propagaÇÃo e radiaÇÃo de ondas … · tipos de ondas uma onda é um fenómeno físico que...

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Custódio Peixeiro

Setembro 2016

PROPAGAÇÃO E RADIAÇÃO

DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS (PROE)

MEEC

Ano Lectivo 2016/17 – 1º Semestre

Este documento foi

concebido para servir

de guia nas aulas

teóricas e apenas como

tal deverá ser utilizado

no estudo da matéria.

Sumário

• Tipos de Ondas (1)

• Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (16)

• Velocidades de Fase e de Grupo (4)

• Dispersão (3)

• Polarização (6)

• Energia e Potência (4)

• Reflexão e Refracção em Interfaces Planas (7)

2/43

Tipos de Ondas

Uma onda é um fenómeno físico que ocorre num local num dado instante

e é reproduzido noutros locais em instantes posteriores, sendo o atraso

proporcional à distância de cada local à primeira posição F (r – ct)

Tipos de Ondas

Esférica Cilíndrica

Plana

3/43

)rkjer

A t(

)rkjeA t(

)kt(ωjeA ρ

ρ

Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (1)

Não existem exactamente ondas planas (exigiriam uma extensão infinita)

mas existem ondas aproximadamente planas.

As ondas planas têm especial importância porque:

• longe da fonte que a originou uma OE é localmente plana

Por exemplo, uma antena produz na sua zona distante OEs (esféricas)

localmente planas

• qualquer OE pode ser obtida como a sobreposição de ondas planas

(de amplitude e fase adequadas) via transformada de Fourier

4/43

dωdke)ω(k,A)t(r,E )rkt(ωj


Das equações de Maxwell obtêm-se, para excitação temporal harmónica

exp (jωt), as equações de onda no vácuo (sem fontes)

Solução geral: E (H) = F1(z-c0t) + F2(z+c0t)

5/43

0εμω 0022 EE 0εμω 00

22 HH

00

0εμ

1c

)(

)ˆ0

ˆ0

ˆ0(

zzkyykxxkjezEyExE

zyx

rkEE 0

jer

0εμωk 0022 Equação de dispersão

0

2z

2y

ckkkˆ

2

xkknk

n kzyx ˆˆˆˆ k j -j-zyx

Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (3) 6/43

EHn 0εωjkj ˆ

HEn 0ˆ ωjkj

0ˆ Dnkj

0ˆ Bnkj

HEn ˆ

Ohmπ120ε

μZ)Z

0

000 HnE ˆ(

)(Z

1

0

EnH ˆ

Campos

puramente

transversais

Onda TEM


No caso geral de um meio com perdas (ε,µ,)

7/43

0)ωε

σj1(εμω)εωjσ(μωj 222 EEEE

)zz

yy

xx

(e)

0zE

0yE

0xE(e

0E(r)E

γγγˆˆˆ

zyx

rγ

0)εωjσ(μωj2 γ Equação de dispersão

εω

σj1εμωj)εωjσ(μωjβjαγkj

2

1

)j1(

)j1(j

jZ Tangente do ângulo de

perdas

tan = /ωε

ε complexo


Meio sem Perdas ( ε = εrε0, µ = µrµ0, =0)

8/43

0α

rr

0

rr

0rr0

εμ

λλ

εμ

ccεμβ

c

ωεμω

λ

π2β

r

r0

ε

μZ

ε

μZ

Exemplos

Vácuo (ar) εr = µr = 1

Vidro εr = 4, µr = 1

Água destilada εr = 80, µr = 1

Dieléctrico Perfeito


Meio com Perdas Fracas ( ε = εrε0, µ = µrµ0, « ωε)

2

x1x1 Para x «

rr

0

rr

0rr0

εμ

λλ

εμ

ccεμβ

c

ωεμω

λ

π2β

)2

j1(Z

2

θtanβ

εω2

σβ

ε

μ

2

σα

Bom Dieléctrico

Exemplos (Comportamento depende da frequência)

Vidro εr = 4, µr = 1, = 10-12 S.m-1

Solo Seco εr = 4, µr = 1, = 10-5 S.m-1

Água Doce εr = 80, µr = 1, = 10-3 S.m-1


Meio com Perdas Fortes ( ε = εrε0, µ = µrµ0, » ωε) Bom Condutor

2

2

1βα

1R)j1(R)j1(

2Z mm

δ - Profundidade de penetração,

distância em que os campos se

atenuam e1 = 1 Neper = 8,686 dB

Exemplos (Comportamento depende da frequência)

Solo Húmido εr = 30, µr = 1, = 0,1 S.m-1

Água do Mar εr = 70, µr = 1, = 5 S.m-1

Cobre εr = 1, µr = 1, = 5,8 x107 S.m-1

δ (f=1 kHz) = 2,1 mm

δ (f=1 MHz) = 66,1 µm

δ (f=1 GHz) = 2,1 µm

11/43Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (8)

Origem da Figura

J. D. Krauss e D. A. Fleisch, Electromagnetics with Applications, 5ª edição, McGraw-Hill, 1999.


Origem da Figura

Rec. ITU-RP.527-3


Resumo

Meio Z [] [Np.m-1] [rad.m-1]

Dieléctrico Perfeito

=00

Bom Dieléctrico

Bom Condutor

1εω

σθtan

1εω

σθtan

r

r0Z

)εω2

σj1(

ε

μ

j

jZ

)j(jβjα

)j1(2

rr εμ0c

ε

μ

2

σ

1

2

120Z

0

00

λ

π2β

18

00

0 sm1031

c


Exemplo (t=0) )zt(coseE)t,z(E z0

=0 f= 100 MHz=0

=0


Exemplo (z=0) )zt(coseE)t,z(E z0

=0 f= 100 MHz=0

=0

20/43Velocidades de Fase e de Grupo (1)

Grupo de 2 ondas de frequências (ligeiramente) diferentes

)zβtω(cosE)t(z,E 0

β

ω

td

zdv f

0ωωΔ

zΔβ)(βtω)Δ(ωcosEzΔβ)(βtω)Δ(ωcosE)t(z,E 000000

)zβtω(cos)zΔβtΔω(cosE2)t(z,E 000

βd

dω

dω

βd

1v0Δωlim

Δω

Δβ

1

td

zdv gg


vg

vf


No caso geral

zyxβ

v fˆˆˆ

zyx β

ω

β

ω

β

ωω

zyxvgˆˆˆ

zyx β

ω

β

ω

β

ω

β

ω

Diagrama de dispersão (diagrama -ω, ou diagrama de Brillouin)

β


Exemplo de diagrama de dispersão

Guia metálico de secção rectangular (WR90)

24/43Dispersão (1)

Para ondas planas em meios sem perdas (ou com fracas perdas)

εω

σj1εμωj)εωjσ(μωjβjαkj γ

18

00

0

rr

0gf m.s103

εμ

1c

εμ

c

εμ

1vvεμωβ

No caso geral dos meios com perdas

vf ≠ vg e dependem ambas da frequência (meio dispersivo)

25/43Dispersão (2)

Exemplo de velocidades de fase e de grupo

Guia metálico de secção rectangular (WR90)

26/43Dispersão (3)

27/43Polarização (1)

y)Φzkt(ωcosEx)zkt(ωcosE)t(z,E 21ˆˆ

ω t

Y

X

Y

ω t


Curva de polarização é a figura geométrica descrita pela “ponta do

vector campo eléctrico” ao longo do tempo, num ponto do espaço

(OE a propagar-se aproximando-se do observador)


ΦsenΦcos)E

E()

E

E(2)

E

E()

E

E( 2

2

y

1

x2

2

y2

1

x Equação da curva

(elipse) de polarização

1

2

E

Etan

Φje

1E

2E

xE

yE

p p é a razão de polarização

Estado de Polarização

(,) ou (,)

E1

E2

X

Y

Z 2βsen

2αtanΦtan

2βcos2αcos2cos

Φcos2tan2βtan

Φsen2sen2αsen


Esfera de Poincaré

- π ≤ Φ ≤ π

- π/2 ≤ γ ≤ π/2

- π/4 ≤ α ≤ π/4

0 ≤ β ≤ π


Casos Notáveis

Infinidade de polarizações

lineares (todas as inclinações

[0, π])

Duas polarizações circulares

(PCE, PCD)

0Φ 2

πΦe EEE 12

x1

2y E

E

EE

22y

2x EEE

Exemplo

PV

Exemplo

PCE > 0, PCE

Rotação no

sentido retrogrado

< 0, PCD

Rotação no

sentido directo

33/43Energia e Potência (1)

A partir das (duas primeiras) equações de Maxwell

n̂

ε,μ,σV

S

sJHE ,,0μ,μμjμμμ

0ε,εεjεεε

irir

irir

HB

ED

do Teorema da Divergência

HE

EJH

μωj

εωj

EJJ s σ

V S

** dV dSHEHE


Definem-se vector de Poynting (S) e vector complexo de Poynting (Sc)

)(2

1 *HESHES c

e da identidade vectorial E)H(H)E()HE( ***

obtém-se – Teorema de Poynting

V

2

SVdV

2

σ

2

1dV

2

1EdSHEJE

**

s

V

2

r

2

rV

2

i

2

i dVεμ2

ωjdV

2

ωEHHE


Ps – Valor médio no tempo da potência (complexa) fornecida pelas fontes

Po - Valor médio no tempo do fluxo de potência para fora de S

Pl – Valor médio no tempo da potência dissipada em V

Wm – Valor médio no tempo da energia magnética armazenada em V

We – Valor médio no tempo da energia eléctrica armazenada em V

dV2

1P

Vs *

sJE

V

2

rm dV4

μWH

emoS WWω2jPPP l

dSSdSHEc* SS

o2

1

2

1P

V

2

i

2

iV

2

dV2

ωdV

2P HEE

l

V

2

re dV4

εWE


No caso das ondas planas em meios sem perdas

220

20

0 mW.2

HZ

Z2

ES

Ohmπ120ε

μZ

ε

μZ

ε

μZHZE

0

00

r

r000

T

0

*c )HE(Re2

1)S(Redtt)(S

T

1S

nS])Z

En(E[Re

2

1)HE(Re

2

1S 0

** ˆˆ

37/43Reflexão e Refracção em Interfaces Planas (1)

Polarização TE (Perpendicular, Horizontal)

0x

xEE 0ˆ

zHyHZ

EnH 0z0y

ˆˆˆ

zyn iˆˆˆ

ii θcosθsen

cnf (z=0)

zt2zrzi1

ytyryi

0t0r0i

Hμ)HH(μ3

HHH2

EEE1

i22

212

1i

i22

212

1i

0i

0rTE

θsennμ

μθcos

θsennμ

μθcos

E

ER


Polarização TM (Paralela, Vertical)

0x

xHH 0ˆ

zyHnE ˆˆ)ˆ(Z 0z0y EE

zyn iˆˆˆ

ii θcosθsen

cnf (z=0)

zt2zrzi1

ytyryi

0t0r0i

Eε)EE(ε3

EEE2

HHH1

i22

21i221

2

1

i22

21i221

2

1

0i

0rTM

θsennθcosnμ

μ

θsennθcosnμ

μ

H

HR


1r1

r2r2

11

22

1

221

εrμ

εμ

εμ

εμ

k

kn

TMTMTETE R1TR1T

Leis de Snell

Meios sem perdas Meios com Perdas

)εωj(σμ

)εωjσ(μn

111

222

1

221

γ

γ

εωjσ

μωjZ

r

r0

ε

μZ

ε

μZ

i1t2

ir

θsennθsen n

θθ

1

221

21

it

n

nn

n

θsenθsen


Factores de Reflexão [Meio 1 ar, meio 2 (r2, µ2=µ0, 2=0)]

r2


Factores de Reflexão [Meio 1 ar, meio 2 (r2=5, µ2=µ0, 2)]

tan2


Transmissão Total (RT = 0)

Reflexão Total (|RT | = 1)

TE

TM

meioumsó1n21

BrewsterdeÂngulo1n

1θcos

221

iB

r2r1r1

r221

21

it εε1

ε

εn

n

θsenθsen

21iL nθsen

Meio 2 Condutor Perfeito (2 = )

1Re1Rn TETM21


Exemplo – Reflexão Total

Meio 1: Água (n19) Meio 2: Ar (n2=1) ilimsin-1(1/9)6,4o

propagaÇÃo e radiaÇÃo de ondas … · tipos de ondas uma onda é um fenómeno físico que...

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