e Dumont, 2015).

6.5.4. Fator de intensidade de tensão por comparação com a série de Williams

Os fatores de intensidade de tensão obtidos diretamente a partir dos

parâmetros *p e a partir das tensões e aberturas num ponto próximo à ponta da

DBD


71

trinca não garantem convergência, diante deste fato procurou-se uma alternativa

para melhorar esses resultados. A solução para o cálculo numérico de K por

comparação com a série de Williams foi inicialmente proposta neste contexto por

Lopes (1998, 2002). A ideia proposta é calcular os n primeiros termos da série de

Williams de forma que a curva correspondente se aproxime o máximo possível da

curva obtida através do método numérico, esta aproximação é realizada

utilizando-se o método dos mínimos quadrados e será explicada a seguir.

De acordo com o método dos mínimos quadrados, o vetor c que contém

os coeficientes dos n primeiros termos da série de Williams, deve ser tal que:

[ ] ( ) [ ] ( ) minTT T

n n− − =c T t T c t (6.15)

onde

Matriz [ ]T .- Cujas linhas armazenam os n primeiros termos da série de Williams

obtidos nos mesmos pontos utilizados para o cálculo das tensões através do

programa computacional.

Vetor c .- Cujos elementos representam os coeficientes dos n primeiros termos

da série de Williams.

Vetor nt .- Que armazena as tensões calculadas através do programa

computacional.

Derivando-se a Equação (6.15) em relação a c e igualando-se a zero ,

chega-se a

[ ] [ ]( ) [ ] ( )1T T

n

−=c T T T t (6.16)

sendo determinados assim os coeficientes dos termos da série.

De acordo com a Equação (3.16), o coeficiente do primeiro termo da série

de Williams está relacionado ao fator de intensidade de tensão, sendo os

coeficientes dos outros termos da série importantes para a representação das

tensões em pontos mais distantes da ponta da trinca.

O exemplo numérico é o mesmo da Figura 21a cuja solução analítica para o

modo I é IK π= . Os resultados numéricos para a trinca discretizada com 1, 4,

16, 64 e 256 elementos mistos com rotação são mostrados na Figura 29b. Nos três

casos apresentados foram calculados os 5 primeiros termos da série de Williams a

partir das tensões calculadas em 10 pontos igualmente espaçados entre os limites

DBD


72

indicados na legenda da Figura 29b. Neste exemplo verificou-se que o fator de

intensidade de tensão converge com a discretização, a convergência é mais rápida

quando a faixa dos pontos onde as tensões são calculadas está mais longe da

trinca, isto acontece somente para este exemplo em particular, pois não existe a

influência de outros contornos no domínio em análise.

DBD


73

7 Formulação para a Simulação da Zona Plástica

7.1. Equações básicas

O modelo numérico é formulado em termos de dois campos. Um campo

interpola deslocamentos no contorno Γ , dado como funções

ao longo de di in nu u d= Γ (7.1)

de dn parâmetros nodais de deslocamentos [ ]dn

nd= ∈d ℝ localizados ao longo de

Γ . Eles têm suporte local e satisfazem as condições de deslocamentos no contorno

como premissa. Um segundo campo interpola tensões elásticas no domínio Ω ,

como mostrado na Equação (7.2), dada como uma série de funções de * dn n=

parâmetros de força * *[ ]dn

mp p= ∈ℝ . Eles têm suporte global e satisfazem as

equações de equilíbrio no domínio, como uma premissa. Eles podem ser soluções

fundamentais em termos de funções de tensão de Westergaard generalizadas ou de

Kelvin. O algoritmo proposto é aplicado à solução de problemas com zonas

plásticas pequenas ao redor das pontas das trincas, distribuídas dentro de um

corpo bidimensional de contorno aberto ou fechado.

O problema numérico é formulado a partir do potencial de Hellinger-

Reissner, baseado no pressuposto de dois campos, como implementado por Pian

(1964) e generalizado por Dumont (1989), conduzindo assim a duas equações

matriciais que expressam condições de equilíbrio nodal e de compatibilidade.

Dumont (2011) mostra que uma simples, e matematicamente consistente forma de

expressar essas equações é em termos de dois princípios de trabalho virtuais

independentes entre si. No entanto, uma vez que a maioria dos problemas da

mecânica da fratura é dada pela condição de contorno de Neumann, a presente

análise é restrita para este caso particular, no qual apenas o principio dos trabalhos

virtuais em termos de deslocamentos é necessário.

DBD


74

Assume-se que a solução particular elástica pijσ que corresponde às forças

de corpo ib é conhecida. O fenômeno elasto-plástico é simulado por meio de um

conjunto de equações globalmente aplicados ao corpo elástico, com uma correção

para as forças do domínio inicialmente desbalanceadas produto das zonas

plásticas, como ilustrado na esquerda da Figura 30. Num determinado instante da

análise numérica, a expressão do campo de tensões no domínio é

e p res p resij ij ij ij ijm m ij ijpσ σ σ σ σ σ σ∗ ∗ ∗= + − = + − (7.2)

onde pijσ é uma solução particular elástica que corresponde às forças de corpo ib e

ij ijm mpσ σ∗ ∗ ∗= é o campo elástico expressado como uma série de soluções

fundamentais ijmσ ∗ multiplicado por parâmetros de força mp∗ , que são as variáveis

desconhecidas. Além disso, o campo de tensões resijσ , para o qual em princípio

não existe expressão analítica, é subtraído para levar em conta a zona plástica. Em

seguida, resijσ que é diferente de zero dentro de um conjunto de subdomínios plΩ ,

em torno das pontas das trincas, e 0resijσ = no domínio complementar plΩ − Ω .

Para forças de tração it aplicadas em σΓ ≡ Γ (condições de contorno tipo

Neumann). O princípio dos trabalhos virtuais de deslocamentos é escrito como

( ) , d d dp res d d dij ij ij i j i i i iu t u b u

σσ σ σ δ δ δ∗

Ω Γ Ω+ − Ω = Γ + Ω∫ ∫ ∫ (7.3)

Isto corresponde a uma formulação inicial de tensões, tal como referido na

literatura técnica. Após substituições de diu e ijmσ ∗ de acordo com as interpolações

assumidas, integrando por partes e aplicando o teorema de Green, a equação

acima torna-se

( )T T T T Tp resδ δ δ∗ ∗− ∗= − +d H p d p p d U d (7.4)

onde

, dpl

res res resn in j ijd u σ∗ ∗ ∗

Ω≡ = Ω∫d (7.5)

é um vetor de deslocamentos nodais, equivalente ao campo de tensões resijσ das

zonas plásticas e

( )dp p pn n in i ij jp p u t nσ

Γ− ≡ − = − Γ∫p p (7.6)

DBD


75

é um vetor de forças nodais equivalentes. A matriz

dmn in ijm jH u nσ ∗

Γ≡ = Γ∫H (7.7)

acaba por ser a mesma matriz potencial do método convencional dos elementos de

contorno (que vem das soluções fundamentais de Kelvin) e [ ] n nmnu

∗ ∗∗ ∗ ×= ∈U ℝ é a

expressão matricial da transformação a partir dos parâmetros de força interna mp∗

introduzidos na Equação (7.2) nos parâmetros de deslocamentos nodais nd da

Equação (7.1).

∗ ∗ =U p d (7.8)

Outra expressão útil obtida a partir da Equação (7.4) (após cancelar Tδd ) é

( )T 1p res∗ − ∗− ∗= − +p H p p F d (7.9)

onde ∗F tem o significado de uma matriz de flexibilidade:

∗ ∗ ∗=F p d (7.10)

Os desenvolvimentos que levam às Equações (7.4)-(7.10) e especialmente

às expressões matriciais de ∗U e ∗F são explicados na próxima seção.

7.2. Derivação do termo residual para o calculo iterativ o

As equações (7.4)-(7.8) são o resultado dos desenvolvimentos a partir da

Equação (7.3)

( )( )( )

,

, ,

, ,

d d d

d d d d

d

p res d d dij ij ij i j i i i i

p d d d res dij ij i j i i i i ij i j

p d pij ij j i ij j ij j

u t u b u

u t u b u u

u

σ

σ

σ σ σ δ δ δ

σ σ δ δ δ σ δ

σ σ η δ σ σ

∗

Ω Γ Ω∗

Ω Γ Ω Ω

∗ ∗

Γ

+ − Ω = Γ + Ω

+ Ω = Γ + Ω + Ω

+ Γ − +

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫

∫ ( ) d dd di i i iu t u b

σδ δ

Ω ΓΩ = Γ +∫ ∫

( )( )

,

,

,

d d

d

d

pl

pl

pl

d res di ij i j

p res dn mn m n n n ij i j

p resn mn m n n n m ij im j

u u

d H p d p p u

d H p d p p p u

δ σ δ

δ δ σ δ

δ δ δ σ

Ω Ω

∗

Ω

∗ ∗ ∗

Ω

Ω + Ω

= − + Ω

= − + Ω

∫ ∫

∫

∫ (7.11)

onde dois termos se anulam devido à condição de equilíbrio ,p

ij j ibσ = em Ω .

Sublinhados e sublinhados duplos são usados para identificar os termos

correspondentes ao longo das transformações. mnH , como definido na Equação

DBD


76

(7.7) para a aproximação de tensões indicadas na Equação (7.2), é a mesma matriz

potencial do método convencional dos elementos de contorno quando são usadas

as soluções fundamentais de Kelvin. Nesse caso, o segundo termo sublinhado na

equação acima mostra que , ,ij j ijm j m im mp pσ σ δ∗ ∗ ∗ ∗= = − , onde imδ é uma função delta

generalizada, geral no domínio aberto. Para soluções fundamentais dadas pela

função de tensão de Westergaard da Equação (4.1), , 0ij jσ ∗ = em Ω . Já que os

parâmetros nodais de força interna mp∗ , referido às soluções fundamentais de

Kelvin ou Westergaard, só se aplicam fora do domínio de interesse Ω , a

expressão de mnH na Equação (7.7) é justificada, com integrais singulares fortes

ou fracas que são tratadas de forma adequada.

σ

ε

Yσ

pεYε

( )ep

p

res

E

E

σ ε ε

σ ε

σ σ

= −

= −

= −

eσ

resσ

Eσ ε=

Iσ

IIσ

O

PP⊥

P≈

Figura 30. Curva tensão-deformação para a análise elasto-plástica em termos de tensões iniciais (esquerda); e superfície de escoamento em termos de tensões principais ( ),I IIσ σ com o estado de tensões representado pelo ponto ( ),I IIP σ σ (Dumont e

Mamani, 2013). Em formato matricial, a ultima linha da Equação (7.11) leva a

( )T T T Tp resδ δ δ∗ ∗ ∗= − +d H p d p p p d (7.12)

O resultado final indicado na Equação (7.11) é obtido após uma

transformação crucial, que tem justificativa variational e auxilia na teoria do

método híbrido dos elementos de contorno (Dumont e Aguilar, 2011). Já que os

deslocamentos diuδ não são dados no domínio, de acordo com a definição da

Equação (7.1), deve-se assumir que dentro de uma faixa de erros numéricos de

discretização

DBD


77

, , emdi j m im ju p uδ δ ∗ ∗= Ω (7.13)

contudo, diuδ corresponde a deslocamentos nodais δ d que tomam parte nas

seguintes transformações e pode ser levada a cabo no contexto do método de

colocação, convencional dos elementos de contorno (Brebbia et al, 1984):

1

T 1 T T 1

δ δ δ δδ δ δ δ

−

− −

= ⇒ = ⇒

= ⇒ =H d G t G H d t

L G H d L t L G H d p (7.14)

onde T 1−=K L G H é definido como um tipo de matriz de rigidez.

Finalmente, uma das equações básicas do método híbrido dos elementos de

contorno,

Tδ δ∗ =H p p (7.15)

que também é obtida como uma segunda variação da Equação (7.12), é

combinada com a Equação (7.14) para chegar a

( )T T 1δ δ∗ − −=p H L G H d (7.16)

Substituindo para δ ∗p , como dado acima, na Equação (7.12), leva à

Equação (7.4), com a matriz de deslocamentos.

( ) 1T 1 T−∗ −=U L G H H (7.17)

A Equação (7.9), que é adequada para o processo iterativo proposto, é

finalmente obtida com a definição da matriz de flexibilidade ∗F :

( )T 1 T∗ ∗ −= =F HU HL G (7.18)

Dependendo da implementação, mesmo que soluções fundamentais de

Kelvin e de Westergaard sejam utilizadas para diferentes partes do contorno, as

inversas indicadas devem ser avaliadas em termos de matrizes particionadas e,

eventualmente recorrer aos conceitos de inversas generalizadas. Em cada iteração

de um determinado passo o contorno da zona plástica deve ser obtido.

7.3. Algoritmo de busca linear para a obtenção da fronte ira plástica

Seja uma função ( )f r definida no intervalo 1 2[ , ]r r r= , onde é garantida uma

solução para ( ) 0f r = . Uma primeira aproximação é o ponto de coordenada 3r , o

DBD


78

qual é dado pela interseção da reta que une os pontos de coordenadas 1 1[ , ( )]r f r e

2 2[ , ( )]r f r com o eixo r . Matematicamente 3r é dado por

2 2 13 2

2 1

( )( )

( ) ( )

f r r rr r

f r f r

−= −−

(7.19)

cuja interpretação geométrica é mostrada na parte esquerda da Figura 31.

f(x)

x x1

x2 x3

Figura 31. Busca linear (Regula-Falsi) e processo de discretização da zona plástica (Adaptado de Dumont e Mamani, 2013).

Dada a função

( , ) ( , )eq Yf x y x yσ σ= − (7.20)

em termos de uma tensão equivalente ( , )eq x yσ (Von Mises, por exemplo) e a

tensão de escoamento uniaxial Yσ , o algoritmo proposto para definir a fronteira

plástica é o seguinte:

Passo 1. Definir os ns setores circulares com centro na ponta da trinca e abertura

2 nsθ π∆ = .

Loop para 1..n ns= (Para cada setor circular)

Passo 2. A partir da Equação (7.20) obter a função de variável r

( ) 1 1cos , sin

2 2f r f r n r nθ θ

= ∆ − ∆ −

.

Passo 3. Definir o intervalo 1 2[ , ]r r de tal forma que 1 2( ) ( ) 0f r f r < . Pode-se

inicializar com 1 0r = .

Loop para 1..k NumMaxIter= (Busca linear)

Passo 4. Calcular 3r pela Equação (7.19), e sua respectiva função 3( )f x

Passo 5. Se 1 3( ) ( ) 0f r f r < então assignar 2 3r r← , caso contrario assignar 1 3r r← .

Passo 6. Se Erro Tolerancia< salvar ( ) 1p nr r= e fim loop k , caso contrario retornar

ao Passo 4.

DBD


79

Fim do loop n .

O contorno da zona plástica está delimitado pelos pontos ( )p nr para 1..n ns= .

Sendo seu equivalente em coordenadas cartesianas cuja origem coincide com a

ponta da trinca

( )

1 1[ , ] cos ,sin

2 2n n p nx y r n nθ θ = ∆ − ∆ −

, para 1..n ns= . (7.21)

7.4. Solução iterativa do problema não linear

A Equação (7.9) é aplicada recursivamente no contexto do algoritmo

seguinte

Passo 0. Dado o vetor de forças nodais equivalentes p−p p , e a primeira

estimativa do vetor residual de deslocamentos nodais equivalentes (0)res∗d (que é

igual a zero para o primeiro incremento de carga), definir 0i = e avaliar

( )T 1(0) (0)

p res∗ − ∗− ∗= − +p H p p F d (7.22)

Passo 1. Para pontos radialmente distribuídos ao redor das pontas da trinca avaliar

as tensões residuais ( 1)resij iσ + dadas a partir da Equação (7.2),

( 1) ( ) ( 1)e p resij i ijm m i ij ij ipσ σ σ σ∗ ∗

+ += + − (7.23)

de tal forma que ( 1)eij iσ + é no máximo igual à tensão de escoamento do

material, de acordo com algum critério de escoamento também tendo-se em conta

o eventual endurecimento do material, como ilustrado na Figura 30.

Passo 2. Avaliar a melhor estimativa do vetor residual de deslocamentos nodais

equivalentes:

( 1) , ( ) ( 1)dpl

res resi in j i ij iu σ∗ ∗+ +Ω

= Ω∫d (7.24)

Passo 3. Avaliar a melhor estimativa do vetor residual de parâmetros nodais de

tensão:

( )T 1( 1) ( 1)

p resi i

∗ − ∗− ∗+ += − +p H p p F d (7.25)

Passo 4. Calcular o erro de convergência ( 1) ( )

( 1)

i i

i

ε∗ ∗

+

∗+

−=

p p

p

DBD


80

Se toleranceε ≤ , a convergência foi atingida. Parar o processo iterativo.

Caso contrário, se i < número máximo de iterações, alocar 1i i← + e ir para o

Passo 1. Caso contrário, interromper o processo com a mensagem de aviso que a

convergência não foi alcançada.

O algoritmo apresentado acima poderia não convergir para valores altos de

p−p p , o qual corresponderia a zonas plásticas grandes, a estimativa inicial

poderia estar bem longe da solução final. Neste caso, o indicado Passo 0

realmente deve corresponder a um nível de carga anterior, para o qual as

Equações (7.2) e (7.9) são satisfeitas como resultado de um ciclo de iteração

anterior. A carga é então incrementada com p∆ − ∆p p , e o algoritmo é aplicado

mais uma vez, assim, sucessivamente até que o nível de carga desejado é

alcançado.

A avaliação de ( 1)resij iσ + na Equação (7.23) para um ponto ao redor da ponta da

trinca exige que a resposta elástica das tensões ( )p

ijm m i ijpσ σ∗ ∗ + e as correspondentes

tensões equivalentes sejam primeiramente obtidas. O critério de Von Mises é

utilizado, o esquema do lado esquerdo da Figura 30 representa uma tensão

uniaxial equivalente σ , indicando que o ponto em análise está dentro da zona de

plastificação. Dada a lei elasto-plástica do material, o ponto ( , )eε σ da curva

tensão-deformação e a tensão residual resσ são obtidas. A avaliação subsequente

de resijσ pode ser levada a cabo através de uma interpolação linear de cada termo

do tensor, para um ponto qualquer da zona plástica, como

( )res

res pij ijm m ijp

σσ σ σσ

∗ ∗= + (7.26)

Isto corresponde a trazer todos os termos do tensor de tensão

proporcionalmente à superfície de escoamento, tal como representado pelo ponto

P≈ no gráfico do lado direito da Figura 30 (superfície de escoamento para estado

plano de tensões e critério de Von Mises), para um ponto de tensão ( ),I IIP σ σ

dado em termos de tensões principais, com o vetor P P≈− interpretado como o

termo residual. Este é o procedimento atualmente implementado. Uma alternativa,

provavelmente mais adequada, consiste em trazer o ponto de tensão ( ),I IIP σ σ

DBD


81

para P⊥ , tal como consta na Figura 30, de modo que P P⊥− é a menor distância de

( ),I IIP σ σ à superfície de escoamento (Simo e Taylor, 1985). Este segundo

procedimento não é tão simples de implementar em comparação com a Equação

(7.26), que deve ser testado em um futuro próximo. São esperados resultados com

maior taxa de convergência especialmente para o estado plano de deformações, o

qual tem uma superfície de escoamento mais alongada da superfície de

escoamento do que no estado plano de tensões.

7.5. Avaliação numérica do termo residual

A avaliação numérica do vetor residual de deslocamentos nodais

equivalentes res∗d , como introduzido na Equação (7.5) e usado no algoritmo da

Seção 7.4, é realizada no sistema polar de coordenadas ilustrado à direita da

Figura 31, de acordo com o resumo do último parágrafo da Seção 7.4 para a

avaliação de resijσ . Para este propósito, o contorno da zona plástica ao redor de

cada ponta de trinca deve ser primeiramente avaliado, utilizando o esquema de

busca linear Regula-falsi mostrado na Seção 7.3, ao longo dos pontos nos

sucessivos setores circulares do sistema local de coordenadas polares para

comparar a tensão equivalente, determinado em função do critério de Von Mises,

com o valor de escoamento do material.

A Figura 32 mostra o padrão de convergência típico do algoritmo para 3 de

36 setores circulares, numa investigação numérica do erro relativo da avaliação do

comprimento radial da zona plástica, para o modo I, problema de estado plano de

deformações de uma trinca reta no domínio aberto submetido a uma tensão

uniaxial remota de 50yy MPaσ ∞ = . A menos que indicado de outra forma, neste e

nos exemplos posteriores, o comprimento da trinca será 2 0.02A m= , o módulo de

elasticidade 210E GPa= , o coeficiente de Poisson 0.3ν = , e a tensão de

escoamento 235Y MPaσ = . O padrão de convergência observado, que é o mesmo,

independentemente do número de elementos usados na discretização da trinca,

pode ser considerado satisfatório.

A Figura 33 apresenta o erro de convergência na avaliação do vetor residual

de deslocamentos equivalentes res∗d , como apresentado na Equação (7.5), para um

DBD


82

número diferente de setores circulares (direção angular do lado direito da Figura

31), utilizando-se como valor alvo o resultado numérico com 64 setores. O

problema é o mesmo do parágrafo anterior com oito pontos de Gauss na direção

radial e um elemento de trinca no gráfico à esquerda e 16 elementos de trinca à

direita. Uma análise semelhante de convergência (também para um e 16

elementos de trinca na discretização) é feita na Figura 34 para um número variável

de pontos de Gauss na direção radial, utilizando como valor alvo o resultado com

32 pontos. São usados 16 elementos de trinca na discretização. A convergência da

quadratura numérica na direção radial parece merecer uma melhora, dado que há

um termo afetado por r , que não pode ser tratado com precisão em termos de

Gauss-Legendre. Uma vez que este termo pode ser avaliado analiticamente, esta é

uma das mudanças numéricas de implementação para ser introduzida numa

próxima oportunidade.

Figura 32. Estudo de convergência para a avaliação da zona plástica, em termos de regula-falsi, para três setores angulares, como mostrado na parte direita da Figura 31 (Dumont e Mamani, 2013).

4

8

16

32

1.E-07

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

4

Inte

grat

ion

erro

r

Number of sectors along 360 °

4

8

16

321.E-091.E-081.E-071.E-061.E-051.E-041.E-031.E-021.E-011.E+00

4

Inte

grat

ion

erro

r

Number of sectors along 360 °

Figura 33. Convergência na avaliação do vetor residual de deslocamentos equivalentes * resd , como introduzido na Equação (7.5), para 1 (esquerda) e 16 elementos de trinca e

um número crescente de setores (direção angular) (Dumont e Mamani, 2013).

DBD


83

1

2

4

8

161.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1 10

Inte

grat

ion

erro

r

Number of radial Gauss points

1

2

4

8

16

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1 10

Inte

grat

ion

erro

r

Number of radial Gauss points

Figura 34. Estudos de convergência para a avaliação do vetor residual de deslocamentos equivalentes * resd , como introduzidos na Equação (7.5) para 1 (esquerda) e 16 elementos de trinca e diferentes números de pontos de Gauss na direção radial (Dumont e Mamani, 2013).

7.6. Simulação confiável do campo de tensões ao redor da ponta da trinca

O uso das funções de tensão de Westergaard como soluções fundamentais já

foi demonstrado, levando a resultados globais precisos para estruturas elásticas

bidimensionais, para superposições de trincas elípticas retas (Lopes, 1998, 2002;

Dumont e Lopes, 2003) ou, mais precisamente para trincas curvas, trincas semi-

elípticas (Mamani, 2011; Dumont e Mamani, 2011), como descritos na Seção 4.

As referências anteriores também demonstraram que os problemas de domínios

limitados podem ser simulados pela combinação de funções de tensão de

Westergaard para trincas e entalhes com soluções fundamentais de Kelvin para o

caso geral e para os efeitos de campos distantes.

No entanto, a alta precisão ou representação realística do estado de tensões

ao redor da ponta da trinca é ainda uma questão em aberto, uma vez que não foi

convincentemente abordada na literatura técnica. Então, ao invés de tentar

executar e apresentar resultados relacionados com geometrias e condições de

carga complicadas, o que é quase simples de implementar no esquema proposto, é

aconselhável aplicar estes desenvolvimentos para o problema mais simples na

literatura, ou seja, o caso de uma simples trinca reta num domínio bidimensional

aberto submetida a uma tensão constante uniaxial ou biaxial no campo distante.

Neste caso, a solução proposta por Westergaard é exata para materiais elásticos

homogêneos e isotrópicos, mas não para a simulação correta das zonas plásticas.

Os seguintes exemplos numéricos abordam inicialmente o estado elástico ao

redor da ponta da trinca no contexto proposto por Dumont e Mamani (2011), ou

seja, usando somente elementos de forma semielíptica, a fim de mostrar quão

DBD


84

complicado o problema realmente é. Posteriormente é investigada a formação da

zona plástica, com resultados que podem ser avançados, mas ainda não

conclusivos no sentido de que a convergência não pode ser garantida para uma

tolerância de erro arbitrariamente pequena.

A Figura 35 mostra a partir do topo as tensões xxσ , yyσ e as tensões

equivalentes de Von Mises σ ao longo do eixo vertical no intervalo

4 4( 10 ,10 )y m m− −= − , localizada 410 m− à direita da ponta da trinca, para a mesma

trinca do problema apresentado na Seção 7.5, elasticamente analisadas para várias

discretizações da trinca. O resultado com um elemento de trinca ( 1ne = ) é, para

este problema simples, a solução analítica. À direita estão os erros

correspondentes. Todos os valores são dados para 51 pontos distribuídos ao longo

da linha vertical. Embora relevante na composição da tensão equivalente, a tensão

de cisalhamento não é apresentada nos gráficos. Uma representação similar é

mostrada na Figura 36, mas desta vez para a linha vertical 2 2( 10 ,10 )m m− −− 100

vezes maior, também localizado somente 410 m− à direita da ponta da trinca, para

as mesmas discretizações da trinca. Devido às diferentes escalas, o

comportamento da tensão mostrado na Figura 35 não pode ser resolvido como

parte dos gráficos da Figura 36. No entanto, ambas as representações mostram que

não existe convergência monotônica do estado de tensões em relação à solução

analítica, pois ocorrem algumas flutuações fortes. Elas são neste caso introduzidas

artificialmente, devido às discretizações adotadas, que podem influenciar

drasticamente no tamanho e na forma da zona plástica. Uma melhor estimativa do

campo de tensões poderia ser obtida a partir do uso de elementos mistos, como

mostrado na Seção 6.3, e cujo desenvolvimento na avaliação da zona plástica será

apresentado num trabalho futuro.

DBD


85

Figura 35. A partir do topo: tensões xxσ , yyσ e a tensão equivalente de Von Mises eqσ

(em MPa) ao longo do eixo vertical ( )4 410 ,10y m m− −= − localizada a 410x m−= à direita

da ponta da trinca, para varias discretizações da trinca, com seus correspondentes erros na parte direita (Dumont e Mamani, 2013).

Figura 36. A mesma representação de tensões da Figura 35 dada uma reta vertical 100 vezes maior (Dumont e Mamani, 2013).

DBD


86

A Figura 37 mostra os contornos das zonas plásticas para o mesmo

problema de trinca da Seção 7.5 obtida para estado plano de deformações

(esquerda) e estados plano de tensões (direita) de uma análise puramente elástica

(o primeiro passo do algoritmo da Seção 7.4). O contorno é feito de 32 segmentos

angulares para o algoritmo de busca regula-falsi explicado na Seção 7.3. Para este

problema simples, o resultado com 1ne = elemento de trinca é a analítica. Como

esperado, o contorno para o estado plano de deformações é menor do que para o

estado plano de tensões, esta diferença é mais acentuada na direção local x. Os

resultados com 1ne > não mostram um padrão claro de convergência, embora

alguma precisão possa ser obtida para 16ne = . Os resultados com um número

maior de elementos de trinca são influenciados pelas singularidades locais dos

elementos de trinca na vizinhança das pontas. Isto pode ser visto para 64ne = e

particularmente para 256ne = . Nesta última discretização, os dois pontos nodais

mais próximos da ponta da trinca estão localizados a 40.78125 10x m−= − × e

30.15625 10x m−= − × . Então, embora um número crescente de elementos de

trinca leva a uma melhor representação do problema, para condições gerais de

carregamento e geometria, a introdução de singularidades locais deterioraram o

campo de tensões nas imediações das pontas dos elementos de trinca. Elementos

de trinca com outras formas diferentes às semi-elípticas estão sendo testadas (ver

Seção 4), com resultados satisfatórios tanto globais quanto locais, porém sem

melhora significativa do processo iterativo e da convergência.

Figura 37. Contornos de zona plástica obtidos elasticamente para o estado plano de deformações (esquerda) e o estado plano de tensões (Dumont e Mamani, 2013).

DBD


87

7.7. O problema não-linear: testes e problemas de conver gência

A Figura 38 apresenta os contornos da zona plástica para o mesmo

problema plano da Seção 7.5, discretizado com 1ne = elemento de trinca,

submetido a uma tensão uniaxial remota 0.1yy Yσ σ= aplicada numa única etapa (à

esquerda), bem como em cinco etapas (direita), de acordo com o algoritmo da

Seção 7.4, o que demonstra a total coerência de resultados dentro do erro de

convergência. O menor contorno no lado esquerdo (para 0iter = ) é a primeira

avaliação elástica. Todos os outros contornos correspondem aos resultados

obtidos após a convergência do algoritmo não linear (11 iterações necessárias para

o contorno na esquerda, por exemplo).

A Figura 39 mostra os resultados de uma investigação semelhante ao

anterior paragrafo, exceto que são utilizados 16ne = elementos de trinca e a

tensão uniaxial remota é 0.01yy Yσ σ= . A razão pela qual foi aplicada uma menor

carga é que a convergência não pode ser alcançada com o algoritmo formulado na

Seção 7.4, onde a zona plástica é bem maior em comparação com o elemento de

trinca. A coerência dos resultados está verificada.

A Figura 40 mostra os contornos da zona plástica para o mesmo problema

plano de deformações da Seção 7.5, discretizado com vários elementos de trinca e

submetidos a uma tensão uniaxial remota 0.01yy Yσ σ= , obtido por um material

perfeitamente elasto-plástico (esquerda), assim como por um material com

endurecimento linear de rigidez 5E (direita). As zonas plásticas são maiores para

um número maior de elementos de trinca. O contorno obtido apenas em termos de

tensões elásticas, como discutido nos casos da Figura 37, também é indicada. Para

este nível de carregamento pequeno, o contorno obtido elasticamente para 1ne = ,

que é o resultado exato, é dificilmente discernível do contorno plástico final

obtido depois de apenas duas iterações.

DBD


88

Figura 38. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com 1ne = , carregamento uniaxial remoto de 0.1yy Yσ σ= , aplicado em um

passo (esquerda) e em 5 passos (Dumont e Mamani, 2013). O mesmo problema apresentado acima é também mostrado no lado

esquerdo da Figura 41 para um material elasto-plástico com a curva tensão-

deformação, quando Yσ σ≥ , adaptada a partir da relação de Ramberg-Osgood

(Ramberg e Osgood, 1943), em termos de tensões e deformações equivalentes

( ) 11

n

Y Eε α σ σ σ− = +

, onde α e n são parâmetros do material a ser obtidos

experimentalmente, além de E e Yσ . O valor usual para n é 5, adotado aqui. A

curva representada pela equação acima não tem um ponto de escoamento Yσ

claro. Em tal caso, o coeficiente α pode ser avaliado para resultar num

deslocamento do escoamento de 0.2% da deformação:

0.002 0.002Y YE Eα σ α σ= ⇒ = . Uma vez que um limite elástico claro é

necessário na presente aplicação, a relação de Ramberg-Osgood é adaptada como

for , and 1 1 forn

YY Y

YE E

σσ σ σε σ σ ε α σ σσ σ

= ≤ = + − ≥

(7.27)

pela subtração do efeito do escoamento na relação tensão-deformação para

Yσ σ≥ . Isto é mostrado à direita da Figura 41. Os resultados são semelhantes aos

mostrados na Figura 40.

DBD


89

Figura 39. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com 16ne = , carregamento uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= , aplicado em um

passo (esquerda) e em 5 passos (Dumont e Mamani, 2013).

Figura 40. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com vários elementos, carregamento uniaxial remoto de 0.01yy Yσ σ= , para

um material elasto-plástico perfeito (esquerda) e para um material elasto-plástico bi linear com rigidez de endurecimento de 5E (Dumont e Mamani, 2013).

DBD


90

100

200

300

0.005 0.01 0.02

235

σ

ε

Figura 41. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com vários elementos de trinca, carregamento uniaxial remoto de

0.01yy Yσ σ= (esquerda), como obtida por um material elasto-plástico (direita) com uma

curva tensão-deformação não-linear para Yσ σ≥ , dado de acordo com a relação de Ramberg-Osgood (tensões em MPa) (Dumont e Mamani, 2013).

A Figura 42 apresenta os contornos da zona plástica medidos ao longo dos

eixos horizontal (esquerda) e vertical (direita) a partir da ponta da trinca, avaliados

elasticamente (primeira iteração do algoritmo) para 16ne = elementos de trinca,

tanto para estado plano de deformações como estado plano de tensões, para a

placa trincada introduzida na Seção 7.5, com a tensão uniaxial remota remota

aplicada até 80% do limite elástico. O valor da zona plástica ao longo do eixo x

progride rapidamente com o carregamento aplicado para o problema plano de

tensão, tornando assim áreas de plásticação maiores do que no caso de

deformações planas, como já foi visto na Figura 37.

Figura 42. Zona plástica elasticamente calculada para vários níveis de carregamento remoto obtidos com 16ne = elementos de trinca, medidos ao longo de 0y = (esquerda)

e 0x = (direita) (Dumont e Mamani, 2013).

Gráficos semelhantes são mostrados na Figura 43 para simulações com

apenas 1ne = elementos de trinca e níveis de carga que aumentam só até 12% do

DBD


91

limite de elasticidade, no caso de deformações planas. Ambas as zonas plásticas

elasticamente e plasticamente avaliadas (estes últimos são obtidos após a

convergência do algoritmo da Seção 7.4) são dadas ao longo dos eixos horizontal

e vertical, para comparação. Simulações com 16ne = elementos de trinca

resultam em valores maiores (e mais precisos) da zona plástica, mas a

convergência pode ser alcançada apenas para baixos níveis de carga. Pode-se

concluir a partir dos resultados mostrados na Figura 43 bem como de outras

simulações mais gerais que as atuais (isto é, plasticamente avaliadas) zonas

plásticas evoluem muito rapidamente com o aumento dos níveis de carga, o que

pode explicar a falta de convergência do algoritmo proposto quando a carga

aplicada é alta. No entanto, é possível também que as tensões são superestimadas

em pontos muito próximos das pontas da trinca, singularidades artificiais são

introduzidas pelo modelo numérico, como mostrado na Figura 35, Figura 36 e

Figura 37, já discutidos. Esta é uma questão em aberto, a ser investigada no futuro

próximo. Algumas avaliações preliminares da zona plástica usando os elementos

combinados da Seção 6.3 para discretizar a trinca foram feitas, embora

apresentaram algumas melhoras do campo elástico de tensões não houve melhora

significativa na convergência do processo iterativo.

Figura 43. Zona plástica elasticamente e plasticamente calculada para vários níveis de carregamento remoto obtidos com 1ne = elementos de trinca, medidos ao longo de

0y = (esquerda) e 0x = (Dumont e Mamani, 2013).

7.8. Considerações finais no cálculo da zona plástica

Os elementos de ponta da trinca implementados fornecem um meio simples

e poderoso para a descrição do campo de tensões ao redor da ponta da trinca.

Algumas melhorias tornaram-se obrigatórias a partir das investigações

preliminares descritas no presente trabalho quanto em relação ao comportamento

local de plastificação. As trincas semielípticas, que parecem eficientes para a

DBD


92

descrição do campo de tensões ao redor das pontas da trinca, devem ser

combinadas com elementos de trinca de diferentes formas como mostrada na

Seção 6.3, por exemplo, de modo que as singularidades artificiais de tensão

possam ser evitadas ou minimizadas.

As integrações na direção radial ao longo dos setores angulares exigem a

introdução de r funções de peso que podem ser avaliadas analiticamente. Uma

possível conclusão, é que, para as grandes zonas de plastificação, erros de

arredondamento podem se originar a partir do fato de que a carga é incrementada,

eijσ na Equação (7.23) torna-se a diferença de dois termos muito grandes para

0r → , enquanto que o termo residual res∗d na Equação (7.24), que, por definição

é o resultado de uma integral imprópria, é avaliada de forma imprecisa, o que

impede a ∗p na Equação (7.25) convergir como as iterações sucessivas.

O procedimento iterativo proposto para a avaliação das zonas plásticas

converge de forma satisfatória quando o contorno de plastificação é pequeno em

comparação com o comprimento do elemento usado para representar a ponta da

trinca, outra causa desta divergência poderia ser o fato de trazer todos os termos

do tensor de tensões proporcionalmente à superfície de escoamento ao invés de

trazer o ponto de tensão ( ),I IIP σ σ para P⊥ , tal como mostra a Figura 30, de

modo que P P⊥− seja a menor distância de ( ),I IIP σ σ à superfície de escoamento

(Simo e Taylor, 1985).

Uma técnica de linearização do problema não linear apresentado por

Fernandes e Souza Neto (2013) poderia também ser estudado quando aplicado ao

contexto deste trabalho. A solução é obtida a partir do operador tangente

consistente aplicado a um problema não linear do método dos elementos de

contorno.

DBD


93

8 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros

8.1. Conclusões

O principal objetivo do presente trabalho é apresentar e validar os conceitos

básicos de uma formulação geral que visa à adequada estimativa numérica do

campo de tensões e deslocamentos em um domínio bidimensional com presença

de trincas, considerando, inclusive a formação de zonas plásticas ao redor das

pontas das trincas.

Como primeiro passo, para demostrar a validade da formulação foi

apresentado um problema de potencial em uma placa fina contendo um furo, onde

a formulação proposta demostrou ser mais eficiente do que a solução dada por

Dumont e Mamani (2011), a formulação também demonstrou ser mais eficiente

das soluções fundamentais tipicamente usadas nos métodos de elementos de

contorno. Apesar dos melhores resultados obtidos, a formulação proposta não

pretende substituir soluções fundamentais clássicas como a solução fundamental

de Kelvin para o caso de elasticidade, a qual além de geral é mais simples.

Foi intensamente estudada a forma da abertura de uma trinca reta em um

meio infinito para vários tipos e números de discretizações, demonstrando-se que

a abertura da trinca é mais bem representada por elementos mistos com rotação,

isto é, usando elementos polinomiais (Polinômios de Hermite) para representar os

elementos das faces da trinca, elementos elípticos para as pontas da trinca, e

elementos que consideram a rotação relativa entre as faces da trinca. Também

foram feitos estudos do campo de tensões próximo à ponta da trinca, os elementos

propostos (elementos mistos com rotação) além de não introduzir tensões

desnecessárias garantem a convergência das tensões em pontos próximos à ponta

da trinca.

O fator de intensidade de tensão IK também foi estudado. Quando IK é

obtido diretamente a partir das variáveis primarias do problema, ou seja, a partir

do vetor *p , os erros de IK para a trinca discretizada com 64 elementos são

DBD


94

próximos a 8%± , não foi obtido um padrão de convergência. Um procedimento

mais elaborado para o cálculo do fator de intensidade de tensão é calculando IK a

partir das tensões ou aberturas medidas em pontos próximos à ponta da trinca, os

erros de IK para a trinca discretizada com 64 elementos atingiram valores de

2%± . O cálculo de IK por comparação com a série de Williams apresentou

melhores resultados, por exemplo, para a trinca discretizada com 64 elementos foi

possível obter erros em torno de 1%± , usando-se 10 pontos localizados entre

0.01..0.1x = .

O procedimento iterativo para a avaliação das zonas plásticas converge de

forma satisfatória quando o contorno de plastificação é pequeno em comparação

com o tamanho do elemento usado para representar a ponta da trinca, para zonas

plasticas maiores o algoritmo diverge. Foi verificado preliminarmente que o fato

de trazer todos os termos do tensor de tensões ( ),I IIP σ σ proporcionalmente à

superfície de escoamento, ao invés de trazer ( ),I IIP σ σ para o ponto P⊥ como

esquematizado na Figura 30 não é uma fonte significativa de divergência em

zonas plásticas de maior tamanho. A técnica de linearização a partir do operador

tangente consistente apresentado por Fernandes e Souza Neto (2013) também

poderia ser estudada quando aplicada ao contexto deste trabalho. Abordagens

alternativas ao uso da matriz de flexibilidade F no processo iterativo também

devem ser levadas em conta para trabalhos futuros.

A eficiência dos métodos de elementos de contorno aplicados à mecânica da

fratura e a boa representação da natureza das trincas por meio das funções de

tensão de Westergaard generalizadas foi demonstrada no presente trabalho,

visando um grande potencial no cálculo numérico da mecânica da fratura.

8.2. Sugestões para trabalhos futuros

No presente trabalho foram apresentados exemplos simples de validação.

Para trabalhos futuros propoe-se a implementação e análise de problemas da

mecãnica da fratura mais complexos, similar aos exemplos apresentados por

Dumont e Lopes (2003) e Mamani (2011), os quais incluem problemas da

DBD


95

mecanica da fratura com complicações topologicas como dominios finitos, furos,

reentrâncias e quinas.

O estudo da técnica de linearização a partir do operador tangente consistente

apresentado por Fernandes e Souza Neto (2013) aplicado ao contexto deste

trabalho é proposto para um trabalho futuro.

O estudo de procedimentos alternativos baseados em operadores tangentes

ao invés do uso da matriz de Flexibilidade no cálculo iterativo das zonas plásticas.

Outra sugestão para trabalhos futuros é o desenvolvimento da formulação

para problemas de trincas com bifurcações, e possivelmente como um caso

particular o estudo de trincas de bordo.

Uma maior abordagem das funções de tensão de Westergaard generalizadas

como solução fundamental no método convencional dos elementos de contorno.

Generalização da formulação para problemas dependentes do tempo,

especificamente problemas no domínio da frequência.

Desenvolvimento de funções de tensão para problemas tridimensionais.

DBD


96

9 Referências Bibliográficas

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DBD


101

10 Apêndice

10.1. Estudo do comportamento das funções de tensão na or igem da trinca

10.1.1. Semitrinca de forma elíptica

O estudo das funções de tensão de forma semielíptica também foi tratado

por Dumont e Mamani (2011).

As Equações (4.5) a (4.7) são reescritas aqui por conveniência

( )2 22

11 1

1

1 1

1 ln 1 1( ) ln

2

1

2 2 4

1Z ZZ ZZ Z

ππ π

− − −− −

−Φ −+=

− (7.28)

( )21

2 21

111

11

1

ln 1 1( ) ln

22

1 1

41 2 1

ZZZ Z

Z

Z

Z Z ππ π′Φ =

− − −− −

−−

− (7.29)

( )( ) ( )

21

3/22 2 221

1

1

13 2

1 1

ln 11( ) ln

2 ) 22

1 1

(1 11

Z

Z ZZ

ZZZ

π ππ

− − −+

− −−′′Φ = − , (7.30)

Para o estudo de 1 0Z → , as Equações acima são convenientemente

expressas como

( )1 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Z+Φ = Φ Φ (7.31)

( )1 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Z′ ′ ′Φ = Φ + Φ (7.32)

( )1 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Z′′ ′′ ′′Φ = Φ + Φ (7.33)

onde as partes ln e reg são dadas por:

1

21( )

1

2ln ZZ

πΦ = −

−,

( )2 21 1

11

1 1 ln( )

2

1

4

1reg

Z Z ZZ

π

− − − − −−−Φ = (7.34)

11 2

1

(2 1

)ln

ZZ

Zπ′ =

−Φ ,

( )21 1

1 211

ln 1( )

2

1 1 1

2 41reg

Z ZZ

ZZ ππ

− − −−

−′ − −Φ = (7.35)

DBD


102

1 3 221

1( )

2 (1 )ln ZZπ −

′′Φ = , ( )

( ) ( )21

1 3/2 2 221 11

( )22

ln 1 1 1

11reg

ZZ

Z ZZ ππ′′Φ =

−+−

− −

−− (7.36)

As Equações (7.31) a (7.33) necessitam de integrações especiais para avaliar

a parte ( )1ln Z . Os termos 11 Z na Equação (7.35) e 211 Z na Equação (7.36) são

cancelados na superposição de efeitos de duas semitrincas em problemas tanto de

potencial quanto de elasticidade.

Os termos principais da Equação (7.31) para 1 0Z = (isto é, termos que são

diferentes de zero) são,

( ) ( )( )2

1

1 10

1

1 11lim 1 ln 2 ln csgn

2r

i ZZ i

Zπ

π→

+ − Φ = − + − +

(7.37)

( ) ( )( )1 10

1limRe ln 1 ln 2

2rr a

π→Φ = − + − (7.38)

11 1

10

11 1

for 2limIm

for 22

r

π θ θ θ θ θ ππ

π θ θ θ π θ θ ππ

→

− + ≤ ≤ +Φ = − − + + < < +

(7.39)

onde existe uma singularidade do tipo ( )ln r em ( )1Re Φ quando r tende a 0 e não

existem singularidades em ( )1Im Φ .



10

1

1 1lim

2 4r Zπ′

→Φ = − − (7.40)

( )1 11

0

cos 1limRe

2 4r

a

r

θ θπ

′

→

−Φ = − − (7.41)

( )1 11

0

sinlimIm

2r

a

r

θ θπ

′

→

−Φ = (7.42)

onde existem singularidades do tipo 1 r tanto em ( )1Im 'Φ como em ( )1Re 'Φ .



1 201

1lim

2r Zπ′′

→Φ = (7.43)

DBD


103

( ) 21 1

1 20

cos 2 2limRe

2r

a

r

θ θπ

′′

→

−Φ = (7.44)

( ) 21 1

1 20

sin 2 2limIm

2r

a

r

θ θπ

′′

→

−Φ = − (7.45)

onde existem singularidades de 21 r tanto em ( )1Im ''Φ quanto em ( )1Re ''Φ .

A maioria destas singularidades se cancelam com a superposição de efeitos

de duas semitrincas opostas quando alguma interpretação física é dada (problemas

de potencial ou elasticidade, por exemplo).

10.1.2. Semitrinca de forma polinomial


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3 21 1 1 1 1 1

1 11

1 3 2 1 3 2 5 12 12ln ln 1

2 2 12( )

Z Z Z Z ZZ ZZ

Z

π π π− + − + + −

− −Φ − += (7.46)

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 111 1 1

11

3 1 3 1 1 1ln l' ( n 1 3 6

2)

Z Z Z ZZ Z Z

ZZ

π π π− −

− − − + −Φ

=

(7.47)

( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 2

1

3 1 2 1 2 1 6ln l

3'' ( n 1)

2

Z ZZZ Z

Zπ π π π− −

− − + +Φ = (7.48)

Para 1 0Z = as Equações acima são convenientemente expressas como

1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Zξ +Φ = Φ Φ (7.49)

1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Zξ′ ′ ′Φ = Φ + Φ (7.50)

1 1 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Zξ′′ ′′ ′′Φ = Φ + Φ (7.51)

onde a parte ln e reg estão dadas por:

( )2 31 1

1

1 3(

2)

2ln

Z ZZ

π− +

−Φ = , ( ) ( ) ( )2 3 2

1 1 1 1

1 1

1 3 2 5 12 12ln 1

2 12( )reg

Z Z Z ZZ Z

π πΦ =

− + + −− − (7.52)

( )1 11( )

3 1ln

Z ZZ

π′Φ =

−,

( ) ( )1 11 1 1

1

3 1 1 1ln 1 3 6( )

2reg

Z ZZ Z Z

Zπ π′Φ

− − − − += −

(7.53)

( )11

3( )

1 2ln

ZZ

πΦ =

−′′ ,

( ) ( )11 1 2

1

3(

1 2 1 6ln 1

2)reg

ZZ Z

Zπ π π−′′ − −= +Φ + (7.54)

As Equações (7.49) a (7.51) necessitam de integrações especiais para avaliar

a parte 1ln Z . Os termos 11 Z na parte regular da Equação (7.53) e 211 Z na parte

DBD


104

regular da Equação (7.54) se cancelam quando duas semitrincas são superpostas

em problemas de potencial e elasticidade.

Os termos principais de 1Φ para 1 0Z = são

( )1

1 101

1lim 5 6ln 6

12Z

iZ i csgn i

Zπ

π→

Φ = − + + −

(7.55)

( ) ( )( )1

1 10

1lim Re 5 6ln 6ln

12Zr a

π→Φ = − + − (7.56)

1

11 1

10

11 1

2lim Im2

2

Z

for

for

π θ θ θ θ θ ππ

π θ θ θ π θ θ ππ

→

− + ≤ ≤ +Φ = − − + + < < +

(7.57)

não existem singularidades em ( )1Im Φ entretanto existe uma singularidade ( )ln r

em ( )1Re Φ .

Os termos principais de 1′Φ para 1 0Z = são

11

01

1 3lim '

2 2Z Zπ π→Φ = − − (7.58)

( )1

1 11

0

cos 3lim Re '

2 2Z

a

r

θ θπ π→

−Φ = − − (7.59)

( )1

1 11

0

sinlim Im '

2Z

a

r

θ θπ→

−Φ = (7.60)

existem singularidades do tipo 1 r tanto em ( )1Im Φ quanto em ( )1Re Φ .

Os termos principais de 1′′Φ para 1 0Z = são

( )1

11 20

11

3ln1 6lim '' 3 sgn

2Z

Z iic i

ZZ π ππ→

Φ = + + − +

(7.61)

( ) ( ) ( )( )1

211

1 20

3 2 ln lncos 2 2lim Re ''

2Z

r aa

r

θθππ→

+ −−Φ = + (7.62)

( ) ( )

( ) ( )1

21 1

1 12

1 201 1

1 12

1

1

sin 2 2 3

2lim Im ''

sin 2 2 32

2

Z

afor

r

afor

r

θ

θ

θ π θ θθ θ θ π

ππθ π θ θ

θ π θ θ πππ

→

− − +− − ≤ ≤ +

Φ = − − − +− − + < < +

(7.63)

há singularidades do tipo 21 r e ( )ln r em ( )1Re Φ e 21 r em ( )1Im Φ .

Algumas singularidades desaparecem com a superposição de duas

semitrincas opostas quando uma interpretação física é dada.

DBD


105

10.1.3. Semitrinca de rotação adjacente à ponta da trinca


( )2 22

1 1 1 21

1 11 1 1

1 ln 1( ) ln

2

1

2 8 4

1

2

1 ZZ Z ZZZ

ZZ

Z

ππ π

− − − −− +

−Φ = − −+ (7.64)

( ) ( )22 1

21

2 21

1

1

1

11

2 12 1 1( ) ln

22 2

ln 1 1

1 1

ZZ ZZ Z

Z

Z Z ππ π

−−′Φ = −− − −

− −− −

(7.65)

( ) ( ) ( )( ) ( )

22 31

1 1 12 3/2 221 1 1

221 11 1

1 1

1

3 2

ln 1 1 1 2

(

2 32 3( ) ln

2 ) 221 11

Z Z Z Z

Z Z ZZ

Z ZZ ZZ Z

π ππ ππ

−− − −′

− − − + ++

−=

− −′Φ − (7.66)


expressas como

( )1 11 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln rega aZ Z Z ZΦ = Φ + Φ (7.67)

( )1 1 11 11( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z a Za′ ′ ′Φ = Φ + Φ (7.68)

( )1 1 1 11 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Za a′′ ′′ ′′Φ = Φ + Φ (7.69)

onde as funções de tensão são multiplicadas por 1a para garantir que o ângulo de

abertura seja sempre unitário, as partes ln e reg são dadas por:

21 1

1( )2

1ln

Z ZZ

πΦ

−= − ,

( )2 21

11 21 1

1

1 ln 1 1 1( )

2 8 4reg

Z Z Z Z ZZ

π

− − −−Φ + −

− −= (7.70)

21

1 21

2 1( )

2 1ln

ZZ

Zπ−′Φ−

= , ( ) ( )2

1

21

21

11

ln 12 1 1( )

1

212reg

Z

Z

Z ZZ

ππ

− − − −− −

−′Φ = − (7.71)

( )21 1

3 21 21(

2 3( )

2 )1ln

Z ZZ

Zπ−

−′′Φ = ,

( ) ( )( ) ( )

22 31

1 1 11 3/2

2

221 1

1 1

1

2 3( )

22

ln 1 1 1 2

11reg

Z Z Z Z Z ZZ

Z ZZ

π πππ

− − − − − + ++

−−

−′′Φ = − (7.72)

as Equações (7.67) a (7.69) induzem a integrações especiais para avaliar a parte

( )1ln Z .


10

1lim8r

a→

Φ = (7.73)

DBD


106

11

0limRe

8r

a→

Φ = (7.74)

10

limIm 0r →

Φ = (7.75)

neste caso não existem singularidades.


( ) ( )1

21 1

1 101

ln 2 ln 11 1lim ' sgn

2 2 2Z

Z i i Za ic

Zπ π π→

+ − Φ = − − +

(7.76)

( ) ( )( )1

11

10

2lim Re ' 2 ln ln2Z

ar a

π→Φ = − + − (7.77)

( )

( )1

1 11 1

101 1

1 1

for 2lim Im '

for 22

Z

a

a

π θ θθ θ θ π

ππ θ θ

θ π θ θ ππ

→

− +≤ ≤ +Φ =

− − + + < < +

(7.78)

existe uma singularidade ( )ln r em ( )1Re 'Φ .


1

11

01

lim ''2Z

a

Zπ→Φ = − (7.79)

( )1

21 1

10

coslim Re ''

2Z

a

r

θ θπ→

−Φ = − (7.80)

( )1

21 1

10

sinlim Im ''

2Z

a

r

θ θπ→

−Φ = (7.81)

existem singularidades de 1 r tanto em ( )1Im ''Φ quanto em ( )1Re ''Φ .


de duas semitrincas opostas quando alguma interpretação física é dada (problemas

de potencial ou elasticidade, por exemplo).

10.1.4. Semitrinca de rotação na face da trinca


( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 21 1 1 11(

2 2 1ln ln 1 2 9 6

2 2)

2 1

Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z

π π π− + − +

− −= − + −Φ + − (7.82)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 1

1 1 11

1 3 1 3 1ln ln 1 5 6

4 4(

2 4' )

2

Z Z ZZ

ZZ Z Z

π π π− + − +

− −Φ + −= − (7.83)

DBD


107

( ) ( ) ( ) ( )1 11 1

11

2 3 2 3 1 1ln ln 1 6

2''( )

Z ZZ Z

ZZ

π π π− + − +

+ − − +

= −

Φ (7.84)


expressas como

( )1 11 1 1 1( ) ( ) ln ( )ln rega aZ Z Z ZΦ = Φ + Φ (7.85)

( )1 1 11 11( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z a Za′ ′ ′Φ = Φ + Φ (7.86)

( )1 1 1 11 1( ) ( ) ln ( )ln regZ Z Z Za a′′ ′′ ′′Φ = Φ + Φ (7.87)

onde as partes ln e reg são dadas por:

( )2 31 1 1

1

2

2( )ln

Z Z ZZ

π− +

Φ −= , ( ) ( ) ( )

2 31 1 1 2

1 1 1 1

2 1ln 1 2 9

12)

2( 6reg

Z Z ZZ Z Z Z

π π− +

− − − + −Φ = (7.88)

( )21 1

1

1 3

2

4( )ln

Z ZZ

π− +

′Φ = − , ( ) ( ) ( )

21 1

1 1 1

1 3 1ln 1 5 6

2

4( )

4reg

Z ZZ Z Z

π π− +

− − −′Φ = (7.89)

( )11( )

2 3ln

ZZ

π′′Φ =

− +− ,

( ) ( )11 1

1

2 3 1 1ln(

2) 1 6reg

ZZ Z

Zπ π− +

− − +

′′ =

Φ (7.90)

As Equações (7.85) a (7.87) induzem a integrações especiais para avaliar a

parte ( )1ln Z .


10

1li6

mr

a

π→Φ = (7.91)

11

0limRe

6r

a

π→Φ = (7.92)

10

limIm 0r →

Φ = (7.93)

neste caso não existem singularidades.


( )1

1 1 11 1

01

ln 5 1lim ' sgn

2 4 2Z

a Z a iia c i

Zπ π→

Φ = − − − −

(7.94)

( ) ( )( )1

1 1 11

0

ln ln 5lim Re '

2 4Z

a r a a

π π→

−Φ = − − (7.95)

DBD


108

( )

( )1

1 11 1

101 1

1 1

for 2lim Im '

for 22

Z

a

a

π θ θθ θ θ π

ππ θ θ

θ π θ θ ππ

→

− +≤ ≤ +Φ =

− − + + < < +

(7.96)

existe uma singularidade ( )ln r em ( )1Re 'Φ .


( )1

1 1 11 1

0

1

1 1

2 ln 3lim '' 2 sgn

2Z

a Z aiia c i

Z Z

a

π π π→

Φ = − + + − +

(7.97)

( ) ( ) ( )( )1

21 11 1 1

10

2 ln lncos 3lim Re ''

2Z

a r aa a

r

θ θπ π π→

−−Φ = − + + (7.98)

( ) ( )

( ) ( )1

21 1 1 1

1 1

1 201 1 1 1

1 1

sin 4 for

2 2lim Im ''

sin 4 for 2

2 2

Z

a a

r

a a

r

θ θ π θ θθ θ θ π

π πθ θ π θ θ

θ π θ θ ππ π

→

− − +− ≤ ≤ +

Φ = − − − + − + < < +

(7.99)

existem singularidades de 1 r e ln em ( )1Re ''Φ e 1 r em ( )1Im ''Φ .


de duas semitrincas opostas, quando alguma interpretação física é dada

(problemas de potencial ou elasticidade, por exemplo).

10.2. Estudo de singularidades em problemas de potencial

Como foi mostrado no capitulo 4, uma semitrinca apresenta singularidades

tanto na origem quanto na ponta. Na origem, estas singularidades desaparecem

com a superposição de efeitos de duas semitrincas. Nesta Seção é apresentada a

abordagem matemática deste fenômeno.

10.2.1. Superposição de duas semitrincas elípticas.

A superposição de efeitos de duas trincas semielípticas como mostrada na

Figura 11b em termos de deslocamentos foi proposta por Dumont e Mamani

(2011) e aqui resumida brevemente.

DBD


109

10.2.1.1. Valores de potencial para r tendendo a 0

Segundo as Equações (5.1), (5.7) e (7.39) para a combinação de efeitos do

potencial tem-se

1 21

1 21 2 1 2

0 0

1 22

for 02

1 1lim limIm( ) 1 for

2

for 22

r ru

k k

θ θ θ θπθ θ θ θ θ

πθ θ θ θ π

π

→ →

− ≤ <

−≡ Φ − Φ = + ≤ ≤

− < ≤

(7.100)

isto é o mesmo que a expressão

1 2

1 20 0

1 2

for a point outside 1 1 2lim limIm( )

1 for a point inside 2

r ru

k k

θ θπθ θ

π→ →

− Ω≡ Φ − Φ = − + Ω

(7.101)

A diferença do valor 0

limr

u→

de um ponto dentro com outro fora do domínio é

1

k, com

0

10 lim

ru

k→< < . Não existe singularidade no potencial.

10.2.1.2. Fluxo normal para r tendendo a 0

A superposição de efeitos de duas semitrincas de abertura elíptica é

( )1 2

1 1 2 21 1 2 20

1 2 1 2

cos sin cos sinlim ' '

4 4 4 4

i i

r

i ie eT T

a a a a

θ θ θ θ θ θ− −

→

− −Φ − Φ = − + = − + (7.102)

a que é finita e não depende do ângulo θ ao redor do ponto 0r = . O campo de

gradientes é dado por

( )

( )

1 21 1 2 2

0 01 2

1 21 1 2 2

0 01 2

sin sinlim lim Im ' '

4 4

cos coslim limRe ' '

4 4

xr r

yr r

q T Ta a

q T Ta a

θ θ

θ θ

→ →

→ →

= − Φ − Φ = − +

= − Φ − Φ = − (7.103)

Considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − , e substituindo a Equação (7.103) na

Equação (5.3) o fluxo normal ao contorno Γ no ponto 0r → é

( ) ( )

( ) ( )1 1 1

2 2 2

2 1

0 01 2

2 1

0 02 1

cos1lim lim ao longo do contorno 1

4 4


4 4

n x x y yr r

n x x y yr r

q q n q na a

q q n q na a

θ θ

θ θ

→ →

→ →

−= − − = −

−= − − = −

(7.104)

DBD


110

Note que existe um salto do fluxo normal no limite entre os dois contornos.

Se 2 1θ θ π= + , isto é, os segmentos 1 e 2 são colineares, ambos limites resultam

em 1 20 0

1 2

1 1lim lim

4 4n nr r

q qa a→ →

= = + , o que significa que não existe mais salto. Se além

de serem colineares, têm comprimentos iguais (1 2a a= ), nq é constante ao longo

de todo o contorno e a integração de nq ao longo dos dois segmentos resulta numa

fonte unitária, 1Q t = .

10.2.2. Superposição de duas semitrincas polinomiais

São apresentadas expressões devido à superposição de efeitos de duas

semitrincas polinomiais como mostrado na Figura 9a em termos de

deslocamentos. Este elemento é usado para a representação dos elementos da face

na discretização de um contorno curvo geral.

10.2.2.1. Valores de potencial para r tendendo a 0 .

Segundo a Equação (5.1), (5.7) e (7.57) para um efeito combinado de

potenciais

1 21

1 21 2 1 2

0 0

1 22

for 02


2

for 22

r ru

k k


πθ θ θ θ π

π

→ →

− ≤ <

−≡ Φ − Φ = + ≤ ≤

− < ≤

(7.105)

isto é o mesmo que a seguinte expressão

1 2

1 20 0

1 2



r ru

k k

θ θπθ θ

π→ →

− Ω≡ Φ − Φ = − + Ω

(7.106)

A diferença entre os valores de 0

limr

u→

entre um ponto dentro e outro fora do

domínio é 1k

, com 0

10 lim

ru

k→< < . Não existe singularidade no potencial.

DBD


111

10.2.2.2.Fluxo normal para r tendendo a 0

A superposição de efeitos de duas semitrincas de abertura polinomial é

( ) ( ) ( )1 21 1 2 2

1 1 2 20

1 2 1 2

3 cos sin 3 cos sin3 3lim ' '

2 2 2 2

i i

r

i ie eT T

a a a a

θ θ θ θ θ θπ π π π

− −

→

− −Φ − Φ = − + = − + (7.107)

a que é finita e não depende do ângulo θ ao longo do ponto 0r = . O campo de


( )

( )

1 21 1 2 2

0 01 2

1 21 1 2 2

0 01 2

3sin 3sinlim lim Im ' '

2 2

3cos 3coslim limRe ' '

2 2

xr r

yr r

q T Ta a

q T Ta a

θ θπ πθ θ

π π

→ →

→ →

= − Φ − Φ = − +

= − Φ − Φ = − (7.108)

Considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − , substituindo a Equação (7.103) na

Equação (5.3) o fluxo normal ao contorno Γ para 0r → é

( ) ( )

( ) ( )1 1 1

2 2 2

2 1

0 01 2

2 1

0 02 1

3cos3lim lim ao longo do contorno 1

2 2


2 2

n x x y yr r

n x x y yr r

q q n q na a

q q n q na a

θ θπ π

θ θπ π

→ →

→ →

−= − − = −

−= − − = −

(7.109)



em 1 20 0

1 2

3 3lim lim

2 2n nr r

q qa aπ π→ →

= = + , o que significa que não existe mais salto.

10.2.3. Superposição de semitrinca elíptica com semitrinca polinomial

Estuda-se a superposição de efeitos de uma trinca semielíptica com outra

semitrinca polinomial como mostrado na Figura 9b em termos de deslocamentos.

O elemento em estudo é ideal para representar a ponta da trinca.

10.2.3.1. Valores de potencial para r tendendo a 0 .

Segundo a Equação (5.1), (5.7), (7.39) e (7.57) para uma combinação de

efeitos do potencial

DBD


112

1 21

1 21 2 1 2

0 0

1 22

for 02


2

for 22

r ru

k k


πθ θ θ θ π

π

→ →

− ≤ <

−≡ Φ − Φ = + ≤ ≤

− < ≤

(7.110)

isto é o mesmo que a expressão

1 2

1 20 0

1 2



r ru

k k

θ θπθ θ

π→ →

− Ω≡ Φ − Φ = − + Ω

(7.111)

A diferença do valor de 0

limr

u→

entre um ponto dentro com outro fora do

domínio é 1k

, com 0

10 lim

ru

k→< < .


A superposição de efeitos de um semitrinca de abertura elíptica com outra

polinomial é

( ) ( ) ( )1 21 1 2 2

1 1 2 20

1 2 1 2

cos sin 3 cos sin3lim ' '

4 2 4 2

i i

r

i ie eT T

a a a a

θ θ θ θ θ θπ π

− −

→

− −Φ − Φ = − + = − + (7.112)

a que é finita e não depende do ângulo θ ao redor do ponto 0r = . O campo de


( )

( )

1 21 1 2 2

0 01 2

1 21 1 2 2

0 01 2

sin 3sinlim lim Im ' '

4 2

cos 3coslim limRe ' '

4 2

xr r

yr r

q T Ta a

q T Ta a

θ θπ

θ θπ

→ →

→ →

= − Φ − Φ = − +

= − Φ − Φ = − (7.113)

Considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − , e substituindo a Equação (7.103) na

Equação (5.3) o fluxo normal ao contorno Γ no ponto 0r → é

( ) ( )

( ) ( )1 1 1

2 2 2

2 1

0 01 2

2 1

0 02 1


4 2


2 4

n x x y yr r

n x x y yr r

q q n q na a

q q n q na a

θ θπ

θ θπ

→ →

→ →

−= − − = −

−= − − = −

(7.114)

DBD


113



em 1 20 0

1 2

1 3lim lim

4 2n nr r

q qa aπ→ →

= = + , o que significa que não existe mais salto.

10.2.4. Combinação de Semitrincas formando um elemento de r otação para as faces

Estuda-se a superposição de efeitos de duas semitrincas de rotação como

mostrado na Figura 9c em termos de deslocamentos. O elemento em estudo é

ideal para considerar as rotações relativas nas faces da trinca.

10.2.4.1. Valores de potencial para r tendendo a 0

Na origem, o potencial obtido a partir da Equações (5.1), (5.7) e (7.93) é

nulo, porém finito.

10.2.4.2. Fluxo normal para r tendendo a 0

A superposição de efeitos de duas semitrincas de rotação fornece

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

1 1 2 20

1 11 1 1

2 22 2 2

lim ' '

cos sin2ln 2ln 5 2

4cos sin

2ln 2ln 5 24

rT T

ir a i

ir a i

θ θπ θ θ

πθ θ

π θ θπ

→Φ + Φ =

−− − + + ± − −

−+ − − + + ± − −

(7.115)

de onde o campo de gradientes é calculado

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 1 2 20 0

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 2 20 0

1 1 1 1 1

2

lim lim Im ' '

12ln 2ln 5 sin 2 cos

41

2ln 2ln 5 sin 2 cos4

lim limRe ' '

12ln 2ln 5 cos 2 sin

41

2ln 2ln 54

xr r

yr r

q T T

r a

r a

q T T

r a

r a

θ π θ θ θπ

θ π θ θ θπ

θ π θ θ θπ

π

→ →

→ →

= − Φ + Φ =

− + − − ± − −

+ − + − − ± − −

= − Φ + Φ =

− − + − − ± − −

+ − − + − ( )( )2 2 2 2cos 2 sinθ π θ θ θ − ± − −

(7.116)

DBD


114

considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − para o segmento 1 e 2sinxn θ= − e

2cosyn θ= para o segmento 2, o fluxo normal no contorno Γ é

( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

1 1 1

2 2 2

2 1

1 2 2 10 0

2 2 2 1

2 1

2 1 2 10 0

1 1

2ln 5 1 cos1

lim lim 2 ln ln cos ao longo do contorno 14

2 sin

2ln 5 1 cos1

lim lim 2 ln ln cos4

2 si

n x x y yr r

n x x y yr r

r

q q n q n a a

r

q q n q n a a

θ θ

θ θπ

π θ θ θ θ

θ θ

θ θπ

π θ θ

→ →

→ →

+ + − = − − = − + − − ± − − −

− + + −

= − − = + −

− ± − − ( )2 1

ao longo do contorno 2

n θ θ

− (7.117)

Para o caso geral o fluxo normal depende de r e θ . Para o caso particular

de 2 1θ θ π− = as equações acima se reduzem a

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

2 2 2

1 20 0

1 20 0

1lim lim ln ao longo do contorno 1

21

lim lim ln ao longo do contorno 22

n x x y yr r

n x x y yr r

q q n q n a a

q q n q n a a

π

π

→ →

→ →

= − − = −

= − − = − (7.118)

que são valores finitos que não dependem de r e θ .

10.2.5. Combinação de Semitrincas formando um elemento de r otação para as pontas

Estuda-se a superposição de efeitos de duas semitrincas de rotação como

mostrado na Figura 9d em termos de deslocamentos. O elemento é ideal para

considerar as rotações relativas das faces próximas às pontas da trinca.

10.2.5.1.Valores de potencial para r tendendo a 0

Na origem, o potencial obtido a partir das Equações (5.1), (5.7), (7.75) e

(7.93) é nulo, porém finito.


A superposição de efeitos de duas semitrincas de rotação é

DBD


115

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )

1 1 2 20

1 11 1 1

2 22 2 2

lim ' '

cos sin2ln 2ln 2

4cos sin

2ln 2ln 5 24

rT T

ir a i

ir a i

θ θπ θ θ

πθ θ

π θ θπ

→Φ + Φ =

−− − + ± − −

−+ − − + + ± − −

(7.119)

de onde o campo de gradientes é calculado

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

1 1 2 20 0

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 2 20 0

1 1 1 1 1

2

lim lim Im ' '

12ln 2ln sin 2 cos

41

2ln 2ln 5 sin 2 cos4

lim limRe ' '

12ln 2ln cos 2 sin

41

2ln 2ln 5 cos4

xr r

yr r

q T T

r a

r a

q T T

r a

r a

θ π θ θ θπ

θ π θ θ θπ

θ π θ θ θπ

θπ

→ →

→ →

= − Φ + Φ =

− + − ± − −

+ − + − − ± − −

= − Φ + Φ =

− − + − ± − −

+ − − + − ( )( )2 2 2 22 sinπ θ θ θ − ± − −

(7.120)

Considerando 1sinxn θ= e 1cosyn θ= − para o segmento 1 e 2sinxn θ= − e

2cosyn θ= para o segmento 2, o fluxo normal no contorno Γ é

( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

1 1 1

2 2 2

2 1

1 2 2 10 0

2 2 2 1

2 1

2 1 2 10 0

1 1

2ln 5 1 cos1

lim lim 2 ln ln cos ao longo do contorno 14

2 sin

2ln 5 1 cos1

lim lim 2 ln ln cos4

2 si

n x x y yr r

n x x y yr r

r

q q n q n a a

r

q q n q n a a

θ θ

θ θπ

π θ θ θ θ

θ θ

θ θπ

π θ θ

→ →

→ →

+ + − = − − = − + − − ± − − −

− + + −

= − − = + −

− ± − − ( )2 1

ao longo do contorno 2

n θ θ

− (7.121)

Para o caso geral o fluxo normal depende de r e θ . Para o caso particular

de 2 1θ θ π− = as equações acima se reduzem a

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1

2 2 2

1 20 0

1 20 0

1lim lim ln ao longo do contorno 1

21

lim lim ln ao longo do contorno 22

n x x y yr r

n x x y yr r

q q n q n a a

q q n q n a a

π

π

→ →

→ →

= − − = −

= − − = − (7.122)

que são valores finitos que não dependem de r e θ .

DBD


116

10.3. Expressões analíticas para a integração da matriz H em problemas de potencial quando elementos de forma polinomial s ão usados

Para elementos de interpolação linear, xn , yn e | |J são constantes, assim a

Equação (5.9) pode ser convenientemente reescrita como

| | d | | dk kki x x i y y iH n J q N n J q Nξ ξ

Γ Γ≡ = − −∫ ∫H (7.123)

onde é usada uma função de interpolação linear [ ]1iN ξ ξ= − , com [ ]0,1ξ ∈ . 1x

q e

1yq são dadas pela Equação (5.2) e reescritas aqui por conveniência

( )

( )1

1

11 1

11 1

Im

Re

x

y

uq k T

xu

q k Ty

′

′

∂= − = − Φ∂∂= − = − Φ∂

(7.124)

A função de tensão ( )11 Z′Φ é dada em termos de um argumento complexo

1Z , e 1T é uma constante complexa. Tanto 1Z como 1T são definidas na Equação

(4.3). Um forma alternativa do argumento complexo 1Z é

( )1 1 1CZ Aξ ξ= + (7.125)

onde ξ é uma coordenada paramétrica [ ]0,1ξ ∈ , 1A e 1C são constantes complexas

dadas por:

( )

( )

( )

1

1

1

1 1 11

1 1 11

1 1 1 1 1 11

( )

( )

( ) ( ) ( )

a

b

ab

ia

a a

ib

b b

iab

b b a a ab ab

r eA aT x iy T

a

r eB bT x iy T

a

r eC AB B A x iy T x iy T x iy T

a

θ θ

θ θ

θ θ

−

−

−

= = + =

= = + =

= = − = + − + = + =

(7.126)

A Equação (7.123) pode ser rescrita por conveniência como

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 2 1| | Im d | | Re dki x i y iH n J T N n J T Nξ ξ ξξ ξξ′ ′

Γ Γ≡ = Φ + Φ∫ ∫H (7.127)

onde ( )1 1Z′Φ é a mesma expressão da Equação (4.10) sem o termo singular 11 Z

como mostrado na Equação (7.128). É possível evitar este termo singular devido a

este termo se cancelar com a superposição de duas semitrincas opostas como

demonstrado no item 10.2.

( ) ( )1 11

1 1

1

2 ZZ Z

π′ ′ +Φ Φ= (7.128)

DBD


117

O problema se reduz ao cálculo das integrais

( )( )

( )( )

1

10

1

10

1 d

d

ξ ξξ

ξ ξ ξ

′

′

Φ −

Φ

∫

∫ (7.129)

Existem quatro diferentes casos a ser levados em conta na integração da

Equação (7.129), como ilustrado na Figura 44.

Source element

Semi-crack origin (k )

Semi-crack tip ( 1k + )

Field line ( i ) ( j )

a) Case a

Source element




b) Case b

Source element




c) Case c

Source element




d) Case d

Figura 44. Casos de integração da Matriz H em problemas de potencial.

O valor principal da função complexa ln( )z com iz re θ= é

( ) ( ) ( )ln lnz r i θ= + , quando 0 2abθ π≤ < (7.130)

onde a parte real e imaginária são, respectivamente.

( )( ) ( )( )( )

Re ln ln

Im ln

z r

z θ

=

= (7.131)

Uma forma prática de obter θ computacionalmente é

( )arctan2 1

2

dy dxfracθ π

π

= +

(7.132)

O desenvolvimento analítico para cada um dos casos foi usando o programa

computacional MapleTM (2011).

DBD


118

10.3.1. Caso a – O segmento de integração coincide com a o eixo da semitrinca

A integração da Equação (7.129) para o caso da Figura 44a. resulta em

[ ] ( )( )1

10

3 11,1 1 d

8 4Na iξ ξ ξ

π′= Φ − = − −∫ (7.133)

[ ] ( )( )1

10

3 12,1 d

8 4Na iξ ξ ξ

π′= Φ = −∫ (7.134)

Os resultados das integrais acima são armazenados em uma matriz [ ],1Na n ,

onde o índice 1, 2n = corresponde à função de interpolação ( )1 ξ− ou ( )ξ , e 1

corresponde à semitrinca 1. As Equações (7.133) e (7.134) para a semitrinca 2

têm a mesma expressão se 2′Φ é substituída por 1

′Φ na equação acima e

armazenada na matriz [ ],21Nc n .

10.3.2. Caso b – A origem do segmento de integração coincid e com a origem da semitrinca

A integração da Equação (7.129) para o caso mostrado na Figura 44b é

[ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

[ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

3 4

1

1 10

21 1 1 1 1 1

21

1

1 10

2 3 31 1 1 1

31 1 1 1 1 1

41 1 11 1

21

1

1,1 1 d

2 3 2 2 2 ln 2 2 2 1 ln 1 2 2 1 0, ,1

8

2,1 d

6 5 2 2 4 ln 2 4 1 ln 1 2 0 ,13 ,3

8

C

C C C C C i C signum Im

C

C

C C C C C C s

Nb

C C C

signum Im

C C C

Nb

C C C

C

C i

ξ ξ ξ

ππ

ξ ξ ξ

ππ

′

′

= Φ − =

− − − − + − + − − − −

= Φ =

− + − − + − + − −

∫

∫

(7.135) onde a função ( )sign x é definida por

( )1 0

0 0

1 0

for x

sign x for x

for x

− <= = >

(7.136)

10.3.3. Caso c – A origem do segmento de integração coincid e com a ponta da semitrinca

A integração da Equação (7.129) para o caso mostrado na Figura 44c é

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119

[ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 10

2 3 31 1 1 1 1 1 1

21

1

1 10

2 4 31 1 1 1 1 1 1

41 1

2

1

31 1

1

1,1 1 1 d

2 3 2 2 2 ln 2 2 1 ln 1

8

2,1 1 d

6 5 2 3 4 ln 2 3 4 1 1

8

2

n2 l

N C

C C C C C C C

C

C

C C C C C C C

c

C C C

Nc

C

C

C

ξ ξ ξ

π

ξ ξ ξ

π

′

′

= Φ + − =

+ − + + − + +

= Φ + =

+ + + + − +

− −

+ +

∫

∫ (7.137)

onde o problema é resolvido considerando o valor principal de 1ln( )C como

mostrado na Equação (7.130).

10.3.4. Caso d – Caso geral

O cálculo da integral da Equação (7.129) para o caso geral mostrado na

Figura 44d está em andamento, pois ainda não foi demostrada a generalidade

quando existe mudança de quadrante, no entanto, alternativamente pode se

calcular a solução numérica pela quadratura de Gauss Legendre dado que não

existem singularidades envolvidas.

[ ] ( ) ( ) ( )( )

[ ] ( )( ) ( )( )

1

1 1 1 1 1 101

1

1 1 1 1 1 101

1,1 1 d [ ] 1 [ ]

2,1 1 d [ ] [ ]

g

g

g

g

n

g g g g gi

n

g g g g gi

A C A C i w i

A C A C

Nd

Nd i w i

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

′ ′

=

′ ′

=

= Φ + − ≡ Φ + −

= Φ + − ≡ Φ +

∑∫

∑∫

(7.138)

Foram desenvolvidas as soluções analíticas para uma semitrinca 1, para a

semitrinca 2 , o procedimento é similar, substituindo o subscrito 1(.) pelo subscrito

2(.) . Todos os resultados são armazenados nas matrizes [ , ]Na i c , [ , ]Nb i c , [ , ]Nc i c e

[ , ]Nd i c onde 1,2i = é relacionado à função de forma [1 , ]iN ξ ξ= − e 1,2c = é

relacionado à semitrinca 1 ou 2.

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