elementos de estruturas de aÇo

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE ~·.\o CARLOS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA·JE ESTRUTURAS

ELEMENTOS DE ESTRUTURAS DE AÇO

- Dimensionamento -

Área de Estruturas Metálicas

São Carlos , abril de 2006 reimpressão

Código 01092

Esta

apresentados

APRESENTAÇÃO

publicação aborda a

na disciplina SET

primeira parte dos assuntos

405 Estruturas Metálicasr

ministrada aos alunos do curso de Engenharia Civil. Trata-se dos Elementos de Estruturas de Aço, envolvendo

basicamente o dimensionamento de barras e ligações à luz da norma

brasileira NBR 8800/86 - Projeto e Execução de Estruturas de Aço

de Edifícios. A segunda parte do curso, relativa ao desenvolvimen

to do projeto básico de um edifício industrial será assunto para

outra publicação.

Tal publicação tem, a prior i r um caráter provisório, uma vez que a norma brasileira deverá sofrer, em breve, um processo de

revisão. De qualquer maneira, já há algum tempo sentíamos falta de

uma publicação "caseira" sobre o assunto, em substituição ao livro

texto de autoria dos professores H. SCHULTE e T. YAGUI, que, em

parte, ficou obsoleto pela drástica revisão sofrida pela NB-14 em

1986.

Esperamos contar com a compreensão dos nossos colegas e

alunos, cujas criticas e sugestões sempre serão bem-vindas.

JOSÉ JAIRO DE SALES

MAXIMILIANO MALITE ROBERTO M. GONÇALVES

JOSÊ L. Z. BONFÃ

SUMÁRIO

1 - O MATERIAL AÇO 01

1.1 Obtenção 01

1.2 - Denominações 01

1.3 - Propriedades fisicas 02

1.4 - Aços mais empregados 03 1.5 - Seções usuais 04

2 - CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO 06

2.1 - Método das tensões admissíveis 07

2.2 - Método dos estados limites 07

2.3 - Combinações de ações 08

2.4 - A norma NBR-8800/86 08 2.5 - Exemplos 10

3 - ELEMENTOS TRACIONADOS 13

3.1 - Escoamento da seção bruta 13

3.2 - Ruptura da seção liquida efetiva 13

3.3 - Condição de esbeltez 15

3.4 - Exemplos 15

4 - ELEHENTOS COMPRIMIDOS 19

4.1 - Flambagern por flexão em coluna ideal 20

4.2 - Flambagem por flexão em coluna real 22

4.3 - Critérios da norma NBR 8800/86 34

4.4 - Peças compostas - influ8ncia da força cortante 40

4.5 - Exemplos 46

5 - ELEMENTOS FLETIDOS

5.1 - Expressão do momento critico

5.2 - Flarnbagem inelástica

5.3 - Plastificação

5.4 - Flambagem local

5.5 Considerações gerais

5.6 - Resistência à força cortante

5.7- Exemplos

6 - ELEMENTOS SOB FLEXÃO COMPOSTA

6.1 - Equações de interação

6.2 - Exemplos

7 - LIGAÇõES

7.1- Soldas

7.2- Parafusos

7.3- Exemplos

8 - BIBLIOGR}.FIA

58

58

63

65

65

72

74

81

94

97

98

104

104

109

121

136

1- O MATERIÀL AÇO

1.1- OBTENÇÃO O aço é, basicamente, uma liga de ferro com baixo teor de carbono

(menor que 2%).

Para produzir aço, parte-se do ferro, que é encontrado na natureza

em forma de óxido e·' na operação denominada redução é transformado em

metal.

A operação de redução consiste em fornecer calor ao minério de

ferro, que combina o oxigênio existente nas suas moléculas com o carbono

do carvão utilizado na queima, deixando-o em estado de fusão nos altos

fornos, ou em estado pastoso_nos fornos de redução direta.

A seguir, este banho metálico t ferro gusa ou o ferro esponja, é

transformado em aço mediante a passagem de ar ou oxigênio puro no seu

interior, possibilitando a combinação com o carbono existente. Ao mesmo

tempo podem ser adicionados outros elementos ao banho }c gerando-se assim

os mais diversos tipos de aços.

Após esta transformação, o aço pode ser moldado na forma de chapas,

barras, perfis, tubos, etc.

1.2- DENOMINAÇõES

a) segundo o teor de carbono;

Aços carbono: - aço extra-doce < 0~15% - aço doce 0,15 a 0,30%

- aço meio-doce 0,30 a 0,40%

aço meio-duro 0,40 a 0,60%

- aço duro 0,60 a 0,70%

- aço extra-duro 0,70 a 1120%

1

Ex: Aço SAE 1040

10 = aço carbono

40 = 0,37 a Or44% c

b) segundo a composição quimica: - Aço Carbono ____;;. não sofrem adição de outros metais -Aço de baixa liga e alta resistência mecânica (AR}~

Recebem adição de outros metais~ que aumentam a resistência. - Aços de baixa liga e alta resistência mecânica, resistentes à

corrosão atmosférica (AR-COR)~ Recebem adição de metais que aumentam a resistência mecânica e a resistência à corrosão atmosférica~ de 4 a 6 vezes à do aço-carbono.

1.3- PROPRIEDADES FíSICAS

O= f

8 0,20 (J {20"/,.J

fp = Tensão de proporclonalidade

fy = Tensão de escoamemto

fu:: Tensão de Ruptura

Diagrama Tensão/Deformação de um Aço-Carbono (esquemático)

E = crie = 205.000MPa = 20.500kN/cmz (valor convencional) ~ = coeficiente de Poisson ~ Or3

G = E/2(1+~) ~ 0,385E = 7.890 kN/cm2

p = 12x10-6 /°C (coeficiente de dilatação térmica} 1 = 7.850kgf/m3 = 77kN/m3

2

1.4- AÇOS MAIS EMPREGADOS

ESPECIFICAÇÃO GRAU fy fu t Aplicações e Observações (M.Pa} (MPa) (mm)

NBR-6658 COMUM 180 330 :S-:5 cnapas !:~nas-aço carbono

(não estrutural} NBR-6648 19 190 33U O,;:;! cnapas grossas tNBR 6648)

21 210 350 Chapas finas laminadas a 6649 * 24 240 370 @ frio {NBR 6649}

* 26 260 410 76 e laminadas a quente 6650 30 275 470 {NBR 6650)-aço-carbono

(Nota 2 )

* G-30 300 41!> :S:1!>U cnapas grossas * G-35 350 450 :S.: 50 Aço de baixa liga {AR}

NBR-5000 G-42 415 520 ~37,5

ABNT G-45 450 550 :;37,5 NBR-5004 32 310 4!>0 :::::; 5 cnapas ::t~nas {F ./Q.)

35 340 480 {AR) * NBR-5920 - :no 450 ~ 5 cnapas :t ~nas \ 1!'. /Q. )

5921 - 340 480 {AR-COR} 1 345 480 ~ 19 Chapas grossas

NBR-5008 2 315 460 19a40 * 2A 290 435 40a100 (AR-COR}

B 290 400 ~ 13 Tu.oos redondos

* c 317 427 Aço carbono NBR-8261 B 317 400 Tubos Quad..e Retangulares

c 345 427 ~ 16 Aço carbono * A-36 - 250 400 :; 100 Gera~ - Aço carnono A 110 ::no cnapas F~nas B 205 340

A-570 c 230 360 ~ 5 D 275 380

ASTM E 290 380 Aço carbono 42 290 41!) $, 1!)0 GeraJ.

A-572 45 310 41!:1 ~ 50 50 345 450

55 380 485 :S:37,5 {AR} ST-37 - .240 3/U

:S.: 25 Geral-Aço car~ono DIN ST-52 360 _!.>..:W Geral. - {AR) -lOUó - 160 280 Chapas e .oarras redondas 1008 - 170 300

~ 10 SAE 1010 - 180 330 Aços carbono 1020 - 240 390 (Não Estruturais)

Notas: l-Aços ASTM (Exceto A-36), SAE e DIN devem ser considerados come alternativos, não especificar para obras novas. 2-Acrescentar os prefixos CG ou CF ao grau (Ex. CF-26} 3-(*) Recomendados pela NBR-8800. 4-Notação Empregada: F = Laminado a frio Q ;;;; Laminado a quente AR = Alta resistência mecânica AR-COR = Alta resistência mecânica e alta resistência à corrosão

atmosférica.

3

NOMENCLATURA DOS AÇOS PARA PERFIS LAMINADOS (NBR-7007)

AR-COR-345

{*) B

ALTA RESISTtNCIA MECÂNICA E À CORROSÃO ATMOSF:iRICA

345 485 25

(*) Equivalente aos Aços COR-TEN, NIOCOR1 COS-AR-COR, USI-SAC-50

1.5- SEÇõES USUAIS y

- Soldadas: f

(dimensões livres} X H

iw

} bf t 'I

uzn

- Laminados: (dimensões padronizadas) tm

H=d

- Cantoneiras

,_x_

w CANTONEIRA DE

ABAS DESIGUAIS

4

X

y

-

tw .... rb-b,

~ ' L 1 CAIXÃO

y

"U" ou "C 41

H

_ __ x_

I

I l IY b L ..

CANTONEIRA f L)

ABAS IGUAIS

DE

- De chapas dobradas: {dimensões livres}

[ c uuu ou"c" u U" Reforpado "z, IA L,

- Chapas - Dimensões usuais:

ESPESSURA LARGURA {m } Comp. CLASSE

BI1'./PUL. \mtnJ PADRAU MAX. MI.N. (mm)

MSG 20 .o ,~1 ! 2000

Finas 18 1,20 Laminadas 16 1,50 a Frio 1000 1220 2500

14 1,90 3000 13 2,25

12 2,65

11 3,00 1100 1070 600 2000 Finas 10 3,35 Laminadas a Quente 9 3,75

8 4,25 1170 3000 3/16u 4.r75

1/411 6 7 3 1200

5/16n 8,0 6000

3/8 11 915 1/21Q 12,5

5/8 11 16,0

Grossas 3/4 11 19,0 1000 6000

{só a 7/Sn 22,5 quente} 111 25,0

1u1/4 31,5

1 11 1/2 3715 zn 50~0 1200 12000

2tl1/2 63,0 31.1 75,0

Obs. 1- MSG = uManufacturer's Standard Gaugen 2- Chapas finas podem ser fornecidas em bobinas, com Pr ~ 10t

(lOOkN) 3- Espessuras normalizadas, portanto não muito reais (p/ t ~ 1/4 11

ch. grossas ) .

5

2- CRITtRIOS DE DIMENSIONAMENTO

Dimensionar um elemento ou uma estrutura, pode ser entendido como a escolha correta das seções que vão compô-la, assegurando o desempenho

estrutural e a solução mais econômica possível. A economia está ligada ao menor consumo de material e de

mão-de-obra; que dependem das condições de fabricação, transporte e de. montagem de cada obra.

O desempenho está ligado à capacidade da estrutura em resistir a

todas as ações que vierem a solicitá-la durante a . sua vida útil" sem

apresentar deslocamentos excessivos, escoamento dos seus elementos, perda

de estabilidade, enfim, sem gue ocorra ruina ou colapso.

O dimensionamento sofreut ao longo do tempo, um processo constante de evolução. As primeiras estruturas foram construídas baseadas na

experiência dos seus construtores, sendo um processo totalmente ernpfrico.

Com o desenvolvimento das construções" diminuindo-se as seções

visando economizar material entre outras razões, surgiu a necessidade de

saber até que ponto isto era possivel, mantendo as estruturas seguras.

Surgia assim o conceito quantitativo de segurança. Para os elementos tracionados, a imposição de uma tensão,

característica de cada material, que não fosse ultrapassada palas tensões atuantes revelou-se um critério coerente e seguro. Para elementos comprimidos ou fletidos tal critério não se revelou suficiente, tendo-se

que buscar não mais uma tensão do material, mas sim a carga de colapso, que depende também das propriedades geométricas da seção. Surgiram assim

os métodos da tensão admissivel e do coeficiente de segurança externo. Os dois critérios atualmente se confundem e.m um apenas, gue é

denominado genericamente de Método das Tensões Admissíveis. Visando o aperfeiçoamento desta método 1 com a introdução do conceito

de probabilidade; surgiu o método semi-probabilístico de dimensionamento denominado Método

gradativamente, o

dimensionamento.

dos

Método

Estados Limites, que vem substituindo,

das Tensões Admissíveis nas normas de

6

2.1- Método das Tensões Admissíveis

Neste método, a segurança é introduzida impondo-se que as tensões atuantes fiquem abaixo de um valor, chamado de admissivel, que tanto pode caracterizar o escoamento no caso de peças tracionadas, como uma perda de estabilidade no caso de peças comprimidas ou fletidas.

As tensões admissiveis são obtidas multiplicando-se as tensões criticas por um fator menor que a unidade.

As tensões atuantes são obtidas, por meio do cálculo estrutural, partindo-se de valores de ações definidas em outras normas, ou retiradas da experH~ncia e do bom sen:so do projetista.

aatuante = f{ações}

e a condição de segurança é expressa como:

Este é o método adotado pelas normas NB-11 (madeiras}, NB-143 (perfis leves}, NB-14 (estruturas de aço, até 1986), AISC até a 9a. edição (1990) agora com a sigla ASD, AISI atual (1988), etc.

A critica principal a este método pode ser sintetizada como o tratamento determinístico dado às ações e resistências.

2.2- Método dos Estados Limites

Neste método, a introdução da segurança é feita de forma qualitativa~ não mais quantitativa. As ações, resistências recebem um tratamento serni-probabilistico.

onde:

A condição de segurança é expressa como:

sd = solicitação de cáleul,o

Rd = resistância de cálculo

1

solicitações e

As ações são assumidas com valores nominais que, multiplicadas por um coe f icíente maior que a unidade, transformam-se em ações de cálculo.

resistências assumidas com seus valores convencionais mínimos~ são multiplicadas por um coeficiente menor que a unidade~

transformando-se em resistências da cálculo.

Assim: = <P < 1,0

. l'

Este é o método adotado pela NBR-8800 .. atual NB-14/86, AISC 1988 com a sigla LRFD; EUROCODE1 norma canadense, entre outras.

2.3- Combinações de

Na quase totalidade das estruturas ocorre a atuação simultânea de di versas ações~ sendo que cada método analisa de forma diferente este fato.

No método das tensões admissíveis as ações ou as solicitações são simplesmente somadas e a ação ou a solicitação resultante define a tensão atuante. caso de ocorrer a inclusão da ação devida ao vento na combinação, a NB-14 e a NB-143 permitem que a tensão admissivel seja ultrapassada em até 1/5r o ASD permite 1/3. A AISE 13 propõe fatores de redução quando forem consideradas ações devidas a duas ou mais pontes rolantes, combinadas ou não com ação do vento.

No método dos estados limites, as combinações são feitas mediante a aplicação de um coeficiente de redução que procura representar a probabilidade existente em ocorrer a atuação de duas ou mais ações variáveis simultaneamente.

2.4- A Norma NBR-8800/86

Esta norma particulariza a aplicação do método dos Estados Limites à

estruturas de edifícios executadas com aço r com espessura dos elementos (perfis e chapas) igual ou superior a 3,0mm {1/8").

Deve ser verificada a possibilidade de ocorrer estados limites últimos e de utilização. Definindo-se os estados limites últimos como os ligados à resistência e à estabilidade da estrutura e os estados limites

8

de utilização como aqueles ligados aos deslocamentos, vibrações, enfim, com o bom funcionamento da edificação.

As combinações a serem pesquisadas para os estados limites últimos são: . Combinações Normais e Durante a Construção

Combinações Excepcionais n m

c = 2: 1 G. + E + r 1 -VJ Q. 2 . g ~ . q~ o 1 1=1 ~=1

onde: lg = coeficiente de ponderação das ações permanentes 1 = coeficiente de ponderação das ações variáveis q W

0 = fator de combinação

G = ação permanente (pesos próprios em geral} Q = ação variável (sobrecargas, vento, recalque, temperatura) E =ação excepcional (explosões, choques, sismos~ etc.}

combi- ações permanentes ações variáveis nações

lg (1) 1g (2) lq (3) 'Yq (4)

c ( *) 1

1,4 (0,9} 1,3 (1,0} 1,5 1,2

c { **) 1

1,3 (0 .. 9) 1,2 (1~0) 1,3 1,2

c 112 (019} 1,1 (1,0) 1,1 o 2

(*} Combinações Normais (na vida útil da estrutura) (**} Combinações durante a construção Notas: 1- Para ações de .grande variabilidade·

2- Para ações de pequena variabilidade

'Yq ( 5 }

1,2

1.,0

o

1q{GERAL}

114

1,2

1,0

( 1) e ( 2) : Os valores entre parênteses são para combinações favoráveis (possuem no minimo uma ação variável contrária à permanente)

3- Para ações decorrentes do uso da estrutura 4- Para recalques diferenciais

5- Para variação de temperatura, exceto de equipamentos que deve ser considerada como·decorrente do uso.

6- Adotam-se como de pequena variabilidade, os pesos próprios de elementos metálicos e pré-fabricados em geral.

9

Os valores mais empregados para o fator de combinação são:

= 1r0 para ações de mesma natureza (decorrentes do uso)

= 0,65 para ponte rolante e sobrecargas em geral

= o 75 para sobrecargas em bibliotecas 1 arquivos e garagens

As referentes ao estado limite de utilização são de responsabilidade do jetista? sendo que o anexo C ? NBR 8800 ,fornece limitações as relações flecha/vão. O anexo ~ fornece limitações para vibrações em g.eral e o anexo Q para vibrações devidas ao vento. As ações,

nestas ser empregadas com seus valores nominais.

2.5-

de Combinações Criticas para a coluna CD

J? = +

l?1

= 10 (permanente, grande variabilidade}

l? = 300kl.f (sobrecarga de utilização) 2:

A coluna submetida à fle.xo-compressão.

a} Considerando a sobrecarga como ação variável principal:

{ qd

= 1 p g 1

=

+

=

= 1,4x100+1,5.x300 = 590kN 2

1;4x0,6x5 = 4;2kN/m (valor reduzido de combinação)

b} Considerando o vento como ação vaiável principal:

= 7kN/m

Corno não é possivel saber a priori qual é a combinação critica,

as devem consideradas no dimensionamento da barra.

10

2. Determinação da solicitação critica de uma estrutura solicitada

pelas seguintes ações:

N9 = 10k:N (pequena variabilidade) N = 30kN (vento 1) q, Nq

2 = -40kN (vento 2)

Nq3

= 60kN (equipamento)

Obs: 1- As ações de vento não são simultâneas 2- Equipamento produz ação decorrente do uso

2.1- Combinação positiva

--> Nq3

= ação variável principal

Nd1= 1,3x10 +1,5x60 + 1,4x0;6x30

N1

= 128,2kN

2.2- Combinação negativa

N - 1,0x10 - 1,4x40 2

3. Determinação das combinações criticas em uma coluna de um edificio industrial que está submetida às seguintes solicitações:

N = g 300kN {pequena variabilidade)

N = qt 400kN (ponte rolante 1)

N = qz 300kN {ponte rolante 2)

N = q3 200kN (vento 1}

N = q4 -300kN (vento 2)

N = qs -100kN (variação de temperatura)

11

3.1- Combinação positiva

Nd1

= 1,3x300 + 1,5 (400+300} + 1,4x0,6x200

Nd1

= 1.608kN

3.2- Combinação negativa

Ndz = 1~0x300 - 1,4x300 - 1,2x0,6x100

Nd2

= -192kN

12

3- ELEMENTOS TRACIONADOS

Os elementos metálicos quando solicitados, podem ser divididos em dois grupos distintos: os tracionados e os comprimidos, entendendo-se assim inclusive os submetidos à flexão, que possuirão uma região tracionada e outra comprimida.

Quando comprimidos 1 os elementos metálicos podem atingir a ruptura por escoamento ou, o que é mais comum, atingem a ruptura por perda de estabilidade (flambagem) global ou local. A flambagem global caracteriza o comportamento da barra e depende das caracteristicas geométricas da seção e das condições de vinculação. A flambagem local caracteriza o comportamento de chapa, que surge em função da grande relação largura-espessura dos elementos que compõem a seção transversal.

Aos elementos tracionados aplicam-se dois estados limites últimos:

3.1- Escoamento da Seção Bruta

A resist3ncia de cálculo neste estado limite é definida como:

Rc = $t.Ag.fy ~ onde ~t = 0,9

A9

= área bruta da seção

f = tensão de escoamento do material y

3.2- Ruptura da Seção Liquida Efetiva

Neste caso a resistância de cálculo é avaliada como:

R0

= 4>t,u.Ae.fu ~ onde: 4>t,u = 0,75

A9

= área liquida efetiva

fu = tensão de ruptura do material

13

onde: An = A - Af = área liquida real g uros ct - Coeficiente da uniformização de tensões na tração, sendo

utilizado quando a ligação não se estende a todos os

elementos da seção.

Valores de Ct para ligações parafusadas:

ct = o; 9 -+ Perfis 11 I" e uHu com bf ~ ~ ou 11 '1''* obtidos destes perfis~ ligados pelas mesas com 3 ou mais parafusos por

linha, na direção da solicitação.

ct = O ,85 ~ Demais perfis com no minimo 3 parafusos por linha, na direção da solicitação.

ct = 0,75 ~Qualquer perfil com 2 parafusos por linha/ na direção da solicitação.

Valores de ct para ligações soldadas com 2 filetes:

Ct = 1,0 quando .t ~ 2b onde t = comprimento do filete b = largura da chapa, ou distância

entre os 2 filetes

ct = 0,87 quando 2b > t ~ 1,5b

ct = 0,75 quando 1,5b > .t ~ 110b

Para o cálculo da área dos furos deve-se adotar como diâmetro de cálculo o obtido somando-se ao do parafuso as grandezas!

1,5mm = folga padrão 2, Omm = para levar em conta o mate,rial que foi danificando, no caso

de furos abertos por puncionamento.

No caso de furos alterna dos ou em diagonal em re-lação à direção da solicitação$' devem ser estudadas todas as cadeias possíveis de serem formadas, deduzindo-se da área total a área da todos os furos contidos em cada trajetória e adicionada para cada segmento inclinado a quantidade ts2 /4g (s =distância horizontal, g =distância vertical).

14

3.3- condição de Esbeltez

Peças principais: ~ ~ 240 Peças secundárias: ~ ~ 300 Tirantes pré-tensionados: sem limitações

Peças compostas: ~in s 240 Distância entre ligações:

Perfil/perfil 4 ~ s 600mm Perfil/chapa 4 t ~ 300mm ou 24t

3.4- Exemplos

1- Dimensionar um tirante 1 em dupla c~ntoneira laminada, com 5500mm de comprimento, parafusada nas extremidades a submetida às ações:

N9

= 120kN (pequena variabilidade} Y

(sobrecarqa - devido ao uso}

Nw = 150kN (vento)

Adotar aço ASTM-A36

z

X

y

- Solicitação de cálculo: Nd = 1~3x120 + 1,5x200 + 1,4x0,6x150

Nd = 582kN

- Resistência de cálculo:

. Na área bruta: fazendo Nd = Rd = 0,9 . A9 . FY

Tira-se: A9

~ 25,87cm2

Adotando: 2L 76x76x9,5 -t A9

= 27,2cm2

r = 2,32cm X

15

Parafusos $ = 19mm (3 em linha)

Assim: A e = [27,2-2 (119+0,15+012) 0,95] 0,85 ~ 19?5cm2

Rd = 0,75x19~5x40 = 585kN > Nd (ok)

Ãx = 550/2,32 = 237 < 240 (ok)

Esbeltez no eixo z-z (minimo):

rz = 1,47cm

tz = Ãmáx . rz = 240 . 1r47 ~ 350cm ~

Conclusão: 1!: necessáro 1 chapa separadora, porém a Norma

recomenda o emprego de, no minimo 2 chapas por barra

~-----1-es_o ______ ~_t< ____ :_:_~_o ______ ::_~====l=e=s=o====~j~ 2- Dimensionar um tirante, em chapa de aço A-36, com 1, 25m de

comprimento e solicitado por uma ação de cálculo de 400kN.

Admitir ligações soldadas nas extremidades:

. Area bruta minima:

400 6,9x25 ~

Raio de giro minimo:

125 = = "Z4õ

. Espessura rninima;

r=~

0,52cm

__ t__ 2:: o J' 52

t 2:: 1~8cm ...:; adota-se CH 19mm

16

\

\

Largura mínima:

Adota-se b =10cm

. Verificação da área efetiva (Ct = 0,75)

usar solda nas extremidades com .e.solda ~ bchapa

3- Verificar uma diagonal de uma tesourar solicitada por uma tração {de cálculo) de 630kN, com 3,60m de comprimento, composta por uma cantoneira de 127x127xl2,5 em aço ASTM A-36, conectada nas

extremidades com 6 parafusos q, 16mm de diâmetro dispostos em duas linhas.

Dados da cantoneira:

A = 30,6cm2

r = 2r47cm z g = 50

1

g = 44 2

Verificação da área bruta:

Na área liquida efetiva:

Rd = ~tNn = ~tAefu = ~t.ct·~·fu

: I I

I!O~SDi 5Q ~

Rd = 0,75x0,85[30,6-2x1,25(1r6+0,2+0,15})40

Rd ~ 656kN > sd = 630kN ok

Verificação da esbeltez:

·"- = t = ~6, ~ 7 = 146 < 240 ok z r2

17

la.

2a.

4- Verificar qual a máxima solicitação de cálculo que uma chapa de 200x10mm 2

, em aço ASTM A-36 suporta, na traç.ão 1 para duas

situações de furação:

Situação: g = 6cm A

s = 3cm ' '

d -p- 1,6cm g ·.-r· ·±-t· c ' Situação: g = 4cm fJ

. -s = 6cm ;

dp= 1,6cm ·B

J~ s I

. Resistência na área bruta:

Na la. situação de furação:

Trajetória AB ~ An

Trajetória ACB ~ An 32 = 20-3x1~95xl,O + 2x1,0 4x 6

An = 14;9cm2 (critica)

Rd =$tA f = 0,75x14/9x40 = 447kN < 450kN n u

Na 2a. situação de furação

Trajetória AB ~ An = 16,1cm2 {não altera) ' ' 62

Trajetória ACB ~ An = 20-3x1,95x1 + 2xl.O 4x4 An = 18,65cm2 > 16;1 {não é critica}

Rd = 0,75x16,1x40 = 483kN > 450kN

Portanto na la. disposição Nd ~ 447kN

na 2a. disposição Nd ~ 450kN

Verifica-se que na la. situação o dimensionamento é comandado pela

área liquida e na segunda pela área bruta.

18

\

4- ELEMENTOS COMPRIMIDOS

O colapso de um elemento comprimido poderá ocorrer por escoamento,

flambagem global ou flambagem local das partes componentes do perfil. O

colapso por escoamento poderá ocorrer nas barras com baixos valores do indica de esbeltez global (Ã) e baixos valores de esbeltez local

(relações b/t), isto é, nas barras "curtas" e com espessura de chapa

relativamente alta. Entretanto, na grande maioria dos casos, o colapso é

governado por fenômenos de instabilidade global ou local, ocorrendo

muitas vezes uma combinação dos dois fenômenos.

Com relação à flambagem global ( flambagem da barra) , é comum

considerar-se apenas o caso particular da flambagem por flexão. Quando se

trata de seções com dupla simetria, como por exemplo: seções quadradas,

retangulares, circulares 1 uI u e outras, a flambagem por flexão é, de

fato, predominante (porém, nem sempre critica}. Caso contrário, ou seja,

para seções monossimétricas ou assimétricas, a análise do caso geral de

instabilidade, a flambagem por flexão ª torção, não deve ser desprezada.

No caso de seções duplamente simétricas, a flambagem dar-se-á por

flexão em torno dos eixos principais (x ou y) ou por torção em torno do

eixo longitudinal z . O menor valor da força, P , P ou P indicará a X y Z

direç~o crítica.

No caso de seções monossimétricas, a flambagem dar-se-á por flexão

em torno do eixo de não simetria -ou por flexão em torno do eixo

de simetria associada com torção. A condição critica será dada pelo menor

valor entre P e P ~ onde x é o eixo de simetria. y X%

Já para as seções assimétricas, o modo combinado envolvendo flexão

em torno dos dois eixos principais e torção ocorrerá sempre, e o valor da força critica será P

xyz A norma brasileira NBR 8800 apresenta as equações do caso geral de

instabilidade no ANEXO J, com o titulo nflambagem por flexo-torção".

19

4.1- Flambagem por Flexão em Coluna Ideal

Condições de Coluna Ideal:

Material homogêneo Peça sem imperfeições geométricas Comportamento elástico linear Extremidades rotuladas Força axial centrada (problema de 1~ espécie) Sem instabilidade local ou por torção

- Cálculo da carga critica pelo processo do equilíbrio

. Com a expressão aproximada da curvatura

1 d2y M N.y-+ dzy N o ~ = - EI -+ M = + EI .y = r dx2 dx2

Fazendo k~ N = EI -+ yn + k2y = o

que é uma equação ordinária linear de 2a. ordemr cuja solução é:

y = c sen k.1!: + C cos kx 1 2

Com as condições de contorno: x = o -4 y

que pode ser satisfeita de três modos:

= o = O -+ O = c sen k.t

1

t

a- Caso c = O -+ y = O. Neste caso há o equilibrio estável do 1

deslocamento lateral com a força N. Impondo-se um deslocamento, a barra

volta à posição inicial. Ocorre quando N < Ncr·

b- Caso ocorra kt = O ~ k = O P = O. Não há força aplicada.

20

c- Ocorrendo kt = nn: com n = 1; 2; 3 ... pois sen n1e = o. Este

caso define a força capaz de manter a barra em equilfbrio

indiferente, com qualquer deslocamento. Impondo-se um

deslocamento qualquer~ a barra permanece na posição deslocada.

Neste caso, k = ~ = ~ ~

com n = 1 obtém-se a menor carga de flambagem (1? modo-):

e

introduzindo: r 2 = I/A

,e.2 t2:A i..z = =

rz --r-aer = Ncr/A

Porém, ocr :$; fy {ocorre plastifieação quando uer = fy} logo:

= ~ ~ fazendo: r = y

ou l<Jcr =

21

ou

1,0

1

"i

Ficam assim determinados os valores de CTcr e de Ner' em· função da esbeltez O.) e do módulo de elasticidade ou em ·função da esbeltez reduzida (X} e da tensão de escoamento, respectivamente.

Entretanto os valores dos deslocamentos ( y) continuam indeterminados. Para determinar {y) deve-se utilizar a expressão exata da curvatura na diferencial~ ou seja:

-- = r 1 o que leva a:

N ~-1

c r

Para N = 1,01 Ncr

Para N = 1;05 Ncr

Ymáx = 0120-t

1 a-

y

A flamhagem corresponde, na prática, à ruina da peça.

4.2- Flambagem por Flexão em Coluna Real

Na prática é impossivel observar ou obter as condições ideais, tornando-se necessário corrigir a curva de flambagem para cada condição não satisfeita.

4.2.1- Material não homogªneo

Devido aos processos de fabricação, todos os perfis metálicos possuem; em menor ou em maior grau, tensões internas que alteram o comportamento da peça quando a mesma é comprimida, a partir do momento em que a tensão aplicada ultrapassa a tensão que define o limite de proporcionalidade~ ou seja, -quando:

22

Sendo f = valor da tensão residual no ponto em estudo. r

Portanto, o limite real para o inicio da flambagem elástica não é

mais (4p~), mas sim (lr) que pode ter seu valor deduzido:

<ler ,..z r

Para valores de l < Ãr o material, não seguindo mais a lei de Hooke, desenvolve um comportamento que pode ser representado por uma parábola, com inicio em fy, para À = O e término tangente à hipérbole no ponto onde À = Àr· Este é o procedimento do SSRC, adotado pelo AISC.

tg 0:1 = E = (}/€ (Hooke}

dq tg 0: = Et = (módulo tangente -2 <I(

Engesser/Shanley-1889)

Equação da parábola:

(J = 2

-a;t2 + b &

Para À = Ü-4(} = 2 fy = b fp

Para À À -40' = = cr'l r 2

e dO' /dl = dcr1

/d;>., (tangência} 2

d(J 2 1 2rc E ar-=-

À3

dO' 2

cu- = - 2al

igualando-se

obtém-se:

23

(J

/Material Homogêneo

,-/-I

I

~t ÀR

para l.=l. r,

Mat. Real

a, -~E 2 ---::r X

À

e a equação da parábola se torna:

n:2E À2 ..,.

(1'2 1

n:2E 1.2 1 2 ).2

(J = --- -ç = - r;- . = - Àp.e. 2 14 1.4 ).4 r r r

Á (J l" Introduzindo l À t'>..p.f, ..,. Àp,e

2 1 = = -=-..,.r = --À y ;;:zÀ4

r

(J2 1 - 1 (~r ri -r; =

-2 À

O"m ( 1 À

4) ~ 1-~. --:::4

l;O X Xn

Por exemplo: Aço ASTM A-36

Ql! 123

4.2.2- Efeito de Imperfeições Geométricas

Para a figura tem-se:

~ -N(v +y} .l:'l - o

E!- EI

+hY Nv

yn o o + EI = yn + k2y + k 2 v = o o

24

onde k2 = N/EI

A solução 9eral é:

y = C1sen kx + C

2cos kx + v

0

Condições de contorno: r = o -+ y = o ~ c2 = - v o

x=.t~y = o ~ c = v (cos k.t}-1 1 o sen kl

y = v ( (cosk.e}-1 senkx - coskx + 1 J· o senkl

Fazendo x = .t/2 encontra-se v = Ymáx' ou seja:

Substituindo: senk.t

e

= 2sen k.t cos kt 2 r cosk.e = 2cos2 k.t - 1 2

rearranjando-se e trocando-se o sinal/ chega-se a:

v = v 0 ( -1 + co~ f )

Como o deslocamento total é vT = v + v0

e k = ~

Portanto/ no caso de haver excentricidades (problemas de 2a

espécie) 1 a carga critica é aquela que conduz a deslocamentos infinitos. Analisando agora uma coluna com imperfeições de fabricação:

25

Onde: y ~v sen ~ {curva senoidal} o o "\,.

aproximação proposta por Young (1807)

sendo v0

= deflexão de fabricação

2 :n. X yu n V S·en n'X

y ~ v sen r ~ = - .t z r

e analogamente: y" = M = EI

Comparando as duas expressões de yn:

ff2V. sen nx k 2 sen nx (v +V} -- r = - r .e,2 o

então 1 1 v = v = v o = o n:2 n- 2 EI -- - 1 - 1 -t'.2k2 .t2N

Como [ 1 1 l logo v = v + v = v o - N T o e 1 N -

t

v o 1

Ne Ir- 1

v 1 v = 'N T o 1 Ne

e; mais uma vez observa-se que, quando N - Ncr' o deslocamento v1

tende a

infinito.

10

3 +---+-~...-~;::-

~t=t=l=~l:~~~~~ 1,0 o,9 o.s 0,1 o,s o,s 0,4 o,3 0,2

Colocando em gráfico as duas expr~ssões obtém-se duas curvas quase

concidentes, o que permite concluir que um fenômeno, na prática, pode ser

analisado por meio da equação do outro fenômeno.

26

Analisando o problema a partir das tensões: A tensão máxima na coluna pode ser equacionada como:

onde l.l = coeficiente de ampliação dos deslocamentos, adotando-se:

1 1 IJ = N " 1 - IÇ cos +jl;

Fazendo: Av

0 ( 1+f . .U1) J} = -w-~> <Ymáx = O' m

N = = -x- tensão normal média

com .e =-e 1

lembrando que: W =

obtém-se:

I nTZ {

r 2 = I/A

_f_= À r

denominando 2r/h como fator de forma da seção, pois relaciona o raio de

giro da seção e a metade de sua altura, tem-se para as seções usuais:

r li'72' : o 1 50 CJ --l> 0,71 a 0,.81

= 0,58

Conhecendo-se 1/r = excentricidade especifica = v0/t determina-se a

tensão máxima (<Ymáx) que atua na coluna.

27

A expressão para a tensão critica pode ser obtida partindo-se da condição~

N + M fy (condição de escoamento) -r --w- =

com M = Nt(V'o tem-se:

fy N +

Nv0

[ 1 ~ :J N + N q( N:~N ] = -r -w = -r -r .

ou dividido por fy:

1 N + N Ne com: N N = xç . 11 rr-:: -+ ~ = rç = p xç e-N

Ne 1 = p + P11 ~ -+ eliminando o denominador e dividindo tudo por N9 :

e

p - p N + lÇ Pl1 - 1 + N

lÇ =

Como N pNY fy fy

Ne = w- = p- = p = p e cre K

2E

À2

Rearranjando:

Equação do 2~ grau, cuja soluçãoé:

~z+n+l - /<~z+T)+1)z-4Iz p = zx2

o

À2 P(~e ) z -2 = = pÀ

n-2E

ç-

Colocando em gráfico as expressões já estudadas, encontram-se curvas que diferem entre si em função dos valores adotados para o parâmetro 1·

28

N p::NCR Euler

f v0 ::O(SSRC)

yl y2 < yl

Curvas Teorícas

Os valores de 11 influenciam as curvas de comportamento dos perfis e como um mesmo perfil possui valores diferentes do coefificente n para cada plano, deverá possuir uma curva de flambagem para cada plano.

O ECCS-CECM Convenção Européia da Construcão Metálica, após ensaios de 1. 5,67 colunas, determinou as curvas tipicas que representam o

comportamento da quase totalidade dos perfis existentes. Quantidade de perfis ensaiados pelo ECCS {1959)

516 seção IPE 54 seção HE

139 Tubos redondos 188 Tubos quadrados

94 seção T 76 seção Caixão

500 seção HEM {Jumbo)

Estes ensaios permitiram corrigir as curvas teóricas, demonstrando a existência de um patamar de escoamento quando r < 0,2. Mostraram também o melhor desempenho dos perfis uJumbou e dos aços com alta resistência mecânica.

p

292.

Curvas Finais

pxJ...

4.2.3- Instabilidade Local

Os elementos (chapas) que formam a seção transversal de perfis

metálicos podem flambar antes que a tensão determinada pela análise global seja atingida.

A flambagem de uma chapa com os dois bordos livres 1 paralelos as

tensões, é análoga a de uma coluna com seção retangular:

acr

Porém, em chapas com todas as bordas apoiadas, ocorrerá uma

restrição aos deslocamentos nos apoios}' surgindo então um comportamento

que dependerá das duas direções principais da chapa.

Deste modo a expressão de <Ter será:

. 2 = k n E . ( t )2

12(1-v2 ) !)

agora em função de b (menor dimensão), pois as chapas longas flambarão em ondas, sob a forma aproximada de retângulos.

30

{

a1 ~b

m=1 12;3r···= ne. de . omjas lont}ftu d1 nats

e o coeficiente K = (~ + mb) 2 reflete a influência da relação a/b. Neste m.JJ a caso, o valor minimo ocorre para a = b, quando então m = 1 e k = 4,0.

O valor de k é quase constante para chapas longas, ou para valores inteiros da relação a/b, podendo-se, a favor da segurança, tratar qualquer chapa como chapa longa. Assim, em função das condições de vinculo:

condições de vinculo Valor minimo de k

. 2 bordas engastadas 6,97

. 1 borda engastada, outra apoiada 5,42

. 2 bordas apoiadas 4,00 -

. 1 borda engastada, outra livre 1,28 -

. 1 borda apoiada, outra livre 0,425

A flam.bagem de uma chapa, ao contrário do que ocorre com as colunas, não caracteriza o colapso.

{Colunas: Nu l:'Y Ncr

Chapas lo·ngas : Nu > Ner

Este fato ocorre devido à capacidade das chapas de ainda absorverem carregamentos, mesmo após a flambagem. É o comportamento pós-critico que está exemplificado na figura seguinte.

fcr < f1 < Fy

f1. ~ '~'er ,.._f"oo, .............

I I I fs

fl I I l I f&

t~ w ~I I c w ·I i~ ·I

lo I ( b l (c)

31

a. Conceito de largura efetiva:

be = largura efetiva < b = largura real

b = J o o

dy

nesta situação ocorre o colapso quando: fy

Graficamente tem-se:

Devido às imperfeições iniciais~ be < b mesmo quando omáx < ocr·

As chapas com uma borda livre, ou seja, apenas um apoio, apresentam uma reserva pós-crítica bem menor que as chapas com duas bordas apoiadas, e a largura efetiva também é calculada como:

que em gráfico se torna.: ~~~~~----J~y

be .~ b-be J

b. Flamb.gem não elástica: a

32

()CR = K.~

Reserva pósCrltica

Chapa com bordas apoiadas:

Chapa com 1 borda livre:

k = 0,425 -+ Ài = 0,62 I Effy i

Quando: l. ~ lp-e, -+ fcr = fy (não se considera o encruamento)

l.p! < l ~ lr -+ flambagem inelástica

l. > l.r -+ flambagem elástica com regime pós-critico

Obs.: 1- Para Ã > lp-e. o valor de k depende das condições de restrição à

rotação das chapas que formam os apoios, portanto Kreal é

diferente de Kteórico·

2- Ê usual adotar, na prática, l. ~ lpt , evitando assim a flambagem local das chapas 1 exemplos nos perfis vs, cvs, cs e laminados.

3- Quando À > Ãp.e. fazendo-se:

o dimensionamento pode ser simplificado

. Chapas com duas bordas apoiadas:( elementos enrijecidos}

N max

onde:

Logo b9

é determinado por aproximações sucessivas (iterações)

. Chapas com uma borda livre:( elementos não enrijecidos}

max

onde: Q5

< 1,0 é função da relação b/t, não sendo usual o conceito de largura efetiva neste caso.

33

Seções com elementos enrijecidos e não enrijecidos

N = Q .f .A = Q5

.Qa.A.f = Q.A.f m<l X S 'i' 9 y y

onde: Qs.Qa

A - :Et{b-be) = Qa.A

4.3- Critérios da Norma NBR-8800/86

4.3.1- Resistência de Cálculo (<Pc Nn onde 4>c = 0,90 )

onde

para

{ l :S 0,20

/Qfy •

À À k . .t = X e = I ,-T~:.r

p = 1,0

p = f3 - I {32 -_i_ para r > 0,20 -2 À

[ ] 13 1 1 + 0: I 1 2 -0,04 + rz =

2I2

0: = 0,158 p/ curva a

} = 0,281 p/ curva b Tabela 3 = 0,384 p/ curva c pág. 32 da = 0,572 p/ curva d NBR 8800

Os valores de Q são fornecidos em função da seção e da esbeltez dos

seus elementos, (1 = b/t) que permitem classificá-las em: (Tab. 1 -Pág.

21/22 da NBR-8800).

Seções classe 1 - atingem o momento de plastificação e permitem a

redistribuição de esforços. Seções classe 2 - atingem o momento de plastificação mas não permitem a

redistribuição de esforços. Seções classe 3 - Os elementos apresentam flambagem inelástica.

Seções classe 4 - Os elementos sofrem flambagem elástica.

34

Portando: Q = 1,0 para seções classe li 2; 3.

Q = Q .Q < 1,0 para seções classe 4 s a

Q5 ~ Aplicado em elementos não enrijecidos (possuem uma

borda li v.re) Qa ~ Aplicado em elementos enrijecidos {possuem as duas

bordas apoiadas)

a) Alguns valores de Q5

(Anexo E da NBR 8800}

. Cantoneiras simples:

Quando

Quando: ~ > O J 90 / E/fy'

. Mesas e chapas em geral

= 0,52E f.{ b )2

y t

Quando

{

0,55 I E/fy

Q = 1,42 -s

< ~ :li: 1, 02 I E}fy.

o I 76 ~ I fy/E i

b Quando: -r > 1,02 / E/fy'

. Almas de Perfis "Tu

Quando

{

O r 7 4 I ETfy < ~ :li: 1 1 02 I E} fy '

Q5 = lr91 - 1(24 + / t 1 JE'

35

0,67E ~ Qs = ---:...--

( b 2 fy. -:r>

b) Alguns valores de Qa (Anexo E)

. Mesas de perfis caixão ( ~ > 1,47 / E/fy' )

797t (f=

. Demais elementos (mesma equação com 140 ao invés de 158} com

+ > 1,47 jE/f; .

c} Valores de K (coeficiente de flambagem de barras que corrige o

comprimento da barra, em função das condições de vinculação} - ANEXO H da

NBR 8800.

~.,! :Ir.. "' á = r~ ?' \ r ~r 1 1/ T I I I

I rl I

tREAL I l f

I i 1 1 I I ' \ t t I 1 1

I I /

! N.// ~-- N/ m77 UN// ~.;...

K tTEÓRJCOJ f

2,0 ; 0,5 0,7' l..rO l.,O 2,0 I

i [ RECOMENDADO} I 0;65 0,8 1,.2 1,0 2,1 2~0 t

Kf

Esbeltez limite: 1~200

d) Comprimento efetivo de flambagem de colunas pertencentes a

estruturas continuas: O Anexo I da NBR 8800 apresenta dois ábacos para avaliação do

parâmetro de flambagem de colunas de pórticos, com vigas rigidamente ligadas às colunas. Tais ábacos foram obtidos sob a hipótese de carregamento simultâneo J' ou seja, todas as colunas são simultaneamente carregadas com sua carga critica de flambagem. Tais ábacos foram desenvolvidos por JULIAN E LAWRENCE e estão reproduzidos a seguir.

36

G =

Notas:

~ I /L L c c

~ a.I /L L g g

a) os indicas A e B referem-se às extremidades A e B da barra.

b) na expressão de G, L refere-se ao somatório "I/L" de todas as barras ·rigidamente ligadas ao nó, situadas no plano em que está sendo considerada a flambagem da coluna. O indica 11 Cn refere-se à coluna e 11 g" refere-se às vigas. 11L" é o comprimento da barra e urn é o momento de inércia em relação ao eixo perpendicular ao plano de flambagem que está sendo considerado.

c) para estruturas indeslocáveis, a rigidez I /L de uma viga poderá ser g g

multiplicada pelos seguintes fatores a: o: = 1,5 quando a outra extremidade da viga for rotulada, a = 2, O quando a outra extremidade da viga for impedida de girar,

isto é, rigidamente ligada a um apoio relativamente rígido.

d} para estruturas deslocáveis, deve-se multiplicar a rigidez I /L da g g

viga por o: = 0,50 quando sua outra extremidade for rotulada e por a =0,67 quando sua outra extremidade for engastada.

e) para extremidade de colunas apoiadas em bases, porém, não rigidamente ligadas a tais bases, nGn é teoricamente igual a infinito, mas, a menos que se executem uma rótula real,. pode ser tomado igual a 10 nos casos práticos. Se a extremidade da coluna estiver rigidamente ligada a uma base, 11 Gn pode ser tomado igual a 1, O • Poderão ser usados valores inferiores a 110 desde que justificados por análise.

Tendo sido determinados G e G para um segmento da coluna~ o valor A 8

de "Kn pode ser encontrado traçando-se uma reta entre os pontos apropria-dos das escalas "G" e nG ". O comprimento de flambagem procurado é nKL",

A B sendo L o comprimento da coluna AB.

37

CASO

~ 1

C> H ..:l !il Cl:: 8

f:t; 2 o o z ~ ..:l ~

o 3 z

~ l'il Cl ~ í:Q

~ H 4 li<

1

< o H H l:il a:; E-r 2 < Q

o z ~ H ~ 3 o Cl

~ o rz.. ~ 4 l'il '-' ~ c:o ~ H t'.t.!

5

ESQUEMA K.l..emento k ocnsidarado

I"' L ,

v I~ Banzo 1,0

""' lt

{/w~"" Diagonal Extre- 1,0 ma

ÊVTJ Montante ou Dia- 110 gonal

À/1' ruagonal comprl. ~ mida ligada no

/.. ~ centro a uma dia 0,5 ~ gonal tracionadã

/ ~ ......... de mesma seção.

I" l '"I Banzo com todos os nós contidos

'l/Kl/ fora do plano 1,0 da treliça.

12tftj' Banzes cont.l.nUOs onde somente A e N B são contidos 2: fora do plano 0,75+0,2~

1

! .. L a-I (N >N ) 1 2

{~/v~ Montante ou diagonal 1,0

v N~~ /"Nc

Dl.agonal coropr1.

lo-o, 75 ~ 0,5 C>*~ rnida ligada no centro a uma dia gonal tracionadã c

Nc;...A' \/ 'Nt de mesma seção.

~} Montante conti- N nuo de treliça 0115+0}25 r-em K. 1

(N >N ) '1 2

Parâmetros de flambagem (K) para barras de treliça

Anexo H - NBR 8800

38

Qo o o g ~ç C!~ q g§gg o o C!· q N CI),..~Qc~ • ..., N ,..., o

CD I ldt I ' I I J I I ' I I ' t I I 1 (!)

C/)

w o o > ~g C! C! q Q ~ Q "<t

.n• ..., N ,.., .... o

~si~~ .. ' I • I f f I f I l I I I I I f I J g C/) IJJ c (,/) o o i= a:: ~o

e>< I I I' I 111 I f I I I f J I j a.. SQOO o g OOQ O o Q o 9 o

!3dô d a) ,..: lá) vi -ti n N .,..., N ...

o. o. o o q o. CD 1'- ·19 .n d ..., N ... 00 !li n ,., . .. ... d o ô .n ... N ..... 0000 o

I:D a Lu hn I I I r f "' I I ld J l t 1 ' C>

(,/)

w >

q (Jil Q) .... • ., '<! õ ô o o d o ,.., o

~ J I I • I I t ..J (() IJJ c z {/)

o S::? f-

"' gpnpnJI p I 1ft I J I ' I i I j j f J 0::: <!) "'O QÇ 000 o o 11:0 .... 19 .n ~

..., N ... o a.. ~2 lliriri ai ..i ódd ó ô o ó

Ábacos para avaliação do parâmetro de flambagem (K) em colunas de pórticos - Anexo I - NBR 8800

39

4.4- Peças Compostas - Influância da Força Cortante

4.4.1- Caso Fundamental

e

e

{: = Deslocamento total

= Acréscimo de deslocamento devido a V lf M

Ym = - EI (devida ao momento)

sendo: M = N.y Yn _ N - - EY .y

Como se sabe da resistência dos materiais:

y~ = 1 = ~ v = ~G

onde tp leva em conta a não uniformidade da distribuição de 't' ao longo da seção.

- Seções retangulares: tp = A/~ = 1,2 - Seçã9 circular cheia: tp = 1,18

Tubo de paredes finas: 1/) = 2,0

- Perfis I, H: 'P ~ 2r0

Nyu _ mN y" = 'Y yn (devida ao cortante)

v v-AG

Deste modo a curvatura total é:

= N y + N!f.l yn - EI. AG'

40

y" +

Equação diferencial cuja solução leva a:

com

obtém-se:

4.4.2- Para Perfis de Alma Cheia:

Ncr 1

Obs: (3 corrige o comprimento da barra em função da distorção, não confundir com K que considera as condições de vinculação das extremidades da barra.

4.4.3- Para Elementos Treliçados em V-Simétricos

41

{

vAB ~ V/sene =

VBC = VAB

esforço na barra AB

v = deslocamento horizontal = AA 1 + CC 1

A..~ t = õAB/sene = ôAB.td/b

õAB = VAB . .td/AABE

{ óBC = ôAB {simétricas}

ABC = AAB = Aw

v = 2V.t3 /h 2 EA d w

v v _ vw v 1 = :r- = ~- XG ~

1 w

Então: f5

Entretanto com: h = .tdsene

t1= 2-tdcose

r 2 = I/A

=

=

V.tz d

Ii!XAB

2 Vt tp 2V.td

1 AG =

h2EAw

2-t~ nzi

.t h2 EA .t2 1 w

Observa-se que f5 é minimo quando cosesen2e á máximo, ou seja quando

O ECCS fornece a expressão aproximada (BLEICH)

"- > 40 ~ K'

42

e

fvt

{h/2L 1

M-F h - 2

v h Por equilibrio: -z- a = F -z- ~ F = V

Aplicando a analogia de Mohr na viga CD

a/2

v a = z--

!.· Flecha M V.a h 1 2 h 1

e = Vão = b72 ~ M = Momento Fictício = ~ ~ -z-~ z-- Eim

M V a h 2 V a h = ~e=_,....,=-

l 24Eim 12Eim

a V a 2 h vt= e = ?rT"'I'I""'"-z-- 24Eim

Na viga em balanço AD

{-

v 2

= M = Momento fictício

v.a a 1 2 a 1 V a 3

M = ~ · ~ ~ -z- • ~ • ~ . !!: = iS~I c c

Portanto: 2(v +v ) _ V.a (ah az

v = - .nE + "fi":") '1 2 Im c

1 = v/a ~ v = 1·a

- 't" - v 1 ~(j-~

1P = A/Aw ~ Ay, = A/tp -+ v = a V! AG

43

v a.v =v

Igualando:

Portanto:

onde A = esbeltez do conjunto A = esbeltez de um elemento

c

Admitindo

44

{

a h A 0 1 -+ m

A = 2A c

4.4.5- Cálculo de V (cortante devido à deformação}

Imperfeições iniciais: (v0

/.t = l/1.000}

Excentricidades das ações: (e/~ = 1/1.000)

M = N.y

= Nrc ( V 0 +e ) :r . 1 N -r e

Para X = O ~ v• :: v' "' "'máx

(

V 0 +e ) V -- N:n: r N

1 - r e

. . .

COS 1l'X r

M - N [ vo+e )· (para x : 9 {2\ máx - 1-N/N

6 .. · "" '

obs: v0

= e : .t/1.000 (usual em especificações}

4.4.5- Recomendações da NBR-8800

a. Apenas perfis treliçados:

{

1 ~ 140 (travamentos}

1;in ~ 1conjunto

- Diagonal simples ~ 4> ~ 60°

- Diagonal dupla (em X) ~ <1> ~ 45°

- Chapas de extremidade h <?!. b (largura do perfil)

45

b. Perfis justapostos:

- Distância entre soldas: ' ~ ~conjunto 600mm ...._. 2 rmin :;

À. conjunto - Distâhcia entre parafusos: .t :; 2 rmin :; 600mm

c. Perfil com chapa:

- Distância entre soldas } .t ;!; O, 74t / E/fy' s 300mm

ou entre parafusos

d. Perfis separados por chapas:

Ãconjunto Ãmfn $ 2

Para estas condições não é necessário considerar o efeito da cortante_, mas os travamentos devem ser dimensionados para resistir a V = 2% N.

4.5- Exemplos

1- Dimensionar uma diagonal de uma treliça, com 3,0m de comprimento e submetida aos esforços:

N9

= -50kN (pequena variabilidade)

Nq = -160kN {equipamento}

Utilize perfil em dupla cantoneira fabricadas com aço ASTM A-36.

Solicitação de cálculo:

Ãrea bruta mínima:

Ag ~ Nd/~cPfy ~~c = 0,9 p = 0,6 (adotado)

A9

~ 305/0_,9x0,6x25 ~ 23cm2

Raio de giro minimo:

46

Testanto: 89x76x8 ~A = 24,90cm2

rx= 2,79cm Verificando as abas:

b - 89 11,125 < 0,44 /F 13 -r -r = =

Qs = 1,0

rx = k.~~ rc.rx -r-Curva c ~ p = 0,476

.Testando outro perfil:

A = 26,9cm2

r = 3,22cm X

e

y

~ 1120

102x76x8

rz = 1,65cm

Esbeltez das abas: ~ = 12,75 < 13

r~ 1,04 ~ p = 0,517 (curva c)

ok

ok

Es.beltez da barra: "-x = 300/3,22 " 93 < 200

Distância ~z ~ Ãx.rz/2 " 75cm

Usar 3 chapas {presilhas)

ok:

ok

Obs: Um perfil composto de cantoneiras pode apresentar três esquemas de seção transversal:

1- Com cantoneiras de abas iguais

onde: rx < ry (ideal para elementos onde .ty > .tx}

47

2- Com cantoneiras de abas desiguais, com as abas menores adjacentes:

onde rx << r1

(ideal para elementos onde .ty ~ 2.f.x}

3- Com cantoneiras de abas desiguais, com as abas maiores adjacentes:

lF X

jy onde rx ~ ry (ideal para elementos onde .e.Y" ~)

No problema em estudo ·adotou-se o esquema n?3, que conduziu a urna seção que pesa cerca de 21,42kg/m. Caso fosse adotada o esquema n? 2, a seção encontrada pesaria 27kg/m 102x89x10) e a seção n? 1 forneceria 102x102x8 que pesa 24,38kg/m. Portanto a seção mais leve é obtida utilizando-se o esquema n~ 3.

Exemplo 2- Dimensionar um banzo superior de uma treliça, com comprimento de flambagem de 1, 69m no plano "xt• e 2 ,169m no plano 11 Y", submetido às solicitações:

Ng = -25kN {pequena variabilidade)

Nq = -84kN (vento}

Utilize dupla cantoneira de aço ASTM A-36 .

. Solicitação de cálculo:

Area bruta provável: com p ~ 0,5

A9 ~ Nd/0,9x0,5x25 ~ 14cm2

. Raios de giro:

rx ~ 169/90 Qt 1,9cm

ry ~ 216;9/90 = 2,41cm

48

. Testando 64x64x6 ... A= 15,34cm2

r = X

1,96cm

r = y 2,90cm

r = z 1,24cm

. Esbeltez local: b 64 ~ = r ~ 11 < 13 ok

r ~ 0,96..., curva c..., p = 0,559 X-

iy ~ 0,83 não é critico

{t = CH

Rd = $c.p.A9

.fy 9€ 193kN > Nd ok

6mm}

. Testando um perfil mais leve:

64x64x5 _,A= 11,6cm2

r = X

1,98cm

r = y 2,87cm e rz = 1,24cm

. Esbeltez local: b/t = 64/4,8 = 13,33 > 13

. ~x ~ 0,94 ..., curva c ..., p = 0,570

~Y s:r 0,83 não é critico

Rd = $c.Q5

.p.A9 .fy = 146 kN" Nd = 150,1kN (> 1,03%)

Usar 64x64x5

e portanto .e.z ~ "-z.rz " 53cm, logo usar duas chapas separadoras ao longo da barra.

Exemplo 3- Dimensione uma coluna, em perfil I laminado, aço ASTM A-36,

com as condições de vinculo mostradas na figura, que resista à

uma ação de cálculo de 540k:N.

49

Comprimentos de flambagem:

{ Eixo 1 ~ K = 1,2 Eixo 2 trecho inferior -7 K = 0,8 EIXO 1 EIX02 Eixo 2 trecho superior -7 K = 1,0

Nd A

9 ~ -? com p ~ 0,5

<~>c·P·fy . Área bruta minima:

540 2 Ag ~ 0

19X0,5x25 = 48cm

Raios de giros minimos: (l ~ 90 a 100)

r ~ K.t/Ã -7 r ~ 1,2x500/100 = 6cm = r X 1

ry ~ 0,8x300/100 = 2,4cm = r2

. Testando: I 254x37,7kg/m ~A= 48/1cm2

r = 10,3cm X

r = 2,42cm y

{

Em geral, para perfis laminados

Q=1,0

0,55 - não é critico

1,10 -?curva b ~ p = 0,537

Rd = <~>c·P·Ag.fy ~ 580kN > Nd ok

Exemplo 4- Verifique a coluna abaixo, fabricada em aço ASTM A-36 e

submetida a uma força compressão de cálculo de 1800kN.

lE320!>1 __j!6

e: X 6CO \()

125

- h6 y X

ly

50

. Esbeltez local (classificação do perfil)

Mesas: b/t = 320/2x16 = 10 < 16

ok -+ Classe 3

Alma: b/t = hw/tw = 600/12,5 = 48 > 42 = 1,47 I E/fy'

N ok -+ Classe 4

Calculando bef:

1~ iteração: com f = Nd/Ag = 10,15kN/cm2 ~ 102MPa

sendo [

1 - 140 ] ~ b hw twr

encontra-se: bef = 70,3cm > b não converge

. Propriedades Geométricas:

IX = 2x32X1 1 63 + 1,25x603 + 2X1 1 6X32x30,82 = IX ~ 119.663cm4

12 12

Iy = 323 x1,6 + 1,253 x60 8.748cm4 6 12 Si

A = 2x1,6x32 + 1,25x60,0 = 177,4cm4

{ I Ix/A' Si rx = 25,97cm -+ "-x = 48,5 < 200 ok

ry = 7,02-+ "-y = 85,5 < 200 ok

. Resistências de Cálculo:

xx S! 0,52 não é critica

~Y S! 0,921 -+ curva c -+ Py = 0,581

Rd = $c.Q.py.Ag.fy ~ 2319kN > Nd = 1800kN-+ ok

51

5- Verifique uma coluna, engastada na base e livre no topo, nos dois planos, formada por um perfil CS 300x95, em aço ASTM A-36 1 subme

tida às ações: Ng = 300kN (peq. variab.) e Nq = 1.000kN (uso}. . Seção e propriedades geométricas

H ;:;: 2.400 mm y CH.l6x300

Ag 121,5 cm2 = CH.9§ x268

X r =

X 13,12 em

CH. 16 X .3(X)

r= 7,70 em y

Esbeltez local~ Classe 3 ~ Q = 1,0

Resistência de cálculo:

~Y = 0,72 ~ p = 0,706 {curva c)

Rd = 1.930kN

Solicitação de cálculo

Nd = 1,3x300 + 1,5x1.000 = 1.890kN < Rd ok

6- Verificar uma torre, com 6,0m de altura, engastada na base e

livre no topo, formada por 4 cantoneiras de 102x102x12,5/ em

ASTM A-36. Determinar qual a máxima força de cálculo Nd que pode

ser aplicada.

a- Pela NBR-8800

b- Com um mínimo de diagonais

c- Usando chapas horizontais

(Vierendel)

.Propriedades Geométricas

A= 4x24,19 = 96,76cm2

ff----1 I I

I x = I Y = 4 [ 2 3 3 + 2 4 , 19 ( ~ ) 2] = 28 . 8 9 6cm 4

r ;:;: 17,28cm y

52

rz = 1,98cm

Segundo a NBR 8800:

b/t = 102/12,5 = 8 116 < 13 ~ classe 3 ~ Qs = 1,0

1x = 1Y = 2,1x600/17,28 ~ 73 < 200 ok

~ ~ 0,81 ~ curva c ~ p = 0,647

b=340

Usando diagonais simples com e = 60°:

t1

= 2(340/tg 60°) ~ 393mm

11

= ~1 /rz ~ Ãx ~ 11

= 39,3/1198 ~ 20 < 73

Como b < 380 ~ usar chapa como diagonais:

td = 340/sen 60° ~ 393mm

1d ~ 140 ~ rd ~ td/140 = 0,28cm

td::!: rd.~ = 0,97cm ~adota-se t = 9 1 5 (3/8")

Esforço na Diagonal:

53

H~ 0,02P = 0,02x1409 = 28/1kN

Na face HF = ~ ~ 14kN (normal ao eixo da coluna)

Tensão de flambagem da diagonal (Ãd ~ 140)

Id ~ 1,56 ~ curva c ~ p = 0,305

Ag ~ Hd/~c·P·fy ~ Hd = HF/sene = HF~d/b = 14x393/340 ~ 16kN

Ag ~ 16/0,9x0,305x25 ~ 2,4cm2 = b.t

b ~ Ag/t = 2,4/0,95 ~ 2,5cm

Usar CH. 9,5x25

Chapas de extremidade:

t ~ b/50 = 340/50 = 6,8mm ~usar CH. 8/0mm (5/16")

~2 ~ b = 340mm ~ adota-se ~2 = 400mm

Esquema final: 2x400 + 13x400 = 6.000mrn ok

{

Usar 2CH. nas extremidades e

26 diagonais espaçadas a 200mm

b- Com um minirno de diagonais:

Para reduzir o consumo de diagonais, aumenta-se t1

reduzindo-se

consequentemente o ângulo e.

Corno Ãx = AY = 73 impõe-se que X1

= Ax

~1 = A .r = 73x1,98 ~ 145crn ~ adota-se ~ = 130cm X Z 1

Definindo uma nova espessura:

= 73 ;-rr 0,95 ~ 267 > 200

t ~ 73;-rr

200 = 1,26cm ~ adota-se t = 1,6cm {5/8")

A~ 1,76 ~ p = Or25 (curva c)

Ag ~ 30/0,9x0,250x25 = 5,34cm2 = b.t

54

b ~ 3,34cm ~usar CH. 16x40

Esquema final: 2x400 + 4x1.300 = 6.000mm ok

{ Usar 2CH nas extremidades e 8 diagonais espaçadas a 650mm

Verificação do efeito da força cortante:

A } 2 f} = 1 + ~. T

À 2 A cosesen 2e w

~ À = 73 A= 96,76_+ 2x1,6x4,0 = 109,56cm2

T 2 Aw= 2x1,6x4,0 = 12,8cm

cose = 0,886 sen 2 e = 0,215

{} = 1,041 ~ K' = (J.K = 1,041x2,1 = 2,186

~x = ~Y ~ 0,84 ~curva c ~ p = 0,629

Rd = ~c·P·Ag.fy ~ 1.369kN (vari~ção ~ 3%)

Pela expressão de BLEICH:

À = 73 > 40 ~ K' = 2,1x1,0278 =

~ ~ 0,8327 ~ 0,84 ~mesmo valor anterior.

Portanto, o efeito da força cortante não foi significativo.

c- Usando sistema de chapas horizontais (Vierendel)

a = -t = 130cm ~ para que À < À = 73 1 1 X

h = 34cm

I = 233cm4 ~ A = 24,19cm2 c

Im = 1,25 x 53 /12 = 13cm4 adotando CH. 12,5X50

com Aw = 6,25cm2

55

=

= /1 + ~2 ( 130

2x24,19 + 130x34x24,19 J I j 12x73 2 2x233 13 =

~ = 1,5507; ou pela expressão aproximada de BLEICH:

K' ~ 1,55x2,1 = 3,255 ~ 1' ~ 113 < 200 ok

I~ 1,26 ~ curva c ~ p = 0,412

Para reduzir fJ, reduz-se uan e/ou aumenta-se a seção da barra

horizontal .

. Adotando a = 40cm e CH. 12,5x100

fJ = 1,0303 pela expressão exata, ou

fJ = 1,0310 pela expressão aproximada (BLEICH)

K'= 2,1637 ~ 1 ~ 0,84 que conduz ao valor de Rd = 1.369kN

já calculado.

Verificando localmente os elementos:

- Coluna: Nd = 1.369/4 ~ 340kN/cantoneira

V = H = 14kN F

14x40 4

340 + 140 0,9x24,19x25 0,9x32,8x25 ~

56

0,82 < 1,0 ok

- Chapa horizontal: Nd = 14kN

V.a =-r=

14x40 2 = 280kN.cm

14 280 0,9x12,5x25 + 2 = 0,65 < 1,0

0,9 X 1 r 2~X10 X 25

Cortante: fv = ~ x b~t = 3i!i~~5 = 1,32kN/cm2

ok

Tensão máxima:

ok

)

2

+ 280 + 1,25x102

~ 14,74kN/cm2

6

ok

Observações: 1 - Nos três casos devem ser utilizadas as chapas de extremidade como calculado no item a.

2 - Para manter a carga admissivel próxima do valor máximo foi necessário aumentar a quantidade e as dimensões dos travamentos.

3 - Consumo de aço, nos travamentos, por face: 3 Caso a = 26x39x0,95x2,5 = 2.408cm

Caso b = 8x73x1,6x4,0 = 3.738cm3

Caso c = 7x34x1,25x5,0 = 1.488cm3 1

Caso c = 12x34x1,25x10 = 2

5.100cm3

Conclusões: 1 - O sistema estrutural mais econômico, aparentemente/ foi o normalizado na NBR-8800, uma vez que o volume de aço/normal resistente fornece:

Caso a Caso b

= 54,22cm3 /kN = 59,69cm3 /kN

81,06cm3 /kN 63,67cm3 /kN

Caso c = 1

Caso c = 2

2 - Usar, sempre que possivel, o esquema da NBR-8800 1 por ser mais econômico. Os demais devem ser usados apenas em casos especiais.

57

5. ELEMENTOS FLETIDOS

A flexão pode introduzir efeitos globais ou locais, como já visto na compressão, pois uma parte da seção fica submetida a compressão e a outra a tração. Dessa forma, o projeto de elementos fletidos envolve

verificações de instabilidades locais (mesa comprimida e alma) e

instabilidades globais, cujo fenômeno é a flambagem lateral com torção.

Analisando inicialmente o comportamento global, tem-se:

5.1- Expressão do momento critico (flambagem elástica)

Na figura abaixo tem-se:

u *M

1-=-::F-----:.=--=d:--- z

~!/---- /777/

M

x! PLANTA

. Coordenadas globais X; Y; Z, fixas

Coordenadas locais x; y; z; acompanham a seção da viga nos seus

deslocamentos

. Deslocamentos: em x ~ u em y ~ v

~ ~ giro em torno de z

a ~ giro em torno de y

Acompanhando os deslocamentos da seção:

Mx = M cosa cos~

MY = M cosa sen~

Mz = M sena

58

~---------------r~~z

M

X

EM PLANTA

Admítindo válído cos~ ~ cos~ ~ 1,0

sen~ ~ tg~ du

~ dz

Pode-se fazer:

l Mx ~ M ~ flexão pura em x

M ~ M~ ~ flexão pura em X y

Mz ~ M du

~ momento de torção rz X

X

Da teoría de flexo-torção:

M = M,e. + Mft T

{ M-t = momento de torção livre

Mft= momento de flexo-torção

59

y

( St. Venant}

sendo: Mt = Git~'

Mft= -ECw<P' ' '

derivando uma vez: GI ~~' - EC $ 1 v = Mu'' ~ u'' = t w

MZn. GI <P' I - EC <PIV 't'

t w =- EIY

=

Git Mz dividindo por EC e rearranjando: ~IV - $'' $ · = O w ECW - ECWEIY

Git fazendo: =

ECW 2k

1

= k 2

<PIV -

cuja

onde:

2k </)I I - k 2</J = o 1

solução é: <P = Asen mx

/-ki+ m = / k 2 +k' 1 2

Condições de contorno: x = { ~ <P = O {não há rotação nos apoios)

{

Asen mt = O ~A ~ O (indeterminado)

sen mt =O~ m~ = nrr (n = 1; 2; 3; ... )

com elevando ao quadrado duas vezes e

rearranjando encontra-se: kz = ( r J 2

[ ( r ) 2

+ 2k1]

substituindo k e k e fazendo n = 1 encontra-se a expressão: 1 2

60

Sendo Mcr o valor de momento de flexão que causa a flambagem lateral do perfil acompanhada de torção.

d 2 b 3 t 5.1.1- No caso de vigas I bi-simétricas: Cw = 24

Encontra-se: Mcr = _!!__ I EGAI I À t

Fazendo: (31 = 1C I EGAit I

(32

1e2 E A(d-tf) 2 A(d-tf) 2

= 4(r• It ~ 61415 I

t

Escreve-se: Mcr {anexo D da NBR 8800)

Ou então escrevendo de outra forma:

=I M~r + M~r t 2

sendo: Momento resistente à torção

Momento resistente à flexo-torção

61

{d-tf)2 ~ Iy --..4--

com: cw d2

:::: rY r 3

It 2bftf 0~69EWX :::: 3 Mcr = l.d/Af

1

3 Página 43

Iy tf.bf 9,7EWX da NBR-8800 :::: 6 Mcr =

2 (~/rTJ z wx :::: Af.d

~ = À I Iy/A'

Nas expressões acima foi desprezada a contribuição da alma.

Portanto, a expressão do anexo D é mais exata.

5.1.2- No caso de vigas "U" tem-se Mcr = O 2

5.1.3- Nas seções retangulares e caixões:

Com G = 0,385E

M = 1f I GEI I ' cr -:r y t

{equação da pág. 43 da NBR-8800)

ou então: Mcr = ~ 1 EGAit' = À

5.1.4- Para corrigir a expressão de M para outros carregamentos, a c r NBR 8800 adota a expressão de SALVADOR!:

62

= 1,75 + 1,05 (M /M) + 0 1 3 (M /M )2 5 2,3

1 2 1 2

onde: IM I = menor momento de extremidade 1

1M2 I = maior momento de extremidade

MIM > o para curvatura reversa 1 2

M /M < o para curvatura simples 1 2

Para IM3

1 > IM2

1 ~ cb = 1,0 {M3

= momento entre apoios)

Para variação de momento não linear entre apoios, deve-se adotar

cb = 1,o

Portanto:

5.2- Flambagem Inelástica

As equações atuante f ~ f

c p iguale à tensão

anteriores são válidas apenas no trecho onde a tensão = f - f , ou seja, antes que a tensão de compressão se

Y r limite de proporcionalidade. Para valores acima de fp

ocorre a flambagem inelástica. O intervalo onde ocorre a flambagem inelástica, analogamente ao

estudo da compressão/ é delimitado por valores de 1 denominados de lr e lp e a expressão do momento nominal resistente é obtido por interpolação linear.

Os valores de lr' limite superior do intervalo podem ser obtidos fazendo-se:

Mcr = Mr = Wx(fy-fr)

Por exemplo, em vigas I bi-simétricas:

63

Obtendo-se:

ou desprezando-se a contribuição da alma:

1919 rTd/Af / / 2 •

lr = X 1 + 1 + X

40,75 (r .dJ2 onde X = (f -f ) _T_ ECb y r Af

Nas vigas "U", com (3 = O chega-se a: 2

0,69ECb (página 43)

4~ Mi 2 r

c2 a2 b fJ1

{página 43)

Em vigas caixão ou retangulares: (Cw ~ O)

Me r = Mcr = Mr 1

1r95CbE Ãr = I It.A i

Mr

(anexo D)

Os valores de 1p' limite inferior, são obtidos considerando a viga como coluna curta, ou seja:

P f . c . - = o ,13E I I A t er ~s a~xao ~ ÃP M t p.t

Portanto, quando Ã ~ ÃP o perfil admite a plastificação da seção sem que ocorra a perda da estabilidade lateral.

64

5.3- Plastificação

Os perfis usuais podem desenvolver o momento de plastificação, mesmo quando o dimensionamento é feito utilizando-se processo elástico. Quando o dimensionamento utiliza o processo das rótulas plásticas, com consideração . de colapso incrementai, deve ser adotado um valor menor, mais restritivo ao coeficiente X para assegurar que o perfil pode garantir a redistribuição de esforços.

A NBR-8800 determina que, quando:

9480 + 25 -ç

9480 -ç

Onde: il. = ~/t:Y

~ = distância entre pontos travados lateralmente

fy = entrar com o valor em MPa

M IM > O -7 curvatura reversa 1 2

MIM < o _.. curvatura simples 1 2

M = menor momento de extremidade 1

M = maior momento de extremidade 2

Atendidas estas exigências: M = M p = Z .f P"- X Y

onde Zx = Módulo de resistência à flexão da seção para análise plástica = Momento estático da área em relação à linha neutra.

5.4- Flambagem Local

Devido à compressão que surge na flexão, as chapas que formam a seção podem apresentar instabilidades locais. Para levar em conta estes efeitos analisa-se:

65

5.4.1- Mesa Comprimida

Por analogia com o estudo de compressão, sabe-se que:

l (Jcr =

k = 0,425 (1 bordo apoiado e o outro livre)

Multiplicando e dividindo dentro do radical por Wc = módulo de resistência à flexão da região comprimida:

xr = 0,62

e Ã.r = 0,82

~ r

~ r

(Anexo D - para perfis soldados, I/U)

{Anexo D - para perfis laminados, que possuem uma ligação mais rigida da mesa com a alma, ou seja, k>0,425)

e as expressões para o momento critico:

Mcr = 0,38E wc

À2 (soldados)

Mcr = 0,67E wc 12

{laminados}

sendo b À = -r-

Quando x ~ xp pode ocorrer: M = MP~

e para valores. intermediários de 1.., interpela-se linearmente como já visto no caso da estabilidade lateral.

Os valores de xp são fornecidos como:

66

Àpd = 0,30 I E/fy I

, Àp = 0,38 IE/fy para perfis I e uuu

"P = 1,12 I E/fy' para perfis caixão

5.4.2- Alma Comprimida

As almas dos perfis metálicos, são assumidas como chapas com apoios simples ao longo das bordas e submetidas a tensões, contidas no seu plano, porém com variação linear.

Para esta situação de carregamento adota-se o valor de K = 23,9

(minimo} Verificando os valores de Ã, através da expressão clássica de

flambagem elástica:

Analogamente:

Quando " ~ "P ocorre M = MP~

"r e. 5,6 1 E/fy'

"P e; 3,5 I E/fy i

Àpda! 2/35 I E/fy '

"P < "~"r ocorre a flambagem inelástica (interpolação

linear)

À > À a viga é classificada como esbelta e o seu r dimensionamento é particularizado.

No caso das vigas esbeltas a alma ao flambar localmente pode levar

consigo a mesa comprimida. Entretanto, a flambagem da alma ocorre muito

67

antes do que a teoria prevê, devido a presença de tensões residuais

fortemente concentradas na região da ligação com a mesa.

Portanto, pode ocorrer a flambagem local da mesa, ou a flambagem

lateral com torção.

A flambagem local da mesa ocorre devido à curvatura introduzida na

flexão, que desperta tensões de compressão entre a mesa e a alma, que

reduzem a resistência à flambagem da alma.

Da figura tira-se a força de compressão ou de tração nas mesas:

que possui componente segundo a direção da alma igual a:

A máxima tensão que pode ser aplicada à alma é dada pela tensão critica;

Rw = <Jcr·tw.dx

Para que não ocorra flambagem vertical da alma:

F < R w w

68

ou seja:

Fazendo: H = hw

O" f= fy Xw

0,6722 E n = ~ = (fy+fr)/E 1 f <f +f ,. f

Y Y r

11 = 0,3

Admitindo Aw/Af ~ 0,5 (relação ideal}:

Valor máximo de esbeltez da alma das vigas, e que é o usual de ser

adotado pelas normas técnicas.

Adotou-se na expressão O"cr = kae o valor 1,0 para k, que é

conservador. Com ~ = 0,425 (minimo) chega-se a:

À < w 0,5674 E

1 f (f +f r Y Y r

Entretanto as normas costumam recomendar:

À < w 0,4382E

pois a relação Aw/Af = 0,5 nem sempre é observada.

O outro valor de Àw que define o intervalo da flambagem elástica Àr

pode ser obtido fazendo-se fp = 0,5fy e k = 0,425 .·.

Àr = O ,8765 1 E/fy'

sendo então f = 0,3841E/X2 (flambagem elástica) cr w

69

Na região da flambagem inelástica o comportamento é semelhante ao

das vigas não esbeltas, ou seja:

e o valor de fcr é obtido por interpolação linear, sendo que quando

Ãw < ÃP ocorre fcr = fy.

A torção da mesa ocorre quando:

admitindo-se que também nesta situação fcr $ 0,5fy

e novamente ÃP = 1,75 yfE/fy' para defínir o trecho do escoamento e da

flambagem inelástica.

_My_ My

~5+-----r---~--1-

Como pode ser observado as tensões nas mesas são superiores às

obtidas pela teoria clássica de flexão, tornando-se necessário

reduzi-las. Através de ensaios de vigas com diferentes esbeltez de alma e

diferentes relações ~/Af' observou-se que para evitar a flambagem da

alma, as relações Mu/MY são lineares e concorrem no ponto Ãw = Ãr' que

permitiram obter a seguinte expressão:

Aw 1 - 0,0005-- (À -Ã }

Af w r

70

Por estes motivos! deve ser assegurado, nas vigas esbeltas, a

capacidade das mesas em absorverem as tensões que lhe são repassadas pela

alma após a flambagem, como faz a NBR-8800.

: i : r ~ :

o

: D

~ ~ ~ Se cão Diagrama Diagrama Seção Real Idealizado "Real'# Idealizada

(Elástico) (Pós-Crítico)

- Verificação da mesa tracionada

- Verificação da mesa comprimida

M = wx .fcr'kpg -4 kpg = M IM n u y c

Aw ( ~- I E/fy I ) onde: kpg = 1-0/0005 Af 5,6 ~ 1,0

tw

fcr = tensão de flambagem da mesa, determinada como

quando

Quando

E finalmente: f = c /Ã2 cr pg quando

Sendo que para a estabilidade lateral: À = ~b/rT

71

e

Para a flambagem local da mesa: X = bf/2tf

A~ = o I 87 I E/fy ' e cpg = 0,38E

5.5- Considerações Gerais

l lt > ft..r ~ Mn = Mcr (exceto para alma)

Mp-f. = Zxfy

Mr = (f -f )W y r x

Mr = fyWx (p/.alma)

72

5.5.1- Estado Limite de Utilização (Flechas)

Vigas principais -+!::. ~ ,f. "30()

Terças (telhas aço ou aluminio) -+ 1::. ~ ,f. ~

{telhas de fibro-cimento) -+ 1::. ~ ,f. 24õ

Vigas de rolamento ,f. Com ponte rolante ~ 200kN -+ 1::. ~ 600

> 200kN -+ 1::. ~ ~

5.5.2- Flexão em torno do eixo de menor inércia

Só ocorre flambagem locali vale observar que, neste caso/ as são as chapas com distribuição de tensões lineares {verticais) mesas são as que se encontram sob tensões constantes {horizontais).

almas e as

Para as "almas 11 os limites ÃP e Ãr são os mesmos que para as mesas na flexão em torno do eixo de maior inércia .

. Para as umesasu

sendo

862t

.(Ç' 152 ] ...... ~...---rr;--y---

5.5.3- Para análise plástica

Além das imposições para Ã (X ~ Ãpd) nos trechos com rótulas plásticas 1 na região da última rótula a se formar e nas regiões sem rótulas:

73

Àp = 1, 75 I E/fy' para seções I bissimétricas

Àp = 0 1 13E Mp,C

I It .A I para seções caixão

Demais restrições:

- Que o aço possua fu ~ 1,25fy

- Sejam colocados reforçadores de alma nos pontos de formação de

rótulas.

- Os pontos de formação de rótulas estejam contidos lateralmente.·

- Seções classe 1

5.5.4- Condição de segurança:

onde: <Pb = 0,90

Mn = Menor momento resistente obtido entre os diversos estados limites últimos estudados.

5.6- Resistência à força cortante

A resistência dos materiais fornece a seguinte expressão para

determinar a tensão de cisalhamento em casos de flexão simples:

r = V.Ms

f=~ V u.I

onde: V = cortante na seção

Ms = momento ·estático da área acima da linh~ em estudo, em relação

à linha neutra da seção.

b = espessura da seção na linha em estudo.·

I = momento de inércia da seção em relação ao eixo de flexão.

74

Para um perfil I, desprezando-se a contribuição da alma:

V.Af.h/2 2 tw.Af.h /2

= v htw = v

Aw

Portanto a tens'ão pode ser assumida como atuando apenas na alma 1

uniformemente distribuida. A NBR-8800 recomenda fazer:

Aw = hw.tw nos perfis soldados

Aw = H.tw nos perfis laminados

5.6.1- Tensão de escoamento, ou de plastificação

Para cisalhamento puro; o critério da energia de distorção, ou de

von Mises, fornece:

Considerando: ( <5 = fvy = tensão de cisalhamento obtida em ensaio sim-

1 1 ples de cisalharnento puro e assumida como ten

são principal. <5 = -fvy 2

obtém-se: donde:

Para análise elástica recomenda-se: fvy = 0,6fy

Para análise plástica: fvy = 0,55fy uma vez que é necessário considerar a interação da força cortante com o momento fletor.

5.6.2- Flambagem por cisalhamento

75

As chapas submetidas ao cisalhamento puro apresentam flambagem

elástica quando:

f v ___ ..,......_

fv tE a llfv sendo: fe =

_...._ __ _ f: v

e a quando -n- < 1,0

k = 5,34 + 4,0/(a/h} 2 quando~~ 1,0

(Adota-se k = 5134 para a/h > 3,0, chapa longa}

Dentro do mesmo procedimento obtém-se:

Ãr ~ 1,37 ~ sendo usual adotar y

~~r = 1,40 ~~

onde foi assumido fvp = fvy - fvr ~ 0,8fvy (proporcionalidade)

sabendo-se também que: finelástico ver

Assim, quando: Ã ~ Ãp têm-se Vn = Vp~ = 0,6Awfy

têm-se Àp

vn = r-· vP~

76

encontra-se:

5.6.3- Resistência pós-critica ( campo de tração)

Como já visto~ a flambagem de uma chapa não configura o colapso.

Caso se queira utilizar a resistência pós-flambagem pode-se fazer:

Para x ~ ÃP ~v~ = VP~ (não há reserva, pois é escoamento}

sendo 11 = 1

Entretanto surgem as seguintes restrições ao emprego do campo de tração, ou resistência pós-flambagem:

- Não aplicável a painéis extremos, com aberturas e os adjacentes a estes

- Não aplicável a vigas submetidas a cargas móveis

Somente em solicitações de flexão, devendo ser verificado adicionalmente a equacão:

Sendo $bMn determinado como para vigas esbeltas.

77

5.6.4- Condição de Segurança

- Dimensionamento geral a cisalhamento tem como segurança:

com <Pv = O , 9 O

5.6.5- Cálculo de Reforçadores:

- condições minimas:

b À = --t- ~ ( b/t)lim para seções classe 3

I ~ (h/50) 4 com h em em

A = Ast + 12tw nos reforçadores de extremidade

condição de

A = Ast + 25tw nos reforçadores centrais ou intermediários

~f~ = k.~ sendo k = 1,0 com as duas mesas carregadas

k = 0,75 com apenas uma mesa carregada

. Descontar recortes na área de contato

Quando aplicado o campo de tração, deve-se fazer:

onde: Y = razão entre os limites de escoamento do material da alma

e do reforçador

D = 1,0 para pares de reforçadores (A.L.) = 1,8 para uma cantoneira = 2,4 para uma chapa

A solda do reforçador com a alma deve ser capaz de transmitir uma

força distribuida nqs" igual ou superior a:

qs = 0,0001 h~ (qs em N/mm)

onde: h = altura da alma da viga (mm)

fy= tensão do material da alma da viga (MPa)

78

5.6.6- Verificações adicionais na alma

k= tf para perfis soldados k= tf mais o raio de concor

dância entre mesa e alma para perfis laminados.

- Enrugamento: f c r

- Flambagem local:

0 1 54E

( h/t } 2 w

[ m +

adotar o maior

- Na tração adotar fcr = fy {escoamento}

5.6.7- Comentário

5,5 - rotação da mesa é impedida

2,0 - liberada

A resistência pós-critica da alma ao cisalhamento, possui diversos

modelos que procuram representar o fenômeno. A NBR-8800 não define qual o

modelo adotado/ entretanto, segundo o modelo de Basler obtém-se:

79

F+iJF ~F=~====~~====~~

a

MODELO DE BASLER

Da figura obtem-se: Ft = ft.s.tw

cuja componente vertical é: ~Vn = ft.s.tw.sen~

e o segmento s = hcos~- asen~ . ·. ~Vn = ft.tw(hcos~-asen~}sen~

e ~Vn será máximo quando ~Vn/d~ = O e ft = fy (escoamento)

dLi.V ~ = fy.tw(hcos2~-2asen~cos~) = O

onde somente tem sentido (hcos2~-2asen~cosq> = O) com a e h :;: O, cuja

solução ocorre quando a = h, obtendo-se:

h

sen 2cp = h =

1

80

r Para equilíbrio de forças na horizontal {no detalhe):

at .b.F = fy.tw.asen~.cos$ = fy w sen 2$ -z

l Por equilíbrio de momentos em relação ao ponto o -

6Vn.a - 6Fh = o AF a ou = AVn!l

Igualando as duas expressões de 6F obtem-se:

.b.V f htw

sen 2~ Awfy

= -z :: n y

r/1+(fi)2 2

como vp-t = 0,577 Awfy

Portanto, parece ser o modelo de Basler que está embutido na NBR-8800.

5.7- Exemplos

1- Para a viga da figura, determinar o valor de Qmáx' para quatro situações distintas: a- Viga biapoiada e sem contenção lateral.

b- Viga biapoiada com contenção lateral no ponto de aplicação

da força Q.

c- Repetir as condições anteriores porém com a viga biengastada.

Considere perfil soldado e aço ASTM A-36.

A = 78,25cm2 y LC)l

w = 1.564cm3 r (:lOkN/m _1

J:* I I X v *d_ z = 1. 717cm3

X LC) X /7777777 ""i

IE 4,0m .. !- 4,0m -I 5 LC)

r = 4,97cm y

I = 29,49cm4 ESQUEMA ESTA,T!CO

~~f T

G = 8.000kN/cm2

SEÇÃO DA VIGA

81

E = 20.500kN/cm2

I = 42.219cm4 X

a- Caso a

a.l- Solicitações de cálculo na viga biapoiada

Momento máximo (no meio do vão)

2 Q.t Md = 1,4 4 + 1,5 4

Md = 1,4x10x8 2

+ 1,5xQ:x8 = 112 + 3Q (kN.m) 8 4

Md = 11.200 + 300 Q {kN.cm)

Cortante máxima (nos apoios)

vd = 1,4 ~ + 1,5 ~

1,4x10x8 + 1,5 Q = vd = 2 ~ 56+0,75 Q (kN)

a.2- Resistências de cálculo:

Classificação da viga:

hw 515 tw :: -s- = 103 < J...r = 5, 6 j E/fy ' = 160

Logo, viga não esbelta, pode ser dimensionada pelo item 5.4.5 da

Norma NBR 8800 ou pelo Anexo D. Por ser mais exato, será

utilizado o Anexo D •

. Verificações locais:

b FLM ~ J... = ---r- 210

2x12,5

Como À < À ~ M = M p P n P'\,.

82

= 0,38jE/fy' Qt; 11

hw FLA --7 À :::

tw ::: 103 --7 Àp = 3,5/E/fy, ~ 100 < À

"-r = 5,6/E/fy' ~ 160 > À

Como

Verificação global:

FLT --7 "- = ~b/ry ::: 800/4,97 = 161

Àp = 1, 7 s; E/fy ' ~ 50 < À

o , 7 o 7 f3 1 cb / 1 À r = +/1

4(3 M2 2 r

Mr + cz f3z

b 1

onde: (31 = 1r / G.E I I IT .A i = 1931x10 3 kN.cm

A(d-tf)2

47.334 {32 ~ 6,415 I ~

T

cb = 1,0

M - w (f -f ) = 1564(25-11,5} = 21.114kN.cm r - x y r

M = M = Cb(3t ~ = 20.162kN.cm n cr "- / 1 + ;}

Mn = Mn (FLT)= 20.162 kN ( menor valor)

0,9x20162 = 11.200 + 300 Q --7 Q á = 23,15kN m x

83

b- Caso b

b.1- Solicitações de cálculo - As mesmas do caso a

b.2- Resistências de cálculo:

A única alteração ocorre em FLT, onde agora:

~b = 400cm ~ À = ~blry = :~g 7 = 80,5

sendo que ÀP e Àr' por serem propriedades geométricas da seção e do tipo de carregamento também não se alteram.

Deste modo: À = 50 < À = 80,5 < À = 156 P r

x-xP xr-xp

Mn = 36.227kN.cm {critico}

Igualando:

~bMn = Md = 11.200+300Q = 0,9x36.227

Qmax ~ 71,35kN

c- Caso c - Viga biengastada sem contenção lateral 1

c .1 - Solicitações de cálculo 1

c .2 -1

Momento máximo (nos apoios)

= 1,4 i~2

+ 1,5 ~ 10x82 Qx8 = 1,4 12 + 1,5 -a-

Md = 7.467 + 150 Q (kN.cm}

. Cortante máxima (igual a da viga biapoiada}

vd = 56+0,75 Q (kN}

Resistência de cálculo

FLM e FLA são constantes

FLT é idêntico ao caso a portanto:

M = n 20.162kN.cm que igualando-se à resist.

~bMn = Md = 7.467 + 150 Q = 0,9x20.162

Qmáx = 71,2kN

84

de cálculor

d- Caso c - Viga biengastada com contenção lateral no meio do vão. 2

c .1 - Solicitações de cálculo 2

As mesmas do item anterior

c .2 - Resistências de cálculo 2

FLM e.FLA não se alteram.

FLT é idêntico ao caso ~~ portanto:

Mn = 36.227kN.cm

$bMn = Md = 0,9x36.227 = 7.467 + 150Q

Qmáx = 167,58kN

e- Verificação da cortante;

vdmáx = 56+0,?SQ ~ Qmáx

V dmáx = 182kN

= 167,58kN (caso c) 2

Testando sem reforçadores: a/h= 400/51,5 = 7,7 > 3,0

k = 5,34 ~ Ãp = 1,08 ~k.E/fy ~ 71

515 -s- ~

Vn = 1,28{Ãp/Ãw)2 Vp~ ~ Vp~ = 0,6Awfy = 386,25kN

vn ~ 235kN

Rd = ~vvn = 0,9x235 ~ 211,5kN > vd = 182kN ok

Portanto, colocar enrijecedores apenas nas extremidade e no meio

do vão (força concentrada).

f- Dimensionamento dos enrijecedores

. Largura: b s (bf-tw)/2 ~ 100

Espessura: para ser classe 3:

Â ~ o I 55 I E/fy I = 16

b À = ~ < 16 ~ t ~ b/16 = 100/16 = 6,25

Adota-se: t = 6,35mm (1,4")

85

. Inércia: I = t(2b+tw} 3 /12 = 0,635(2x10+0,5) 3 /12

I = 456cm4

Resistência ao esmagamento (nos apoios)

Rc = $Rn = $ 1,5Aefy

$ = 0,75

Ae = 2(b-1,5)t = 2(10-1,5)0,625 = 10,8cm2

Rc ~ 304kN > sd = vd = 182kN ok

Resistência à compressão:

-Sob a carga Q, com K = 0,75 e h= 51,5cm

Ar = 2.b.t + 25tw = 2x10x0,635 + 25x0,5 = 25,2cm2

r = j I/A = /456/25,2' ~ 4,25cm

r=~:~ /º·fy/E • ~ o,1o1 < o,2o-+ P = 1,o

Rc = $cArfy = 0,9x25,2x25 ~ 567kN > Sd = Vd = 182kN

-Nos apoios, com K = 0,75 e h= 51,5cm

Ar= 2.b.t + 12tw = 2x10x0,635 + 12x0,5 = 18,7cm2

r = 4,94cm ~I~ 0,09 < 0,20 ~ p = 1,0

Rc= 0,9x18,7x25 ~ 420kN > Sd = Vd = 182kN

g- Verificação da flecha:

Viga biapoiada: A = 5p.t4 Q.t3 384EI + 4ãEI

= 5x0 1 1x800 4 71 1 35x800 3

ô 384x20.500x42.219 + 48x20.500x42.219 = 0 ~ 62+0 , 88 = l, 5cm

Entretanto, é usual verificar comparando-se com o inverso do valor, . ou seja:

86

h-

À 1 < 1 ok -r :: m "3bõ

Viga bi-engastada: À :: p.e,4

+ Q.t3

À :: 0,34cm 384EI 192EI

À 1 1 -r~ 2.353 << )Oõ ~ ok

obs: a verificação da flecha é feita com ações nominais (sem

majoração) .

Flambagem local da alma (item 5.7.2)

Rd = cp f = cp.0,54E [ 2 + (a~h) 2 J = 1,94kN/cm2

c r (h/tw}z

sd pd 1,4x0,10 0,28kN/cm2 < Rd ~ ok = tw = 0,5 =

2- Verificar a viga da figura, travada lateralmente nos apoios e nos

pontos de aplicação das cargas concentradas. Adote aço A-36. y

180kN ~1 r . r r'=20 kN/m t

/77777 ----t- X ~ _[t t i i í i Pl;?i ]

j ... 4,2m .. j_.J;6m ~ .. or:~zm ~ 6,35

ESQUEMA ~ ~ SEÇÃO DA VIGA

a- Solicitações de cálculo

. Momento fletor sob as forças concentradas:

Md1

= 1,3x4,2P + 1,5(4,2 q ~

Md1

= 982,8 + 491,4 ~ 1.474kN.m

Momento máximo (no meio do trVãO r Md

2 = 1,3x4,2P + 1,5q t 2 /8

Md2

= 982,8 + 540 ~ 1.523kN.m

87

4,2 2 q/2)

. Cortante

Vd1

= 1,3P + 1,5x1,8q = 234+54 = 288kN (sob as forças cone.)

Vd , = 1,3P + 1,5x6q = 234 + 180 = 414kN (nos apoios} max

b- Resistências de cálculo

Classificação da viga

Viga esbelta, dimensiona-se pelo anexo F da NBR 8800

0,48E = 325 > 173 ok

Flambagem lateral com torção (FLT}:

No primeiro e no terceiro trechos (~b = 420cm):

À! = 4,44 I CbE/fy' ~ 127 ~ cb = 1,0 r

À -eb

~b 420cm = ~ = T r T

r = I I /A T T T

3

I Iy/2 bf.tf 303 x1,9 2.137cm4

yT ~ = 24 = 24 =

A A f + Aw

30x1,9 110x0 1 635 ~ 69cm2 = r = + 6 T

r ~ 5,56cm ~ À ~ 75 > À I

T T p

88

Aw h Kpg = 1-0,0005 Af {tw- 5,6/E/fcr) ~ 1,0

~bMn = 0,9x7.510x1,0x20,9 = 141.263kN.cm ~ Md1

Ok

No trecho central (~ = 320cm):

t..T = 360/5,56 = 65 --> f = O, 903f = 22 ,6kN/cm2 cr y

~bMn = 0,9x7.510x1,0x22,6 = 152.753kN.cm ~ Md2

Ok

Flambagem da mesa comprimida:

~ ; 300 7 9 I 10 9 f f ~m 2x19 = ' < ÃP = ' ----> cr = y

~bMn = 0,9x7.510x1,0x25 ~ 168.975kN.cm > Md2

ok

. Escoamento da mesa tracionada:

~bMn = 0,9x7.510xl,Ox25 = 168.975kN.cm > Md2

ok

Resistência ao cortante (sem campo de tração)

1.. = 173 com a = 420cm

k = 5,34 ~ "-p = 71,5

lr = 92,6 < 1 = 173

~vvn = 0,9x1,28(ÃP/Ã) 2VP~

89

~vVn ~ 206kN < Vdmáx = 414kN

Colocando reforçadores aumenta-se· Vn; para determinar a nova

d . â . 11 11 f 1st nc1a a az-se:

1,28Ã~ ~vvn ~ vd ~ vd ~ ~ . . v " v À2 p'\..

com vd = 414kN ~ k ~ 10,733

Admitindo a/h < 1 1 0

a s; 98cm

Adotando-se a = 95cm ( 1 ~ painel·}

No 2? painel ~ Vd = 414-0,95x1,5x20 ~ 386kN

com k = 0,0259 Vd = 10,0 ~ a = 103,5cm < hw

Adota-se a = 100cm (2~ painel)

No 3? painel ~ Vd = 386-1,0x1,5x20 = 356kN

a/h > 1,0

2 k ~ 0,0259 vd = 9,22 = 5,34 + 4,0/(a/h)


No 4? painel ~ Vd = 356-1,1x1,5x20 = 323kN

a/h > 1,0 ~ k ~ 8,37 ~ a ~ 126cm

Como: 420 - 95 - 100 - 110 = 115cm


No trecho central: Vd = 54kN

Fazendo: a = 360 ~ a/h = 3,27 > 3,0

90

a s; 112cm

k : 5 1 34 ~ Àp : 71 1 5

xr = 92,6 < x = 173

~vvn ~ 206kN > 54kN ok

Não precisa de enrijecedores.

Resistência ao Cortante com ancoragem de tensões (Anexo G)

1~ Painel: a = 95cm - Mesma resistência anterior 1 não se considera

aumento de resistência, pois admite-se que este painel ancore {absorva) as tensões de tração que surgem na pós-flambagem da alma.

2? Painel: Vd = 386kN

_;_ / [ 2h6W0tw .] 2 u ~ - --> a :Ç 248cm

a !l $ 3,0 --> a $ 330cm

Adotando-se: a = (420-95}/2 = 162,5cm para obter dois painéis iguais, tem-se:

k = 5,34 + 4 1 0/{a/h) 2 = 7,17

À = 83 p

À = 107 < À = 173 r

v~ = { 1,28( ~p r + ~[ 1-1,28( ~p rn vp~ " 669kN

11 = 1 = 0,487

Portanto mais econômico.

91

Dimensionamento dos reforçadores:

~ b s (bf-tw)/2 = 145

~ $ 16 ~ t ~ 9,06

Adota-se t = 9,5mm {3/8")

Verificação do esmagamento:

~Rn = ~c1,5 A9

fy = 0,9x1/5x2(14,5-1,5)x0,953x25 = 697kN >Vd,max

Verificação da compressão (flambagem}

I = (2b+tw) 3 .t/12 = 2.067cm4 > 23 1 4cm4 = (h/50) 4

A= 2b.t + 12t = 35,3cm2 (apoios) w

r = / I 7 A ' = 7 , 6 6cm

1-V /V . Área mínima: A~ ~ P~ (1-1,15 ~a/h}Y.D.a.tw

Vn = 309kN (sem campo de tração)

~ = 0,487 (a = 162,5cm)

a = 162,5cm

y = 1,0

D = 1,0

A ~ 6,28cm2 ~ Ast = 27,55cm2 >> 6,28cm 2 ok

. Solda dos reforçadores com a alma:

q = 0,0001 h~ = 435N/m~ = 4,4kN/cm s I Ly

Utilizando solda rninima de 3mm em ambos os lados:

92

~Rn = 7,9kN/cm > q5

ok

Interação entre momento e cortante:

Md 0,625Vd ~ + rp VI ~ 1,375 '+'b n v n

Em X = 95cm -> Md = 380kN.m

4>b~ = 1.413kN .m

380 + 0,625x386 0,830 < 1,375 -> 1. 413 430

:;;

Em X = 257,5cm -> Md = 989kN.rn

rpbMn = 1.413kN.m

989 + 0,625x337 = 1,05 < 1,375 -> 1.413 602

Em x = 420cm ---> Md = 1.474kN.rn

rpbMn = 1.413kN.m

1.474 + 0,625x288 1 , 34 < 1 , 375 -> 1.413 602 =

.Flarnbagern local da alma (item 5.7.2)

Para o painel central, a = 360cm:

ok

ok

Ok

vd = 386kN

4>vVn = 430kN

vd = 337kN

cpvV~ = 602kN

vd = 288kN

cp V' = 602kN v n

Rd = ~fcr = ~~~~:~~ [ 2 + (a;h) 2 ] = 0,79kN/cm 2

= 1,5x0,2 = 0,635

Verificação da flecha:

A 5q-E4. P.a (3.t 2 -4a 2

) 420cm :;;

384EI + 24EI -+ a =

A 0,616 + 1,30 1,92cm -+ b. 1 Ok = = -r = 02"'5'

93

6. ELEMENTOS SOB FLEXÃO COMPOSTA

Os elementos submetidos à flexo-compressão (normal ou obliqua) têm seus deslocamentos transversais oriundos da flexão~ ampliados pelo efeito da força normal. Este efeito é conhecido como efeito de 2~ordem e deve

ser considerado no dimensionamento de tais elementos. Na flexão composta, observa-se os seguintes modos de falha:

- Tração + Flexão: em geral, escoamento.

Compressão+ Flexão em torno de um eixo de simetria (sem FLT}: instabi

lidade no plano de flexão (sem torção).

- Compressão + Flexão em torno do eixo de maior iné~cia: flambagem late

ral com torção (FLT).

- Compressão + Flexão biaxial (obliqua) a - seções com grande rigidez à torção: flarnbagem por flexão em uma

das direções principais.

b - seções com pequena rigidez à torção: flambagem por flexão e torção

combinadas.

94

Na figura acima:

P -- 5p,e4 v 0 = flecha devido à carga 38 4EI

v = acréscimo de v0

devido a N

Admitindo-se:

TCX y ~ v sen -r-

o o '\., e rcx y = v sen r

Com desenvolvimento análogo ao desenvolvimento para a compressão,

chega-se a:

1

1 -

Para o cálculo das solicitações: M. = pt2 /8 ~

{

Caso

Mmáx =

{ :aso = máx

Mi = O e v 0

N f.1 v0

= 11 M0

M. = N.e = M ~ o

N(v0

+v} = pM0

= M~ + N v ~ T

= deslocamento inicial:

com te v0

= e = c-

95

Caso M = M. + Nv = M + fi v0

N = p C M ~ T o mo

pCm 1 + pV N (+ + v :0) = M = f1 o o o

em [ N [1- Nervo) 1 + N ou: = 1-- = i/) Ne Mo Ne

com [ Ne.vo - 1 ) i/) = Mo

Sendo c definido como fator de equivalência de carregamento. Para a viga m

em estudo:

n: 2 EI 5p.t" 8 - 1 = 0,0281 i/) = -- . 38EI . -

..(.2 p..(.2

c 1 + 0,0281 N 1,0 (em > 1,0) = --~ m Ncr-No caso das extremidades engastadas:

M0

= p.t2 /24

v0

= p.t 4 /384EI

A NBR-8800 apresenta valores de em para três situações distintas:

a- Estruturas indeslocáveis:

1- Com carga entre apoios:

{

em = 0,85 - ambos os apoios engastados

em = 1,00 - demais casos

2- Sem carga transversal

= 0,6 - 0,4 M /M ~ 0,4 1 2

MIM > o 1 2

-4 curvatura reversa

M /M < o 1 2

~ curvatura simples

M eM -4 momentos nos apoios 1 2

96

IM = menor

M~= maior

b- Estrutura deslocável:

em ::;; 0,85

6.1- Equações de Interação

Considerando a superposição de efeitos, têm-se para o escoamento:

ou N Mx My ---N + ---M + M--- ~ 1 ' 0

y ux uy

Escrevendo para o estado limite último:

Para a verificação da estabilidade pode-se fazer:

Fazendo:

97

Obs.: [ ~Nn = ~tAgfy na flexo-tração }

L ~Nn = $cQAgfy na flexo-compressão

{ $cNn = ~c Q pAgfy (estabilidade}

ÃP = 1,47 ~ para .Y

escoamento (p = 1,0)

Nd para ~ 0,207

0,9Ny

Comentário: 0,73 é coeficiente que consta da NBR-8800, não da teoria.

Limitações para o emprego das equações de interação:

- Perfis bissímétricos para flexão obliqua

Perfis monossimétricos, flexão no plano de simetria

- Não são aplicáveis a vigas esbeltas

6.2- Exemplos

1- Verificar o perfil abaixo, em aço ASTM A~36, para flexão no eixo y.

Nd i + I + r+ • * * + Nd ___..,A A~

j ~ 9m .. j

98

cs 600x250 ~ {2CH.19x600 {mesas)

1CH.16X562 {alma)

a- Solicitações de cálculo: Nd = 4.200kN

qd = 7 kN/m 2 2 Md = qd~ /8 = 7x9 /8 ~ 70,88kN.m = 7.088kN.cm

b- Resistências de cálculo:

r = 14,67cm ~ Ày y = 900/14,67 ~ 61 < 200 ok

I 68.419cm 4 Ày

61 = = ÀY/Àe = 9õ ~ 0,682 y

Ag ~ 318cm2 curva c ~ p = 0,731

wy = 2.281cm 3 À - 600 m - 2xi9 ~ 15,8 ~ 16 = 0,55/Effy'

562 1,47/E/fy' Ãalma = -rb ~ 35 < 42 =

Compressão:

Perfil classe 3 ~ Q = 1,0

Ny = Af = 7.950kN y .

Ny Ney= 0,73--=-z= 12.477kN

Ày

Flexão em y-y

FLT.~ não se aplica (eixo de menor ínércía)

FLM ~ À = Ãw = 35

não aplicável, pois c = O (línha neutra)

FLA ~ À = À = m 16 > Àp = 0,38/E/fy I = 11

l Mn

Ãr = o ,55/ E/fy I = 16 = À

= M = wy fy = 57.025kNcm r

<PbMn ~ 51.320kNcm

99

2-

c- Equações de interação:

- Escoamento:

+ <~>cNn

Mdy 4200 7088 <PbMny =_ o,9x795o + 51320 = 0,587 + 0/138 = 0,73 < 1,0

Estabilidade

Nd c myMdy + 1>N ( Nd c n 1 -

Ney

{Cmy = 1,0)

4200

) <PbMny

= 0,9x5810 +

[ 1 -

7088

4200 ) 12477 5.1320

d- Verificações das flechas: (qn= qd/1 = 7/1,4 = 5kN/m)

4 5x0,05x900 4

vo = 5P~ 1384EI = 384x20500x68419 = 0, 30Scm

1 v = vo Ne

N- 1

ok

1 = O, 305 -.,...1.,...7.,...09,.,.,2,.,----- = O ,305x0 ,213=0, 065cm 4200/1,4 - 1

~ v = v+v = 0,37cm T O

Ok

Ok

Dimensionar a coluna da estrutura, utilizando perfil cvs, em aço ASTM A-36.

:t l !3~m

M2d = 112CO kN.cm

a- 1~ tentativa:

I~ 6,0m s-I

100

{

30% p/ compressão

70% p/ flexão

Nd 0,3 ~A

<PcNy ~

Nd ~A 42cm2

f:!: o,3.fy.cpc ~

Md 0,7 ~ w Md

~ w f:!: 720cm3

<PbMn ~ f:!:

0,7.fy.cpb

Testando: CVS 300x57 { 2CH.12,5x200

1 CH.8x275

a.1- Compressão:

À = 1,2x1200/12,76 = 113<200 X

1 = 1,25 ~ curva b ~ p = X

Àm = 8,0 < 1P = 16

À f:!: 34 < À = 42 alma p

{

N - 841kN ex -

<PcNn= cpcpAfy ~ 735kN

Nd f:!: 0,17 < 0,207

A = 72cm2

I = X 11725cm4

w = X 782cm 3

r = X 12,76cm

ok.

0,454

Q = 1,0

It

ry

ty ~ 1x.ry = 5,44m ~ usar 3 espaços de 4,0m

a.2- Flexão ~ FLT ~ ÀFLT = i~~l ~ 83

Àp = 50 = 1,75 ~ < À

cb = 1,0 (a favor da segurança)

Mr = Wx(fy-fr) = 782{25-11,5) = 10.557kN.cm

{31 = rr 1 EGAI ' I t = 1. 900. 723kN .em

101

= 31cm4

= 4,81cm

M 9 = z f = 21.750kN.cm p.._. X y

X-Á Mn = Mp.t - (Mp.t-Mr) Ár-ip ~ 19.367kN.cm

205 > Á

$bMn = 17.430kN.cm

Nd FLA ~ Á =34,0 < ÁP = 3/5 / E/fy '(1-2,8 o,gNY)=52,5 ~ Mn = Mp.t

a.3- Equações de interação:

Escoamento: ~N~ + ~M~ = ~ + i~!~g = 0/815 < 1,0 ok 'fl'c y 'fl'b n

- Estabilidade: Nd

!flcNn + [

+

[ 2~ Tentativa: CVS 300x66

cmxMd

:d )$b~ = 1 -

ex

0,85x11200

] 17430 1 - 280 841

{

2CH.12,5x250

1CH.8x275

280 + 825

= 1,2 > 1,0

rx = 13/01cm ~ xx = 1,2x1200/13,01 = 111 < 200 -À = 1,23 ~ p = 0,465

X

102

Não ok

q>0 Nn = 884kN

Nex = 1.019kN

<PNy = 1.901kN

ry = 6,21cm ~ .ty ::;; 689cm ~ .ty = 600cm

wx = 954cm3 À = 600/6,21 SI: 97 FLT

(travamento

À = p 50

It = 37cm4 Àr S~: 200 ~ <PbMn = 19.854kN.cm

Q S~: 2.249.578kN.cm "'t

f$2 SI: 12.110 Mr = 12.879kN.cm

Mp.t ~ 1.050x25 = 26.250kN.cm

= 0,98 ~ 1,0

103

ok

no meio)

7. LIGAÇõES

Os meios usuais empregados para unir duas ou mais peças metálicas entre si, são as soldas e os parafusos.

Soldar significa promover a ligação entre peças metálicas mediante a

fusão local, com o calor provocado por um arco voltaico, do metal das peças com a adição do material do arame, denominado eletrodo, que também

é utilizado para manter o arco aberto.

O outro modo de ligar peças metálicas, consiste no uso de parafusos

que podem ser os comuns ou os de alta resistência.

7.1- Soldas

- Processos usuais de solda - AWS - D1.1.82

Arco elétrico com eletrodo revestido - SMAW {Shielded Metal ARC Welding)

. Arco submerso - SAW (Submerged Are Welding) - SAW

Arco elétrico com proteção gasosa - GMAW

(Gas Metal Are Welding) Mig ou Mag

Arco elétrico com fluxo no núcleo - FCAW (Flux Cored Are Welding)

- Tipos de soldas:

- De penetração parcial ou total - De filete

As soldas de penetração são pouco empregadas pois exigem, nas chapas com mais de 9, 5mm de espessura, a confecção de chanfros para a sua

aplicação. As soldas de filete são mais utilizadas, não exigindo muito trabalho para sua execução.

104

- Posições de soldagem:

LZ7 PLANA

HORIZONTAL VERTICAL SOBRE -CABEÇA

Rapidez e qualidade diminuem, custo aumenta

- Nomenclatura e classe dos eletrodos

São classificados segundo sua resistência à tração, as posições de

soldagem e o tipo do recobrimento

AWS ~ E 60 13

UL iL_ corrente e revestimento ~posição de utilização classe de tensões (f em ksi)

eletrodo revestido par~ soldagem a arco elétrico

ABNT ~ 44 10 - C I F Lrevestimento corrente

posição de soldagem classe de tensões (fu em kN/cm 2

)

Posições de soldagem: 1 = qualquer posição (todas) 2 = plana e horizontal

3 = plana

Revestimentos mais empregados:

3 = rutilico - potássio

8 = básico - pó de ferro

Compatibilidade metal base/eletrodo {solda manual-SMAW)

Aços carbono e aços baixa liga ~ E60/E70

Aços com resistência à corrosão ~ E7015/E7016/E7018/E7028

105

7.1.1- Solda de Filete

a- Critério de resistência

Hipótese Simplificadora (região de Saint-Venant)

1- Considera-se o metal da solda com fy = fv = 0,6 fw

2- Equação de interação:

b Plano de atuação das tensões (Seção Efetiva)

A NBR-8800, permite o dimensionamento rebatendo a seção efetiva

sobre uma das faces dos elementos soldados.

b

Sendo a resultante vetorial de todas as forças que produzam tensões

normais ou de cisalhamento nas superficies de contato, a

solicitação de cálculo.

b- Resistências de cálculo:

1- Tração e compressão paralela ao eixo da solda, adota-se a

mesma do metal base.

2- Resultante vetorial

= 0,9x0,6xA MB

106

escoamento do metal base.

ruptura da solda na seção efetiva.

Adota-se o menor

onde: AMB = Área do metal base = Etibi

= Área efetiva da solda = Et.a., a= 0,707b ~ ~

fw = 415MPa eletrodos E60

fw = 485MPa eletrodos E70

c- Limitações construtivas

1- Dimensões minimas:

- Espessura minima Maior espessura b(mm) a soldar (mm)

das chapas

3 ~ 6,35 {1/4") 5 6,35 < t ~ 12,5

6 12,5 < t ~ 19,0

8 t > 19,0

- Espessura máxima:

tchapa ~ 6,35 ~ b = t tchapa > 6,35 ~ b = t - 1 1 5mm

- Comprimento minimo

~ ~ 4b ou ~ ~ 40mm

t ~ n distância entre cordões paralelos (h ~ 200mm)

2- Simbologia da AWS (mais difundida}

Simbolos usuais

~Solda de Campo

V+-0------< Obs. Especificação ou Ensaios

f O~ Símbol~ qo soldo-lado inferior, no lado que a l seta tndtca. Em toda a volta Lado superior lado oposto

(Contorno J '

filete com espessura e comprimento {mm)

solda de penetração sem entalhe

107

~ solda de penetração com entalhe

E tipo de acabamento (E = esmeril)

7.1.2- Soldas de Penetração

a- Resistências de cálculo:

a.1) Tração e compressão paralelas ao eixo da soldaf a mesma do metal

base.

a.2) Tração e compressão normal à seção efetiva da solda:

a.3) Cisalhamento {soma vetorial) na seção efetiva:

onde Aw = ~.a (área efetiva da solda}

a = t . (penetração total) m1n

a = c-3mm (penetração parcial) onde c = profundidade do chanfro

b- Tipos de entalhes usuais

~~ t~l9mm ~~ lt >19mm

PARALELO (sem entalhe}

BISEL. SIMPLES

7.1.3- Observações no Projeto de Soldas

a- Evitar cruzamentos de cordões

108

8/SEL DUPLO

b- Evitar excentricidades

·~ ~-- I ! --~ { ~12,5 mmt;== 4 ( { -<:::> (> llJ

2,5 ~ ~ #2.ttf..~.S:: z,, ..

l ~ ~ 1~ ( I I ....... llJ --.1 ( ~ :§ ~ C) <:::(

( :::::1 r"-<"/~: ( YFFI

7.2- Parafusos

. 7.2.1- Tipos de Parafusos:

- Comuns - ASTM A-307 e ISO 4.6

- Alta resistência - ASTM A-325 e ASTM A-490

a- Emprego dos parafusos

Os parafusos comuns são empregados em peças e em ligações

secundárias, resistindo a esforços de cisalhamento por contato.

Os de alta resistência são colocados com controle do torque

aplicado, despertando um atrito ao deslizamento entre as superficies que

permite considerar os parafusos trabalhando ou por contato ou por atrito.

São utilizados em peças e em ligações principais.

b- Áreas qe cálculo

área efetiva ou resistente

onde d = diâmetro do corpo do parafuso

k = coeficiente = 0,9743 ASTM ou

k = 0,9382 ISO p = passo da rosca

valores de Ap e Ar na tabela 12, página 82 da NBR-8800.

109

c- Resistências de cálculo

c.1- À tração ~ Rd = $tRnt

{ <Pt = 0,75 para A-325 e A-490 .

demais parafusos e barras rosqueadas <~>t = 0,65 para

c.2- Ao cisalhamento

Por contato ~ R - ~ R d - 'f'v nv

{ <~>v = 0,65 para A-325 e A-490

<~>v = 0,60 demais parafusos e barras rosqueadas

{ Rnv = 0,42Apfu para A-325 e A-490 com rosca no plano de corte e demais parafusos e barras rosqueadas.

Rnv = 0,60Apfu para A-325 e A-490 com rosca fora do plano de corte.

Por atrito ~ R = ~ R 'f'v nv

1,0 (estado limite de utilização)

= J.L • .;(Tb-T) onde: ll = 0,28 (mais empregado} coef. atrito

.; = 1,0 para furo padrão (mais usual)

Tb= protenção minima = 0,7Arfu (tab. 19 NBR-8800) T = força de tração {valor nominal)

d- Pressão de contato em furos: Rd = $Rn

{ <P = 0,75

Rn = a Ab fu

a = 3,0 (para esmagamento sem rasgamento)

a = (s/d) - n ~ 3,0 1

110

[rasgamento entre dois furos consecutivos/ s = espaçamento não ortogonal à solicitação. (a=3,0 quando ortogonal)]

e- Tração e

Verificar

{ A-;25

A-490

{ A-307 e Geral

a = (e/d) - ry ~ 3,0 (rasgamento entre furo e borda, 2 e = distância entre furo e borda,

com borda não paralela à ação) (a= 3,0 se houver paralelismo).)

Ab = d.tchapa = área de contato fu = tensão de ruptura do material da chapa 11 = O , 50 para furo padrão

1 ry = 0,0 para furo padrão

2

cisalhamento combinados

cada solicitação em separado e posteriormente

{ <PtRnt ~ 0,69 Apfu - 1,93 vd (rosca no plano

<PtRnt ~ 0,69 Apfu - 1,50 vd (rosca fora do corte}

{ .PtRnt ~ 0,64 Apfu - 1,93 vd

verificar:

de corte)

plano de

f- Limites de resistência:

d(mm) fy(MPa}

ASTM A-307 ~ 100 -

ISO 4.6 ~ 36 235

12,7 a 25,4 635 ASTM A-325

25,4 a 38,1 560

ASTM A-490 12,7 a 38,1 895

7.2.2- Comportamento dos Parafusos de Alta Resistência

f

ensaio de tração

ensaio de torque

tração após torque

111

fu(MPa)

415

390

825

725

1035

a- Formas de aperto dos parafusos

- Chaves de impacto

- Chaves manuais

b- Formas de controle do torque

- Torquimetros {calibrar diariamente)

- Giro da porca (mais empregado)

(não utilizar expressões empíricas)

c- Força de pretensão (kN)

d(mm) 12,7 16 19 22,2

A-325 53 85 125 173

A-490 '66 106 156 216

d- Giro da porca

25,4

227

283

28

250

357

Posição das faces externas das partes ,e do parafuso Perpendicular ao 1 face inclinada 2

eixo do parafuso ~ 1:20

~ 4d 1/3 volta 1/2 volta

4d a Sd 1/2 volta 2/3 volta

8d a 12d 2/3 volta 5/6 volta

> 12d TESTES TESTES

31,5 38

317 460

453 659

conectadas

faces inclinadas ~ 1:20

2/3 volta

5/6 volta

1 volta

TESTES

Obs.: 1- Parafusos de alta resistência devem ser pré-tensionados, mesmo

nas ligações por contato.

2- Parafusos A-490 devem possuir arruela sob a porca para evitar danos às chapas.

3- Girar sempre a porca, não o parafuso.

4- Não misturar parafusos comuns e de alta resistência em uma mesma ligação.

112

7.2.3- Distâncias Limitesr Construtivas:

- Entre furos -mínima: 2,7d - recomendada 3d

- máxima: 12tchapa ou 150 mm

- Furo à borda - mínima: d - recomendada: 1,5d

máxima: 12tchapa ou 150mm

7.2.4- Procedimentos para avaliação dos esforços em parafusos

a- Ligações por cisalhamento puro:

~ Fd = Força na ligação

n = Número de parafusos

m = Número de planos de corte

b- Ligações com flexão e cisalhamento:

Sendo

b.1- Método elástico ou vetorial y

s

Hipótese: Giro da chapa em torno do CG.

F = F v n

F = H

F = V1

F.e.y. . ~

Ed~ ~

F.e.xi

Ed~ l

y. ~

x. ~

d-l

= afastamento vertical

= afastamento horizontal

= /xi + y~ l

X

Entretanto, este método conduz a resultados conservadores.

113

b.2- Método do Centro Instantâneo de Rotação (CIR}

Surgiu para corrigir os resultados obtidos no método anterior. Considera que a chapa gira e translada em torno do centro de

gravidade. Esta rotação associada à translação pode ser substituída por

urna rotação apenas, em torno de um ponto denominado centro instantâneo de rotação ( CIR) .

Equações de equilíbrio

y

í::F = o --? H

í::F.sen!f>. = F sene l. l.

í::Fv = o --? EF.cos!f>. = F cose l. l.

EM = o --? EF.r. = F(r0

+e} l. l.

A localização do CIR é feita por tentativas, até que as três equações sejam atendidas.

( -pai)?... Admite que na ruptura: F . = F 1-e

rJ. ru

Sendo: e = f.l = À =

o. = l.

onde: F = V ru rn = Ap 0,6fu = -ruAp

base neperiana 0,39

0,55 {experimental) r.

l. rmáx omáx (usual adotar omáx ~ 8,9mm}

área do parafuso, no corpo ou na rosca, conforme for a situação.

114

Algorítmo:

a-

b-

c-

Escolhe-se r o Calcula-se, para cada parafuso:

x. i yi i cp. ; r. . s. ~ ~ ~

f ~

Calcula-se F !las 3 equações de equilíbrio, alterando r0

e

recalculando até que os três valores de F coincidam; esta será a posição do CIR e F = F

-- u

- Expressões aproximadas para cálculo do CIR em ligações com 1 e com 2 colunas de parafusos.

645

Para 1 coluna:

Para 2

0: = 0,0104 + 15 , 88 + e

{3 = 0,645

colunas:

3,28 e

3045 110613 e3

2484 + 1217~6 e2 e3

134702 0,0125 + 20,68 + 3581

1 0: = e ez e3

{3 = 0,651 - 4,65 2019 + 102419 -e- 2 3 I e e .I

(e em mm)

(e em mm}

Obs.: As expressões aproximadas podem ser usadas também para conexões por

atrito, ficando a favor da segurança, pois ~ é calculado para Fri

variável, enquanto nas conexões por atrito Fri = Frn = CTE.

c- Ligações à tração

115

- Sequência de solicitação:

- Parafusos sem pré-tensão:

Fp = F

- Parafusos só com pré-tensão:

F = O

Ficando os parafusos tracionados (Ft}

e as chapas comprimidas (Fc)

- Aplicando 2F após a pré-tensão:

Fp = Ft + .ó.Ft

Sem Aperto

t2F

Et TI 'J=*~e F

CH

.6.-tCH = Fc - .ó.Fc = Fc - EA

CH --:ç;; Ff +!JFf + .Ft+!JFt

Se as

F = b,.f.,

r =

chapas não descolam: !J..f.CH/.tCH=

.ó.Ft + .ó.Fc = E !J.J{, ( A +A ) r P CH

F/E(A +A ) P CH

= FAP A +A

CH p e

FA CH

= "'i"A--:-+""'AcH p

.6.-tpt.e.p = .6.-t/.t

Na iminência do descolamento entre as chapas --> F = CH

F c + -A

Admitindo

FA CH +A

CH p

A CH

Fc(A +A ) o F CH p

= --4 = A CH

Conclusão: F e Ft não são aditivas.

F FP = Ft + IJ.Ft = Ft + II

116

(A +A )

Ft CH p

= A CH

1,1 Ft t---:::;;;~-Ft

o

chapas se separam

F

Quando F = 1,1Ft = 1,1Fc válida apenas para chapas

as chapas descolam, sendo infinitamente rigidas. Nas

chapas normais ocorrem as deformações que induzem ao

Efeito Alavanca (Prying Action), que pode ser analisado

pelo modelo analitico abaixo:

2F

1[ I :-1 f o Fp Fp

b

Mz ~ ~

\ - -

-

F = F + Q p

M = Q.a = F.b - M 1 2

M = Fp.b - Q(b+a) = F.b - Q.a 2

M atua na largura p (passo) 2

da chapa e M na largura 1

p - d . Para homogeneizar F

define-se:

117

I

n to

a

,if li

. '-Mz

' p

p-d dF o F 1 < 1,0 (relação geométrica) = = -p p

M p M Fb-M 1 1 2

()( :: Fr·p=ã.: = úM = úM 2 F 2 2

()( = relação entre M eM por unidade de largura nas 1 2

e 2

Para corrigir resultados teóricos adota-se:

a +

{ :: : b -

d F

-r d

F -y-

:$ 1,25b

que conduzem a resultados próximos dos obtidos em ensaios.

Portanto:

e

ao 1 + l+aú b1

] ar

[ ad b 1 J 1 + 1+o:d · ar

quando as chapas se separam

{sem descolar)

Obs.: 1- Em problemas de verificação tem-se:

2 inequações:

{ FP ,;; <t>Fnp

Mzd:$ $bMn

1 incógnita: (O :$ (X :$ 1}

2- Em problemas de dimensionamento:

{

2 inequações

3 incógnitas: (tch; dF; a}

seções 1

Pré-dimensiona-se sem alavanca: usa-se força de 30 a 40% da capacidade do parafuso e a seguir verifica-se

118

3- Quando

{: : :: :: = o

= M ~ rótulas plásticas em 1 e 2 2

d- Ligações excêntricas parafusadas provocando tração nos parafusos

Hipótese: - Não ocorra separação entre as chapas

M =

F 1

a = 1

M =

Portanto:

- CG da ligação coincide com CG do grupo de parafusos - Forças nos parafusos são proporcionais ao alivio da

chapa.

1

~ Fzl ~ v ~ _L ~

I t F. l

E F.d. ~ ~

F Fn d dn 2 F F 2 ~ Fn F a = a ~ = a = a 2 1 1

2 n 1 1

F M 1 Ed~ F d a ~ =

~ 1

onde

ou

F -max

1 Ed~ 1

~

Ed~ ---> Inércia do grupo de parafusos. ~

I' = E{x~+y~) ~com x = O uma vez que não terá giro em p ~ ~

torno do eixo y.

M = yr-·Ymáx p

v Caso também ocorra cortante: Fv= nd ~ n = n~ de parafusos, e os parafusos extremos devem ser verificados para solicitações combinadas.

119

g

Quando ocorre o deslocamento das chapas, ou devido à perda da força

de protensão dos parafusos, ou quando não são utilizados parafusos de

alta resistência, ou ainda quando a ligação não é simétrica, não haverá a

coincidência da linha neutra dos parafusos com a LN da viga, neste caso

busca-se a nova posição da LN da ligação:

Por equilíbrio estático de áreas:

A . y /2 = A . I;y. ---+ c p l

{

A = b.y

y~ = d.-y l l

A I:(d.-y) p l

= A 2:;d. + A n-y p l p

onde n = n~ de parafusos tracionados

I~ -2 2 . y I

I = by3

+ A I:y~ ~ ( a c = M/Winf -r X p l

t F = F , :;::;

1 max

A c

b ~I w. f = Ix/y -,)

ln

Ap.Ix/y1

Porém a posição da LN é obtida por tentativas. Em ligações com

parafusos de alta resistência admite-se que não ocorra o deslocamento das

chapas.

e- Ligações excêntricas com soldas

Utiliza-se o método vetorial 1 analisando cada solda pela sua seção

efetiva rebatida sobre os elementos da ligação.

120

u~ (ÊxemQl~}

CDeterminar o máximo valor de P na ligação, e o comprimento da~; I \_j

soldas. Aço ASTM A-36

Eletrodo E-60XX

Perna do filete = 5mm

a- Resistência da chapa

a.l} Escoamento na área bruta

p ....

CH.8mm

b- Ruptura da área liquida efetiva

{

admitindo l,Ob < .t5

< 1,5b Ae = CtAg

ct = o,75

Pd s 0,75x0,75x0,8x8x40 = 144kN

:. P d ::s; 144kN

b-.Resistência da solda b.1) Escoamento do metal base

b.2} Ruptura da solda

=~R = 0,75x0,6A f = 0,75x0,6(2x0,7x0,5.ts)41,5 n ww = 13,1.t

5

121

.e.s ;:: 11cm

Conclusão: Usar filete de 5 x 110 de ambos os lados.

CH 12,5

Obs. : Quando a ligação for submetida à fadiga {esforços alternados) é

usual balancear as soldas para eliminar flexão na ligação. Assim, .e < .t

1 2

a- Cálculo de Rd (resistência das cantoneiras)

Rd = $tAgfy = 0,9x36,9x25 = 830kN ou

com ct = 0,75

Rd = $t A f = 0,75(0,75x36,9)40 = 830kN ,u e u

b- Espessura da solda (mínima}

tmáx = 12,5mm

t , = 9,53mm m1.n --> b ~ 5mm

c- Comprimentos das soldas

ou

EM = O

= R 1

~ 2,9Nd = 10,2R1

~

+ R ~ R = 594kN

R 1

= 236kN

2 2

= 0,9(0,6X0 1 5.t x2)25 = 236kN 1

(escoam. metal base)

= 0,75(0,6x0,7x0,5.t x2)41,5 = 236kN (ruptura da solda) 1

122

~1 ~ 18cm > 1,5 bCAN

R = 0,75(0,6x0,7x0,5~ x2}41,5 = 594kN 2 2

~2 ~ 45,4cm

d- Utilizando a solda máxima (b = 9/53 - 1,5 ~ 8,0mm)

R = 0,75(0,6x0,7x0,8~ x2}41,5 = 236kN 1 1

R = 0,75(0,6x0,7x0,8~ x2}41,5 = 594kN 2 2

e- Usando solda de contorno (~ = 10 1 2cm) 3

EM = O ~ 2,9Nd = 10 2R + 10 , 2 R ' 1 ---z- 3

Nd = 830kN

Com b = 6mm

R = 0,75(0,6x0,7x0,6x10,2x2)41,5 = 160kN 3

~ ~ 11cm 1

~2 ~ 28cm

R1 ~ 156kN = 0,75{0,6x0,7x0,6~1 x2)41,5 ---> ~1 ~ 10cm

R2

= Nd - R1

- R3

= 514kN -> .t2

~ 33cm

123

t ~ Dimensionar a solda indicada na figura:

Aço ASTM A-36

Eletrodo E60XX

25cm

30cm

CH.l6mm

Obs.: As tensões máximas f F e fv não ocorrem no mesmo ponto r podendo-se dimensionar em separado para cada tipo de tensão:

Flexão~ Md :: 25x120 :: 3.000kN.cm

No metal base: <Pb~ :: 0,9x0,6 fy.Ws

w = s 2.b.302 /6 = 300b

Fazendo: Md ~ <PbMn

3.000 ~ 0,9x0,6x25x300b ~ b ~ 0,74cm

Adota-se b = 8mm

Verificação do metal do solda:

Cisalhamento

Neste caso/ não deve ser verificada uma resistência de cálculo 1 mas sim uma tensão de cálculo:

No metal base: fvmáx = 1,5 Pd/AMB

= 1,5x120 = 2x0,80x30 3,75kN/cm2 (atuante)

fdn = 0,6fy = 15kN/cm2 (resistente)

<Pv fdn == 0,9.fdn :: 13,5kN/cm2 > fvmáx ~ ok

124

No metal da solda: f ' vmax = 1,5 Pd/Aw

f ' = 1,5x120

= 5,30kN/cm2 vmax 2x0,8x0,707x30

<Pvfdn = 0,75.0,6.f = 18,68kN/cm2 > fvmáx ~ ok . w

Conclusão: Usar filete de 8mm de ambos os lados.

---7.:--::------:;;c-C:::./~~---;-~---i-:-----~·~ i"[ ~ ' X-:(}nime~-;i~nar a sblda dá ligação para :vd =-~60-omr-------~-----·--·--

CH.12,5

Neste caso a solda é solicitada por tensões combinadas (flexão com

cisalhamento) devendo-se buscar o ponto onde ocorre a combinação

crítica e comparar com a resistência (tensão) de cálculo ou do

metal base ou do metal da solda.

Geometria da solda y

e

X 450

2

Deprezando a espessura:

X = 2:-t.x.

J_ J_

2::t. J_

2x65x32,5 = 2x65+450 f!:f

7mm

125

. e

Md = 300x6,8 = 2.040kN.cm/FACE

Propriedades geométricas da solda tratada como linha:

I' X = 2x6,5x22,5 2 + 45 3 /12 = 14.175cm3

r~ = 2x6,5 3 /12 + 2x6,5( 6,5 - x)z + 45 x 2 ~ 152cm3

y 2

I I = I' + I I = 14.327cm3 ' p X y

Tensões máximas

. Cisalhamento: Admite-se uniformemente distribuído ao longo do

comprimento da solda:

v fvd . a = ~/E~i = 300/(2x6,5+45) ~ 5,17kN/cm

Normais (nos pontos~ e 4)

f Md 2.040

X 22,5 3,20kN/cm = --yr- y = 14.327 ~ FH p

f Md 2.040 0/7 0,10kN/cm = --yr- X = 14.327 X ~

FV p

_I 2 2 fd / - f + (f +f d) max FH FV V = 6,17kN/cm

Resistência de cálculo: Supondo aço ASTM A-36 e eletrodos E60XX

No metal base: $vRn = 0,9x0,6fy = 13,5kN/cm2

!~alando: f = $vRn ~ 6,17/b = 13,5kN/cm2 ~ b ~ 0,50cm drnáx ·No metal da solda:

$vRn = 0,75x0,6 fw = 18,675kN/cm2

Igualando: fdrnáx = $vRn ~ 6,17/a = 18,675kN/cm2 ~a ~ 0,330cm

corno b = a/0,7 = 0,47cm

~onclusão: Usar filete de 5mm

126

Dimensione a ligação da figura utilizando parafusos ASTM A-325, para a

máxima capacidade da chapa. Utilize aço ASTM A-36 e parafusos ~ = 16mm

em furos puncionados.

~ ,_ N

lcH.19x160

a) Resistência da chapa na área bruta

b) Ligação por contato, rosca fora do plano de cisalhamento.

Resistência de um parafuso:

{dois planos de corte)

cpv = 0,65

Ap = rcd 2 /4 = 2 1(.1,5875 ~ 4 1,98cm2 (Tab. 12, Pág. 82/83 NBR-8800)

-F = 82,5kN/cm2 -u

cpvRnv = 0,65x0,6x1,98x82,5x2 ~ 127kN/parafuso

Quantidade necessária:

m = cp R 684 = ~ 21 = 5,4 ~usar 6 parafusos com 3 em cada seção. .L ' v nv

Resistência na área líquida

cptNn= cptAnfu ~ An= Ag - 3(d+0,35)tcH= 1,9x16 - 3(1,6+0,35)1,9 =

A= 30,4-11,11 ~ 19,29cm2 n

cp N = O, 75x19 1 29x40 = 578kN < 684kN t n Não Ok

Para aumentar a resistência diminui-se o número de parafusos

na seção. Colocando 2 em três colunas: 2 An = 30,4 - 2(1,6+0,35)1,9 = 22,99cm

cptNn = 690 kN > 684 kN Ok

127

Adotando s = 50mm ---> a = 50/16 - 0,5 = 2,625

2 Ab= d.t = 1,6x1,9 = 3 1 04cm CH

~Rn = 0,75x2,625x3,04x40 = 239,4kN/parafuso > 127kN ok

. Entre furo e borda: $R ~ n (/) = 0,75

Rn= aAbfu

a = e/d-n ~3,0 2

com e = 35mm > 1/5d

a = 2,19 - o = 2,19 < 3,0

q;Rn = 0,75x2,19x3,04x40 ~ 200kN > 127kN ok

Conclusão: Usar 6 parafusos conforme a disposição seguinte:

35 --t--

90

35 -+---

Ligação por contato/ com rosca no plano de cisalhamento:

Resistência de um parafuso:

~vRnv = ~v(0,42 Apfu).2 ~ $v = 0,65

A = 1/98cm2 p

f = 82,5kN/cm2 -u

$vRnv = 0,65x0,42x1,98x82,5x2 = 89kN/parafuso

Quantidade: m = Md = ~ = 7,7 ~usar 8 parafusos. $vRnv

As demais verificações já foram feitas no item anterior. Usar as

mesmas distâncias e; s; g. Ligação por atrito:

. Resistência de um parafúso: $vRnv

128

~ = 1,0 (Estado limite de utilização) v

Rnv= ~~(Tb-T) ~ ~ = 0,28 (atrito, geral)

~ = 1,0 (furo padrão)

Tb= 0,7Arfu = 85kN (Tab. 19 NBR-8800}

T = O (não há tração aplicada no parafuso)

~vRnv = 1,0x0,28x1,0 (85-0)x2

$vRnv ~ 48kN (são dois os planos de atrito)

Quantidade de parafusos:

= 684 = = 1,5x48 9/5 ~ usar 10 parafusos m = N

Verificar os parafusos da ligação e dimensionar a solda. Aço ASTM

A-36, eletrodo E60XX, parafusos ASTM A-325, cp = 19mm (3/4 11),

trabalhando por contato com a rosca no plano de corte. Vd = 270kN.

CH.l9;0

' '

CH. 22 .. 2~ 70i64~

Verificação dos parafusos

a- Método vetorial clássico

F v vd

33,75kN/parafuso = 8 =

Md = vd.e = 270(7+3,2)

Md = 2.754kN.cm

129

2:(X~+y~) !::f I ~ ~ p

IP = 8x3,22 + 4(3,75 2+11,25 2) !::f 644cm2

F VH

Md - 2.754 = y-·Y 644 x 11,25 = 48,11kN/parafuso p

F v v Md 2.754 = --I .x = 644 x 3,2 = 13,69kN/parafuso

p

F , = /F 2 +(F +F ) 2 !::f 67,56kN/parafuso vmax VH VV V

41vRnv = <PvO, 42 Apfu ~ <~>v = 0,65

A = 2,85cm2 p

82,5kN/cm2 fu =

b- Pelo centro instantâneo de rotação:

I = 64400 2 645 = 99,8mm = 645

0: = 20,68 3581 0,0125 + 102 +

102 2

134702

1023 = 0,433

{3 0,651 - 4,65 2019 + 102419 0,508 = 102 = 102 2 1023

c = ai{3 = 0,433x99,8°' 508 = 4,49

Rd = C.cpvRnv = 4,49x64,19 !::f 288kN > vd = 270kN

Dimensionamento da solda

vd = 270kN

130

ok

Md = Vd.e = 270x10,2 = 2.754kN.cm

b . = 6mm ..., t = 19mm m~n cH

Tensões na seção efetiva da solda

f = 1,5Vd/Aw = 1,5x270 vmáx 2x0,6x0,707x34,5

fHmáx Md 2.754 16,39kN/cm2 = ws = 168 =

Resistência na solda

Resistência no metal base:

Tensões no metal base

= 1,5Vd/A MB = 1,5x270

2x0,6x34,5

=

f Md

w = 2x0,6x34,52/6 = -w-Hmax MB MB

13,84kN/cm2

= 238cm3

fHmáx 2.754 ~ 11,57kN/cm2 < 13,5kN/cm2 ok = 238

Conclusão: Usar solda de 6mm de ambos os lados.

131

·ry Verificar a ligação r assumindo aÇo"J.\sTM A-36 e parafusos ASTM A-325 I

conexão por contato 1 ~ = 19mm (3/4 11) e soldas com eletrodos E70XX.

40 --if--++---+?5-+---H---+-

?205' I

Coluna: 2CH.31,5x200

l.rCH.12,5x237 '

Viga: _2CH~T2, 5x200

1CH.9/5 x475

Chapa de topo t = 16mm

(\

xlfY)kN.m

-;-rNd =30kN

,/?'-\

/~_) Verificação das soldas da viga na chapa de topo

Admite-se a cortante transmitida pela alma e a normal e o momento

pelas mesas.

v d 300 2 Na alma: fv = Aw = 2x0/6x0,707x44,5 = 7,95kN/cm

~vRnv = ~v0,6fw = 0,75x0,6x48,5 = 21,83kN/cm2 > fv ok

Nas mesas

Ft Md Nd 10000 30 220kN = H + 2 = 50-1,25 + 2 ~

F Md Nd 10000 30 190kN = H 2 = 50-1,25 - 2~ c

132

b- Verificação dos parafusos

Ft1

= :d = fg = 3kN/parafuso (devido à normal)

vd 300 . Fv = n- = -rõ = 30kN/parafuso (dev1do à cortante)

Devido ao momento, admitindo-se que a linha neutra da ligação

coincide com o centro geométrico dos parafusos / 1 2 2 (./~~ 2 2 2 Ip = E(Xi+yi) = 4 20,5 +28 ) = 4.817cm

10.000 X 28 4.817 ~ 58,13kN/parafuso

p = 80mm < 2b + d = 83mm

a = 40mm

a ~ 1,25b ~ 39mm

Adota-se o menor valor, assim:

a = 39mm

a + = 39 + ~ = 48,5mrn

d = -r 31,25-9,5 = 21,75mm

o-d ~ = ~ - 80-20,5 - o 7438 v p - 80 - '

~bt 2 -= ~ fy (seçao retangular Mn ~ 1,25 bt

2 f ) -e y

Impondo ~bMn = M2

(plastificação na seção 2) obtém-se

F.b 1 -M o: = -~,..---2 -4 F = õM

2 = 58,13 + 3 = 61,13kN

133

como

_ 61,13x2,175-96 ~- Or7438x96 = 0,5176 < 1,0 ok

Como O < ~ < 1,0 existe efeito de alavanca, e

Q.a« = F.b' - M 2

com M = <PbMn = 96kN 2

F = 61,13kN

bl = 2,175mm

a~ = 4,85mm

F =F+ Q = 61 1 13 + 7,62 p

.Resistências de cálculo:

. Cortante:

Q = 7,62kN

= 68,75kN/parafuso~

r · cpvRnv = O, 6 5x0, 42 AJ,fu ~ 64kN /parafuso > 30kN = V d

considerou-se a rosca no plano de corte .

. Tração pura: /--~ ...

<PtRnt = 0175x0,75 Apfu ~ l32kN > 68,75kN = Ft ok

Tração com cisalhamento: / = 103,5kN > 68,75kN

~~ ok

c- Verificação da chapa de topo

Como oc < 1, O tem-se que M1

< q,bMn = M2

, logo a flexão já foi verificada.

o cisalh~me~~~ ser~ d = ~~~~ cpvVn= O,~x0,6l}fy= 0,54x1,6 [20-2{1,9+0,35)~x25=335kN > 122kN ok

··-·· ~; . \···-- _/./' I .

d- Verificação da necessidade de enrijecedores na coluna, item 7 .1. 3

da NBR-8800 .

• Na mesa comprimida:

134

Força de cálculo Pdc = Fc = 190kN

. Resistência de cálculo (sem reforçador):

Br1

= $tw(tb+5k)fyc ou

Br2 = 224>t~ / Efy~ /h

onde: 4> = 0,90

tw = espessura da alma da coluna = 1,25cm

tb = espessura da mesa da viga = 1,25cm

k = espessura da mesa da coluna = 3,15cm /

fyc = tensão de escoamento do aço da coluna/

h = altura da alma da coluna = 23 1 7cm

B = 478kN r1 Br 478kN > Pdc 190kN = =

Brz = 1168kN

Conclusão: Não precisa de reforçadores.

Na mesa tracionada:

- Força de cálculo: pdt = Ft = 220kN

- Resistência de cálculo:

T = <t>tw(tb+5k)fyc = Br = 478kN r1 ou

Trz = 6<t>t 2 fyc c

onde: te = espessura da mesa da coluna = 3,15cm

tr2

= 1340kN > Tr1

> Pdt = 220kN ok

/

ok

Conclusão: Não precisa de enrijecedores, e tampouco a mesa da

coluna sofrerá flexão local pois sua espessura é

superior a da chapa de topo.

135

8- BIBLIOGRAFIA

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NBR-6123 - Forças devidas ao vento em edificações

NBR-6402 - Desenho de estruturas metálicas NBR-7188 - Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre

NBR-7189 - Cargas móveis para projeto estrutural de obras

ferroviárias 'NBR-8681 - Ações e segurança nas estruturas NBR-8800 - Projeto e execução de estruturas de aço de edificios

139

elementos de estruturas de aÇo

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