Capítulo 1

Ondas Electromagnéticas

1.1 Equações de Maxwell

1.1.1 Eletricidade

As primeiras observações de que se tem conhecimento ao respeito dos fenômenos elétricos datamda época dos gregos. Eles observaram que ao frontar âmbar com lã eram atraídos pedacinhosde tela (600 A.C.).

A explicação para este fenômeno foi dada por Coulomb em 1784

F = kqq′

r2r (1.1)

onde q é a carga elétrica, uma propriedade da matéria descoberta anteriormente por BenjamimFranklin.

Devemos a Michael Faraday nossa concepção atual da ação a distancia entre dois corposcarregados. Faraday imaginou objetos físicos que ele chamou de linhas de forças que preenchiamo espaço as quais partiam das cargas positivas e chegavam as cargas negativas. Para Faradayestas linas de força carregam todas a informação ao respeito da interação elétrica entre doiscorpos.

Utilizando o conceito de linhas de força, podemos descrever a 1.1 desde uma outra pers-pectiva. Pode se demonstrar que o número de linhas de força que atravessam uma superfíciefechada é igual à carga total dentro da superfície. Está expressão física é a conhecida lei deGauss para o caso elétrico e pode ser expressada matematicamente utilizando a expressão

˛S

E · da =q

ε0

, (1.2)

onde ε0 é a constante de permitividade do vácuo e ~E é o campo elétrico que é uma grandezafísica introduzida para substituir o conceito de linhas de força.

1

1.1.2 Magnetismo

Similarmente ao caso elétrico o magnetismo também era bem conhecido pelos gregos, porém eraentendido como um fenômeno independente do elétrico. A primeira relação entre a eletricidadee o magnetismo foi estabelecida por Oerterd quem observou que uma corrente elétrica fluindopor um fio condutor era capaz de perturbar uma buzula próxima.

Com base nestas observações, Ampere demostrou que um campo de indução magnética ~B

produzido por uma corrente elétrica I é tal que˛C

B · dl = µ0I

onde µ0 é a permeabilidade do vácuo.Como resultado desta conclusão de Ampere, Faraday se pergunta se um campo magnético

também é capaz de produzir uma corrente elétrica é obtém que

˛C

E · dl = − d

dt

˛S

B · da (1.3)

onde o primeiro termo à direita se conhece com fem (note que essa integral é não nula, já queo campo elétrico nessa expressão é não conservativo) e o termo à direita é o fluxo magnético.

Figura 1.1: Carga de um capacitor

Além destas duas expressões para o mag-netismo, existe uma outra expressão que dizrepeito a um fato experimental, a inexistênciade monopolos magnéticos. Aceitando este re-sultado experimental, podemos escrever a leide Gauss magnética como

˛S

B · da = 0 (1.4)

1.1.3 Corrente de deslocamento

Analisando o processo de carga de um capacitor podemos rapidamente perceber a existênciade uma assimetria na equação de Ampère. Na expressão original de Ampere, I é a correntetotal que passa na área delimitada pelo trajeto de integração C. Como as cargas não atravessao espaço entre as placas a corrente entre elas é nulas contudo nessa região se estabelece umcampo elétrico que é variável no tempo.

Da figura 1.1 podemos observar que existe uma corrente a través da superfície S1, no entantonão existe corrente a través da superfície S2. O interessante é que ambas superfícies estãodelimitadas pela curva C. A lei de Ampére estabelece uma relação entre a corrente que atravessauma superfície e o campo gerado no contorno que delimita a superfície. No caso do capacitorno processo de carga é evidente que temos uma contradição pois o mesmo contorno delimitaduas superfície uma onde temos uma corrente e outra por onde não passa corrente. Maxwellfoi o primeiro a perceber essa contradição, ele modifica a de Ampere introduzindo o que hoje a

2

Figura 1.2: Equações de Maxwell

chamada corrente de deslocamento que, no caso do processo de carga do capacitor, tem origemno campo elétrico variável entre as placas do capacitor, dessa forma

˛C

B · dl = µ0 (Ic + Id)

˛C

B · dl = µ0Ic + µ0εdΦe

dt(1.5)

As eq. 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5 são as chamadas eq. de Maxwell e como veremos elas predizema existência de um tipo novo de onda que não precisas de meio para se propagar, predize aexistências de as ondas electromagnéticas.

1.2 Ondas eletromagnéticas

A primeira menção que se faz a possibilidade de existência de Ondas eletromagnéticas podese encontrar num artigo intitulado "considerações sobre as vibrações nos raios", nele Faraday

3

Figura 1.3: Onda eletromagnética plana

especula que a luz é um tipo de vibração nas linhas de força. Segundo Faraday, se as linhasde força ligam cargas, o que acontece se uma carga se faz vibrar? Para Faraday as linhas deforças são elásticas, isto é, podemos imaginar elas como um conjunto de sistemas massa molasem serie, de forma que uma perturbação pode propagar-se pela linha de força como uma onda,tanto transversal como longitudinalmente.

Tomando esta ideia como base, Maxwell pudo demostrar matematicamente a existênciaOEM partindo das eq. acima 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5. Vamos estudar a propagação de OEM novácuo, por tanto as equações de Maxwell se modificam para

�SE · da = 0�

SB · da = 0�

CE · dl = −

�S∂B∂t· da�

CB · dl = µ0εo

�S∂E∂t· da

(1.6)

Vamos demostrar que se existe uma onda eletromagnética, necessariamente as equações deMaxwell predizem a existência de uma eq. de onda que satisfaz a OEM.

Consideremos o caso mais simples de OEM que se propaga na direção x numa região ondeha vácuo. Vamos admitir que em um instante t o campo elétrico seja igual em todo os pontosnum plano paralelo ao plano yz, embora seu valor varie de plano para plano. Isto é, dizemosque que o campo elétrico E depende de x mas não de y e z.

E(x, y, z, t) = E(x, t)

B(x, y, z, t) = B(x, t)

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Figura 1.4: Superfície de integração cúbica infi-nitesimal englobando uma região onde foi feitovácuo

Este comportamento define um tipo espe-cialmente simples de onda, chamada de ondaplana. Vamos demostrar que se existe estaonda plana, tanto o valor de E como o valorde B são perpendiculares à direção de pro-pagação da onda, isto é, provaremos que estaonda deve ser uma onda transversal. A pri-meira eq. de Maxwell diz que

‰S

E · da = 0

Suponhamos uma superfície no espaço de vo-lumem dV = dxdydz. Note que o fluxo que saí pela face superior desse elemento de volumemé Eydxdz. Na fase inferior teremos o mesmo fluxo porem agora em sentido contrario pois oelemento de superfície aponta para afora −Eydxdz. Assim o fluxo resultante de fases é nuloEydxdz − Eydxdz = 0. Analogamente não teremos fluxo neto na direção z pois o campo nãodepende de z, Ezdxdy−Ezdxdy = 0. Estes dois resultados eram de se esperar pois inicialmenteadmitimos que o campo no plano é constante em todo ponto. No caso da direção x teremos quena fase esquerda o fluxo é (Ex)x dydz e na fase direita − (Ex)x+dx dydz. Como a primeira lei deMaxwell diz que em ausência de cargas não ha fluxo neto resultante atravessando a superfície,temos que necessariamente

‰S

E · da = (Ex)x dydz − (Ex)x+dx dydz = 0

de onde

(Ex)x = (Ex)x+dx (1.7)

ou seja a componente Ex não depende de x. Este resultado diz que é possível que uma com-ponente x do campo elétrico possa estar presente quando, como foi suposto, tenhamos ondaseletromagnéticas planas com frentes normais ao eixo x. Mas se esta componente estiver pre-sente, ela não poderá depender de x e por tanto nada tem a ver com a onda.

Agora podemos aplicar a segunda lei de Maxwell a nossa onda eletromagnética e por umraciocínio idêntico vermos que Bz não pode depender de x. Por tanto ocorre o mesmo comE e com B; quaisquer partes desses vetores campo elétrico e campo magnético que estiveremassociadas a uma onda eletromagnética plana têm componente situadas nas frentes de onda.Isto é, os dois vetores campo se situam em qualquer ponto de planos paralelos ao plano yz. Istoé na direção transversal à propagação da onda.

Vamos simplificar ainda mais nosso problema, vamos tratar com ondas polarizadas, istoé vamos restringir o campo elétrico na direção y. Isso pode se fazer facilmente colocando umalamina de polaróide na frente da luz laser.

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Figura 1.5: Curva de integração quadrada noplano xy

Apliquemos agora a III eq. de Maxwell‰C

E · dl = −‰S

∂B

∂t· da

Calculamos a integral ao longo da superfíciefechada no sentido anti-horário em volta doquadrado, partindo do canto esquerdo. Parao I lado do quadrado, num dado instante, Eé perpendicular ao elemento dl da curva, demodo que E ·dl = 0, o segundo lado contribuicom (Ey)x+dx dy, no terceiro novamente E ·dl = 0 e no quarto − (Ey)x dy onde os vetores tem sentidos opostos, assim

�CE · dl = (Ey)x+dx dy − (Ey)x dy

=[(Ey)x+dx − (Ey)x

]dy

= ∂Ey∂xdxdy

onde foi usado o fato de que Ey não depende de y e portanto ∂Ey∂x

também não depende de y,assim que escolhemos o centro do quadrado de lado dx e dy.

Aplicando a regra da mão direita vemos que essa circulação do campo elétrico da comoresultado um campo no sentido z, dessa forma

‰S

∂B

∂t· da =

‰S

∂Bz

∂tda =

∂Bz

∂tdxdy

dessa forma obtemos finalmente que

∂Ey∂x

dxdy = −∂Bz

∂tdxdy

∂Ey∂x

= −∂Bz

∂t(1.8)

Figura 1.6: Curva de integração quadrada noplano xz

A seguir usamos a quarta eq. de Maxwell‰C

B · dl = µ0εo

‰S

∂E

∂t· da

O caminho de integração é definido na figura1.6 e é tal que seu centro coincide com o cen-tro do cainho da figura 1.5. Começamos aintegração pelo canto esquerdo posterior, emsentido anti-horário obtendo

6

�CB · dl = (Bz)x dz − (Ez)x+dx dz

=[(Bz)x − (Ez)x+dx

]dz

= −∂Bz∂xdxdz

o lado direito da IV eq. de Maxwell se calcula observando que o elemento de areá apontano sentido positivo de y (usando a regra da mão direita verificamos isto) por tanto o campoelétrico precisa ter uma componente ao longo desse eixo a fim de no anular a integral, dessaforma ‰

S

∂E

∂t· da =

‰S

∂Ey∂t

da =∂Ey∂t

dxdz

igualando ambos resultados

∂Bz

∂x= −µ0εo

∂Ey∂t

(1.9)

de forma que uma variação espacial de Bz deve estar associada a uma variação temporal deEy. Em nossa analises consideramos uma onda polarizada de modo que seu campo elétricotem somente componente Ey. Utilizando as eq. de Maxwell obtivemos que a componente∂Bz∂x6= 0 e ∂Bz

∂t6= 0, porém nada se diz em relação as outra componente, na realidade as outras

componentes são nulas, isto é, o campo magnético só vibra na direção z. Se considerássemosque Ez 6= 0 e o resto das componentes nulas, chegaríamos a ∂By

∂x6= 0 e ∂By

∂t6= 0 e o resto das

componentes seria nula.Derivando a eq. 1.8 em relação t,

∂2Ey∂t∂x

= −∂2Bz

∂t2

e a eq. 1.9 em relação a x,∂2Bz

∂x2= −µ0εo

∂2Ey∂x∂t

e igualamos essas expressões∂2Bz

∂x2= µ0εo

∂2Bz

∂t2(1.10)

Igualmente, se derivamos 1.8 em relação x,

∂2Ey∂x2

= −∂2Bz

∂x∂t

e a eq. 1.9 em relação a t,∂2Bz

∂t∂x= −µ0εo

∂2Ey∂t2

e igualando

∂2Ey∂x2

= µ0εo∂2Ey∂t2

(1.11)

7

Comparando as eq. 1.10 e 1.11 com a eq. da onda numa corda

∂2ψ

∂x2=

1

v2

∂2ψ

∂t2

podemos facilmente ver a semelhança entre estas eq. sempre e quando

|v| = c =1

√µ0εo

(1.12)

sabendo que

µ0 = 4π × 10−7T ·m/Aε0 = 8, 85× 10−12C2/ (N ·m2)

(1.13)

substituindo na eq.

|v| = c = 2, 998× 108m/s = 3, 0× 108m/s (1.14)

de forma que Maxwell descobre que a luz se propaga como uma onda eletromagnética.Sabemos que uma possível solução para a eq. dif 1.10

Ey(x, t) = E0 cos (kx− ωt)= E0 cos

[2πλ

(x− ct)] (1.15)

que representa uma onda senoidal polarizada que se propaga no sentido positivo de x, onde

k = 2πλ

ω = 2πν(1.16)

sendo ν a frequência da onda e λ é o comprimento de onda. A partir das eq. de 1.15, vemosque

ω = c k

ou

c = λν (1.17)

Se substituímos a eq. 1.15 em a eq. 1.9

∂Bz∂x

= −µ0εo∂∂t

{E0 cos

[2πλ

(x− ct)]}

∂Bz∂x

= −(

1c2

) {2πλcE0 sin

[2πλ

(x− ct)]}

Bz = −2πλcE0

´sin

[2πλ

(x− ct)]dx

Bz = 1cE0 cos

[2πλ

(x− ct)] (1.18)

8

Figura 1.8: Dispositivo de Hertz

Figura 1.7: Campo eletromagnético

ouBz(x, t) =

1

cEy(x, t) (1.19)

de onde vemos que os campos elétricos e mag-néticos, mutuamente perpendiculares oscilamem fase com intensidades proporcionais. Daeq. 1.17 também podemos definir

Bz(x, t) = B0 cos[2π

λ(x− ct)

]

de forma que

B0 =1

cE0 (1.20)

Apos maxwell realizar o descobrimento das OEM, o único exemplo de que se dispunhaera a luz. Passaram-se quase 20 anos antes de serem descobertos outros exemplos do mesmofenômeno por Heinrich Hertz (1887). Usando basicamente um circuito LC Hertz foi capaz deproduzir OEM de frequência mais baixa que a da luz (num circuito LC a frequência de oscilaçãoé ω = 1/

√LC). Hertz foi capaz de transmitir e detectar OEM de ν ≈ 100Mhz. A forma como

Hertz sabia que eram detectadas as emissões do circuito era porque a diferencia de potencialentre as esferas que funcionam como capacitor era tão alta que era capaz de produzir faíscas.Assim quando o emissor produzia uma faísca, o receptor quase que instantaneamente tambémproduzia outra. Hertz analisou e verificou posteriormente que a emissões de seu dispositivoeram ondas porque estas exibiam propriedades únicas das ondas, interferência e difração. Hertztambém foi capaz de determinar a velocidade da onda que era gerada no seu circuito, para issoele fez refletir as ondas geradas pelo seu circuito numa folha metálica estabelecendo dessa forma

9

Figura 1.9: Produção de OEM a través de uma antena

Cor violeta azul verde amarelo laranja vermelhoλ (10−10m) 4000− 4500 4500− 5000 5000− 5700 5700− 5900 5900− 6100 6100− 7500

Tabela 1.1: Comprimento de onda da luz no vácuo

uma onda estacionaria, como ele conhecia a frequência do seu circuito e sabendo que a separaçãoentre os nos é de λ/2 pudo determinar a velocidade de propagação da onda como sendo c.

Atualmente uma forma eficiente de produzir OEM é produzir ligar um fonte de volta-gem alternada aos fios de uma antena, dessa forma as cargas dentro da antena são acelera-das o que força as partículas a emitirem sua energia em forma de radiação eletromagnética.

Figura 1.10: Espectro Eletromagnético

1.3 Energia da OEM

Quando estudamos capacitores observamosque a finalidades destes num circuito é arma-zenar energia e isto acontece ao acumularmoscarga nas armaduras. Sabemos que a diferen-cia de potencial entre estas é tal que

∆φ =1

Cq

como

dU = ∆φdq

dU =q

Cdq

U =1

C

ˆ Q

0

q dq

10

U =1

2

Q2

C=

1

2C∆φ

no caso de um capacitor de placas paralelas separadas pelo vácuo

C =ε0A

d; ∆φ2 = E2d2

onde A é a área das placas e d é sua separação. Note que V = Ad, sendo V o volume entre asplacas, de forma que

U =1

2

(ε0A

d

) (E2d2

)

ue =U

V=

1

2ε0E

2 (1.21)

ainda que este resultado é específico para o caso de um capacitor de placas paralelas pode sedemonstrar que este resultado é completamente geral, a densidade de energia eletrostática éproporcional a E2.

Figura 1.11: Circuito RL

Igualmente, é possível armazenar energiano campo magnético. Para isso estudemos ocircuito da figura 1.11 para o processo em queo disjuntor se liga à pilha.

φ0 − LdI

dt−RI = 0 (1.22)

eq. que tem por solução

I =φ0

R

[1− exp

(−RLt)]

observe que quando t→∞ I → 0, de forma que

φ0 − LdI

dt= 0

isto é, a diferencia de potencial no indutor é igual à da pilha. No caso em que o disjuntor secoloca de forma a excluir a pilha temos que a eq. diferencial se modifica para

−LdIdt−RI = 0 (1.23)

eq. que tem por solução

I(t) =φ0

Rexp

(−RLt)

onde se considerou o fato da diferencia de potencial inicial do indutor ser aquele da pilha.Ou seja o inductor armazena energia no campo magnético a que utiliza depois para realizar otrabalho de mover as cargas no circuito (corrente elétrica) que finalmente é transformada no

11

resistor em calor

−dUm = dQ

dUmdt

= −dQdt

onde o termo dQ/dt é a potencia dissipada na resistência que sabemos ser igual a I2R, assim

dUmdt

= −I2R

da eq. 1.23

LdI

dt= −RI

LIdI

dt= −RI2

de forma quedUmdt

= LIdI

dt

Um = L

ˆIdI

Um =1

2LI2

como nosso inductor é um solenoide, sabemos que para um solenoide infinito a inductância é

L = µ0n2lA

e o campo no seu interiorB = µ0nI

de forma que

Um =1

2

(µ0n

2lA)( B

µ0n

)2

como o volumem é V = lA

um =UmV

=1

2

B

µ0

(1.24)

As eq. 1.21 e 1.24 indicam que o campo elétrico e magnético são capasses de armazenar energia.Como as ondas eletromagnéticas são campos elétricos e magnéticos vibrando, então podemosdizer que o campo eletromagnético tem uma densidade de energia u que é igual à soma deambas contribuições, a elétrica e a magnética

u = ue + um

u =1

2

(ε0E

2 +1

µ0

B2

)

12

Figura 1.12: Vector de Poyting

de onde

U =1

2

ˆv

(ε0E

2 +1

µ0

B2

)dV

onde dV é o elemento de volumem. Note que se usamos a relação 1.19

B =1

cE

podemos escrever

ue =1

2ε0E

2 =1

2ε0 (cB)2 =

1

2ε0

(1

√ε0µ0

B

)2

=1

2

B2

µ0

= um (1.25)

de forma que

u =1

2

(ε0E

2 +1

µ0

B2

)=

1

2

(ε0E

2 + ε0E2)

= ε0E2 (1.26)

ou

u =1

2

(ε0E

2 +1

µ0

B2

)=

1

2

(1

µ0

B2 +1

µ0

B2

)=

1

µ0

B2 (1.27)

pelo que resulta mais conveniente escrever

u =1

µ0

B2 = B

(1

µ0

B

)=E

c

(1

µ0

B

)

u =dU

dV=EB

µc(1.28)

1.3.1 Vector de Poynting

Este resultado nos motiva a definir uma grandeza que realmente carateriza uma OEM, suacapacidade de transportar energia. Definimos o vetor e Poynting como

S =1

µ0

E×B (1.29)

13

como E ⊥ B vemos que o modulo do vetor de Poynting é

|S| = S =1

µ0

EB (1.30)

S = cu = cdU

dV(1.31)

e sua direção é a direção de propagação da OEM. Para entender o significado físico do vetor dePoyting, consideremos um feixo de luz, de comprimento l = c dt, como se mostra na figura, aenergia total nesse feixo

dUdt

= u

dU = udV

= u∆adl

= u∆acdt

= (uc) ∆adt

onde ∆a é a área da secção transversal do feixe, por definição de S (modulo de S), podemosescrever

dU

dt= S∆a (1.32)

a fim de levar em consideração o caráter vetorial do vetor de Poynting definimos o vetor elementode área como sendo um vetor que tem por modulo o valor da área da superfície e direção paraafora da superfície, isto é

∆a = ∆a n

de forma que podemos escrever a eq. 1.32

dU

dt= −S ·∆a

onde o sinal negativo leva em consideração o fato de que como se pode ver no desenho 1.12 oelemento de área é para afora e o vetor de Poynting para adentro, pelo que o produto ponto énegativo. A versão continua da expressão que acabamos de demostrar é

∂

∂t

˛V

u dV = −˛S

S · da

de forma que S é uma medida da quantidade de energia por unidade de tempo e unidade deárea transportada pela OEM.

Uma solução para a eq. 1.11, no caso uma onda plana, monocromática, polarizada, é

E = E0 sin[2π

λ(x− ct)

]y

que terá associada uma outra onda solução da eq. 1.10

14

B = B0 sin[2π

λ(x− ct)

]x

tem o seguinte vetor de Poynting

S =E0B0

µ0

sin2[2π

λ(x− ct)

]x

S =E0B0

µ0

sin2[2π

λ(x− ct)

]

a partir desta expressão podemos calcular a energia média entrega pela OEM num intervalo detempo num ponto x qualquer, tomemos x = 0, como

〈S〉 =1

T

ˆ T

0

S(x = 0, t) dt

onde T = 1/ν

〈S〉 =1

T

ˆ T

0

E0B0

µ0

sin2[2π

λct]dt

usando substituição de variáveis facilmente obtemos que

〈S〉 =1

T

E0B0

µ0

λ/c

2π

ˆ 2πλcT

0

sin2 [u] du

como ν = c/λ⇒ T = λ/c

〈S〉 =E0B0

2πµ0

ˆ 2π

0

sin2 [u] du

e como a integral ao quadrado de uma senoide em todo seu período é justamente 2π

1

2π

ˆ 2π

0

sin2 [u] du =1

2

〈S〉 =1

2

E0B0

µ0

=1

2

E20

cµ0

(1.33)

o valor médio do vetor do Poynting é chamado em geral de intensidade da OEM, I, de formaque

I =1

2

E0B0

µ0

=1

2

E20

cµ0

como por definição a média quadrática (Root Mean Square) é Erms = E/√

2 (este número

15

tem a ver o valor esperado ao medir uma grandeza que tem um comportamento oscilatório),podemos escrever

I =(E0)rmscµ0

1.3.2 Pressão de radiação

Suponhamos uma onda eletromagnética linearmente polarizada que se propaga na direção x.Suponhamos que a onda incide incide sobre uma material e esta é absorvida completamente.Basicamente os e− absorvem pois p+ são muito mais massivos. De esta forma os e− nummaterial não condutor

Fe = qE + qv ×B

inicialmente a única força que atua sobre os e−

Fe = qE

os elétrons oscilam pela presencia do campo E da OEM em sentido oposto ao campo (devidoao sinal da carga). A eq. que descreve o movimento dos e− é

med2y

dt2+ ky = −qE0 sin (ωt)

onde E = E0 sin (kx− ωt) y. Uma solução desta eq. diferencial é

y =q E0

me

ω20 − ω2

sin (ωt)

que resulta em ressonância quandoω = ω0

ω =

√k

me

que é a situação física onde os elétrons absorvem toda a energia transportada pela OEM. Nomomento em que a partícula iniciar a vibrar, sobre ela vai atuar a força magnética com origemna vibração do campo magnético da OEM

Fm = qv ×B

Esta força está no sentido positivo de x

Fm = |Fm| x

já que o campo elétrico induze a vibração da partícula no eixo y ⇒ v = vey , nesse momento

16

o campo magnético B da OEM esta vibrando no sentido z, B = B0B, e a carga é q = −e

Fm = |Fm| x

note que

〈Fe〉 ∼ˆ T

0

sin (ωt) dt = 0

ou seja, durante um ciclo completo não ha força eletrica neta atuando sobre a partícula, deforma que a OEM não cede momento neto na direção y. Mas na direção x se ha pois o campopois Fm sempre está na direção +x, quando

{Fe = |Fe| y ⇒ v = |v| y; B = |B| z} ⇒ Fm = qvBx

{Fe = − |Fe| y ⇒ v = − |v| y; B = − |B| z} ⇒ Fm = qvBx

como E = cB

Fm =vFec

por definição Fm = dpdt

então o eletrão absorve continuamente o momento da onda na direçãodo vetor de Poynting. Note que Fm ⊥ v, assim

Wm =

ˆFm · ds

como ds = dsy

Wm = 0

ou seja, o campo magnético não realiza trabalho, diferentemente o campo elétrico

We =

ˆFe · ds

dWe

dt= Fe

dy

dt

dWe

dt= Fev

dWe

dt= cFm

dWe

dt= c

dp

dtˆdW

c=

ˆdp

17

U

c= p

de forma que o momento ganho pelo elétrons está relacionado com a energia portada pela onda

1

c

dUedV

=dp

dV

1

c

⟨dUedV

⟩=

⟨dp

dV

⟩⟨dp

dV

⟩=

I

c2⟨dp

dV

⟩=

I

c2

como dV =(

∆s∆tdA)dt = cdA∆t

1

c

⟨dp

∆tdA

⟩=

I

c2

1

c

⟨dF

dA

⟩=

I

c2

〈P 〉 =I

c

Note que segundo a eq. 1.31〈S〉 = I = c 〈u〉

por tanto

〈P 〉 = 〈u〉 =dU

dV

Sabemos que

I =E0B0

2µ0

=E2

0

2cµ0

Para uma onda monocromática I ∼ E20 , mas para a luz branca é uma somatórias das intensi-

dades associadas a cada color. Para uma fonte pontual de radiação⟨dU

dt

⟩= I∆a

⟨dU

dt

⟩=(4πr2

1

)I1 ← Área para uma esfera no ponto r1

⟨dU

dt

⟩=(4πr2

2

)I2 ← Área para uma esfera no ponto r2

dividendo uma entre a outra

18

r22

r21

=I1

I2

de forma que a intensidade de uma onda esférica é inversamente proporcional ao radio.

1.3.2.1 Antenas

Figura 1.13: Circuito RL

Apos Maxwell descobrir a eq. que descreveo comportamento ondulatório da luz. Hertzconfecciona um circuito elétrico que basica-mente era como o mostrado na figura 1.13.Como discutimos anteriormente, este circuitoemite OEM com frequência de ω2

0 = 1/LC.O interessante do dispositivo idealizado porHertz é que é o antecessor de nossa moder-nas antenas. A antena receptora basicamenteconstituem um dipolo elétrico. Quando o si-nal da OEM a atinge os e− nela, que podem ser considerados como quase livres, se movemsegundo o campo elétrico, isto é, sente uma força da forma

Fe = −qE0 sin (kx− ωt)

de forma que dentro da antena pode vir se formar uma onda estacionaria se o comprimento daantena verifica ser múltiplo de 1/2 comprimento de onda da OEM.

Lantena =λOEM

2

disto que este tipo de antena seja conhecida como antenas de meia onda.

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