CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Custódio Peixeiro
Setembro 2016
PROPAGAÇÃO E RADIAÇÃO
DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS (PROE)
MEEC
Ano Lectivo 2016/17 – 1º Semestre
Este documento foi
concebido para servir
de guia nas aulas
teóricas e apenas como
tal deverá ser utilizado
no estudo da matéria.
Sumário
• Tipos de Ondas (1)
• Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (16)
• Velocidades de Fase e de Grupo (4)
• Dispersão (3)
• Polarização (6)
• Energia e Potência (4)
• Reflexão e Refracção em Interfaces Planas (7)
2/43
Tipos de Ondas
Uma onda é um fenómeno físico que ocorre num local num dado instante
e é reproduzido noutros locais em instantes posteriores, sendo o atraso
proporcional à distância de cada local à primeira posição F (r – ct)
Tipos de Ondas
Esférica Cilíndrica
Plana
3/43
)rkjer
A t(
)rkjeA t(
)kt(ωjeA ρ
ρ
Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (1)
Não existem exactamente ondas planas (exigiriam uma extensão infinita)
mas existem ondas aproximadamente planas.
As ondas planas têm especial importância porque:
• longe da fonte que a originou uma OE é localmente plana
Por exemplo, uma antena produz na sua zona distante OEs (esféricas)
localmente planas
• qualquer OE pode ser obtida como a sobreposição de ondas planas
(de amplitude e fase adequadas) via transformada de Fourier
4/43
dωdke)ω(k,A)t(r,E )rkt(ωj
Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (2)
Das equações de Maxwell obtêm-se, para excitação temporal harmónica
exp (jωt), as equações de onda no vácuo (sem fontes)
Solução geral: E (H) = F1(z-c0t) + F2(z+c0t)
5/43
0εμω 0022 EE 0εμω 00
22 HH
00
0εμ
1c
)(
)ˆ0
ˆ0
ˆ0(
zzkyykxxkjezEyExE
zyx
rkEE 0
jer
0εμωk 0022 Equação de dispersão
0
2z
2y
ckkkˆ
2
xkknk
n kzyx ˆˆˆˆ k j -j-zyx
Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (3) 6/43
EHn 0εωjkj ˆ
HEn 0ˆ ωjkj
0ˆ Dnkj
0ˆ Bnkj
HEn ˆ
Ohmπ120ε
μZ)Z
0
000 HnE ˆ(
)(Z
1
0
EnH ˆ
Campos
puramente
transversais
Onda TEM
Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (4)
No caso geral de um meio com perdas (ε,µ,)
7/43
0)ωε
σj1(εμω)εωjσ(μωj 222 EEEE
)zz
yy
xx
(e)
0zE
0yE
0xE(e
0E(r)E
γγγˆˆˆ
zyx
rγ
0)εωjσ(μωj2 γ Equação de dispersão
εω
σj1εμωj)εωjσ(μωjβjαγkj
2
1
)j1(
)j1(j
jZ Tangente do ângulo de
perdas
tan = /ωε
ε complexo
Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (5)
Meio sem Perdas ( ε = εrε0, µ = µrµ0, =0)
8/43
0α
rr
0
rr
0rr0
εμ
λλ
εμ
ccεμβ
c
ωεμω
λ
π2β
r
r0
ε
μZ
ε
μZ
Exemplos
Vácuo (ar) εr = µr = 1
Vidro εr = 4, µr = 1
Água destilada εr = 80, µr = 1
Dieléctrico Perfeito
Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (6) 9/43
Meio com Perdas Fracas ( ε = εrε0, µ = µrµ0, « ωε)
2
x1x1 Para x «
rr
0
rr
0rr0
εμ
λλ
εμ
ccεμβ
c
ωεμω
λ
π2β
)2
j1(Z
2
θtanβ
εω2
σβ
ε
μ
2
σα
Bom Dieléctrico
Exemplos (Comportamento depende da frequência)
Vidro εr = 4, µr = 1, = 10-12 S.m-1
Solo Seco εr = 4, µr = 1, = 10-5 S.m-1
Água Doce εr = 80, µr = 1, = 10-3 S.m-1
Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (7) 10/43
Meio com Perdas Fortes ( ε = εrε0, µ = µrµ0, » ωε) Bom Condutor
2
2
1βα
1R)j1(R)j1(
2Z mm
δ - Profundidade de penetração,
distância em que os campos se
atenuam e1 = 1 Neper = 8,686 dB
Exemplos (Comportamento depende da frequência)
Solo Húmido εr = 30, µr = 1, = 0,1 S.m-1
Água do Mar εr = 70, µr = 1, = 5 S.m-1
Cobre εr = 1, µr = 1, = 5,8 x107 S.m-1
δ (f=1 kHz) = 2,1 mm
δ (f=1 MHz) = 66,1 µm
δ (f=1 GHz) = 2,1 µm
11/43Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (8)
Origem da Figura
J. D. Krauss e D. A. Fleisch, Electromagnetics with Applications, 5ª edição, McGraw-Hill, 1999.
17/43Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (14)
Resumo
Meio Z [] [Np.m-1] [rad.m-1]
Dieléctrico Perfeito
=00
Bom Dieléctrico
Bom Condutor
1εω
σθtan
1εω
σθtan
r
r0Z
)εω2
σj1(
ε
μ
j
jZ
)j(jβjα
)j1(2
rr εμ0c
ε
μ
2
σ
1
2
120Z
0
00
λ
π2β
18
00
0 sm1031
c
18/43Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (15)
Exemplo (t=0) )zt(coseE)t,z(E z0
=0 f= 100 MHz=0
=0
19/43Ondas Planas e Uniformes em Meios Ilimitados (16)
Exemplo (z=0) )zt(coseE)t,z(E z0
=0 f= 100 MHz=0
=0
20/43Velocidades de Fase e de Grupo (1)
Grupo de 2 ondas de frequências (ligeiramente) diferentes
)zβtω(cosE)t(z,E 0
β
ω
td
zdv f
0ωωΔ
zΔβ)(βtω)Δ(ωcosEzΔβ)(βtω)Δ(ωcosE)t(z,E 000000
)zβtω(cos)zΔβtΔω(cosE2)t(z,E 000
βd
dω
dω
βd
1v0Δωlim
Δω
Δβ
1
td
zdv gg
22/43Velocidades de Fase e de Grupo (3)
No caso geral
zyxβ
v fˆˆˆ
zyx β
ω
β
ω
β
ωω
zyxvgˆˆˆ
zyx β
ω
β
ω
β
ω
β
ω
Diagrama de dispersão (diagrama -ω, ou diagrama de Brillouin)
β
23/43Velocidades de Fase e de Grupo (4)
Exemplo de diagrama de dispersão
Guia metálico de secção rectangular (WR90)
24/43Dispersão (1)
Para ondas planas em meios sem perdas (ou com fracas perdas)
εω
σj1εμωj)εωjσ(μωjβjαkj γ
18
00
0
rr
0gf m.s103
εμ
1c
εμ
c
εμ
1vvεμωβ
No caso geral dos meios com perdas
vf ≠ vg e dependem ambas da frequência (meio dispersivo)
25/43Dispersão (2)
Exemplo de velocidades de fase e de grupo
Guia metálico de secção rectangular (WR90)
28/43Polarização (2)
Curva de polarização é a figura geométrica descrita pela “ponta do
vector campo eléctrico” ao longo do tempo, num ponto do espaço
(OE a propagar-se aproximando-se do observador)
29/43Polarização (3)
ΦsenΦcos)E
E()
E
E(2)
E
E()
E
E( 2
2
y
1
x2
2
y2
1
x Equação da curva
(elipse) de polarização
1
2
E
Etan
Φje
1E
2E
xE
yE
p p é a razão de polarização
Estado de Polarização
(,) ou (,)
E1
E2
X
Y
Z 2βsen
2αtanΦtan
2βcos2αcos2cos
Φcos2tan2βtan
Φsen2sen2αsen
31/43Polarização (5)
Casos Notáveis
Infinidade de polarizações
lineares (todas as inclinações
[0, π])
Duas polarizações circulares
(PCE, PCD)
0Φ 2
πΦe EEE 12
x1
2y E
E
EE
22y
2x EEE
Exemplo
PV
Exemplo
PCE > 0, PCE
Rotação no
sentido retrogrado
< 0, PCD
Rotação no
sentido directo
33/43Energia e Potência (1)
A partir das (duas primeiras) equações de Maxwell
n̂
ε,μ,σV
S
sJHE ,,0μ,μμjμμμ
0ε,εεjεεε
irir
irir
HB
ED
do Teorema da Divergência
HE
EJH
μωj
εωj
EJJ s σ
V S
** dV dSHEHE
34/43Energia e Potência (2)
Definem-se vector de Poynting (S) e vector complexo de Poynting (Sc)
)(2
1 *HESHES c
e da identidade vectorial E)H(H)E()HE( ***
obtém-se – Teorema de Poynting
V
2
SVdV
2
σ
2
1dV
2
1EdSHEJE
**
s
V
2
r
2
rV
2
i
2
i dVεμ2
ωjdV
2
ωEHHE
35/43Energia e Potência (3)
Ps – Valor médio no tempo da potência (complexa) fornecida pelas fontes
Po - Valor médio no tempo do fluxo de potência para fora de S
Pl – Valor médio no tempo da potência dissipada em V
Wm – Valor médio no tempo da energia magnética armazenada em V
We – Valor médio no tempo da energia eléctrica armazenada em V
dV2
1P
Vs *
sJE
V
2
rm dV4
μWH
emoS WWω2jPPP l
dSSdSHEc* SS
o2
1
2
1P
V
2
i
2
iV
2
dV2
ωdV
2P HEE
l
V
2
re dV4
εWE
36/43Energia e Potência (4)
No caso das ondas planas em meios sem perdas
220
20
0 mW.2
HZ
Z2
ES
Ohmπ120ε
μZ
ε
μZ
ε
μZHZE
0
00
r
r000
T
0
*c )HE(Re2
1)S(Redtt)(S
T
1S
nS])Z
En(E[Re
2
1)HE(Re
2
1S 0
** ˆˆ
37/43Reflexão e Refracção em Interfaces Planas (1)
Polarização TE (Perpendicular, Horizontal)
0x
xEE 0ˆ
zHyHZ
EnH 0z0y
ˆˆˆ
zyn iˆˆˆ
ii θcosθsen
cnf (z=0)
zt2zrzi1
ytyryi
0t0r0i
Hμ)HH(μ3
HHH2
EEE1
i22
212
1i
i22
212
1i
0i
0rTE
θsennμ
μθcos
θsennμ
μθcos
E
ER
38/43Reflexão e Refracção em Interfaces Planas (2)
Polarização TM (Paralela, Vertical)
0x
xHH 0ˆ
zyHnE ˆˆ)ˆ(Z 0z0y EE
zyn iˆˆˆ
ii θcosθsen
cnf (z=0)
zt2zrzi1
ytyryi
0t0r0i
Eε)EE(ε3
EEE2
HHH1
i22
21i221
2
1
i22
21i221
2
1
0i
0rTM
θsennθcosnμ
μ
θsennθcosnμ
μ
H
HR
39/43Reflexão e Refracção em Interfaces Planas (3)
1r1
r2r2
11
22
1
221
εrμ
εμ
εμ
εμ
k
kn
TMTMTETE R1TR1T
Leis de Snell
Meios sem perdas Meios com Perdas
)εωj(σμ
)εωjσ(μn
111
222
1
221
γ
γ
εωjσ
μωjZ
r
r0
ε
μZ
ε
μZ
i1t2
ir
θsennθsen n
θθ
1
221
21
it
n
nn
n
θsenθsen
40/43Reflexão e Refracção em Interfaces Planas (4)
Factores de Reflexão [Meio 1 ar, meio 2 (r2, µ2=µ0, 2=0)]
r2
41/43Reflexão e Refracção em Interfaces Planas (5)
Factores de Reflexão [Meio 1 ar, meio 2 (r2=5, µ2=µ0, 2)]
tan2
42/43Reflexão e Refracção em Interfaces Planas (6)
Transmissão Total (RT = 0)
Reflexão Total (|RT | = 1)
TE
TM
meioumsó1n21
BrewsterdeÂngulo1n
1θcos
221
iB
r2r1r1
r221
21
it εε1
ε
εn
n
θsenθsen
21iL nθsen
Meio 2 Condutor Perfeito (2 = )
1Re1Rn TETM21