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Resumo

A simulação de processos envolvendo propagação de poluentes em meioaquático detém elevada relevância, em razão de reduzir significativamenteos custos do projeto e construção de redes de esgoto. As duas principaisaplicações de sistemas de simulação em problemas de poluição aquáticavisam ao planejamento de redes de esgotos e simulação de acidentes notransporte aquático de cargas tóxicas. Ocorre que os métodos usualmenteempregados para efetuar tais simulações demandam elevado tempo de proces-samento, inviabilizando ambas as aplicações mencionadas. O trabalhoproposto apresenta um novo método analítico para a resolução de equaçõesadvectivo-difusivas, que reduz drasticamente o tempo de processamentorequerido para efetuar ambas as aplicações. Embora o método seja baseadono emprego da Transformada de Fourier, que fornece soluções exatas apenaspara problemas de poluição aquática em meio infinito, condições de con-torno de segunda espécie podem ser incluídas na formulação a fim de quepossam ser obtidas distribuições de concentração e substâncias químicasem corpos hídricos com formato complexo. Resultados analíticos são apre-sentados.

Palavras-chave: Simulação; Métodos híbridos; Poluição aquática.

Abstract

Simulation of processes involving pollutant dispersion in water bodies arevery relevant, because it provides a significant reduction related to the designand building of sewer systems. The main applications of these systems areplanning sewer systems and simulation of disposals during water transport.Unfortunately, the methods usually employed to carry out such a taskdemands high-time processing, and hence both applications becomesunfeasible. In this work a new analytical method for solving advection-diffusion equations is presented, which provides a drastic reduction oftime-processing. Despite the method being based on the use of FourierTransform, which provides exact solutions for water pollution problemsonly in infinite medium, boundary conditions of second kind can beincluded in order to obtain concentration profiles for bacteria andchemicals in complex shaped water bodies. Analytical results are reported

Keywords: Simulation; Hybrid methods; Aquatic pollution.

1 Professor Doutor no Centro Universitário Ritter dos Reis – Faculdade de Informática – Porto Alegre, RS. E-mail: <vinicius@uniritter.edu.br>2 Professora na Fundação Universidade do Rio Grande – Departamento de Matemática – Rio Grande, RS. E-mail: <poffal@gmail.com>3 Professor Doutor na Universidade Federal do Rio Grande do Sul – Departamento de Engenharia Nuclear – Porto Alegre, RS. E-mail: <jorge.zabadal@ufrgs.br>

Recebido em 12/2008 e aceito em 02/2009.

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O Lago Guaíba situa-se em Porto Alegre– estado do Rio Grande do Sul – e recebeprincipalmente efluentes orgânicos. Banhadopelo Rio Jacuí, caracteriza-se pela grandeamplitude em área e pela baixa profundidade– em média, 2 metros. O norte do Lago Guaíba,onde se localiza o Delta – em particular, aregião na qual deságua o Rio dos Sinos –,constitui um local de grande interesse doponto de vista da análise do impacto ambiental.Essa região tem sido foco de atenções, devidoa recente episódio que envolveu a morte de86 toneladas de peixe, ao longo de trechosde grande atividade industrial. A fim de veri-ficar a distribuição e propagação de poluentesna região corpo hídrico, foi conduzida simu-lação computacional, empregando o sistemaMaple V. O presente trabalho trata da mode-lagem matemática empregada para o desen-volvimento do sistema.

A formulação e o uso de métodos híbri-dos têm por objetivo viabilizar a execuçãodo sistema em microcomputadores, aumen-tando a velocidade de processamento e mini-mizando a quantidade de memória requerida.Os métodos numéricos, baseados em formu-lações discretas do tipo diferenças finitas eelementos finitos, fornecem, em geral, exce-lentes resultados no tratamento de problemasde transporte (THIKONOV, 1990). Entretanto,o custo computacional de ambas as formu-lações é bastante elevado. Simuladores queutilizam formulações em diferenças finitaspossuem boa velocidade de processamentoe requerem quantidade de memória aceitávelpara os modelos atuais de microcompu-tadores, quando a geometria do domínio atratar é relativamente simples. Para domíniosde maior complexidade, a geração de malhasretangulares dos sistemas em diferençasfinitas ainda é deficiente, exigindo a discre-tização em um elevado número de elementos,o uso de malhas com densidade variável(DELANEY, 1983) ou o emprego de coorde-nadas curvilíneas que se adaptem à geome-tria dos contornos (HÄUSER; PAAP; EPPEL,1986; VALLENTINE, 1969; KOBER, 1957;

CHURCHILL, 1975; SPIEGEL, 1964). Já ossimuladores que utilizam formulações emelementos finitos possuem geradores automá-ticos de malha triangular ou hexagonal, quese adaptam perfeitamente à geometria dodomínio. Entretanto, produzem sistemasmatriciais de ordem excessivamente elevada,demandando longo tempo de processamentoe grande quantidade de memória (DHAU-BADEL; REDDY; TELLIONIS, 1987). Aadaptação de sistemas em diferenças finitaspara operar sobre malhas produzidas origi-nalmente para elementos finitos também nãoconstitui uma solução viável, pois dificultaconsideravelmente a montagem do sistemamatricial, além de exigir o emprego de coefi-cientes métricos para efetuar transformaçõeslocais de coordenadas.

Algumas soluções alternativas foramconsideradas e analisadas antes da obtençãoda formulação final (WHITE, 1974; REDDY,1986a; CONSTANTINIDES, 1987; GREEN-SPAN; CASULI, 1988; ORTEGA; POOLE,1981; CARNAHAM, 1972; REDDY, 1986b;STRANG, 1980; DAVENPORT; SIRET;TOURNIER, 1988; WANG, 1985;KADANOFF, 1983; FROMM; HARLOW,1963; TAKAISI, 1956; REALI; RANGOGI;PENNATI, 1984). Soluções variacionaiscontínuas foram empregadas anteriormentena elaboração de um sistema de simulaçãode propagação de coliformes e oxigênio(ZABADAL, 1991), produzindo resultadosrazoáveis e apresentando velocidade deprocessamento aceitável. Entretanto, a escolhadas funções da base depende essencialmenteda natureza dos cenários a simular e, até o pre-sente momento, não foi possível elaborar umprocesso sistemático de seleção ou construçãode bases. Foram também pesquisados sistemasbaseados em transformadas integrais, queproduzem soluções analíticas aproximadas,utilizando sistemas de computação simbólica.Dentre os sistemas pesquisados, o método datransformada integral generalizada de Mikhai-lov e Ozizik (1984) constitui o algoritmo maiseficiente na avaliação de soluções analíticaspara problemas lineares ou passíveis delinearização. Contudo, a aplicação direta do

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método da transformada integral generalizadarequer o emprego de condições de contornobastante complexas, o que gera uma série dedificuldades na implementação do sistema.A fim de evitar a aplicação das condições decontorno, foi elaborado um algoritmo híbridoque utiliza a Transformada de Fourier na ob-tenção de soluções aproximadas em formaanalítica para a equação de dispersão em duasdimensões. Tal algoritmo depende do conhe-cimento prévio da distribuição de velocidades.A distribuição deve ser suficientementeacurada para satisfazer, automaticamente, ascondições de contorno do problema relativasà presença de margens e ilhas. Nas proximi-dades dos contornos geográficos, o vetorvelocidade deve tangenciar a linha das mar-gens, anulando-se sobre a interface sólida.Para tanto, é preciso também obter o perfilhidráulico, problema que envolve um esforçocomputacional consideravelmente maior, umavez que se trata de um sistema contendo duasequações diferenciais não lineares sem qual-quer possibilidade de desacoplamento emcoordenadas retangulares, devido à com-plexidade da geometria do domínio. A fim dereduzir o esforço computacional, foi obtida umasolução preliminar, utilizada como aproxi-mação inicial para a aplicação de um esquemaiterativo. A solução preliminar consiste nadistribuição de velocidades para o escoamentopotencial e visa reduzir o número de iteraçõesa aplicar. No escoamento potencial, assume-secomo hipótese simplificativa que não existedissipação viscosa ao longo do escoamento.O método iterativo, a partir do qual se refina asolução, é obtido diretamente do princípio dasaplicações contraídas (KOLMOGOROV, 1972),que constitui a base teórica para a formulaçãode diversos métodos numéricos e analíticos.O algoritmo possui ainda um acelerador deconvergência que proporciona redução adi-cional no número de iterações necessário paraatingir a exatidão desejada através do processoiterativo.

O desenvolvimento dos tópicos seguebasicamente a mesma sequência da introdução.Na seção 2, é descrito o método empregadono cálculo da distribuição de concentrações,

e a seção 3 apresenta o algoritmo utilizadona obtenção da distribuição de velocidades.Informações consideradas dispensáveis àcompreensão dos princípios básicos de funcio-namento dos métodos elaborados são apresen-tadas nos apêndices.

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O método empregado na resolução daequação de dispersão utiliza o conceito "mar-cha no tempo" dos algoritmos TDT (TécnicasDependentes do Tempo) (TORRES, 1980),cuja formulação foi inicialmente concebidapara operar sobre esquemas numéricos emdiferenças finitas do tipo explícito e aplicadana determinação de perfis de velocidade emregime estacionário através da resolução dasequações de Navier-Stokes em sua formatransiente. A principal característica dosalgoritmos TDT consiste na forma pela quala malha é varrida. A malha é percorrida nosentido da corrente principal, tomando comocondições de contorno apenas as vazões àmontante do ponto sobre o qual se calculamas componentes da velocidade. O métodoutilizado difere do algoritmo TDT em doisaspectos: constroi soluções aproximadas emforma analítica ao invés de discretizar o domí-nio, e sua aplicação é restrita a problemaslineares ou linearizáveis, ao contrário da formu-lação original, aplicável a problemas forte-mente não-lineares, tais como escoamentostransversais em bancos de tubos (ZABADAL;FERREIRA, 1990) e fluxos compressíveis emturbomáquinas (JAMESON; SCHMIDT;TURKEL, 1981). No trabalho proposto, ométodo é empregado na obtenção de soluçõespara a equação bidimensional de dispersãoem regime estacionário já na forma linea-rizada. A linearização dos termos advectivosé efetuada através do uso de distribuições develocidade previamente estabelecidas.

2.1 Soluções transientes para a equação dedispersão

O método híbrido, elaborado a partir doalgoritmo TDT, consiste na obtenção de

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soluções aproximadas em forma analítica paraa equação de dispersão bidimensional emregime transiente, definida em coordenadasretangulares da seguinte forma:

(1)

onde D é o coeficiente de difusão; u e v são,respectivamente, as componentes da veloci-dade de escoamento nas direções x e y; c é aconcentração do poluente; k é a constante dedecaimento bacteriano e t é o tempo decorridodesde o despejo da carga.

Tomando valores locais constantes paraas componentes da velocidade, podem serobtidas soluções válidas para pequenos inter-valos de tempo a partir da condição inicialestabelecida. Aplicando a Transformada deFourier nas variáveis x e y, resulta

(2)

onde i é a unidade imaginária e as frequênciasw e α (correspondem, respectivamente, àsvariáveis x e y. Essa equação a variáveis sepa-ráveis tem a seguinte solução:

(3)

onde C(w, α, 0) representa a transformada dacondição inicial.

A solução c(x,y,t) é obtida após a apli-cação da transformada inversa nas variáveis(J)e a

(4)

onde o símbolo * representa convolução. Umavez que as componentes da velocidade foramconsideradas constantes, a solução obtida éaplicável a uma pequena região nas proxi-midades do despejo e, consequentemente,durante um pequeno intervalo de tempo. Aofinal desse intervalo, a solução é empregadacomo uma nova condição inicial para o pro-blema. A partir dessa nova condição inicial,é calculada a solução válida para o próximointervalo de tempo, e o processo se repete,

produzindo sucessivas distribuições de concen-tração para o poluente. Por essa razão o mé-todo é classificado como híbrido: a soluçãoé contínua nas variáveis espaciais e discretana variável tempo, agregando característicascomuns a métodos analíticos e numéricos. Éimportante salientar que aplicação da Trans-formada de Fourier é restrita a problemas defronteira livre (meio infinito), razão pela qualnenhuma condição de contorno relativa amargens ou ilhas figura explicitamente nasolução obtida. Na prática, o controle de mar-gem é efetuado a cada intervalo de tempo, esua eficiência depende da exatidão da distri-buição de velocidades nas vizinhanças doponto sobre o qual se calcula a concentração:caso a distribuição de velocidades não satis-faça às condições de contorno do problema,o controle se torna inviável, uma vez que omapeamento geográfico do rio e a orientaçãodo escoamento são incompatíveis.

2.2 Emprego das soluções transientes naresolução da equação estacionária

Distribuições estacionárias de concen-tração de poluentes empregadas em projetosde obras de saneamento básico são obtidas apartir da resolução da equação bidimensionalde dispersão em regime estacionário:

(5)

na qual figuram todos os parâmetros definidosanteriormente. Nessa equação o termo transienteé substituído pela função fonte q, que repre-senta a soma das contribuições de todas ascargas de poluente. Do ponto de vista físico,as equações diferem apenas no processo dedescarga de poluentes: enquanto na formatransiente a carga é lançada uma única vezno tempo t = 0 (condição inicial do despejo),na forma estacionária a carga é alimentadacontinuamente, sofrendo reposição constanteao longo do tempo. As soluções da equaçãotransiente podem ser utilizadas na obtençãode soluções aproximadas para a equação esta-cionária, assumindo-se algumas hipótesessimplificativas:

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i) O processo contínuo de alimentação dascargas pode ser descrito de forma aproximadacomo uma sucessão de despejos a intervalosregulares de tempo – quanto menor o inter-valo de tempo considerado entre dois despejossucessivos, maior a exatidão do modelo.

ii) As fontes de carga são consideradaslocalmente isotrópicas, isto é, nos pontos delançamento a dispersão se processa unifor-memente em todas as direções.

iii) Direções preferenciais de propagaçãosão determinadas exclusivamente pela distri-buição de velocidades, considerada previa-mente estabelecida.

iv) Cada despejo sucessivo percorre omesmo trajeto desde o ponto de descarga,ou seja, a distribuição de velocidades é estacio-nária (não varia com o tempo).

v) Os sucessivos conjuntos de isolinhasassociados aos despejos individuais são consi-derados círculos concêntricos – assume-se quea corrente principal é responsável apenas pelatrajetória das manchas, não afetando signifi-cativamente o seu formato. Essa aproximaçãonão constitui uma hipótese previamente esti-pulada, mas uma constatação prática. Em simu-lações de acidentes de navios contendo cargastóxicas, foi empregado anteriormente um sis-tema de cálculo que considera a deformaçãodas isolinhas para poluentes solúveis e inso-lúveis em água. Para poluentes solúveis, foiconstatado que a velocidade de crescimentodas isolinhas supera amplamente a velocidadede deformação.

vi) O valor numérico da concentração emcada ponto é calculado utilizando-se a soluçãotransiente que corresponde à mancha maispróxima, desde que esteja à montante doponto.

vii) O período necessário para que o sis-tema atinja regime permanente é igual ao tem-po máximo requerido para percorrer o corpohídrico em toda a sua extensão.

Embora a hipótese v não seja necessáriapara garantir a aplicabilidade das soluçõestransientes ao problema estacionário, seu em-prego reduz consideravelmente o tempo deprocessamento do sistema relativo à exatidãodo método.

O emprego de soluções aproximadas emforma analítica facilita a obtenção de estima-tivas de incerteza (margens de erro). Ocorreque os métodos analíticos não produzem errosde arredondamento elevados, uma vez queefetuam um número bastante reduzido de ope-rações sequenciais com ponto flutuante. Assim,as soluções obtidas podem ser diretamentesubstituídas nas equações que lhes deram ori-gem, a fim de verificar sua validade. Esse pro-cesso é mostrado no apêndice A.

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O método utilizado na obtenção de solu-ções aproximadas para a equação de dispersãopressupõe a existência de uma distribuiçãode velocidades previamente estabelecida. Ocálculo da distribuição de velocidades é efetu-ado através da resolução de um sistema for-mado pela equação da continuidade e pelasequações de Navier-Stokes em duas dimensões:

(6)

(7)

(8)

Nessas equações, u e v são, respectiva-mente, as componentes da velocidade nas dire-ções x e y, v é a viscosidade cinemática daágua, as derivadas de p representam as compo-nentes do gradiente de pressão, e a parcela Gcorresponde ao termo gravitacional ρg∆z, emque ∆z é a diferença de nível medida entrepontos à montante e à jusante do corpo hídrico.A parcela também incorpora um termo corres-pondente à oscilação da superfície, deduzidono apêndice B. A exemplo do modelo de dis-persão, algumas hipóteses simplificativas sãoconsideradas no desenvolvimento do modelohidrodinâmico:

i) Assume-se que as vazões das cargas deesgoto não são suficientemente elevadas paraperturbar a distribuição de velocidades. Ahipótese refere-se especificamente às cargas

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oriundas de esgotos, não incluindo os aflu-entes do Guaíba, cujas vazões são fatoresdeterminantes do regime de escoamento. Essasimplificação permite desacoplar os sistemashidrodinâmico e de dispersão, isto é, resolveras equações 11 e 12 independentemente daequação 5.

ii) O valor numérico da viscosidadecinemática da água refere-se à substânciapura, não sendo consideradas alteraçõesprovocadas pela adição de matéria orgânicae pela presença de microorganismos. A jus-tificativa para esta simplificação decorre dofato de que a viscosidade cinemática estápresente apenas o termo de dissipação vis-cosa, responsável pelo desenvolvimento dacamada limite hidrodinâmica. Uma vez que,no tratamento de problemas em escala geo-gráfica, a espessura da camada limite é despre-zível (em geral, da ordem de centímetros), aregião na qual o termo viscoso predominapode ser negligenciada sem perda conside-rável de exatidão ou generalidade. Já no exte-rior da camada limite, o termo viscoso passaa ser desprezível em relação aos termos iner-ciais, de modo que qualquer refinamento nocálculo da viscosidade não proporciona redu-ção apreciável de erro no resultado final.

iii) Os termos gravitacionais foram obti-dos através do modelo de ondas de gravidadede Landau (LANDAU; LIFSHITZ, 1959). Oemprego do modelo de Landau visa supriruma deficiência do método proposto, queconsiste na omissão da componente da velo-cidade na direção z. Embora a componentegravitacional não possa ser explicitamenteincluída no modelo bidimensional utilizado,visto que atua na direção z, o efeito de suainclusão nas componentes da velocidade emx e y pode ser estimado com o auxílio domodelo de ondas de gravidade.

iv) O gradiente de pressão é calculado apartir de uma distribuição potencial de veloci-dades, discutida em seções posteriores.

Com exceção da terceira hipótese, todasas aproximações têm por objetivo tornar viávela execução do sistema em microcomputadoresatravés da redução do tempo de processamentoe da quantidade de memória requerida. A

aplicação da terceira hipótese, contudo, émotivada pela própria limitação do método.Mesmo empregando métodos híbridos, aimplementação em microcomputadores desistemas para a solução de problemas tridi-mensionais dessa natureza é ainda inviávelquanto ao tempo de processamento.

3.1 Método de obtenção da distribuição develocidades

Assim como no tratamento da equaçãode dispersão, é possível linearizar o sistemaformado pelas equações 11 e 12. Neste caso,a linearização consiste na obtenção de umaaproximação inicial para a distribuição de velo-cidades. A solução do sistema é obtida emtrês etapas:

- cálculo da distribuição de velocidades,considerando escoamento potencial (aproxi-mação inicial);

- cálculo do gradiente de pressão a partirda aproximação obtida;

- inclusão de um modelo de turbulência;As etapas de resolução são descritas na

seção que se segue.

3.1.1 Cálculo da distribuição para escoa-mento potencial

A aproximação inicial para a distribuiçãode velocidades considera apenas a direçãodas linhas de fluxo do escoamento principal,obtendo uma estimativa para o módulo davelocidade na qual o atrito viscoso é despre-zado. As duas equações básicas que regem oescoamento potencial são dadas, em duasdimensões, por

(9)

e

(10)

A primeira expressão é a própria equa-ção da continuidade em duas dimensões(equação 6). Essa equação equivale a umbalanço de vazões sobre um pequeno volumede controle estático, como mostra a figura 1.

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O balanço exige que as vazões de entrada ede saída sejam iguais, de modo que não hajaacúmulo ou perda de fluido no volume.

A equivalência entre a equação 6 e obalanço de vazões mostrado na figura 1 éfacilmente verificada. Substituindo as defi-nições de q(x+dx), q(x), q(y+dy) e q(y) nobalanço de vazões, resulta

hdy[u(x + dx) – u(x)] + hdx[v(y + dy) – v(y)] = 0

(11)

Dividindo a equação por hdxdy, obtém-se

(12)

que é a forma discreta da equação 6. A equa-ção 10 impõe a restrição de escoamento irro-tacional. Para que o escoamento seja irrota-cional, é necessário que um volume de con-trole que acompanha o fluxo não sofra cisa-lhamento ao longo do caminho percorrido.

As figuras 2 e 3 exemplificam, respecti-vamente, os conceitos de escoamento rota-cional e irrotacional: enquanto na figura 2 osângulos dos vértices do elemento se alteramdevido a diferenças de velocidade provocadaspelo atrito com uma interface sólida, na figura3, as diferenças de velocidade se compensam,fazendo com que o elemento sofra apenasdeslocamento e giro sem ocorrer deformação.

O termo irrotacional refere-se à preser-vação dos ângulos dos vértices do elemento

durante sua trajetória e não ao fato de o ele-mento sofrer rotação ao longo do escoamento.Note-se que o elemento da figura 3 sofre rota-ção, mas seus ângulos internos permanecemretos durante o processo. A figura 3, portanto,constitui um exemplo de escoamento irrota-cional; na ausência de atrito viscoso junto ainterfaces líquido-sólido, tais como margensou paredes, pode-se assumir, sem incorrer emerro significativo, que os gradientes das compo-nentes da velocidade se compensam, produ-zindo uma situação semelhante à da figura.

Figura 2 – Escoamento rotacional

Figura 3 - Escoamento irrotacional

Figura 1 – Equação da continuidade

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A figura 2 indica que a provável causada ocorrência de escoamento rotacional seja apresença de paredes ou margens, que propor-cionam um efeito de frenagem ao longo dopercurso do fluido, devido ao atrito viscoso.De fato, é possível demonstrar que a impo-sição da equação da continuidade e da con-dição de escoamento irrotacional realmenteequivale à hipótese simplificativa de ausênciade atrito viscoso. Derivando a equação 9 emrelação a x, e a equação 10 em relação a y,obtém-se

(13)

e

(14)

Somando as equações, resulta

(15)

O mesmo resultado é obtido para a com-ponente v da velocidade. Derivando a equa-ção 9 em relação a y, e a equação 10 em rela-ção a x, obtém-se

(16)

e(17)

Somando os resultados, obtém-se

(18)

Note-se que as equações 15 e 18 requerema eliminação do primeiro termo das equaçõesde Navier-Stokes (7 e 8), que são os respon-sáveis pelo atrito viscoso.

Assim, impor a exigência de escoamentoirrotacional e da equação da continuidade equi-vale a assumir a ausência de atrito viscosoao longo do escoamento. Nessas condições,o escoamento é denominado potencial, e ocampo de velocidades obtido é chamado dedistribuição potencial de velocidades.

3.1.2 - Cálculo do gradiente de pressão

O gradiente de pressão é estimado a partirda aproximação inicial obtida para a distri-buição de velocidades. Isolando as derivadasda pressão nas equações de Navier-Stokes,obtêm-se

(19)e

(20)

Os valores numéricos das derivadas dapressão são calculados utilizando diferençascentrais com ordem de (dx)2. Embora a in-clusão do gradiente de pressão não reduzasignificativamente o erro da aproximação emsituações típicas de escoamento, sua imple-mentação não oferece maiores dificuldades,e sua execução não afeta de forma sensível otempo de processamento do sistema. O termofoi incluído com o objetivo de prever situaçõesde vazão elevada nas quais, eventualmente,poderão surgir gradientes de pressão locais.

3.1.3 - O modelo de turbulência

A turbulência consiste no surgimento decomponentes de velocidade transversais àdireção principal do escoamento, que pertur-bam o deslocamento das partículas produ-zindo um ruído de fundo sobre a trajetóriado fluido. Esse fenômeno pode ser observadoem filetes de água que saem de torneiras. Avazões moderadas, o filete apresenta duasregiões distintas: a região laminar, onde suasuperfície se apresenta lisa, e a região turbu-lenta, na qual o filete se torna rugoso devido àpresença das componentes transversais. Essascomponentes também ocorrem no escoa-mento em corpos hídricos, embora sejam dedifícil identificação, uma vez que geralmentenão existem regiões laminares adjacentes paraque seja possível observar zonas de transição.

A presença das componentes transversaisatua na forma de propagação de bactérias epoluentes, proporcionando uma homogenei-zação muito mais eficiente do que a obtida

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ao longo de um escoamento laminar, onde omecanismo de mistura se deve à difusão mole-cular provocada pelo movimento browniano.

Para considerar os efeitos do surgimentode componentes transversais ao escoamentoprincipal, foi utilizado o modelo de compri-mento de mistura de Prandtl (SISSON; PITTS,1979; SCHLICHTING, 1960; HINZE, 1975),apresentado no apêndice C.

3.2 Refinamento da solução e resultadosobtidos

De posse da distribuição de velocidadespara o escoamento potencial, podem serefetuadas correções que levam em conside-ração o efeito do atrito viscoso, dos termosgravitacionais, do gradiente de pressão e dascomponentes transversais responsáveis pelaturbulência.

A distribuição definitiva de velocidadesé calculada através de um esquema iterativo,cuja aproximação inicial consiste na distri-buição potencial que utiliza como termosgravitacionais as soluções do modelo deLandau e como definições para as compo-nentes do gradiente de pressão as equações19 e 20. O esquema iterativo é obtido direta-mente do princípio das aplicações contraídas(KOLMOGOROV, 1972), que constitui a basede diversos métodos numéricos e analíticospara a resolução de equações integrais e dife-renciais. Multiplicando as equações 7 e 8 por-λ, obtém-se

(21)e

(22)

Somando u em ambos os membros daequação 21, e v em ambos os membros de22, resulta

(23)

e

(24)

Ambas as operações não alteram o sis-tema de equações. A partir do novo sistemaé aplicado o seguinte esquema iterativo:

(25)e

(26)

onde as aproximações para as componentesda velocidade são ajustadas localmente porquocientes entre polinômios, também deno-minados funções racionais (ZABADAL; FER-REIRA, 1990):

(27)

e

(28)

O valor numérico de λ, chamado fatorde contração, é escolhido de modo a garantira convergência das sucessivas aproximaçõespara u e v. Para λ = 0,25, a solução convergecom 3 algarismos significativos em cerca de50 iterações, utilizando um acelerador deconvergência baseado no método dos gradi-entes conjugados (BEVINGTON, 1969).

A distribuição de velocidades obtidaatravés do refinamento é utilizada num se-gundo processo iterativo, a fim de incluir oefeito da turbulência na solução final. A apli-cação do segundo processo requer cerca de20 iterações adicionais e utiliza λ= 0,18 como fator de contração. A divisão do processoem duas etapas se faz necessária, porque ascomponentes transversais da velocidade não

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podem ser estimadas antes da avaliação dosgradientes de velocidade, os quais só podemser determinados após a aplicação do primeiroesquema iterativo.

A tabela constante no Anexo C mostravalores da concentração de diversos parâ-metros de qualidade de água (por exemplo,DBO, fosfato, OD, etc) em pontos localizadosa partir de 600 m da foz do Rio dos Sinos,amostrados a intervalos regulares de 10 m(valores calculados). O tempo de proces-samento requerido para a obtenção dessesdados foi inferior a 2 s.

Esses resultados concordam em todas ascasas decimais, com os respectivos dados expe-rimentais e valores produzidos pelo métodoexplícito em diferenças finitas. Entretanto, otempo de processamento necessário para pro-duzir os resultados contidos na tabela referidaé da ordem de 2 horas quando utilizado ométodo das diferenças finitas.

É importante salientar que os processositerativos descritos não são aplicados durantea execução do programa, pois demandam consi-derável tempo de processamento. A obtençãodo perfil hidrodinâmico se dá previamente como auxílio de sistemas de computação simbó-lica, produzindo expressões em forma analí-tica para as componentes da velocidade. Essasexpressões são posteriormente avaliadas empontos de maior interesse para gerar um arqui-vo numérico utilizado pelo programa principal.A ideia básica que orienta a elaboração detodo o sistema é: são produzidas inicialmentesoluções aproximadas em forma analítica paratodos os modelos possíveis. Essas expressõessão, então, utilizadas diretamente para produ-zir os resultados numéricos correspondentes.

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A análise dos resultados obtidos e o tem-po de processamento corroboram a premissade que o método proposto produz resultadosem tempo hábil para ambas as aplicações-problema citadas. O tempo de processamentorequerido permite que sejam efetuadas cente-nas de simulações relativas à realocação decargas, com o intuito de explorar de forma

otimizada a capacidade de autodepuração doLago. Dessa forma, o planejamento de redesde esgoto baseado no emprego da soluçãoanalítica utilizada constitui uma tarefa perfei-tamente factível, levando em consideração queas distribuições de concentração utilizadas paradefinir a distribuição ótima de redes de esgotopodem ser produzidas em poucas horas. Omesmo ocorre com problemas relativos aacidentes de cargas tóxicas. Considerandoque, neste caso, torne-se necessário efetuar asimulação de um único cenário, o que deman-da cerca menos de um minuto de processa-mento, as autoridades sanitárias podem tomardecisões em tempo real sobre a desativaçãode casa de bomba para abastecimento deágua, a remoção total ou parcial do poluenteem loco ou o tratamento químico – caso neces-sário.

No tocante à tecnologia empregadapara obtenção de resultados, foi utilizado osoftware Maple V para a construção da solu-ção em forma fechada – ou seja, da expressãoque fornece o valor da concentração para cadaponto do domínio.

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(�&�����(�)�*�������+�����������,�����

A margem de erro decorrente da aplica-ção de soluções transientes do tipo

(A.1)

na obtenção de distribuições de concentraçãoem regime estacionário pode ser estimadaatravés da substituição sobre a equação origi-nal. Substituindo a solução (6) na equaçãoestacionária (5), obtém-se uma função querepresenta o erro da aproximação em cadaponto. A forma explícita da função é bastanteextensa, sendo apresentada em anexo.

A solução seria exata, caso o erro resul-tante fosse nulo, isto é, se a aplicação do ope-rador

(A.2)

transformasse c(x, y, t) na função fonte. Con-tudo, nem mesmo a função fonte q é previa-mente conhecida. É necessário, portanto, esta-belecer uma expressão analítica para a funçãofonte através de um modelo auxiliar.

A.1 - Determinação da função fonte

A determinação da função fonte consistena solução da equação estacionária para umapequena região em torno do ponto de des-carga:

(A.3)

onde δ denota a função delta de Dirac, querepresenta uma fonte pontual contendo toda

a carga lançada, e o sub-índice d refere-se aoponto de descarga. Tomando novamente valo-res locais constantes para as componentes davelocidade, bem como dos parâmetros D e ke aplicando a Transformada de Fourier nasvariáveis x e y, resulta

(A.4)

onde, a exemplo do problema transiente,i é a unidade imaginária, as frequências ω e αcorrespondem, respectivamente, às variáveisx e y, e as letras maiúsculas denotam as trans-formadas das funções originais. A soluçãoda equação (2) é imediata: isolando C e apli-cando a transformada inversa, obtém-se a fun-ção fonte:

(A.5)

A função resultante é muito próxima dasolução exata, uma vez que as hipóteses develocidade e parâmetros constantes são real-mente válidas nas vizinhanças dos pontos dedescarga.

Estabelecida uma expressão analíticapara a função fonte, podem ser calculadosvalores numéricos para a incerteza da solução.Para tanto, bastam substituir valores típicos dedifusão, componentes de velocidade e tempode propagação na função que descreve ocomportamento do erro. Para valores de u e ventre 0 e 0,3, D entre 0 e 0,5 e t entre 0 e 100,a incerteza assume valores entre 20% e 80%.

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Na ausência de perturbações externas,a superfície de um fluido em equilíbrio comforças gravitacionais é aproximadamente pla-na. No estudo do comportamento transientede corpos hídricos, o principal fator de pertur-bação da superfície é a incidência de ventos.O modelo a seguir descreve de forma aproxi-mada os fenômenos físicos envolvidos nessainteração e apresenta o tratamento quantita-tivo correspondente para problemas em regi-me estacionário.

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A figura B1 mostra o principal meca-nismo de perturbação de uma superfície defluido inicialmente plana, que consiste naformação de zonas de pressão diferenciada,devido a variações locais na velocidade dovento. Nas zonas de menor velocidade, apressão do ar sobre a superfície da água sofreum pequeno crescimento, porque a desace-leração provoca um adensamento local demoléculas nas vizinhanças da região de frena-gem. Esse aumento local de concentração demoléculas provoca uma pequena depressãona superfície da água e uma pequena elevaçãoem regiões adjacentes. O deslocamento dasuperfície é, então, revertido pela força gravi-tacional e perturbado pela incidência de novasondas de pressão, sofrendo uma sucessão deinterferências parcialmente construtivas edestrutivas, conforme a fase da onda em rela-ção ao vento.

A componente vertical da pressão queatua sobre um elemento de fluido sujeito àação de perturbações externas pode ser esti-mada utilizando a equação de Bernouilli so-bre a direção z, que representa uma simplifi-cação da equação de Navier-Stokes nessavariável:

(B.1)

onde p e w representam, respectivamente, ascomponentes da pressão e da velocidade deescoamento na direção z, g é a aceleração dagravidade e p é a massa específica da água.O primeiro termo representa a pressão estáticada coluna de água de altura z, medida emrelação à cota zero indicada na figura, e osegundo corresponde à pressão dinâmica

provocada pela frenagem do fluido desde acota zero até o pico (máximo ou o mínimo).A equação de Bernouilli é obtida a partir daequação de Navier-Stokes pela supressão dotermo viscoso, seguida da integração na variá-vel espacial (neste caso, z) entre a cota zero eo pico. A integração é necessária para eliminara dependência de w com z. Uma vez que acomponente w da velocidade não pode figurarno modelo bidimensional, é tomado o valorconstante w(0), correspondente à cota zero.O valor experimental de w(0), obtido direta-mente de medidas de campo, é de aproxima-damente 0,25 m/s, e pode ser consideradoindependente da amplitude das oscilações.

O membro direito da equação 25 repre-senta apenas a pressão sobre o meio líquidoao sofrer uma perturbação externa, sem queseja especificada a origem dessa perturbação.O fator responsável pela perturbação da super-fície é a ação dos ventos, que corresponde aomembro esquerdo da equação. A pressãodevida a variações locais na velocidade do ventopode também ser descrita pela equação deBernoulli. Neste caso, entretanto, o termocorrespondente à pressão estática pode sereliminado, pois a força exercida pelo pesode uma coluna de ar de altura igual à ampli-tude de oscilação das ondas é desprezívelfrente à pressão dinâmica:

(B.2)

onde ρ' é a massa específica do ar, e v' é omódulo da velocidade do vento. Nestaequação, as componentes da velocidade dovento não são consideradas separadamente:

Figura B1 – Perturbação da superfície pela ação dos ventos

LEGENDA

Densidade localde moléculas

Velocidadedo vento

Superfície inicialmente plana (não perturbada)

Perturbação provocada por diferenças locais de pressão

�

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��������������������������������������������������� ��! ���"��#

(C.3)

(C.4)

(C.5)

assume-se que a velocidade do vento é uni-forme em toda a extensão do corpo hídrico.Substituindo a expressão obtida na equação25, obtém-se

(B.3)

Isolando, em seguida, a parcela gravi-tacional, resulta

(B.4)

Esta é a parcela a adicionar sobre ostermos gravitacionais nas equações deNavier-Stokes em x e y. Uma vez que o efeitoda ondulação pode ser considerado isotró-pico no plano xy, isto é, que atua de maneirauniforme em todas as direções, as contri-buições em ambas as variáveis devem seriguais. Assim,

. (B5)

Por essa razão, a contribuição para o ter-mo gravitacional nas equações de Navier-Stokes não possui índice, sendo expressasimplesmente como G em ambas as equações.

Na prática, a equação de Bernouilli re-produz com exatidão aceitável o comporta-mento da superfície oscilante. Um tratamentomais rigoroso desse fenômeno exigiria a formu-lação de modelos transientes bastante comple-xos, cuja resolução seria dispendiosa e nãoproporcionaria redução sensível na margemde erro do resultado final.

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A turbulência se caracteriza pela presençade componentes de velocidade transversaisao sentido principal de propagação da cor-rente. Essas componentes são chamadas flu-tuantes, porque geram pequenas flutuações

aparentemente aleatórias sobre a correnteprincipal, cujo valor médio ao longo do tempoé zero.

As componentes flutuantes de veloci-dade são originadas por perturbações em es-cala microscópica que provocam desvios natrajetória de algumas moléculas de fluido. Osdesvios resultam em colisões com as molé-culas que percorrem o sentido principal doescoamento, propagando a perturbação atravésdo fluido. As perturbações iniciais se devemcomumente à irregularidade da interface só-lida, a efeitos térmicos (correntes convectivas)e à ação de forças externas. No escoamentoem corpos hídricos, os efeitos térmicos podemser desprezados, uma vez que as diferençasde temperatura não provocam a formação decorrentes ascendentes (em geral as tempera-turas mais elevadas ocorrem na superfície).A ação de forças externas, por sua vez, refere-se à ondulação da superfície, fenômeno des-crito no apêndice B.

C.1- Inclusão das componentes flutuantesno modelo hidrodinâmico

As componentes da velocidade de esco-amento podem ser decompostas em somasde parcelas médias e flutuantes:

(C.l)e

. (C.2)

As parcelas médias denotadas pela bar-ra, que correspondem ao escoamento princi-pal, definem a direção de propagação do flui-do na ausência de perturbações. As parcelasflutuantes, contendo o índice ' representam asflutuações que caracterizam a turbulência.Substituindo as parcelas médias e flutuantesno sistema de equações que define o compor-tamento do escoamento, obtém-se

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$���������������%&������'(�)������

(C.6)

(C.7)

(C.8)

A expansão das expressões obtidas re-sulta nas fórmulas acima, onde as flutuaçõesnas componentes do gradiente de pressãoforam desconsideradas, uma vez que a pró-pria ordem de grandeza das parcelas médiascorrespondentes é menor do que a dos de-mais termos das equações de Navier-Stokes.

Em regime estacionário, as quantidadesde interesse no tratamento do problema sãoas médias temporais. Uma vez que as médiastemporais das flutuações são nulas, todos ostermos lineares contendo componentes flutu-antes também se anulam quando calculadassuas médias ao longo de um intervalo sufici-entemente longo de tempo. Tomando as mé-dias temporais sobre as equações 34, 35 e36, resulta

(C.9)

(C.10)

(C.11)

Os termos não-lineares envolvendo com-ponentes flutuantes dependem dos valores dascomponentes médias, uma vez que a intensi-dade das flutuações cresce com a velocidadede escoamento. É conveniente, portanto, bus-car expressões que relacionem diretamenteas componentes médias e flutuantes, a fim deevitar a inclusão de duas variáveis adicionais

ao sistema. As expressões que relacionam ascomponentes médias e flutuantes são obti-das utilizando o modelo de comprimento demistura de Prandtl (TORRES, 1980), descritoa seguir.

C.2 - O modelo de comprimento de mistura

Em corpos hídricos, o surgimento de com-ponentes flutuantes se deve essencialmentea dois tipos de perturbação mecânica: escoa-mento junto a superfícies sólidas irregulares epresença de ondulações. Ambos os mecanis-mos de perturbação produzem gradientes con-sideráveis nas componentes de velocidade.Prandl supôs que a ordem de grandeza dascomponentes flutuantes é igual à dos gradi-entes produzidos durante a perturbação:

(C.12)e

(C.13)

onde l1 e l

2 são fatores de proporcionalidade

denominados comprimentos de mistura, devi-do às suas dimensões e à característica doescoamento turbulento de proporcionar mis-turas homogêneas. Para o tratamento do pro-blema em estudo, considera-se que o efeitoda turbulência é isotrópico, tal como o efeitoda ondulação de superfície, e que, portanto,os comprimentos de mistura são iguais,

l1 = l

2 =1 (C.14)

e, assim, os módulos das componentes flutu-antes também são iguais:

'!

������������������� �������������

��������������������������������������������������� ��! ���"��#

. (C.15)

O comprimento de mistura, por sua vez,também depende das componentes médiasda velocidade de escoamento. Von Kármán(MIKHAILOV; OZIZIK, 1984) obteve a se-guinte relação semi-empírica para l em funçãodo perfil de velocidades:

. (C.16)

Os termos não lineares contendo compo-nentes flutuantes podem ser agora estimados.O primeiro termo contém a derivada do qua-drado de u':

(C.17)

O quadrado da componente flutuantepode ser obtido diretamente do modelo decomprimento de mistura:

(C.18)

Substituindo a expressão para o compri-mento de mistura dada por 40, resulta

. (C.19)

Derivando em relação a x e dividindopor 2 e reagrupando parcelas, obtém-se o ter-mo desejado:

(C.20)

De maneira análoga é calculada a deri-vada do quadrado de v' em relação a y, pre-sente no último termo não linear:

(C.21)

Note-se que os dois termos restantes con-sistem em derivadas de produtos. Uma vezque a turbulência é considerada isotrópica,todos os produtos entre componentes flutu-antes da velocidade devem ser iguais e, assim,

(C.22)

e

(C.23)

Dessa forma, as contribuições das parcelasturbulentas em ambas as equações de Navier-Stokes são também iguais. Substituindo osresultados obtidos em 31 e 32, obtém-se

(C. 24)e

(C.25)

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Estas são as formas finais das equaçõesde Navier-Stokes em regime estacionário con-siderando escoamento turbulento isotrópico.A equação da continuidade permaneceinalterada, uma vez que contém apenas ter-mos lineares, cujos valores eficazes (médiastemporais) se anulam em regime estacio-nário.

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98/01/30 5531 09.18 1.6 73.1 43.0 2.8

98/11/80 0141 00.72 2 20.2 **** 3.4

98/21/60 0431 05.23 3.4 4.2 52.0 5.3

09/10/01 5221 04.22 **** 82.3 94.0 3.2

09/20/70 0051 00.42 6 46.2 63.0 8.5

09/30/90 0321 04.75 1.5 67.1 83.0 6.3

09/40/40 0511 03.47 9.2 83.3 73.0 4.4

09/50/41 0021 01.54 5.4 6.1 43.0 3.4

09/60/60 5461 00.051 6.1 91.1 53.0 5

09/70/11 5051 00.481 1.2 25.1 73.0 6

09/80/80 5021 09.53 8.5 42.3 44.0 5

09/90/31 0421 00.782 9.3 37.1 6.0 3.5

09/01/11 5141 00.781 3.1 82.1 73.0 4.4

09/11/80 5121 00.022 8.2 33.1 43.0 6.4

09/21/50 0421 03.33 4.5 79.1 3.0 6.3

19/10/90 0331 02.22 9.2 98.2 16.0 3.5

19/20/60 0321 03.02 2.8 84.3 14.0 3

19/30/60 0321 01.12 8.5 43.5 57.0 8.4

19/40/30 0321 01.01 6 86.7 16.0 4.4

19/50/20 008 **** **** **** **** ****

19/60/50 **** 06.23 5.5 71.6 59.0 8.0

19/70/50 0511 08.05 3.2 36.2 83.0 8.5

19/80/70 0421 00.891 2.2 56.1 7.0 4.7

19/90/40 0411 07.73 6.2 26.2 3.0 4

19/01/90 0311 05.39 4.2 66.1 63.0 2.5

19/11/60 5011 05.47 6.2 87.1 33.0 5.5

19/21/50 5511 09.72 3.4 88.3 87.0 8.1

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m3 s/5obDl/gm

latotNl/gm

latotPl/gm

oinêgixOl/gm

29/10/90 0201 07.66 8.1 1.1 54.0 7.2

29/20/50 0111 00.852 3 84.1 53.0 2.3

29/30/11 0311 03.42 6.5 21.3 6.0 8.2

29/40/80 5411 00.212 3.1 23.1 44.0 3.3

29/50/60 5321 00.64 3.3 22.2 83.0 2.3

29/60/30 5411 00.291 6.1 30.1 13.0 8.5

29/70/80 0121 00.773 9.1 30.1 82.0 4.6

29/80/50 5021 00.642 6.1 1 52.0 2.7

29/90/60 0411 05.08 1.3 79.1 43.0 5.5

29/01/70 0501 00.711 3.1 60.1 3.0 2.5

29/11/50 5111 00.991 1.2 65.1 83.0 1.5

29/21/30 5111 00.42 3.2 49.2 83.0 6.3

39/10/60 0021 00.731 1 40.1 45.0 4

39/20/01 0311 06.35 6.0 21.2 44.0 4.3

39/30/30 5411 00.141 1.1 17.1 82.0 2.3

39/40/70 0111 00.431 2 19.1 81.0 8.3

39/50/50 0021 05.84 8.1 4.3 94.0 4.2

39/60/30 0111 00.272 7.1 92.1 92.0 8.6

39/70/70 5021 00.696 1.1 34.2 13.0 3.5

39/80/40 0411 09.64 4.2 63.2 92.0 3.7

39/90/51 0011 05.33 8.3 82.3 64.0 6.4

39/01/60 0211 00.001 5.2 64.1 62.0 9.4

39/11/01 0511 02.04 9.2 20.2 93.0 6.3

39/21/80 0411 00.711 1.2 36.1 34.0 4.4

49/10/50 0511 03.95 5.3 79.1 74.0 2.4

49/20/90 5411 04.23 2.1 55.1 34.0 6.2

49/30/30 3411 00.502 3.1 62.1 73.0 7.2

49/40/60 5411 02.34 8.1 41.2 23.0 8.3

49/50/50 0011 06.18 2 75.1 50.0 4.4

49/60/80 7211 00.522 1 98.0 42.0 2.5

49/70/70 0431 00.371 3.1 12.1 33.0 2.6

49/80/40 5221 00.371 5.1 53.1 63.0 5.5

49/90/41 8111 03.66 3 31.2 33.0 1.5

49/01/91 5511 00.881 3 10.2 44.0 9.3

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49/21/70 5111 0.83 3.1 **** 94.0 6.2

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01.41100.4204.4700.69601.0189.211

48.203.103.202.806.076.1

81.279.168.186.798.032.1

04.083.073.059.050.051.0

4.44.44.42.88.04.1