eletromagnetismo na atividade cardíaca

7/25/2019 Eletromagnetismo Na Atividade Cardaca

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Eletromagnetismo na atividade Cardaca

Leoncio Ladeira de Mendona Neto

1. Introduo

As doenas cardacas so responsveis por um tero do total de mortes no mundo(OMS). Acredita-se que mais de 300 mil pessoas morrem no Brasil vtimas de anomalias

relacionadas principalmente atividade eltrica do corao. Muitos esforos tm sidofeitos para entender as causas das doenas cardacas na esperana de se desenvolver

curas.Os processos biofsicos envolvidos na gerao e propagao do Potencial de Ao (PA)

celular so extremamente complexos, de natureza altamente no-linear que envolvem

mltiplas escalas. Modelos matemticos/computacionais do PA tm sido uma importanteferramenta para o entendimento e a explorao dos complexos fenmenos da

eletrofisiologia celular por mais de meio sculo.Os modelos computacionais permitem que informaes extradas de experimentos que

estudam diferentes componentes e mecanismos isolados sejam combinadas para geraruma viso da funcionalidade do sistema como um todo.

2. CampoMagntico Cardaco

Devido a grande incidncia de doenas cardacas, muito se investe em mtodos que no

sejam invasivos, para a deteco de doenas em seus estgios iniciais de desenvolvimento.Com o avano da tecnologia, hoje temos os SQUIDs que auxiliam na deteco dos campos

magnticos gerados pelo corao. Atravs destes campos magnticos possveldeterminar onde est a fonte de atividade eltrica anormal. A magnetocardiografia (MCG)

apresenta um potencial igual ao de um diagnostico atravs de um eletrocardiograma(ECG). Porm a MCG se faz melhor por conta de sua rapidez de diagnostico, pois no

necessria a fixao de dispositivos na pele do paciente.Para uma nica clula com origem em um meio com conduo homognea, o potencial

eltrico desta clula definido como:

: o vetor atividade eltrico e aponta na direo de propagao da onda dedespolarizao.

: a distancia da clula ao ponto de observao, e diferente em cada clula. : Condutividade da clula


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Em um MCG a medio do campo magntico se d pelas ondas de despolarizao e

repolarizao. Para se ter a magnitude desse campo matematicamente, e consideramos

que o seguimento est na direo z , o campo magntico em um plano xy aponta para a

direo z e tem magnitude igual a ds dx

Detectores de Campos Magnticos

SQUID

Os dispositivos supercondutores de interferncia quntica, ou SQUIDs

(superconducting quantum interference devices) so hoje os detectores de fluxo

magnticos mais sensveis existentes.

Squids para medio campo magntico

O sistema de medio magntica, SQUID apresenta alto custo de produo e

manuteno, pois tem o seu funcionamento com baseado na supercondutividade.Apesar dos avanos, no estudo dessa rea, ainda no chegou a um ponto em torne

possvel a reduo dos custos desta tecnologia. Para um material se tornar supercondutor,

necessria que esteja em uma determinada temperatura, os primeiros supercondutoresa temperatura era da ordem de 4 K, o que fazia que hlio lquido fosse para seu


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resfriamento. Se fazer este material j era demasiado caro, agora com a utilizao de hlio

liquido para resfria-lo encarecia mais ainda seu custo, pois deixar o hlio em seu estado

lquido tambm muito caro. Porm no conformados, os pesquisadores procuraram

encontrar os supercondutores de altas temperaturas. A descoberta dos supercondutorescermicos foi o grande salto nesta rea. Agora os materiais se tornavam supercondutores

a uma temperatura de aproximadamente - 178 C, o que torna o custo da tecnologia

menor, pois agora utilizado apenas de nitrognio lquido, uma material bem mais barato

de se conseguir. Os cientistas ainda procuram por materiais supercondutores comtemperaturas mais altas, o que reduzir ainda mais o custo.

3. Modelagem da Eletrofisiolgia Cardaca

Para maior entendimento da atividade eltrica cardaca, ser apresenta sucintamenteaspectos gerais sobre a eletrofisiologia celular e sobre a modelagem matemtica de clulas

excitveis. Clulas cardacas so do interesse particular deste trabalho. Assim, um modelomatemtico para um tipo especfico de clulas cardacas tambm apresentado nas sees

que se seguem.

3.1 Fisiologia da Membrana Celular

A clula tem seu interior delimitado por uma membrana que controla o fluxo das

substncias que entram e saem do citoplasma. A membrana constituda de umabicamada fosfolipdica fluida e contnua que mantm uma relao ambivalente com a gua.

Esses lipdios so molculas longas com uma extremidade possuindo afinidade com a gua

(hidrofilia) e outra parte que no a possui (hidrofobia). Quando essas molculas esto

completamente envolvidas por gua, elas se dispem naturalmente em duas camadas demodo a ficarem com a parte hidroflica para fora, ou seja, em contato com a gua e a parte

hidrofbica para dentro.

Viso esquemtica da membrana celular (protena mergulhada na camada dupla do fosfolipdios).

Diferenas nas concentraes so criadas e mantidas por mecanismos ativos que usam

energia para bombear ons contra o gradiente de concentrao. Um dos mais importantes

desses processos a bomba Na+-K+, que usa energia armazenada em forma de molculasde Adenosina trifosfato (ATP) para expulsar Na+ e capturar K+ do meio externo. A

diferena da composio qumica e eltrica nos fluidos intra e extracelular gera uma

diferena de potencial na membrana, o potencial transmembrnico.


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3.2 Modelos Eltricos para a Membrana

As diferenas nas concentraes fazem com que os ons se movam no sentido contrrio

ao dado pelo gradiente de concentrao. Em contrapartida, a fora do campo eltricogerada pela diferena de potencial entre os meios intracelular e extracelular ir dirigir os

ons no sentido oposto ao movimento de difuso. Um equilbrio ser alcanado quando ofluxo dos ons (devido diferena de concentrao) se igualar ao fluxo devido diferena

de potencial. O valor do potencial transmembrnico para um fluxo nulo, ou seja, deequilbrio para um determinado on dado pela equao de Nernst:

O potencial transmembrnico v dado pela diferena entre o potencial intracelular e o

potencial extracelular:

A equao de Goldman-Hodgkin-Katz (GHK) estende a equao de Nernst para o caso de

mltiplos tipos de ons, como por exemplo, sdio, potssio e cloreto:

Alm de conter diversos canais inicos, a membrana celular separa as soluescondutivas interna e externa atravs de uma camada isolante extremamente fina. Desta

forma, a membrana pode ser vista como um capacitor, ou seja, duas placas condutorasseparadas por um material isolante. Nesse caso os fluidos intracelular e extracelular

seriam as placas condutoras, enquanto a bi-camada lipdica seria o material isolante.Pode-se definir a capacitncia como a quantidade de carga que pode ser armazenada por

unidade de tenso aplicada ao capacitor:

Modelo eltrico da membrana celular


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Para completar o modelo celular necessrio definir a corrente inica, que descreve a

dinmica dos canais inicos considerados. Estes podem ser modelados com estados efunes que descrevem a transio entre eles, normalmente resultando em um sistema de

equaes diferenciais ordinrias. Ento o modelo celular descrito pelo seguinte sistema:

Onde um vetor das variveis de estado, que representa o estado de cada canalinico considerado no modelo, que podem ser ativados ou desativados dependendo do

potencial, do tempo ou ainda da concentrao dos ons.

3.3 Propagao eltrica no tecido

O corpo humano consiste de bilhes de clulas, que podem estar conectadas porvrios mecanismos de acoplamento, dependendo do tipo de tecido. Quando construmos

modelos matemticos para a atividade eltrica no tecido, uma abordagem modelar cadaclula como uma unidade separada e acoplada usando modelos matemticos para os

mecanismos de acoplamento. O tecido cardaco composto de moncitos interconectados,

acoplados atravs de um meio condutivo intracelular, que _e cercado por um fluido

condutivo no espao extracelular entre as clulas. Matematicamente este

fenmeno pode ser modelado como dois espaos interpenetrantes (espaos intra e

extracelular) que ocupam o mesmo volume e so separados pela membrana

celular.

O modelo matemtico mais completo da atividade eltrica cardaca o modeloBidominio que considera os meios intra e extracelular como quantidades medias

acopladas pela corrente transmembrnica. Este modelo pode ser formalmente

derivado considerando a conservao das correntes intra e extracelular, pelo

acoplamento dos dois domnios com a corrente transmembrnica e fazendo uso

das leis de Ohm e Kirchhoff.


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3.4 Modelo do Bidominio

O modelo do bidominio descreve o tecido cardaco de forma homogeneizada,

considerando que o tecido dividido em dois domnios separados: o intracelular e oextracelular, que so considerados contnuos. A justificativa para que o domnio

intracelular seja continuo que as clulas so conectadas por junes do tipo gap. Estasjunes so pequenos canais embutidos na membrana que formam contato direto entre as

clulas vizinhas. Em cada domnio definido um potencial eltrico, que em cada pontodeve ser visto como uma quantidade mdia sobre um pequeno volume. Como

consequncia dessa dentio, temos que cada ponto do tecido cardaco se encontra em

ambos os domnios e, portanto cada ponto possui um potencial intracelular Vi e umpotencial extracelular Ve. Suas correntes so dadas por:

Assumindo que no existe acmulo de carga em qualquer ponto, temos que a correntetotal se conserva.

3.5 Modelo Monodominio

Como o modelo bidominio consiste de um sistema complexo de EDPs e possui soluonumrica custosa, comum assumir que a taxa de anisotropia no domnio extracelular

proporcional a taxa de anisotropia do domnio intracelular para obter um modelo

simplificado, chamado modelo monodominio. Seguindo esta considerao, o modelo.monodominio pode ser obtido por uma reduo do modelo bidominio e inteiramente

escrito em termos do potencial transmembrnico.

Considere que as taxas de anisotropia nos dois domnios so iguais, ou seja:


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O monodominio possui vantagens em relao ao custo da soluo numrica, mas possui

limitaes como a hiptese de anisotropias iguais. Alm disso, difcil especificar o valor

de de maneira a reproduzir o comportamento fisiolgico.

O problema completo do monodominio descrito por:

v: a varivel de interesse e representa o potencial transmembrnico.

Cm: a capacitncia da membrana.

Iion : a densidade total da corrente inica que funo de v e de um vetor devariveis de estado , que _e descrito por um sistema de EDOs para controlar a

cintica das variveis de estado.

No modelo do monodominio, o tensor de condutividade que descreve as

propriedades eltricas do tecido. Se for considerado que o tecido um material

transversalmente isotrpico, ou seja, a direo da fibra , a de maior condutividade,ento a condutividade dada por:

Onde I a matriz identidade de dimenso 3x 3, e so os valores da condutividadena direo da fibra e na direo transversal fibra, respectivamente.


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3.6 Modelos celulares

Para completar a descrio dos modelos mono e bidominio preciso ainda

especificar o termo Iion(v;), o qual descreve a corrente inica total por unidadede rea da membrana celular, isto , a soma de diversas correntes atravs de

diferentes canais inicos, como por exemplo, o canal de potssio (K+), de sdio

(Na+), e de clcio (Ca2+).

Hodgkin & Huxley (1952)

Existem diversos modelos celulares (inicos) disponveis na literatura que

descrevem o comportamento de clulas cardacas do trio, ventrculo, fibras de

Purkinje. O modelo mais conhecido o de Hodgkin & Huxley (1952), que

descreve o potencial de ao em clulas do axnio de lula, onde apenas trs

correntes inicas so consideradas: a corrente de sdio, de potssio e uma terceiracorrente de fuga.


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Mitchell & Schaeffer (MS)

O Mitchell & Schaeffer (MS), 2003 um modelo simplificado, queatravs de apenas duas variveis busca reproduzir o comportamento das

clulas cardacas de forma qualitativa.


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4. Simulao Eletrofisiologia Cardaca

A modelagem e a simulao da atividade eltrica no tecido cardaco um passo importante

na compreenso dos padres de contraes e dilataes no corao. O corao produz demodo rtmico pulsos eltricos, iniciadas a partir de um ponto conhecido como o n sinusal. Os

impulsos elctricos, por sua vez, desencadeam contraes mecnicas do msculo.

Em um corao saudvel estes pulsos eltricos so amortecidos, uma srie de doenas

cardacas envolve um elevado risco de reentrada dos sinais. Isto significa que a constante de

impulsos normal perturbada, o que pode conduzir a uma condio aguda grave e muitas

vezes referida como a arritmia. Neste modelo, os diferentes aspectos da propagao do sinal

elctrico de tecido cardaco so estudada usando as equaes FitzHugh-Nagumo e do

Complexo de Ginzburg-Landau ambos os quais so resolvidos na mesma geometria. Padres

interessantes emergentes, as ondas em espiral a partir destes tipos de modelos so, porexemplo, que, nocontexto de sinais elctricos cardacas, podem produzir efeitos semelhantes

aos observados em Arritmia cardaca.

Tem sido demonstrado que muitas das caractersticas importantes da propagao do sinal

eltrico no tecido cardaco podem ser reproduzidas por uma classe de equaes que

descrevem excitvel meios de comunicao, isto , materiais que consiste em segmentos

elementares ou clulas com a seguintecaractersticas bsicas:

Estado de repouso bem definidos.

Threshold para a excitao.

Tipo difuso de acoplamento para seus vizinhos mais prximos.

O estado das portas de membrana aleatria numa escala microscpica, mas a

probabilidade de um dado estado pode ser modelada como uma funo da tenso contnua,

permitindo assim uma mdia descrio macroscpica contnuo do fluxo de corrente.

As equaes FitzHugh-Nagumo para meios excitveis descrevem o mais simples

modelo fisiolgico com duas variveis, um ativador e de um inibidor. No corao

o ativador do modelo a varivel corresponde ao potencial elctrico, e o inibidor

uma varivel que descreve a probabilidade dependente de voltagem dos canais namembrana estar aberto e pronto para transmitir corrente inica.


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As equaes Landau-Ginzburg fornecem uma maneira relativamente simples de modelagem

de alguns aspectos da transio, indicado por muitos sistemas dinmicos sob a

influncia de forte estmulo externo, de comportamento oscilatrio peridico em um catico

estado a aumentar gradualmente com amplitude das oscilaes e diminuindo a periodicidade.

4.1 As equaes de FITZHUH

NAGUMO.

um potencial de ao (a varivel ativador).

: uma varivel de entrada (avarivel de inibidor).

: representa o limiar para a excitao.

:representa a excitabilidade.

, e so parmetros que afectam o estado de repouso e dinmica do sistema.

As condies de contorno para so de isolamento, pois utilizando-se do pressuposto deque nenhuma corrente flui para dentro ou para fora do corao. A condio inicial define um

potencial inicial de distribuio em que um quadrante do corao a uma constante,

elevado potencial ,enquanto o resto permanece em zero. O quadrante adjacente tem um

valor em vez elevado para o inibidor.

conveniente para implementar essa distribuio inicial usando o seguinte expresses

lgicas, onde VERDADEIRO avalia a 1 e FALSO a 0:


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4.2 As equaes de Landau-Ginzburg

As duas variveis , e , so o ativador e inibidor respectivamente, as constantes

e so parmetros que refletem as propriedades do material. Essas constantes podem

tambm determinar a existncia ea natureza das solues estveis.

Como no modelo anterior, as condies de fronteira so mantidas isolantes. A inicial

condio, que d um passo suave transio prximo z = 0, so os seguintes:

Comentarios sobre a implentao da simulao

4.3 Definio do Modelo

A geometria usada na implementao bastante simplificada e foi usando as ferramentasde desenho em COMSOL Multiphysics. A geometria aqui um modelo 3D simplificado de um

corao com duas cmaras, representada com uma cavidade semi-esfrica.

Modelo Geometrico usado para simulao


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As equaes FitzHugh-Nagumo e Landau-Ginzburg foram inseridas em um dos interface de

EDP do COMSOL Multiphysics ,com os parametros assumindo valores conforme a tabela

abaixo.

Lista de parametros e seus respectivos valores usados na simulao

Simulao das equaes de FITZHUH NAGUMO.

Propagao do Potencial de Ao para diferentes tempos


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Simulao das equaes de Landau-Ginzburg

Propagao do Potencial de Ao para diferentes tempos

5. Cometarios e discuso

importante notar que estas equaes so fortemente no lineares. , portanto necessrio

(especialmente em modelos 3D completos como estes) usar uma malha mais fina ou usar

elementos de ordem mais elevada do que no presente exemplo, para obter resultados com

algum grau de confiabilidade para os intervalos de tempo de interesse. Isto particularmente

importante na soluo do Equaes Landau-Ginzburg, que descrevem fenmenos

inerentemente caticos e estes fenomenos so altamente sensveis a perturbaes no valor

inicial e de forma semelhante a erros numricos que ocorrem durante o curso da soluo,

dependente do tempo.

Deve ser resaltado que os resultados apresentados pela simulao refletem apenas uma

estimativa rudimentar do comportamento qualitativo que se pode esperar do sistema para

sob um dado estmulo. Por conseguinte, os elementos de ordem superior, articulada, mais fino

e menor tempo relativa e absoluta tolerncias dependentes dar claramente quantitativamente

mais correto resultados simulados. A implementao destas melhorias leva a mais tempo de

clculo do que para o modelo simplificado aqui descrito que demora algunsminutos para

calcular em um PC padro.


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6. Referencias

[1] RAFAEL SACHETTO OLIVEIRA - ALGORITMOS PARALELOS E ADAPTATIVOS NO TEMPO E NO ESPAO PARASIMULAO NUMRICA DA ELETROFISIOLOGIA DO CORAO.

[2] Fernando Otaviano Campos- MODELAGEM COMPUTACIONAL DA ELETROFISIOLOGIA CARDACA:O DESENVOLVIMENTO DE UM NOVO MODELO PARA CLULAS DE CAMUNDONGOS E A AVALIAO DENOVOS ESQUEMAS NUMRICOS.

[3] Caroline Mendona Costa - 2011 -Modelagem da Microestrutura de TecidosCardacos.

[4] Joventino de Oliveira Campos -Mtodo de Lattice Boltzmann parasimulao da eletrofisiologia cardaca emparalelo usando GPU.

[5] Solved with COMSOL Multiphysics 5.0 1 | ELECTRICAL SIGNALS IN HEART.

Simonetta Filippi , Christian Cherubini - Universit Campus Biomedico di Roma, Italy.

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