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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

EFEITOS DA ELETRODINÂMICA NÃO LINEAR NAPROPAGAÇÃO DE RADIAÇÃO EM TORNO DE

OBJETOS COMPACTOS CARREGADOS

KELDER CAVALCANTI DE VASCONCELOS

NATAL-RN

2016

KELDER CAVALCANTI DE VASCONCELOS

EFEITOS DA ELETRODINÂMICA NÃO LINEAR NAPROPAGAÇÃO DE RADIAÇÃO EM TORNO DE

OBJETOS COMPACTOS CARREGADOS

Tese de doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação

em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-

cial para a obtenção do grau de doutor em Física.

Orientador: Léo G. Medeiros

NATAL-RN

DEZEMBRO 2016

Banca Examinadora

Léo Gouvêa Medeiros - UFRN (Orientador)

Pedro José Pompeia - ITA (Examinador Externo)

Carlos Augusto Romero Filho - UFPB (Examinador Externo)

Janilo Santos - UFRN (Examinador Interno)

Raimundo Silva Júnior - UFRN (Examinador Interno)

ii

À minha família e meus amigos.

i

AGRADECIMENTOS

• A Deus, a Maria e ao Arcanjo Miguel por tudo o que se fez realidade até aqui.

• Ao meu orientador, Dr. Léo G. Medeiros, pela orientação, tempo disponibilizado,

dedicação e grande paciência.

• A Janilo Santos, pela orientação inicial e dedicação.

• A minha família pelo apoio.

• Aos amigos, em especial, Cláudia Cruz, Marcos Neto, Noélia Souza, fundamentais

para o término deste ciclo. E aos amigos Simone Fidelis e Pe. João Jorge pelo apoio.

As professoras Bernadete da Silva e Joana D’Arc.

• Ao PPGF-UFRN e seus professores.

• A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo

apoio financeiro.

ii

“A sabedoria não é uma idéia, um pensamento, um conceito

que se pega e se formula, (...). A sabedoria é a vida.”

Santiago Martin

iii

Resumo

Nesta tese, a propagação de ondas eletromagnéticas no contexto de eletrodinâmicas não

lineares, é cuidadosamente analisada dentro de um espaço-tempo criado por uma massa

esfericamente simétrica e eletricamente carregada. Dentro de certas aproximações, ve-

rificamos a existência da auto interação eletromagnética entre o campo eletrostático de

fundo e a radiação que nele se propaga, e adotamos para esta análise uma abordagem co-

nhecida como métrica efetiva. Observamos que a métrica efetiva não gera horizontes de

eventos efetivos, porém as não linearidades alteram as posições usuais dos horizontes de

eventos de buracos negros tipo Reissner-Nordström. Na aproximação linear, calculamos

como a auto interação afeta o desvio geodésico e o redshift da propagação de fótons pró-

ximo destes objetos massivos carregados. Por fim, utilizando a Lagrangeana efetiva de

Euler-Heinsenberg, estimamos a contribuição da auto interação no redshift geométrico

perto de objetos compactos extremais.

Palavras-chave: Buracos negros carregados, eletrodinâmicas não lineares.

iv

Abstract

In this thesis, the propagation of non-linear electromagnetic waves is careful analy-

zed on a curved spacetime created by spherically symmetric mass and charge distri-

bution. Using certain approximations we verified the existence of electromagnetic self-

interaction between the background electrostatic field and the radiation that propaga-

tes on it, and we adopted for this analysis an approach known as effective metric. We

observed that the effective metric does not generate effective events horizons, but the

non linearities changes the event horizons usual positions of Reissner-Nordström black

holes. In linear approximation, we compute how the self-interaction affects the geode-

sic deviation and the redshift of photons propagating near this massive charged object.

Using the Euler-Heisenberg effective Lagrangian, we estimate the contribution of these

self-interactions in the geometrical reshift near extremal compact objects.

Keywords: Charged black holes, Non-linear electrodynamics .

v

Notações, convenções e abreviações

• Assinatura da métrica: (+, -, -, -).

• A velocidade da luz é igual à unidade (c = 1).

• Os índices gregos variam de 0 a 3 e os latinos variam de 1 a 3.

• Os índices repetidos obedecem à convenção de Einstein.

• Abreviações:

1. CFT: Teoria Clássica de Campos.

2. QFT: Teoria Quântica de Campos.

3. NLED: Eletrodinâmica não linear.

4. EES: Espaço-tempo esfericamente simétrico.

5. KS: Kruskal-Szekres.

6. RN: Reissner-Nordström.

vi

SUMÁRIO

1 Introdução 1

2 Eletrodinâmica não linear 4

2.1 Eletromagnetismo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Formalismo Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Extensões da eletrodinâmica de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Lagrangeana geral para NLED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Equação de movimento para uma NLED . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Propagação de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Eletrodinâmica de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Eletrodinâmica não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Buracos Negros 29

3.1 Solução de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.1 Redshift gravitacional e trajetória de partículas . . . . . . . . . . . . 34

3.1.2 Singularidades e horizontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

vii

3.2 Solução de Reissner-Nordström . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Efeitos da NLED na propagação da radiação 54

4.1 Solução geral para Buracos Negros no contexto de uma NLED . . . . . . . 55

4.2 Métrica Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Influência da NLED na propagação da radiação . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3.1 Redshift Geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.2 Desvio Geodésico de um raio luminoso . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Conclusões 77

Apêndices 80

A Obtenção das equações de campo no contexto NLED 80

B Correções lineares ao campo elétrico 84

C Aproximações usadas no estudo do desvio geodésico 86

Referências bibliográficas 97

viii

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Apesar de amplamente empregadas, as equações de Maxwell possuem propos-

tas de generalizações desde que foram estabelecidas, e as motivações para isto são di-

versas. Uma primeira motivação é a possível existência de modos massivos em baixas

energias [1] ou em altas energias [2, 3]. Um segundo aspecto que influencia no uso de ge-

neralizações das equações de Maxwell, é a afirmação dada pela Teoria Quântica de Cam-

pos, que partículas como um próton possuem um campo de matéria associado, inclusive

no vácuo, correspondendo a flutuações (criação e aniquilação) de pares de pósitrons e

elétrons. Isto faz com que momentaneamente pósitrons e o elétron se atraiam e o vácuo

fique polarizado [4]. Para uma análise clássica deste fenômeno, extensões ao eletromag-

netismo de Maxwell são úteis [5, 6]. Além disso, temos a descrição do eletromagnetismo

no contexto de teorias de supercordas [7, 8, 9, 10, 11].

Dentre as generalizações da teoria de Maxwell, há um conjunto delas conhecido

como eletrodinâmica não linear (Non-linear Electrodynamics - NLED) que é caracteri-

zada pela presença de equações de campo não lineares. Exemplos de NLEDs são a teoria

de Born-Infeld [12, 13, 14, 15] e a eletrodinâmica de Euler-Heisenberg [5]. A primeira

foi proposta para limitar o valor máximo do campo elétrico de uma carga pontual [16],

enquanto que a última indica uma ação efetiva de um loop na QED, como veremos [17].

Desde a década de 1980, várias aplicações das NLEDs foram propostas no con-

1

Capítulo 1. Introdução 2

texto da gravitação [18, 19, 20, 21, 22, 23] e no âmbito da cosmologia [24, 25, 26, 27, 28,

29, 30]. Portanto, isto nos motiva a questionar como a não linearidade das equações de

campo afetam aspectos específicos da gravitação, como o estudo de buracos negros e

objetos compactos.

Sabemos que a solução exterior em Maxwell para um buraco negro eletrica-

mente carregado, ou para um objeto compacto com simetria esférica com carga elé-

trica é a solução de Reissner-Nordström (RN). Porém, se é possível generalizar a te-

oria de Maxwell, espera-se que isto afete de alguma maneira a solução RN. Diversas

pesquisas foram realizadas nesse sentido [31, 32, 33, 34, 35, 36, 37]. Outras ainda es-

tudaram propriedades como estabilidade e termodinâmica de buracos negros, consi-

derando as generalizações das soluções de Reissner-Nordström com o uso de NLEDs

[38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47]. Outro aspecto particular dentro da análise de bu-

racos negros, já abordada no contexto NLED, é o movimento geodésico, analisado na

eletrodinâmica de Born-Infeld em [48] e suas referências. Porém, na imensa maioria dos

artigos encontrados na literatura (incluindo todos citados anteriormente), a influência

direta do campo elétrico de fundo sobre a propagação da radiação é ignorada.

Na década de 1970 foi estabelecido que a auto interação presente nas NLEDs,

modifica a relação de dispersão da propagação de um fóton em uma região com um

campo eletromagnético de fundo [49, 50]. Esta modificação pode ser mapeada em uma

estrutura conhecida como métrica efetiva [50, 51, 52, 53, 54, 55], sendo este processo enten-

dido como uma geometrização da interação eletromagnética.

Com base nisso, este trabalho tem por objetivo analisar como uma NLED afeta a

propagação da radiação em torno de objetos compactos carregados. Mas, para que a auto

interação entre a radiação e o campo elétrico de fundo fosse incluída, adotamos o forma-

lismo da geometria efetiva em espaços-tempo curvos utilizando para tanto a prescrição

do acoplamento mínimo.

Afim de uma melhor compreensão dos efeitos da NLED sobre o movimento de

fótons iniciamos no capítulo 2 uma revisão bibliográfica a respeito da eletrodinâmica de

Maxwell em sua forma vetorial e tensorial, realizando uma generalização na qual justifi-

Capítulo 1. Introdução 3

camos a existência das NLEDs. Ainda neste capítulo, apresentamos como a propagação

de radiação é afetada por um campo eletromagnético de fundo e apresentamos o conceito

de métrica efetiva.

Posteriormente no capítulo 3, uma revisão bibliográfica sobre buracos negros es-

féricos é realizada. Neste caso, abordamos a obtenção da solução de Schwarzschild, sua

extensão para a existência de carga, ou seja, a solução de Reissner-Nordström, e por fim,

analisamos como o movimento de partículas e radiação se dá em torno destes objetos.

Verificamos também a condição para a existência de horizontes de eventos e singulari-

dades através de diagramas que explicam como estas regiões afetam o movimento de

partículas.

No capítulo 4, analisamos a influência das NLEDs no contexto de buracos negros

e objetos compactos carregados, com uma especial ênfase ao papel da métrica efetiva.

Em um primeiro momento averiguamos se a geometrização da interação eletromagné-

tica produz horizontes efetivos sentidos pela radiação. Em seguida, considerando que as

não linearidades provêm de uma Lagrangeana com pequenas correções a Maxwell, ana-

lisamos o redshift geométrico e o desvio de luz separando os efeitos de espaço-tempo

(gravitacionais) e de métrica efetiva (auto interação eletromagnética). Ainda neste ca-

pítulo, estimamos a influência das não linearidades no contexto da eletrodinâmica de

Euler-Heisenberg. Os resultados aqui apresentados foram publicados em [56].

Por fim, apresentamos as considerações finais.

CAPÍTULO 2

ELETRODINÂMICA NÃO LINEAR

2.1 Eletromagnetismo de Maxwell

Em meados do século XIX, dois importantes conceitos para o eletromagnetismo atual

foram introduzidos respectivamente por Michael Faraday e Thomson: linhas de força e

campo [57]. Faraday associou os dois conceitos explicando que as interações elétrica e

magnética não ocorriam à distância mas sim de forma intermediada: cargas elétricas por

exemplo, possuem em torno de si uma região (campo), que transmite a interação para

outras cargas nela inseridas. Estes campos, poderiam ser representados por linhas de

força, que indicavam os aspectos vetoriais das interações [58]. Já a dinâmica dos campos

é dada por um conjunto de quatro equações, que em conjunto formam o eletromagne-

tismo de Maxwell. São elas [59, 60]:

−→∇ ·−→E (t,−→r ) = 4πκρ (t,−→r ) , (2.1)

−→∇ ·−→B (t,−→r ) = 0, (2.2)

−→∇ ×

−→E (t,−→r ) = −α ∂

∂t

−→B (t,−→r ) , (2.3)

e−→∇ ×

−→B (t,−→r ) =

4πκ

αc2

−→J (t,−→r ) +

1

αc2

∂

∂t

−→E (t,−→r ) , (2.4)

4

Capítulo 2. Eletrodinâmica não linear 5

onde κ = 14πε0

e α = 1 no sistema internacional (SI). No sistema gaussiano κ = 1 e α = 1c.

Estas equações relacionam os campos vetoriais de Faraday−→E (t,−→r ) e

−→B (t,−→r ) às suas

fontes ρ (t,−→r ) e−→J (t,−→r ), que são, respectivamente, a distribuição de carga e corrente

elétrica.

As três primeiras equações acima são originadas dos trabalhos de Coulomb,

Oersted e Faraday, enquanto a última é creditada a Ampère e Maxwell. Este último

deu uma grande contribuição ao eletromagnetismo, ao corrigir a Lei circuital de Ampère

[61, 62], que até então relacionava o campo induzido apenas à corrente elétrica.

Além destas equações, outro princípio fundamental no eletromagnetismo é o de

conservação da carga elétrica. Este princípio afirma que a quantidade de carga que atra-

vessa uma superfície fechada em um determinado intervalo de tempo, deve ser igual a

carga diminuída no volume encerrado por esta superfície, no mesmo intervalo de tempo.

Isto pode ser visualizado através da equação da continuidade local:

−→∇ ·−→J (t,−→r ) = − ∂

∂tρ (t,−→r ) . (2.5)

No caso de uma corrente estacionária, quando cargas elétricas não se acumulam em cer-

tas regiões ao longo de um condutor, nitidamente ambos os membros de (2.5) são nulos,

e a lei circuital de Ampère anterior à época de Maxwell é válida1.

Por outro lado, em situações onde há acúmulo de cargas em certos pontos de um

condutor,−→∇·−→J 6= 0 invalidando a lei. Para solucionar isto, Maxwell afirmou que quando

uma corrente não estacionária passa por um circuito, há a formação de uma corrente

não genuína que ele denominou de corrente de deslocamento−→J d (t,−→r ) = ∂

∂t

−→E (t,−→r ),

definida como o campo elétrico variável no tempo, também responsável pela indução do

campo magnético−→B (t,−→r ).

Dessa forma, as equações ganham o formato (2.1 - 2.4) e a equação da continui-

dade permanece satisfeita.

1Aplica-se aqui a propriedade do rotacional−→∇ ·

(−→∇ ×

−→P)

= 0, qualquer que seja o vetor−→P .


A formulação do eletromagnetismo de Maxwell demonstrou grande acurácia

com resultados experimentais, e portanto forma uma teoria concisa. Seu desenvolvi-

mento tem se mostrado útil inclusive para o estudo de outras interações como a gravi-

tacional. Ambas as interações se enquadram no ramo da física conhecido como Teoria

Clássica de Campos (Classical Field Theory - CFT).

2.1.1 Formalismo Covariante

Mesmo bem sucedidas, as equações de Maxwell foram reescritas em formalismo di-

ferente do vetorial, afim de abrangerem novos conceitos físicos estabelecidos no século

XX. Sabemos que foi no começo deste século que Albert Einstein publicou sua teoria da

relatividade especial, baseada em dois postulados:

“1. As Leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não exis-

tem sistemas inerciais privilegiados. (Princípio da Relatividade).

2. A velocidade da luz tem no vácuo o mesmo valor para todos os sistemas

inerciais. (Princípio da constância da velocidade da luz).” [63].

Estes princípios mostraram-se eficazes na explicação de fenômenos mecânicos

que estão além dos limites de validade da Mecânica Newtoniana. Por isso, fez-se neces-

sário analisar como representar outras teorias neste novo formalismo, incluindo como

dito anteriormente, a teoria eletromagnética. De acordo com o primeiro postulado, a

forma das leis da física deve permanecer inalterada durante uma mudança de referen-

ciais inerciais, e consequentemente a forma das leis deve ser a mesma em todos esses

referenciais. A esta característica dá-se o nome de covariância relativística, algo que o

formalismo vetorial do eletromagnetismo não apresenta explicitamente.

Por outro lado, experiências mostram que as interações intermediadas por cam-

pos não ocorrem de forma instantânea [64], pois estas não possuem uma velocidade

infinita, mas sim uma velocidade c ponto a ponto, independentemente de sistemas iner-

ciais, como indica o segundo postulado transcrito acima. Desta forma, afirma-se que o

uso dos campos de Faraday, capazes de indicar como partículas podem influenciar umas


às outras, está em concordância com a relatividade especial, que dá aos campos uma re-

alidade física. Logo, é interessante reescrever o eletromagnetismo de Maxwell em uma

formulação explicitamente covariante para “adequá-lo” à relatividade2.

Nesta perspectiva, algumas definições básicas devem ser expressas na forma

quadrivetorial:

A) A quadricorrente3:

jµ =(ρ,−→j (t,−→r )

), (2.6)

com ρ sendo a densidade de carga e−→j correspondendo às três componentes da densi-

dade de corrente.

B) O quadripotencial Aµ, composto pelo potencial escalar elétrico como componente

temporal e o potencial vetor magnético como parte espacial:

Aµ =(φ (t,−→r ) ,

−→A (t,−→r )

). (2.7)

Antes de partirmos para a estrutura explicitamente covariante é importante de-

terminar as relações entre φ (t,−→r ) e−→A (t,−→r ) com

−→E (t,−→r ) e

−→B (t,−→r ). De (2.2) temos

que−→∇ ·−→B = 0⇒

−→B =

−→∇ ×

−→A.

Assim, substituindo este resultado em (2.3) obtemos

−→∇ ×

−→E = −

−→∇ × α∂

−→A

∂t⇒−→∇ ×

(−→E + α

∂−→A

∂t

)= 0⇒

−→E + α

∂−→A

∂t= −−→∇φ⇒

−→E = −

[−→∇φ+ α

∂−→A

∂t

],

2Na relatividade usamos notação indicial. Um ponto do espaço-tempo é descrito por xµ =(x0 ≡ ct, xi

),

com xi =(x1, x2, x3

), ou seja, índices gregos incluem a coordenada temporal e por isso indicam variação

de 0 a 3, enquanto que índices latinos indicam apenas coordenadas espaciais e por isso variam de 1 a 3.3A partir deste ponto, até o final da tese, adotaremos c = 1.


onde o sinal negativo para o gradiente de φ é mera convenção. Portanto, as relações

procuradas entre os potenciais e os campos no sistema gaussiano (com c = 1) [65, 66, 67,

68] são:

−→E (t,−→r ) = −

[−→∇φ (t,−→r ) +

∂

∂t

−→A (t,−→r )

], (2.8)

−→B (t,−→r ) =

−→∇ ×

−→A (t,−→r ) . (2.9)

Mas, no formalismo covariante as equações não devem possuir concomitante-

mente vetores e pseudo-vetores, deixando problemática a definição (2.9), pois apenas−→A (t ,−→r ) é um vetor genuíno. Para solucionar isto, transformam-se as componentes do

vetor campo magnético em um tensor antissimétrico,

Bi =1

2εijkBjk, (2.10)

onde εijk é o tensor de Levi-Civita [59].

Com esta definição, [59] nos lembra que podemos construir um tensor antissi-

métrico, F µν , de segunda ordem com seis componentes independentes, que englobam

toda a informação do campo eletromagnético:

F 0i = Ei,

F ij = −Bij,

ou matricialmente:

F µν =

0 E1 E2 E3

−E1 0 B3 −B2

−E2 −B3 0 B1

−E3 B2 −B1 0

. (2.11)

Seu dual por sua vez é:

F µν =1

2εµναβFαβ, (2.12)


onde εµναβ é o (pseudo) tensor totalmente antissimétrico de Levi-Civita. Este tensor, tal

qual a métrica ηµν do espaço-tempo plano, e F µν , são invariantes sob transformações de

Lorentz Λαµ, i.e.

ηµν = ΛαµΛβ

νηαβ,

(Fαβ)′ = ΛαµΛβ

νFµν ,

εµνρσ = ΛαµΛβ

νΛγρΛ

δσεαβγδ.

O tensor Fµν pode ser escrito em termos de Aµ. De fato, por (2.8), (2.9) e pela definição

(2.7) temos

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (2.13)

Com esta nova forma de representar os campos eletromagnéticos, é natural ques-

tionarmos como as equações de Maxwell são escritas no formalismo covariante. Uma

forma de obtê-las é através da formulação Lagrangeana do eletromagnetismo na forma

tensorial. Inicialmente, devido o aspecto contínuo dos campos, é interessante adotar

uma densidade Lagrangeana L como um funcional dos campos e suas derivadas, ou

seja, L (ψν (t,−→r ) , ∂µψν (t,−→r )). Nesse caso as equações de Euler-Lagrange são dadas por

∂µ

(∂L

∂ (∂µψν)

)− ∂L

∂µψν= 0. (2.14)

Seguindo raciocínio apresentado em [69] e [70], vamos supor que a Lagrangeana deva

ainda atender a certas condições ou características:

1. L deve ser invariante sob as transformações do grupo de Poincaré: A invariância do

grupo de Poincaré4 implica em equações de Euler-Lagrange covariantes sob estas

transformações.

2. L deve ser local: tendo em vista a sua dependência das coordenadas das partículas.

3. L deve depender somente de ψν e de suas primeiras derivadas ∂µψν , como citado

4Simetrias sob translações, rotações e “boosts” no espaço-tempo.


anteriormente: isto garante que as equações de campo são de segunda ordem.

Para obtenção da Lagrangeana do Eletromagnetismo clássico, ainda é necessário

estabelecer que:

4. A Lagrangeana deve ser invariante sob transformações de gauge do grupoU (1): de

fato uma mudança do tipo Aµ (t,−→r )→ Aµ (t,−→r ) + ∂µΛ (t,−→r ), ou δAµ = ∂µΛ (t,−→r ),

com Λ (t,−→r ) sendo uma função arbitrária, deixa o tensor eletromagnético Fµν inva-

riante. Isto nos mostra que não há um único potencial que satisfaz as equações de

Euler-Lagrange.

5. “L deve depender apenas de formas quadráticas deAµ e de derivadas da mesma”[70]:

isto é importante para que obtenhamos equações de campo lineares.

Através dessas condições, podemos afirmar que:

L = L (A, ∂A) .

E em virtude da quarta condição estabelecemos:

δL =∂L

∂AµδAµ +

∂L

∂ (∂νAµ)δ (∂νAµ) = 0,

o que nos permite escrever:∂L

∂Aµ= 0

onde vemos que L não é dependente de A, mas sim de ∂A. E ainda:

∂L

∂ (∂νAµ)+

∂L

∂ (∂µAν)= 0,

mostrando, por sua vez, que a relação entre L e ∂A é antissimétrica. Isto nos leva a

concluir que L = L (Fµν), com Fµν = ∂µAν − ∂νAµ.


Já a última condição nos permite afirmar que L ∼ FµνFµν , ou

L = −1

4FµνF

µν , (2.15)

como deduzido em [70], segundo o qual o fator −1/4 é escolhido para evitar a dupla

contagem de índices. Ao considerarmos a fonte dos campos, a Lagrangeana inclui a

interação entre campo e matéria, sendo escrita como:

L = −1

4F µνFµν + 4πjµAµ.

O resultado acima, quando aplicado nas equações de Euler-Lagrange (2.14), nos levam à

equação inomogênea

∂νFµν = 4πjµ, (2.16)

que corresponde à versão quadridimensional de (2.1) e (2.4).

As outras duas equações de Maxwell (2.2) e (2.3) podem ser resumidas na se-

guinte forma tensorial

∂λFµν + ∂νFλµ + ∂µFνλ = 0,

denominadas de identidades de Bianchi, que em termos do tensor dual (2.12) é reescrita

como

∂νFµν = 0. (2.17)

Além da Lagrangeana da eletrodinâmica relativística, contrações no tensor (2.11)

e seu dual (2.12) formam duas quantidades invariantes de Lorentz, importantes em nosso

trabalho:

F ≡ −1

4FµνF

µν =1

2

(~E2 − ~B2

),

G ≡ −1

4FµνF

µν = ~E · ~B, (2.18)

onde o segundo invariante é um pseudo-escalar. Além destas, duas propriedades relaci-


onando estes tensores são [52]:

F µνFνα − F µνFνα = −2Fδµα, (2.19)

F µνFνα = Gδµα. (2.20)

Observe que da primeira definição de (2.18), a Lagrageana (2.15) é reescrita como:

L = LM = F. (2.21)

denominada Lagrangena de Maxwell.

2.2 Extensões da eletrodinâmica de Maxwell

Apesar do sucesso experimental, a teoria eletromagnética de Maxwell tem aspectos teó-

ricos que ainda devem ser explicados. Vejamos inicialmente o caso da Lei de Coulomb:

podemos aplicá-la ao núcleo atômico, juntamente à equação de Dirac para a função de

onda de um elétron. Os resultados experimentais tem alta precisão, mas podemos nos

questionar se extensões do eletromagnetismo de Maxwell implicam em resultados simi-

lares ou até mais precisos [16].

Outro questionamento refere-se a qual o modelo mais preciso para representação

dos elétrons. Já no começo do século XX havia mais de um modelo, embora em todos

eles, o elétron possuísse massa e carga. Uma forma de representá-lo era como uma pe-

quena esfera, e nesse caso necessitava-se explicar o problema da estabilidade do elétron,

pois cada parte dele deveria exercer uma repulsão coulombiana infinita sobre as demais,

expandindo-o indefinidamente devido a auto-interação [16]. Além disso, segundo [64],

a própria teoria da relatividade não permite a existência de corpos rígidos, pois estes

devem satisfazer as transformações de Lorentz, implicando em mudanças nas dimen-

sões do corpo na direção da velocidade, e consequentemente o elétron não deveria ser

modelado como uma esfera carregada, mas sim como um ponto.

Mais uma indagação é se a teoria de Maxwell seria um caso particular de uma


teoria mais geral, dentro de um certo limite de validade. Pesquisas são realizadas para

testar a validade das leis clássicas corriqueiramente, submetendo-as à verificações ex-

perimentais, e a Lei de Coulomb, por exemplo, tem validade comprovada [60] para

10−15cm < r < 109cm. Isto nos leva a acreditar na possibilidade de extensão do ele-

tromagnetismo fora deste intervalo.

A própria quantização do eletromagnetismo (Quantum Electrodynamics - QED),

corresponde a uma forma de extensão do mesmo, com Lagrangeanas se dispondo a resol-

ver uma ou mais inconsistências da teoria clássica. Na verdade, esta é a maior motivação

para trabalharmos com variações da eletrodinâmica de Maxwell: a QED é atualmente a

teoria mais precisa para o eletromagnetismo e entre os seus grandes sucessos experimen-

tais estão os efeitos Casimir e a polarização do vácuo.

De acordo com a Teoria Quântica de Campos (Quantum Field Theory - QFT), o

campo eletromagnético nunca apresenta energia nula. Ele pode ser representado como

uma distribuição de osciladores harmônicos quânticos, que em caso extremo possuem

uma energia mínima, ao passo que geram ou sofrem perturbações [71]. Um exemplo

ocorre com um elétron no vácuo em movimento acelerado. Ele gera em torno de si um

campo eletromagnético (denominado campo de fundo). Este campo é capaz de perturbar

a carga de uma partícula carregada que nele oscile.

Para QFT, esta comparação entre um campo e osciladores harmônicos quânticos

indica que podemos associar a cada partícula elementar um campo de matéria e vice-

versa. No caso eletromagnético, a flutuação do campo gerado pelas cargas é na verdade

a produção e aniquilação de um conjunto de fótons, com tempo de vida tão curto5, que

não são aparentes em experimentos clássicos, onde percebemos apenas a força eletro-

magnética que transmitem [4]. Assim, a nível quântico, dizemos que partículas carrega-

das interagem entre si “trocando” fótons umas com as outras, algo não “observado” a

níveis clássicos [72]. Devido a rápida criação e aniquilação, partículas como estes fótons

são denominadas virtuais.

Ainda de acordo com a QFT, mesmo retirando todos os campos, restando apenas

5O intervalo de tempo é dado pelo princípio da incerteza ∆t.∆E ∼= .


uma região com vácuo, ainda assim a energia nesse local não seria nula. Quanticamente,

o vácuo não é vazio, é equiparado a um meio, porém de baixa energia sobre o qual

podemos acrescentar escalas de energia maiores [73].

Logo, também representamos o vácuo como um conjunto de osciladores harmô-

nicos quânticos, cuja energia é igual à soma da energia de ponto zero para cada frequên-

cia possível de oscilação resultando em E =∑

i ωi/2 → ∞. Mas, mesmo infinita, ela é

desprovida de significado físico no regime clássico e pode ser desprezada. Porém, uma

exceção ocorre se confinarmos parte do vácuo em um sistema formado por duas placas

condutoras descarregadas, distantes r entre si [71].

Ao tomarmos a diferença entre as energias dos vácuos livre e confinado. Nesta

situação, tem-se uma energia diferente de zero, dado que o vácuo não confinado apre-

senta mais partículas virtuais, e como resultado, uma força de atração entre as placas

torna-se observável. Este fenômeno é denominado efeito Casimir e a força resultante é

dada por:

F (r) = − π2

240

cr4S, (2.22)

onde r é a separação entre as placas e S a área das placas [74], [75], [76].

Outra situação citada na qual visualizamos como o vácuo é importante no estudo

de fenômenos quânticos, é a sua polarização. Consideremos uma carga fonte negativa

que gera um campo eletromagnético de fundo em uma certa região do vácuo. O campo

de matéria associado ao elétron possui flutuações que criam e aniquilam pares de elé-

trons e pósitrons. A interação coulombiana atrativa entre os pósitrons e a carga fonte,

ocasiona uma aproximação entre eles que polariza o vácuo ao mesmo tempo que reduz a

intensidade da carga [4]. Este efeito ocorre ao tentarmos medir a carga de um elétron no

vácuo, porém, é perceptível apenas para distâncias da ordem do comprimento de onda

Compton. A medida que nos distanciamos a carga passa a ter o valor fundamental e.

Mas, mesmo que consideremos a fonte do campo muito distante da região do vácuo a

ser estudada, ainda assim teríamos o efeito de polarização, tendo em vista que o campo

de elétrons se sobrepõe ao vácuo.


Isto indica uma interação entre o elétron e seu próprio campo, ou mais preci-

samente, uma auto-interação do campo eletromagnético, que pode afetar a carga e sua

dinâmica, algo que é desprezado na eletrodinâmica clássica de Maxwell.

Operacionalmente, uma forma de analisar esta perturbação no campo clássico,

produzido a partir da adição de escalas de energia ao vácuo, é usando o formalismo la-

grangeano, admitindo que isto corresponde a correções à Lagrangeana de Maxwell. Em

outras palavras, usamos um formalismo clássico para abordar efeitos quânticos. E assim

como na CFT as equações de movimento são obtidas através de (2.14), também podemos

usar esta mesma equação para obter as equações de movimento para Lagrangeanas que

contenham correções a Maxwell na QED.

Esses argumentos físicos são suficientes para nos impelir a analisar casos em que

a eletrodinâmica seja uma extensão à de Maxwell. Assim, retomando como base as con-

dições 3 a 5 para obtenção de (2.21), estender esta teoria é violar uma delas. Se a quarta

condição for violada, podemos ter um termo de massa. Lembremos que experiências in-

dicam que se a massa do fóton não for nula, seu valor deve ser mγ ≤ 2× 10−27GeV [77].

Logo, é plausível considerar a possibilidade, e nesse sentido, uma eletrodinâmica que a

contém é a de Proca, com Lagrangeana [1]:

LProca = −1

4FµνF

µν +1

2m2AµA

µ. (2.23)

Por outro lado, violando a terceira condição, é possível considerar Lagrangea-

nas que dependam de derivadas segundas do campo fundamental. Neste caso, temos a

Lagrangeana de Podolsky [78, 79]:

LPodolsky = −1

4FµνF

µν +α

2∂λFνλ∂µF

νµ, (2.24)

que busca, por exemplo, corrigir o problema de auto-interação da carga na eletrodinâ-

mica de Maxwell [80], decorrente classicamente do comportamento r−1 da carga pontual.

Por fim, se violarmos a última condição, teremos equações de movimento não


lineares, obtidas a partir de um conjunto possível de Lagrangeanas com correções não

lineares a (2.21), constituindo as chamadas eletrodinâmicas não lineares (NLED) [52],

[70]. Este grupo de Lagrangeanas é uma extensão ao caso clássico capaz de explicar os

efeitos de polarização do vácuo, eliminar a divergência de energia do elétron e considerar

a auto-interação do campo eletromagnético.

Dentre as diversas propostas de NLED as duas mais conhecidas são as eletrodi-

nâmicas de Euler-Heisenberg [5, 17] e de Born-Infeld [15, 81].

A eletrodinâmica de Euler-Heisenberg (EH) surge como uma teoria efetiva da

QED no contexto da polarização do vácuo.

De fato, desde os anos 30 sabe-se que loops de elétrons virtuais induzem a um

auto-acoplamento do campo eletromagnético. Para escalas de energia abaixo da massa

do elétron e para um campo eletromagnético de variação lenta, a auto-interação pode

ser representada pela teoria efetiva não linear de Euler-Heisenberg [17]. A Lagrangeana

efetiva a 1-loop de EH é dada por [6, 73]

LEH = F +e2ab

8π2

∞∫0

ds

se−im

2s

[cot (eas) coth (ebs)− 1

ab

(1

e2− 2

3F

)], (2.25)

onde

a2 =√F 2 +G2 − F e b2 =

√F 2 +G2 + F,

m e e representam a massa e a carga do elétron respectivamente. Expandindo (2.25) em

termos dos invariantes e integrando em s temos

LEH = F +8α2

45m4F 2 +

14α2

45m4G2 +

28πα3

315m8F 3 +

25 × 13πα3

315m8FG2 + .... (2.26)

Por outro lado, a eletrodinâmica de Born-Infeld (BI) foi formulada por Born e In-

feld nos anos 30, com o intuito de eliminar classicamente a divergência da carga pontual.


Sua Lagrangeana é dada por

LBI = b2

[1−

√1− 2F

b2− G2

b4

], (2.27)

onde b2 é um parâmetro livre com dimensão de densidade de energia. Mais recentemente

(final dos anos 90), o interesse na NLED de BI foi renovado, pois é ela que, no contexto

de cordas, descreve a eletrodinâmica em uma D−brana [82].

2.2.1 Lagrangeana geral para NLED

Dadas as razões para estendermos a eletrodinâmica de Maxwell, em especial, com o

uso das NLEDs. Para que lidemos com esta teoria, precisamos de uma Lagrangeana

mais geral que a de Maxwell, recaindo nela para correções não lineares desprezíveis.

Tomando como base (2.26), vamos admitir que L deve depender dos dois invariantes

principais do eletromagnetismo (2.18). Dessa forma:

L = L (F,G) . (2.28)

Uma característica dessa Lagrangeana é sua variação por transformação de paridade,

pois em uma mudança geral de coordenadas, o pseudo-tensor Fµν obedece à relação:

Fµν → det

∣∣∣∣ ∂xα∂x′β

∣∣∣∣ F ′µν ,na qual G é uma densidade escalar

G→ det

∣∣∣∣ ∂xα∂x′β

∣∣∣∣G′.Em uma transformação de paridade P , det

∣∣ ∂xα∂x′β

∣∣ = −1, ou seja, G→ −G′ [70].

Apesar de no processo a inversão temporal ser violada, em conjunto, as duas

inversões não o são. Isto, aliado ao fato de que alguns sistemas físicos, como a intera-

ção fraca no modelo padrão, violarem a paridade, permitem o uso da Lagrangeana do


tipo L = L (F,G). Em casos onde se deseja manter a invariância por transformação de

paridade, podemos usar L = L (F,G2).

2.2.2 Equação de movimento para uma NLED

As equações de movimento para a NLED no espaço-tempo plano, são obtidas aplicando

a Lagrangeana L = L (F,G) + 4πjµAµ nas equações de Euler-Lagrange (2.14), resultando

em [52]:

∂ν

(LFF

µν + LGFµν)

= 4πjµ,

onde LF ≡ ∂L∂F

e LG ≡ ∂L∂G

.

O par de equações de uma NLED é [70]

∂ν

(LFF

µν + LGFµν)

= 4πjµ,

∂βFµν + ∂νFβµ + ∂µFνβ = 0. (2.29)

Se LF = 1 e LG = 0, recaímos nas equações de Maxwell.

Assim como na eletrodinâmica de Maxwell, as identidades de Bianchi podem

ser resumidas como (2.17).

Para que as equações fiquem na forma mais próxima possível do par de equações

de Maxwell, é comum definirmos um novo tensor:

Hµν ≡ LFFµν + LGF

µν . (2.30)

e portanto, temos:

∂νHµν = 4πjµ, (2.31)

∂νFµν = 0

De acordo com [70], poderíamos a princípio, acreditar que resolvendo (2.31) ob-


teríamos Hµν , e consequentemente F µν por uma inversão em (2.30)6. Mas, a identidade

∂νFµν = 0 deve ser satisfeita, implicando portanto em um vínculo para F µν .

Um exemplo da importância deste vínculo, está em uma Lagrangeana para a

eletrostática que possua a forma [70]

L = F + α2F 2,

cujas equações de campo (2.29) são:

~∇ · ~HE = 4πρ, (2.32)

~∇× ~E = 0,

e

~HE =(

1 + α2 ~E2)~E. (2.33)

Logo, tomando o rotacional de (2.33) temos

~∇× ~HE = ~∇×[(

1 + α2 ~E2)~E]

=(

1 + α2 ~E2)~∇× ~E + α2 ~E × ~∇

(~E2)⇒

~∇× ~HE = α2 ~E × ~∇(~E2). (2.34)

Assim, (2.34) deve ser satisfeita, o que geralmente não é trivial.

Por outro lado, “nos casos mais simples onde ~E depende de uma única variável,

digamos r, a condição (2.34) implica em

~∇× ~HE = 0

pois ~E2 só depende de r e ~∇(~E2)

= f (r) r. Assim ~E × ~∇(~E2)

= g (r) r × f (r) r = 0”

6L pode implicar em mais de um resultado para inversão. Um exemplo de inversão pode ser visto, paraL independente de G, tal que:

Hµν ≡ LFFµν ⇒ HµνHµν = H = −4L2FF

Conhecendo H , invertemos L2F (F )F = −H/4 e obtemos F .


[70]. Nesta situação, as equações da eletrostática de NLED se reduzem a

~∇ · ~HE = 4πρ,

~∇× ~HE = 0,

e portanto podemos utilizar os métodos usuais do eletromagnetismo de Maxwell para

determinar ~HE e em seguida usar (2.33) para obter ~E. Isto ocorre nos casos da carga

pontual, fio infinito, plano com densidade superficial de carga constante e etc. Agora

quando temos mais de uma variável envolvida (e.g r e θ) e/ou mais de uma direção ( e.g

r e θ) a equação (2.34) não é satisfeita de forma óbvia, e a obtenção de soluções deixa de

ser trivial.

2.3 Propagação de ondas

Vimos que a interação eletromagnética entre cargas é intermediada por seus campos.

Em situações como o movimento de uma dessas cargas, seu campo eletromagnético so-

fre modificações que não são sentidas instantaneamente pelas demais cargas, como con-

sequência da velocidade finita de propagação da interação. Sabemos que a perturbação

em uma carga gera uma radiação capaz de se propagar no espaço-tempo, inclusive no

vácuo, com velocidade c, nos fazendo questionar como esta propagação pode ser repre-

sentada no contexto de uma teoria de campos.

Analisemos a seguir a relação que rege a propagação desse campo na eletrodinâ-

mica de Maxwell e em NLED.


2.3.1 Eletrodinâmica de Maxwell

As equações de Maxwell (2.1-2.4) preveem que oscilações nas fontes podem gerar ondas

eletromagnéticas que se propagam no vácuo segundo as equações:

−→∇2−→E − 1

c2

∂2−→E∂t2

= 0,

−→∇2−→B − 1

c2

∂2−→B∂t2

= 0.

Por sua vez, o formalismo covariante regido por (2.16) e (2.17), estabelece que estas mes-

mas ondas satisfazem a equação

ηαβ∂α∂βFµν = 0. (2.35)

onde usamos a métrica do espaço-tempo plano.

Admitamos que uma carga fonte gerou um campo eletromagnético que preenche

uma certa região do vácuo. E que nesse local, inserimos uma outra carga que perturba

o campo original, (campo de fundo). Assim, o campo eletromagnético total fµν pode ser

visto como a soma entre o campo de fundo F µν e sua perturbação φµν .

fµν = F µν + φµν (2.36)

Com o propósito de entender a influência da perturbação sobre o campo total, e

posteriormente sobre sua propagação, estabeleceremos simplificações para essa situação.

Primeiramente, que F µν é quase constante, ou que varia lentamente, se comparado a φµν ,

isto é, ∂λF µν << ∂λφµν . Além disto, que a perturbação é uma onda do tipo plana φµν =

εµνe−iΣ(x), com amplitude |φµν | = εµν , de módulo constante, e fase Σ (x) = xαkα. Isto não

permite uma propagação em direção aleatória, que deve ser estabelecida pelo vetor de

onda kµ, ortogonal ao hiper-plano da frente de onda. Por conta disto, este vetor também

é fundamental quando buscamos representar por linhas o formalismo ondulatório, algo

equivalente a tomar o limite geométrico da óptica ondulatória [70].


O novo campo eletromagnético total deve satisfazer as equações de Maxwell

(2.16, 2.17) para o vácuo. Logo,

∂νfµν = 0⇒ ∂νF

µν + ∂νφµν = 0⇒ −iφµν∂νΣ ≈ 0⇒ kνε

µν = 0.

Este resultado está de acordo com o fato da perturbação ser plana, já que há uma

ortogonalidade entre a amplitude da onda plana e o vetor de onda kµ. Outro aspecto

relevante que se conclui a partir das equações de Maxwell, é a condição ~Eγ · ~k = 0 onde

Eιγ = ε0i é a i−ésima componente do campo elétrico da onda [70].

Aplicando o tensor (2.36) na equação de propagação da radiação descrito por

(2.35), e aplicando a aproximação ∂λF µν << ∂λφµν , temos:

ηαβkαkβ = 0, (2.37)

conhecida como relação de dispersão de Maxwell.

Esta equação possui uma interpretação geométrica inerente, pois estabelece como

as frentes de onda, caracterizadas por kµ, se propagam a partir de um certo ponto. Ou

seja, o formalismo covariante é capaz de demonstrar como a radiação propaga-se no

espaço-tempo. Porém, ao lidarmos com NLEDs nas quais a eletrodinâmica de Maxwell

é estendida de forma não linear, necessitamos analisar como isto afeta a propagação da

radiação.

2.3.2 Eletrodinâmica não linear

De um modo geral, por serem teorias não lineares, as NLEDs apresentam o fenômeno

da auto-interação. Porém, se considerarmos o campo completo fµν = F µν + φµν onde

φµν é uma pequena perturbação (tipo onda) que se propaga no campo de fundo F µν , a

auto-interação é entendível como resultado de um "campo externo F µν"agindo sobre φµν

[49, 50, 70], onde desconsideramos a auto-interação da própria perturbação.


Partimos da equação de movimento (2.31) no vácuo de uma NLED genérica

∂νHµν = ∂ν

(LFF

µν + LGFµν)

= 0. (2.38)

Substituiremos o tensor eletromagnético F µν por fµν = F µν + φµν formado pelo

campo forte de fundo e pela perturbação oscilatória. Como no caso anterior, adotaremos

uma onda do tipo plana

φαβ = εαβe−ik·x,

onde εαβ é a amplitude constante da onda e kµ o seu quadrivetor. Como φαβ deve satis-

fazer a identidade de Bianchi, podemos escrevê-lo como

εαβ = εαkβ − εβkα.

Esta equação tem a mesma forma da expansão de campos nas suas direções possí-

veis de oscilação durante a propagação da radiação eletromagnética, mas em uma versão

quadridimensional, e portanto εα representa o quadrivetor polarização.

Para obtenção da relação de dispersão da NLED, apresentamos resumidamente

dedução realizada em [83]. Faz-se necessário recordar que φµν é uma pequena pertur-

bação em comparação a F µν . Expande-se Hµν(fλγ)

= Hµν(F λγ + φλγ

)em torno de

Hµν (F µν). Segue:

Hµν = Hµν |f=F +∂Hµν

∂fαβ

∣∣∣∣f=F

φαβ +O(φ2).

Após isso, aplicando-a em (2.38) temos

∂Hµν

∂fαβ

∣∣∣∣f=F

∂νφαβ = 0, (2.39)

onde usamos mais uma vez o fato de que F µν varia muito lentamente quando comparado

a φµν .

O próximo passo é reescrever (2.39) em termos de εα. A derivada atuando em


φαβ resulta em,

∂νφαβ = −ikν

(εαkβ − εβkα

)e−ik·x.

Por outro lado, a derivada de Hµν é escrita como

∂Hµν

∂fαβ

∣∣∣∣f=F

= −1

2

[LFFFαβF

µν + LFG

(FαβF

µν + FαβFµν)− 2LF δ

µαδ

νβ + LGGFαβF

µν − LGεµναβ]

Substituindo estes resultados em (2.39) obtemos

[LFFFαβF

µνkµ + LFG

(FαβF

µν + FαβFµν)kµ + LF

(δµβδ

να − δµαδνβ

)kµ

+LGGFαβFµνkµ − LGεµναβkµ

]kαεβ = 0.

Definindo

aν ≡ F µνkµ e aν ≡ F µνkµ,

e ainda levando em conta que εµναβkµkα = 0 obtemos o sistema

Mµνεµ = 0, (2.40)

onde,

Mµν = LF(k2ηµν − kµkν

)− LFFaµaν − LFG (aµaν + aµaν)− LGGaµaν .

Ainda de acordo com [83], o próximo passo é escrever o quadrivetor εµ em ter-

mos da base B = kµ, aµ, aµ, bµ ≡ Fσµaσ :

εµ = αaµ + βaµ + γkµ + δbµ.

E assim (2.40) é escrito como,

[LF(k2ηµν − kµkν

)− LFFaµaν − LFG (aµaν + aµaν)− LGGaµaν

] [αaµ + βaµ + γkµ + δbµ

]= 0.

(2.41)


Se faz necessário estabelecer um conjunto de contrações:

kµaµ = kµFλµkλ = kµFµλk

λ = −kµFλµkλ = 0,

kµaµ = kµFλµkλ = kµFµλk

λ = −kµFλµkλ = 0,

aµbµ = F σµF τλFλµkτkσ = F τµF σλFλµkσkτ = −F σµF τλFλµkσkτ = 0,

aµbµ = 0.

E usando as identidades (2.19) e (2.20) temos também que

aµaµ = a2 + 2Fk2,

aµaµ = −Gk2,

kµbµ = Gk2,

onde a2 = aµaµ e k2 = kµkµ. Assim, (2.41) é escrito como

LF(αk2aν + βk2aν + δk2bν − δGk2kν

)− LFF

(αa2 − βGk2

)aν

−LFG[−αGk2

µaν + β

(a2 + 2Fk2

)aν + αa2aν − βGk2aν

]− LGG

[−αGk2 + β

(a2 + 2Fk2

)]aν = 0.

que em termos dos vetores da base resulta em

[αLFk

2 − LFF(αa2 − βGk2

)+ αLFGGk

2 − βLFG(a2 + 2Fk2

)]aν+

+[βLFk

2 − αLFGa2 + βLFGGk2 + αLGGGk

2 − βLGG(a2 + 2Fk2

)]aν

−[δGk2

]kν +

[δk2]bν = 0.

Para que este resultado seja verdadeiro, suas componentes devem isoladamente

ser zero: γ não tem valor definido, δ deve ser nulo e as primeiras equações reescritas em

termos de um sistema linear homogêneo nos fornecem

LFk2 − LFFa2 + LFGGk

2 LFFGk2 − γLFG

LGGGk2 − LFGa2 LFk

2 + LFGGk2 − γLGG

α

β

=

0

0

,


onde γ = a2 + 2Fk2.

Soluções do tipo α = β = 0 conduzem a perturbações nulas (φαβ = 0), o que não

nos interessa. Soluções não triviais, por sua vez, são obtidas somente se o determinante

da matriz acima for nulo, ou seja,

(LFk

2 − LFFa2 + LFGGk2) (LFk

2 + LFGGk2 − LGG

(a2 + 2Fk2

))−

−(LFFGk

2 − LFG(a2 + 2Fk2

)) (LGGGk

2 − LFGa2)

= 0. (2.42)

Esta equação pode ser escrita como uma função biquadrática em k2,

[L2F + 2LF (LFGG− LGGF )−G2

(LFFLGG − L2

FG

)]k4 +

+[2F(LFFLGG − L2

FG

)− LF (LFF + LGG)

]k2 +

[LFFLGG − L2

FG

]a4 = 0. (2.43)

cuja solução é

k2 = a2 −LF (LGG + LFF ) + 2F (LFFLGG − L2FG)±

√δ

2 [G2 (LFFLGG − L2FG) + 2LF (LGGF − LFGG)− L2

F ],

com

δ =[2F(LFFLGG − L2

FG

)+ LF (LGG − LFF )

]2+[2G(LFFLGG − L2

FG

)− 2LFLFG

]2.

(2.44)

Definindo

γ± =−LF (LGG + LFF ) + 2F (LFFLGG − L2

FG)±√δ

2 [G2 (LFFLGG − L2FG) + 2LF (LGGF − LFGG)− L2

F ], (2.45)

temos:

k2 − γ±a2 = 0.


[83] por fim apresenta esta relação em termo das componentes,

kµkµ − γ±aµaµ = 0,[

ηµν + γ±FµγF

γν]kµkν = 0,

gµν± kµkν = 0,

que é uma relação de dispersão, com

gµν± ≡ ηµν + γ±FµγF

γν , (2.46)

onde gµν± é conhecido como métrica efetiva [51, 55].

Diferentemente do caso de Maxwell, temos aqui uma relação de dispersão sen-

sível a perturbações no espaço-tempo plano, causadas pelo campo eletromagnético de

fundo. Ou seja, enquanto uma onda se propaga em uma região do vácuo com campo

eletromagnético, este afeta a propagação da onda devido à sua auto-interação.

Observe que a definição de gµν± nos permite utilizar toda a estrutura geométrica

desenvolvida na Relatividade Geral (RG) para descrever a propagação de radiação. Por

exemplo, na RG sabemos calcular o efeito de red (blue)shift gravitacional que uma onda

eletromagnética sofre ao se propagar em um campo gravitacional. Assim, utilizando o

mesmo ferramental de RG podemos calcular o red (blue)shift geométrico gerado por um

campo eletromagnético de fundo.

É importante ressaltar que temos na verdade duas relações de dispersão con-

tendo gµν+ e gµν− respectivamente, e que são responsáveis pelo fenômeno de birrefringência.

Este efeito indica que é possível que cada direção do campo elétrico, durante a propa-

gação, mova-se com uma velocidade diferente. E que estas velocidades estão associadas

às relações de dispersão vistas acima. Por outro lado, podemos relacionar a direção do

campo elétrico à polarização da radiação, como citado anteriormente [70].

Por exemplo, se uma onda plana se propaga no vácuo, em que não consideramos

a presença de um campo de fundo, é natural que o campo elétrico possua uma única


direção constante ~Eγ , para uma polarização linear. Mas, espera-se que na presença de

um campo de fundo, e consequentemente, duas relações de dispersão, este campo seja

decomposto em dois componentes vetoriais ~E+γ e ~E−γ . Tais componentes são na verdade,

as amplitudes de cada onda que se propaga de acordo com cada uma das relações de

dispersão, gµν+ e gµν− , respectivamente [70].

Assim, fica claro a presença da birrefrigência no vácuo, o que “a princípio pode

parecer desvantajoso para uma teoria eletromagnética. Assim, é interessante verificar

que tipo de NLED evita a birrefringência” [70]. Uma condição suficiente para não ter-

mos birrefringência é δ = 0 (2.44) [55].

Uma aplicação interessante da métrica efetiva se dá no contexto da radiação de

um corpo negro na presença de um campo eletromagnético. Devido à relação de dis-

persão modificada (2.46) as propriedades termodinâmicas do gás de fótons se alteram

gerando uma densidade de energia dependente do campo eletromagnético de fundo i.e.

ρ = σ(~E, ~B

)(kT )4 [84]. No capítulo 4 trataremos de uma outra aplicação da métrica

efetiva, mas no âmbito de objetos astrofísicos carregados.

CAPÍTULO 3

BURACOS NEGROS

Segundo a teoria da Relatividade Geral de Einstein, publicada em 1915, o espaço-tempo

e a matéria nele imersa estão intimamente relacionados de forma que o segundo é capaz

de curvar o primeiro, afetando sua geometria, o que ocasiona a interação gravitacional

como conhecemos. Einstein expressou essa relação através da equação:

Gµν = 8πTµν (3.1)

onde Gµν é o tensor de Einstein, ligado à geometria do espaço-tempo, e Tµν é o tensor

energia-momento, associado à matéria. Note que estamos fazendo a constante gravita-

cional G = 1. Teoricamente, é possível afirmar que esta relação geometriza a interação

gravitacional, e a partir dela, novas interpretações geométricas devem ser feitas.

Frolov e Novikov [85] afirmam que “um buraco negro é uma região no espaço-

tempo em que o campo gravitacional é tão forte que impede até a luz de escapar para o

infinito”. Os estudos sobre buracos negros se desenvolveram a partir da teoria da gravi-

tação de Einstein, segundo a qual, objetos de massa M ao encolherem a um raio menor

que rg = 2M (raio gravitacional) geram buracos negros. Em 1916, Karl Schwarzschild

obteve a solução das equações de Einstein para o exterior de corpos com simetria esfé-

rica, que permitia a existência teórica desses objetos. Esta solução passou por extensões,

englobando objetos eletricamente carregados, com esta mesma simetria, e em rotação,

este último obtido por Kerr em 1963.

29

Capítulo 3. Buracos Negros 30

Buracos negros podem surgir a partir do colapso gravitacional de estrelas. Em

princípio, há um equilíbrio entre a pressão gravitacional voltada para o interior e o calor

gerado pela fusão nuclear. Com o tempo, à medida que a fusão diminui, a pressão gravi-

tacional aumenta e a estrela encolhe. Devido ao princípio de exclusão de Pauli, no qual

dois férmions não podem ter um mesmo estado, há uma pressão que impede o colapso

estelar. E a estrela resultante neste processo é denominada anã branca [86].

Mas há um limite para a concentração de massa nessa estrela. Se sua massa du-

rante o resfriamento ainda é 1, 4M1 (limite de Chandrasekhar), a pressão gravitacional

é maior e a estrela continua a colapsar, fazendo seus prótons e elétrons unirem-se for-

mando uma estrela de nêutrons, com raio típico de 10 km [86]. Mas, se ao encolher a

massa ainda é alta como no limite de Oppenheimer-Volkof (3− 4M), o colapso conti-

nua e o estágio final é atingido: um buraco negro.

Os buracos negros são classificados de acordo com sua massa, podendo apresen-

tar inclusive 106−109M, quando denominados supermassivos. Atualmente sabe-se que

estes últimos estão presentes nos núcleos de galáxias ativas [87], cuja massa está relaci-

onada às propriedades esferoidais das galáxias hospedeiras, indicando que a formação

destas galáxias e o crescimento destes objetos estão relacionados [88].

Entre as razões para o estudo dos buracos negros está o desenvolvimento de

técnicas para sua detecção. A matéria em torno dos buracos, localizadas no chamado

disco de acreção, são fontes de raios X e constituem um método indireto de detecção

(e caracterização) destes objetos [85]. Um outro fator importante está na sua simetria,

técnicas de soluções de equações que possam ser obtidas para buracos negros também

seriam úteis para o estudo de outros objetos similares geometricamente.

Nesse sentido, obtenhamos um elemento de linha para a região com esta geome-

tria: Espaço-tempo Esfericamente Simétrico (EES) ou do inglês - Spherically Symmetric

Spacetime (SSS), algo aproximadamente presente em estrelas e buracos negros. A solu-

ção exterior para as equações de Einstein nesta situação, deve ser feita acompanhando a

simetria do corpo. Neste caso, há um grupo de rotações do tipo SO (3), cujos geradores

1M = 2× 1033g representa uma massa solar.


são três vetores de Killing linearmente independentes sobre a esfera, escritos em termos

de ∂∂θ

e ∂∂φ

[86]2:

Kr = − sinφ∂

∂θ+ cot θ cosφ

∂

∂φ,

Kθ = cosφ∂

∂θ− cot θ sinφ

∂

∂φ,

Kφ =∂

∂φ,

implicando nas rotações em torno de x, y e z.

Devido à simetria, a derivada de Lie da métrica em relação a esses vetores é zero,

para que esta seja invariante sob rotações, e assim:

LKgµν = 0. (3.2)

Através dessa relação, obtemos um elemento de linha para EES dado por:

ds2 = gttdt2 + gtrdtdr + grrdr

2 + gθθdΩ2,

onde dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ2. Os elementos da métrica ainda são funções de t e r, e não das

coordenadas angulares do sistema esférico polar pela simetria estabelecida em (3.2).

Se além destas simetrias, ainda admitirmos que o espaço-tempo é estático, mais

um vetor de Killing, Kt, passa a existir, mas agora do tipo-tempo. Este vetor indica que

um espaço-tempo com simetria esférica pode ser folheado em esferas do tipo S2.

No caso EES e estático, denominado espaço-tempo de Schwarzschild, tais esferas

são ortogonais ao campo de vetores Kt. Isto resulta na independência dos elementos da

métrica, também com relação ao tempo. Por outro lado, não podemos usar o mesmo raci-

ocínio para a coordenada radial r, pois espera-se, por exemplo, que afastando-se de uma2No espaço-tempo esférico com coordenadas (t, r, θ, φ), um vetor tangente a uma curva na variedade

pode ser escrito em termos da base formada de derivadas direcionais∂∂t ,

∂∂r ,

∂∂θ ,

∂∂φ

. Logo:

K = Kµ ∂

∂xµ= Kt ∂

∂t+Kr ∂

∂r+Kθ ∂

∂θ+Kφ ∂

∂φ.


estrela, ou buraco negro, o espaço-tempo tenda a Minkowski em pontos infinitamente

distantes destas fontes. Já próximo as fontes, espera-se que o espaço-tempo apresente

curvatura mais acentuada. Logo, não há simetria radial neste caso.

Assim, uma forma para o elemento de linha que satisfaz essas condições é [89]:

ds2 = gtt (r) dt2 − grr (r) dr2 − gθθdΩ2, (3.3)

que pode ser escrito como:

ds2 = eν(r)dt2 − eλ(r)dr2 − r2dΩ2. (3.4)

Entre as principais aplicações a respeito desta geometria, temos o movimento

geodésico de partículas caracterizado por constantes de movimento como energia e mo-

mento angular (analogamente ao caso clássico). Outra aplicação corresponde ao redshift

gravitacional que a radiação sofre devido à geometria curva do espaço-tempo. Este fato

é fundamental para análise de espectros estelares. Ambos serão analisados mais cuida-

dosamente posteriormente, assim como as descrições dos buracos negros através de sua

massa e carga e a presença de uma singularidade no seu interior.

Nas próximas seções, analisaremos as principais soluções obtidas relacionadas

aos buracos negros estáticos.

3.1 Solução de Schwarzschild

A primeira solução obtida para as equações de Einstein, corresponde à solução para o

exterior de um objeto com simetria esférica e estática, obtida por Schwarzschild. Ela nos

permite identificar as funções ν (r) e λ (r) no vácuo:

Gµν = Rµν −1

2gµνR = 0.


E uma implicação direta destas condições é que o tensor de Ricci seja nulo:

Rµν = 0,

resultando nas seguintes componentes não triviais:

Gtt = eν[e−λ

(λ′

r− 1

r2

)+

1

r2

],

Grr = eλ[e−λ

(ν ′

r+

1

r2

)− 1

r2

], (3.5)

Gθθ = r2e−λ(ν ′′

2− λ′ν ′

4+ν ′2

4+ν ′ − λ′

2r

),

Gφφ = r2 sin2 θe−λ(ν ′′

2− λ′ν ′

4+ν ′2

4+ν ′ − λ′

2r

),

onde linha representa a derivada com relação a r.

Manipulando Gtt e Grr, concluímos que

ν (r) = −λ (r) , (3.6)

eν(r) = 1− rsr,

onde rs é uma constante a se determinar, denominada raio de Schwarzschild (raio gravi-

tacional) citado anteriormente.

Dessa forma, o elemento de linha (3.4) pode ser reescrito como:

ds2 =(

1− rsr

)dt2 −

(1− rs

r

)−1

dr2 − r2dΩ2 (3.7)

denominada métrica de Schwarzschild.

Notemos que se considerarmos um ponto muito distante da fonte de curvatura,

(r →∞), o espaço-tempo de Schwarzschild se torna assintoticamente plano. [85] afirma

que nesse limite de campo fraco, o elemento temporal da métrica a partir de uma massa


pontual está associado ao potencial gravitacional Newtoniano ϕ = −M/r por

gtt = 1 + 2ϕ.

E assim, o raio de Schwarzschild é

rs = 2M,

deixando totalmente determinada a solução de Schwarzshild se o parâmetro de massa

M da fonte gravitacional é considerado. Para ausência da fonte de campo gravitacional,

ou seja, para M = 0, a métrica passa a ser plana (Minkowski).

Em suma, esta solução tem como parâmetro a massa medida, no caso Newtoni-

ano, por um observador assintótico. Mas podemos nos questionar se para as condições

apresentadas (o exterior de um corpo com simetria esférica e estático no espaço-tempo),

há outras soluções além da encontrada em (3.7). A resposta para isto está no Teorema de

Birkhoff, segundo o qual, a métrica de Schwarzschild é a única solução possível para o

vácuo exterior a uma simetria esférica, e que esta solução é estática [90].

3.1.1 Redshift gravitacional e trajetória de partículas

Já obtido o elemento de linha para EES, vamos começar analisando como nessa geome-

tria o espaço tempo curvo produz um redshift de origem gravitacional.

Seguindo raciocínio apresentado em [90], considere um viajante em repouso em

um ponto qualquer do espaço-tempo. Ele possui um relógio que indica seu tempo pró-

prio, e há ainda um tempo coordenado e medido por um observador assintoticamente

afastado. Este viajante então emite dois pulsos eletromagnéticos. Para ele, o intervalo de

tempo próprio entre os dois pulsos é dado por:

dτ 21 = −gtt (r1) dt21.


Mas, para o observador distante, o intervalo de tempo próprio de recepção entre os pul-

sos é:

dτ 22 = −gtt (r2) dt22.

Isto acontece porque o tempo próprio depende da posição dos corpos no espaço-tempo

[90]. Porém, devido à simetria estática dt1 = dt2, assim

dτ2

dτ1

=

(gtt (r2)

gtt (r1)

)1/2

.

Além disso, os tempos próprios são inversamente proporcionais às frequências de emis-

são dos pulsos, e consequentemente, a frequência medida pelo observador será:

ν1

ν2

=λ2

λ1

=

(gtt (r2)

gtt (r1)

)1/2

.

Definindo o red-shift z como 1 + z ≡ λ2/λ1 obtemos

1 + z =

√gtt (r2)

gtt (r1). (3.8)

Observe que o redshift ocorre quando λ2 > λ1 (z > 0). Na situação inversa λ2 < λ1 (z < 0)

temos um blueshift. Para a métrica de Schwarzschild (3.7) a equação (3.8) é escrita como

(1 + z)2 =r1

r2

(r2 − rsr1 − rs

). (3.9)

Vamos agora discutir o movimento de partículas testes sujeitas à interação gra-

vitacional. Na Mecânica Celeste Clássica, se uma partícula de massa m, orbita um corpo

localizado na origem, a conservação do momento angular nos permite definir um novo

vetor constante−→h =

−→L

m,

que deve ser ortogonal ao plano que contém o vetor posição do corpo em órbita, pois−→L = −→r ×m−→v .


Segundo [90], da segunda lei de Newton em coordenadas polares

[d2r

dt2− r

(dφ

dt

)2]r +

1

r

d

dt

(r2dφ

dt

)φ = − µ

r2r, (3.10)

onde µ é uma constante e o lado direito desta equação representa a força gravitacional

Newtoniana. Realizando um produto escalar entre esta equação e φ, obtemos:

r2dφ

dt= h,

que representa exatamente a conservação do momento angular.

O próximo passo é verificar que na geometria de Schwarzschild, energia e mo-

mento angular de um corpo em movimento também são conservados. Para isso, deta-

lharemos análise feita por [89] a respeito do movimento geodésico de partículas com e

sem massa nessa geometria.

Seguindo seus passos, partimos da equação da geodésica,

d2xµ

dλ2+ Γµαβ

dxα

dλ

dxβ

dλ= 0, (3.11)


onde λ é um parâmetro afim que caracteriza a trajetória. As conexões não nulas são

Γttr = Γtrt =1

2gtt (r)

dgtt (r)

dr,

Γrtt =1

2grr (r)

dgtt (r)

dr,

Γrrr =1

2grr (r)

dgrr (r)

dr,

Γrθθ = − r

grr (r),

Γrφφ = −r sin2 θ

grr (r),

Γθrθ = Γθθr = Γφφr = Γφrφ =1

r,

Γθφφ = − sin θ cos θ,

Γφφθ = Γφθφ = cot θ,

que aplicadas na equação de geodésica (3.11), nos dá o seguinte conjunto de equações:

0 =d2r

dλ2+

1

2grr (r)

dgrr (r)

dr

(dr

dλ

)2

− r

grr (r)

(dθ

dλ

)2

− r sin2 θ

grr (r)

(dφ

dλ

)2

+1

2grr (r)

dgtt (r)

dr

(dt

dλ

)2

,

0 =d2θ

dλ2+

2

r

dθ

dλ

dr

dλ− sin θ cos θ

(dφ

dλ

)2

, (3.12)

0 =d2φ

dλ2+

2

r

dφ

dλ

dr

dλ+ 2 cot θ

dφ

dλ

dθ

dλ,

0 =d2t

dλ2+

1

gtt (r)

dgtt (r)

dr

dt

dλ

dr

dλ.

Devido à simetria esférica, sempre é possível, através de rotações, escolher um

sistema de coordenadas onde as condições iniciais são θ0 = π2

e θ0 = 0. Neste caso, a

segunda equação resulta em θ = 0 o que implica que θ = cte = 0 sempre. Logo, o

movimento que começou no plano se mantém no plano - análogo ao caso Newtoniano.


Nesta situação, as duas últimas equações se simplificam para

d

dλ

lndφ

dλ+ ln r2

= 0, (3.13)

d

dλ

lndt

dλ+ ln gtt (r)

= 0. (3.14)

Estas equações nos dão:

dt

dλ=

κ

gtt (r), (3.15)

r2dφ

dλ= h, (3.16)

onde h é o momento angular por unidade de massa, conservado, assim como no caso

clássico, e κ é uma constante arbitrária.

O próximo passo apresentado em [89] é aplicar a função gtt (r) e o momento

angular por unidade de massa h na primeira equação de (3.12) e multiplicar a equação

resultante por 2grrdrdλ

:

2grrdr

dλ

[d2r

dλ2+

1

2grr (r)

dgrr (r)

dr

(dr

dλ

)2

− r 1

grr (r)

(h

r2

)2

+1

2grr (r)

dgtt (r)

dr

(κ

gtt (r)

)2]

= 0,

dr

dλ

[2grr

d2r

dλ2+dgrr (r)

dr

(dr

dλ

)2

− 2h2

r3+dgtt (r)

dr

(κ

gtt (r)

)2]

= 0,

d

dλ

[grr (r)

(dr

dλ

)2

+h2

r2− κ2

gtt (r)

]= 0.

E portanto

grr (r)

(dr

dλ

)2

+h2

r2− κ2

gtt (r)= −E, (3.17)

que é outra quantidade conservada, referente à energia por unidade de massa, já que ela

relaciona o parâmetro λ ao tempo próprio, segundo dτ 2 = Edλ2. Esta energia deve ser

positiva para partículas massivas e nula para fótons.

Assim, temos duas quantidades conservadas, E e h, cuja relação entre elas, dada


Figura 3.1: Trajetória seguida por um raio luminoso vindo de uma região assintótica edesviado nas proximidades de um objeto compacto esférico. Na figura φ é representadopor ϕ (Fonte: [89])

por (3.17), é equivalente a exposta em [89] se κ = 1 e λ corresponder ao tempo próprio

da partícula. Neste caso, esta equação descreve a trajetória da partícula, mas ainda não

demonstra qual a forma da trajetória.

Ainda seguindo os passos de [89], isto pode ser feito, relacionando (3.16) e (3.17).

Segue:

grr (r)

(dr

dφ

)2h2

r4= −E − h2

r2+

κ2

gtt (r), (3.18)

ou

φ = ±∫

g1/2rr (r) dr

r2(

κ2

h2gtt(r)− E

h2− 1

r2

)1/2. (3.19)

Um fato interessante nesta equação é que independetemente do tipo de partícula, o mo-

vimento sofre uma alteração devido ao espaço-tempo, dada a presença dos coeficientes

gtt e grr da métrica.

A equação (3.19) com E = 0 nos permite quantificar o desvio que a luz so-

fre devido à presença da fonte de campo gravitacional, continuando, por exemplo, a

adotar o movimento de fótons em direção a um corpo com simetria esférica e estática,

considerando-os radiais, com movimento originado em região assintoticamente plana,

como mostra a Figura 3.1.

Observe que na ausência de campo gravitacional o fóton segue uma trajetória


em linha reta descrita pela equação

b ' r sin (φ− φ∞) , (3.20)

onde φ∞ é o ângulo incidente [89].

A uma distância de máxima aproximação da fonte temos que

dr

dφ

∣∣∣∣r=r0

= 0.

Assim, por (3.18) temos que em r = r0

h2

κ2=

r20

gtt (r0),

e portanto (3.19) é reescrita na forma presente em [89]

φ (r)− φ∞ =

∞∫r

√grr (r)

[(r

r0

)2(gtt (r0)

gtt (r)

)− 1

]−1/2dr

r. (3.21)

A variação total sofrida por um raio de luz desde o infinito passado, passando

por r = r0 e se dirigindo ao infinito futuro é de 2 |φ (r0)− φ∞|. Na ausência de fonte

sabemos que a deflexão total seria de π correspondente a uma linha reta. Portanto, a

deflexão total é dada por [89]

∆φ = 2 |φ (r0)− φ∞| − π. (3.22)

3.1.2 Singularidades e horizontes

Apesar de ter nos permitido verificar como a curvatura afeta o movimento de partí-

culas, a descrição anterior não nos permite analisar como certos pontos da geometria,

como as singularidades, influenciam o comportamento delas. Uma geometria apresenta

singularidades, segundo [86], “quando sua curvatura torna-se infinita”. Isto pode ser


quantificado através da construção de escalares como

R, RµνRµν , RµνρσRµνρσ, etc.

Se um deste escalares divergir em algum ponto então este ponto representa uma singu-

laridade real do espaço-tempo [86]. Note que esta é uma condição suficiente (mas não

necessária) para a existência de singularidades reais. Na métrica de Schwarzschild, te-

mos:

R = RµνRµν = 0 e RµνρσRµνρσ =

48M2

r6,

e portanto, temos uma singularidade real em r = 0, cuja característica é existir em qual-

quer sistema de coordenadas.

Uma outra singularidade, presente nas coordenadas de Schwarzschild, ocorre na

superfície r = rs. Contudo, esta singularidade não está presente no escalar acima, e dessa

forma, é considerada uma pseudo-singularidade, pois pode ser retirada através de uma

mudança de sistema de coordenadas [86]. Mesmo assim, esta superfície é importante e

devemos analisar o que ocorre com partículas durante o seu movimento ao cruzá-la.

Para realizar esta análise, seguiremos procedimento apresentado em [90]. Usa-

remos a equação de geodésica (3.11). No caso de uma geodésica radial nula ds2 = 0, em

coordenadas de Schwarzschild temos

(1− rs

r

)( dtdλ

)2

=(

1− rsr

)−1(dr

dλ

)2

. (3.23)

Além disso, (3.15) nos mostra que

(1− rs

r

)( dtdλ

)= κ. (3.24)

Assim, substituindo (3.24) em (3.23) obtemos

dr

dλ= ±κ⇒ dr

dt

dt

dλ= ±κ⇒ dr

dt= ±

(1− rs

r

).


ou aindadt

dr= ± r

r − rs. (3.25)

Integrando esta equação chegamos ao resultado

t = ± (r + rs ln |r − rs|+ cte) , (3.26)

que revela um papel interessante para rs. De fato, a superfície esférica em r = rs divide

o espaço-tempo de Schwarzschild em duas regiões: uma externa a rs, com r > rs e outra

interna r < rs.

Um viajante pode estar em três situações para r > rs: repouso, movimento de

aproximação na direção de rs ou afastando-se desse ponto. Em qualquer caso, é possível

estabelecer as geodésicas nulas a partir de (3.26), onde temos dois conjuntos de linhas:

um de aproximação (sinal −) e outro de afastamento (sinal +) de rs. Sabemos que estas

linhas formam “cones” de luz e que pela relatividade, corpos massivos devem mover-se

ao longo de linhas do universo dentro desses “cones” ao passo que a luz move-se em sua

superfície.

A Figura 3.2 com duas coordenadas espaciais suprimidas, mostra que na região

exterior ao raio de Schwarzschild as geodésicas nulas são tipo tempo, pois para o sinal

positivo (linhas de afastamento) dt/dr > 0 em (3.25). Como consequência a luz ou corpos

massivos podem afastar-se de rs [86, 90, 91].

Porém, quanto mais próximo se está dessa superfície esférica, maior será a incli-

nação dt/dr implicando que a velocidade do corpo massivo deverá ser cada vez menor

e o tempo próprio para o seu movimento maior. Consideremos dois tempos próprios,

um do corpo em queda e um de um observador assintótico. A cada intervalo de tempo

próprio durante o movimento do corpo em queda, o tempo próprio correspondente visto

pelo observador é maior, ou seja, para ele o corpo em queda se moveria cada vez mais

devagar na direção do raio rs. Exatamente em r = rs, o tempo próprio visto pelo obser-

vador, para que a partícula em queda cruze a superfície será infinito, e temos uma falha

em (3.26). Assim, um observador externo estático, não notará esse viajante ultrapassar


Figura 3.2: Diagrama representando o movimento geodésico na geometria de Schwarzs-child. (Fonte: [90])

o raio de Schwarzschild, ao contrário, o veria assintoticamente em repouso, pois nesta

situação a velocidade seria nula [86, 92].

No caso contrário, em que o viajante está dentro da região entre a singularidade

real r = 0 e o raio de Schwarzschild, a inversão de sinal em (3.25) resulta em geodésicas

tipo espaço. A consequência direta disto, como podemos ver na figura, é que as geodési-

cas nulas formam cones de luz voltados para singularidade, que corresponde ao tempo

futuro para a luz ou um corpo massivo, e portanto, não há escapatória para ambos, a

não ser cair na singularidade. É este fato que faz a superfície rs ser chamada de hori-

zonte, pois ela divide o espaço-tempo em duas regiões disjuntas onde a orientação do

movimento em cada uma delas é desconexa da outra. Ao cruzar o horizonte, nenhuma

partícula, luminosa ou não, pode escapar para o infinito, e por isso, a região interna ao

horizonte de eventos forma um buraco negro. Assim, [86] define buraco negro “como

uma região do espaço-tempo separada do infinito por um horizonte de eventos”.

Observe que justamente em r = rs o sistema de coordenadas falha, e isto nos

motiva a analisar como é o movimento destas partículas no espaço-tempo de Schwarzs-


child através de outras coordenadas. Para esta análise adotaremos as coordenadas de

Kruskal-Szekres (KS).

Definimos duas novas coordenadas [86, 92]:

T =

(r

rs− 1

)1/2

er/2rs sinh

(t

2rs

), (3.27)

R =

(r

rs− 1

)1/2

er/2rs cosh

(t

2rs

), (3.28)

sendo a transformação inversa dada por

T 2 −R2 =

(1− r

rs

)er/rs (3.29)(

T

R

)= tanh

(t

2rs

). (3.30)

Nestas coordenadas (de Kruskal-Szekres: (T,R, θ, φ)), a métrica de Schwarzs-

child passa a ser escrita como:

ds2 =4r3

s

re−r/rs

(−dT 2 + dR2

)+ r2dΩ2. (3.31)

Podemos observar que na superfície rs a métrica se mantém bem comportada,

e portanto, as coordenadas de KS cobrem uma região maior que as coordenadas de

Schwarzschild, sendo consideradas uma extensão da mesma. A Figura 3.3 apresenta

um diagrama com estas coordenadas.

A singularidade real r = 0 como era de se esperar, permanece nas coordenadas

KS, e de acordo com (3.29), temos:

T 2 −R2 = 1

o que nos dá duas hipérboles em um diagrama com coordenadas θ e φ suprimidas (linhas


Figura 3.3: Diagrama indicando os possíveis movimentos geodésicos no espaço-tempode Schwarzschild, nas coordenadas de Kruskal-Szekres. Observe que há quatro regiões,onde III e IV são universos paralelos às regiões I e II respectivamente. A linha verdesuperior indica a singularidade de um buraco negro e a linha verde inferior indica asingularidade de um buraco branco. As linhas vermelhas representam horizontes deeventos. (Fonte: Figura retirada e adaptada a partir de www.quora.com)


verdes). Para R = 0, as hipérboles possuem vértice em

T = ±1.

No diagrama de Schwarzschild, o raio rs dividia o espaço-tempo em duas regiões dis-

juntas 0 < r < rs e r > rs. Aqui, essa superfície será:

T = ±R,

que são retas concorrentes em R = 0, representadas de vermelho no diagrama.

Assim, temos agora quatro regiões, o dobro do espaço-tempo apresentado ante-

riormente em Schwarzschild. A região I corresponde a r > rs, a região II, a 0 < r < rs,

que é de fato um buraco negro, a região III é uma paralela a I enquanto que a IV é uma

paralela a II. Ainda de acordo com (3.29), considerando r constante e maior que rs, te-

remos hipérboles com vértices no eixo R e.g. r = 2rs, r = 3rs e assim por diante. Estas

hipérboles aparecem nas regiões I e III devido à presença do ± na equação. Nas regiões

II e IV, r constante também implica em hipérboles, mas agora com vértices em T [92].

A mesma análise pode ser feita considerando superfícies t constante em (3.30),

que serão retas que passam pela origem. Dentre estas retas, duas das mais importantes

são obtidas para t→ ±∞ resultando em R = ±T , que são exatamente as retas r = rs.

O cone de luz formado pelas geodésicas nulas e radiais, está em ds2 = 0, ou:

dT

dR= ±1,

e portanto, são as retas r = rs. Assim, podemos observar que se uma partícula está na

região I ela pode mover-se até a região II, cruzando um horizonte de eventos futuro.

Uma vez na região II, os cones de luz voltados e ampliados cada vez mais na direção

da singularidade não permitem que ele retorne para I, já que as geodésicas são do tipo-

tempo. Esta região é de fato, um buraco negro. Se a passagem entre as regiões for feita

por um feixe luminoso, o sinal jamais toca a hipérbole referente a r rs, e portanto para


um observador externo o sinal luminoso nunca passa pelo horizonte já que o tempo nesta

situação é infinito como vimos anteriormente. Enquanto isso, para partículas massivas, o

movimento de queda através do horizonte de eventos acontece em tempo próprio finito,

e portanto para eles há um movimento também apenas de ida na direção do buraco negro

[86, 92].

Observa-se ainda pelo diagrama que não há relação causal entre as regiões I e III,

mesmo uma sendo um reflexo da outra, pois linhas do universo entre as regiões são do

tipo-espaço. Porém, se há algum viajante na região III, ele também pode cair no buraco

negro (região II). Nesse sentido, a região IV, por sua vez, corresponde a um buraco branco

pois a mesma conecta-se as regiões I e III de forma causal tal que uma partícula pode

apenas sair desta região rumo as demais. O horizonte de eventos dessa região é do tipo

passado.

De acordo com [86], seja via coordenadas KS ou de Schwarzschild, a solução

indica a presença do horizonte de eventos localizado em rs, porém fica claro que ele

não corresponde a uma singularidade real. Com as coordenadas KS obtivemos uma re-

gião assintoticamente plana e paralela a região I e outra que contém um buraco branco.

Porém, estes resultados não são em sua totalidade compatíveis com a realidade. Primei-

ramente, a solução de Schwarzschild é exterior (vácuo), e portanto ideal. Além disso,

estrelas reais tornam-se buracos negros a partir de colapso gravitacional e dessa forma

sua história vai de uma região do espaço-tempo diferente do de Schwarzschild até um

buraco negro. Portanto, podemos afirmar que para estrelas reais, com passado conhe-

cido, buracos negros podem existir como um possível estágio final para estas estrelas

com um horizonte de eventos futuro e uma singularidade futura.

Além dos buracos negros de Schwarzschild, há outros tipos mais gerais, com

carga elétrica e momento angular. Analisemos a seguir o caso de um buraco negro está-

tico que contém, além da massa, carga elétrica.


3.2 Solução de Reissner-Nordström

Em 1916 e 1918, Reissner e Nordström, (RN), respectivamente, mostraram que havia a

possibilidade de solucionar as equações de Einstein para um corpo carregado e com si-

metria esférica e estática, gerando buracos negros carregados. Esta solução é uma exten-

são da estudada anteriormente (3.7). Porém, temos agora um tensor energia-momento

Tµν não nulo, satisfazendo as equações de Maxwell, e assim um acoplamento entre a

relatividade geral de Einstein e o eletromagnetismo clássico [93].

Como no caso de Schwarzschild, precisamos fazer considerações geométricas

para obtermos o elemento de linha da geometria RN. Primeiramente, a simetria esférica

que nos permitiu anteriormente, através de uso de três vetores de Killing conluir que ds2

deve ser dado por (3.4), onde ainda levamos em conta a simetria estática da métrica. Por

outro lado, o tensor energia-momento agora é dado por [86]:

Tµν =1

4π

(FµλF

λν −

1

4gµνFρσF

ρσ

). (3.32)

Este tensor deve obviamente satisfazer as condições de simetria gravitacional, e por isso,

não pode ser função de θ e φ. Logo, Fµν , que corresponde ao tensor eletromagnético,

deve ser independente destas coordenadas. Para uma fonte estática e levando em consi-

deração a ausência de cargas magnéticas, as únicas componentes diferentes de zero são

Frt = −Ftr = E (r) referentes a um campo elétrico puramente radial [86].

As equações fundamentais deste problema são as equações de Einstein (3.1) e as

equações de Maxwell no vácuo:

∇νFµν = 0, (3.33)

∂[αFµν] = 0, (3.34)

onde∇ é a derivada covariante. A primeira equação pode ser reescrita como [94]:

1√−g

∂ν(√−gF µν

)= 0,


onde g é o determinante da métrica.

O tensor eletromagnético estabelecido satisfaz as identidades de Bianchi (3.34).

Já (3.33), para ser analisada, necessita do tensor eletromagnético na forma contravariante.

Recorrendo a (3.4) e ao tensor Fµν , obtemos:

d

dr

(e−

12

(ν(r)+λ(r))r2E (r))

= 0,

ou seja,

E (r) = e12

(ν+λ) q

r2. (3.35)

De forma similar ao realizado na solução de Schwarzschild, para obtenção do

significado físico de uma constante, consideremos o limite assintótico tipo Minkowski,

consequentemente:

E (r)r→∞ →q

r2. (3.36)

Logo, este deve ser o campo originado por uma carga pontual, e q passa a ter significado

físico de uma carga elétrica centrada na origem de um sistema de coordenadas [90].

Solucionadas as equações de Maxwell, obtenhamos a solução para esta geome-

tria através das equações de Einstein. O lado esquerdo destas equações não é alterado e

com isso o tensor de Einstein (3.5) ainda deve ser utilizado. Já o lado direito depende do

tensor energia-momento, dado pelas seguintes componentes não nulas:

Ttt =e−λE2

8π,

Trr = −e−νE2

8π, (3.37)

Tθθ =e−(ν+λ)E2r2

8π,

Tφφ = sin2 θ T22,

Manipulando as equações Gtt e Grr mostramos novamente que ν (r) = −λ (r). Substi-


tuindo este resultado em Grr e utilizando (3.35) obtemos

λ′e−λ

r− e−λ

r2+

1

r2=q2

r4⇒ ∂1

(re−λ

)= 1− q2

r2

cuja solução é:

e−λ = 1 +α

r+q2

r2

A fim de obtermos a solução de Schwarzschild, na ausência da carga α = rs,

e dessa forma, a solução de RN para o exterior de um corpo carregado com simetria

esférica e estática é:

ds2 =

(1− rs

r+q2

r2

)dt2 −

(1− rs

r+q2

r2

)−1

dr2 − r2dΩ2. (3.38)

Através desta solução podemos analisar as propriedades de buracos negros car-

regados. Em particular todos os resultados deduzidos na seção 3.1.1 envolvendo o redshift

gravitacional, desvio de luz e etc se aplicam diretamente à solução de Reissner-Nordstrom.

Outro ponto importante de análise diz respeito à existência de singularidades reais e ho-

rizontes de evento. Lembremos que em Schwarzschild a existência de horizontes acon-

tecia quando gtt = 0. Logo, na métrica acima isto acontece em:

r± = m±√m2 − q2. (3.39)

Este resultado implica em três possibilidades a serem abordadas a seguir:

I) Se m2 < q2: A ausência de raízes reais implica que o coeficiente gtt nunca será

zero, portanto não há horizonte de eventos. Mas isso não impede a existência da singu-

laridade real em r = 0. A singularidade é nua, o que permite a um viajante, por exemplo,

observá-la a qualquer distância. A singularidade nua fere a conjectura da censura cós-

mica que afirma que toda singularidade real deve estar blindada por pelo menos um

horizonte de eventos. Outro ponto importante é que em um colapso gravitacional real

não é físicamente razoável esperar que a energia referente ao campo eletromagnético seja


maior do que energia referente à massa total [86].

II) Se m2 = q2: Nesta situção temos apenas uma raiz (real) e portanto um único

horizonte. Este caso é conhecido como buraco negro extremal.

III) Se m2 > q2: Existem duas raízes reais r+ e r− onde r− < r+. Nesta situação

existem duas hiper-superfícies nulas que separam o espaço-tempo de RN em três regiões:

0 < r < r−, r− < r < r+ e r > r+. Para uma geodésica radial nula, ds2 = 0, temos

(1− rs

r+q2

r2

)(dt

dλ

)2

=

(1− rs

r+q2

r2

)−1(dr

dλ

)2

.

Tomando o parâmetro afim como t obtemos

dt

dr= ± 1∣∣(1− r+

r

) (1− r−

r

)∣∣ .Observe que dt

drdiverge em r±. Assim, para analisar a estrutura causal destas três regiões

vamos adotar um outro sistema de coordenadas, onde uma equação para famílias de

linhas congruentes de chegada e saída de geodésicas nulas em r± seja possível. São as

coordenadas avançadas de Eddington-Finkelstein [90], definidas por

t = t+r2

+

r+ − r−ln (r − r+)−

r2−

r+ − r−ln (r − r−) .

Segundo [90], nessas coordenadas o elemento de linha é reescrito como

ds2 = (1− ε) dt2 − 2εdtdr − (1 + ε) dr2 − r2dΩ2

onde

ε (r) =rsr− q2

r2. (3.40)

A partir desta nova métrica, vemos que a descrição de uma geodésica nula radial

leva à equação (1 +

dr

dt

)((1− ε)− (1 + ε)

dr

dt

)= 0.


Figura 3.4: Diagrama indicando o movimento geodésico em torno de um buraco negrode Reissner-Nordström. As três linhas verticais representam, da direita para esquerda, ohorizonte de eventos externo, o horizonte de eventos interno e a singularidade. (Fonte:[90])

A solução correpondente às geodésicas de aproximação são obtidas de [92]

1 +dr

dt= 0⇒ dt

dr= −1, (3.41)

que são retas de inclinação negativa que ”terminam” na singularidade real.

Por outro lado, as geodésicas de afastamento são determinadas por

(1− ε)− (1 + ε)dr

dt= 0⇒ dt

dr=

1 + ε

1− ε. (3.42)

A partir destas relações, podemos construir o diagrama de espaço-tempo presente na

Figura 3.4 [90].

Devido à inclinação constante das geodésicas de aproximação, nos limitemos a

observar as variações por região das geodésicas de afastamento. Nota-se que no infinito

(3.40) vai a zero, e portanto (3.42) fará um ângulo de 45o com as geodésicas de aproxima-

ção. Temos cones de luz do espaço-tempo plano. À medida que um viajante se aproxima

de r+ a função ε (r) aumenta, tornando a inclinação dt/dr cada vez maior, “dirigindo”

este viajante (geodésicas tipo-tempo) na direção de r+. Exatamente neste ponto, a incli-


nação é máxima e o cone de luz se volta exclusivamente para a parte interna da região

II. Dentro desta região as geodésicas de partículas são do tipo espaço, o que impede o

seu retorno para a região I. Dessa forma podemos afirmar que a região II representa a

parte interna de um buraco negro e que r+ delimita um horizonte de eventos usual (tipo

Schwarzschild). Note que qualquer viajante que chegar na região II será conduzido a

região III [90].

Ao passar para a terceira e última região, verificamos que a inclinação dos cones

de luz tornam a diminuir. Devido à estrutura causal desta região, o viajante não é ne-

cessariamente impelido para a singularidade como em Schwarzschild, contudo ele não

pode retornar para a região II. Este fato implica que r− também representa um horizonte

de eventos. E assim, todos esses argumentos nos mostram que há dois horizontes de

eventos localizados em r+ e r−.

No próximo capítulo, trataremos de buracos negros carregados no contexto de

eletrodinâmicas não lineares.

CAPÍTULO 4

EFEITOS DA NLED NA PROPAGAÇÃO DA RADIAÇÃO

No capítulo anterior analisamos a solução exterior para buracos negros do tipo

Schwarzschild (esférico neutro) e Reissner-Nordström (esférico carregado), observando

como estes objetos afetam a trajetória de partículas, em particular a propagação da radia-

ção. Dada a importância da eletrodinâmica de Maxwell para buracos negros carregados,

podemos questionar como uma mudança no eletromagnetismo influencia os resultados

apresentados anteriormente. Nosso objetivo consiste na solução deste questionamento,

pois é esperado que, ao utilizarmos uma eletrodinâmica distinta, tenhamos alterações na

métrica de Reissner-Nordström e, portanto, mudanças na descrição geodésica. Isto de

fato ocorre, porém veremos neste capítulo que se a eletrodinâmica utilizada é do tipo

não linear, então para a radiação, teremos uma influência extra devido à interação com

o campo eletromagnético de fundo. Este efeito complementar será representado através

da métrica efetiva apresentada no segundo capítulo. Por fim, neste capítulo será apre-

sentado como o redshift geodésico e o desvio de luz se alteram neste contexto.

54

Capítulo 4. Efeitos da NLED na propagação da radiação 55

4.1 Solução geral para Buracos Negros no contexto de uma

NLED

Primeiramente, precisamos obter uma solução para buracos negros estáticos carregados,

onde a gravitação está minimamente acoplada com a NLED. Começamos com uma ação

do tipo

S = −∫ √

−g[R

16π− 1

4πL (F,G)

]d4x, (4.1)

onde

F ≡ −1

4FµνF

µν = −1

4FγλFµνg

µγgνλ, (4.2)

G ≡ −1

4FµνF

µν = −1

4

(εµναβ

2√−g

FαβFµν

). (4.3)

Observe que a introdução de√−g na definição de G faz-se necessária para que G seja

um escalar sob transformações gerais de coordenadas.

As equações de campo associadas a esta ação foram calculadas no apêndice A e

resultaram em

∇µ

(LFF

µν + LGFµν)

= 0, (4.4)

Gµν = 2[LFFµβF

βν + LGGgµν − gµνL

], (4.5)

onde

LF ≡∂L

∂Fe LG ≡

∂L

∂G.

Vale lembrar que além de (4.4) temos também

∂ρFµν + ∂νFρµ + ∂µFνρ = 0, (4.6)

completando as equações da parte eletromagnética.

Devido às condições de simetria do problema, a métrica deve ser da forma (3.4)


e além disso, não devemos ter a presença de campo magnético o que resulta em G = 0.

Isto faz as equações de campo se reduzirem a

∇µ (LFFµν) = ∂µ

(√−gLFF µν

)= 0, (4.7)

Gµν = 2Tµν , (4.8)

onde

Tµν = LFFµβFβν − gµνL. (4.9)

Pelo exposto anteriormente, temos um campo elétrico puramente radial, dando

ao tensor eletromagnético a forma

Fµν = E (r)

0 −1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

. (4.10)

A sua versão contravariante, por sua vez, é obtida a partir de

F ργ = gαρgβγFαβ,

e portanto

F µν = e−(ν+λ)E (r)

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

.

Substituindo F µν em (4.7) e usando o determinante da métrica

g = −eν+λr4 sin2 θ, (4.11)


verificamos que a única equação não trivial ocorre para ν = 0 i.e.

∂

∂r

(LF e

− 12

(ν+λ)r2E)

= 0 . (4.12)

Esta equação representa um vínculo para a Lagrangeana. Ela pode ser imediatamente

integrada levando a [52]

LFE = e12

(ν+λ) q

r2, (4.13)

com q sendo uma constante de integração.

Podemos obter o significado físico de q tomando o limite assintótico, no qual, o

espaço-tempo deve ser do tipo Minkowski e a eletrodinâmica de Maxwell (LF = 1)[90].

Vimos no capítulo anterior que, assintoticamente, λ e ν devem tender a zero. Portanto, q

representa a carga elétrica total.

Apesar de identificarmos q como a carga elétrica, ainda não conhecemos ν e λ,

algo que encontramos através das equações de campo. O lado esquerdo da equação de

Einstein pode ser calculado usando (3.5). Já o lado direito é dado pelo tensor energia

momento (4.9) que pode ser explicitado conhecendo-se

FµαFαν = E2

e−λ 0 0 0

0 −e−ν 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

. (4.14)

Dessa forma, as componentes do tensor energia-momento são:

Ttt = LFFtλFλt − Lgtt = LF e

−λE2 − Leν , (4.15)

Trr = LFFrλFλr − Lgrr = −LF e−νE2 + Leλ, (4.16)

Tθθ = LFFθλFλθ − Lgθθ = Lr2, (4.17)

Tφφ = LFFφλFλφ − Lgφφ = Lr2 sin2 θ, (4.18)


e as equações de Einstein resultam em:

eν[e−λ

(λ′

r− 1

r2

)+

1

r2

]= 2Ttt, (4.19)

eλ[e−λ

(ν ′

r+

1

r2

)− 1

r2

]= 2Trr, (4.20)

r2e−λ(ν ′′

2− λ′ν ′

4+ν ′2

4+ν ′ − λ′

2r

)= 2Tθθ, (4.21)

r2 sin2 θe−λ(ν ′′

2− λ′ν ′

4+ν ′2

4+ν ′ − λ′

2r

)= 2Tφφ. (4.22)

Diferentemente do caso de Schwarzschild, o lado esquerdo destas equações não

é zero, e aqui corresponde a (4.15-4.18). As duas primeiras equações de Einstein são

reescritas como:

e−λ(λ′

r− 1

r2

)+

1

r2= 2

(LF e

−ν−λE2 − L), (4.23)

e−λ(ν ′

r+

1

r2

)− 1

r2= 2

(−LF e−ν−λE2 + L

), (4.24)

que, quando somadas, implicam em:

λ′ + ν ′ = 0⇒ λ(r) + ν(r) = C. (4.25)

A constante C pode ser eliminada tanto pela exigência de que a solução deve ser assin-

toticamente plana, quanto por uma absorção na redefinição do tempo [90]. Assim:

λ(r) = −ν(r) . (4.26)

Substituindo este resultado em (4.24) e (4.13) obtemos

eν(ν ′

r+

1

r2

)− 1

r2= 2

(−LFE2 + L

)(4.27)

e

LFE (r) =q

r2. (4.28)


Do tensor eletromagnético com campo elétrico puramente radial, temos:

F =1

2e−(ν+λ)E2 =

1

2E2,

e com isto, vemos que a equação da parte eletromagnética se desacopla da parte gravita-

cional. Assim, a solução obtida é a mesma encontrada no espaço-tempo plano.

Multiplicando (4.27) por r2 chegamos a

(reν(r)

)′= 1 + 2

(−LFE2 + L

)r2

ou ainda

eν(r) = 1 +2

r

∫r2(−LFE2 + L

)dr +

D

r,

onde D é uma constante de integração. Por conveniência, fixaremos

D = −2m, (4.29)

em que o significado de m será discutido logo abaixo.

Definindo

S (r) = 2

∫r2(−LFE2 + L

)dr, (4.30)

temos finalmente

eν(r) = e−λ(r) = 1− 2m

r+

1

rS (r) . (4.31)

É fácil de verificar que esta solução também satisfaz as demais equações de Einstein.

Portanto, as equações (4.31) e (4.28) representam a solução genérica (independente da

Lagrageana) para o sistema Einstein-NLED.

Substituindo eν no elemento de linha (3.4), encontramos:

ds2 =

(1− 2m

r+

1

rS (r)

)dt2 − dr2(

1− 2mr

+ 1rS (r)

) − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2 , (4.32)

solução esta que pode ser chamada de Schwarzschild-NLED. Ao tomamos S (r) = q2

r(ob-


tido a partir de L = F ) obtemos o conhecido elemento de linha de Reissner-Nordström.

Fixando também q = 0 ficamos com o elemento de linha de Schwarzchild, e por isso, a

constante m pode ser interpretada como a massa geométrica:

m =GM

c2.

Ao deduzir (4.32) assumimos simetria esférica e, além disso, que a solução é

estática (ν e λ independem de t) e assintoticamente plana (ν, λ → 0 quando r → ∞). Na

verdade, como no caso de Schwarzschild, não é mandatório adotar essas duas últimas

hipóteses: elas são forçadas pelas próprias equações. Assim, vale o teorema de Birkhoff:

a solução exterior esfericamente simétrica das equações de campo de Einstein-NLED é

necessariamente estática [90].

Uma das características principais da abordagem acima é a generalidade da so-

lução, já que não utilizamos nenhuma lagrangeana específica. Mas, sem especificar a

forma da Lagrangeana não é possível obter uma função final que expresse o campo elé-

trico e a métrica. Em estudos anteriores, como o realizado por [20], uma lagrangeana na

forma

L (F,G) =b

4a

[1− 4

b

(F +

G2

b

)]a− 1

, (4.33)

é adotada, onde a e b são constantes. Observa-se que se a = 1/2 e b > 0, a teoria cor-

respondente é do tipo Born-Infeld, mas se a = 2 e b < 0 a lagrangeana é do tipo Euler-

Heisenberg. Por outro lado, se a = 1, independentemente do valor de b, recai-se em

Maxwell se G2 é desprezível.

Ainda de [20] vemos que no caso eletrostático

LF =

[1− 2E2

b

]a−1

,

e portanto [1− 2E2

b

]a−1

E =q

r2.


Já a solução da parte gravitacional possui uma forma mais complicada que de-

pende de funções hipergeométricas [20]. Definindo o parâmetro adimensional

x =

∣∣∣∣2E2

b

∣∣∣∣ ,pode-se mostrar que para x << 1 a solução é da forma [20]:

eν(r) ' 1− 2m

r+q2

r2± (a− 1) q2

r2x± 215/4q3/2b1/4 (1− a)

15rx5/4

[1± 5

18(a+ 1)x

].

O sinal superior (infeiror) está associado a b positivo (negativo). Observe que esta solução

recai em Reissner-Nordström para b→∞.

Vejamos agora a análise do comportamento da métrica em diversos pontos no

espaço-tempo.

Para r → ∞, temos duas possibilidades: em uma delas, reobtemos Minkowski,

no qual o campo elétrico assintoticamente tende a zero. A outra possibilidade é que o

campo elétrico seja uma constante de valor√b/2. Nesta situação, LF = 0 e L = −b

4ae

portanto, a partir de S (r) vemos que o campo elétrico funciona como uma constante

cosmológica e o espaço-tempo é do tipo de-Sitter [20].

Um outro ponto a ser analisado, corresponde a r = 0, o qual [20] mostra que

é uma singularidade física, para todos os valores de a e b. De fato, calculando R e/ou

RµνRµν , a divergência está sempre presente no ponto r = 0.

Sabemos que uma singularidade física pode ser do tipo espaço, no caso em que

os cones de luz internos estão todos voltados para a singularidade (caso de Schwarzs-

child) ou do tipo tempo onde é permitido, a princípio, que raios de luz saiam de uma

região de curvatura infinita e se acumulem assintoticamente em uma região de curva-

tura finita (caso de Reissner-Nordström). Voltando ao caso BI, segundo [20], diferen-

tes valores dos parâmetros m, q, a e b produzem diferentes tipos de singularidades em

r = 0. Por exemplo, para b < 0 e a < 1 podemos ter uma singularidade do tipo tempo

ou do tipo espaço dependendo de relações específicas dos quatro parâmetros. Já para


b < 0 e 1/2 < a ≤ 3/2 a singularidade sempre será do tipo-tempo como em Reissner-

Nordström.

4.2 Métrica Efetiva

Durante o estudo de eletrodinâmicas não lineares, vimos que a estrutura não linear

das equações faz um campo eletromagnético de fundo F µν interagir consigo mesmo e

com uma perturbação tipo onda φµν que nele se propague. Isto afeta a propagação da

radiação, que em princípio deveria satisfazer, no caso plano, apenas ηµν de Minkowski,

mas que agora segue uma nova métrica, já que interage com o campo de fundo que

permeia o espaço-tempo. Esta métrica é denominada métrica efetiva (2.46).

Para um espaço-tempo curvo a métrica efetiva pode ser obtida através da pres-

crição do acoplamento mínimo, i.e.

gµν = gµν + γ±FµβF ν

β (4.34)

com γ± dado por (2.45) e dependente de (2.44). Adotar uma descrição de métrica efetiva

corresponde a uma geometrização da interação e nesta situação as ferramentas mate-

máticas da relatividade geral podem ser empregadas. Logo, é razoável esperar que o

acoplamento mínimo aplicado à métrica do espaço-tempo, também possa ser aplicado à

métrica efetiva.

Para efeitos de comparação entre significados físicos, a métrica gµν (4.32) des-

creve como uma fonte de campo gravitacional e com carga, afeta o movimento de par-

tículas. Enquanto isto a métrica efetiva gµν , que leva em conta os efeitos dos campos

gravitacional e eletromagnético de fundo, indica o caminho percorrido por fótons. Ob-

serve que no caso particular de Maxwell (L = F ), γ± = 0, e portanto recuperamos a

descrição de Reissner-Nordström para os fótons.


Substituindo (4.14) em (4.34), gµν , componente a componente, é dada por:

gtt = e−ν(r)[1 + γ±E

2 (r)],

grr = −eν(r)[1 + γ±E

2 (r)],

gθθ = −r−2,

gφφ = −r−2 sin−2 θ.

Para obtermos a métrica com índices covariantes, fazemos:

gλµgµν = δλν

e assim:

gtt = eν(r)[1 + γ±E

2 (r)]−1

,

grr = −e−ν(r)[1 + γ±E

2 (r)]−1

, (4.35)

gθθ = −r2,

gφφ = −r2 sin2 θ.

O elemento de linha efetivo que descreve a propagação dos fótons é escrito como

ds2 = eν(r)[1 + γ±E

2 (r)]−1

dt2 − e−ν(r)[1 + γ±E

2 (r)]−1

dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2. (4.36)

Observe que a NLED influencia ds2 de duas formas distintas: a primeira é uma influência

via espaço-tempo que ocorre através de S (r) contida em eν(r); já a segunda ocorre devido

ao termo 1 + γ±E2 (r) que representa a interação com o campo elétrico de fundo.

Como primeira aplicação, façamos a caracterização de horizontes efetivos1 atra-

vés do deslocamento radial de um raio luminoso. Neste caso, a equação da geodésica é

dada por:

eν(r)[1 + γ±E

2 (r)]−1

dt2 − e−ν(r)[1 + γ±E

2 (r)]−1

dr2 = 0.

1Horizontes sentidos pela radiação.


Portanto,

eν(r)dt2 = e−ν(r)dr2,

ou: (dt

dr

)2

=e−ν(r)

eν(r)= e−2ν(r) (4.37)

Esta equação é a mesma obtida a partir da métrica do espaço-tempo usual. Isto nos

permite concluir que não há horizontes efetivos devido à ds2. Nota-se que este resultado

independe da lagrangeana adotada, além disto, considera a auto-interação do campo

eletromagnético [56].

A abordagem de uma métrica efetiva na descrição de buracos negros estáticos já

foi realizada, por exemplo, em [95]. Porém, diferentemente do nosso trabalho, em [95] é

adotada a lagrangeana específica de Born-Infeld:

LBI = b2

[1−

√1− 2F

b2− G2

b4

]. (4.38)

Para LBI , a solução eν é apresentada e depende de funções elípticas de Legendre:

eν = 1− 2m

r+

2

3b2r2

(1−

√1 +

q2

b2r4

)+

2q2

3r

√b

qF

(arc cos

br2/q − 1

br2/q + 1

,

1√2

).

A partir de uma análise numérica desta equação, verifica-se [95] que existe uma singula-

ridade real em r = 0, e que é possível existir um, dois ou nenhum horizonte de eventos,

análogo a Reissner-Nordström. Além disso, a métrica efetiva para Born-Infeld é dada

por [84]

gµν = gµν +1

b2 − 2FF µβF ν

β ,

que, no caso esfericamente simétrico se reduz a

ds2 = eν[b2 − E2

b2

]dt2 − e−ν

[b2 − E2

b2

]dr2 − r2dθ2 − r2 sin2 θdφ2. (4.39)

Note que para b E2 recuperamos Maxwell e gµν passa a ser equivalente a gµν . Baseado


em (4.39), a autora de [95] mostra que a trajetória dos fótons é descrita por

(1 +

q2

b2r4

)−1/2 eν t2 − e−ν r2

−(

1 +q2

b2r4

)1/2

r2φ2 = 0,

onde os termos entre parênteses representam justamente os termos advindos da intera-

ção com o campo eletrostático de fundo.

Analisemos a seguir, como o acoplamento entre NLED e a gravitação afeta a

propagação da radiação através da métrica efetiva.

4.3 Influência da NLED na propagação da radiação

Nesta seção, nosso objetivo é discutir como NLEDs influenciam a propagação da ra-

diação eletromagnética. No capítulo anterior, vimos que a própria curvatura do espaço-

tempo, gerada por um corpo carregado, induz uma alteração na trajetória e comprimento

de onda de fótons. Entretanto, tal dedução foi obtida para a geometria de Reissner-

Nordström. Agora, vejamos como uma extensão ao eletromagnetismo clássico pode

influenciar nessa propagação. Para os nossos propósitos vamos considerar a métrica

efetiva (4.36).

Embora a generalidade da métrica efetiva seja importante, para efeitos de simpli-

ficação, vamos considerar uma aproximação, tal que as não linearidades sejam pequenas

correções da Lagrangeana de Maxwell. Esta simplificação permitirá realizar boa parte

dos cálculos de forma analítica. Além disso, a alta precisão de experimentos na QED

indicam que as não linearidades devem ser de fato extremamente pequenas [96].

Neste contexto, uma NLED genérica pode ser aproximada por

L(F,G2

)≈ F +

1

2a+F

2 +1

2a−G

2 +O (3) , (4.40)

onde O (3) representa termos de ordem mais alta. Por pequenas correções entende-se


que

a+F ∼ a−G ∼ a+E2 << 1. (4.41)

Nota-se que a correção proposta admite que os termos acima são adimensionais e equi-

valentes entre si. Se considerarmos ainda a condição de que a densidade de energia

mantenha-se positiva é necessário que a± > 0 [34].

Para (4.40) temos

LF ≈ 1 + a+F ; LFF ≈ a+,

LG ≈ a−G; LGG ≈ a−; LFG ≈ 0

Observe que mesmo que G = 0 (situação eletrostática), isto não é condição para que LGG

também seja zero.

Para o cálculo de γ± (2.45), em que LFG = 0, temos:

γ± =−LF (LGG + LFF ) + 2F (LFFLGG)± |2F (LFFLGG) + LF (LGG − LFF )|

2 [2LF (LGGF )− L2F ]

.

Devido ao sinal ±, podemos considerar, sem perda de generalidade, o argumento do

módulo como positivo. Nesta situação

γ+ =LFFLF

e γ− =LGG

LF − 2FLGG.

Em particular, para a situação esfericamente simétrica (e portanto eletrostática) temos

2F = E2 e G = 0. Logo, considerando correções de primeira ordem (4.41):

γ+E2 =

a+E2

1 + 12a+E2

≈ a+E2

(1− 1

2a+E

2

)≈ a+E

2,

e:

γ−E2 =

a−E2

1 + 12a+E2 − a−E2

≈ a−E2

(1− 1

2a+E

2 + a−E2

)≈ a−E

2.

Logo, o fator de nosso interesse 1+γ±E2, passa a ser escrito em termos do campo elétrico


e das novas constantes, como

1 + γ±E2 ≈ 1 + a±E

2. (4.42)

Consideremos agora o cálculo de eν . Aplicando novamente as aproximações

(4.41), desta vez em (4.30), obtemos:

S (r) ≈ 2

∫r2

(−(

1 +1

2a+E

2

)E2 +

1

2E2 +

1

8a+E

4

)dr,

S (r) ≈ −∫r2

(E2 +

3

4a+E

4

)dr.

Como era de se esperar, S (r) é função do campo elétrico, que por sua vez, depende

de r. Este campo deve ser obtido a partir de (4.28). Novamente, considerando apenas

correções de primeira ordem, chegamos a:

E ≈ q

r2

[1− 1

2a+

( qr2

)2], (4.43)

onde

a+E2 << 1⇒ a+

( qr2

)2

<< 1. (4.44)

(Para maiores detalhes ver apêndice B).

Para S (r), precisamos de E2 (r), que com as aproximações resulta em

E2 (r) ≈( qr2

)2(

1− a+

( qr2

)2). (4.45)

Substituindo (4.45) em S (r) e integrando chegamos a

S (r) ≈ q2

r− k

20

q4

r5,

onde k ≡ a+.


Portanto, substituindo este último resultado em (4.31), obtemos finalmente

eν(r) ≈ 1− 2m

r+q2

r2− 1

20kq4

r6. (4.46)

Observe que o termo (4.42) corresponde àquele com birrefringência, originado de

uma contribuição pura da NLED. Dessa forma, deve ser apresentado sob uma ou outra

polarização. O a± é mantido ao longo das expressões que seguirão, para que facilmente

se identifique esta contribuição do eletromagnetismo não linear. Por outro lado, (4.46) é

originado da geometria do espaço-tempo. Devido à simetria esférica, E é radial e G = 0,

e consequentemente a− não é utilizado em S (r). Logo, a+ deve existir independente-

mente da polarização dos fótons, já que não depende unicamente da NLED. Optamos

pela substituição de a+ por k em (4.46) para facilmente identificarmos a contribuição da

geometria do espaço-tempo e da métrica efetiva.

Para efeitos de compactificação, vamos definir o termo de Reissner-Nordström:

W (r) = 1− 2m

r+q2

r2. (4.47)

Utilizando (4.45), (4.42), (4.46) e (4.47), nos elementos da métrica efetiva (4.35), encontra-

mos:

gtt ≈ W (r)− k

20

q4

r6− a±W (r)

( qr2

)2

, (4.48)

1

grr≈ −

(W (r)− k

20

q4

r6+ a±W (r)

( qr2

)2). (4.49)

As equações (4.48) e (4.49) compõem a base para estudar os efeitos da NLED na propaga-

ção da radiação. Em particular veremos nas duas próximas sub-seções, como o redshift

sofrido por fótons e a trajetória destes são influenciados pela métrica efetiva.

Antes de encerrar esta seção, vamos explorar como as pequenas correções da

NLED afetam a localização de horizontes de eventos. Os horizontes são obtidos de gtt =

0. Assim, de (4.46 ) temos

r2 − 2mr + q2 − k

20

q4

r4≈ 0. (4.50)


Esta equação pode ser resolvida de forma aproximada pois o último termo é muito pe-

queno. Assim,

r± (k) ≈ r±(0) +dr

dk

∣∣∣∣k=0

k.

Por outro lado, derivando (4.50) com relação a k temos

2rdr

dk− 2m

dr

dk− 1

20

q4

r4+k

5

q4

r5

dr

dk= 0.

Em k = 0

r2±(0) − 2mr±(0) + q2 = 0⇒ r±(0) = m±

√m2 − q2, (4.51)

que corresponde ao horizonte de eventos de Reissner-Nordström. Além disso,

(r±(0) −m

) drdk

∣∣∣∣k=0

=1

40

q4

r4±(0)

⇒ dr

dk

∣∣∣∣k=0

=1(

r±(0) −m) 1

40

q4

r4±(0)

⇒

dr

dk

∣∣∣∣k=0

=±1

40√m2 − q2

q4

r4±(0)

.

Portanto,

r± ≈ r±(0) ±r2±(0)

40√m2 − q2

kq4

r6±(0)

. (4.52)

Este resultado indica r+ > r+(0) e r− < r−(0), e concluímos que a NLED desloca o hori-

zonte externo para fora e o horizonte interno para dentro.

4.3.1 Redshift Geométrico

Para analisar como o red-shift de fótons é sensível à presença de uma métrica efetiva,

recordemos que fótons propagando-se entre dois pontos dentro de um campo gravita-

cional tem sua frequência alterada. Isto ocorre seja no afastamento ou aproximação. Uma

forma de visualizarmos isto matematicamente é admitindo dois observadores em pontos

distintos: um deles estando, por exemplo, em região assintótica e outro junto a fonte de

emissão.

No capítulo 3 vimos que o red-shift luminoso é dado por (3.8). A dedução apre-


sentada considerou a definição de tempo próprio, aplicando-a para os dois observado-

res: um responsável pela emissão e outro pela recepção de fótons. A simetria estática

foi adotada, tendo em vista que é do interesse do presente trabalho. Assim, o redshift

geométrico será dado por

(1 + z)± =

√gtt (r2)

gtt (r1). (4.53)

Observe que z possui uma parte gravitacional dado por gtt e uma parte puramente ele-

tromagnética descrita por γ±F µβF νβ . É perceptível o papel da métrica efetiva na geome-

trização da auto-interação presente nas NLEDs.

Supondo pequenas correções à Lagrangeana de Maxwell (4.41) reescrevemos

(4.53) como

(1 + z)± ≈

√√√√√√W (r2)− k20q4

r62− a±W (r2)

(qr22

)2

W (r1)− k20q4

r61− a±W (r1)

(qr21

)2 .

Adotando, por exemplo, r1 = r e r2 →∞, esta equação nos dá:

(1 + z)± ≈[1− 2m

r+q2

r2− k

20

q4

r6− a±W (r)

( qr2

)2]−1/2

. (4.54)

O três primeiros termos do lado direito desta equação correspondem aos termos

usuais de Reissner-Nordström. Nestes termos o red-shift sofre um acréscimo devido a

massa, mas por outro lado, sofre um decréscimo com a carga (termo de Maxwell). Os

dois últimos termos descrevem o efeito da NLED: o quarto termo é consequência da

curvatura do espaço-tempo gerada pelo termo eletromagnético não-linear e o quinto é

devido à métrica efetiva da NLED, isto é, um red-shift criado por fótons interagindo com

o campo elétrico de fundo. Note que ambos os termos levam a um aumento do red-shift

z. É também importante notar que a métrica efetiva para a lagrangeana apresentada

indica a dependência do red-shift com a polarização desde que a+ 6= a−.

Façamos agora mais uma aproximação, dessa vez de campo fraco:

2m

r∼ q

r 1 (4.55)


Nesta situação, a equação do red-shift (4.54) passa por outra aproximação, tornando-se:

z± ≈m

r+

3

2

m2

r2− q2

2r2+a±2

( qr2

)2

. (4.56)

Observe que a influência da NLED via espaço-tempo desaparece pois no regime de

campo fraco ele é um termo de segunda ordem

k

20

q4

r6=

k

20

( qr2

)2 q2

r2 a±

2

( qr2

)2

.

Assim, a primeira correção de NLED vem da métrica efetiva e não do espaço-tempo.

Outro resultado particular e interessante, ocorre quando os efeitos gravitacionais

são “desligados” e observamos apenas efeitos eletromagnéticos. Isto é obtido fazendo

W (r) = 1 e k = 0 em (4.54), resultando em um redshift puramente eletromagnético:

z± ≈1

2a±

( qr2

)2

(4.57)

Em geral, a± são parâmetros livres mas no caso particular da eletrodinâmica de

Euler-Heinsenberg a± são dados pela QED. De fato, a Lagrangeana de Euler-Heinsenberg

é dada por [49]

LEH ≈ F +2α2~3

45m4e

(4F 2 + 7G2

), (4.58)

onde α é a constante de estrutura fina e me é a massa do elétron. Assim, concluimos que:

a+ =16α23

45m4e

, a− =28α23

45m4e

.

Recuperando as unidades2, observamos que

a+ =16α2~3c3

45m4c8∼ a− =

28α2~3c3

45m4c8∼ 10−30 cm

3

erg.

Para termos uma idéia da magnitude do termo não linear no contexto da eletro-

2Unidades ~c = 197MeV fm, mc2 = 0.5MeV e 1fm = 10−13cm, 1MeV = 1, 6× 10−6erg.


dinâmica de Euler-Heisenberg, consideremos a situação hipotética: uma estrela como o

sol, com mesmo raio R = 7 × 1010cm e massa M = 2 × 1033g, produzindo um buraco

negro extremo, ou seja, m = q. Apesar do caráter figurativo, o caso extremo indica o

quanto influente o fator da NLED pode ser. Para os dados apresentados 3, temos

q

R∼ m

R→ MG

Rc2∼ 2× 10−6,

q2

R2∼ m2

R2∼ 4× 10−12,

a±2

(q

R2

)2

→ a±2G

(MR2

)2

∼ 5× 10−15

onde usamos que q =√GM é válido para um buraco negro extremo. Logo, o termo não

linear é nove ordens de magnitude menor do que o termo dominante m/r. Isto revela a

insignificância do termo não linear nesta situação. Porém, se diminuirmos o raio man-

tendo todos os outros valores inalterados, este termo pode tornar-se importante. Para

visualizarmos isto, consideremos uma estrela com um raio 10−3R (um objeto hipotético

entre uma anã branca 103km e uma estrela de nêutron 10km). Neste caso,

m

10−3R∼ 2× 10−3,

q2

10−6R2∼ m2

10−6R2∼ 4× 10−6,

a±2

(q

10−6R2

)2

∼ 5× 10−3 (4.59)

e o termo não linear se torna da mesma ordem de grandeza do termo dominante.

As ordens de grandeza obtidas sugerem que uma possível detecção dos efeitos

não lineares da polarização do vácuo possam ser detectados nos arredores de magnetars,

estrelas de nêutrons com campos magnéticos muito intensos (1014−1015 G). Discutiremos

um pouco mais sobre esta possibilidade na conclusão.

3Usamos G = 6.67× 10−8cm3/s2 × g e c = 3× 1010cm.


4.3.2 Desvio Geodésico de um raio luminoso

Outra aplicação importante está no desvio geodésico sofrido pela luz, que agora anali-

saremos considerando a métrica efetiva (4.36).

No capítulo 3, verificamos que dada uma região sob a influência de um campo

gravitacional e um campo elétrico, ambos em uma geometria esfericamente simétrica e

estática, o desvio geodésico de um raio luminoso que se propaga do infinito para um

ponto a uma distância r, da origem de nosso sistema de coordenadas, é dada por (3.21).

Na presença de uma métrica efetiva, esta trajetória é

φ (r)− φ∞ =

∞∫r

√grr (r)

[(r

r0

)2(gtt (r0)

gtt (r)

)− 1

]−1/2dr

r. (4.60)

onde r0 é a distância de máxima aproximação.

Esta equação é geral, mas para uma melhor análise, vamos considerar a situação

de pequenas correções a Maxwell. Neste contexto, as componentes da métrica gtt e grr,

como vimos, são dadas por:

(gtt)± ≈ eν(r)[1 + a±E

2 (r)]−1

,

(grr)± ≈ e−ν(r)[1 + a±E

2 (r)]−1

,

com

eν(r) ≈ W (r)− 1

20kq4

r6

onde W (r), (4.47), representa o termo de Reisnner-Nordström.

Considerando apenas correções de primeira ordem, a equação (4.60) é aproxi-

mada por

(φ (r)− φ∞)± ≈∞∫r

f1 (r)

1− a±

( qr2

)2

f2 (r) + kq4

r6f3 (r)

dr (4.61)


onde

f1 (r) =1

r

[(r

r0

)2

W (r0)−W (r)

]−1/2

,

f2 (r) =1

2+

1

2

W (r0)

(1−

(rr0

)4)

W (r0)−(r0r

)2W (r)

,

f3 (r) =1

40W (r)

1−W (r0)−

(rr0

)6

W (r)

W (r0)−(r0r

)2W (r)

.(Detalhes de cálculos estão no apêndice C).

Nosso resultado (4.61) contém três termos. O primeiro é efeito padrão da eletros-

tática clássica no contexto da relatividade geral, fundamental para recaírmos no caso de

Reissner-Nordström. O segundo termo, por sua vez, é uma contribuição da métrica efe-

tiva da NLED, onde vemos a presença da birrefringência em a±, indicando que o desvio

que um raio luminoso sofre dependerá de sua polarização. Por fim, o terceiro termo é a

correção não linear do campo eletromagnético de fundo na geometria do espaço-tempo.

Este é resultado confirma que o uso da métrica efetiva gera um termo extra as-

sociado a f2 (r). De fato, na ausência desse formalismo, o segundo termo não se faria

presente e se acreditaria que o campo de fundo afetaria o movimento de fótons apenas

devido ao fator da geometria do espaço-tempo.

Assim como na análise do redshift geométrico, também realizemos aqui uma

aproximação de campo fraco (ligeiramente diferente)

2m

r∼ q2

r2 1.

Procedendo com todas as contas descritas na segunda parte do apêndice C, chegamos a

(φ (r)− φ∞)± ≈ arcsin(r0

r

)+m

r0

h1 (r)− q2

2r20

h2 (r) +1

2a±q2

r40

h3 (r) , (4.62)


onde

h1 (r) = 2−√

1−(r0

r

)2

−

√1− r0

r

1 + r0r

,

h2 (r) =3

2arcsin

(r0

r

)− 1

2

(r0

r

)√1−

(r0

r

)2

,

h3 (r) =9

8arcsin

(r0

r

)− 1

8

(r0

r

)√1−

(r0

r

)2

+1

4

√1−

(r0

r

)2 (r0

r

)3

.

No capítulo 3 vimos que o desvio observado em uma região longe da fonte é

dado por

∆φ = 2 |φ (r0)− φ∞| − π.

Assim, o desvio máximo (assintótico) é

∆φ± ≈ 2

∣∣∣∣π2 + 2m

r0

− q2

2r20

[3π

4

]+

1

2a±q2

r40

[9

8

π

2

]∣∣∣∣− π ⇒∆φ± ≈ 4

m

r0

− q2

r20

[3π

4

]+

9

16πa±q

2

r40

. (4.63)

Vale notar que o desvio total dependerá da polarização da radiação definida, na aproxi-

mação de campo fraco, por a±.

Esta equação mostra claramente a contribuição da massa, da carga elétrica e do

termo não linear no desvio geodésico na aproximação de campo fraco. No caso da la-

grangeana de Euler-Heinsenberg (4.58), a contribuição do último termo pode ser esti-

mado através de uma construção análoga a apresentada na seção 4.3.1. Resultados preli-

minares do desvio de luz devido à influência de polarização do vácuo foram obtidos em

[53].


Casos específicos podem ser obtidos da expressão acima:

∆φ± ≈q

r0

[4− q

r0

(3π

4

)]+

9

16πa±q

2

r40

(extremal), (4.64)

∆φ ≈ 4m

r0

− q2

r20

[3π

4

](Reissner-Nordström), (4.65)

∆φ ≈ 4m

r0

(Schwarzschild), (4.66)

sendo este último bastante conhecido.

Como na aplicação anterior, aqui também podemos “desligar” os efeitos gravi-

tacionais e observamos apenas efeitos eletromagnéticos, a partir de W (r) = 1 e k = 0,

resultando em h1 (r) = h2 (r) = 0 em (4.62). Neste caso o desvio total para um observador

assintótico é dado por

∆φPE± ≈ a±9πq2

16r40

. (4.67)

Assim, mesmo na geometria plana, a NLED por si só já é capaz de desviar a trajetória de

fótons. Hipoteticamente, este resultado poderia ser usado para detectar a polarização do

vácuo através do desvio de luz.

CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES

Neste trabalho tivemos por objetivo a compreensão de como a eletrodinâmica não linear

afeta a propagação da radiação em torno de objetos com simetria esférica e estática. As-

sim, para o uso das equações de Einstein, a geometria admitida resulta em um elemento

de linha dado por (3.4) para o exterior de um corpo compacto. A busca da solução des-

tas equações, acopladas às equações de NLED, nos levaram à relação LFE (r) = qr2

que

correspondem a um vínculo entre o campo elétrico e a eletrodinâmica utilizada. No caso

de Maxwell, em que L = F , o campo elétrico se reduz ao habitual. Ainda da relação en-

tre gravitação e NLED, encontramos uma solução que estende a de Reissner-Nordstrom

incluindo a não linearidade na eletrodinâmica de Maxwell. Esta solução obtida em ter-

mos da função S (r) depende da eletrodinâmica adotada, pois S (r) é uma integral dada

em termos do campo eletrostático−→E e da lagrangeana L (F,G). Com isso, vimos que o

elemento de linha no contexto das NLEDs passa a ser escrito como (4.32), recuperando

Reissner-Nordstrom quando S (r) = q2

robtido a partir de L = F .

Além dos usuais efeitos do espaço-tempo, a propagação da radiação em NLEDs

sofre a influência de um campo eletromagnético de fundo que pode ser modelado através

de uma geometria efetiva. Isto corresponde a uma geometrização do eletromagnetismo

para que o mesmo possa ser analisado em conjunto com a gravitação. Em tal geome-

tria, a métrica é dada por gµν = gµν + γ±FµβF ν

β , onde gµν é a métrica do espaço-tempo

77

Capítulo 5. Conclusões 78

e γ±F µβF νβ representa o efeito do campo eletromagnético de fundo. Enquanto fótons

seguem geodésicas nulas em gµν , o restante das partículas seguem geodésicas usuais ca-

racterizadas por gµν . Nesta descrição, há a possibilidade de que a lagrangeana adotada

indique dois caminhos para os fótons, a depender de sua polarização. Este efeito, cha-

mado birrefringência e indicado por ± em γ±, não está presente na eletrodinâmica de

Maxwell.

A consideração de uma métrica efetiva nos levou a questionar se há um novo tipo

de horizonte de eventos, denominado horizonte efetivo, cujos efeitos seriam sentidos

apenas por fótons. Verificamos no capítulo 4 que este não existe. Por outro lado, ainda

haveria a possibilidade dos horizontes habituais serem afetados pela NLED. Neste caso,

para que este estudo fosse realizado, necessitamos de uma métrica particular originada

de uma lagrangeana específica. Admitindo que esta lagrangeana representa pequenas

correções a Maxwell, mostramos que a atuação da NLED sobre os horizontes habituais

de Reissner-Nordstrom está no seu deslocamento: o horizonte interno fica mais próximo

da singularidade, enquanto o horizonte externo fica mais distante.

Outra aplicação importante corresponde ao aumento do red-shift z de linhas es-

pectrais na presença de uma eletrodinâmica não-linear. Ainda adotando pequenas cor-

reções a Maxwell, observamos que z depende de quatro fatores. O primeiro corresponde

à massa m, associado à solução de Schwarzschild. O segundo é o termo de Reissner-

Nordstrom que depende somente da carga q. O terceiro representado pelo termo k in-

dica a contribuição da não linearidade na geometria do espaço-tempo. Por fim, o último

termo ligado a a± representa a contribuição da auto-interação do campo eletromagnético.

Observe que este último termo é o único sensível à polarização da radiação. No limite de

campo fraco, vimos que a contribuição não linear do espaço-tempo é desprezível, pois se

trata de um termo de segunda ordem. Dessa forma, verificou-se que a primeira correção

de NLED vem da métrica efetiva e não do espaço-tempo.

A fim de estimar os efeitos da não linearidade, adotamos a teoria de Euler-

Heisenberg cujas constantes a± são conhecidas da QED. Adotando um corpo carregado

extremal hipotético com r = R e m = M, concluimos que o termo não linear é nove

Capítulo 5. Conclusões 79

ordens de magnitude menor do que o termo dominante m/r. Porém, constatamos que

para uma diminuição do raio, é possível que este termo seja significativo. Por exemplo,

para um objeto compacto com um raio 10−3R, o termo não linear e o termo dominante

passam a ter a mesma ordem de grandeza.

Uma aplicação mais realista consiste na resolução das equações, no contexto das

NLEDs, para o exterior de uma distribuição estacionária de matéria. O modelo aplica-

se a uma estrela de nêutrons, tipo magnetar, que possui um campo magnético bastante

intenso (1014 − 1015 G). O grau de complexidade associado à resolução das equações

para esta aplicação é extremamente elevado. Entretanto, sem muito rigor podemos es-

timar o efeito da não linearidade, observando que o termo a±(qr2

)2 obtido no capítulo 4

pode ser reescrito como a±E2Sup, onde E2

Sup representa a densidade de energia eletrostá-

tica na superfície do objeto. Assim, no contexto de um magnetar espera-se que o termo

não linear dominante seja da ordem de a±B2Sup, com B2

Sup representando a densidade de

energia magnetostática na superfície. Para um campo de 1015 G, e considerando a ele-

trodinâmica de Euler-Heisenberg, teríamos B2Sup ∼ 1030erg/cm3 com a± ∼ 10−30cm3/erg

e portanto a±B2Sup ∼ 1. No caso particular de uma estrela de nêutrons cuja massa é da

ordem de uma massa solar e o raio é de 10 km, obtemos que a razão é m/r ∼ 10−1. Isto

sugere que os efeitos não lineares de polarização do vácuo são dominantes.

Como última aplicação calculamos o desvio geodésico sentido pela radiação

na vizinhança de um corpo massivo carregado. Na aproximação de campo fraco, o

resultado obtido revelou que o desvio geodésico é aquele da geometria de Reissner-

Nordström acrescido das pequenas correções à eletrodinâmica de Maxwell. Estas cor-

reções afetam o caminho geodésico dos raios de luz, aumentando o desvio que seria

experimentado na teoria linear. Foi obtida também uma expressão para o desvio onde

apenas o efeito devido à auto-interação na NLED é levada em consideração.

APÊNDICE A

OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE CAMPO NO

CONTEXTO NLED

Neste apêndice vamos calcular as equações de campo da ação

S = −∫ √

−g[R

16π− 1

4πL (F,G)

]d4x,

onde

F ≡ −1

4FµνF

µν = −1

4FγλFµνg

µγgνλ,

G ≡ −1

4FµνF

µν = −1

4

(εµναβ

2√−g

FαβFµν

).

Primeiramente calculemos a variação da ação com relação a Aµ:

δAS =1

4π

∫d4x√−g(∂L

∂F

∂F

∂∂µAν+∂L

∂G

∂G

∂∂µAν

)δ∂µAν

Integrando por partes, já desprezando os termos de superfície temos

δAS = − 1

4π

∫d4x∂µ

[√−g(LF

∂F

∂∂µAν+ LG

∂G

∂∂µAν

)]δAν

80

Apêndice A. Obtenção das equações de campo no contexto NLED 81

onde LF ≡ ∂L∂F

e LG ≡ ∂L∂G

. Além disso, sabemos que

∂F

∂∂αAβ= −1

2F µν ∂ (∂µAν − ∂νAµ)

∂∂αAβ= −Fαβ,

e∂G

∂∂αAβ= −1

2F µν ∂ (∂µAν − ∂νAµ)

∂∂αAβ= −Fαβ.

Logo, δS resulta em

δAS =1

4π

∫d4x∂µ

[√−g(LFF

µν + LGFµν)]δAν .

Pelo princípio de mínima ação temos

∂µ

[√−g(LFF

µν + LGFµν)]

= 0.

Observe

∇µ

(LFF

µν + LGFµν)

= ∂µ

(LFF

µν + LGFµν)

+ Γµαµ

(LFF

αν + LGFαν)

+ Γναµ

(LFF

µα + LGFµα).

Como [94]

Γµαµ =1√−g

∂α√−g,

então

∇µ

(LFF

µν + LGFµν)

= ∂µ

(LFF

µν + LGFµν)

+1√−g

∂α√−g(LFF

αν + LGFαν)

=1√−g

∂µ

[√−g(LFF

µν + LGFµν)].

Portanto, concluímos que

∇µ

(LFF

µν + LGFµν)

= 0. (A.1)


Vejamos agora a variação da ação com relação a gµν :

δgS = −∫δg

(√−g R

16π

)d4x+

1

4π

∫δg[√−gL (F,G)

]d4x.

A primeira parte resulta em [90]

δg

(√−g R

16π

)=Gµν

16π

√−gδgµν ,

onde Gµν é o tensor de Einstein. Já para a segunda parte temos

1

4π


]d4x =

1

4π

∫ [Lδg√−g +

√−gδgL (F,G)

]d4x

=1

4π

∫ [−√−g2

gµνL+√−g[LF

∂F

∂gµν+ LG

∂G

∂gµν

]]δgg

µνd4x,

(A.2)

onde usamos [52]

δg√−g = −1

2

√−ggµνδggµν .

Necessitamos calcular

∂F

∂gµν= −1

4FγλFαβ

∂(gαγgβλ

)∂gµν

= −1

4FγλFαβ

[gβλδαµδ

γν + gαγδβµδ

λν

]= −1

4

[F βν Fµβ + FγνF

γµ

]=

1

2FµβF

βν ,

e

∂G

∂gµν= −1

4

(ερσαβ

2FαβFρσ

)∂

∂gµν

(1√−g

)=

1

4

(ερσαβ

2FαβFρσ

)1

(√−g)

2

∂√−g

∂gµν

=1

4

(ερσαβ

2FαβFρσ

)1

(√−g)

2

(−1

2

√−ggµν

)= −1

4

(ερσαβ

2√−g

FαβFρσ

)1

2gµν =

G

2gµν .


Substituindo estes resultados em (A.2) temos

1

4π


]d4x =

1

4π

∫ √−g[−1

2gµνL+ LF

1

2FµβF

βν + LG

G

2gµν

]δgg

µνd4x

E portanto pelo princípio da mínima ação chegamos as equações de campo

−Gµν

16π+

1

4π

[−1

2gµνL+ LF

1

2FµβF

βν + LG

G

2gµν

]= 0,

ou

Gµν = 2[LFFµβF

βν + LGGgµν − gµνL

](A.3)

APÊNDICE B

CORREÇÕES LINEARES AO CAMPO ELÉTRICO

É possível deduzir esta aproximação linear (4.43) a partir da equação (4.28). Utilizando

(4.41) e considerando apenas correções lineares temos

LFE =q

r2⇒(

1 +a+E

2

2

)E =

q

r2.

Ou seja,a+

2E3 + E − q

r2= 0.

Fazendo,

Y = E − q

r2⇒ E = Y +

q

r2,

a+

2= γ,

temos:

γ(Y +

q

r2

)3

+ Y = 0. (B.1)

Expandindo Y linearmente em γ obtemos:

Y (γ) ≈ Yγ=0 +dY

dγ

∣∣∣∣0

γ + ... (B.2)

84

Apêndice B. Correções lineares ao campo elétrico 85

Para obter dYdγ

∣∣∣0

derivamos (B.1) com relação a γ:

(Y +

q

r2

)3

+ 3γ(Y +

q

r2

)2 dY

dγ+dY

dγ≈ 0. (B.3)

Logo, fazendo γ = 0 em (B.1) e (B.3) segue:

Yγ=0 = 0⇒ E ≈ q

r2,( q

r2

)3

+dY

dγ

∣∣∣∣0

≈ 0⇒ dY

dγ

∣∣∣∣0

≈ −( qr2

)3

.

Substituindo estes dois resultados em (B.2) obtemos

Y (γ) ≈ −( qr2

)3

γ ⇒ E ≈ q

r2−( qr2

)3

γ

e portanto,

E (r) ≈ q

r2

(1− a+

2

( qr2

)2).

APÊNDICE C

APROXIMAÇÕES USADAS NO ESTUDO DO DESVIO

GEODÉSICO

Neste apêndice vamos obter a aproximação linear da expressão

φ (r)− φ∞ =

∞∫r

√grr (r)

[(r

r0

)2(gtt (r0)

gtt (r)

)− 1

]−1/2dr

r, (C.1)

e em seguida a aproximação de campo fraco da mesma.

As componentes da métrica gtt e grr, como vimos, são dadas por:

(gtt)± ≈ eν(r)[1 + a±E

2 (r)]−1

,

(grr)± ≈ e−ν(r)[1 + a±E

2 (r)]−1

,

onde

eν(r) ≈ W (r)− 1

20kq4

r6(C.2)

com W (r) sendo o termo de Reisnner-Nordström.

Assim, as componentes da métrica podem ser reescritas como:

(gtt)± ≈ eν(r)[1− a±E2 (r)

],

(grr)± ≈ e−ν(r)[1− a±E2 (r)

].

86

Apêndice C. Aproximações usadas no estudo do desvio geodésico 87

Vamos inserir o campo elétrico também escrito em termos da aproximação

E (r) ≈ q

r2

(1− a+

2

( qr2

)2)

Logo,

(gtt)± ≈ eν(r)

[1− a±

( qr2

)2],

(grr)± ≈ e−ν(r)

[1− a±

( qr2

)2].

Substituindo (C.2), temos:

(gtt)± ≈(W (r)− 1

20kq4

r6

)[1− a±

( qr2

)2],

(grr)± ≈(W (r)− 1

20kq4

r6

)−1 [1− a±

( qr2

)2],

Manipulemos estas componentes, recordando que k = a+ e que a±(qr2

)2 1:

(gtt)± ≈ W (r)− 1

20kq4

r6− a±

( qr2

)2

W (r) ,

(grr)± ≈[1− a±

( qr2

)2]

1

W (r)

(1− 1

20W (r)kq4

r6

)−1

≈[1− a±

( qr2

)2]

1

W (r)

(1 +

1

20W (r)kq4

r6

),

Façamos mais uma aproximação na componente (grr)± e por fim, temos resumidamente:

(gtt)± ≈ W (r)− 1

20kq4

r6− a±

( qr2

)2

W (r) ,

(grr)± ≈1

W (r)+

1

20W 2 (r)kq4

r6− 1

W (r)a±

( qr2

)2

.

Para compactificação, definimos:


q4

r6= b,

q2

r4= s.

Como nosso objetivo é obter a equação de trajetória para fótons, devemos subs-

tituir estas estas componentes em (C.1). Afim de simplificarmos o entendimento, calcu-

lemos separadamente seus termos. Primeiramente:

(grr)1/2± ≈

[1

W (r)+

1

20W (r)2kb−1

W (r)a±s

]1/2

≈(

1

W (r)

)1/2 [1 +

1

40W (r)kb− 1

2a±s

],

(C.3)

Já para o termo(gtt(r0)gtt(r)

)±

temos:

(gtt (r0)

gtt (r)

)±≈(W (r0)− 1

20kb0 − a±s0W (r0)

W (r)− 120kb− a±sW (r)

),

ou

(gtt (r0)

gtt (r)

)±≈(W (r0)

W (r)− 1

20W (r)kb0 − a±s0

W (r0)

W (r)

)[1− 1

20W (r)kb− a±s

]−1

Ainda para efeitos de simplificação, definimos:

W (r0)

W (r)= Wrel

r0

r= rrel

Assim,(gtt(r0)gtt(r)

)±

fica:

(gtt (r0)

gtt (r)

)±≈(Wrel −

kb0

20W (r)− a±s0Wrel

)(1− kb

20W (r)− a±s

)−1

.

Realizemos uma expansão no último termo entre parentêses, e consideremos as aproxi-


mações usuais obtemos

(gtt (r0)

gtt (r)

)±≈(Wrel −

kb0

20W (r)− a±s0Wrel

)(1 +

kb2

20W (r)+ a±s

),

e (gtt (r0)

gtt (r)

)±≈ Wrel − a±

q2

r4

(1

r4rel

− 1

)Wrel − k

q4

20r6

(1

r6rel

−Wrel

)1

W (r).

Logo, o termo entre colchetes de (C.1) resulta em

[1

r2rel

(gtt (r0)

gtt (r)

)±− 1

]−1/2

≈[Wrel

r2rel

− 1− a±Wrels

r2rel

(1

r4rel

− 1

)− k b

20r2relW (r)

(1

r6rel

−Wrel

)]−1/2

≈(Wrel

r2rel

− 1

)−1/21 +

[−a±

Wrels

r2rel

(1

r4rel

− 1

)− k b

20r2relW (r)

(1

r6rel

−Wrel

)](

1

r2rel

Wrel − 1

)−1−1/2

.

Expandindo o último termo, e considerando as aproximações:

[1

r2rel

(gtt (r0)

gtt (r)

)±− 1

]−1/2

≈(Wrel

r2rel

− 1

)−1/21− 1

2

[−a±

Wrels

r2rel

(1

r4rel

− 1

)−k b

20r2relW (r)

(1

r6rel

−Wrel

)](W (r)

r−2relW (r0)−W (r)

),

onde usamos a definição de Wrel. Este resultado pode ser reescrito como:

[1

r2rel

(gtt (r0)

gtt (r)

)±− 1

]−1/2

≈(Wrel

r2rel

− 1

)−1/21 + a±

s

2r2rel

(1

r4rel

− 1

)(W (r)


)+k

b

40

(1

r6rel

−Wrel

)r−2rel



Substituindo as definições de rrel, Wrel, b e s, encontramos:

[1

r2rel

(gtt (r0)

gtt (r)

)±− 1

]−1/2

≈

[(r

r0

)2W (r0)

W (r)− 1

]−1/2

× (C.4)

×

1 + a±

(r

r0

)2q2

2r4

((r

r0

)4

− 1

)W (r0)(

rr0

)2

W (r0)−W (r)

+ kq4

40r6

((r

r0

)6

− W (r0)

W (r)

) (rr0

)2

(rr0

)2

W (r0)−W (r)

,

Por fim, substituimos (C.3) e (C.4) na equação de desvio geodésico (C.1), onde encontra-

mos:

(φ (r)− φ∞)+ ≈∞∫r

√1

W (r)

(1 + k

1

40W (r)

q4

r6− a±

2

( qr2

)2)[(

r

r0

)2W (r0)

W (r)− 1

]−1/2

×

×

1 + a±

(r

r0

)2q2

2r4

((r

r0

)4

− 1

)W (r0)(

rr0

)2

W (r0)−W (r)

+kq4

40r6

((r

r0

)6

− W (r0)

W (r)

) (rr0

)2

(rr0

)2

W (r0)−W (r)

dr

r.

Para uma melhor compreensão física, colocamos o termo[(r/r0)2 (W (r0) /W (r))− 1

]−1/2

em evidência, ao passo que agrupamos os demais fatores como produtos de a± e k, fa-

zendo ainda as aproximações sempre que necessário. Assim:

(φ (r)− φ∞)± ≈∞∫r

f1 (r)

1− a±

( qr2

)2

f2 (r) + kq4

r6f3 (r)

dr (C.5)


onde

f1 (r) =1

r

[(r

r0

)2

W (r0)−W (r)

]−1/2

,

f2 (r) =1

2+

1

2

W (r0)

(1−

(rr0

)4)

W (r0)−(r0r

)2W (r)

,

f3 (r) =1

40W (r)

1−W (r0)−

(rr0

)6

W (r)

W (r0)−(r0r

)2W (r)

.Concluimos assim a primeira parte do apêndice.

Na segunda parte deste apêndice vamos calcular (C.1) na aproximação de campo

fraco2m

r∼ q2

r2 1.

Começamos com

(gtt)± ≈ 1− 2m

r+q2

r2− a±

( qr2

)2

,

(grr)± ≈ 1 +2m

r− q2

r2− a±

( qr2

)2

.

Calculemos novamente os fatores necessários para o uso da equação de trajetória de raios

luminosos (C.1). O primeiro deles é:

(g1/2rr

)± ≈ 1 +

m

r− q2

2r2− 1

2a±

( qr2

)2

. (C.6)

Além deste, temos:

(gtt (r0)

gtt (r)

)±≈

[1− 2m

r0

+q2

r20

− a±(q

r20

)2][

1− 2m

r+q2

r2− a±

( qr2

)2]−1

, (C.7)


Realizando uma expansão no último termo:

(gtt (r0)

gtt (r)

)±≈

[1− 2m

r0

+q2

r20

− a±(q

r20

)2] [

1 +2m

r− q2

r2+ a±

( qr2

)2], (C.8)

ou (gtt (r0)

gtt (r)

)±≈ 1 + 2m

(1

r− 1

r0

)− q2

(1

r2− 1

r20

)+ a±q

2

(1

r4− 1

r40

),

Logo, o outro termo presente na equação orbital pode ser obtido de

(r

r0

)2(gtt (r0)

gtt (r)

)±− 1 ≈

[(r

r0

)2

− 1

]1 + 2m

(r

r0

)2(1

r− 1

r0

)((r

r0

)2

− 1

)−1

−q2

(r

r0

)2(1

r2− 1

r20

)((r

r0

)2

− 1

)−1

+a±q2

(r

r0

)2(1

r4− 1

r40

)((r

r0

)2

− 1

)−1 ,

que pode ser reescrita como:

(r

r0

)2(gtt (r0)

gtt (r)

)±− 1 ≈

[(r

r0

)2

− 1

]1 + 2m

(r

r0

)2(1

r− 1

r0

)1(

rr0

+ 1)(

rr0− 1)

−q2

(r

r0

)2(1

r− 1

r0

)(1

r+

1

r0

)1(

rr0

+ 1)(

rr0− 1)

+a±q2

(r

r0

)2(1

r− 1

r0

)(1

r+

1

r0

)(1

r2+

1

r20

)1(

rr0

+ 1)(

rr0− 1) .


Simplifiquemos este resultado,

(r

r0

)2(gtt (r0)

gtt (r)

)±− 1 ≈

[(r

r0

)2

− 1

]1 + 2mr

r20

(r

r0

− 1

)1(

rr0

+ 1)(

rr0− 1)

−q2 r

r20

(r

r0

− 1

)(1

r+

1

r0

)1(

rr0

+ 1)(

rr0− 1)

+a±q2 r

r20

(r

r0

− 1

)(1

r+

1

r0

)(1

r2+

1

r20

)1(

rr0

+ 1)(

rr0− 1) ,

(r

r0

)2(gtt (r0)

gtt (r)

)±− 1 ≈

[(r

r0

)2

− 1

]×

×

1− 2mr

r20

1(rr0

+ 1) + q2 r

r20

(1

r+

1

r0

)1(

rr0

+ 1) − a±q2 1

r20

(1

r2+

1

r20

) , (C.9)

e

(r

r0

)2(gtt (r0)

gtt (r)

)±− 1 ≈

[(r

r0

)2

− 1

]×

×[1− 2m

r

r20

r0

(r + r0)+ q2 r

r20

(1

r+

1

r0

)r0

(r + r0)− a±q2 1

r20

(1

r2+

1

r20

)]. (C.10)

E por fim chegamos a

(r

r0

)2(gtt (r0)

gtt (r)

)±−1 ≈

[(r

r0

)2

− 1

][1− 2mr

r0 (r + r0)+

q2r

r0 (r + r0)

(1

r+

1

r0

)− a±q2 1

r20

(1

r2+

1

r20

)].

(C.11)

Com estes resultados, substituímos (C.6) e (C.11), em (C.1) e encontramos:

(φ (r)− φ∞)+ ≈∞∫r

[(r

r0

)2

− 1

]−1/2(1 +

m

r− q2

2r2− 1

2a±

( qr2

)2)×

×[1− 2mr

r0 (r + r0)+

q2r

r0 (r + r0)

(1

r+

1

r0

)− a±q2 1

r20

(1

r2+

1

r20

)]−1/2dr

r.


Realizando uma expansão no último termo:

(φ (r)− φ∞)± ≈∞∫r

[(r

r0

)2

− 1

]−1/2(1 +

m

r− q2

2r2− 1

2a±

( qr2

)2)×

×[1 +

mr

r0 (r + r0)− q2r

2r0 (r + r0)

(1

r+

1

r0

)+

1

2a±q

2 1

r20

(1

r2+

1

r20

)]dr

r.

chegamos a

(φ (r)− φ∞)± ≈∞∫r

dr

r

[(rr0

)2

− 1

]1/2

[1 +

m

r+

mr

r0 (r + r0)− q2

2r2− q2r

2r0 (r + r0)

(1

r+

1

r0

)

−1

2a±

( qr2

)2

+1

2a±q

2 1

r20

(1

r2+

1

r20

)].

ou ainda

(φ (r)− φ∞) ≈ r0

∞∫r

dr

r2[1−

(r0r

)2]1/2

[1 +

1

2a±q2

r40

+m

r+

(1

2a±q2

r20

− q2

2

)1

r2

− 1

2a±

(q2

r4

)− q2

2r0r(1 + r0

r

) +

(m

r0

− q2

2r20

)1(

1 + r0r

)] .Todas estas integrais podem ser resolvidas fazendo a seguinte mudança de variável:

u =r0

r⇒ r =

r0

u⇒ du = −r0

r2dr ⇒ −du = r0

dr

r2,

logo:

(φ (r)− φ∞)± ≈∫

du√1− u2

[1 +

1

2a±q2

r40

+m

r0

u+

(1

2a±q2

r20

− q2

2

)u2

r20

(C.12)

−1

2a±

(q2

r40

)u4 − uq2

2r20 (1 + u)

+

(m

r0

− q2

2r20

)1

(1 + u)

].

As integrais acima tem a seguinte resolução:

∫du√

1− u2= arcsin

(r0

r

),


∫udu√1− u2

= −√

1−(r0

r

)2

,

∫u2du√1− u2

= −1

2

(r0

r

)√1−

(r0

r

)2

+1

2arcsin

(r0

r

),

∫u4du√1− u2

= −√

1−(r0

r

)2(

3

8

(r0

r

)+

1

4

(r0

r

)3)

+3

8arcsin

(r0

r

),

∫udu

(1 + u)√

1− u2=

√1− r0

r

1 + r0r

+ arcsin(r0

r

),

∫du

(1 + u)√

1− u2= −

√1− u1 + u

= −

√1− r0

r

1 + r0r

.

Substituindo estes resultados em (C.12)

(φ (r)− φ∞)± ≈ − arcsin(r0

r

)∞r−

[m

r0

(−√

1−(r0

r

)2

−

√1− r0

r

1 + r0r

)]∞r

−

[q2

2r20

(1

2

(r0

r

)√1−

(r0

r

)2

− 3

2arcsin

(r0

r

)]∞r

− 1

2a±

[q2

r40

(9

8arcsin

(r0

r

)− 1

8

(r0

r

)√1−

(r0

r

)2

+1

4

√1−

(r0

r

)2 (r0

r

)3)]∞

r

.

e aplicando os extremos de integração obtemos finalmente

(φ (r)− φ∞)± ≈ arcsin(r0

r

)+m

r0

h1 (r)− q2

2r20

h2 (r) +1

2a±q2

r40

h3 (r) , (C.13)

onde

h1 (r) = 2−√

1−(r0

r

)2

−

√1− r0

r

1 + r0r

,

h2 (r) =3

2arcsin

(r0

r

)− 1

2

(r0

r

)√1−

(r0

r

)2

,

h3 (r) =9

8arcsin

(r0

r

)− 1

8

(r0

r

)√1−

(r0

r

)2

+1

4

√1−

(r0

r

)2 (r0

r

)3

.

Concluimos assim a segunda parte deste apêndice.

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