propagação e radiação de ondas electromagnéticas … problema cf1 (resolvido) o campo...

MEEC

Ano Lectivo 2016/17, 2º Semestre

Propagação e Radiação de Ondas Electromagnéticas

(PROE)

Conceitos Fundamentais

Enunciados de Problemas (com Soluções)

Resoluções de Problemas Seleccionados

Enunciados de Provas de Avaliação Anteriores

Edição de Custódio Peixeiro

Fevereiro 2017

2/37

Enunciados

de

Problemas (com Soluções)

3/37

Problema CF1 (Resolvido)

O campo eléctrico de uma onda electromagnética que se propaga no ar, é dado por

yE ˆ)zkt(cosE)t,z( 0

a) Identifique o tipo de onda.

b) Diga qual o significado físico de E0, ω, k e .

c) Indique a direcção de propagação da onda e a orientação do campo eléctrico.

d) Determine, a partir das equações de Maxwell, a relação entre ω e k.

e) Calcule a velocidade de fase.

f) Escreva a expressão da amplitude complexa do campo eléctrico.

g) Determine, a partir das equações de Maxwell, a expressão do campo magnético

correspondente, em amplitude complexa e valor instantâneo.

h) Admitindo que ω=2πx108 rad.s-1, calcule o comprimento de onda (λ) e a constante

de propagação (k).

4/37

Problema CF2

I. O serviço de radiodifusão em AM utiliza a banda de frequências 535 kHz – 1605

kHz.

a) Calcule a correspondente gama de comprimentos de onda.

II. O serviço de radiodifusão em FM utiliza a banda de frequências 88 MHz – 108

MHz.

b) Calcule a correspondente gama de comprimentos de onda.

III. Um sistema de teledifusão directa via-satélite utiliza uma portadora de frequência

12 GHz.

c) Calcule o correspondente comprimento de onda.

IV. Os sistemas modernos de comunicações for fibra óptica utilizam portadoras com

comprimentos de onda da ordem de 1,5 µm (infravermelho).

d) Calcule a correspondente frequência.

V. A luz visível tem comprimento de onda compreendido entre 380 nm e 780 nm. Em

particular às cores vermelho, laranja, amarelo, verde, azul e violeta estão associados

os comprimentos de onda nominais 700 nm, 610 nm, 590 nm, 530 nm, 470 nm e 420

nm, respectivamente.

e) Calcule a gama de frequências correspondente à luz visível.

f) Calcule a frequência associada a cada uma das cores indicadas.

Soluções

Radiodifusão AM Radiodifusão FM TV Via-Satélite Fibra Óptica Luz Visível

f1 535 kHz 88 MHz 12 GHz 200 THz

0,789 PHz

f2 1605 kHz 108 MHz 0,385 PHz

λ1 0,561 km 3,41 m 25 mm 1,5 µm

380 nm

λ2 0,187 km 2,78 m 780 nm

5/37

Problema CF3

I. O campo eléctrico de uma onda electromagnética monocromática plana, que se

propaga no ar, é dado por xE ˆ)c

zt(10cosE)t,z( 8

0

a) Indique a direcção de propagação da onda, a sua frequência, polarização e

constante de propagação kz.

b) Determine o campo magnético da onda em amplitude complexa e valor

instantâneo.

c) Calcule a impedância característica da onda, e indique a desfasagem entre o

campo eléctrico e o campo magnético.

d) Calcule a velocidade de fase da onda.

II. Considere que a onda se propaga num meio com perdas em que

.mrad106,25β,mNp106,25 1313

e) Escreva a expressão do campo E(z,t).

f) Represente o andamento do campo para 0t e z0 .

g) Calcule a velocidade de fase da onda.

h) Calcule a impedância característica da onda e a desfasagem entre o campo

eléctrico e o campo magnético.

i) Compare as características de propagação das ondas no ar e no meio com

perdas.

Soluções

a) Onda a propagar-se segundo z e com polarização segundo x .

1z mrad

3

πkMHz,50f

b) yHyH ˆˆ θ)zktω(cosZ

Et)(z,e

Z

E(z) z

0

0θ)z(kj

0

0 z

c) 0θθΩ,π120Z HE0 d) 18f sm103v

e) xE ˆθ)zβt(ωcoseEt)(z, zα0 g) 14

f sm105,03v

h) 4

πθθ,mΩe44,7Z HE

4

πj

6/37


I. Considere uma onda plana monocromática polarizada linearmente segundo x ,

que se propaga segundo z num meio ilimitado e sem perdas, com 0

4 , 0

e

0 . Suponha que o campo eléctrico é alternado sinusoidal com frequência

100 MHzf e apresenta uma amplitude máxima em (t=0; z=0,125 m).

a) Escreva a expressão dos campos eléctrico e magnético da onda, em amplitude

complexa e em valor instantâneo.

b) Para o instante 0

10 nst , determine as coordenadas z em que o campo eléctrico

atinge a sua amplitude máxima.

II. Admita que o meio dieléctrico de propagação apresenta fracas perdas (0

4 ,

0 e tan d=/ωε=0,005).

c) Represente o campo eléctrico )t,z(E no instante 0 10 nst e compare com o

resultado obtido no meio sem perdas.

7/37

Problema CF5

Considere uma onda com frequência f=100 GHz, a propagar-se sucessivamente em

3 meios diferentes: (1) ar (ε=ε0, µ=µ0), (2) dieléctrico com fracas perdas (ε=2,25ε0,

µ=µ0, tanp=0,002) e (3) bom condutor (ε=ε0, µ=µ0, =5,8x107 S.m-1)

O campo magnético da onda é dado por

yH ˆ)zt(cos)z(expH)t,z( 0

a) Para cada um dos meios calcule a constante complexa de propagação (=+j), a

impedância característica de onda e a velocidade de fase.

b) Compare as características de propagação dos 3 meios. Comente o resultado.

c) Assinale no gráfico abaixo os pontos correspondentes a cada um dos meios.

Origem da Figura

J. D. Krauss e D. A. Fleisch,

Electromagnetics with Applications,

5ª edição, McGraw-Hill, 1999.

Soluções

a) b)

Meio r

[S.m-1] tan

[Np.m-1]

[rad.m-1]

Z

[]

Ar 1 0 0 0 2000/3 120

Dieléctrico com perdas fracas

2,25 0,025 0,002 1000 80(1+j0,001)

Bom condutor 1 5,8x107 1,044x107 4,785x106 8,25x10-2(1+j)

Meio r

[S.m-1]

vf [m.s-1]

Ar 1 0 3x108

Dieléctrico com perdas fracas

2,25 0,025 2x108

Bom condutor 1 5,8x107 1,31x105

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Problema CF6

Uma onda plana monocromática propaga-se num meio ilimitado caracterizado por ,

e , sendo o seu campo magnético dado por

yH ˆ)zt(cos)z(expH)t,z( 0

I. Considere a propagação no cobre (=0, =0, =5,8x107 S.m-1).

a) Determine as expressões da impedância característica Z , da constante de

propagação j e do campo eléctrico ( , )z tE desta onda.

b) Calcule os valores de Z e para as frequências 1

16 kHzf e 2

1.6 GHzf .

c) Com base nos resultados das alíneas anteriores, analise a variação das

características da propagação no cobre em função da frequência.

II. Considere agora a propagação na água do mar ( 080 , 0 e 1mS5 ).

d) Repita as alíneas a) e b).

e) Com base nos resultados anteriores, compare a propagação na água do mar e no

cobre.

Soluções

a) Caso dum bom condutor

2

ωμσβαβjαj)(1

2σ

ωμZ

(Z)argθH|Z|E)θzβtω(cos)αz(expEt)(z, E00E0 xE ˆ

b) 113513 rad.mNp.m101,914βαΩ,)j(1103,30Z106,525θtankHz,16f ,

11528 rad.mNp.m106,053βαΩ)j(1101,04Z106,525θtanGHz1,6f ,,,

c) Admitindo que (,,) não variam com a frequência, o cobre é bom condutor até

cerca de 10 PHz. As três características Z, e , variam com f .

d) 11

4

rad.mNp.m0,5620βαΩ,)j(10,112Z

condutorBom107,031θtankHz,16f

11 rad.m316,95β,Np.m99,96αΩ,11,50j36,35Z0,7031,θtanGHz,1,6f

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Problema CF7

Considere uma onda electromagnética de frequência 0 100 MHzf , a propagar-se

na grafite.

Dados: grafite (banda de RF): =12 0; =0; 1510 Sm .

a) Determine a profundidade de penetração δ da onda na grafite, à frequência 0f .

Explique o significado físico de δ.

b) Calcule a distância para a qual a intensidade do campo sofre uma atenuação de

30 dB . Comente o resultado.

c) Determine a desfasagem entre os campos eléctrico e magnético no interior da

grafite.

d) Mostre que a desfasagem entre E e H num bom condutor não depende da

frequência da onda.

Soluções

a) m2,159m2000

1

A profundidade de penetração corresponde à distância

para a qual o campo de atenua 1 Neper.

b) d = 549,7 m

c) 4

πθθ101,5

ωε

σθtan HE

6

d) Num bom condutor as partes real e imaginária da impedância característica são

iguais.

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Problema CF8

I. Considere uma onda monocromática de frequência f a propagar-se num meio

condutor ( , , ), sendo o respectivo campo dado por

xE ˆ)zt(cosz

e0

E)t,z(

a) Escreva a expressão da amplitude complexa do campo eléctrico.

b) Determine a amplitude complexa e o valor instantâneo do campo magnético.

c) Determine o valor instantâneo do vector de Poynting ( , )S z t .

d) A partir do valor de ( , )S z t , calcule o valor médio no tempo do vector de Poynting.

e) Calcule

2

HES

*

Re . Tendo em conta o resultado obtido na alínea anterior,

explique o significado físico da grandeza S .

f) Calcule a densidade em volume da potência dissipada pela onda no meio condutor.

II. Considere uma onda de frequência 1 MHzf a propagar-se na água do mar

(=800, =0, =4 S.m-1) e no cobre (=0, =0, =5,8x107 S.m-1).

g) Para cada um dos meios, determine a impedância característica e a densidade em volume da potência dissipada pela onda.

h) Comente os resultados obtidos na alínea anterior.

Soluções

a) xE ˆeeE zjz0

b)

c) zS ˆ]cosz2t2cos[eZ2

Et,z z2

20

d) zSS ˆcoseEZ2

1dt)t,z(

T

1 z220

T

0

e) zHES ˆcoseEZ2

1Re

2

1 z220

*

f) 3d WmS2P

g) Água do Mar 320d mWE2P)j1(9935,0Z,900tan

Cobre 320

6d

412 mWE1029P)j1(10609,2Z,10044,1tan

jz

0zjz

0 eZZˆZ

ztcoseEt,zˆ

Z

eeEyHyH

11/37


Considere uma onda electromagnética com um campo eléctrico da forma

yxE ˆˆ )zkt(ωcosA)zkt(ωcosA yzyxzx

onde Ax, Ay, x e y são grandezas reais.

I. Represente a curva de polarização (forma e sentido de rotação) e identifique o tipo

de polarização nos seguintes casos:

a) Ay = 0 (Ax 0);

b) Ax = 0 (Ay 0);

c) Ay = Ax (Ax 0), y = x;

d) Ay = 2Ax (Ax 0), y = x;

e) Ay = 2Ax (Ax 0), y = x + /2;

f) Ay = Ax (Ax 0), y = x + /2;

g) Ay = Ax (Ax 0), y = x - /2;

h) Ay = 2Ax (Ax 0), y = x + /4

II. Prove que:

i) as polarizações das alíneas a) e b) podem ser obtidas por sobreposição das

polarizações das alíneas f) e g);

j) as polarizações circulares podem ser decompostas em duas polarizações

lineares.

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Problema CF10

I. Considere duas ondas planas monocromáticas a propagarem-se segundo z , com

campos eléctricos dados por

zzkj-

e)j(E0 yxE1ˆˆ e

zzkj-e)j(E0 yxE1

ˆˆ

a) Escreva a expressão dos campos 1

E e 2

E em valor instantâneo.

b) Indique a polarização de cada uma das ondas.

c) Numa ligação via satélite é emitido o sinal 1 2

E E E . Qual é a polarização do

campo eléctrico do sinal?

II. Admita que a frequência de operação é 1 GHzf e que as velocidades de fase

das duas ondas 1

E e 2

E na ionosfera, em 0z , são respectivamente,1

1.6f

v c e

2 11.1

f fv v .

d) Determine a polarização do sinal 21 EEE depois da onda ter percorrido

uma distância d=2,64 m, na ionosfera. Comente o resultado.

e) Sabendo que as características da ionosfera variam ao longo do dia, discuta as

vantagens da utilização de polarização circular num sistema de comunicações

via-satélite.

Soluções

a) yxE ˆ)2/zkt(cosEˆ)zkt(cosE)t,z( z0z01

yxE ˆ)2/zkt(cosEˆ)zkt(cosE)t,z( z0z02

b) PCD e PCE

c) PH

d) PV. A ionosfera alterou a polarização.

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Problema CF11

Considere duas ondas planas monocromáticas a propagarem-se na água doce, com

campos eléctricos dados por

11 0

ˆ ˆ( ) exp( )z E z j E x y 22 0

ˆ ˆ( ) exp( ) 3z E z E x y

Sendo j .

a) Indique a polarização de cada uma das ondas.

b) Para a frequência f1=1 kHz e 1200 mS103σ,μμ,ε80ε , calcule a

constante de atenuação, a constante de fase e a impedância característica.

c) Para a frequência f2=10 GHz e 100 mS15σ,μμ,ε80ε , calcule a constante

de atenuação, a constante de fase e a impedância característica.

Soluções

a) PCE e PL

b)

c)

Ωj)(10,36276Zrad.mNp.m101,088m91,895

6750εω

σθtankHz1f

112

βαδ

Ω6,65j40,49Zrad.m101,899Np.m311,8

0,3375εω

σθtanGHz10f

131

βα

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Problema CF12

I. Considere um sinal constituído pela sobreposição de duas ondas planas

monocromáticas, de frequências 0 e 03 , a propagar-se no vácuo segundo z ,

sendo o campo eléctrico dado por

xxE ˆ)zkt3(cosEˆ)zkt(cosE)t,z( 0000

a) Esboce o andamento de ( , )z tE em 0z e z d , em que d=2c0/0.

II. Considere, agora, que o sinal se propaga num meio dispersivo em que 0 1( )k k

e 0 2(3 )k k , sendo 0 0( ) 1.25 e 0 0(3 ) 9 1.25 .

b) Calcule as constantes de propagação e as velocidades de fase às frequências 0

e 03 .

c) Esboce o andamento de ( , )z d tE .

d) Compare a propagação do sinal no vácuo e no meio dispersivo.

Soluções

a) xE ˆ)]t3(cos)t([cosE)t,0( 000

)t,0(ˆ)]6t3(cos)2t(cos[Et,c2

0000

0 ExE

b) 1800f

0

001 sm10683,2

25,1

c)(v

c25,1)(kk

170

0

0

0

02 10944,825,13

)3(25,19)3( smc

vc

kk f

c) xE ˆ)]25,163(cos)25,12(cos[,2

000

0

0

ttEt

c

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Problema CF13

Considere o diagrama de dispersão representado na figura. Trata-se do diagrama de

dispersão do modo fundamental dum guia de ondas de paredes metálicas e secção

transversal rectangular.

a) Estime a velocidade de fase e a velocidade de grupo para f=6 GHz e f=20 GHz.

b) Admita que vai usar este guia para transmitir um sinal modulado em que a

portadora tem frequência 9 GHz e a largura de banda é 4 GHz. Estime a

velocidade de grupo nos limites da banda de frequências de utilizada.

c) Discuta os efeitos da dispersão na propagação da onda da alínea anterior.

Soluções

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a)

0v

vGHz6f

g

f

18g

18f

sm109,2v

sm101,3vGHz20f

b) 18g sm105,1)GHz7f(v 18

g sm105,2)GHz11f(v

c) Distorção do sinal na recepção.

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Problema CF14

Considere um volume (V), delimitado por uma superfície fechada (S) preenchido

com um meio homogéneo, linear, isotrópico e invariável no tempo, caracterizado

macroscopicamente por (ε,μ,σ). A permitividade eléctrica (ε) e a permeabilidade

magnética (μ) são grandezas complexas. Existem fontes (Js), com variação

harmónica no tempo, que originam uma distribuição de campo electromagnético (E,

H) em V.

a) Obtenha a expressão da equação que impõe a conservação de potência no

volume V (Teorema de Poynting).

b) Indique o significado físico de cada um dos termos da equação obtida.

c) Mostre que, num meio passivo, as partes imaginárias de ε e de μ são negativas.

Soluções

a)

b)

c) εi e μi têm que ser negativos para os termos onde intervêm correspoderem a

potência perdida.

V

2

r

2

rV

2

i

2

i

V

2

SV

dVεμ2

ωjdV

2

ω

dV2

σ

2

1dV

2

1

EHHE

EdSHEJE**

s

emoS WWω2jPPP l

18/37

Problema CF15

Considere uma onda electromagnética plana e uniforme, de frequência 2 GHz, que

se propaga num meio ilimitado, homogéneo, linear, isotrópico e invariável no tempo,

caracterizado macroscopicamente por (ε=4ε0, μ=μ0, σ=0,1 S.m-1).

O campo eléctrico (amplitude complexa) é dado por

a) Calcule a constante de atenuação (α), a constante de fase (β) e a impedância

característica da onda (Z).

b) Calcule o valor instantâneo do (vector) campo eléctrico.

c) Calcule a amplitude complexa e o valor instantâneo do (vector) campo

magnético.

d) Calcule o valor instantâneo do vector de Poynting.

e) Calcule o valor médio no tempo do vector de Poynting (<S>).

f) Verifique que *Re2

1HES

Soluções

a) 225,0

Ω20,560j185,044e186,183Zmrad84,298βmNp9,366α 0,111j11

b) xE ˆzβtωcoseEt)(z, 0

zα

0

c) yyH êe

Z

Eêe

Z

Ez

0,111zβjzα0zβjzα0 0

yH ˆ0,111zβtωcoseZ

Etz, 0

zα0

d) zHES ˆ0,111cos0,111zβtω2coseZ2

Etz,tz,tz, 0

zα22

0

e) zS ˆ(0,111)coseZ2

Edttz,S

T

1z zα2

2

0

T

0

f) zˆ0,111coseZ2

ERe

2

1 zα22

0*SzHE

0j

00

zβjzα

0 eEEêeEz

xE

19/37


I. Considere a situação representada na figura, onde uma onda electromagnética

plana e uniforme incide na superfície plana de separação de dois meios sem perdas.

a) Calcule as expressões dos factores de reflexão e transmissão para polarização

TE (horizontal) e TM (vertical).

b) Represente graficamente o andamento dos factores de reflexão (para as

polarizações TE e TM) em função do ângulo de incidência. Considere que o meio

1 é o ar (ε=ε0 e µ=µ0), o meio 2 um dieléctrico sem perdas (ε=4ε0 e µ=µ0) e f=1

GHz. Comente os resultados obtidos.

c) Repita a alínea anterior trocando os dois meios. Comente os resultados obtidos.

II. Admita agora que os dois meios têm perdas definidas pelas condutividades 1 e

2, respectivamente.

d) Generalize as expressões obtidas na alínea a).

e) Repita a alínea b) admitindo agora que o meio 2 tem perdas sendo a sua

condutividade dada sucessivamente por 0,001, 0,01 e 0,1 S.m-1. Comente os

resultados obtidos.

f) Repita a alínea b), agora considerando que o meio 1 é o ar (ε=ε0 e µ=µ0) e o meio

2 é o mar (ε=70ε0, µ=µ0, =5 S.m-1). Comente os resultados obtidos.

i r

t

Z

Y

Meio 1

Meio 2

20/37

y

z

água do mar

Ei

ar ki

Problema CF17

Pretende-se estabelecer a comunicação com um submarino submerso em alto mar

utilizando uma frequência f=10 kHz. A onda incidente no mar tem uma amplitude

complexa

xEi ˆ)zjexp(E z0

e incide na superfície de separação ar/mar segundo a normal. As características da

água do mar são mar 0

80 , mar 0

, 1

mar4 Sm .

a) Determine a direcção de propagação da onda transmitida e o valor da constante

de propagação complexa .

b) Calcule o valor da constante de atenuação no mar.

c) Determine o factor de transmissão ar/mar.

d) Compare a amplitude complexa do campo eléctrico à superfície e a 30 m de

profundidade.

e) Repita a alínea anterior para f=10 MHz. Comente o resultado.

Soluções

a) 0it 4ar 10094,2j0 3974,0j3974,0mar

b) 1mar mNeper3974,0)kHz10f(

c) 00 98,44j497,179j

TETE e105,7e9995,01R1T

d) 92,11t0

30t0 eEeE)m30z(E mar

e) 1mar mNeper497,12)MHz10f( 91,374

t030

t0 eEeE)m30z(E mar

21/37

Problema CF18

Considere uma onda plana monocromática cujo campo eléctrico incidente tem a

forma

z)]y3(π2tω[cos)2

3

2

1(

Eoi zyxEiˆˆˆ

2

Esta onda propaga-se no ar e incide sobre o mar (=810, =0, =5 S.m-1), como representado na figura.

a) Calcule a constante de propagação (vector), a frequência e o ângulo de incidência da onda.

b) Calcule a razão de polarização da onda incidente a indique qual o seu tipo polarização.

c) Calcule a razão de polarização da onda reflectida pela superfície do mar, represente a respectiva curva e diga qual é o seu tipo de polarização.

d) Calcule a razão de polarização da onda transmitida, represente a respectiva curva e diga qual é o seu tipo de polarização.

Soluções

a)

2

3π4

zyki

ˆˆ f=600 MHz i=60o

b) iTMiTEi EEE

xEiTEˆ

2z)]y3(π2tω[cos

Eoi

)2

3

2

1(z)]y3(π2tω[cos

Eoi zyEiTMˆˆ

2

1E

Ep

iTE

iTMi

Polarização linear a 45º.

Mar y

i

z

22/37

c) o

o

o

173,2j

177,7j

9,1j

i

TE

TMr e0,8221

e0,936

e0,769p

R

Rp

rTE

rTM

E

E

o

o

o

o

6,140

3,3

2,173

4,39

Polarização elíptica (quase linear)

d) o

o

o

o

2,97j -30,82j

,832j

3,95j

i

TE

TMt e1,8201

120

e28,874

e0,074

e1,763p

T

Tp

90

mar

tTE

tTM

Z

Z

E

E

o

o

61,2β

1,3α

0,3

60,2γo

o

Polarização elíptica (quase linear)

23/37

Resoluções

de

Problemas Seleccionados

24/37

Resolução do Problema CF1

a) Onda plana monocromática com polarização linear.

b) E0 é a amplitude máxima do campo eléctrico, a frequência angular, k a

constante de propagação e a fase na origem do espaço e do tempo.

c) A onda electromagnética propaga-se segundo z com polarização (campo

eléctrico) segundo y .

d)

0

0

μωj

εωj

B

D

HE

EH

EEEE 22)()(

EEHE εμω)εω(jμωj)(μωj)( 2

0εμω22 EE 0Eμε)ωk(0Eμεωz

Ey

22y

2

2

y2

μεωk

e) k

ω

td

zdv

k

Const)(θt

k

ωzConstθzktω f

f) yE ˆθ)z(kj0 eE(z)

g) H

zyx

0

y

ωμj

0E0z

00

ˆˆˆ

θ)(kzj

0

0y

0xx e

Z

E

z

E

jω

1(z)HH

xH ˆ

Ωπ120ε

μZ

0

00 θ)kz(ωcos

Z

Et)(z,H

0

0x t

h) 1

008

80

0 mrad3

π2

λ

π2kkm3

10

103

f

cλ

25/37


a) m1,5εμ

λ

k

π2λmrad

3

π4

c

ωksm101,5

2

c

εμ

cc

rr

01180

rr

0

O campo é máximo para rad6

π0,125

3

4πωtkzθ0θ)kz-t( max

xExE ˆˆ )6

πz

3

4πt10(2πcosEt)(z,eE(z) 8

0

)6

πz

3

4π(j

0

yHyHyEz

H ˆˆˆˆ

)6

πz

3

4πt10(2πcos

Z

Et)(z,e

Z

E(z)

Z

E

Z

80)

6

πz

3

4π(j

0x

b) Amplitude dos campos máxima para ....2,1,0,nnπθkzωt max

mn0,751,6252

λn

8

13zns10t

k

nπθωtz maxmax

c) ωε)(σ1θtan

112 mrad3

4π

c

ωβmNp101,047θtanπ

3

2

ε

μ

2

σα

xE ˆθ)βzt(coseEt)(z, αz0

)6

πz

3

4π(2πcoseθ)βzt(cose

E

)t(z,E z101,0470

αz

0

02

26/37


tanPeP j)]E(arg)E([argj

x

yxye

E

Ep

2sen

2tantan

2cos2cos2cos

cos2tan2tan

sen2sen2sen

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

i) xyxyxEEE ˆˆˆˆˆ zkjzkjzkjPCDPCEPH

zzz e2A)j(eA)j(eA

yyxyxEEE ˆˆˆˆˆ )2/(

-zkjzkjzkjPCDPCEPV

zzz e2A)j(eA)j(eA

j) PVPHzkjzkjzkj

PCEzzz eAjeA)j(eA EEyxyxE j

ˆˆˆˆ

PVPHzkjzkjzkj

PCDzzz eAjeA)j(eA EEyxyxE j

ˆˆˆˆ

E Circular

Esquerda

x

Ey

Ex

Ey

Ex

Ey

Ex

Ey

Ex

Ey

Ex

Ey

=17,2o

=68,3o

=-45o

=45o =0o

=63,4o

=26,6o

=90o

=0

=90o

=0

=0 =0

=45o

Ex

Ey

Ex

Ey Linear Horizontal

Linear Vertical

Linear

Linear Elíptica Circular Esquerda

Circular Direita

Elíptica

27/37


a) Polarização TE

xxxE rnrki

ii ˆˆˆ ˆ z)ky(kj0i

)(kj0i

j0i

ziyi1 eEeEeE

zyniˆˆˆ

ii θcosθsen zyzynk iiˆˆˆˆˆk1 i1i1ziyi θcoskθsenkk-k 111 εμωk

)θsenθ(coseZ

E

Zii

z)ky(kj

1

oi

1

ziyi zyEn

H iii

ˆˆˆ

De forma semelhante

xxxE rnrkr ˆˆˆ r

r

z)ky(kj0r

)(kj0r

j0r

zryr1 eEeEeE

zynrˆˆˆ

rr θcosθsen zyzynk rrˆˆˆˆˆk1 r1r1zryr θcoskθsenkkk

)θsenθ(coseZ

E

Zrr

z)ky(kj

1

or

1

zryr zyEn

H rrr

ˆˆˆ

xxxE rnrk t ˆˆˆ t

t

z)ky(kj0t

)(kj0t

j0t

ztyt1 eEeEeE

zyn tˆˆˆ

tt θcosθsen zyzynk ttˆˆˆˆˆk2 t2t2ztyt θcoskθsenkkk 222 εμωk

)θsenθ(coseZ

E

Ztt

z)ky(kj

2

ot

2

ztyt zyEn

H ttt

ˆˆˆ

As condições na fronteira (z=0) impõem a continuidade das componentes

tangenciais do campo eléctrico e do campo magnético.

Impondo a continuidade da componente tangencial do campo eléctrico (z=0), resulta

ykjot

ykjor

ykjoi

ytyryi eEeEeE

A verificação desta igualdade para qualquer y obriga a

28/37

0t0roi

ytyryi

EEE

kkk

A primeira igualdade conduz às leis de Snell

t2i1

ir

t2i1

ri

θsennθsenn

θθ

θsenkθsenk

θsenθsen

Definido RTE=Eor/Eoi e TTE=Eot/Eoi , a segunda igualdade conduz a

TETE R1T

Impondo a continuidade da componente tangencial do campo magnético (z=0),

resulta

ykjt

2

otykjr

1

orykji

1

oi ytyryi eθcosZ

Eeθcos

Z

Eeθcos

Z

E

Após manipulação obtém-se

2

t

1

i

2

t

1

i

TE

Z

θcos

Z

θcos

Z

θcos

Z

θcos

R

2

t

1

i

1

i

TE

Z

θcos

Z

θcos

Z

θcos2

T

Definindo r1r1

r2r2

11

22

1

2

1

221

εμ

εμ

εμ

εμ

k

k

n

nn

e dado que 221

i2

t2

tn

θsen1θsen1θcos , obtém-se finalmente

i22

212

1i

i22

212

1i

TE

θsennμ

μθcos

θsennμ

μθcos

R

i22

212

1i

iTE

θsennμ

μθcos

θcos2T

TER1

Polarização TM

29/37

xxxH rnrki

ii ˆˆˆ ˆ z)ky(kj0i

)(kj0i

j0i

ziyi1 eHeHeH

zyniˆˆˆ

ii θcosθsen zyzynk iiˆˆˆˆˆk1 i1i1ziyi θcoskθsenkk-k 111 εμωk

)θsenθ(coseH iiz)ky(kj

0iziyi zyHnE iii

ˆˆZ)ˆ(Z 11

De forma semelhante

xxxH rnrkr ˆˆˆ r

r

z)ky(kj0r

)(kj0r

j0r

zryr1 eHeHeH

zynrˆˆˆ

rr θcosθsen zyzynk rrˆˆˆˆˆk1 r1r1zryr θcoskθsenkkk

)θsenθcos(-eH rrz)ky(kj

0rzryr zyHnE rrr

ˆˆZ)ˆ(Z 11

xxxH rnrk t ˆˆˆ t

t

z)ky(kj0t

)(kj0t

j0t

ztyt1 eHeHeH

zyn tˆˆˆ

tt θcosθsen zyzynk ttˆˆˆˆˆk2 t2t2ztyt θcoskθsenkkk 222 εμωk

)θsenθ(coseH ttz)ky(kj

0tztyt zyHnE ttt

ˆˆZ)ˆ(Z 22

Impondo a continuidade da componente tangencial do campo magnético (z=0),

resulta

ykjot

ykjor

ykjoi

ytyryi eHeHeH

A verificação desta igualdade para qualquer y obriga a

0t0roi

ytyryi

HHH

kkk

A primeira igualdade conduz às leis de Snell

t2i1

ir

t2i1

ri

θsennθsenn

θθ

θsenkθsenk

θsenθsen

Definido RTM=Hor/Hoi e TTM=Hot/Hoi , a segunda igualdade conduz a

TMTM R1T

Impondo a continuidade da componente tangencial do campo eléctrico (z=0), resulta

ykjtot

ykjror

ykjioi

ytyryi eθcosHeθcosHeθcosH

211 ZZZ

Após manipulação obtém-se

30/37

t2i1

t2i1TM

θcosZθcosZ

θcosZθcosZR

t2i1

i1TM

θcosZθcosZ

θcosZ2T

Ou ainda

i22

21i221

2

1

i22

21i221

2

1

TM

θsennθcosn

θsennθcosn

R

i22

21i221

2

1

i221

2

1

TM

θsennθcosn

θcosn

T

2

R1 TM

b) 22r r1r1

r2r2

1

221

εμ

εμ

n

nn

Apesar de |RTE| e |RTM| serem iguais para incidência perpendicular (i=0) e

incidência rasante (i=/2), têm comportamentos diferentes. Quando i aumenta,

|RTE| aumenta sempre. No entanto, com o aumento de i, |RTM| diminui até ao ângulo

de Brewster

o

r2

r21

221

211iB 63,43

1ε

εsen

1n

nsenθ

(onde se anula) e cresce depois disso. Ambas as polarizações têm |R|=1 para

incidência rasante (i=/2).

c) 2

11

1r

r1r1

r2r2

1

221

εμ

εμ

n

nn

31/37

Neste caso (r1>r2) existe um ângulo de incidência limite iL

o

r1

121

1iL 30

ε

1sen)(nsenθ

a partir do qual há reflexão total.

d) A forma de obter as expressões de RTE e RTM é a mesma. No entanto, dado que

os meios têm perdas, têm que se utilizar as expressões dos campos nos meios

com perdas. Surgem as constantes de propagação complexas (1 e 2), e as

impedâncias características dos meios (Z1 e Z2) também são complexas. As

expressões são as mesmas mas agora n21 vale

)j(

)j(n

111

222

1

221

e) Tem-se sucessivamente

0045,0tan001,0

045,0tan01,0 45,0tan1,0

32/37

Só para =0,1 (tan = 0,45) se nota diferença face ao caso sem perdas. Verifica-se

uma (pequena) diminuição do módulo do factor de reflexão (TE e TM) e deixa de

haver transmissão total (só TM).

f) Neste caso 29,1tan

33/37

A descontinuidade dieléctrica entre o ar e o mar é muito grande originando

(módulos dos) factores de reflexão muito grandes. A excepção verifica-se para a

polarização vertical (TM) próximo da incidência rasante.

34/37

Enunciados

de

Provas de Avaliação Anteriores

35/37

Teste de 01 de Novembro de 2013

O campo eléctrico de uma onda electromagnética plana e monocromática que se

propaga num meio ilimitado, caracterizado macroscopicamente por (=2,250, =0,

=0) é dado por

)ˆˆ3(42

z)3y(kt102cos

2

E 8o zyE

a) Calcule a constante de propagação (vector), o comprimento de onda e a direcção de propagação da onda.

b) Calcule as amplitudes complexas do campo eléctrico e do campo magnético (vectores).

c) Sabendo que E0=1 V.m-1, calcule o valor médio no tempo do vector de Poynting.

d) Calcule a razão de polarização da onda e esboce a respectiva curva de polarização.


Considere uma onda electromagnética que se propaga num meio ilimitado (homogéneo, linear e isotrópico) caracterizado macroscopicamente por ε=4ε0, µ=µ0 e

=0. O campo eléctrico da onda tem a forma

xE ˆz)]y3(π2tω[cosE0

onde E0=10 V.m-1.

a) Calcule (o vector) constante de propagação, a frequência e a velocidade de fase da onda.

b) Calcule a amplitude complexa do (vector) campo magnético.

c) Calcule a densidade de potência (vector).

Teste de 31 de Janeiro de 2011

Uma onda com frequência f = 100 MHz a propagar-se num meio caracterizado por 1

00 mS18e,5,3 , apresenta um campo magnético dado por

yH ˆej1eHzjz

o

a) Caracterize o meio em termos da relação σ/. Explique o significado físico de

σ.

b) Calcule as constantes de atenuação e de propagação . Comente o resultado.

c) Caracterize a polarização da onda.

d) Determine a impedância da onda e a amplitude complexa do seu campo eléctrico

E . e) Calcule o valor médio no tempo da “densidade de potência transportada pela

onda”.

36/37


I. Uma onda plana e uniforme propaga-se num meio dieléctrico ilimitado ( ,, 0 )

com o campo magnético,

1z0 mAˆ)zt(coseH)t,z( yH

(Dados: 120 mA10H ; MHzf 100 , 1mrad3/4 ; 001,0/ )

a) Escreva as expressões das amplitudes complexas dos campos E e H da onda.

b) Calcule a constante de atenuação e a atenuação sofrida pela onda numa

distância 20d . Comente o resultado.

c) Escreva a expressão do vector complexo de Poynting e indique o significado

físico das suas partes real e imaginária.

II. Considere agora que o meio dieléctrico não tem perdas ( 0 ).

d) Determine a constante dieléctrica do meio e o respectivo índice de refracção.

e) Calcule a “densidade de potência” média (no tempo) transportada pela onda.

Teste de 28 de Abril de 2010

Uma onda plana com frequência f a propagar-se na água do mar (=800, =0, =4 S.m-1) tem um campo magnético dado por

)ˆjˆ(eeHHou]ˆ)zt(senˆ)zt(cos[eH zjz0

z0 yxyxH

a) Escreva a expressão do campo eléctrico em amplitude complexa.

b) Indique qual a polarização da onda. Justifique.

c) Considere a propagação nas frequências f1=9 MHz e f2=9 GHz e calcule, para

cada uma delas, a constante de propagação =+j, a impedância característica Z e a velocidade de fase vf.

d) Tendo em conta os valores obtidos na alínea anterior, caracterize o comportamento da água do mar às duas frequências indicadas. Comente o resultado.

e) Calcule a relação entre o valor médio do vector de Poynting <S> em z=0 e z = 50 cm , para as frequências f1 e f2. Comente o resultado, indicando qual a frequência mais indicada para comunicação no oceano.

37/37


A amplitude complexa do campo eléctrico de uma onda com f = 100 MHz que se

propaga num meio caracterizado por 100 mS18e,5,3 é dada por

10

z0 mV2,0Ecomˆe)j1(E xE

a) Caracterize o meio e calcule os valores das constantes de propagação e de atenuação da onda.

b) Caracterize a polarização da onda.

c) Determine a amplitude complexa de H, e calcule o valor médio no tempo da “densidade de potência” transportada pela onda.

Teste de 19 de Abril de 2008

Uma onda plana, de frequência 5 kHzf e campo eléctrico 0

ˆzE e E x , propaga-

se num meio ilimitado e bom condutor.

Dados: Profundidade de penetração 1 mm ; 7 1

0 4 10 Hm .

a) Indique qual é a polarização da onda e calcule os valores de:

constante de propagação j ;

velocidade de fase vf;

impedância característica Z .

b) Determine a amplitude complexa do campo magnético e seu valor instantâneo.

Indique qual é a desfasagem entre o campo eléctrico e o campo magnético.

c) Calcule a variação do valor médio do vector de Poynting S entre 0z e 2z .

Comente o resultado.

38/37

Exame de 16 de Janeiro de 2008 Uma onda electromagnética monocromática, plana e uniforme com f=300 MHz, a

propagar-se no ar, incide segundo a normal na superfície plana de um meio bom

condutor )mS10x8,5,,( 1720202

. O campo eléctrico da onda incidente

apresenta polarização transversal eléctrica (TE) e tem uma amplitude máxima E0i =

754 μV.m-1.

a) Determine a amplitude complexa e o valor instantâneo do campo magnético incidente.

b) Determine os valores das constantes de atenuação e fase da onda no metal, o comprimento de onda e a velocidade de fase.

c) Calcule a razão entre o campo eléctrico transmitido em z= -25 cm e em z=0 e analise as características de propagação da onda no metal, com base nos resultados obtidos nesta alínea e nas anteriores.

Exame de 7 de Julho de 2006

Considere duas ondas planas monocromáticas e uniformes, com campos eléctricos

1E e 2E , tais que

1 0

ˆˆ ˆ( ) exp( )E E x y n r 2 0

ˆˆ exp( )E E x n r ,

em que j e 1

0 10 VmE . As duas ondas, de frequências 1 600 kHzf e

2 600 THzf (espectro do visível), respectivamente, propagam-se na água do mar

( 080 , 0 e 14 Sm ).

a) Caracterize o meio de propagação (água do mar) para as duas frequências indicadas.

b) Indique qual a polarização das duas ondas. Justifique.

c) Para onda de frequência 2f , determine a constante de fase , a constante de

atenuação , o comprimento de onda e a velocidade de fase fv .

d) Escreva a expressão do campo 2H associado a essa onda, em amplitude

complexa e em valor instantâneo.

y x

iE

ik

z

Meio1 (ar)

Meio 2

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Exame de 17 de Janeiro de 2005

Considere uma onda monocromática, plana e uniforme com polarização vertical

(TM), que se propaga num meio ilimitado de parâmetros característicos 1=0, 1,

1=0, com um vector de onda )ˆ83,0ˆ12,1(k0 zyk i , e incide sobre um segundo meio

semi-ilimitado r2=1, r2=16 2=0. A amplitude complexa na origem do campo

eléctrico incidente é .m/mV15Eoi

a) Determine o ângulo de incidência e o valor de 1.

b) Escreva a expressão da amplitude complexa do campo magnético no ponto (x=0, y=1 m, z=0).

c) Determine as componentes do campo eléctrico associado à onda incidente.

d) Calcule a potência transmitida ao solo, por m2.

e) Determine o ângulo de incidência que permite maximizar a transmissão de potência para o solo.

Exame de Janeiro de 1997

Considere uma onda plana monocromática a propagar-se no ar que incide numa superfície plana de separação de meios ar/cobre com polarização TM. A frequência de trabalho é de 10 MHz e, sobre a superfície fronteira, a amplitude complexa do

campo magnético incidente vale .mAe30H 10joi

a) Mostre que a onda transmitida se propaga (muito aproximadamente) segundo a normal, qualquer que seja o ângulo de incidência.

b) Determine os campos eléctrico e magnético transmitidos sobre a fronteira e à profundidade 0,1 mm, em amplitudes complexas e valores instantâneos.

c) O cobre destina-se a efectuar uma blindagem electromagnética. Obtenha a

profundidade de penetração, , e a espessura do cobre, d, que assegura 60 dB de atenuação.

propagação e radiação de ondas electromagnéticas … problema cf1 (resolvido) o campo...

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