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Elasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes

CAP MONIZ DE ARAGÃO

DEFORMAÇÕES:

• Campo de deslocamentos; Componentes de deformação; Relações deformação-deslocamento; Deformação linear específica numa direção qualquer; Deformações Principais.

SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO

Pós-graduação em Engenharia de Transportes

Referências bibliográficas:• Introdução à Teoria da Elasticidade, Villaça, S. F., Taborda

Garcia, L. F., COPPE/UFRJ, 4ª Ed., 2000.• Theory of Elasticity, Timoshenko, S. P., Goodier, J.N., McGraw-

Hill Classic Textbook Reissue Series, 3rd Ed., 1970.

Deformações:Campo de deslocamentos

Solicitações externas atuando em um corpo deformável:

Configuração inicial indeformada ⇒ Configuração final deformada

Mudança de forma e dimensões


Um ponto A do corpo, que na configuração inicial tem as coordenadas x, y, z, sofre um deslocamento u, e passa para a posição A*.

( )zyxvv ,,=

( )wvu ,,=u

( )zyxuu ,,=

( )zyxww ,,=

As coordenadas A* são então dadas por x+u, y+v, z+w, e o

CAMPO DE DESLOCAMENTOS determinado pelas funções u, v, w.


Observações:

• Tendo em vista a continuidade do sólido no processo de deformação, as funções escalares u, v, w devem ser contínuas e unívocas.

• O campo de deslocamentos pode ser decomposto em duas parcelas:

• Movimento de corpo rígido (translação do ponto)

• Deslocamento com mudança de forma e dimensões do corpo (alongamentos, encurtamentos)

• O movimento do corpo rígido pode ser sempre eliminado mediante a introdução adequada de vínculos.

Ex:

F

Deslocamento com mudança de dimensões

Movimento de Corpo rígido

Componentes de Deformação

• Deformação (strain)

• Deformação linear específica

• Alongamento relativosε

Deformação no ponto A e na direção s:

Relação entre o alongamento sofrido pelo segmento elementar e o seu comprimento inicial, ao passar da configuração inicial para a deformada.

( )ss dsds ds

dsdsAB

ABBA εε +=⇒−

=−

= 1****


• Deformação angular (shearing strain)

• Distorçãostγ

Distorção no ponto A associada às direções s, t :

BACst*** ˆ

2−=

πγ

Redução do ângulo originariamente reto entre AB e BC.


O estado de deformação em um ponto A fica completamente determinado se forem conhecidas as componentes de deformação (linear e angular) em três direções ortogonais.

Referindo-se ao sistema cartesiano global xyz, tem-se as seguintes componentes de deformação:

, , , , , yzxzxyzyx γγγεεε

De forma análoga ao estado de tensões, conhecidas essas componentes épossível calcular a deformação linear numa direção qualquer, ou a deformação angular associada a um par de direções ortogonais quaisquerno ponto A.


A deformação em todo o corpo fica determinada conhecendo-se o campo de deformações, ou seja, as componentes de deformação como funções de posição:

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

ε=εε=εε=ε

z,y,xz,y,xz,y,x

zz

yy

xx ( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

γ=γγ=γγ=γ

z,y,xz,y,xz,y,x

yzyz

xzxz

xyxy

Deformações: notação indicial

Na notação indicial pode-se definir a posição dos pontos após a deformaçãocomo:

( )321 xxxii ,,ξξ =

=iξ Coordenadas Eulerianas=ix Coordenadas Lagrangianas

ou inversamente por:

( )321 ξξξ ,,ii xx =

1x2x

22,ξx

33,ξx

1ξ

2ξ

11,ξx

3x

3ξ

A

A*


Como as coordenadas Eulerianas podem ser escritas em função de

, suas diferenciais totais são:iξ

321 xxx ,,

jj

iiiii dx

xdx

xdx

xdx

xd

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=ξξξξξ 2

22

21

1

Analogamente, fazendo-se: , obtém-se:( )321 ξξξ ,,ii xx =

jj

ii dxdx ξ

ξ∂∂

=


O comprimento ds do segmento AB fica então:

iidxdxdxdxdxds =++= 23

22

21

2

Na configuração deformada, temos analogamente:

iidddddds ξξξξξ =++= 23

22

21

2*

kjk

i

j

i dxdxxx

ds∂∂

∂∂

=⇒ξξ2*


Quantificando-se a variação de comprimento do segmento através da diferença entre os quadrados dos segmentos, após e antes da deformação, tem-se:

é o TENSOR DEFORMAÇÃO DE GREEN, expresso em função das coordenadas Lagrangianas xi

{ {43421

kjjk

kikjij

dxdx

dxi

dxikj

k

i

j

i dxdxdxdxxx

dsds

δ

δδ

ξξ−

∂∂

∂∂

=− 22*

kjjkk

i

j

i dxdxxx

dsds44 344 21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

∂∂

=−⇒ δξξ22*

ij2ε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

∂∂

=⇒ jkk

i

j

iij xx2

1 δξξε[Eq. 1]

Relações Deformação – Deslocamento

Denominando-se de ui as componentes do deslocamento de um ponto A, tem-se a seguinte relação entre as coordenadas:

iii xu −= ξ

1x

2x

22,ξx

11,ξx

1ξ

2ξ2u

1u

A

A*

u

exprimindo também os deslocamentos em função das coordenadas Lagrangeanas, pode-se obter:

( )321 ,, xxxuu ii =

{ij

j

i

j

i

j

i

xx

xxu

∂

∂∂

−∂∂

=∂∂

⇒ξ

ijj

i

j

i

xu

x∂+

∂∂

=∂∂

⇒ξ [Eq. 2]

Relações Deformação – Deslocamento

Substituindo-se a Eq. 2 na Eq. 1, obtém-se a expressão do Tensor de Green em função dos deslocamentos:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=⇒ ijkjj

kki

i

kij x

uxu

21 δδδε

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=j

k

i

k

i

j

j

iij x

uxu

xu

xu

21ε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

=⇒ ijkjkij

kkikj

i

k

j

k

i

kij x

uxu

xu

xu

21 δδδδδε

Relações Deformação – DeslocamentoSimplificação para pequenas mudanças de configuração

Considerando a classe de problemas em que as derivadas dos deslocamentos em relação às coordenadas são muito pequenas em relação à unidade:

1u1xu

i

k

i

k <<∂∂

<<∂∂

ξ ,

( )ijjiij uu21

,, +=ε

os termos quadráticos na equação do tensor deformação se tornam de ordem inferior em relação aos lineares, podendo ser desprezados. Além disso, passa a ser irrelevante que as derivadas dos deslocamentos sejam calculadas para um certo ponto na sua posição inicial ou final, não sendo necessário portanto se distinguir entre coordenadas Lagrangeanas e Eulerianas nas expressões das componentes da deformação. Tem-se assim:

Relações Deformação – Deslocamento Lineares

Na notação algébrica usual:

...,,...,,,,,,,,,,

xyxx1211

321

321

wvuuuuzyxxxx

εεεε →

→

→

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

zwyvxu

z

y

x

ε

ε

ε

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

yzyz

xzxz

xyxy

21

yw

zv

21

21

xw

zu

21

21

xv

yu

21

γε

γε

γε

⇒ εx é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementaroriginalmente na direção x.

⇒ εx é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x.

Relações Deformação – Deslocamento(coordenadas cartesianas)Sejam (A*), (B*), (C*) as projeções de A*, B*, C* no plano xy. Logo:

O deslocamento (de primeira ordem) na direção x do ponto Bé igual a:

dxxuu∂∂

+

devido ao aumento de

da função u com o aumento da coordenada x

dxxu∂∂

Relações Deformação - Deslocamento

Sejam (A*), (B*), (C*) as projeções de A*, B*, C* no plano xy. Logo:

( )( ) φ+=∂∂

++ cosBAudxxuudx **

( )( ) ψ+=∂∂

++ cosCAvdyyvvdy **

( )( )( )*** BAC−π

=ψ+φ2

( )( )** BA

dxxv

sen ∂∂

=φ

( )( )** CA

dyyu

sen ∂∂

=ψ


⇒ Hipótese de pequenas mudanças de configuração;

⇒ Componentes de deformação consideradas muito pequenas em presença da unidade;

( )( ) ( )( )( ) ( )y

****x

****

dyCACA

dxBABA

ε+=≅

ε+=≅

1

1

11≅ψψ≅ψ

≅φφ≅φcos ;sen

cos ;sen

( )( )( ) xy****** BACBAC γ=−

π≅−

π22


⇒ Reescrevendo-se as equações, tem-se:

( )( ) ( )xu1dxuBAudx

xuudx xx ∂

∂=⇒++≅+=

∂∂

++ εεφ cos**

( )( ) ( )yv1dyvCAvdy

yvvdy yy ∂

∂=⇒++≅+=

∂∂

++ εεψ cos**

( )( )( ) xyxy*** BAC γ=ψ+φ⇒γ≅−

π=ψ+φ

2

( )( ) ( ) xv

dx

dxxv

BA

dxxv

senx** ∂

∂≅

ε+∂∂

≅∂∂

=φ≅φ1

( )( ) ( ) yu

dy

dyyu

CA

dyyu

seny** ∂

∂≅

ε+∂∂

≅∂∂

=ψ≅ψ1

xv

yu

xy ∂∂

+∂∂

=γ

⇒ Com as projeções nos outros dois planos cartesianos, são obtidas as demais expressões das relações deformação-deslocamento.

Deformação linear numa direção qualquer

Na figura abaixo, um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s érepresentado na sua configuração inicial.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

ndsdz

mdsdydsdx

l

co-senos diretores:


Após a deformação o segmento passa para a posição P*Q* de comprimento ds*.

As projeções dos deslocamentos up e uq sobre a direção s são dadas por:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

ndsdz

mdsdydsdx

l

co-senos diretores:

( ) wnvmuuu PPs ++=⋅= llr

( ) ( ) dsds

duuu sPsQs ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=


Considerando-se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:

dsdu

ds

dsuds

duuds

dsdsds s

ss

s

s =−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

=−

=*

ε

Desenvolvendo a derivada direcional da função u na direção s....


⇒ Na notação indicial temos: ijsjsis εε ll=

A expressão nos dá a deformação linear em torno de um ponto em uma direção qualquer (definida pelos seus co-senos diretores) em função das deformações lineares segundo os eixos coordenados e das distorções nos planos coordenados.

Vê-se assim que as deformações segundo três eixos coordenados são suficientes para definir o estado de deformação em torno de um ponto quaquer (assim como nas tensões).

mnnmnm yzxzxy2

z2

y2

xs γγγεεεε +++++= lll

Obtém-se finalmente:


{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεεεεεεεε

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

εεε

=ε⇒nm

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zs

ys

xs

s

l

( )

( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

==

==

ysdsdzn

ysdsdym

xsdsdx

,cos

,cos

,cosl

co-senos diretores:

s⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεεεεεεεε

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

εεε

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=ε⇒

nm

nm

nm

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxxT

zs

ys

xsT

s

lll


Analogamente, pode-se demonstrar que a distorção entre duas direções s e t pode ser colocada como:

( )( ) ( )tstsyztstsxz

tstsxytsztsytsxst

mnnmnn

mmnn2mm22

++++

++++=

γγ

γεεεγ

ll

llll

⇒ Na notação indicial temos: ijtjsist εε ll=

Deformações Principais

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεεεεεεεε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεεεεεεεε

⇒

z'zz'yz'x

y'zy'yy'x

x'zx'yx'x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z'zy'zx'z

z'yy'yx'y

z'xy'xx'x

'z'z'y'z'x'z

'z'y'y'y'x'y

'z'x'y'x'x'x

lll

lll

lll

lll

lll

lll

Pode-se mostrar pela análise das expressões anteriores de deformação linear e distorção segundo direções arbitrárias, ou pelas propriedades dos Tensores, que o Tensor deformação segundo três novas coordenadas x’, y’, z’ pode ser colocado como:


Tal como na análise de tensões, pode-se considerar por hipótese que num ponto de um sólido em estado de deformação existem três direções ortogonais (principais) em relação às quais a distorção é nula.

As deformações lineares em tais direções são as deformações principais:

Pelas propriedades dos tensores, as três direções principais (ortogonais) correspondem à representação do tensor deformação segundo uma matriz diagonal.

Logo, as raízes da equação característica do tensor de deformações correspondem às deformações principais, e seus coeficientes são denominados de invariantes do estado de deformação.

321 εεε ,, ( )321 εεε ≥≥


{ }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεεεεεεεε

=ε⇒nm

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

e

l

Seja a direção “e” uma direção onde há apenas deformações lineares, sem distorções:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εεεεεεεεε

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

εε

ε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒

z,'zy,'zx,'z

z,'yy,'yx,'y

z,'xy,'xx,'x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

e

e

e

z,'zy,'zx,'z

z,'yy,'yx,'y

z,'xy,'xx,'x

lll

lll

lll

lll

lll

lll

000000

( ) 0=ε−ε R eij I


( ) 0eij =− Iεεdet 0

ezzyzx

yzeyyx

xzxyex

=−

−−

⇒εεεε

εεεεεεεε

0JJJ 3e22e1

3e =−+−⇒ εεε

321iizyx1J εεεεεεε ++==++=

323121zzy

yzy

zzx

xzx

yyx

xyx2J εεεεεε

εεεε

εεεε

εεεε

++=++=

321

zzyzx

yzyyx

xzxyx

3J εεεεεεεεεεεε

==

Deformações Principais: sólidos isotrópicos

Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais

Rosetas de Deformações

( )yxOBxy 2 ε+ε−ε=γ

Compatibilidade de Deformações

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=

zwyvxu

z

y

x

ε

ε

ε

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

yzyz

xzxz

xyxy

21

yw

zv

21

21

xw

zu

21

21

xv

yu

21

γε

γε

γε

2

3

2

2

yxu

yx

∂∂∂

=∂ε∂

⇒

2

3

2

2

xyv

xy

∂∂∂

=∂

ε∂⇒

2

3

2

32

xyv

yxu

yxxy

∂∂∂

+∂∂∂

=∂∂

γ∂⇒

02

2

2

2

2=

∂∂

γ∂−

∂

ε∂+

∂ε∂

⇒yxxyxyyx

• é preciso garantir a integrabilidade das relações deformações-deslocamentos;

• obtenção de um campo de deslocamentos cinematicamente admissível, representado por funções contínuas e unívocas;

• preservação do meio sólido no processo.

Compatibilidade de Deformações

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

γ∂−

∂

ε∂+

∂

ε∂

=∂∂γ∂

−∂

ε∂+

∂

ε∂

=∂∂

γ∂−

∂

ε∂+

∂

ε∂

0zyyz

0zxxz

0yxxy

yz2

2z

2

2y

2

xz2

2z

2

2x

2

xy2

2y

2

2x

2

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

γ∂−

∂∂

γ∂+

∂∂γ∂

=∂∂ε∂

∂

γ∂−

∂∂

γ∂+

∂∂

γ∂=

∂∂

ε∂∂

γ∂−

∂∂

γ∂+

∂∂γ∂

=∂∂ε∂

2xy

2zy

2zx

2z

2

2xz

2yz

2yx

2y

2

2yz

2xy

2xz

2x

2

zxzyzyx2

yxyzyzx2

xzxyxzy2

Equações de compatibilidade:

Bibliografia Complementar

Propriedades dos Tensores:Reddy, J.N., “Energy Principles and Variationl Methods in Applied Mechanics”, John Wiley & Sonx, 2nd Ed., 2002 (Capítulo 2.3)

Deformações na notação indicial:Taborda, L. F., “Elasticidade Não-linear”

Círculo de MohrBeer Johnston, Resistência dos MateriaisRiley, Mecânica dos Materiais

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