eliminação de gauss e decomposição lu profa. dra. marli de freitas gomes hernandez ceset-unicamp
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Eliminação de Gauss e Decomposição LU
Profa. Dra. Marli de Freitas Gomes Hernandez
CESET-UNICAMP
Histórico• Uma versão preliminar da eliminação de Gauss apareceu pela
primeira vez no livro chinês “Nove Capítulo de Artes Matemática”, em torno de 200 a.C. Até então o poder do método não tinha sido reconhecido.
• No ano de 1801 Carl Friedich Gauss utilizou o método para calcular a órbita do asteróide Ceres com pouquíssimas informações (anotações do astrônomo siciliano Giuseppe Piazzi quem batizou o asteróide com o nome ao observar-lo pela primeira vez).
• O trabalho de Gauss causou sensação quando Ceres reapareceu na constelação de virgem, local aproximado aos seus cálculos.
• Mais tarde o método foi popularizado quando Willian Jordan (engenheiro alemão) em 1888 publicou no seu livro de geodésica intitulado “Handbuch der Vermessungskund”.
• Embora as idéias tenham sido conhecidas antes, muitos vezes o credito pela popularização da decomposição LU é atribuída ao lógico e matemático britânico Alan Turing (precursor do computador), pelo seu trabalho de 1948 nesse assunto.
• Ao final dos anos 1970, a Fundação Nacional de Ciências e o Departamento de Energia dos EUA financiaram o desenvolvimento de rotinas de computacionais para inverter matrizes e resolver sistemas de equações lineares. Aquele pesquisa levou a um conjunto de programas Fortran chamada LINPAC que são uma referencia para muitos algoritmos computacionais de hoje. Inclusive o chamado MATLAB. As rotinas LIMPAC estão organizadas em torno de quatro fatorações de matrizes, uma das quais é a decomposição LU. C.B. Moler, J.J. Dongarra, G.W. Stewart e J.R. Brunch, os principais programadores do LINPAC, basearam muitas de suas idéias no trabalho de Jemes Boyle e Kenneth Dritz, do Laboratório Argonne (nos EUA).
Informações retiradas de [1]
Objetivo
• Resolver um Sistema de equações lineares do tipo:
• onde aij ,i = 1,2,...,m e j=1,2,...,n coeficientes,
bi, i = 1,2,...,m constantes,
xj, j=1,2,...,n incógnitas.
)1.1(
...
...
...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
• O sistema (1.1) pode ter:– Mais equações do que incógnitas (m > n);– Mais incógnitas do que equações (m < n);– O mesmo número de incógnitas e equações
(m = n).
• A solução de (1.1) podem ser:– Única;– Infinitas;– Não existente.
Operações elementares entre equações sem alterar o resultado
As operações elementares entre equações de um sistema linear do tipo (1.1) são:
1. Trocar as equações de posição
2. Multiplicar uma ou mais equações por constantes (chamamos múltiplos de equações):
3. Somar o múltiplo de uma equação por outra
Se aplicarmos qualquer operação elementar entre equações, em um sistema linear o resultado (x1,x2,...,xn) sempre será o mesmo como veremos a seguir sem demonstração.
Trocar as equações de posição:
mnmnmm
qnqnqq
pnpnpp
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
2211
2211
11212111
mnmnmm
pnpnpp
qnqnqq
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
2211
2211
11212111
184
9
20232
zyx
zyx
zyx
20232
9
184
zyx
zyx
zyx
Sistema 1 Sistema 2
Exemplo: Dado o seguinte sistema:
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 2, x=3 y=2 e z=4.
mnmnmm
qnqnqq
pnpnpp
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
2211
2211
11212111
mnmnmm
qnqnqq
pnpnpp
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
2211
2211
11212111
Multiplicar uma ou mais equações por constantes (chamamos múltiplos de equações):
Exemplo: Dado o Sistema 1:
184
9
20232
zyx
zyx
zyx
36228
9
20232
zyx
zyx
zyx
Sistema 1 Sistema 3
2)184( zyx
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 3, x=3 y=2 e z=4.
Somar o múltiplo de uma equação por outra:
mnmnmm
qnqnqq
pnpnpp
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
2211
2211
11212111
mnmnmm
qpnqnpnqpqp
qnqnqq
nn
bxaxaxa
bbxaaxaaxaa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
)()(...)()(
...
...
2211
222111
2211
11212111
+
9
2)20232(
zyx
zyx
184
49575
20232
zyx
zyx
zyx
Exemplo: Dado o Sistema 1:
184
9
20232
zyx
zyx
zyx
Sistema 1
Sistema 4
Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 4, x=3 y=2 e z=4.
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
)3.1(
...
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
bvetor
m
Xvetor
n
AMatrix
mnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
Sistema na forma Matricial
)2.1(bAX
Sistema na forma de equações lineares
Colocar o sistema de equações lineares (1.1) na forma matricial
Podemos abreviar (1.3) escrevendo-o em forma de arranjo retangular de números denominado Matriz Aumentada do sistema.
Esse termo Matriz Aumentada foi introduzida pelo matemático norte americano Bôcher no seu livro “Introduction to Higher Algebra” em 1907. [1]
bvetor
m
Xvetor
n
AMatrix
mnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
)4.1(
...
...
...
2
1
21
22221
11211
AumentadaMatriz
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
Sistema na forma Matricial
Matriz Aumentada do sistema
AumentadaMatriz
MatricialForma
bAbAX
O primeiro exemplo conhecido do uso de uma matriz aumentada para descrever sistemas lineares aparece no livro chinês “Nove Capítulos de Arte Matemática” publicado entre 200 a.C. e 100 a.C.durante a dinastia de Han.
• Problema proposto pelo manuscrito: Existem três tipos de milho, dos quais três montes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro totalizam 39 medidas. Dois montes do primeiro, três do segundo e um do terceiro totalizam 34 medidas. Finalmente, um monte do primeiro, dois do segundo e três do terceiro totalizam 26 medidas. Quantas medidas de milho estão contidas em um monte de cada um dos tipos?
• O Problema leva a um sistema linear de três equações e três incógnitas, que o autor escreve como:
O arranjo do autor é colocado em colunas e e não em linhas com colchetes, como mostrado em (1.4). )5.1(
393426
113
232
321
Informações retiradas de [1]
)6.1(
39123
34132
26321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
39
34
26
123
132
321
3
2
1
x
x
x
Aproveitando o sistema proposto em (1.5), vamos usá-lo como exemplo e colocá-lo em forma de sistema de equações (1.1), forma matricial (1.3), e na forma de matriz aumentada (1.4)
39123
34132
26321
Forma de sistema de equações lineares
Matriz aumentada do sistema (1.6)Forma matricial do sistema (1.6)
Resolução de sistemas triangulares superiores da forma:Supondo que a matriz Anxn(quadrada) do sistema seja não singular, que
implica que os elementos da diagonal são não zero.
).7.1(...
...
22222
11212111
a
bxa
bxaxa
bxaxaxa
nnnn
nn
nn
).7.1(
...00
...0
...
2
1
2
1
222
11211
b
b
b
b
x
x
x
a
aa
aaa
BAX
bvetor
n
Xvetor
n
AMatrix
nn
n
n
).7.1(
...00
...0
...
2
1
222
11211
c
b
b
b
a
aa
aaa
AumentadaMatriz
nnn
n
n
Forma de sistema de equações lineares
Forma matricial do sistema (1.7.a) Matriz aumentada do sistema (1.7.a)
nnnn
nnnnnnn
nn
nnnn
bxa
xabxa
xaxabxa
xaxaxabxa
)1()1()1()1)(1(
23232222
1)1()1(13121111
...
...
Solução de (1.7.a)
nnnn
nnnnnnn
nn
nnnn
abx
axabx
axaxabx
axaxaxabx
/
/)(
/)...(
/)...(
)1)(1()1()1()1(
22232322
111)1()1(131211
Passo 1 - Explicitar aiixi i=1,2,....,n.
Passo 2 – Dividir a equação i por aii para obter xi, i=1,2,....,n.
Inversa de uma matriz M triangular superior com diagonal principal com elementos unitários, M-1.
).18.1(
1...00
...10
...1
2
112
bc
cc
C n
n
E considerando
veremos que a seguinte igualdade é satisfeita
).18.1(
1...00
...10
...1
2
112
aa
aa
M n
n
Seja
IC
n
n
M
n
n
c
cc
a
aa
1...00
0...10
0...01
1...00
...10
...1
1...00
...10
...1
2
112
2
112
(1.18.b) e a inversa de (1.18.a).
Sabendo que MM-1=I , se M-1 = C a seguinte igualdade é satisfeita
Mais tarde será mostrado como calcular a inversa de (1.18.a), é mais fácil do que a inversa de A em (1.17.b) e em (1.3) sendo A quadrada(m=n) e não singular.
Veremos como resolver o sistema (1.7.a) na forma matricial.Aplicando a operação elementar, multiplicando em cada linha i a constante
1/aii, i = 1, 2,..,n, em (1.7.a) , as soluções dos dois sistemas serão a mesma.
nnnnnn
nn
nn
abxa
abxaxa
abxaxaxa
1)(
1)...(
1)...(
2222222
1111212111
nn
nn
nn
nn
a
bx
a
bx
a
ax
a
bx
a
ax
a
ax
222
2
22
22
11
1
11
12
11
121
...
...
Colocando na forma matricial
*
22
2
11
1
2
1
22
2
11
1
11
12
100
10
1
b
nn
n
X
n
E
n
n
a
b
a
ba
b
x
x
x
a
aa
a
a
a
Como E = D-1A é da forma (1.18.a)
nnn
n
n
b
b
b
be
a
aa
aaa
A
sendo
2
1
222
11211
00
0
nnAdediagonal
nn
a
a
a
D
a
a
a
D
100
01
0
001
00
00
00
22
11
122
11
ADE
n
n
A
nn
n
n
D
nn
a
aa
a
a
a
a
aa
aaa
a
a
a
AD
11
100
10
1
00
0
100
01
0
001
22
2
11
1
11
12
222
11211
22
11
1
.
100
01
0
001
*1
22
2
11
1
2
1
22
11
1
b
nn
n
b
n
D
nn a
b
a
ba
b
b
b
b
a
a
a
bD
e
111
1
)(
2
111
1
22
2
11
1
11
12
100
10
1
100
10
1
ADE
n
n
ADE
n
n
e
ee
a
aa
a
a
a
bAXbDDAXbDDAX
bDADXoubEX
bEXbDAXDbAX
bAXbEXPova
I
1111111
111*1
*11
1*1
)(
)(
Para resolver 1.17.b, basta calcular:
bAX
bEX
beEED
1
*1
*11 ,,,,
Exemplo: Resolver o seguinte sistema linear:
94
413
6322
3
32
321
x
xx
xxx
bA
x
x
x
9
4
6
400
130
322
3
2
1
9400
4130
6322
Forma de sistema de equações lineares
Forma matricial do sistema acimaMatriz aumentada do sistema
400
030
002
,
9
4
6
,
400
130
322
DbA
4
93
4
3
4
93
42
6
,
100
3
110
2
311
4
400
3
1
3
30
2
3
2
2
2
2
,
4
100
03
10
002
1
*
111
bC
bDADD
*1
*
bEX
bEXbAX
4
93
4
3
,
100
3
110
6
711
,
100
3
110
2
311
*1 bEE
XbE
4
912
724
23
4
93
4
3
100
3
110
6
711
*1
X
X
4
912
724
23
Solução
1
12
4
92
3
3
22
3
3
1
2313
4
34
3
3
1
4
93
1
2313
12
23
23
2323
13
13
2313
0102
30
3
1
e
e
e
ee
e
e
ee
eeeee
• Como E é uma matriz 3x3, considerada pequena, ela será determinada algebricamente da forma rudimentar:
100
010
001
100
10
1
100
3
110
2
311
100
10
1
,
100
3
110
2
311
23
12111
23
12111 e
ee
EEe
ee
EE
100
010
001
100
3
110
2
311
100
010
001
100
10
1
100
3
110
2
311
2313
231312
23
13121
ee
eee
e
ee
EE
Inversão de E
Eliminação de Gauss
• Como visto, é muito mais fácil resolver sistemas lineares triangulares superiores em forma de sistemas de equações.
• E extremamente fácil na forma AX=B(matricial), A triangular superior.
• As mesmas operações elementares entre equações, são válidas para linhas da matriz aumentada (1.4).
• Usando operações elementares entre linhas na matriz aumentada ou equações no sistema de equações lineares, transformar um sistema linear qualquer em sistema linear triangular superior.
• Como visto anteriormente, usando as operações elementares entre equações no sistema de equações lineares ou entre linhas na matriz aumentada a solução do sistema permanece a mesma.
Eliminação de Gauss visa:
Eliminação de Gauss visa transformarusando operações elementares: Vamos representar elementos não nulos por ”*”
originalSistema
xxx
xxx
xxx
n
n
n
**...**
**...**
**...**
21
21
21
dotransformaSistema
x
xx
xxx
n
n
n
**
**...*
**...**
2
21
Operações elementaresentre equações
bvetorXvetor
n
AMatrix
x
x
x
*
*
*
*...**
*...**
*...**
2
1
**
*
*
*
*...00
*...*0
*...**
2
1
bvetorXvetor
n
AMatrix
x
x
x
Operações elementares
Sistema original
Sistema transformado
*
*
*
*...**
*...**
*...**
*
*
*
*...00
*...*0
*...**
Operaçõeselementaresentre linhas
Matriz aumentada do sistema original
Matriz aumentada do sistema Transformado
Como aplicar a eliminação de Gauss no sistema forma matriz aumentada - usando operações elementares entre linhas.
Aqui será adotado o seguinte:
• Operar o sistema na forma matriz aumentada, no meu ponto de vista, é mais claro, fácil e menos trabalhoso.
• Desejando, pode operar também na forma de sistemas de equações, ou até mesmo na forma matricial.
• Supor que a matriz A seja quadrada m=n e não singular.
• Pode aplicar eliminação de Gauss em matrizes singulares( se quadrada) ou com m ≠ n também. Esses casos serão tratados mais tarde .
• Adotado as seguintes notações; aij(k) e b i
(k), i = 1,2,...,m( i-ésima linhas) e j=1,2,...,n (j-ésima colunas) e k=1,...(k-ésima etapa da eliminação).
A eliminação (ou pivoteamento) se procede da esquerda para a direita, de cima para baixo, abaixo da diagonal
principal.
Pivô
Pivôs das fazes anteriores a k
AumentadaMatriz
kn
kk
k
k
kknk
kkkk
kkk
kkkk
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
nn
kn
nk
nk
)(
)(
)(2
)(1
)()(
)()(
)()()(
)()()()(
00
00
02222
111211
Elementos a serem eliminados na faze k
Na fase k , escolhe-se o elemento pivô akk(k) (elemento referência) situado na posição da diagonal principal da coluna k e linha k.
O pivô akk (k) não será eliminado(zerado), somente os
elementos abaixo dele. Pivôs das fazes anteriores a k
pivô
AumentadaMatriz
kn
kk
k
k
kknk
kkkk
kkk
kkkk
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
nn
kn
nk
nk
)(
)(
)(2
)(1
)()(
)()(
)()()(
)()()()(
00
00
02222
111211
Elementos a serem eliminados na faze k
• Caso o elemento akk(k) for zero ou próximo de zero,
escolher outro elemento abaixo da diagonal principal, na mesma coluna, apk
(k) ,não zero e p>k.
• O pivô dessa coluna será apk(k)
Posição do pivô, mas, a22
(2) = 0Pivô da faze 1
ap2(2) ≠ 0
AumentadaMatriz
n
p
nk
pk
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
nnn
pnp
nk
nk
)2(
)2(
)2(2
)2(1
)2()2()2(
)2()2()2(
)2()2()2(
)2()2()2()2(
2
2
2222
111211
0
0
0
• Colocar a linha p na posição da linha k e vice versa e eliminar os elementos abaixo da posição do pivô.
• Exemplo: k=2.
Pivô da faze 1pivô da fase 2
AumentadaMatriz
n
p
nk
k
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
nnn
n
pnpkp
nk
)2(
)2(2
)2(
)2(1
)2()2()2(
)2()2(2
)2(
)2()2()2(
)2()2()2()2(
2
222
2
111211
0
0
0
Elementos a serem eliminados na faze 2
• Continuar a eliminação (ou pivoteamento) até que k=n ou a posição do pivô seja ann
(n) e todo triangulo inferior à diagonal principal seja 0 (zero).
ultimo pivô
Eliminação de Gauss Terminada
Agora, é só terminar de resolver o sistema, basta usar o método já mostrado aqui, para sistemas triangulares superiores.
AumentadaMatriz
nn
nk
n
n
n
nnkk
nnn
nnnn
b
b
b
b
a
aa
aaa
aaaa
nn
kn
nk
nk
)(
)(
)2
)(1
)(
)()(
)()()(
)()()()(
000
00
02222
111211
Como fazer as operações elementares na eliminação (ou
pivotamento) de Gauss. Para cada fase k = 1,2,..,n, da eliminação (ou pivoteamento):
Determinar o pivô akk(k) ≠0 (ou não muito pequeno).
Aplicando operações elementares entre linhas.
Para cada elemento aik(k) que deverá ser eliminado (zerado), na i-ésima linha, i
= k+1,...,n, a abaixo da k-ésima da linha do pivô na mesma k-ésima coluna, determinar uma constante mik, de modo que, ao multiplicá-la pela k-ésima linha do pivô e somar com a i-ésima linha, esse elemento deverá ser zerado.
Valor do elemento aik(k)
na fase k
Valor do pivô akk(k) na
fase k
)(
)(
)1()()( 0
kkk
kik
ik
ikkkkik
kkk
kkkik
a
am
aamaam
Exemplo: seja a11(1) o pivô. O objetivo, é zerar todos os elementos ai1
(1) i = 2,...,n, na coluna 1, abaixo da linha 1. Isso é:
)1(
1)1(
111
)1(1
)1(111 0
ii
ii
aam
aam
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11 baaaa n
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11 baaaa n
Pivô da fase 1 )1(11
)1(1
1 a
am i
i
)1(11
)1(31
a
a
)1(11
)1(21
a
a
)1(11
)1(1
a
an )1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11 baaaa n
)2(
)2(3
)2(2
)2(1
)2()2(3
)2(2
)2(3
)2(33
)2(32
)2(2
)2(23
)2(22
)2(1
)2(13
)2(12
)2(11
0
0
0
nnnnn
n
n
n
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
)1(
)1(3
)1(2
)1(1
)1()1(3
)1(2
)1(1
)1(3
)1(33
)1(32
)1(31
)1(2
)1(23
)1(22
)1(21
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
nnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11 baaaa n
Fase 1
)2(
2)2(
222
)2(2
)2(222 0
ii
ii
aam
aam
)2(2
)2(2
)2(23
)2(220 baaa n
pivô da fase 2
)2(22
)2(2
2 a
am i
i
)2(22
)2(32
a
a
)2(22
)2(2
a
an
Fase 2
)2(2
)2(2
)2(23
)2(220 baaa n
)2(2
)2(2
)2(23
)2(220 baaa n
)3(
)3(3
)3(2
)3(1
)3()3(3
)3(3
)3(33
)3(2
)3(23
)3(22
)3(1
)3(13
)3(12
)3(11
00
00
0
nnnn
n
n
n
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
)2(
)2(3
)2(2
)2(1
)2()2(3
)2(2
)2(3
)2(33
)2(32
)2(2
)2(23
)2(22
)2(1
)2(13
)2(12
)2(11
0
0
0
nnnnn
n
n
n
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11 baaaa n
)3(3
)3(3
)3(3300 baa n
)3(
3)3(
333
)3(3
)3(333 0
ii
ii
aam
aam
)3(3
)3(3
)3(3300 baa n
pivô da fase 3
)3(33
)3(3
3 a
am i
i
)3(33
)3(3
a
an
Fase 3
)2(2
)2(2
)2(23
)2(220 baaa n
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11 baaaa n
)3(
)2(3
)3(2
)3(1
)3()3(3
)3(3
)3(33
)3(2
)3(23
)3(22
)3(1
)3(13
)3(12
)3(11
00
00
0
nnnn
n
n
n
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
)4(
)4(3
)4(2
)4(1
)4(
)4(3
)4(33
)4(2
)4(23
)4(22
)4(1
)4(13
)4(12
)4(11
000
00
0
nnn
n
n
n
b
b
b
b
a
aa
aaa
aaaa
Fase nParar
)3(3
)3(3
)3(3300 baa n
)2(2
)2(2
)2(23
)2(220 baaa n
)1(1
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11 baaaa n
pivô da fase n (ultima)
)(
)(3
)(2
)(1
)(
)(3
)2(33
)(2
)(23
)(22
)(1
)(13
)(12
)(11
000
00
0
nn
n
n
n
nnn
nn
nn
nn
nn
nnn
b
b
b
b
a
aa
aaa
aaaa
Agora, basta terminar de resolver o sistema.
O sistema proposto em (1.5), no livro chinês, será usado como exemplo de eliminação de Gauss.
Pivô da fase 1 31
3,2
1
2)1(
11
)1(31
31)1(11
)1(21
21 a
am
a
am
Fase 1
39123
34132
26321
26321
26321
1
2
1
3
3426)2(13)2(32)2(21)2(
3926)3(13)3(22)3(31)3(
39840
18510
26321
Pivô da fase 2
4)1(
)4()2(
22
)2(32
32
a
am
Fase 2
18510
)1(
)4(
39)18()4(8)5()4(4)1()4(0
39840
18510
26321
331200
18510
26321
Agora é só terminar de resolver o sistema equivalente triangular superior.
Esse sistema é muito mais fácil de resolver, do que o original, tanto pelo método rudimentar como pelo de eliminação de Gauss.
Como já foi visto eliminação de Gauss, será usado eliminação de Gauss para terminá-lo, mas antes vamos colocá-lo em uma outra forma equivalente triangular inferior com
diagonal principal unitária para facilitar ainda mais a resolução.
39123
34132
26321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
12
1)3312(
)1(
1)1851(
1
1)26321(
3
32
321
x
xx
xxx
12
33185
2632
3
32
321
x
xx
xxx
Sistema equivalente Sistema original
Aplicando eliminação de Gauss
Colocar na forma de matriz aumentada com equações e icóginitas em ordem invertidas
Sistema equivalente triangular superior diagonal principal
unitária.
Dividir cada linha pelo respectivo elemento da
diagonal
33
Sistema equivalente forma matriz aumentada triangular inferior
diagonal principal unitária.
1
2
3
,
26123
1801512
33001
x
x
x
X
De agora em diante, para mostrar as operações, será colocado à frente da linha pivô i valor mij que irá multiplicar-la, na forma “(mij)” e uma seta desde esse valor até a linha a qual será somado.
+
+
)3()5(
26123
1801512
33001
+
)2(
12
213120
12
51010
12
33001
sistemadosolução
x
x
x
X
4
374
174
11
,
12
111100
12
51010
12
33001
1
2
3
• A eliminação de Gauss para esses tipos de sistema, continua sendo como já foi visto. Mas pode-se acontecer de:
• Caso obtenha equações(linhas) toda de zeros Basta colocá-las no final das equações (linhas).
Sistemas lineares com n≠m ou matriz A singular (determinante de A)=0.
Exemplo 1 Forma matriz elementar
++
+
+
+
+
000
200
000
460
332
~
000
430
230
40
332
)2
1(
~
430
460
230
000
332
~
1094
868
562
996
33)3()1()4()2(
6
2
pivô
pivô
0=2 significa (não existe) solução (obviamente 0≠2)
• Caso obtenha colunas de zeros desde a linha do pivô(inclusive), busque outro pivô na primeira coluna à direita na mesma linha.
Sistema fica com duas equações e três incógnitas. Significa que existe infinitas soluções.
Para cada α (constante) existe uma solução
2
2~
0000
4200
6321~
2100
4300
6321
)2
1(
~
2100
4200
6321~
4221
16842
6321)2()1(
3
2
1
321
321
321
321
21
321
321
321
321
321
321
32
2
1
x
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
x
x
pivô
pivô
+
+
+
Decomposição LUUma decomposição LU ou uma fatoração LU de uma matriz quadrada A e uma fatoração A=LU na qual L é triangular inferior e U triangular superior.
)(
Re
sin:
1
11
XdesoluçãoYUXUXYUX
bLYbLYbUXLbXALLbAX
solverComo
gularnãonnquadradaMatrizAseja
YU
1111
sin:
LULUAAinverter
gularnãonnquadradaMatrizLUAseja
)2(
)1(
)2(
21311
)2()2(3
)2(2
)2(3
)2(33
)2(32
)2(2
)2(13
)2(22
)2(1
)2(13
)2(12
)2(11
)1()1(3
)1(2
)1(1
)1(3
)1(33
)1(32
)1(31
)1(2
)1(13
)1(22
)1(21
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
)1(11
)1(1
)1(11
)1(31
)1(11
)1(21
)2()2(3
)2(2
)2(3
)2(33
)2(32
)2(2
)2(13
)2(22
)2(1
)2(13
)2(12
)2(11
)1()1(3
)1(2
)1(1
)1(3
)1(33
)1(32
)1(31
)1(2
)1(13
)1(22
)1(21
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
)1(11
)1(21
)1(11
)1(31
)1(11
)1(1
0
0
0
100
010
001
0001
0
0
0~
A
nnnn
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n
n
A
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n
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n
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n
aaa
aaa
aaa
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aaaa
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aaaa
a
a
a
aa
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
a
a
a
a
a
a
n
Decomposição LU é feita usando eliminação de Gauss, registrando em uma matriz diagonal unitária, os valores multiplicados pela linha pivô ii com o
objetivo de somar às linhas (k=i,i+1,...n) para eliminar(zerar) os elemento ki,
++
+
)3()2(
)2(
)3()2(
211
)3()3(3
)3(3
)3(33
)3(2
)3(13
)3(22
)3(1
)3(13
)3(12
)3(11
)2()2(3
)2(2
)2(3
)2(33
)2(32
)2(2
)2(13
)2(22
)2(1
)2(13
)2(12
)2(11
)2(22
)2(2
)2(22
)2(32
)3()3(3
)3(3
)3(33
)3(2
)3(13
)3(22
)3(1
)3(13
)3(12
)3(11
)2()2(3
)2(2
)2(3
)2(33
)2(32
)2(2
)2(13
)2(22
)2(1
)2(13
)2(12
)2(11
)2(22
)2(32
)1(11
)1(1
00
00
0
0
0
0
100
0100
0010
0001
00
00
0~
0
0
0
A
nnn
n
n
n
A
nnnn
n
n
n
M
n
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n
n
A
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n
n
nmm
n
aa
aa
aaa
aaaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
a
a
a
a
n
O mesmo que
++
U
nn
n
n
n
L
nn
UA
nnn
nn
n
nn
nn
nn
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n
n
M
n
M
n
M
nnn
nnn
u
uu
uuu
uuuu
UAMMMM
a
aa
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
n
n
000
00
0
...
000
00
0
100
010
001
0001
100
0100
001
0
0001
100
0100
00
0010
0001
333
21322
1131211
)1()2()2()1(
)(
)(3
)(33
)(2
)(13
)(22
)(1
)(13
)(12
)(11
)1()1(3
)1(2
)1(1
)1(3
)1(33
)1(32
)1(31
)1(2
)1(13
)1(22
)1(21
)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
)1(11
)1(1
)1(11
)1(31
)1(11
)1(21
)2(22
)2(2
)2(22
)2(32
)1()1)(1(
)1(1(
1
)(
)1()2(
)1(
1)2()2(
1)1()1(
100
0100
001
0
0001
100
0100
001
0
0001
100
010
001
0001
100
010
001
0001
)2(22
)2(2
)2(22
)2(32
1
)2(22
)2(2
)2(22
)2(32
)1(11
)1(1
)1(11
)1(31
)1(11
)1(21
1
)1(11
)1(1
)1(11
)1(31
)1(11
)1(21
M
n
M
n
M
n
M
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
aa
a
1)1()1(
100
0100
00
0010
0001
100
0100
00
0010
0001
)1()1)(1(
)1(1(
1
)1()1)(1(
)1(1(
nnM
nnn
nnn
M
nnn
nnn
a
a
a
a
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aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
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aa
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a
a
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aa
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L
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n
n
UA
nnn
nn
n
nn
nn
nn
nnn
M
nnn
nnn
M
n
M
n
n
n
1)1(1)2(1)2(1)1(
)1()1(3
)1(2
)1(1
)1(3
)1(33
)1(32
)1(31
)1(2
)1(13
)1(22
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)1(1
)1(13
)1(12
)1(11
)(
)(3
)(33
)(2
)(13
)(22
)(1
)(13
)(12
)(11
)1()1)(1(
)1(1(
)2(22
)2(2
)2(22
)2(32
)1(11
)1(1
)1(11
)1(31
)1(11
)1(21
...
000
00
0
100
0100
00
0010
0001
100
0100
001
0
0001
100
010
001
0001
)(1)1(
1)2(1)1(
LMMMM
nnnn
nn
LMMMM
nnn
nnnnn
nn
M
nnn
nnn
M
n
M
n
nn
nn
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m
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a
a
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a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
1)1(1)2(1)2(1)1(
1)1(1)2(1)2(1)1(
1)1(1)2(1)1(
...
)1(21
2)1(1)1(
21
...
)1()1)(1(
)1(1(
)2(22
)2(2
)1(11
)1(1
)2(22
)2(2)1(
)1(11
)1(1)1(
)1(11
)1(21
)1()1)(1(
)1(1(
)2(22
)2(2
)2(22
)2(32
)1(11
)1(1
)1(11
)1(31
)1(11
)1(21
1
01
00
001
0001
1
01
00
001
0001
100
0100
00
0010
0001
100
0100
0010
0001
100
010
001
0001
L
nnnn
nn
lll
ll
l
1
01
00
001
0001
)1(21
2)1(1)1(
21
Como se percebe, a matriz U é toda de zeros abaixo da diagonal principal e a matriz L é toda de zeros acima da unitária diagonal principal . Computacionalmente, para economizar memória, a matriz L e U são armazenadas em uma só matriz e um vetor K com registro das trocas de linhas feitas durante a decomposição LU.
U
nn
n
n
n
L
nnnn
nn
u
uu
uuu
uuuu
e
lll
ll
l
000
00
0
1
01
00
001
0001
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21322
1131211
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2)1(1)1(
21
K
n
LeUmatrizesdasntoArmazename
nnnnn
n
n
n
k
k
k
k
e
ulll
uull
uuul
uuuu
3
2
1
321
3333231
2132221
1131211
Ki é o índice da k-ésima
linha original A.
Para exemplificar voltaremos ao exemplo do livro chinês (1.6).
Para que o exemplo seja completo usaremos a técnica do pivô sendo o maior elemento da coluna, desde a linha do pivô para baixo.
3121
)0()1()0()0(
3
1
3
2
321
132
123
1
2
3
123
132
321
3
2
1
mm
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AK
+ +
L
L
UA
K
m
pivômaior
A
K
mm
m
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4
3
1
013
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1
01
001
5
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3
1
3
50
123
1
2
3
3
5/
3
4
3
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3
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3
1
3
50
123
1
2
3
3231
21
5
4
)3(
)3(
23
)2(
)2(
+
UeL
K
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12
5
4
3
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3
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1
2
3
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e L
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1
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500
12
1
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3
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2
3
1
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010
001
3
2
12
500
12
1
5
30
36
50
3
1
100
010
03
21
3
1
5
1
12
500
05
30
003
1
1005
110
3
1
3
21
12
55
33
1
100
010
001
5
1200
3
1
3
50
123
1
2
3
U
I
I
U
K
+
+
+
1
15
4
5
1
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2
1
Bibliografia
[1] ANTON, H. & BUSBY, R. Algebra Linear Contemporânea. Editora Bookman. Porto Alegre. 2006.
[2] RUGGIERO, M.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico – Aspectos Computacionais, Pearson Education. São Paulo. 1996.