ESTRUTURAS DE AÇO E

MADEIRA - [ENG01110]

ÁREA II

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Prof. Dr, Ruy Carlos Ramos Menezes

2

Área 2

AULA 1

Resistência de Peças Submetidas à Flexão

Mn

≥ Md momento fletor

Rd ≥ Sd

n

≥ d esforço cortante

Sd: solicitação de projeto

Estados Limites:

Figura 1.1 – Esquema para o perfil I

* considerando-se perfis compostos por chapas, conforme mostrado na Figura 1.1

Mesa superior

Alma

3

Figura 13.2 – perfis mais usados para flexão, sendo os três primeiros os de menor rigidez à torção

Plastificação: Mnplast

Flambagem Local (da mesa e da alma): MnFLM

e MnFLA

Flambagem Lateral com Torção: MnFLT

Sendo que o menor Mn será o valor a ser considerado de para o Mn.

PLASTIFICAÇÃO:

Ocorre ger lmente p r v lores de „b/t‟ pequenos.

Deformações Tensões Seção

no regime elástico

início do escoamento

regime inelástico

plastificação total **

** momento de plastificação (rótula plástica).

e<ey

e<ey

σ<fy

σ<fy

e=ey

e=ey

fy

fy

e>ey

e>ey

fy

fy

fy

fy

4

AULA 2

Resistência à Flexão

ELU Plastificação:

Onde:

- Momento de plastificação;

- Momento de início de escoamento;

= 1,1

Revisando:

- Regime elástico:

- No caso de ;

Onde:

5

– Propriedade da seção transversal;

– Propriedade geométrica da seção (módulo elástico);

– Propriedade física do material.

I. Equilíbrio à Translação:

II. Equilíbrio de Momentos:

Onde:

– Propriedade da seção transversal;

– Propriedade geométrica da seção (módulo plástico);

– Propriedade física do material.

III. Fator de Forma:

Exemplo:

a) Seção retangular:

6

b) Seção I duplamente simétrica:

(em perfis usuiais está entre 1,1 e 1,2)

IV. Esbeltez dos Componentes:

Alma:

Mesa:

(limite)

Aplicação:

(considerando que o EL último é a plastificação)

Dados:

7

Perfil: VS 300 x 50,9

Aço: MR 250

Solução:

8

AULA 3

Plastificação

P r “b/t” pequen s:

MRd = Mpl

1 10

Mpl = Z.fy

sendo Z: propriedade geométrica

P r “b/t” gr ndes: C so de Fl mb gem Loc l

Premissas:

Elementos estruturais são compostos por chapas;

Estas chapas são carregadas no seu plano.

Problemas: Flambagem de placas

A equação diferencial para o equilíbrio a direção deformada é a seguinte,

4w

x4

2. 4w

x4 y

4 4w

y4

fx.t

. 2w

x4 = 0

sendo D: rigidez da placa à flexão, dada pela equação D =

- Rigidez e flexão da barra

mesa alma

9

EIx .b.h

3

12

- Rigidez à flexão da placa (ou chapa)

Rigidez:

tendo que (1 – ν

2) < 1

Para a solução de auto-valores (carregamento flambagem) e auto-vetores (forma de flambagem)

considera-se o menor auto-valor, que é a carga crítica.

sendo que k: considera como a placa está vinculada (apoiada, livre, engastada, etc) e

como está carregada (forma do carregamento)

b/t: esbeltez da placa (da chapa)

Validade:

Regime elástico linear (lei de Hooke)

Placa sem imperfeições

Observ ção: m c sos re is existem tensões residu is (σr).

h

b

x

1

t

10

Mesa: b

t carregamento uniforme;

vinculação livre/(apoio – engaste);

Alma: b

t carregamento triangular (compressão e tração);

vinculação (apoio – engaste)/(apoio – engaste);

válido

cr

(tensão)

fy

fy - r

r =B/t

elástico

inelástico

plastificação

Mn

Mpl

Mr

p r =B/t

b

b

t

t

11

Conclusão: kmesa

Kalma

limites λp e λr p r mes e p r lm

MRd = Mn

1 10

genericamente:

- se λ≤λp M = Mpl

- se λ>λp e λ≤λr M – interpolado linearmente entre Mpl e Mr

- se λ>λr M = Mcr = W.σcr

* ver NBR8800 - nexo G: v lores λp e λr p r seções típic s.

12

AULA 4

Resistência ao cisalhamento

Na plastificação

Válido para perfil com componente

pequeno.

Estado Limite Último de Flambagem Local

Considerações:

- a peça estrutural é composta por chapas

- estes componentes são solicitados no seu plano

O equilíbrio na condição deformada resulta numa equação diferencial, cuja rigidez é dada por:

Essas equações resultam em um problema de autovalores e autovetores, porém para a resistência o

menor valor:

Validade:

- regime elástico (lei de Hooke)

- isenta de imperfeições

13

Mesa: carregamento uniforme

: vinculação livre (apoio-engaste)

Alma: carregamento com variação linear

: vinculação (apoio-engaste) - (apoio-engaste)

Conclusão: mes e lm têm v lores de “K” diferentes conseqüentemente e .

Casos reais são obtidos numericamente e experimentalmente.

14

AULA 5

Resistência ao Momento Fletor

- ELÚltimo Flambagem Lateral com Torção (FLT) -

[M] – o momento é uniforme (constante) ao longo da estrutura e igual a Mo.

Para determinar o Mocrítico (o momento que leva a instabilidade) é necessário se equacionar

a equilíbrio na condição deformada, gerando-se assim um problema de auto-valores e auto-vetores.

Então, tem-se seguinte equação:

ECw d4

dz4 - GI

d2

dz2 -

Mo

y = 0

ECw: rigidez à torção com empenamento;

GI: rigidez à torção pura;

EIy: rigidez à flexão em torno do eixo de menor inércia.

Observação:

Os seguintes perfis representados ao lodo não iriam flambar

lateralmente, sendo que:

- os dois últimos perfis tem a mesma inércia, pois são

simétricos nos dois eixos;

- o primeiro perfil, na posição desenhada, já está no eixo de menor inércia, e os perfis

tendem a se acomodar em torno do eixo de menor inércia.

Validade:

Regime elástico;

Peça isenta de imperfeições

Momento uniforme (constante no trecho)

Contenções laterais

15

A solução para o problema de auto-valores: cargas de flambagem

auto-vetores : formas de flambagem

Sendo o menor auto-valor:

Mocrítico =

Lb yG (

Lb 2 y Cw

Porém em casos reais o momento no vão não é uniforme, sendo:

Mocrnão unif

= Mocrunif

.Cb

(não analítica) (analítica)

Cb:

A condição mais severa para a peça (sob a ótica de flambagem lateral) é a condição onde o

momento aplicado é uniforme entre os pontos de contenção lateral:

Cb ≥ 1

Cb = 12 5.Mm x

2 5.Mm x 3M 4M 3MC.Rm

* os valores de Mmáx, MA, MB e MC serão determinados como o valor de Mmáximo no trecho

considerado e pelos valores de M em divisões de mesma distância do trecho, com Lb/4.

Rm: parâmetro de monosimetria;

Rm = 0,5 + 2( c

y)

2

Observação: A equação Rm é usada em casos onde a peça estiver submetida a curvatura severa, pois

para a maioria dos casos considera-se Rm = 1.

Iy: momento de inércia da peça em torno do eixo de simetria;

Ic: menor momento de inércia da mesa comprimida em torno do eixo de simetria.

Maior deformação

(menor momento

de flambagem)

Maior Mo

Cb≥1

16

17

AULA 6

Resistência ao Momento Fletor

No regime elástico

Mcr =

Lb. yG (

Lb 2 y Cw

*não uniforme: Mcr = Cb.Mcrunif.

Cb ≥ 1 0

Sendo Cb função da distribuição de momento (Mmáx, MA, MB, MC).

MnFLT - Flambagem Lateral com Torção

Mp

Mr

p r

Assim deveremos, primeiramente, calcular

λ = Lb/ry

Sendo Lb: distância entre contenções laterais

Se λ≤λp Mn = Mp

Se λp<λ≤λr interpolação linear entre Mp e Mr

Mn = Mp – (Mp – Mr).(λ – λp)/(λr – λp)

Se λ>λr Mn = Mcr

Para definir λp; λp; Mr; Mcr com valores apresentados no Anexo G da NBR 8800.

18

Resistência ao Esforço Cortante

Rd ≥ Sd com VRd≥ Sd tal que VSd é o esforço das combinações de ação.

VRd = n

1 10

Estados Limite Últimos ssoci dos o cort nte d do sendo necess rio definir ζ conforme é

representado na figura 18.1.

Figura 18.1. – squem tiz ção de ζ p r seção .

Assim, teremos que

ζ =

x.S

b

Constatações:

As maiores tensões estão na alma;

As tensões variam, mas, do ponto de vista prático, podem ser consideradas uniformes na

lm com um v lor ζmed.

ζmed =

w

Sendo V: esforço constante na seção

Aw: área efetiva para fins de cisalhamento

Tal que

Aw = tw.d

Sendo tw: espessura da alma

d: altura da peça

x

19

- Problema sugerido:

Placa submetida a um estado de tensões no seu plano

Se hw/tw for pequeno Plastificação

Se hw/tw for grande Flambagem (instabilidade)

- Para a Plastificação:

Vp = Aw.ζy ζy = fy

3 ≈ 0 6.fy

Vn = Vp = 0,6.Aw.fy

- Para a Flambagem no regime elástico:

Vn = Vcr = Aw.ζcr

* Sendo necess rio definir ζcr.

AULA 7

a

hw

tw

20

Flambagem de Placas

Validade:

Regime elástico;

Peça isenta de imperfeições.

Se ; então

Se ; então

Se ; então

Por exemplo: Perfil I

5,0

; caso contrário:

21

a: distância entre enrijecedores de alma

Procedimento usual: encontrar o espaçamento entre enrijecedores que proporcione a

resistência adequada ao cortante

Resistência a Solicitações Combinadas

Caso Real: Edifício (pórtico)

Para carregamentos verticais (apenas):

Barras horizontais: flexão (vigas)

Barras vericais: axiais (almas)

Para carregamentos horizontais em todas as barras: par de [M eN] (simultâneas)

Abordagem:

(verificação da tensão)

Obs:

I) Na compressão há amplificação dos momentos atuantes;

22

II) É necessário, adicionalmente verificar a estabilidade.

Estados Limites de Serviço:

Ações: freqüentes; ocorrem muitas vezes na saída útil da estrutura;

Resistências:

- Estabelecidas pela forma de utilização da estrutura;

- Deslocamentos máximos: visual; funcionamento de equipamentos;

- Acelerações e vibrações: conforto.

Equações de projeto: difícil generalização e formulação

Normas: usualmente fixam limites de deslocamento.

AULA 8 – 9

Exemplo:

23

Determinar Pd que atenda os Estados Limites Últimos aplicáveis à viga abaixo:

Viga: VS 400x78

Aço: MR 250

Desconsiderar o peso próprio da viga;

Considerar as seguintes alternativas de contenção lateral:

A. Contenção lateral nos apoios e pontos de aplicação das cargas concentradas;

B. Contenção lateral apenas nos apoios;

C. Contenção lateral de forma contínua.

Resolução:

Conforme estudado, tem-se que:

Para a flexão:

Plastificação

do catálogo: d = 400mm bf = 200mm tf = 19mm tw = 6,3mm

Pelo cálculo das propriedades geométricas:

hw = 362mm Ix = 30094cm4 Iy = 2534cm4 rx = 17,45cm ry = 5,06cm Wx = 1505cm3

Zx = 1654cm3 Jt = 94,63cm4 Cw = 919353cm6

1 = 0,010471

24

ELÚltimo FLM; FLA

FLT

MRd =

Mn = Mcr =

(perfis viga soldada)

Solicitações: Traçando os diagramas teremos os valores representados a seguir.

FLM:

λ = b/t = 100/19 = 5 3

Mp = Zx.fy = 413,5 kN.m

25

Mr = Wx.(fy-σr) = Wx.0,7.fy = 263,3 kN.m

Pelo Anexo G da NBR:

λp = 0 38.

fy = 10,9

λr = 0,95.

(fy- σr /Kc = 23,6

tal que Kc = 4

hw/tw = 0,528 (dependerá da rigidez proporcionada pela alma)

MnFLM

=

= 375,91

FLA:

λ = 326/6,3 = 57,4

Mp = 413,5 kN.m

Mr = Wx.fy = 376,2 kN.m

λp = 3,76.

fy = 107,7

λr = 5,7.

fy = 163,2

MnFL

=

= 375,91

FLT:

26

Caso A: Mp = 413,5

Mr = 263,3 (idem FLA)

Trecho i: Lb = 2,5m = 250cm Msd = 6Pd

Trecho ii: Lb = 600cm Msd = 6Pd

Trecho iii: Lb = 150cm Msd = 2,4Pd

Assim o trecho ii é o mais uniforme, com menor Cb, sendo o trecho crítico e de menor resistência

(rd). Já o trecho iii é o de maior resistência (rd).

Lb = 600cm

λp = 1 76.

fy = 50,4

λr = 1 38. y.

ry. . 1. 1 1

27.Cw.12

y = 169,9

27

tal que 1 = fy- σr .W

. = 0,013574

λ = 600/5 06 = 118 5

Mn = [Mp – (Mp – Mr (λ – λp)/(λr – λp)].Cb ≤ Mp

tal que Cb = 12 5.Mm x

2 5.Mm x 3M 4M 3MC.Rm = 1,32

sendo

com Mmáx = 6Pd

MA = 5,1Pd

MB = 4,2Pd

MC = 3,3Pd

Mn = 328.1,32 = 433kN.m sendo assim maior que Mp, logo, por norma,

Mn = Mp = 413,5kN.m

Mn – menor (MnFLA

; MnFLM

; MnFLT

) = 413,5kN.m

MRd ≥ Msd

28

413 5/1 10 ≥ 6Pd

Pd ≤ 62,7kN

Caso B: Contenção lateral apenas nos apoios.

Lb = 1000cm

λ = 1000/5 06 = 197 5 (regime el stico

Mcr = . . y

Lb2 .Cb. (1 0 039.

.Lb2

Cw Cw

y = 273,4 kN.m

Com Mmáx = 6Pd MA = 6Pd MB = 4,5Pd MC = 3Pd Cb = 1,25

MRd ≥ Msd

273 4/1 10 ≥ 6Pd

Pd ≤ 41,4kN

Caso C: Contenção lateral contínua.

* não há flambagem lateral de torção.

Mn - menor (MnFLA

; MnFLM

)

Mn = 413,5

MRd ≥ Msd

413 5/1 10 ≥ 6Pd

Pd ≤ 62,7kN

Limite dado por Vsd

Supondo que há enrijecedores de alma nos apoios e nos pontos de aplicação das cargas concentradas:

a 250 600 150

a/hw 6,9 16,6 4,14

29

Kv 5,0 5,0 5,0

Vn = Vp = 0,6.Aw.fy = 0,6.(40.0,63).25 = 378kN

hw/tw = λ= 57,4

λp = 1,1. Kv.

fy = 70,4

λr = 1,37. Kv.

fy = 87,5

VRd ≥ sd

378/1 10 ≥ 2 4Pd

Pd ≤ 143,2kN

=

Vp

=1,24. (

)2.Vp