estruturas de aço e madeira

RICARDO GASPAR

ESTRUTURAS METÁLICAS

São Paulo 2008

SUMÁRIO

1. AÇO ESTRUTURAL................................................................................................................ 1 1.1. Estruturas metálicas............................................................................................................. 1 1.1.1. Vantagens......................................................................................................................... 1 1.1.2. Desvantagens ................................................................................................................... 2 1.1.3. Normas ............................................................................................................................. 2 1.1.4. Aplicações......................................................................................................................... 3 1.2. Formas usuais de metais ferrosos ....................................................................................... 3 1.2.1. Etapas de fabricação do aço ............................................................................................ 3 1.3. Tipos de aços estruturais...................................................................................................... 4 1.3.1. Aço carbono ..................................................................................................................... 4 1.3.2. Aços de baixa liga e alta resistência................................................................................ 5 1.3.3. Nomenclatura da ABNT.................................................................................................. 5 1.3.4. Espessura mínima para peças estruturais....................................................................... 5 1.3.5. Propriedades dos aços estruturais ................................................................................... 6 1.4. Tensões e deformações......................................................................................................... 6 1.5. Ensaios.................................................................................................................................. 7 1.5.1. Ensaios de tração ............................................................................................................. 8 1.5.2. Diagrama tensão - deformação ....................................................................................... 8 1.6. Lei de Hooke....................................................................................................................... 11 1.6.1. Ensaios de compressão .................................................................................................. 12 1.6.2. Coeficiente de Poisson ................................................................................................... 12 1.6.3. Forma geral da Lei de Hooke........................................................................................ 13 2. PRODUTOS SIDERÚRGICOS ............................................................................................. 16 2.1. Perfis laminados................................................................................................................. 16 2.2. Perfis Soldados ................................................................................................................... 18 2.3. Perfis conformados a frio ou de chapas dobradas............................................................ 19 2.4. Tubos .................................................................................................................................. 20 2.5. Tabelas de perfis................................................................................................................. 20 2.6. Principais tipos de concepções estruturais ........................................................................ 22 2.6.1. Treliças isostáticas ......................................................................................................... 22 2.6.2. Tesouras isostáticas ....................................................................................................... 23 3. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO ............................................................................ 24 3.1. Método das tensões admissíveis ......................................................................................... 24 3.2. Método dos Estados Limites............................................................................................... 25 3.2.1. Carregamentos ............................................................................................................... 27 3.2.2. Coeficientes de majoração das ações ............................................................................ 27 4. PEÇAS TRACIONADAS ....................................................................................................... 30 4.1. Dimensionamento no Estado Limite Último (ELU) ......................................................... 30 4.1.1. Peças tracionadas com furos ......................................................................................... 30 4.1.2. Peças com extremidades rosqueadas............................................................................. 31 4.1.3. Peças ligadas por pinos.................................................................................................. 31 4.1.4. Limitação de esbeltez das peças tracionadas ................................................................ 31 4.1.5. Diâmetro dos furos......................................................................................................... 32 4.1.6. Exemplos ........................................................................................................................ 35 5. TRELIÇAS.............................................................................................................................. 40 Definição.......................................................................................................................................... 40 Apoios .............................................................................................................................................. 41 Método do equilíbrio dos nós .......................................................................................................... 42 Dimensionamento............................................................................................................................ 49

6. LIGAÇÕES ............................................................................................................................. 50 6.1. Ligações com conectores.................................................................................................... 50 6.1.1. Rebites ............................................................................................................................ 50 6.1.2. Parafusos........................................................................................................................ 50 6.2. Espaçamento entre conectores........................................................................................... 52 6.3. Dimensionamento............................................................................................................... 53 6.3.1. Dimensionamento ao corte ............................................................................................ 54 6.3.2. Dimensionamento ao esmagamento da chapa (pressão de apoio)............................... 54 6.3.3. Dimensionamento ao rasgamento da chapa ................................................................. 55 6.3.4. Dimensionamento à tração da chapa............................................................................ 55 6.3.5. Ruptura por cisalhamento de bloco............................................................................... 56 6.3.6. Combinação de conectores ............................................................................................ 56 6.3.7. Dimensionamento à tração e a corte simultâneos – fórmulas de interação ................ 57 6.3.8. Resistência ao deslizamento em ligações por atrito ...................................................... 57 6.4. Ligações soldadas............................................................................................................... 63 6.4.1. Tipos, qualidade e simbologia de soldas ....................................................................... 63 6.4.2. Elementos construtivos para projeto ............................................................................. 65 6.4.3. Resistência das soldas .................................................................................................... 67 7. PEÇAS COMPRIMIDAS....................................................................................................... 69 7.1. Introdução .......................................................................................................................... 69 7.1.1. Flambagem elástica ....................................................................................................... 70 7.1.2. Flambagem inelástica.................................................................................................... 73 7.2. Dimensionamento............................................................................................................... 77 7.3. Flambagem local ................................................................................................................ 80 7.3.1. Parâmetros de flambagem local .................................................................................... 81 8. PEÇAS FLETIDAS................................................................................................................ 88 8.1. Introdução .......................................................................................................................... 88 8.2. Dimensionamento à flexão ................................................................................................ 89 8.2.1. Momento de início de plastificação e momento de plastificação ................................. 89 8.2.2. Resistência à flexão de vigas com contenção lateral .................................................... 90 8.2.3. Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua..................................... 96 8.3. Dimensionamento da alma das vigas .............................................................................. 103 8.3.1. Conceitos ...................................................................................................................... 103 8.3.2. Tensão de cisalhamento............................................................................................... 103 8.3.3. Vigas I com um ou dois eixos de simetria sem enrijecedores..................................... 104 APÊNDICE ................................................................................................................................... 108 BIBLIOGRAFIA........................................................................................................................... 111

Estruturas Metálicas, de Madeiras e Especiais Ricardo Gaspar 1

ESTRUTURAS METÁLICAS1

1. AÇO ESTRUTURAL

O aço é uma liga formada basicamente dos elementos ferro (Fe) e carbono (C), com teor máximo de 1,7%. Outros elementos químicos são adicionados para modificar as características mecânicas do aço, de acordo com sua utilização. Estas adições também são feitas em baixas porcentagens, por exemplo: manganês 1,65%, cobre 0,60%, etc.

Na natureza, o elemento ferro é encontrado na hematita, minério de ferro em abundância no Brasil. O carbono acha-se na composição do carvão mineral. A fabricação do aço é iniciada num forno especial, chamado “alto forno”, onde o minério de ferro e o carvão mineral são levados a temperaturas bem elevadas (1500ºC). Aí, inicia-se o processo de fabricação que dará origem ao aço, naturalmente, após uma seqüência de operações siderúrgicas.

A primeira usina siderúrgica de porte construída no Brasil, foi a Companhia Siderúrgica Nacional (CSN), situada na cidade de Volta Redonda, inaugurada em 1946. Até então, a produção de aço do país era insignificante. Nossas construções em Estruturas Metálicas dependiam quase que totalmente, da importação de perfis. As poucas obras metálicas existentes na época podiam ser resumidas em pontes ferroviárias, feitas pelos ingleses, coberturas de pequeno porte e construções especiais, pouco freqüentes, como o viaduto Santa Efigênia em São Paulo.

A CSN foi construída com assistência técnica da “United States Steel”, na época da Segunda Guerra Mundial. O programa da empresa visava à fabricação de diversos produtos siderúrgicos, em especial, os perfis metálicos. Assim, foi introduzido no Brasil o “padrão americano” de perfis. Isto acarretou a adoção de normas de fabricação de aço de origem americana, unidades inglesas para as dimensões dos perfis, etc.

As principais Usinas Siderúrgicas brasileiras são a CSN, Cosipa, Usiminas, Belgo-Mineira, Cofavi (Companhia Ferro e Aço Vitória), Açominas, etc.

A produção das siderúrgicas visa atender toda a demanda nacional nas diferentes áreas de consumo. Assim, algumas siderúrgicas atendem por exemplo, a indústria naval, a indústria automobilística, outras atendem a construção civil, etc.

1.1. Estruturas metálicas

1.1.1. Vantagens

• construção estruturas com boa precisão, possibilitando alto controle de qualidade;

• garantia de dimensões de propriedades dos materiais;

1 Este trabalho é uma compilação de vários textos sobre Estruturas Metálicas de autores consagrados, indicados na Bibliografia, feito unicamente para Notas de Aulas, com finalidade didática.


• material resistente a choques e vibrações;

• possibilidade de execução de obras mais rápidas e limpas;

• possibilidade de desmontagens e de reaproveitamento das peças estruturais;

• alta resistência, o que implica em estruturas mais leves, vencendo grandes vãos.

1.1.2. Desvantagens

• limitação da fabricação das peças em fábricas;

• limitação do comprimento das peças devido aos meios de transportes;

• necessidade de tratamento anticorrosivo;

• necessidade de mão de obra e equipamentos especializados;

• limitação de dimensões dos perfis estruturais.

Um valor econômico para vigas em concreto armado é 6m, ou 1/10 do vão. Para estruturas metálicas o vão econômico é de 13m a 25m ou aproximadamente 1/20 do vão.

O valor de um projeto de estruturas metálicas é geralmente cobrado 10% do custo do peso da estrutura.

1.1.3. Normas

As Normas que tratam de estruturas metálicas são as seguintes:

ABNT – Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios: método dos estados limites – NBR-8800 (NB14). Rio de Janeiro, ABNT, 1986.

ASTM – American Society for Testing and Materials: especificações para fabricação do aço, acabamento dos perfis, etc.

AISC – American Institute of Steel Construction: especificações para projetos de prédios industriais ou residenciais em estruturas metálicas.

AASHO – American Association of State Highway Offcials: especificações para projeto de pontes rodoviárias metálicas.

Além das normas de aço, outras normas devem ser consultadas para a elaboração de projetos em estruturas metálicas:

NBR 6123 (NB599) Forças devidas ao vento em edificações, 1988.

NBR 6120 (NB5) Cargas para o cálculo de estruturas de edificações, 1980.

NBR 9763 (EB1742) Aços para perfis laminados, chapas grossas e barras, usados em estruturas fixas, 1987

NBR 7188 (NB6). Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre, 1984.

NBR 7189 (NB7). Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias, 1989.


1.1.4. Aplicações

As aplicações do aço em Engenharia Civil são muitas como:

telhados; pontes e viadutos; postes;

edifícios comerciais; pontes rolantes; passarelas;

edifícios industriais; reservatórios; indústria naval;

residências; torres; escadas;

hangares; guindastes; mezaninos.

1.2. Formas usuais de metais ferrosos

As formas usuais de metais ferrosos são: ferro fundido, aço e ferro laminado, os quais são produzidos em três etapas de fabricação.

1.2.1. Etapas de fabricação do aço

O processo industrial de obtenção do aço compreende o aproveitamento do ferro contido no minério de ferro e pela eliminação progressiva de impurezas. Na forma líquida, já isento das impurezas do minério, recebe adições que lhe dão as características desejadas, sendo solidificado e preparado para a forma requerida. O processo de fabricação do aço pode ser definido em três etapas:

• 1a. fase: produção do ferro gusa (alto forno): o minério de ferro (hematita) é submetido a um forno de alta temperatura, cerca de 1500 ºC, juntamente com carvão mineral, resultando um produto denominado ferro gusa, também conhecido como ferro fundido. O ferro gusa não tem aplicação em estruturas metálicas por apresentar grande porcentagem de carbono, sendo por isto, quebradiço. As características do ferro fundido são as seguintes: teor de carbono: 3% a 4,5%; ferro: 96%, mais impurezas;

• 2a. fase: aciaria: o aço é obtido pela diminuição dos teores de carbono, silício e enxofre (refino), em equipamentos apropriados. O ferro gusa é depositado em fornos que os transforma em lingotes, além de reduzir seu teor de carbono, conforme as especificações. As características aço produzido são: teor de carbono: aproximadamente < 0,7% a 1,7% (pode variar de 0% a 1,7%);

• 3a. fase: laminação: fabricação dos perfis em laminadores padronizados (rolled beam) em medidas americanas e européias. Depois da fase de aciaria (refino do ferro gusa) passa-se à produção de lingotes contínuos, na qual se inicia a solidificação do aço no molde, que é retirado continuamente por rolos extratores. O teor de carbono para os aços laminados é < 0,2%. Na laminação, os lingotes são pré-aquecidos e deformados pela passagem sobre pressão em laminadores cilindros, reduzindo sua espessura até a medida desejada para comercialização. As chapas sofrem também redução de espessura por laminação.

O carbono aumenta a resistência do aço porém, o torna mais duro e quebradiço. Contudo, o aumento do teor de carbono produz redução na ductilidade do aço, o que acarreta problemas com solda.


Os aços carbonos podem ser soldados sem precauções especiais, somente até o teor de carbono de 0,30%.

Os aços de baixa liga são aços carbonos acrescidos de elementos de liga (cromo, colúmbio, cobre, manganês, molibdênio, níquel, fósforo, vanádio, zircônio), os quais melhoram algumas de suas propriedades mecânicas.

As ligas aumentam a resistência do aço devido à modificação da micro-estrutura dos grãos finos. É possível atingir resistência elevada com 0,20% de carbono e permitir soldagens sem precauções.

1.3. Tipos de aços estruturais

Os aços estruturais para Construção Civil são basicamente: aço carbono e aço de baixa liga.

1.3.1. Aço carbono

É o aço mais indicado para estruturas metálicas, pois é fácil de ser encontrado em todas as bitolas. Como exemplo de aço carbono fabricado no Brasil, o ASTM A-36 ou simplesmente A-36. Numa terminologia menos técnica pode-se interpretar o aço A-36 como aço comum.

Os aços carbono apresentam taxas que variam aproximadamente de 0,15% a 1,7% de carbono.

Tabela 1.1 Tipos de aço carbono

A36 (ASTM)

Usado em perfis, chapas e barras para a construção de edifícios, pontes e estruturas pesadas C = 0,25% a 0,29% fy = 36 ksi ≈ 250 MPa fu = 400 a 550 MPa

A307 (ASTM)

Aço de baixo teor de carbono para fabricação de parafusos comuns (C < 0,15%) fu = 415 MPa

A325 (ASTM)

Aço de médio teor de carbono para fabricação de parafusos de alta resistência (0,30% < C < 0,59%) fy = 550 MPa fu = 750 MPa

A570 (ASTM)

Empregado para perfis de chapas dobradas devido a sua maleabilidade Grau 33: fy = 230 MPa fu = 360 MPa Grau 40: fy = 280 MPa fu = 380 MPa Grau 45: fy = 310 MPa fu = 410 MPa

1 ksi = 70,3 kgf/cm2 . (kilo-libra por polegada quadrada)


Em função do teor de carbono, os aços distinguem-se em quatro categorias:

• baixo carbono C < 0,15%

• moderado 0,15% < C < 0,29%

• médio carbono 0,30% < C < 0,59%

• alto carbono 0,60% < C < 1,70%

1.3.2. Aços de baixa liga e alta resistência

São aços de resistência mecânica mais elevadas, possibilitando, assim, redução do peso próprio da estrutura. Devem ser utilizados em obras especiais tais como viadutos ou estruturas de grandes vãos, onde a redução do peso é importante. Evidentemente, são perfis de custo mais elevado que os comuns. Exemplo de aço de alta resistência: ASTM A-242, fabricado pela CSN, sob o nome comercial de aço COR-TEN. Este tipo de aço tem também elevada resistência à oxidação, não necessitando qualquer pintura de proteção.

O aço de alta resistência, do tipo CORTEN (ou similar) possui tensão de escoamento de 350 MPa.

Tabela 1.2 Aços de baixa liga e alta resistência mecânica e à corrosão.

A242 (ASTM)

fy = 290 MPa a 350 MPa Perfis: Grupo 1 e 2: fy = 345 MPa fu = 480 MPa Grupo 3 fy = 315 MPa fu = 460 MPa Chapas e barras:

19≤t : fy = 345 MPa fu = 480 MPa 3819 ≤< t : fy = 315 MPa fu = 460 MPa 10038 ≤< t : fy = 290 MPa fu = 435 MPa

t = espessura

1.3.3. Nomenclatura da ABNT

A ABNT prescreve a seguinte nomenclatura para os aços estruturais:

MR 250 fy = 250 MPa fu = 400 MPa AR 290 fy = 290 MPa fu = 415 MPa AR 345 fy = 345 MPa fu = 485 MPa

Módulo de Elasticidade: E = 205 GPa E=205000 MPa 20500 kN/cm2.

1.3.4. Espessura mínima para peças estruturais

A espessura mínima das peças metálicas está ligada à sua proteção contra a corrosão.

• sem necessidade de proteção contra corrosão: 3mm • com necessidade de proteção contra corrosão: 5mm


1.3.5. Propriedades dos aços estruturais

• Ductilidade: é a capacidade do material de se deformar sob a ação de cargas sem se romper. Quanto mais dúctil o aço, maior será a redução de área ou o alongamento antes da ruptura. A ductilidade tem grande importância nas estruturas metálicas, pois permite a redistribuição de tensões locais elevadas. As barras de aço sofrem grandes deformações antes de se romper, o que na prática constitui um aviso da presença de tensões elevadas;

• Fragilidade: é o oposto da ductilidade. Os aços podem ter características de elementos frágeis em baixas temperaturas;

• Resiliência: é a capacidade do material de absorver energia mecânica em regime elástico;

• Tenacidade: é a capacidade do material de absorver energia mecânica com deformações elásticas e plásticas;

• Dureza: é a resistência ao risco ou abrasão. A dureza pode ser medida pela resistência que sua superfície se opõe à introdução de uma peça de maior dureza;

• Resistência à Fadiga: é a capacidade do material suportar aplicações repetidas de carga ou tensões. É usualmente expressa como um limite de tensão que causa a falha sob condições de esforços repetidos. Esta tensão pode ocorrer em regime elástico.

1.4. Tensões e deformações

Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar, considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eixo reto e de seção constante em todo o comprimento).

Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças axiais P (forças que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a seu eixo. Removendo-se, por exemplo, a parte direita do corpo, os esforços internos na seção considerada (m-m) transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal.

m

m

σ

L

P

δ

P

P

Figura 1.1 barra prismática submetida a esforços de tração


Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à resultante, também axial, de intensidade P.

Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela letra grega σ (sigma).

Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal é obtida dividindo-se o valor da força P pela área da seção transversal, ou seja,

AP

=σ (1)

A tensão possui a mesma unidade de pressão que, no Sistema Internacional de Unidades, é o Pascal (Pa), o qual corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2, ou seja, Pa = N/m2.

Como a unidade Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com freqüência seus múltiplos: MPa = N/mm2 = (Pa×106), GPa = kN/mm2 = (Pa×109), etc. Em outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode ser expressa em quilograma força por centímetro quadrado (kgf/cm2), libra por polegada quadrada (lb/in2 ou psi), etc.

Quando a barra é alongada pela força P, como indica a Figura acima, a tensão resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a barra, tem-se tensão de compressão.

A condição necessária para validar a equação (1) é que a tensão σ seja uniforme em toda a seção transversal da barra.

O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado deformação específica, representada pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte equação:

Lδε = (2)

onde: ε = deformação específica δ = alongamento ou encurtamento L = comprimento total da barra.

Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o valor da deformação específica por 102 ou mesmo até por mil (‰) multiplicando-se por 103.

1.5. Ensaios

Para se conhecer o comportamento estrutural do aço realizam-se ensaios em laboratório, utilizando-se corpos de prova normalizados, com o intuito de se obter as características mecânicas do material, tais como, módulo de elasticidade, tensão de ruptura, etc. Estas características mecânicas são utilizadas nos projetos estruturais.


1.5.1. Ensaios de tração

Nos ensaios de tração do aço distinguem-se dois casos: aços que apresentam patamar de escoamento e os aços que não apresentam.

O ensaio de tração tem por objetivo o traçado da curva tensão-deformação e a obtenção das características mecânicas do material. Consiste em tracionar um corpo de prova em uma máquina de ensaio e registrar sucessivamente as tensões (σ) aplicadas e as correspondentes deformações unitárias (ε).

1.5.2. Diagrama tensão - deformação

As relações entre tensões e deformações para um determinado material são encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ, correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se aplicam à barra, até a sua ruptura.

Obtêm-se as tensões (σ) dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as deformações específicas (ε) dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material em estudo. Na Figura 1.2 ilustra-se o diagrama tensão-deformação típico do aço.

regiãoelástica região plástica

C

ε0

L

p

P

r

ff Ap

e

fσ

escoamentoB

ε

δ

P

εr

D

E

Tensão AP

=σ

Deformação específica

Lδε =

fr = tensão de ruptura fe ou fy = tensão de escoamento fp = tensão limite de proporcionalidade

Figura 1.2 Diagrama tensão-deformação do aço

Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às deformações; o material obedece a Lei de Hooke, mais à frente enunciada, e o diagrama é linear. 0 ponto A é chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa de existir a proporcionalidade.

Nesta fase, as deformações desaparecem quando retiradas as cargas aplicadas. Portanto, não há deformação permanente nesta fase.

Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta AO , até que em B inicia-se o fenômeno do escoamento.

Região plástica: é aquela situada após o ponto A até a ruptura. Nesta fase as deformações no material são permanentes.


No ponto B inicia-se o escoamento, caracterizado por um aumento considerável da deformação com pequeno aumento da força de tração.

A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer grandes deformações antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformações, antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre, bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, entre outros.

O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D, denominado limite máximo de resistência. A partir do ponto C verifica-se outro fenômeno físico, chamado encruamento. O aumento de resistência das ligas metálicas ocorrida após o escoamento é chamado encruamento. A fase plástica caracteriza-se pelo endurecimento por deformação a frio, ou seja, pelo encruamento do material. Além deste ponto, maiores deformações são acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova no ponto E do diagrama.

O limite de resistência corresponde ao valor máximo de tensão que o material pode suportar (ponto D). Depois de atingida esta carga máxima, inicia-se a fase de ruptura caracterizada pelo fenômeno da Estricção. A Estricção é uma diminuição acentuada da seção transversal do corpo de prova até a sua ruptura. No ponto E, verifica-se a ruptura da peça após a estricção, que teve início em D. Observa-se, também, queda no valor da tensão aparente entre D e E.

Na Figura 1.3 são ilustrados diagramas tensão – deformação de vários tipos de aço, em escala real.

Figura 1.3 Diagramas tensão-deformação em escala real


O limite de escoamento para o aço A-36 é fy= 250 MPa e o limite de proporcionalidade ou elasticidade (fp) ocorre aproximadamente a 80% da tensão de escoamento, portanto, fp = 200 MPa. O limite de elasticidade corresponde a uma deformação da ordem de 0,10% no corpo de prova, portanto, trabalhando-se na fase elástica as deformações sofridas são pequenas. O aumento de deformação no escoamento cresce aproximadamente de 1,5% a 2,0%.

Apresenta-se a seguir uma tabela com os valores principais das tensões sofridas por um corpo de prova de aço A-36 de comprimento L= 20 cm, admitidas as deformações indicadas. O quadro abaixo não se prende a um ensaio específico, os seus números têm como objetivo fornecer somente uma ordem de grandeza desses valores.

Tabela 1.3 Ensaio do aço A-36

Aço A-36 Tensão (σ) (MPa)

Deformação Específica (ε) (%)

Deformação (δ) (cm)

Limite de elasticidade 200 0,10 0,02 Início do escoamento 250 0,15 0,03 Fim do escoamento = início do encruamento 250 2,00 0,4 Limite de resistência = tensão máxima 450 16 3,2 Limite de ruptura = tensão de ruptura 290 24 4,8

Há outro tipo de aço que não apresenta patamar de escoamento. O aspecto da curva tensão-deformação para estes aços está indicado na Figura 1.4. Observa-se que a inclinação da reta referente à fase elástica dos aços é sempre a mesma porque o módulo de elasticidade apresenta valores idênticos para os diferentes tipos de aço.

0

fp

σrf

fe

εr ε (%)εp= 0,2

Figura 1.4 Diagrama tensão-deformação de aços sem patamar de escoamento

Nesta curva não existe um limite ou tensão de escoamento definida claramente no gráfico. Entretanto, por analogia com os aços que apresentam patamar de escoamento, define-se um limite de escoamento convencional, como sendo aquela tensão que deixa uma deformação permanente de 0,2%, quando o corpo de prova é descarregado.


1.6. Lei de Hooke

Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais, quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela qual ele tende a retornar à forma original, é denominada elasticidade. Quando a barra volta completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação residual.

A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE. Verifica-se que o trecho do diagrama da Figura 1.2, entre os pontos O e A é retilíneo, o que caracteriza a relação linear entre tensões e deformações. Daí, o conhecido enunciado da Lei de Hooke: “Na fase elástica, as tensões são proporcionais às deformações”, ou seja,

εσ E= (3)onde σ = tensão normal E = módulo de elasticidade do material ε = deformação específica O Módulo de Elasticidade é o coeficiente angular da região linear do diagrama tensão-deformação, sendo diferente para cada material. O Módulo de Elasticidade representa fisicamente a força de ligação entre as moléculas do corpo em estudo. Mede a deformabilidade do material; quanto maior for o seu valor, menor será a deformação sofrida.

O valor do módulo de elasticidade é constante para cada metal ou liga metálica. É uma característica física do material.

A Lei de Hooke é válida somente para a fase elástica dos materiais. Por este motivo, quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois somá-los.

Alguns valores de Módulo de Elasticidade (E) são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais, o valor do Módulo de Elasticidade, sob compressão ou sob tração, são iguais.

Tabela 1.4 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais

Material Peso específico (kN/m3)

Módulo de Elasticidade (GPa)

Aço 78,5 200 a 210 Alumínio 26,9 70 a 80 Bronze 83,2 98 Cobre 88,8 120

Ferro fundido 77,7 100 Madeira 0,6 a 1,2 8 a 12


Deformações elásticas

Quando uma barra é carregada por tração simples, a tensão axial é AP /=σ e a deformação específica é L/δε = . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE, tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra:

EAPL

=δ (4)

Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como rigidez axial da barra.

1.6.1. Ensaios de compressão

Na determinação das características mecânicas dos aços estruturais, não é freqüente o emprego do ensaio de compressão, dando-se preferência ao ensaio de tração. Existem dificuldades neste tipo de ensaio, como a possibilidade de flambagem do corpo de prova e outros problemas práticos ligados especificamente ao ensaio.

Os ensaios de compressão são realizados quase sempre no campo da pesquisa, visando comparar seus resultados com os ensaios de tração. Quando se ensaia à compressão obtém-se também a curva tensão-deformação, os limites de proporcionalidade e de escoamento, módulos de elasticidade, etc. Os valores encontrados para estas propriedades são aproximadamente iguais aos obtidos num ensaio de tração. Nos estudos teóricos e cálculos, admitem-se que as propriedades mecânicas citadas são as mesmas, quando o material trabalha à tração ou à compressão. Na verdade, as diferenças ocasionalmente encontradas para certos tipos de aço são pequenas.

Assim, a validade da Lei de Hooke ocorre tanto para peças comprimidas como para tracionadas, admitindo-se a mesma curva tensão – deformação, com os mesmos valores, nos dois casos. O módulo de elasticidade, limites de escoamento e de elasticidade, etc, apresentam conseqüentemente, os mesmos números para tração ou compressão.

1.6.2. Coeficiente de Poisson

Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 1.4 ilustra essas deformações.

P

P

P

P

Figura 1.4 Deformações longitudinal e lateral nas barras


A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como:

allongitudindeformaçãolateraldeformação

=υ (5)

Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D. Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35.

Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas fibras a madeira é mais resistente.

1.6.3. Forma geral da Lei de Hooke

Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a exemplos simples de solicitação axial.

Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal (εt), tem-se, respectivamente:

ELσε = e

ELtυσνεε == (6)

No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões normais σx, σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às deformações εx, εy e εz, a Lei de HOOKE é definida como:

σyxσ

σz

( )[ ]zyxx Eσσυσε +−=

1

( )[ ]xzyy Eσσυσε +−=

1

( )[ ]yxzz Eσσυσε +−=

1

(7)

A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos.


Exemplos 1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de tração P=30 kN.

L= 5 m

P P=30 kN

4

2πφ=A 6,19

452

=×

=πA cm2

AP

=σ 53,16,19

30==σ kN/cm2 ou 15,3 MPa

EAPL

=δ 0382,06,19000.20

50030=

××

=δ cm

Lδε = 0000764,0

5000382,0

==ε ou × 1000 = 0,0764 (‰)

2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2 e trecho CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2 é solicitada pelo sistema de forças indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2.

300 cm

30kNA

150kN

200 cm200 cm

B C50kN

D170kN

Trecho A-B

R=150kN

300 cm

150kNA

170kN

50kN

30kN

B

=

AP

=σ 1510150

==σ kN/cm2

EAPL

=δ 214,010000.21

300150=

××

=δ cm


Lδε = 713,01000

300214,0

=×=ε (‰)

Trecho B-C

R=120kN30kNR=120kN

150kN=

200 cm

B C50kN

170kN=

AP

=σ 815

120==σ kN/cm2

EAPL

=δ 076,015000.21

200120=

××

=δ cm

Lδε = 38,01000

200076,0

=×=ε (‰)

Trecho C-D

30kNR=170kN

150kN=

200 cm50kN

C D170kN

AP

=σ 44,918

170==σ kN/cm2

EAPL

=δ 0899,018000.21

200170=

××

=δ cm

Lδε = 45,01000

2000899,0

=×=ε (‰)

Alongamento total

38,00899,0076,0214,0 =++=δ cm


2. PRODUTOS SIDERÚRGICOS

Os produtos laminados, os perfis soldados e os elementos de ligação são os principais materiais empregados em Estruturas Metálicas.

A indústria siderúrgica oferece ao projetista diversos produtos com aplicações nas construções civis e seus acabamentos, dos quais destacam-se:

• perfis laminados a quente;

• perfis soldados;

• perfis conformados a frio (chapa dobrada);

• chapas laminadas a quente;

• chapas laminadas a frio;

• tubos de várias formas.

2.1. Perfis laminados

Os perfis laminados recebem esta denominação porque no seu processo de fabricação, rolos especiais chamados laminadores, produzem as formas finais dos diferentes perfis.

São os mais empregados na construção de estruturas metálicas e sua fabricação é feita em diversas dimensões e modelos padronizados. A tabela abaixo ilustra os produtos siderúrgicos mais utilizados.

Tabela 2.1 Tipos de produtos siderúrgicos:

Cantoneira de abas iguais Cantoneira de abas desiguais C padrão I padrão

Tê laminado Tê cortado de I ou H Tubo quadrado Tubo circular

Perfil soldado Perfil laminado a frio Chapas e barras


1– Cantoneiras: são empregadas em treliças, contraventamentos, linhas de transmissão de energia elétrica e ligações.

2- Perfis T: têm aplicações em estruturas soldadas e podem ser fabricados por processos de laminação ou através do corte de perfis I ou H.

3- Perfis I e U: empregados principalmente como vigas. Suas abas não têm faces paralelas e as bordas são arredondadas.

4- Perfis H: são empregados em elementos sujeitos à carga axial de compressão.

5- Barras chatas e redondas: as barras chatas são utilizadas em ligações e as barras redondas, em elementos tracionados (tirantes).

6- Chapas laminadas (a quente): têm espessura compreendida entre 3mm e 50mm, pois, chapas mais espessas apresentam problemas de soldabilidade. As suas principais aplicações estão nas ligações, emendas de vigas e pilares, bases de colunas e na fabricação de perfis soldados.

7- Chapas laminadas (a frio): são fornecidas em bobinas, com espessura inferior a 3mm e largura em torno de 2,50m. São empregadas na obtenção de perfis conformados a frio, também chamados, perfis de chapa dobrada, usados em estruturas leves, tais como, coberturas industriais tipo arco, Shed, etc. Outras aplicações são: fôrmas para lajes de edifícios, materiais para revestimento de paredes externas, internas e de cobertura.

• Perfis laminados

Perfil I ou perfil de aba estreita

h = 3” a 20” h = 3” a 12” (comerciais)

Inclinação da face interna da aba = 16,67%; São utilizadas como elementos resistentes à flexão (vigas).

Perfil H bf = d

(bf = mesa ou flange) d = 4” a 6”

Pouco uso em estruturas.

T

T


Perfil C ou U ou perfil de aba estreita

h = 3” a 15”

Peças submetidas à flexão, vigas, colunas de postos de gasolina, etc.

Cantoneiras:

Fabricadas com abas iguais e desiguais: Abas iguais – (7/8” x 7/8”x 1/8)” → (8 x 8 x 1)” Abas desiguais – (13/4 x 11/4 x 1/8)” → (8 x 4 x 1)”

Utilizadas em peças submetidas à tração ou compressão (treliças, tesouras).

• Combinações de perfis laminados

É muito comum a combinação de perfis em estruturas metálicas. As figuras abaixo ilustram algumas das várias possibilidades de combinações de perfis metálicos.

2.2. Perfis Soldados

Como o próprio nome sugere, são perfis fabricados de chapas planas soldadas. Correspondem, no Brasil, aos chamados perfis de abas largas (wide-flange) americanos. A sua seção transversal é semelhante a de um perfil I com abas mais alargadas e as faces das mesas paralelas. São fabricadas em grande variedade de dimensões de alma e mesa. A CSN padronizou as seguintes séries de perfis soldados:

• Perfil série CS – Colunas Soldadas

• Perfil série VS – Vigas Soldadas

• Perfil série CVS – Colunas e Vigas Soldadas


Pode-se considerá-los como a continuação das séries I e H de perfis laminados em

dimensões maiores.

São utilizados também quando são necessários perfis de grandes dimensões ou

seções especiais. As aplicações dos perfis soldados são as mesmas dos perfis laminados, ou

seja, vigas de pontes, galpões industriais (pilares e vigas), edifícios de grande altura, etc.

• Perfis de chapas soldadas

Perfis I h > b VS (Viga Soldada):para peças submetidas à flexão: para vigas CVS (Coluna Viga Soldada): para peças submetidas à flexo-compressão

Perfil H CS (Coluna Soldada): h=b para peças submetidas à compressão: colunas CS (altura em mm × massa em kg/m)

2.3. Perfis conformados a frio ou de chapas dobradas

As grandes siderúrgicas abastecem a indústria de menor porte com chapas finas para a obtenção de perfis de chapas dobradas. Os perfis de chapas dobradas são obtidos por meio do dobramento de chapas finas (3; 5; 6) mm a frio e, às vezes, também por meio de solda, embora a solda seja pouco utilizada, pois eleva o custo de fabricação do perfil.

Os perfis de chapas dobradas são utilizados como elementos estruturais em estruturas pouco carregadas, como coberturas e esquadrias. Outra aplicação importante são as telhas auto-portantes de seção trapezoidal.

São obedecidos raios mínimos para evitar a fissuração do aço durante o dobramento a frio.


2.4. Tubos

Na construção metálica utilizam-se tubos de seção circular, quadrada ou retangular

e outros perfis tubulares de formas especiais empregados em esquadrias metálicas.

O tubo circular associa a máxima resistência com o menor peso, em peças sujeitas à

compressão ou à flexão. Normalmente, são utilizados como barras comprimidas de

estruturas leves e como treliças planas ou espaciais. Exemplos: andaimes tubulares para

escoramento de pontes, coberturas espaciais, etc.

.o0o. Apresentam-se a seguir, algumas tabelas dos perfis mais utilizados em estruturas metálicas.

2.5. Tabelas de perfis

As tabelas de perfis simples (laminados ou soldados) apresentam as características

geométricas individuais de cada perfil.

Nomenclatura

Chama-se alma de um perfil, a região hachurada da seção transversal, indicada na

Figura abaixo. Denomina-se aba ou mesa de um perfil a região sem hachura. Geralmente, a

alma é parte do perfil que serve de união entre suas abas, como ocorre no caso de perfis I,

H e U.

h = altura do perfil b = largura da aba, flange ou mesa tf = espessura da aba (thickness=espessura)

tw = espessura da alma

Características geométricas dos perfis simples:

As características geométricas de cada perfil são indispensáveis ao projeto e

dimensionamento de qualquer estrutura. Para facilitar o trabalho do engenheiro foram

calculadas e tabeladas para todos os perfis fabricados no Brasil.

twALMA

tf

tf

b

b

h


As Tabelas apresentam as seguintes características geométricas dos perfis simples, com o intuito de facilitar e agilizar os cálculos estruturais:

• A: área da seção transversal do perfil (cm²) • Ix: momento de inércia em relação ao eixo x (cm4) • Iy; momento de inércia em relação ao eixo y (cm4) • rx: raio de giração em relação ao eixo x (cm) • ry: raio de giração em relação ao eixo y (cm) • wx: módulo de resistência em relação ao eixo x (cm³) • wy: módulo de resistência em relação ao eixo y (cm³) • bf: largura da aba do perfil • tf: espessura da aba do perfil • tw: espessura da alma do perfil • h:altura total do perfil • xg,yg : coordenadas do centro de gravidade

Estão também tabelados os pesos de cada perfil por metro linear. É útil na avaliação

do peso próprio das peças em estudo.

Na prática, recomenda-se a utilização das tabelas, pois facilitam o trabalho de

cálculo e diminuem a possibilidade de erro. Entretanto, há casos em que se deve recorrer à

Resistência dos Materiais para a determinação destas características. São casos especiais,

por exemplo, onde forem usados perfis não padronizados, especialmente fabricados para

um projeto, ou em perfis compostos não previstos nas tabelas, etc.

Coordenadas do Centro de Gravidade (CG)

As características geométricas são fundamentais para a o dimensionamento.

Notoriamente, aquelas calculadas em relação a eixos (x, y), passando pelo CG da seção do

perfil. As figuras abaixo ilustram a posição do CG de alguns tipos de perfis.

b

h

xg

yg

CG X

Y

h

xg

X

Y

yg

CG

xg

X

Y

yg

Z

CG

xg

X

Y

yg

CG

Perfil I Perfil C Cantoneira de abas iguais Cantoneira de abas desiguais


2.6. Principais tipos de concepções estruturais

2.6.1. Treliças isostáticas

Atingem vãos livres até 30 m. Acima de 30 m utilizar arcos treliçados. Genericamente h = 1/15 do vão.

+ - + - +- - +

Sistema WARREN

Sistema FINK

Sistema HOWE

Sistema PRATT


2.6.2. Tesouras isostáticas

WARREN

HOWE

WARREN (com montante)

PRATT


3. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO

As estruturas devem oferecer segurança a todas as ações, por mais desfavoráveis

que sejam, ao longo de sua vida útil para o qual foi projetada. As estruturas não devem

atingir um estado limite imediato ou em longo prazo, mesmo em condições precárias de

funcionalidade. Além da previsão de todas as ações, do projeto adequado, é necessário

também que a estrutura tenha uma reserva de resistência, garantida por coeficientes de

segurança adequados.

O Método das Tensões Admissíveis foi o primeiro método a ser utilizado para

garantir a segurança. Até meados da década de 1980, o projeto de estruturas metálicas

NBR 8800 utilizava o Método das Tensões Admissíveis. Com a revisão da norma de

estruturas metálicas em 1986, começou-se a utilizar o Método dos Estados Limites.

A NBR 8680:2003 Ações e Segurança nas Estruturas, define as condições e

critérios do Método dos Estados Limites.

3.1. Método das tensões admissíveis

Nas estruturas de aço, geralmente se considera o limite de escoamento como início

de ruptura do material. Para se ter segurança contra ruptura por escoamento utilizam-se nos

cálculos, tensões admissíveis que são obtidas dividindo-se o limite de escoamento por

coeficientes de segurança adequados. Como as tensões admissíveis ficam dentro do regime

elástico, esta teoria de dimensionamento chama-se elástica e os cálculos são efetuados com

segundo a Resistência dos Materiais.

A teoria elástica de dimensionamento é caracterizada por quatro pontos.

a) o estado limite de resistência é o início de plastificação da seção, no ponto de maior

tensão;

b) o cálculo dos esforços solicitantes é feito em regime elástico, não sendo considerada a

redistribuição de momentos fletores causadas pela plastificação de uma ou mais seções

da estrutura;

c) as cargas atuantes são consideradas com seus valores reais estimados (cargas em

serviço);

d) a margem de segurança da estruturas fica embutida na tensão admissível adotada para

cada tipo de solicitação.


O dimensionamento é considerado satisfatório quando a maior tensão solicitante em

cada seção for inferior ao valor admissível correspondente, ou seja:

σσ <

A tensão admissível de tração ( tσ ) é relativa à área líquida é 0,6fy, exceto em furos

de conexões por pinos.

yf6,0=σ

A relação entre a tensão de escoamento e a tensão admissível à tração é γ =1,67,

que é o coeficiente de segurança utilizado.

67,16,0

1==

σyf

→ portanto, γ =1,67.

3.2. Método dos Estados Limites

Um estado limite ocorre sempre que a estrutura deixa de satisfazer um de seus

objetivos. Eles podem ser divididos em Estados limites últimos (ELU) e Estados limites de

Utilização, ou de Serviço (ELS).

Quando uma seção da estrutura entra em escoamento, duas coisas importantes

acontecem:

a) o escoamento começa no ponto de maior tensão e depois de se propaga a outros pontos

da seção, aumentando sua resistência interna;

b) em estruturas hiperestáticas, o escoamento de uma ou mais seções provoca

redistribuição dos momentos fletores, aumentando a resistência da estrutura.

Diz-se que uma estrutura é segura quando ela possui condições de suportar todas as

ações ao longo de sua vida útil para a qual foi projetada.

Por Ações entendem-se todas as causas que provocam tensões na estrutura. A

estrutura atinge seu estado limite último quando perde a estabilidade ou quando em um de

seus pontos o material atinge a tensão de ruptura ou uma deformação plástica excessiva.

O conceito de segurança abrange o estado limite ao longo de sua vida útil e às

condições de funcionabilidade. Portanto, existem dois tipos de estados limites: estados

limites últimos e estados limites de utilização.


O método dos estados limites utilizado para o dimensionamento dos componentes

de uma estrutura (barras, elementos e meios de ligação) exige que nenhum estado limite

aplicável seja excedido quando a estrutura for submetida a todas as combinações

apropriadas de ações. Quando a estrutura não mais atende aos objetivos para os quais foi

projetada, um ou mais estados limites foram excedidos. Os estados limites últimos estão

relacionados com a segurança da estrutura sujeita às combinações mais desfavoráveis de

ações previstas em toda a sua vida útil. Os estados limites de utilização estão relacionados

com o desempenho da estrutura sob condições normais de serviço.

A princípio fundamental deste método é que a resistência de cálculo (Rd) (o índice d

provém da palavra inglesa design) de cada componente ou conjunto da estrutura deve ser

igual ou superior à solicitação de cálculo (Sd). A resistência de cálculo é determinada para

cada estado limite e é igual ao produto de um coeficiente de minoração (φ) pela resistência

nominal (Rn), ou seja, (Rd= φ Rn).

As condições analíticas de segurança estabelecem que as solicitações de cálculo

não devem ser maiores que as resistências de cálculo e devem ser verificadas em relação a

todos os estados limites e todos os carregamentos especificados para o tipo da construção

considerada. São expressas por:

nd RS φ≤

onde:

Sd = solicitação de cálculo

Rn = resistência nominal do material

φ = coeficiente de minoração do material


3.2.1. Carregamentos

As cargas que atuam nas estruturas são chamadas de Ações. A ações a serem adotadas no projeto das estruturas de aço e de seus componentes são as estipuladas pelas normas apropriadas e as decorrentes das condições a serem preenchidas pela estrutura. Essas ações devem ser tomadas como nominais, devendo ser consideradas como seguintes tipos de ações nominais:

• Ações permanentes (G), incluindo peso próprio da estrutura e peso de todos os elementos componentes da construção, tais como pisos, paredes permanentes, revestimentos, acabamentos, instalações e equipamentos fixos, etc.

• Ações variáveis (Q), incluindo as sobrecargas decorrentes do uso e ocupação da edificação, equipamentos, divisórias, móveis, sobrecargas em coberturas, pressão hidrostática, empuxo de terra, vento, variação de temperatura, etc.

• Ações excepcionais (E), explosões, choques de veículos, efeitos sísmicos, etc.

3.2.2. Coeficientes de majoração das ações

No método dos estados limites, as ações devem ser majoradas de um coeficiente de majoração das ações (γ)

SSd γ= onde: Sd = solicitação de cálculo γ = coeficiente de majoração das ações S = esforço nominal A combinação das ações no caso normal e durante a construção é dada por:

( )∑∑=

++=n

jjjqjqgd QQGS

211 ψγγγ

Para as condições excepcionais, tem-se: ( )∑∑ ++= QEGS qgd ψγγ

onde: G = ação permanente Q = ação variável Q1 = ação variável predominante E = ação excepcional ψ = fator de combinação: é um fator estatístico que leva em conta a freqüência

da ocorrência simultânea das cargas γq1 = coeficiente de ponderação da ação variável predominante γg = coeficiente de ponderação da ação permanente

Estado limite Último

Os Estados Limites Últimos (ELU) estão associados à ocorrência de cargas excessiva e conseqüentemente a colapsos das estruturas devido, por exemplo a: perda de equilíbrio como corpo rígido, ruptura de uma ligação ou seção ou instabilidade em regime elástico ou não.


Os coeficientes de majoração das ações indicados pela norma de Ações e Segurança nas estruturas, NBR 8681 são mostrados na Tabela abaixo.

Tabela 3.1. Coeficientes de segurança de solicitações para o estado limite último Ações permanentes Ações variáveis

Ações Grande variabilidade

Pequena variabilidade

(*)

Cargas variáveis decorrentes do uso da edificação (carga de

utilização) (**)

Outras ações

variáveis

Recalques diferenciais

Variação de temperatura ambiental

γg γg γq γq γq γq Normais 1,4 (0,9) 1,3 (1,0) 1,5 1,4 1,2 1,2

Construção 1,3 (0,9) 1,2 (1,0) 1,3 1,2 1,2 1,0

Excepcionais 1,2 (0,9) 1,1 (1,0) 1,1 1,0 0 0

Os valores entre parênteses correspondem a ações permanentes favoráveis à segurança. (*) Peso próprio de elementos metálicos e de elementos pré-fabricados com controle rigoroso de peso. (**) Sobrecargas em pisos e coberturas, cargas em pontes rolantes ou outros equipamentos, variações de temperatura provocadas por equipamentos, etc.

São consideradas cargas permanentes de pequena variabilidade os pesos próprios de elementos metálicos e pré-fabricados, com controle rigoroso de peso. Excluem-se os revestimentos destes elementos feitos in loco.

A variação de temperatura citada não inclui a gerada por equipamentos, a qual deve ser considerada como ação decorrente do uso da edificação.

Ações decorrentes do uso da edificação incluem sobrecargas em pisos e em coberturas, cargas de pontes rolantes cargas de outros equipamentos.

Os fatores de combinação (ψ) da NBR 8681 estão indicados na Tabela abaixo.

Tabela 3.2 Fatores de combinação ψd no Estado Limite Último

Ações Fatores de combinação (ψ) Sobrecargas em pisos de bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens, conteúdo de silos e reservatórios. 0,75

Cargas de equipamentos, incluindo pontes rolantes e sobrecargas em pisos diferentes dos anteriores. 0,65

Pressão dinâmica do vento 0,60 Variação de temperatura 0,60

Os coeficientes ψ devem ser tomados iguais a 1,0 para ações variáveis não citadas

nesta tabela e também para as ações variáveis nela citadas, quando forem de mesma

natureza da ação variável predominante Q1; todas as ações variáveis decorrentes do uso de

uma edificação (sobrecargas em piso e em coberturas, cargas de pontes rolantes e de outros

equipamentos), por exemplo, são considerados de mesma natureza.


Estado Limite de Utilização

Os Estados Limites de Utilização estão associados às cargas em serviço. Evita-se,

assim, a sensação de insegurança dos usuários de uma obra na presença de deslocamentos

ou vibrações excessivas, ou ainda, prejuízo de componentes não estruturais como

alvenarias e esquadrias. No Estado Limite de Utilização, as cargas são combinadas como

anteriormente explanado sem, entretanto, majorar seus valores, ou seja, utilizando(γ =1,0).

Os limites de deslocamentos máximos para o estado limite de utilização, fixados

pela norma de estruturas metálicas NBR 8800, estão indicados na Tabela abaixo.

Tabela 3.3 Valores limites de deformações elásticas, segundo a NBR 8800.

Ações a considerar Elemento estrutural Limite

Sobrecarga Barras biapoiadas suportando elementos de cobertura inelásticos. 240

1 do vão

Sobrecarga Barras biapoiadas suportando elementos de cobertura elásticos. 180

1 do vão

Sobrecarga Barras biapoiadas suportando pisos. 360

1 do vão

Cargas máximas por roda (sem impacto)

Vigas de rolamento biapoiadas para pontes rolantes com capacidade de 200 kN ou mais. 800

1 do vão

Des

loca

men

tos v

ertic

ais

Cargas máximas por roda (sem impacto)

Vigas de rolamento biapoiadas para pontes rolantes com capacidade inferior a 200 kN. 600

1 do vão

Força transversal da ponte

Vigas de rolamento biapoiadas para pontes rolantes. 600

1 do vão

Edi

fício

s ind

ustr

iais

Des

loca

men

tos h

oriz

onta

is

Força transversal da ponte, ou vento

Deslocamento horizontal da coluna relativo à base. 400

1 a2001 da altura

Sobrecarga Barras biapoiadas de pisos e coberturas, suportando construções e acabamentos sujeitos à fissuração. 240

1 do vão

Des

loca

men

tos v

ertic

ais

Sobrecarga Idem, não sujeitos à fissuração. 360

1 do vão

Vento Deslocamento horizontal do edifício, relativo à base, devido a todos os efeitos. 400

1 da altura do edifício

Vento

Deslocamento horizontal relativo entre dois pisos consecutivos, devido à força horizontal total no andar entre os dois pisos considerados, quando fachadas e divisórias (ou ligações com a estrutura) não absorverem as deformações da estrutura.

5001 da altura do andar O

utro

s edi

fício

s

Des

loca

men

tos h

oriz

onta

is

Vento Idem, quando absorverem. 4001 da altura do andar


4. PEÇAS TRACIONADAS

Peças tracionadas são aquelas sujeitas a solicitações axiais de tração, geralmente denominadas tração simples. As peças tracionadas podem ser empregadas em estruturas como tirantes, barras tracionadas de treliças, etc.

As peças tracionadas são dimensionadas admitindo-se distribuição uniforme das tensões de tração na seção transversal considerada. Esta condição é obtida na maioria dos casos na prática, principalmente se a peça não apresentar mudanças bruscas na seção transversal. Admite-se que a carga de tração axial seja aplicada no centro de gravidade (CG) da seção. No dimensionamento analisam-se primeiramente as condições de resistência e, em seguida, as condições de estabilidade da barra.

As seções transversais das barras tracionadas podem ser simples ou compostas como, por exemplo:

• barras redondas;

• barras chatas;

• perfis laminados (L, C, U, I);

• perfis compostos.

As ligações das extremidades das peças tracionadas com outras partes da estrutura são feitas por diversos meios como: soldagem, parafusos e rebites, rosca e porca para barras rosqueadas.

4.1. Dimensionamento no Estado Limite Último (ELU)

A resistência de uma peça submetida a tração axial pode ser determinada pela ruptura da seção líquida (que provoca colapso), ou pelo escoamento generalizado da seção bruta (que provoca deformações excessivas).

4.1.1. Peças tracionadas com furos

Os furos diminuem a área da seção transversal da peça. Portanto, há um enfraquecimento na peça, que deve ser considerado no dimensionamento.

a) ruptura da seção líquida (condição de resistência):

75,0, ==≤ tukntntdt comfARR φφφ

onde: An = área líquida de uma peça com furos ou entalhes fuk = tensão de ruptura característica do aço

b) escoamento da seção bruta (condição de ductilidade):

90,0, ==≤ tygtntdt comfARR φφφ


4.1.2. Peças com extremidades rosqueadas

As barras com extremidades rosqueadas, consideradas neste item, são aquelas com

diâmetro igual ou superior a 12 mm (1/2”).

65,0,75,0 ==≤ tukgtntdt comfARR φφφ

onde Ag = área bruta da barra

4.1.3. Peças ligadas por pinos

No caso de chapas ligadas por pinos, a resistência é determinada pela ruptura da

seção líquida efetiva.

4.1.4. Limitação de esbeltez das peças tracionadas

O índice de esbeltez (λ) é definido na Resistência dos Materiais como a relação

entre o comprimento livre (não contraventado) (L) e o raio de giração mínimo (imin) de sua

seção transversal.

miniL

=λ (adimensional) com A

Ii minmin =

onde I é o momento de inércia da seção transversal.

O índice de esbeltez é muito importante no dimensionamento de peças

comprimidas, nas quais pode ocorrer o fenômeno da flambagem.

Nas peças tracionadas, o índice de esbeltez não tem importância fundamental, pois

o esforço de tração tende a retificar a haste, reduzindo a excentricidade construtiva inicial.

Contudo, as normas fixam valores mínimos de coeficiente de esbeltez, a fim de reduzir

efeitos vibratórios provocados por impactos, vento, etc.

O índice de esbeltez de barras tracionadas, excetuando-se tirantes de barras

redondas pré-tensionadas, não pode, em princípio, exceder os seguintes limites:

Tabela 4.1 Valores de esbeltez limites em peças tracionadas

Peças AISC / NBR AASHTO Vigamentos principais 240 200 Contraventamentos e outros vigamentos secundários 300 240


4.1.5. Diâmetro dos furos

Os furos enfraquecem a seção da peça. O diâmetro total a ser considerado é igual ao

diâmetro nominal do conector (d), acrescido de 3,5mm. A Norma, o AISC recomenda

considerar os furos com diâmetros 1/8” (3,2mm) maiores que o diâmetro nominal adotado.

Este acréscimo de diâmetro é devido às imperfeições causadas na chapa durante a abertura

do furo, especialmente se forem abertos por punção.

É erro comum, principalmente para os que vêm o assunto pela primeira vez, pensar

na área líquida como a área bruta, subtraída das áreas de todos os furos existentes na

ligação. Isto é incorreto; a área líquida é estudada, pensando-se numa possível seção de

ruptura, tendo-se em mente a transmissão de esforços (distribuição de tensões no interior

da peça). Deve ser imaginada como a seção mais provável de ruína. Logo, os furos a serem

considerados serão, somente aqueles contidos na seção de ruptura em estudo.

Seção transversal líquida dos furos

Numa barra com furos, a área líquida (An) é obtida subtraindo-se da área bruta (Ag)

as áreas dos furos contidos em uma mesma seção reta da peça.

d+3,5mm

Área bruta (Ag)

d+3,5mm

Área líquida (An)

Figura 4.1 Área líquida e área bruta

No caso de furação em zig-zag, é necessário pesquisar diversos percursos para se

encontrar o menor valor de seção líquida uma vez que a peça pode romper segundo

qualquer um desses percursos.


gb

furação reta

p

b 1

1

1

furação em zig zag

23

3

2

s

Figura 4.2 Tipos de furações

Os segmentos zig-zag são computados com um comprimento reduzido, dado pela

seguinte expressão empírica:

gs4

2

onde:

g = espaçamento transversal entre duas filas de furos (gage)

s = espaçamento longitudinal entre furos de filas diferentes

p= espaçamento entre furos da mesma fila (pitch)

A área líquida (An) de barras com furos pode ser representada pela equação:

( ) tg

smmdbAn ⋅

++−= ∑∑ 4

5,32

,

adotando-se o menor valor obtido nos diversos percursos pesquisados.

Seção transversal líquida efetiva

Nas ligações de barras tracionadas em que a solicitação for transmitida apenas em

um dos elementos da seção, utiliza-se uma seção líquida efetiva (An,ef) para levar em conta

que, na região da ligação, as tensões se concentram no elemento ligado e não mais se

distribuem uniformemente em toda a seção. No caso de peças ligadas com conectores

aplicam-se os seguintes coeficientes de redução Ct:


Tabela: Coeficientes de redução da área liquida (Ct)

Ct Perfis

0,90 I ou H, cujas mesas tenham largura não inferior a 2/3 da altura e em perfis T cortados desses perfis, com ligações nas mesas, tendo no mínimo três conectores por linha de furação na direção do esforço.

0,85 Demais perfis, tendo no mínimo três conectores por linha de furação na direção do esforço.

0,75 Em todas as barras, cujas ligações tenham somente dois conectores por linha de furação na direção do esforço.

No caso de barras tracionadas com ligações soldadas apenas em alguns dos

elementos da seção, o coeficiente de redução da área depende da relação entre o

comprimento longitudinal l das soldas e a largura b da chapa ligada.

Coef de redução Ct Relação entre l e b (l > b) 1,0 bl 2≥ 0,87 blb 5,12 ≥>

0,75 blb ≥>5,1

N

N

N

b

h

b < 2h/3C = 0,85 se

b > 2h/3C = 0,90 se

t

t

N

tC = 0,75

N


4.1.6. Exemplos

1. Calcular a espessura necessária de uma chapa de 100mm de largura, sujeita a um esforço

axial de tração de 100 kN. Resolver o problema utilizando o aço comercial (MR-250), com

tensão admissível yt f6,0=σ .

Solução: Para o aço MR 250, tem-se a seguinte tensão admissível referente à área bruta:

2151502506,0cmkNMPat ==×=σ

Área bruta necessária: 267,615

100 cmNAt

g ===σ

Espessura necessária: cmt 67,01067,6

== → adota-se 5/16” = 7,94 mm

2. Resolver o problema precedente para o dimensionamento no estado limite último.

Solução: Admitindo-se que o esforço de tração seja provocado por uma carga variável de

utilização, a solicitação de cálculo vale:

kNNN qd 1501005,1 =×== γ

a área bruta necessária é obtida pela expressão: 267,6259,0

150 cmf

NAyt

dg =

×==

φ

espessura necessária: cmt 67,01067,6

== → adota-se 5/16” = 7,94 mm

No caso tração centrada devida a cargas variáveis, os métodos dos Estados Limites e o de

Tensões Admissíveis fornecem o mesmo dimensionamento.


3. Duas chapas 7/8”×300mm são emendadas por traspasse com 8 parafusos φ 7/8”. Verificar se as dimensões das chapas são satisfatórias para uma carga axial de tração de 300 kN, admitindo-se aço MR 250 (ASTM A36).

3 00m

m N=300 kN

t=22mmt=22mm

N=300 kN

22mm 22mm

Solução:

O tipo de ligação adotado introduz excentricidade no esforço axial. Contudo, o problema será resolvido admitindo-se as chapas sujeitas a esforço axial.

Área bruta: cm22,254,287

=×

260,6622,230 cmAg =×=

A área líquida na seção furada é obtida deduzindo-se a área de quatro furos com diâmetro 7/8”+1/8”=2,54 cm.

( ) 204,4422,254,2430 cmAn =××−=

Admitindo-se que a solicitação seja produzida por uma carga permanente de grande variabilidade, o esforço solicitante de cálculo vale:

kNNN qd 4203004,1 =×== γ

cálculo dos esforços resistentes:

área bruta: kNN resd 5,14982560,669,0, =××=

área líquida: kNN resd 2,13914004,4475,0, =××=

Os esforços resistentes são superiores aos esforços solicitantes, concluindo-se que

as dimensões satisfazem com folga.


4. Duas chapas (280mm × 20mm) são emendadas por traspasse com furos d = 20mm,

abertos por punção. Calcular o esforço resistente de projeto das chapas, admitindo-se

submetidas à tração axial. Dado: Aço MR 250.

Aço: MR 250: fy = 250 MPa fu = 400 MPa

7575 75 75

N

20

280m

m

1

2

a

1

3

3

3

1

2 3

20

N

5050

4050

5040

Solução

O efeito da excentricidade no esforço de tração é desprezado

O diâmetro dos furos é: 20 + 3,5 = 23,5 mm

Seção bruta das chapas: Ag = 28 × 2 = 56 cm2

Seção líquida:

1-1-1: ( ) 26,46235,2228 cmAn =××−=

2-2-2: 22

45,48235,2454

5,7228 cmAn =×

×−

××+=

3-3-3: 22

0,55235,2554

5,7428 cmAn =×

×−

××+=

A menor seção líquida correspondente à reta 1-1-1.

Esforços resistentes

Área bruta: kNN resd 126025569,0, =××= (126 tf)

Área liquida: kNN resd 1398406,4675,0, =××= (139,8 tf)

Resposta: Nd,res = 1260 kN

Note-se que neste exemplo, o escoamento da seção bruta ocorrerá antes da ruptura da seção líquida.


5.

Para o perfil [U381×50,4 kg/m] (15”), em aço MR250 da figura, calcular o esforço resistente de tração.

O diâmetro dos conectores é

d = 22mm.

Área da seção transversal do perfil Ag = 64,2 cm2

Solução

381m

m

150

85

1

N

8585

10.2

86.4 1

Aço: MR 250: fy = 250 MPa fu = 400 MPa

a) escoamento da seção bruta

ygresd fAN 9,0, = kNN resd 1444252,649,0, =××=

b) ruptura da seção líquida

diâmetro do furo considerado: 22 + 3,5 = 25,5 mm

Área líquida: ( ) 28,5302,155,242,64 cmAn =××−=

Área líquida da seção 1-1 = 23,408,5375,0 cmAn =×=

unresd fAN 75,0, = kNN resd 1210403,4075,0, =××=

6. Calcular o diâmetro do tirante em aço ASTM A36 (MR250), capaz de suportar uma

carga axial de 150kN (15tf), sabendo-se que a transmissão da carga será feita por um

sistema de rosca e porca. Admite-se que a carga seja do tipo permanente, com grande

variabilidade (γf = 1,4).

Solução:

Barras rosqueadas:

ut

fg f

NA

75,0×=

φγ

277,104075,065,0

1504,1 cmAg =××

×=

Adota-se parafuso com diâmetro d = 3,81mm (1½”), cuja área é Ag = 11,40 cm2.


7. Para a cantoneira [L 178×102×12,7] (7”×4”×½”) indicada na Figura, determinar:

a) a área líquida, sendo os conectores de diâmetro d = 22 mm (7/8”);

b) o maior comprimento admissível, para esbeltez máxima λ=240.

178m

m

76

medidas em milímetros

76

102

(a)

64

64

12.7

(b)

76

38

12.7

1 2

(c)

1

2

1

2

2

7611

538

38

O cálculo pode ser feito rebatendo-se a cantoneira segundo seu eixo (Figura c).

Comprimentos líquidos dos percursos:

Diâmetro dos furos d = 22 + 3,5 = 25,5 mm.

Percurso 1-1-1: mm5,2165,2527,12102178 =×−−+

Percurso 2-2-2: mm6,2225,2531154

76764

767,1210217822

=×−×

+×

+−+

O percurso 1-1-1 é crítico.

a) seção líquida: 24,2727,16,21 cmAn =×=

b) o maior comprimento desta cantoneira trabalhando como tirante será:

Para cantoneira [L 178 × 102 × 12,7], tem-se raio de giração mínimo: imin = 2,21 cm.

Índice de esbeltez máximo para peças tracionadas: 240min

≤=ilλ

Logo minmax 240 il ×= cml 53021,2240max =×=


5. TRELIÇAS

Definição

Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O

ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados

unicamente nos nós.

Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um

mesmo plano.

Para se calcular uma treliça deve-se:

a) determinar as reações de apoio;

b) determinar as forças nas barras.

A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é:

vbn +=2

onde:

b= número de barras

n= número de nós

v= número de reações de apoio

Adota-se como convenção de sinais:

barras tracionadas: positivo setas tracionando o nó

barras comprimidas: negativo setas comprimindo o nó

Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e

analíticos.

Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós,

abaixo exemplificado.


Apoios

Para o estudo do equilíbrio dos corpos rígidos não bastam conhecer somente as

forças externas que agem sobre ele, mas também é necessário conhecer como este corpo

rígido está apoiado.

Apoios ou vínculos são elementos que restringem os movimentos das estruturas e

recebem a seguinte classificação:

Apoio móvel

ou

• Impede movimento na direção normal (perpendicular)

ao plano do apoio;

• Permite movimento na direção paralela ao plano do

apoio;

• Permite rotação.

Apoio fixo

• Impede movimento na direção normal ao plano do

apoio;

• Impede movimento na direção paralela ao plano do

apoio;

• Permite rotação.

Engastamento

• Impede movimento na direção normal ao plano do

apoio;

• Impede movimento na direção paralela ao plano do

apoio;

• Impede rotação.

As estruturas são classificadas em função do número de reações de apoio ou vínculos que possuem. Cada reação constitui uma incógnita a ser determinada.

Para as estruturas planas, a Estática fornece três equações fundamentais:

0=Σ xF 0=Σ yF 0=Σ AM


Método do equilíbrio dos nós

1. Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio.

No caso da treliça da figura, no nó A tem-se um apoio móvel e no nó B, um apoio fixo.

Como os apoios móveis restringem somente deslocamentos os perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical RA.

Como os apoios fixos restringem deslocamentos paralelos e perpendiculares ao plano do apoio, tem-se uma reação vertical RB e uma reação horizontal HE.

C

RA

A F2 m

B

50 kN 100 kN

D

2 m

RE

E

α

2 m

HE

50 kN

Verificar se a treliça é uma estrutura isostática

barras b = 9 nós n = 6 reações v = 3

vbn +=2 Conclusão:

3962 +=× a treliça é uma estrutura isostática

Cálculo do ângulo de inclinação das barras º4522

=

= arctgα

a) Cálculo das reações de apoio Equação de equilíbrio das forças na horizontal:

0=Σ HF conclusão: HE = 0

Equação de equilíbrio das forças na vertical:

0=Σ VF 05010050 =−−−+ EA RR 200=+ EA RR kN (1)

Equação de equilíbrio de momentos:

Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se

0=Σ AM 021004504 =×−×−× ER 4

400=ER 100=ER kN

Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:

200100 =+AR kN logo 100=AR kN

b) Cálculo das forças nas barras Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças devem estar tracionando o nó. Como não se sabe a priori se as forças nas barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado.


Nó A

A

RA

N2

N1

0=Σ HF → 02 =N

0=Σ VF

01100 =+ N → 1001 −=N kN

Nó B

B

100

45°

N4

50

N3

0=Σ HF

0º45cos43 =+ NN → 503 −=N kN

0=Σ VF

0º45450100 =−− senN → 7,704 =N kN

Nó C

N550

100

N6

C

0=Σ HF

0550 =+ N → 505 −=N kN

0=Σ VF

06100 =−− N → 1006 −=N kN

Nó D

45°

50

50

N7 N8

D

0=Σ HF

0º45cos750 =− N → 7,707 =N kN

0=Σ VF

0º45sen7,70850 =+−− N → 1008 −=N kN

Nó E

100

100

EN9

0=Σ HF → 09 =N

Nó F Verificação

45° 45°

10070,770,7

0,0 0,0F

0=Σ HF

0º45cos7,70º45cos7,70 =+−

0 = 0 (verificado)

0=Σ VF 0º457,70º457,70100 =++− sensen

0 = 0 (verificado)


Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há necessidade de se calcular as forças nos nós D e E.

Resultados NAB= 100 kN compressão NAF= 0 NBC= 50 kN compressão NBF= 70,7 kN tração NCF= 100 kN compressão NCD= 50 kN compressão NDF= 70,7 kN tração NDE= 100 kN compressão NFE= 0 kN

C

RA

A F2 m

B

50 kN 100 kN

D

2 m

RE

E

α

2 m

HE

50 kN

2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura.

2.0 m 2.0 mHA

1.0

m

A

1.0

m

HB B

RB

40 kN

α

E

θ

C

D

20 kN

Cálculo dos ângulos de inclinação das barras

º43,6312

=== arctgα º56,2621

=== arctgθ

a) Cálculo das reações de apoio

0=Σ HF 040 =−− BA HH → 40=− BA HH kN

0=Σ VF 020 =−BR → 20=BR kN

0=Σ BM 04201402 =×−×−×+ AH → 60=AH kN 20=BH kN


b) Cálculo das forças nas barras

Nó B

N2

N163.4°

20 kN

20 kN

B

0=Σ HF

0220 =+− αsenN → 4,222 =N kN

0=Σ VF

0cos2120 =−− αNN → 101 =N kN

Nó A

26.6°60 A

10

N4

N3

0=Σ VF 0310 =+ θsenN → 4,223 −=N kN

0=Σ HF

0cos3460 =++ θNN

0cos4,22460 =−+ θN → 404 −=N kN

Nó E

40 N6

E

N5

0=Σ HF

0640 =− N → 406 =N kN

0=Σ VF → 05 =N kN

Nó D

20

D40

26.6°

N7

0=Σ VF 0720 =+− θsenN → 7,447 =N kN

0=Σ HF

0cos7,4440 =− θ → 0 = 0 (verificado)

Nó C

22,4 0,0 44,7

22,4C

26.6°

26.6° 26.6°

40

Verificação

0=Σ HF

0cos7,4440cos4,22cos4,22 =+−− θθθ

0=0 kN (verificado)

0=Σ VF 0sen7,44sen4,22sen4,22 =−+ θθθ

10 + 10 – 20 =0 (verificado)


Resultados NAB= 10 kN tração NAC= 22,4 kN compressão NAE= 40 kN compressão NBC= 22,4 kN tração NCE= 0 NCD= 44,7 kN tração NED= 40 kN compressão

22,4 kN T

22,4 kN C

40 kN C

10 k

N T

A

B

20 kN44,7 kN T

40 kN CE

αθ

0

D

C 40 kN

3. Determinar os esforços nas barras da treliça da figura

G HF2m 2m 2m

B

α

RA

A

100 kN70 kN

C

70 kN

D

2m

HE

1.5m

RE

E

Verificar se a treliça é uma estrutura isostática

barras b = 13 nós n = 8 reações v = 3

vbn +=2 Conclusão:

31382 +=× a treliça é uma estrutura isostática

Cálculo do ângulo de inclinação das barras º87,3625,1

=

= arctgα

α=36,87º → sen = 0,600 cos = 0,800 tg = 0,750

a) Cálculo das reações de apoio Equação de equilíbrio das forças na horizontal:

0=Σ HF conclusão: HE = 0

Equação de equilíbrio das forças na vertical:

0=Σ VF 07010070 =−−−+ EA RR 240=+ EA RR kN (1)

Equação de equilíbrio de momentos:

Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se

0=Σ AM 067041002708 =×−×−×−× ER 8

960=ER 120=ER kN

Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se: 240120 =+AR kN logo 120=AR kN


b) Cálculo das forças nas barras Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças devem estar tracionando o nó. Como não se sabe a priori se as forças nas barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta deve ser mudado.

Nó A

N120AF

A NAB

α

0=Σ VF 0sen120 =− αAFN → 200=AFN kN

0=Σ HF 0cos =− αAFAB NN → 160−=ABN kN

Nó F 200

F

α

N

N

FB

FG

0=Σ VF 0sen200 =+ FBNα → 120−=FBN kN

0=Σ HF

0cos200 =+− FGNα → 160=FGN kN

Nó B

160α

120 BGN

70

BBCN

0=Σ VF 0sen70120 =−−+ αBGN

→ 33,83=BGN kN

0=Σ HF

0cos160 =++ αBGBC NN → 67,226−=BCN kN

Nó C 100

66,67

NCG

NCD

C

0=Σ HF

067,66 =− CDN → 67,66=CDN kN

0=Σ VF

0100 =−CGN → 100=CGN kN

Nó G

160

83,33100

G

α α NGH

NGD

0=Σ VF 0100sen33,83 =−+ αGDN → 33,83=GDN kN

0=Σ HF

0160cos33,83cos33,83 =−−+ ααGHN → 160=GHN kN


Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças que agem nos nós D, H e E são iguais às dos nós B, F e A, respectivamente. Portanto, não há necessidade de se calcular as forças nos nós D, H e E.

160kN C

200kN T

G HF2m 2m 2m

70 kN

120k

N Cα

RA200kN T

BA 160kN C

100 kN

160kN T

83,3kN T 100k

N C

C266,67kN C

160kN T

83,3kN T

120k

N C

70 kN

D266,67kN C

2m

HE

1.5m

RE

E

Resultados

Barra Esforço L (m) NAB= 160 kN compressão 2,0 NBC= 266,67 kN compressão 2,0 NCD= 266,67 kN compressão 2,0 NDE= 160 kN compressão 2,0 NFG= 160 kN tração 2,0 NGH= 160 kN tração 2,0 NAF= 200 kN tração 2,92 NBG= 83,33 kN tração 2,92 NGD= 83,33 kN tração 2,92 NHE= 200 kN tração 2,92 NBF= 120 kN compressão 1,5 NCG= 100 kN compressão 1,5 NDH= 120 kN compressão 1,5


Dimensionamento

BARRAS TRACIONADAS

Barra Esforço L (m) Nd (kN) Perfil NFG= 160 kN tração 2,0 NGH= 160 kN tração 2,0 NAF= 200 kN tração 2,5 NBG= 83,33 kN tração 2,5 NGD= 83,33 kN tração 2,5 NHE= 200 kN tração 2,5 Coeficiente de majoração das ações: 4,1=fγ

BARRAS COMPRIMIDAS

Barra Esforço L (m) Nd (kN) Perfil NAB= 160 kN compressão 2,0 NBC= 226,67 kN compressão 2,0 NCD= 226,67 kN compressão 2,0 NDE= 160 kN compressão 2,0 NCF= 120 kN compressão 1,5 NCG= 100 kN compressão 1,5 NDH= 120 kN compressão 1,5 Coeficiente de majoração das ações: 4,1=fγ


6. LIGAÇÕES

6.1. Ligações com conectores

As ligações em estruturas metálicas podem ser feitas por meio dos seguintes conectores:

• Rebites • Parafusos comuns • Parafuso de alta resistência

6.1.1. Rebites

Os rebites são conectores instalados a quente (~1000ºC). Após o resfriamento, o rebite se retrai e aperta as chapas entre si. O esforço do aperto é variável, não podendo garantir um valor mínimo para os cálculos.

A partir de 1950 as ligações rebitadas foram substituídas por ligações parafusadas ou soldadas.

6.1.2. Parafusos

Parafusos comuns Os parafusos são conectores com cabeça quadrada ou sextavada, possuindo rosca e porca.

arruelacomprimento do parafuso

comprimento de aperto

arruela

porca

rosca

fuste

cabeça

Figura __ Parafuso com porca e arruelas

Os parafusos comuns são instalados com aperto, que mobiliza atrito entre as chapas. Entretanto, este aperto é muito variável, não podendo garantir um valor mínimo a se considerar nos cálculos.

Devido a isto, os parafusos comuns são calculados de modo análogo aos rebites, por meio das tensões de apoio e de corte.

Ligações denominadas tipo apoio: transferência de tração entre as chapas ligadas


σ

σ

dFt2

2Ft1

Ft2

τ

ττ

τ σ

Figura Forças atuantes no parafuso

A transmissão dos esforços se dá por apoio das chapas no fuste do parafuso e esforço de corte na seção transversal do parafuso.

Tensões de corte:

4

2dF

πτ = Tensões de apoio:

tdF⋅

=σ

onde:

F = esforço transmitido pelo conector no plano de corte

t = espessura da chapa considerada

d = diâmetro do conector

Parafusos de alta resistência

Os parafusos de alta resistência são fabricados com aços tratados termicamente. O mais usual é o ASTM A325.

As forças de atrito resultantes entre as chapas, devido ao aperto dos parafusos, podem ser levados em consideração nos cálculos.

FP = Força deprotensão doparafuso

d

2Ft1

Ft2 Forças decompressãoentre as chapas

Ft2

2F

P

Forças deatrito (Fat)

F

Figura Forças atuantes nas chapas


6.2. Espaçamento entre conectores

Espaçamentos máximos: Os espaçamentos máximos entre conectores são utilizados para impedir penetração

de água e sujeita nas interfaces. Eles são da ordem de 15.t para peças comprimidas e 25.t

para peças tracionadas, sendo t a espessura da chapa.

A distância máxima de um conector à borda da chapa deve ser 12.t, não superior a

150mm.

Espaçamentos mínimos: (ver p.56 do livro do PFEIL)

A Figura abaixo resume as indicações da NBR 8800 para espaçamentos mínimos,

no caso de furos padrão.

a=1,75d

Bordas cortadasou serradascom tesoura

a

a

3d

3d 3d

d

Figura __ Espaçamentos construtivos recomendados para conectores, com furos padrão.

Valores de a para bordos laminados ou cortados com maçarico.

( )( )( )( )

≥≤≤+<<+

≤+

=

mmddmmdmmdmmdmmd

mmdmmd

a

3325,13326926197

196


6.3. Dimensionamento

Dimensionamento dos conectores e dos elementos de ligação (sem efeito de fadiga)

Resistência dos aços utilizados nos conectores

Tipo de conector fy (MPa) fu (MPa) Grau 1 415 Rebites ASTM A502

ou EB-49 Grau 2 525 Parafusos comuns

ASTM A307 d ≤ 102mm (4”) 415

(12,7 ≤ d ≤ 25,4)mm (½” ≤ d ≤ 1”)

635 825 Parafusos de alta

resistência ASTM A325 (25,4 ≤ d ≤ 38,1)mm (1” ≤ d ≤ 1 ½”)

560 725

Parafusos de alta resistência ASTM A490

(12,7 ≤ d ≤ 38,1)mm (½” ≤ d ≤ 1½”)

895 1035

ASTM A36 250 400 Barras rosqueadas

ASTM A588 345 455

O dimensionamento dos conectores no estado limite último é feito com base nas

modalidades de ruptura da ligação, representadas na Figura abaixo.

Figura: Modalidades de ruptura em ligações com conectores

a) ruptura por corte do fuste do conector;

b) ruptura por esmagamento da chapa na superfície de apoio do fuste do conector;

c) ruptura por rasgamento da chapa entre o furo e a borda ou entre dois furos consecutivos;

d) ruptura por tração da chapa na seção transversal líquida.


6.3.1. Dimensionamento ao corte

A resistência de cálculo de conectores ao corte é dada por 0,6fu, onde fu é a tensão

de ruptura à tração do aço do parafuso.

nvvdv RR φ= ( )ugnv fAR 6,0=

onde:

φv = 0,60 para parafusos comuns e barras rosqueadas

φv = 0,65 para parafusos de alta resistência e rebites

Rnv = resistência nominal para um plano de corte

fu = tensão de ruptura à tração do aço do parafuso

Resistências nominais para um plano de corte

Rebites ( )ugnv fAR 6,0=

Parafusos e barras rosqueadas: ( )( )ugnv fAR 6,07,0=

Parafusos de alta resistência (A325 ou A490), com rosca fora do plano de corte

( )ugnv fAR 6,0=

Parafusos de alta resistência em ligações por atrito Verificar em adição a resistência ao deslizamento

A utilização do coeficiente 0,70 para parafusos comuns e barras rosqueadas admite

a situação mais desfavorável de plano de corte passando pela rosca, considerando a área da

seção efetiva da rosca igual a 0,7 da área da seção do fuste.

No caso de parafusos de alta resistência, em ligações por atrito, é necessário

verificar adicionalmente a resistência ao deslizamento da ligação.

6.3.2. Dimensionamento ao esmagamento da chapa (pressão de apoio)

No caso de furação padrão, a resistência Rd à pressão de apoio entre o fuste do

conector e a parede do furo é dada pela seguinte expressão:

( )ud ftdR 3φ= com 75,0=φ

onde:

d = diâmetro nominal do conector;

t = espessura da chapa;

fu = resistência à ruptura por tração do aço da chapa.


6.3.3. Dimensionamento ao rasgamento da chapa

No caso de furação padrão, a resistência Rd ao rasgamento da chapa entre

conectores ou entre um conector e uma borda, é dada por:

( )ud ftaR φ= com 75,0=φ

onde:

a = distância entre o centro do furo e a extremidade da chapa medida na direção da força

solicitante para a resistência ao rasgamento entre um furo extremo e a borda da chapa;

a = distância entre o centro do furo e a borda do furo consecutivo, medida na direção da

força solicitante para a determinação da resistência ao rasgamento da chapa entre furos,

igual a (s – d / 2), sendo s o espaçamento entre os centros de furos;

t = espessura da chapa;

fu = resistência à ruptura por tração do aço da chapa.

6.3.4. Dimensionamento à tração da chapa

A resistência de cálculo de conectores a corte é dada por:

nttdt RR φ=

onde:

φv = 0,65 para parafusos comuns e barras rosqueadas

φv = 0,75 para parafusos de alta tensão e rebites

Rnt = resistência nominal à tração

igual a 0,6fu, onde fu é a tensão de ruptura à tração do aço do parafuso.

Rebites: ugnt fAR =

Parafusos e barras rosqueadas: para parafusos e barras rosqueadas, com diâmetro

nominal igual ou superior a 12mm, Rnt pode ser expresso em função da área bruta (Ag) do

fuste: ugnt fAR 75,0= , onde, 0,75 representa a relação entre a área efetiva da parte

rosqueada e a área bruta do fuste.

Parafusos de alta resistência em ligação por atrito: No caso de parafusos de alta

resistência, em ligações por atrito, é necessário verificar adicionalmente a resistência ao

deslizamento da ligação.


6.3.5. Ruptura por cisalhamento de bloco

Os elementos de ligação também devem ser dimensionados de forma a impedir a ruptura por cisalhamento de bloco em um perímetro definido pelos furos, envolvendo cisalhamento nos planos paralelos à força e tração em um plano normal a força. Conforme ilustrado na figura abaixo.

Av = áreacisalhada

lv

NN

lt

At = áreatracionada

Av = áreacisalhada

Nlt

lv

At = áreatracionada

N

Figura: Ruptura por cisalhamento de bloco de uma chapa de ligação. O esforço é transferido à chapa pelos conectores, ligados a outra chapa ou perfil.

A ruptura por cisalhamento de bloco pode ocorrer ao longo de uma linha de conectores

Condições para o dimensionamento:

Norma Condição Resistência de cálculo (Rd) NBR 8800 quando tv ll 3≥ ( )( )utvd fAAR 6,0+= φ com 75,0=φ

se utnuvn fAfA >6,0 ( )tgyvnud AfAfR += 6,0φ com 75,0=φ ASIC/95

se vnutnu AfAf 6,0> ( )tnuvgyd AfAfR += 6,0φ com 75,0=φ

onde: Avg = área cisalhada bruta Avn = área cisalhada líquida

Atg = área tracionada bruta Atn = área tração líquida

6.3.6. Combinação de conectores

O trabalho em conjunto de conectores diferentes depende da rigidez da ligação executada com cada tipo.

Em construções novas ou existentes, os parafusos de alta resistência, em ligações por atrito, podem ser considerados trabalhando em conjunto com rebites.


6.3.7. Dimensionamento à tração e a corte simultâneos – fórmulas de interação

No caso de incidência simultânea de tração e corte, verifica-se a interação das duas

solicitações por meio de expressões empíricas que fornecem o limite superior da

resistência de cálculo à tração.

• Barras rosqueadas ou parafusos comuns:

dugntt VfAR 93,164,0 −<φ

• Parafusos de alta tensão (d < 38mm), com rosca no plano de corte:


• Rebites e parafusos de alta tensão (d < 38mm), com rosca fora do plano de corte:


onde Vd é o esforço cortante solicitante de projeto atuando na seção considerada.

6.3.8. Resistência ao deslizamento em ligações por atrito

A resistência ao deslizamento deve ser mais que a força de corte transmita na

ligação devida à combinação mais desfavorável de carga em um estado limite de utilização

(sem majoração). Nos valores indicados para o coeficiente de atrito está incluído um

coeficiente de segurança contra o deslizamento da ordem de 1,2.

Força máxima de atrito PFF cat µµ ==max,

onde:

P = força de protensão inicial no parafuso

µ = coeficiente de atrito entre as superfícies

Se, além da força F de tração longitudinal, as chapas estiverem também sujeitas a uma força de tração perpendicular, T a força de compressão Fc entre as chapas é reduzida a:

( )TPFat −= µmax,

Segundo a NBR 8800, a resistência ao deslizamento pode ser calculada por:

( )TPRv −= µξ

onde:

P = força mínima de protensão dada nas Tabelas A-55 do Anexo A (Livro PFEIL p.290)

ξ = fator de redução que dependo do furo, sendo igual a 1,0 para furo do tipo padrão.

µ = 0,28, exceto no caso de superfície com banho vinílico, quando µ = 0,25.


Exemplos

1. Duas chapas de 204mm × 12,7mm (½”) em aço ASTM A36 são emendadas com chapas laterais de 9,5mm e parafusos comuns (A307) φ 22mm. As chapas estão sujeitas às forças Ng=200kN, oriunda de carga permanente de grande variabilidade e Nq=100kN, de carga variável de utilização. Verificar a segurança da emenda. Dados: coeficientes de majoração das ações γg=1,4 e γq=1,5.

51

t=9,5mm

204m

m

N

medidas em milímetros

64

t=9,5mm

N

38

51

6438

70

t=12,7mm

7051 51

Solução

• Esforço solicitante de projeto

qqggd NNN γγ +=

kNNd 4301005,12004,1 =×+×=

• Esforço resistente de cálculo O esforço resistente de cálculo à tração (Rdt) será o menor dentre os encontrados nos seguintes casos:

a) corte (corte duplo nos parafusos)

nvdt RR φ= com φv = 0,60 para parafusos comuns e barras rosqueadas

Chapa de aço A36 = MR250 → fy = 250 MPa e fu = 400 MPa

Parafuso comum A 307 → fu = 415 MPa

22

88,34

22,2 cmAg =×

=π

( )( )ugd fAR 6,07,0φ= com φ = 0,60

( ) ( ) kNRd 487625,416,088,37,060,0 =××××××=


b) ruptura por pressão de apoio

udt ftdR 3φ= com 75,0=φ

( ) kNRdt 152264027,122,2375,0 =×××××=

onde:

d = diâmetro do conector = 2,22 cm

t = espessura da chapa = 1,27 cm (Notar que as espessuras das duas chapas de 9,5mm resultam em (9,5+9,5) 19mm, valor maior do que a espessura da chapa de 12,7mm).

fu = tensão última do aço A36 da chapa = fu = 40 kN/cm2.

nº de parafusos = 6

c) Ruptura por rasgamento da chapa

udt ftaR φ= com 75,0=φ

( ) kNRdt 116664027,11,575,0 =××××=

o valor de a será o menor entre os seguintes valores:

a=5,10 a = distância entre o centro do furo e a extremidade da chapa, medida na direção do esforço para resistir ao rasgamento entre um furo e a borda da chapa.

a=5,89

a = distância entre centros de furos consecutivos, medida na direção da força solicitante para determinação da resistência ao rasgamento da chapa entre furos; igual a ( )2/dsa −= , sendo s o espaçamento entre centros de furos.

( ) cma 89,52/22,20,7 =−=

t = espessura da chapa = 1,27 cm



d) tração na chapa (12,7mm)

• ruptura da seção líquida

undt fAR φ= com 75,0=φ

( )[ ] 212,1627,135,022,234,20 cmAn =×+×−=

kNRdt 4844012,1675,0 =××=

• escoamento da seção bruta

ydt ftbR φ= com 90,0=φ

kNRdt 5832527,14,2090,0 =×××=


e) ruptura por cisalhamento de bloco

como utnuvn fAfA >6,0 , tem-se:

( ) ( )[ ] 29,20227,135,022,25,11.57 cmAvn =××+×−+=

( )[ ] 24,627,135,022,20,16,7 cmAtn =×+×−= 26,927,18,32 cmAtg =××=

( )tgyvnud AfAfR += 6,0φ com 75,0=φ

( ) kNRd 5566,9259,20406,075,0 =×+×××=

Conclusão

Comparando os resultados, verifica-se que o esforço resistente de cálculo à tração da

emenda é determinado pela ruptura da seção líquida da chapa (Rdt=484 kN) e que o projeto

da emenda é satisfatório para os esforços solicitantes.


2. O tirante de uma treliça de telhado é constituído por duas cantoneiras (2½”×1/4”) com ligação a uma chapa de nó de treliça aço MR250, com espessura de 6,3mm, utilizando parafusos comuns φ 12,7mm. Determinar o esforço normal resistente do tirante, desprezando o pequeno efeito da excentricidade introduzida pela ligação.

40

N

ø12.7

25 40 40 40 25

N

35m

m29

mm

12.7

6.3mm

Solução: O esforço resistente de cálculo (Rd) é o menor entre os valores encontrados nos seguintes casos:

a) corte (corte duplo nos parafusos)

( )( )ugd fAR 6,07,0φ= com φv = 0,60 para parafusos comuns

Parafuso comum A 307 → fu = 415 MPa

22

27,14

27,1 cmAg =×

=π

( )( )ugd fAR 6,07,0φ= com φ = 0,60

( ) ( ) kNRd 133525,416,027,17,060,0 =××××××=

Notar que são dois planos de cortes e cinco parafusos

b) ruptura por pressão de apoio

Chapa de aço A36 = MR250 → fy = 250 MPa e fu = 400 MPa

udt ftdR 3φ= com 75,0=φ

( ) kNRdt 36054063,027,1375,0 =×××××=

onde:

d = diâmetro do conector = 1,27 cm

t = espessura da chapa = 0,63 cm

fu = tensão última do aço MR250 da chapa = fu = 40 kN/cm2.


c) Ruptura por rasgamento da chapa

udt ftaR φ= com 75,0=φ

( ) kNRdt 23654063,05,275,0 =××××=


o valor de a será o menor entre os seguintes valores:

a=2,50

cm

a = distância entre o centro do furo e a extremidade da chapa, medida na direção do esforço para resistir ao rasgamento entre um furo e a borda da chapa.

a=3,36

cm

a = distância entre centros de furos consecutivos, medida na direção da força solicitante para determinação da resistência ao rasgamento da chapa entre furos; igual a ( )2/dsa −= , sendo s o espaçamento entre centros de furos.

( ) cma 36,32/27,10,4 =−=

t = espessura da chapa = 0,63 cm nº de parafusos = 5


d) tração na chapa (6,3mm)

• ruptura da seção líquida

Como o esforço de tração é transmitido apenas por uma aba do perfil, calcula-se a seção líquida efetiva aplicando-se um coeficiente redução Ct=0,85.

Diâmetro do furo: d+3,5mm = 12,7+3,5=16,2mm

Área da cantoneira de abas iguais (2½”×1/4”) A=7,68 cm2.

( ) 2, 32,1162,163,068,7285,0 cmA efn =×−××=

undt fAR φ= com 75,0=φ

kNRdt 3394032,1175,0 =××=

• escoamento da seção bruta

ydt ftbR φ= com 90,0=φ

( ) kNRdt 3452568,768,790,0 =×+×=

e) ruptura por cisalhamento de bloco

como utnuvn fAfA >6,0 , tem-se:

( ) 22,14263,062,15,45,244 cmAvn =×××−+×= 239,263,062,15,09,2 cmAtn =××−= 265,3263,09,2 cmAtg =××=

( )tgyvnud AfAfR += 6,0φ com 75,0=φ

( ) kNRd 324256,3406,02,1475,0 =×+×××=

Conclusão: Comparando os resultados, verifica-se que o esforço resistente de cálculo da

ligação é determinado pela resistência ao corte dos parafusos: Rd=133 kN.


6.4. Ligações soldadas

6.4.1. Tipos, qualidade e simbologia de soldas

6.4.1.1 Definição, processos construtivos

A solda é um tipo de união obtida por fusão das partes adjacentes. A fusão pode ser obtida de forma elétrica, química e mecânica.

A solda elétrica é a mais utilizada na indústria da construção. A fusão é produzida por um arco voltaico que se dá entre o eletrodo e o aço a soldar, havendo deposição do material do eletrodo.

A ruptura de uma ligação soldada pode se dar na seção do material depositado (metal da solda), ou na interface entre o material depositado e a peça (metal-base).

Cuidados especiais devem ser tomados para que não haja retração da solda após o seu resfriamento, o que pode causar distorção dos perfis. O aquecimento e o posterior resfriamento entre partes do perfil resultam tensões residuais internas nos perfis.

6.4.1.2 Tipos de eletrodo

Os eletrodos geralmente são varas de aço-carbono ou aço de baixa liga. Os eletrodos podem ser revestidos ou não. Os eletrodos com revestimento são designados pela ASTM por expressões do tipo

E70XX onde: E = eletrodo 70 = resistência à ruptura da solda em ksi2 X = número que se refere à posição de soldagem satisfatória (1: qualquer posição; 2:

somente na posição horizontal)

Os principais tipos de eletrodo empregados na indústria são:

E60 fw= 415 MPa e E70 fw= 485 MPa

Eletrodo manual revestido: o revestimento é consumido juntamente com o eletrodo da solda, transformando-se parte em gases inertes, parte em escória. O eletrodo manual revestido é o mais utilizado na indústria.

6.4.1.3 Soldabilidade dos aços estruturais

A soldabilidade dos aços reflete a maior ou menor facilidade de se obter uma solda resistente e sem trincas.

Para o aço A-36 utilizam-se eletrodos E60XX e E70XX do tipo comum ou de baixo hidrogênio.

2 ksi = kip per square inches: 1ksi = 6,897 MPa kip = kilo pound = 4,4497 kN.


Para os aços de baixa liga (A242, A441, A572) recomendam-se eletrodos E70XX ou E80XX do tipo baixo hidrogênio.

Deve-se evitar o resfriamento repentino da solda (p. ex. com água), pois nesse caso, se forma no local uma estrutura cristalina dura e quebradiça, com propensão à ruptura frágil, com aparecimento de trincas.

6.4.1.4 Defeitos na solda

Os principais defeitos na solda são os seguintes:

• fusão incompleta e penetração inadequada decorrem em geral de insuficiência de corrente elétrica;

• porosidade: retenção de pequenas bolhas de ar durante o resfriamento; freqüentemente causada por excesso de corrente ou distância excessiva entre o eletrodo e a chapa;

• inclusão de escória: usual em soldas feitas em camadas, quando não se remove totalmente a escória em cada passe;

• fissuras causadas por resfriamento rápido do material

6.4.1.5 Controle e inspeção da solda

A NBR 8800 indica as especificações e técnicas para execução de soldas estruturais, qualificação de soldadores e procedimentos de inspeção.

Para as estruturas comuns basta inspeção visual. Nas indústrias de perfis e nas estruturas de grande responsabilidade utilizam-se ultra-som, radiografia ou líquido penetrante para as inspeções.

6.4.1.6 Classificação de soldas de eletrodo quanto à posição do material de solda em relação ao material-base


6.4.1.7 Classificação quanto à posição relativa das peças soldadas

Tipos de ligações soldadas segundo a posição relativa das peças

6.4.1.8 Simbologia de solda

6.4.2. Elementos construtivos para projeto

6.4.2.1 Soldas de entalhe

As soldas de entalhe são previstas para total enchimento do espaço entre as peças ligadas. Utiliza-se a seção do metal-base de menor espessura nos cálculos.

6.4.2.2 Soldas de filete

As soldas de filete são assimiladas, para efeito de cálculo, a triângulos retângulos. Os filetes são designados pelos comprimentos de seus lados.


Um filete 6mm ×10mm designa filete com lado de 6mm e outro de 10mm. Na maioria dos casos, os filetes são iguais.

Denomina-se garganta do filete a espessura desfavorável (t); perna, o menor lado do filete e raiz, a interseção das faces de fusão.

A área efetiva para o cálculo de um filete de solda de lados iguais (b) e comprimento (l) é dada por lbltA .7,0. == .

b

t

b

b1

b2

t

bt 7,0= 22

21

21

bbbbt+

⋅=

Os filetes de solda devem ser tomados com certas dimensões mínimas para evitar o resfriamento brusco da solda e assim garantir a fusão dos materiais e minimizar distorções.

A dimensão (lado) mínima do filete é determinada em função da chapa mais grossa, conforme indicado na Tabela abaixo. Entretanto, o lado do filete não precisa exceder a espessura da chapa mais fina, a não ser por necessidade de cálculo.

Tabela: Dimensões mínimas de filetes de solda (AISC, NBR8800)

Espessura da chapa mais grossa (mm) Lado do filete (b) (mm) até 6,3 3

6,3 – 12,5 5 12,5 – 19 6

> 19 8

As dimensões máximas a adotar para os lados dos filetes são condicionadas pela espessura da chapa mais fina.

Num filete de solda de comprimento l, em cada extremidade há um pequeno trecho em que a espessura da garganta cai até zero. A norma brasileira especifica que o comprimento mínimo construtivo do cordão de solda deve ser: mmbl 404 ≤≥ .


6.4.3. Resistência das soldas

6.4.3.1. Soldas de entalhe:

As resistências de cálculo das soldas são dadas em função de uma área efetiva de solda:

ltAw ⋅= onde: t = espessura efetiva l = comprimento efetivo

Para soldas de entalhe de penetração total sujeitas a tensões de compressão ou tração, paralelas ou perpendiculares ao eixo da soldas, as resistências de cálculo são obtidas com base na tensão de escoamento (fy) do metal-base.

Metal base ywnd fARR ⋅== 90,0φ (a)

Para soldas de penetração total sob tração ou compressão, paralelas ou perpendiculares ao eixo da solda, a resistência é determinada com o menor valor entre as equações (a) e (b).

Metal da solda ( )wwnd fARR 6,075,0== φ (b)

onde fw é a tensão resistente do metal da solda

Para tensões de cisalhamento, as tensões atuantes em direções diferentes são combinadas vetorialmente. A resistência de projeto (Rd) é dada pelas seguintes expressões, adotando-se o menor valor:

Metal-base: ( )ymnd fARR 6,090,0== φ

Metal da solda ( )wwnd fARR 6,075,0== φ

6.4.3.1. Soldas de filetes:

As resistências de cálculo das soldas são dadas em função das áreas:

Am = área do metal-base = b.l; Aw = área da solda = t.l

onde: t é a espessura da garganta


Para esforços solicitantes de tração ou compressão atuando na direção paralelas ao eixo longitudinal da solda, a resistência de cálculo do filete pode ser determinada com os parâmetros do metal-base.

Os esforços solicitantes em qualquer direção no plano perpendicular ao eixo longitudinal da solda são considerados, para efeitos de cálculo, como esforços cisalhantes. A resistência de cálculo pode ser obtida por meio das seguintes expressões, adotando-se o menor valor.

Metal-base: ( )ymnd fARR 6,090,0== φ

Metal da solda ( )wwnd fARR 6,075,0== φ

Quando a solda estiver sujeita a tensões não uniformes, a resistência pode ser determinada em termos de esforço por unidade de comprimento, com o menor valor entre os dois seguintes:

Metal-base: ( )ynd fbRR 6,090,0== φ

Metal da solda ( )wnd ftRR 6,075,0== φ

Para um filete de lados iguais a×b, garganta t e comprimento l tem-se, na Tabela abaixo os valores da resistência (tensões em MPa), referidas à área de solda ltAw ⋅= (em mm2).

Tabela: Tensões resistentes de cálculo

ltR resn ⋅= τφ , )(MParesτ Aço Eletrodo Metal-base Metal da solda

MR250 E60 tl⋅8,192 tl⋅8,186 *

MR250 E70 tl⋅8,192 * tl⋅3,218

AR345 E70 tl⋅1,266 tl⋅3,218 * * determinante no dimensionamento

6.4.3.3 Combinação de soldas com conectores

Em construções novas, os parafusos de alta resistência, em ligações por atrito, podem ser considerados trabalhando em conjunto com soldas.

Nas combinações com parafusos comuns, as soldas devem ser dimensionadas para resistir ao total das solicitações de cálculo da ligação.

Em construções existentes, reforçadas com soldas, os parafusos de alta resistência existentes podem ser considerados para resistir às solicitações da carga permanente já atuante. As solicitações devidas aos novos carregamentos devem ser resistidas pelas soldas de reforço que forem acrescentadas à ligação.


7. PEÇAS COMPRIMIDAS

7.1. Introdução

Considerando as barras retas axialmente comprimidas, verifica-se

experimentalmente que, sob a ação de carregamentos crescentes, pode ser atingido um

estado limite, a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente

a esse estado limite é dita carga crítica Pcrit, ou carga de flambagem.

Em regime elástico, para cargas maiores do que a crítica aplicada em barras, cujo

material apresenta comportamento elástico linear, a forma estável de equilíbrio passa a ser

a configuração fletida (Figura 1), ou seja, uma curva, denominada linha elástica.

Px

x

P y

L

y

Figura 1 Flambagem de Euler A Figura 1 ilustra o Caso Fundamental da flambagem apresentado pelo matemático

suíço Leonhard EULER (1707-1783) para barras articuladas nas extremidades.

A barra pode perder a sua estabilidade sem que o material tenha atingido seu limite

de escoamento. O colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de

inércia de sua seção transversal.

Para materiais estruturais como, madeira, concreto e aço, o estado limite de

flambagem é um estado limite último. De fato, para cargas pouco superiores à carga

crítica, o deslocamento horizontal máximo corresponde a uma fração apreciável do

comprimento da barra, a qual se rompe por flambagem.

Em certos materiais, principalmente nas chamadas matérias plásticas como, por

exemplo, o celulóide e o acrílico, a barra pode resistir a cargas sensivelmente superiores à

carga crítica de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um estado

limite último.


As barras comprimidas devem ser verificadas tanto para a possibilidade de ruptura

por compressão, como também por flambagem.

7.1.1. Flambagem elástica

A carga crítica de flambagem (Pcrit) foi deduzida por Euler a partir da equação

diferencial da linha elástica de uma barra axialmente comprimida, considerando o

comportamento de um pilar ideal, que se supõe perfeitamente reto, comprimido

axialmente por uma carga centrada, e constituído de material isótropo e elástico linear.

A determinação dos deslocamentos horizontais da barra da Figura 1 exige que se

empregue a expressão exata da equação diferencial da linha elástica para barras fletidas:

EIM

dxdydx

yd

r=

+

= 2/32

2

2

1

1

Contudo, é possível obter-se boa aproximação se, em lugar da equação exata, for

empregada a equação aproximada da linha elástica:

EIM

dxyd

r=≅ 2

21

da Figura 1 verifica-se que o momento fletor produzido pela carga P é: PyM = , então:

EIPy

dxyd

=2

2

indicando EIPk =2 , chega-se à seguinte equação diferencial:

ykdx

yd 22

2

=

A resolução da equação diferencial acima fornece o valor da carga crítica de

flambagem (Pcrit), embora fiquem indeterminados os deslocamentos da configuração

fletida.

2

2

LEIPcrit

π= (1)

A carga crítica de flambagem, Pcrit é o valor da força de compressão capaz de

provocar o início da flambagem. Este valor depende somente do módulo de elasticidade do

material (E) e da geometria da barra (momento de inércia I e comprimento L).


A fórmula da carga crítica de Euler foi deduzida considerando uma barra articulada

nas extremidades. Entretanto, esta fórmula pode ser adaptada para outras condições de

contorno tomando, em lugar do comprimento real L, um comprimento modificado (Le),

também chamado comprimento equivalente de flambagem, onde )( LkLe ⋅= . Assim, a

fórmula de Euler pode ser reescrita:

2

2

ecrit L

EIP π= (2)

A Figura ao lado ilustra

diversas formas de linhas elásticas,

conforme o tipo de fixação de suas

extremidades, ou seja, conforme as

condições de contorno da barra, com

seus respectivos coeficientes de

flambagem (k) para barras: a)

articuladas nas extremidades; b)

engastada e articulada; c) engastada

nas extremidades e d) engastada em

uma extremidade e a outra livre.

L

k=1,0a

k=0,5c

k=0,7b

k=2,0d

Figura 2 Coeficientes de flambagem

A tensão crítica (σcrit) em peças comprimidas é obtida pela divisão da carga axial

crítica pela área da seção comprimida.

APcr

crit =σ

Substituindo a formulação da carga crítica de Euler na expressão acima, obtém-se:

2

2

ecrit AL

EIπσ = (3)

Do estudo das características geométricas de figuras planas, sabe-se que o raio de

giração é definido pela expressão:

AIi = (4)

onde: i = raio de giração

I = momento de inércia

A= área da seção transversal


Relacionando o comprimento da barra com as dimensões da seção transversal,

introduz-se o conceito de índice de esbeltez (λ), definido como a razão entre o

comprimento da barra e seu raio de giração, ou seja:

iL

=λ (adimensional) (5)

onde: λ = índice de esbeltez

L = comprimento da barra

i = raio de giração da seção transversal

Logo, a tensão crítica de flambagem de barras axialmente comprimidas pode ser

expressa por:

2

2

λπσ E

crit = (6)

A equação acima só é válida no regime elástico, ou seja, enquanto a tensão crítica

de compressão critσ for inferior ao limite de proporcionalidade fp do material.

Isolando-se o índice de esbeltez, obtém-se:

crit

Eσ

πλ =

Quando pcrit f=σ , atingi-se um valor limite de esbeltez:

pfEπλλ == lim

Portanto, a fórmula de Euler é válida para limλλ ≥ , pois nesse caso a flambagem

ocorre em regime elástico.

As normas de dimensionamento de estruturas metálicas estabelecem limites para o

índice de esbeltez:

• Edifícios (AISC, NBR8800) λ ≤ 200

• Pontes (AASHTO) λ ≤ 120


7.1.2. Flambagem inelástica

Entre a tensão limite de proporcionalidade (fp) e a tensão de escoamento (fy) do

material pode ocorrer a flambagem inelástica. O termo flambagem inelástica é usado pelo

fato de, neste trecho, não ter mais validade a Lei de Hooke.

Relacionando a tensão crítica

de flambagem com índice de

esbeltez, obtém-se o gráfico

ilustrado ao lado.

Neste gráfico, tem-se:

fy = tensão de escoamento do aço

fp = tensão limite de proporcionalidade

flambagem elástica

curva de Euler

lim

inelásticaf p

λ

flambagem

crσ

yf

λ Figura 3. Diagrama tensão–índice de esbeltez

Quando a tensão de flambagem ultrapassa a tensão de proporcionalidade do

material, a fórmula de Euler perde a sua validade. Para estes casos, utilizam-se

formulações apresentadas por algumas normas, como, por exemplo, a fornecida pela

NBR8800 — Projeto e execução de estruturas de aço de edifícios, antiga NB-14: 20046,0240 λσ −=crit para 105<λ

2

2

λπσ E

crit = para 105>λ

Outra é a formulação para o cálculo de peças com índice de esbeltez menor do que

o limite limλλ < é aquela apresentada pelo AISC - American Institute of Steel

Construction. 20341,01195 λσ −=crit (kgf/cm2)

aplicável para 120<λ para peças principais.

Para peças secundárias, com 200120 << λ , a tensão crítica é dada por:

12661

12662λ

σ+

=crit (kgf/cm2)


A fórmula do AISC fornece a tensão admissível de flambagem, ou seja nela já está

considerado um coeficiente de segurança.

O valor da carga crítica (Pcrit) de Euler corresponde a uma carga de ruptura,

conseqüentemente é necessário aplicar coeficientes de segurança apropriados para o

dimensionamento.

Exemplos

1. Determinar o índice de esbeltez limite (λlim) para o aço com tensão limite de

proporcionalidade fp=19 kN/cm2 e Módulo de Elasticidade E=21000 kN/cm2.

pfEπλ =lim 105

1921000

lim ≅= πλ

Portanto, para peças de aço, a fórmula de Euler é válida para índice de esbeltez 105>λ .

2. Determinar o índice de esbeltez de uma barra articulada nas extremidades, com 8m de

comprimento e seção transversal retangular de a=20cm e b=25cm.

Solução: Como a barra é articulada nas extremidades, o coeficiente de flambagem é k=1,

logo o comprimento equivalente é o próprio comprimento da barra.

Sendo a menor que b, o momento de inércia mínimo da seção transversal é: 12

3

minabI ×

=

e a área da seção transversal é baA ⋅=

e o raio de giração mínimo é: A

Ii minmin =

46,31212

3

minaa

baabi ≅=

⋅⋅⋅

=

como, min

min iL

=λ , tem-se: aL46,3min =λ 4,138

2080046,3min =×=λ

Resposta: 4,138min =λ


3. Uma barra prismática de aço de seção transversal retangular medindo (4×5)cm, é

articulada nas extremidades e está submetida a uma carga axial de compressão. Sendo a

tensão limite de proporcionalidade do aço fp=19 kN/cm2 e o Módulo de Elasticidade

E=21000 kN/cm2, determinar o comprimento mínimo L desta barra para não ocorrer o

fenômeno da flambagem.

pfEπλ =lim 4,104

1921000

lim == πλ

AIi min

min = cmi 15,145

1245 3

min =×

×

=

minmin i

Le=λ minmin iLe ⋅= λ cmLe 12015,14,104 =×=

Como a barra é articulada nas extremidades, o coeficiente de flambagem k=1. Logo,

L = Le/k = 120cm. Este é o comprimento mínimo da barra para não ocorrer flambagem.

Se a barra fosse engastada na base e a outra extremidade livre, então k=2, logo,

L = Le/2 = 60cm.

4. Uma barra de aço é articulada nas extremidades, com comprimento L=160cm e seção

transversal quadrada, com lado igual a 22cm. Determinar a carga máxima de compressão

pela formulação de Euler. Dado: E=21000 kN/cm2.

Área: 22555 cmA =×=

Momento de Inércia: 12

4aI = 44

08,52125 cmI ==

Raio e giração: AIi = cmi 44,1

2508,52

==

Índice de esbeltez: i

Le=λ iLk ⋅

=λ 1=k 1051,11144,1

160>==λ

Portanto, trata-se de flambagem elástica

Tensão crítica: 2

2

λπσ E

crit = 22

2

79,161,111

21000cmkN

crit =×

=πσ

APcrit

crit =σ AP critcrit ×= σ kNPcrit 4202579,16 =×=


5. Uma barra de aço, com comprimento L=135cm, articulada nas extremidades, possui

seção transversal circular com diâmetro igual a 5cm. Determinar a carga máxima de

compressão pela formulação do AISC .

4

2dA ⋅=

π 22

63,1945 cmA =

⋅=

π

64

4dI ⋅=

π 44

68,3064

5 cmI =×

=π

AIi = cmi 25,1

63,1968,30

==

iLe=λ

iLk ⋅

=λ 1=k 10825,1

135==λ < 120

20341,01195 λσ −=crit (kgf/cm2) 3,7971080341,01195 2 =×−=critσ (kgf/cm2)

APcrit

crit =σ AP critcrit σ= 1565163,193,797 =×=critP (kgf)

65,15=critP tf = 156,5 kN

Exercícios

1. Duas barras de mesmo comprimento e materiais iguais são submetidas à ação de uma

carga axial P de compressão. Uma das barras possui seção transversal circular com

diâmetro a e a outra possui seção transversal quadrada de lado a. Verificar qual das barras

é a mais resistente, segundo a formulação de Euler. As barras possuem o mesmo tipo de

fixação nas extremidades.

Resposta: a barra de seção transversal quadrada é a mais resistente (Melconian, 2002).

2. Uma barra de aço com 1,2m de comprimento e diâmetro d=34mm, é articulada nas

extremidades. Determinar a máxima carga de compressão axial que a barra suporta. Dado:

E=21000kN/cm2. Resposta: 94,42kN.

3. Determinar o diâmetro de uma barra de aço com 1,2 de comprimento, articulada nas

extremidades e submetida a uma carga axial de compressão de 200kN. Dados:

E=21000kN/cm2. Resposta: d=41mm.


7.2. Dimensionamento

A carga resistente de cálculo, para peças axialmente comprimidas, sem efeito de

flambagem local é dada pela equação:

cgcd fAN ⋅⋅= φ com φ = 0,90

onde: Ag = área da seção transversal bruta da seção

fc = tensão resistente à compressão simples com flambagem por flexão

A tensão fc considera o efeito de imperfeições geométricas e excentricidade de

aplicação das cargas dentro das tolerâncias de norma, além das tensões residuais existentes

nos diferentes tipos de perfis.

As normas apresentam tabelas com valores da relação fc / fy em função do índice de

esbeltez, apresentado mais à frente. A norma brasileira incluiu quatro curvas (a,b,c,d),

aplicáveis a diversos tipos de perfis.

Para usos correntes da prática, as curvas mais utilizadas são as curvas b e c, que

servem para perfis laminados e soldados com espessuras de chapa inferiores a 40mm.

Para os aços de uso corrente obtêm se com a expressão de λ.

Aço MR 250 ikl /0111,0 ⋅=λ

Aço AR 345 ikl /0131,0 ⋅=λ EfQ

ikl y

⋅

⋅= 2π

λ

Peças de seções múltiplas:

Denominam-se peças de seções múltiplas, as formadas pela associação de peças

simples, com ligações descontínuas. Quando uma peça múltipla se deforma lateralmente,

sob efeito de uma força de compressão axial, as ligações descontínuas não conseguem

obrigar uma seção inicialmente plana a se manter plana.


Classificação das curvas de flambagem para diferentes tipos de seções

x – x y – y


Ábaco para cálculo de fc em função de λ.


7.3. Flambagem local

A flambagem local pode ocorrer em perfis que são constituídos de chapas. As

chapas podem sofrer deslocamentos transversais que produzem empenamento. Pode

ocorrer flambagem local na alma ou na mesa.

A flambagem local depende da esbeltez da chapa, ou seja, a relação b/t. Se esta

relação (b/t) for maior que (b/t)limite, então deve-se verificar a flambagem local. A tabela

abaixo indica os valores adotados pela NBR 8800 e AISC para os valores limites da

relação (b/t).

Tabela: Valores limites de b/t em peças comprimidas para impedir flambagem local antes do escoamento do material (AISC e NBR8800).

b1/t b2/t b3/t b4/t b5/t

Caso de ligação

yfE44,0

yfE55,0

yfE74,0

yfE47,1

yfE85,1

Aço MR 250 13 16 21 42 53

Aço AR 345 11 13 18 36 45 onde:

b1, b2, e b3 são para perfis não enrijecidos

b4, e b5 são para perfis enrijecidos


Dimensionamento de peças múltiplas

7.3.1. Parâmetros de flambagem local

O parâmetro de flambagem local depende de dois parâmetros e é definido como:

as QQQ ⋅=

onde: Qs é um parâmetro relacionado a elementos não enrijecidos

Qa é um parâmetro relacionado a elementos enrijecidos

Parâmetro de flambagem local Qs:

Este parâmetro é utilizado em elementos não enrijecidos (b1, b2 e b3), ou seja,

elementos que possuem uma borda livre e outra borda apoiada, paralela às tensões de

compressão.

A flambagem local nestes elementos pode ocorrer na fase elástica ou na fase

inelástica.

Flambagem local inelástica Os limites adotados na NBR8800 para a flambagem inelástica são:

yy fE

tb

fE 018,155,0 <

≤

Introduzindo as tensões de escoamento dos aços MR250 e AR345 na formulação acima, tem-se os seguintes limites:

MR 250 3016 <≤tb AR 345 2513 <≤

tb

e o parâmetro de flambagem local Qs é dado por:

1755,0415,1 ≤××−=Ef

tbQ y

s

Flambagem elástica

O limite adotado na NBR8800 para a flambagem elástica é:

yfE

tb 018,1>

e o parâmetro de flambagem local Qs é dado por:

1670,02 ≤

⋅

⋅=

tbf

EQ

y

s


Parâmetro de flambagem local Qa:

Este parâmetro é utilizado em elementos enrijecidos (b4 e b5), ou seja, elementos

que possuem bordas apoiadas em toda a sua extensão, com a tensão de compressão

atuando paralelamente à sua extensão.

No elemento enrijecido, a distribuição de tensões não é uniformemente distribuída,

ou seja, apresenta elevados valores nos bordos e valores bem reduzidos na região central,

conforme apresentado na figura abaixo. Contudo, pode-se definir uma largura efetiva (bef)

menor que a largura b do elemento, de maneira tal que, a distribuição de tensões seja

considerada constante. Esta largura efetiva (bef) deve ser constituída por duas partes,

localizando-se nas bordas enrijecidas do elemento.

Determinação da largura efetiva da alma (be) bt

btb

cdcde <

⋅−=

σσ11401797

com: b e t em centímetros e a tensão cdσ em MPa.

deve-se adotar uma tensão inicial e conferir se é menor do que a tensão resultante, mais

abaixo definida.

Por definição, o coeficiente Qa é a relação entre a área efetiva e a área bruta da seção.

g

efa A

AQ =

Índice de esbeltez (λ): o parâmetro de flambagem local (Q) interfere também na

determinação do índice de esbeltez da peça:

EfQ

ilk y

⋅

⋅⋅= 2π

λ


Definido o índice de esbeltez para elementos sujeitos à flambagem local e o tipo de

curva (a,b,c,d), determina-se a relação y

cr

ff

=ρ por meio do Ábaco para cálculo de fc em

função de λ.

Em seguida, determina-se a tensão de compressão:

yc ff ⋅= ρ

Tensões resistentes

O valor da tensão resistente calculada deve ser menor do que a tensão admitida

inicialmente. A tensão resistente na chapa em elementos não-enrijecidos é dada por:

ef

dcd A

N=σ = csccd fQ ⋅⋅= φσ com 9,0=cφ

onde Qs é o menor coeficiente dos diversos elementos não-enrijecidos da seção.

O cálculo é iterativo já que o esforço normal resistente Nd depende da largura

efetiva que, por sua vez, dependa da tensão σcd , função de Nd.

Carga axial de cálculo

Finalmente, a carga axial resistente de cálculo é dada por:

cgcd fAQN ⋅⋅⋅= φ com 9,0=cφ

onde: Q = parâmetro de flambagem local


Exemplos

1. Uma coluna tem seção transversal em forma de perfil H, fabricado com duas chapas

8mm×300mm para os flanges e uma chapa 8mm×400mm para a alma, todos em aço

ASTM A-36. O comprimento de flambagem é k.l = 9,84m. Calcular a resistência de

cálculo à compressão axial, considerando a flambagem em torno do eixo mais resistente

(x-x). Admite-se que a peça tenha contenção lateral impedindo flambagem em torno do

eixo de menor resistência (y-y).

Solução:

a) valores de b/t

alma:

42508

4004 >==t

b → pode ocorrer flambagem local

flange:

1675,188

1502 >==t


8mm

8mm

b4=4

00m

m

y

x

8mm

y

x

b2=150mm

b) coeficiente Qs chapa não enrijecida

flange: 3016 <<tb então 1755,0415,1 ≤−=

Ef

tbQ y

s

192,0205000

2508

150755,0415,1 <=×−=sQ 92,0=sQ

c) largura efetiva da alma: admitindo-se inicialmente MPacd 180=σ , obtém-se:

bt

btb

cdcde <

⋅−=

σσ11401797 onde: b=cm; t=(cm); σcd=MPa

cmcmbe 406,37180

8,040

1401180

8,0797<=

×−×

×=

adota-se be =37,6 cm a ser verificado posteriormente com o valor calculado para σcd.


( ) ( ) 280408,0308,02 cmAg =×+××=

( ) ( ) 2786,378,0308,02 cmAef =×+××= 98,0

8078

===g

efa A

AQ

d) parâmetro de flambagem local

sa QQQ ⋅= 90,092,098,0 =×=Q

e) Propriedades geométricas da seção

Momento de inércia 43

2 2424212408,04,20308,02 cmI x =×+×××=

Raio de giração: cmAIi

g

xx 4,17

8024242

===

f) parâmetro de esbeltez

EQf

ikl y

2πλ = 60,0

2050002509,0

4,17984

2 =×

××=

πλ

g) tensão resistente (curva b da norma brasileira) e tensão de cálculo cdσ

yc ff .ρ= 838,0=ρ

MPafc 210250838,0 =×=

csccd fQ ⋅⋅= φσ com φc = 0,90

MPacd 17421092,09,0 =××=σ

Como a largura efetiva da alma foi calculada para a tensão σcd = 180 MPa, não há

necessidade de repetir esse cálculo com σcd = 174 MPa. Se σcd fosse maior que 180 MPa,

seria necessário fazer um novo cálculo de largura efetiva.

h) carga axial resistente de projeto

cgcd fAQN ⋅⋅⋅= φ kNNd 1361218090,090,0 =×××=


2. Uma coluna tem seção transversal em forma de perfil H, fabricado com duas chapas

6mm×240mm para os flanges e uma chapa 6mm×280mm para a alma, todos em aço

ASTM A-36. O comprimento de flambagem é k.l = 6,5m. Calcular a resistência de cálculo

para compressão axial, considerando a flambagem em torno do eixo mais resistente (x-x).

Admite-se que a peça tenha contenção lateral impedindo flambagem em torno do eixo de

menor resistência (y-y).

Solução:

a) valores de b/t

alma:

427,466

2804 >==t


flange:

16206

1202 >==t


x x

6mm

6 mm

6mm

y

y

b2=120mm

b4=2

80m

m

b) coeficiente Qs

flange: 3016 <<tb então 1755,0415,1 ≤−=

Ef

tbQ y

s

189,0205000

2506

120755,0415,1 ≤=×−=sQ 89,0=sQ

206

120==

tb Como 15,29

250205000018,1 =<

tb tem-se flambagem inelástica

c) largura efetiva da alma: admitindo-se inicialmente MPacd 180=σ , obtém-se:

bt

btb

cdcde <

⋅−=

σσ11401797 onde: b=cm; t=(cm); σcd=MPa

cmcmbe 2867,27180

6,028

1401180

6,0797<=

×−×

×=

adota-se be =27,67cm a ser verificado posteriormente com o valor calculado para σcd.


( ) ( ) 26,45286,0246,02 cmAg =×+××= ( ) ( ) 24,4567,276,0246,02 cmAef =×+××=

996,06,454,45

===g

efa A

AQ

d) parâmetro de flambagem local

sa QQQ ⋅= 886,089,0996,0 =×=Q

e) Propriedades geométricas da seção

Momento de inércia: ( )333

1212hHBahI x −+= a=0,6cm, B=24cm, h=28cm,

H=29,2cm

( ) 4333

78,6978282,291224

12286,0 cmI x =−×+

×=

raio de giração: cmAIi x

x 38,126,4578,6978

===

f) parâmetro de esbeltez

EQf

ikl y

2πλ = 55,0

205000250886,0

38,12650

2 =×

××=

πλ

g) tensão resistente (curva b da norma brasileira) e tensão de cálculo cdσ

λ = 0,55 → tabela, curva b → 86,0=ρ

MPafc 21525086,0 =×= 838,0=ρ

csccd fQ ⋅⋅= φσ com φc = 0,90 MPacd 3,17221589,09,0 =××=σ

Como a largura efetiva da alma foi calculada para a tensão σcd = 180 MPa, não há

necessidade de repetir esse cálculo com σcd = 172,3 MPa. Se σcd fosse maior que 180 MPa,

seria necessário fazer um novo cálculo de largura efetiva.

h) carga axial resistente de projeto

cgcd fAQN ⋅⋅⋅= φ kNNd 8,7815,216,45886,090,0 =×××=


8. PEÇAS FLETIDAS

8.1. Introdução

Os conceitos fundamentais da flexão normal de barras prismáticas são aqui

apresentados para os perfis de aço correntemente utilizados para resistir à flexão normal: as

vigas. São consideradas as seguintes hipóteses:

a. cargas aplicadas ao longo de um dos planos principais de inércia de modo que não

há flexão oblíqua;

b. a viga não é solicitada à torção;

c. a viga está devidamente protegida contra qualquer tipo de instabilidade;

d. a viga é considerada homogênea, isto é, constituída de um só tipo de material.

Conceitos gerais No projeto no estado limite ultimo de vigas sujeitas à flexão simples, calculam-se

para as seções críticas, o momento fletor e o esforço cortante resistentes para compará-los

aos respectivos esforços solicitantes de projeto. Além disso, devem-se verificar os

deslocamentos no estado limite de utilização.

A resistência à flexão das vigas pode ser afetada pela flambagem local e pela

flambagem lateral.

A flambagem local é a perda da estabilidade das partes comprimidas do perfil, a

qual reduz o momento resistente da seção.

Na flambagem lateral a viga perde seu equilíbrio no plano principal de flexão (em

geral vertical) e passa a apresentar deslocamentos laterais e rotações de torção. Para se

evitar a flambagem lateral de vigas I, cuja rigidez à torção é muito pequena, é preciso

prever contenção lateral à viga. As vigas I são as mais indicadas para resistir à flexão,

devendo, entretanto, seu emprego obedecer às limitações de flambagem.


8.2. Dimensionamento à flexão

8.2.1. Momento de início de plastificação e momento de plastificação

Considere-se o diagrama de momento × curvatura de uma viga simplesmente

apoiada sob carregamento crescente, como indicado na Figura abaixo.

k = d dx

θ

M

M

My

p

σ < f y

fy

fy

L

Diagrama momento × curvatura

Hipóteses

• Admite-se que não há flambagem local ou lateral da viga;

• My é o momento de início de plastificação;

• Mp é o momento resistente igual ao momento de plastificação total da seção.

dy

h M

b

CGyM

fyfy

pM

A equação tensões normais na flexão normal é dada por: σ = M / W.

onde W é o módulo resistente da seção transversal. Para seções transversais retangulares, o

módulo resistente é: W=bh2/6.

Para as peças metálicas, a tensão limite do regime elástico, ou seja, a tensão de

início de plastificação é fy. Assim, o momento de início de plastificação My é definido por:

WfM yy .=

O momento de plastificação total Mp é o esforço total resultante do diagrama de

tensões e é definido por:

ZfM yp .= onde Z=bh2/4 é o módulo plástico da seção retangular.


Coeficiente de forma

A relação entre momentos de plastificação total e momento de início de

plastificação denomina-se coeficiente de forma da seção.

Coeficiente de forma: WZ

MM

y

p =

Tabela 1: Módulo plástico (Z) e coeficiente de forma (Z/W) de seções de vigas

Seção Módulo plástico (Z) (Z/W)

b

h

4

2bh 1,5

(x-x) ( ) ( )20 24 fff thtthbt −+− ≈ 1,12

h

b

t 0

tf

(y-y) ( ) 20

2

241

2tth

tbf

f −+ ≈ 1,55

h

6

3h 1,7

−−

33 2116 h

th

−−

−−

4

3

211

211

316

ht

ht

π

ht

( )htth <<2 1,27 (t << h)

b

h

tf

t 0

−

−−

2

02 2

12114 h

tbtbh f ≈ 1,12

h

b 12

2bh 2

8.2.2. Resistência à flexão de vigas com contenção lateral

Disposições construtivas de contenção lateral de vigas

a) contenção lateral contínua: embebimento da mesa comprimida em laje de concreto ou

ligação mesa-laje por meio de conectores;


b) contenção lateral discreta: apoios laterais discretos, formados por quadros transversais,

treliças de contraventamento, etc.

Nos pontos de apoio vertical das vigas, admite-se sempre a existência de contenção

lateral que impede o tombamento do perfil.

Flambagem local

A resistência de vigas metálicas à flexão pode ser reduzida por efeito de flambagem

local das chapas que constituem o perfil.

Classificação das seções quanto à ocorrência de flambagem local.

Na Tabela abaixo são apresentados os comportamentos das vigas sujeitas a

carregamento crescente, mostrando a influência da flambagem local sobre o momento

resistente das vigas e sobre as suas deformações.

Tabela 2 Resistência à flexão de vigas com contenção lateral

Classe Designação Comportamento

1 Seção supercompacta

φ

M

y

p

M

M

2 Seção compacta

φ

M

My

p

M

3 Seção não compacta

φ

yM

pMM

flambagem local

4 Seção esbelta

φ

My

flambagem local

MM

p


Exemplo: Para o perfil da figura, calcular o coeficiente de forma para flexão em torno do eixo x-x. A = 45cm2.

Momento de inércia (Ix)

( ) 43

2 12090312

1,888,052,4495,0202 cmI x =×+×××=

Módulo elástico: 37,268645

120903 cmWx ==

Momento plástico:

( ) 32

3244205,448,0252,4495,0202 cmZx =

××+×××=

Coeficiente de forma: 21,17,2686

3244==

x

x

WZ

200mm

8mm

9.5m

m

900m

m

Tabela 3 Valores limites da relação largura-espessura de seções I ou H com um ou dois eixos de simetria fletidas no plano da alma

Local da Flambagem local Aço

Super compacta classe 1

Compacta classe 2 (λbp)

Não compacta classe 3 (λbr)

MR250 8,5 11 39k * Mesa: f

fb t

b21

=λ AR350 7 9 30k *

MR250 67 100 160 Alma t

hb

0=λ AR350 57 85 136

* Valores de k: k = 0,82 para perfis laminados k = 0,62 para perfis soldados

Exemplo: Verificar a classe dos perfis laminados a seguir:

Perfil f

fb t

b21

=λ t

hb

0=λ classe

I (254 × 37,7) 4,7 29 1 I (508 × 121,2) 3,8 30 1 U (254 × 22,7) 6,0 38 1 U (381 × 50,4) 5,2 38 1

OBS: para a mesa do perfil U adota-se: f

fb t

b=λ

Exemplo: Verificar a classe dos perfis soldados a seguir:

Perfil f

fb t

b21

=λ t

hb

0=λ classe

CS (250 × 52) 13 29 3 CS (650 × 305) 14,5 38 3 VS (400 × 49) 10,5 61 2

VS (1400 × 260) 15,6 109 3


Momento resistente de projeto O momento resistente de projeto de vigas metálicas simplesmente apoiadas com

momento fletor constante é dado por:

Mdres = φb.Mn com φb = 0,90

onde:

Mn = momento resistente nominal, obtido por análise, sendo seu valor determinado pelo

limite de escoamento do aço, ou por flambagem, conforme a tabela abaixo.

Tabela 4 Momento nominal Mn:

Classe Designação Momento nominal (Mn) 1 Seção supercompacta Mp = Z.fy 2 Seção compacta Mp = Z.fy 3 Seção não compacta Interpolar entre Mp e Mr 4 Seção esbelta Mr = W.fcr

onde: fcr = tensão resistente à flexão determinada pela flambagem local elástica, tomado como fcr=115MPa Mr = momento resistente nominal para a situação limite entre as classes 3 e 4, isto é, para λb = λbr

crr M

bpλ brλ

Mp

M

Mseção

compactaseção nãocompacta

seçãoesbelta

λ

Figura Variação do momento resistente nominal de vigas I ou H, carregadas no plano da alma com efeito de flambagem local da mesa ou da alma (admite-se contenção de flambagem lateral).

Na situação limite entre seções não compactas (classe 3) seções esbeltas (classe4).

isto é, para λb = λbr, o momento resistente nominal denomina-se Mr. Para perfis I ou H

com um ou mais eixos de simetria, Mr é dado pelas expressões:


Flambagem local da mesa

( ) ytcycr fWffWM <−=

onde:

fcr = tensão residual em perfis laminados ou soldados, considerada como fcr=115MPa

Wc , Wt = módulos elásticos da seção, referidos às fibras mais comprimidas e mais tracionadas, respectivamente.

Flambagem local da alma

yr WfM =

onde: W é o menor módulo resistente da seção

Para seções não compactas (classe 3), os momentos nominais podem ser

interpolados linearmente entre os valores limites das classes 2 e 3.

( )rpbpbr

bpbpn MMMM −

−

−−=

λλλλ

Limitação do momento resistente

Quando a determinação dos esforços solicitantes, deslocamentos, flechas, etc, é

feita com base no comportamento elástico, o momento resistente de projeto fica limitado a:

ybdres fWM ...25,1 φ= com φb = 0,90

Influência dos furos na resistência da seção

Na determinação das propriedades geométricas de vigas laminadas ou soldadas,

com ou sem reforço de mesa, podem ser desprezados furos para parafusos de montagem

em qualquer das mesas, exceto quando a redução da área devida a esses furos, em qualquer

das mesas, exceder 15% da área bruta da mesa, caso em que se desconta a área excedente

de 15%.


Exemplos:

1. Calcular o momento resistente de projeto de um perfil I (305 × 60,6) (12”) em aço

MR250, com contenção lateral contínua. O perfil é super compacto.

ho=271,4mm; to=11,7mm; bf=133,4mm; tf=16,7mm; Wx=870cm3.

Flambagem local

Mesa: f

fb t

b2

=λ 5,847,162

4,133<=

×=bλ → perfil classe 1 super compacto

Alma: 0

0

th

b =λ 672,237,114,271

<==bλ → perfil classe 1 super compacto

ybdres ZfM φ= cmkNM dres .19575258709,0 =××= = 195,75 kN.m

2. Calcular o momento resistente de projeto de um perfil soldado VS (400 × 49) em aço

MR250, com contenção lateral contínua. O perfil é compacto. Não havendo valores

tabelados de Z, pode adotar-se em perfis I a relação aproximada (Z ≈ 1,12W).

ho=381mm; to=6,3mm; bf=200mm; tf=9,5mm; Wx=870cm3.

Flambagem local

Mesa: f

fb t

b2

=λ 115,105,92

200<=

×=bλ → perfil classe 2 compacto

Alma: 0

0

th

b =λ 67613,6

381<==bλ → perfil classe 1 super compacto

Conclusão: o perfil é compacto, classe 2

( ) ybybdres fWZfM 12,1φφ ≅= cmkNM dres .219242587012,19,0 =×××= = 219,24 kN.m

3. Calcular o momento resistente de projeto de um perfil soldado VS (1400 × 260) em aço

MR250, com contenção lateral contínua. O perfil é não compacto (classe 3) devido aa

dimensões da mesa.

ho=1368mm; to=12,5mm; bf=500mm; tf=16mm; Wx=14756cm3.


Flambagem local

Mesa: f

fb t

b2

=λ kb 396,15162

500<=

×=λ onde k=0,62 para perfil soldado

então 2462,03939 =×=k → perfil classe 3 não compacto

Alma: 0

0

th

b =λ 1604,1095,12

1368<==bλ → perfil classe 3 não compacto

cmkNM p .413168251475612,1 =××= = 4131,7 kN.m

( ) cmkNM r .1992065,112514756 =−×= = 1992,1 kN.m

6,15=bλ 24=brλ 11=bpλ

( ) mkNM n .6,33741,19927,41311124116,157,4131 =−×

−−

−=

mkNMM nbdres .1,30376,33749,0 =×== φ

8.2.3. Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua

Flambagem lateral de viga simplesmente apoiada com momento fletor constante

• Resistência à flexão de vigas sem contenção lateral contínua

O fenômeno da flambagem

lateral pode ser entendido a partir da

flambagem por flexão de uma coluna.

Em uma viga, o momento fletor que

causa flambagem lateral depende da

esbeltez da mesa comprimida no seu

próprio plano. A flambagem da mesa no

plano da alma é impedida pela própria

alma.

flambagemlateral

Figura: Flambagem lateral de viga com contenção lateral que impede o tombamento do perfil.


Categorias de vigas sem contenção lateral

a) vigas curtas: o efeito da flambagem lateral pode ser desprezado. A viga atinge o

momento defino por escoamento ou flambagem local;

b) vigas longas: atingem o estado limite de flambagem lateral em regime elástico, com

momento crítico Mcr.

c) vigas intermediárias: as vigas intermediárias apresentam estado limite de flambagem

lateral inelástica, a qual é muito influenciada por imperfeições geométricas da peça e

pelas tensões residuais embutidas durante o processo de fabricação da viga.

Flambagem lateral de viga simplesmente apoiada com momento fletor constante

Para a solução da flambagem lateral de vigas simplesmente apoiadas com momento

fletor constante, admite-se contenção lateral nos extremos.

wyycr ECEIL

GJEIL

M 2

2ππ+=

onde:

L = comprimento da viga

Iy = momento de inércia em torno do eixo y

J = constante de torção pura (Saint-Venant)

Cw = constante de empenamento

Para perfil I ou H duplamente simétrico, tem-se:

( )300

3231 thtbJ ff += ( )

42 y

fw

IthC −=

Resistência à flexão de vigas I com dois eixos de simetria no plano da alma.

O momento resistente nominal depende do comprimento sem contenção lateral (lb)

a) viga curta:

ypr ZfMM ==

condições para se ter viga curta: y

ybpb fEill 75,1=≤

onde iy é o raio de giração em torno do eixo de menor inércia

para: aço MR250: lbp = 50iy; aço AR350: lbp = 43iy;


b) viga longa

O momento resistente nominal é próprio momento crítico Mcr.

221 1

+==

y

by

bbcrn

ili

lCMM ββ

onde: EAGJπβ =1 ( )22

2 4 fthGJEA

−=πβ

Cb = é o coeficiente que leva em conta o efeito favorável de o momento não ser

uniforme no segmento lb, dado por:

3,23,005,175,12

2

1

2

1 ≤

+

+=

MM

MMCb

sendo M1 e M2 os momentos nas extremidades do trecho sem contenção lateral,

M1<M2. Os momentos M1 e M2 têm o mesmo sinal. Quando produzem curvatura

reversa na viga e sinais opostos em caso de curvatura simples.

b

M1 MM 2

C = 1

1M = 02M = M

M1 M2

Figura: condições para determinação do coeficiente Cb.

Adota-se Cb = 1 nas vigas em balanço e quando o momento num trecho

intermediário do trecho lb é maior que M1 e M2. Além disso, Cb deve ser igual a 1 quando

há carregamento aplicado ao longo do trecho não contraventado. Em qualquer caso, pode-

se tomar Cb = 1, que estará correto ou a favor da segurança.

bl2

lbp brl

r

escoamentoou flambagem

local

Mn

M

Mp

vigacurta

flambageminelástica

vigaintermediária

vigalonga

flambagemelástica

crM

MM1

1M

lb

2M

lb

Figura: Momento nominal de ruptura de vigas por flambagem lateral


Expressão aproximada para obtenção de

Mcr segundo a NBR 8800

2

2

2

7,969,0

+

==

T

bff

bxbcrn

il

E

tbhl

EWCMM

onde: iT é o raio de giração da seção formada pela mesa

comprimida mais 1/3 da região comprimida da alma

(aproximadamente igual a 1/6 da área total da alma), calculado em

relação ao eixo situado no plano médio da alma. 6

1200

3

thbt

bt

iff

ff

T

+=

Condição para se ter viga longa: lb > lbr

22

12

21 4112 r

br

bybr M

CMCi

lβββ

++=

Com o momento crítico calculado pela expressão simplificada acima, chega-se à:

22

1119,19 XXtb

hilff

Tbr ++= com ( )

275,40

−=

ff

Try

b tbhiff

ECX

b) viga intermediária

Neste caso Mn é obtido por interpolação linear entre Mp e Mr.

( )bpbr

bpbrppn ll

llMMMM

−−

−−= com: ( )ryxr ffWM −=

onde: fr = tensão residual considerada igual a 115 MPa.

Condição para se ter viga intermediária: lbp < lb < lbr

Exemplos:

1. Comparar os momentos resistente de projeto de uma viga I (457 × 89,3) (18”) com uma

viga soldada VS (500 × 86), de mesmo peso próprio aproximadamente, supondo as vigas

contidas lateralmente. Aço MR250.

Solução:

a) viga laminada I (457 × 89,3) (18”)

bf =154,6 mm; tf =17,6 mm; h0 =422 mm; t0 =13,9 mm;

flambagem local da mesa: 5,84,46,172

6,1542

<=×

==f

fb t

bλ → super-compacto: classe 1


flambagem local da alma: 673,309,13

422

0

0 <===th

bλ → super-compacto: classe 1

O perfil é supercompacto (classe 1)

Módulo resistente Wx = 1541 cm3 Módulo plástico: xWZ ×≅ 12,1

Momento resistente de projeto: ybdres fZM φ= com φb = 0,90

cmkNcmkNcmM dres .3883325154112,19,0 2

3 =×××=

b) viga soldada VS (500 × 86)

flambagem local da mesa: 5,88,7162

2502

<=×

==f

fb t

bλ → supercompacto: classe 1

flambagem local da alma: 100743,6

468

0

0 <===th

bλ → compacto: classe

2

O perfil é compacto (classe 2)

Módulo resistente Wx = 2090 cm3 Módulo plástico: xWZ ×≅ 12,1

Momento resistente de projeto: ybdres fZM φ= com φb = 0,90

cmkNcmkNcmM dres .5266825209012,19,0 2

3 =×××=

Conclusão: O perfil soldado tem altura maior que o perfil laminado de peso equivalente e,

sendo compacto, possui maior eficiência à flexão.

2. Um perfil VS (400 × 49) foi

selecionado para uma viga contínua

de quatro vãos de 8m, conforme

ilustrado na figura. A viga é de aço

MR250 e só possui contenção

lateral nos apoios. Calcular a

máxima carga P permanen-te a ser

aplicada nos vãos da viga (γf=1,3).

A B C D

4

M = 0,17PL

M = 0,161PL

M = 0,107PL

8m 8m

4

8m 8m

4 4

P P P P

E


Solução: ho=381mm; to=6,3mm; bf=200mm; tf=9,5mm; Wx=870cm3.

6

1200

3

thbt

bt

iff

ff

T

+= cmiT 25,5

61,3863,02095,0

122095,0 3

=×

+×

×

=

Classificação quanto a flambagem lateral: lb = 800cm

Cb = 1 (o momento máximo ocorre em seção não contraventada lateralmente)

( )2

75,40

−=

ff

Try

b tbhiff

ECX ( ) 28,3

2095,04025,55,1125

205000,175,40

2

=

××

×−××

=X

22

1119,19 XXtb

hilff

Tbr ++= cmlbr 74128,311

28,31

2095,04025,59,19 2

2

=++×

××=

Como lb > lbr , a viga é longa, portanto, o momento resistente de projeto é: 2

2

2

7,969,0

+

=

T

bff

bxbvdres

il

E

tbhl

EWCM φ

cmkNM dres .9393

25,5800

205007,9

95,02040800

2050069,08700,19,0

2

2

2

=

×+

××

××××=

Mmáx = 0,17Pl = 0,17×800 = 136P

Admitindo-se carga do tipo permanente, calcula-se Md com γf =1,3.

Assim, Md =1,3×136P =176,8P

Igualando-se os momentos solicitante e resistente de projeto, obtém-se o máximo valor de P.

Md = Mdres =176,8P = 9393 → P = 53,1 kN

Estado Limite de Utilização: flecha máxima:

EIPL3

012,0=δ m009,010173931005,2

81,53012,0 88

3

=×××

××= −δ = 9 mm

Limite de flecha pela NBR 8800 – barra suportando piso:

cmL 2,2360800

360max ===δ = 22 mm > δ portanto, atende.


3. Admitindo-se que na viga do problema anterior as cargas concentradas P sejam

aplicadas por vigas transversais apoiadas nos centros dos vãos, calcular o momento fletor

resistente na região do momento máximo solicitante.

Solução: com contraventamento lateral nos apoios e nos pontos de aplicação das cargas

concentradas, tem-se lb = 400 cm e Cb > 1.

Cálculo de Cb. Trecho AB: 02

1 =MM → Cb = 1,75

Trecho BC: 95,0170,0161,0

2

1 ==MM → Cb = 30 > 2,3 → Cb=2,3

Cálculo dos comprimentos limites lbp e lbr.

yybp f

Eil 75,1= cmlbp 226250

2050052,475,1 =××=

87,10,128,328,3

===bC

X cmlbr 108987,11187,11

2095,04025,59,19 2

2

=++×

××=

A viga é do tipo intermediária: lbp < lb < lbr 226cm < 400cm < 1089cm

O momento resistente no vão lateral é obtido por interpolação entre Mr e Mp.

( )ryxr ffWM −= ( ) cmkNM r .117455,1125870 =−×=

fr = tensão residual considerada igual a 115 MPa.

yp fZM .= cmkNM p .242652587012,1 =××=

( )bpbr

bpbrppn ll

llMMMM

−−

−−=

( ) cmkNM n .217412261089226400117452426524265 =

−−

×−−=

nbdres MM .φ= cmkNM dres .19567217419,0 =×= = 195,7 kN.m.

Conclusão: com as novas condições de contenção lateral, a viga do problema anterior teve

um grande acréscimo de momento resistente: (195,7 > 93,9) kN.m.


8.3. Dimensionamento da alma das vigas

8.3.1. Conceitos

As almas das vigas servem principalmente para ligar as mesas e absorver os

esforços cortantes.

Nos perfis laminados, as almas são pouco esbeltas (h0/t0 moderado), tendo

geralmente resistência à flambagem suficiente para atender aos esforços solicitantes, de

modo que a resistência é determinada pelo escoamento ao cisalhamento do material (fv ≈

0,6fy).

Nos perfis fabricados, as almas são geralmente mais esbeltas (h0/t0 elevado), de

modo que a resistência da viga limitada pela flambagem alma. Nestes casos, para aumentar

a resistência à flambagem, utilizam-se enrijecedores transversais.

8.3.2. Tensão de cisalhamento

As tensões de cisalhamento (τ) em peças de altura constante, solicitadas por esforço

cortante (V), são dadas pela conhecida fórmula da Resistência dos Materiais:

tIVS

=τ

onde:

t = espessura da chapa no ponde onde se mede a tensão

S = momento estático referido ao centro de gravidade da seção bruta, da parte da área da

seção entre a borda e o ponto onde se mede a tensão

I = momento de inércia da seção bruta, referido ao centro de gravidade respectivo

Para o cálculo das tensões solicitantes de cisalhamento utiliza-se a relação:

w

dd A

V=τ

onde: Vd = esforço de cisalhamento solicitante de cálculo Aw = área efetiva de cisalhamento dada por: ht0 em perfis laminados h0t0 em perfis soldados 2/3 Ag em perfis de seção retangular cheia ¾ Ag em perfis de seção circular cheia ½ Ag em perfis tubulares de seção circular


τ

maxτ

maxτ

médττ23

max = médττ34

max =

8.3.3. Vigas I com um ou dois eixos de simetria sem enrijecedores

Vigas I com valores moderados de h0/t0.

Para vigas I com alma pouco esbelta (valores baixos de h0/t0), a flambagem da alma

por cisalhamento não é determinante (o material entra em escoamento para cargas

inferiores à carga crítica de flambagem). Os valores limites de h0/t0 para esta categoria de

almas são dados pela expressão.

yfE

th 5,2

0

0 ≤

para aço MR250 = 71 aço AR345 = 60

Esforço cortante resistente de cálculo é dado por:

( )ywvdres fAV 6,0φ= com φv = 0,9

Vigas I com valores elevados de h0/t0.

Em vigas I com valores h0/t0 superiores elevados, a resistência ao cisalhamento é

reduzida por efeito da flambagem da alma.

Esforço cortante resistente de cálculo é dado por:

( ) vywvdres CfAV 6,0φ=

flambagem elástica:

para yf

Eth 23,3

0

0 > 2

0

0

97,7

=

thf

EC

y

v

para aço MR250 = 92 aço AR345 = 79


flambagem inelástica:

para yy f

Eth

fE 23,35,2

0

0 ≤< y

v fE

thC

0

0

5,2=

O limite superior de h0/t0 é dado pela seguinte equação com tensões em MPa:

( )11548,0

max0

0

+=

yy ffE

th

para aço MR250 = 326 aço AR345 = 247

Na prática, as relações h0/t0 de vigas sem enrijecedores transversais intermediários

são limitados aos seguintes valores:

edifícios (AISC) h0/t0 ≤ 260 pontes (AASHTO) h0/t0 ≤ 150

Exemplo:

Calcular a carga máxima permanente q (kN/) que pode ser aplicada na viga da figura, com

vão de 6m, contida lateralmente. Dados: aço MR250; perfil soldado VS (500×86). A seção

da viga é compacta; classe 2.

16m

m

6.3mm

250mm

VS (500 x 86)

L (m)

q (kN/m)

500m

m


Solução:

a) Flexão – Estado Limite de Último

Momento fletor resistente: seção compacta, viga contida lateralmente.

Wx = 2090 cm3 Zx = 1,12 Wx Ix = 52250 cm4

ybdres ZfM φ= com φb = 0,9

cmkNM dres .5266825209012,19,0 =×××= = 526,7 kN.m

Momento fletor solicitante de projeto

8

2LqM dd = d

dd qqM 5,4

862

==

Igualando Mdres = Md, determina-se o valor de qd:

7,5265,4 =dq mkNqd 117

5,47,526

==

b) Cisalhamento – Estado Limite de Último

Esforço cortante resistente de cálculo (viga sem enrijecedores intermediários)

yy fE

th

fE 23,35,2

0

0 ≤< 9274710

0 <

=<

th

yv f

E

thC

0

0

5,2= 97,0

250205000

745,2

==vC

área da alma fw thA ×= 0 248,2963,08,46 cmAw =×=

( ) vywvdres CfAV 6,0φ= kNVdres 38697,0256,048,299,0 =××××=

Esforço cortante solicitante de cálculo

2LqV d

d = dd

d qqV 32

6=

×=

Igualando Vdres = Vd, determina-se o valor de qd:

kNqd 3863 = mkNqd 7,128

3386

==


c) Deslocamento – Estado Limite de Utilização

Deslocamento máximo permitido pela NBR 8800

300maxL

=δ m02,0300

6max ==δ

Deslocamento no meio do vão

EILqd

3845 4

=δ dd qq 4

88

4

1058,110522501005,2384

65 −− ×=

××××=δ

Igualando δmax = δ, determina-se o valor de qd:

02,01058,1 4 =× −dq

mkNqd 6,126

1058,102,0

4 =×

= −

Conclusão: a carga permanente máxima qd = 117 kN/m foi determinada pela flexão, no

estado limite de último.


APÊNDICE

Momento fletor máximo de vigas

Viga Força Cortante Momento fletor

L

P

PV =max PLM −=max

L

q (kN/m)

qLV =max 2

2

maxqLM −=

P

L / 2 L / 2

2maxPV =

4maxPLM =

A B

a bL

P

LPbVA =

LPaVB =

LPbaM =max

q (kN/m)

L

2maxqLV =

8

2

maxqLM =

L

M

LMV =max MM −=max

A

L

B

M

LMVA −=

LMVB +=

MM −=max


Deslocamentos máximos em vigas

Viga Deslocamento vertical máximo

P

Lvmax

EI

PLv3

3

max =

vmaxL

q (kN/m)

EI

qLv8

4

max =

P

L/2 L/2

vmax

EI

PLv48

3

max =

P

vmax

a

x

b

a>b

EIbLPbv

39)( 2

322

max−

= 3

22 bLx −=

q (kN/m)

L

vmax

EI

qLv3845 4

max =

L

M

vmax

EI

MLv2

2

max =

Mx

L EI

MLv39

2

max = 3

Lx =


Características geométricas de figuras planas

Figura Área CG Momento de Inércia Módulo Resistente

CGh

h

y

x

2h 2hyx CGCG ==

12

4hII yx == 6

3hWW yx ==

CGh

b

x

y

hb ⋅ 2bxCG =

2hyCG =

12

3hbI x⋅

=

12

3bhI y⋅

=

6

2hbWx⋅

=

6

2bhWy⋅

=

CGx

y

D

4

2D⋅π rD=

2

64

4DII yx⋅

==π

32

3DWW yx⋅

==π

CGd x D

y

( )4

22 dD −π

2D ( )

64

44 dDII yx−

==π ( )

32

33 dDWW yx−

==π

b/3

h/3

h

y

b

CGx

2

hb ⋅ 3bxCG =

3hyCG =

36

3hbI x⋅

=

36

3bhI y⋅

=

12

2hbWx⋅

=

12

2bhWy⋅

=

B

H ha

CG

y

x

( )hHBah −+

2BxCG =

2HyCG =

( )

[ ]hHBahI

hHBahI

y

x

−+=

−+=

1212

1212

33

333

( )

( )hHBBhaW

hHHB

HahW

y

x

−+=

−+=

66

66

23

333

y´1

y1H

b

CGx

By

c

( ) bHcbB +−

( )( )

11

22

1 21

2

yHybHcbBbHcbBy

BxCG

′−=+−+−

=′

=

( )[ ]

( )[ ]cHbcBI

AybhcbBI

y

x

−+=

−+−=

33

21

33

12131

( )[ ]cHbcB

BW

yI

WyI

W

y

xx

xx

++=

=′

=

33

1inf,

1sup,

61

B

b

H hCG

x

y

bhBH − 2HyCG =

12

33 bhBHI y−

= H

bhBHWx 6

33 −=


BIBLIOGRAFIA

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – (ABNT). Projeto e

execução de estruturas de aço de edifícios: método dos estados limites - NBR 8800.

Rio de Janeiro: 1986. (NB14).

PFEIL W., PFEIL M. Estruturas de aço: dimensionamento prático. 7ed. Rio de Janeiro,

LTC, 2000.

PINHEIRO, A. C. F B. Estruturas metálicas: detalhes, exercícios e projetos. 2ed. São

Paulo, Edgard Blücher, 2005.


TABELAS

estruturas de aço e madeira

Engineering