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Antenas e Propagação

Artur Andrade [email protected]

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Agrupamentos de antenas– Em várias aplicações pretende-se obter diagramas de radiação

mais directivos ou com máximos e/ou nulos em direcções pretendidas que não se conseguem recorrendo apenas a um elemento radiante. Usam-se então agrupamentos de antenas idênticas e o diagrama obtido para o agrupamento depende de:

• tipo de elemento radiante utilizado

• configuração geométrica do agrupamento (ex. linear, circular, planar, etc.)

• distância entre elementos do agrupamento

• amplitudes e fases das correntes de alimentação de cada elemento

– Aplicando a sobreposição podemos obter o campo distante do agrupamento, num dado ponto do espaço, somando os campos produzidos nesse ponto por cada elemento do agrupamento.

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Agrupamentos de antenas

• Agrupamento de dois dipolos elementares horizontais– Geometria e aproximações para obter o campo distante

Nas fases

Nas amplitudes

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Agrupamentos de antenas– Supondo correntes de igual amplitude fases de valor ±β/2

podemos calcular o campo distante total recorrendo àsobreposição

– Aplicando as aproximações nas amplitudes e fases vem

Factor do elemento

EF(θ)

Factor de agrupamento

AF(θ)

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Agrupamentos de antenasExemplos

EF(θ) AF(θ)

Cardioide

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• Agrupamento linear uniforme

– Os N elementos constitutivos são colocados na mesma direcção, igualmente espaçados entre si de d, alimentados por correntes de igual amplitude I0 e cada elemento tem um avanço de fase constante de valor β sobre o seu precedente no agrupamento.

– A distância d e o desvio progressivo de fases β constituem as variáveis de controlo do factor de agrupamento.

– O campo distante total, num dado ponto do espaço, é obtido pela soma dos campos distantes devidos a cada elemento do agrupamento, usando-se as aproximações habituais nas amplitudes e nas fases.

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• Cálculo do factor de agrupamentoGeometria para cálculo

do campo distante

Progressão geométrica com N termos e razão ejψ

Soma fasorial

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• Cálculo do factor de agrupamento

– Escolhendo o centro do agrupamento para origem de fases vem

– Podemos ainda normalizar AF pelo seu valor máximo N

Aproximação válida para pequenos valores de ψ

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Agrupamentos de antenas– Propriedades da função AF(ψ)

|AF(ψ)|

• Periódica com período 2π

• Máximos de valor N em ψ = ±2n π, n = 0, 1, 2, …

(um lóbulo principal em cada período)

• N – 1 zeros em cada período

• N – 2 lóbulos secundários em cada período

• Lóbulo principal fica mais estreito quando Naumenta

• Máximos dos lóbulos secundários diminuem com o crescimento do valor de N

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Agrupamentos de antenas– Nulos de AF(ψ)

– Máximos deAF(ψ)

– Ponto 3 dB abaixo do máximo

– Máximo do primeiro lóbulo secundário

Da tabela de sin(x)/x

Para s = 1 temos

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Agrupamentos de antenas– Para determinarmos os máximos θm e nulos θn no diagrama de

radiação, devidos ao factor de agrupamento AF(ψ), temos de utilizar a relação entre ψ e θ,

ψ = Kdcosθ + β– Como θ varia entre 0º e 180º então a gama de valores possíveis

para ψ é

–Kd + β ≤ ψ ≤ Kd + β

que se denomina de janela ou região visível da função AF(ψ) – A distância d controla a dimensão da região enquanto β controla

a localização do centro da região– Uma escolha adequada de d e β permite então posicionar a

região visível para se ter o máximo principal de AF(ψ) segundo o ângulo θ pretendido no diagrama do factor de agrupamento

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• Cortina de radiação transversal (Broadside Array)– Pretendemos que máximo de AF(ψ) corresponda a θ = 90º

• Para não aparecerem máximos principais também para os ângulos θ = 0º e θ = 180º devemos limitar a largura da região visível usando valores de dinferiores a λ

Em ψ = 0 estamos no máximo de AF(ψ)

Máximos não pretendidos

Máximo em θ = 90º

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• Cortina de radiação longitudinal (End-fire Array)– Pretendemos que máximo de AF(ψ) corresponda só a θ = 0º, ou

só a θ = 180º ou ambos • Para θ = 0º

• Para θ = 180º

Máximo em θ = 0º Máximo em θ = 180º

• Para não aparecerem máximos principais também para o ângulo θ = 90º devemos limitar a largura da região visível usando valores de d inferiores a λ

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• Tabela resumo

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• Orientação do máximo numa direcção desejada– Para ter o máximo no ângulo θmax temos de impor um desvio de

fase que origina para θmax estarmos no máximo da função AF(ψ)

ψ = Kdcosθ max+ β = 0 => β = –Kdcosθmax

θ max

• Deve evitar-se lóbulos principais noutras direcções garantindo que os valores de θ = ±2nπ não são incluídos na região visível de AF(ψ).

• Uma variação contínua do desvio progressivo de fase β permite ir variando a direcção de máximo do diagrama de radiação, processo a que se dá o nome de “phasescanning”

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• Cortina longitudinal de Hansen-Woodyard– Hansen e Woodyard mostraram que é possível optimizar a

directividade na direcção de máximo se tomarmos um desvio progressivo de fases dado por

e uma distância entreelementos dada por

Máximo em θ = 0º

Máximo em θ = 180º

Para N elevado

Maior Directividade

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• Tabela resumo

Diagramas de radiação

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• Directividades dos agrupamentos lineares uniformes– Supomos radiadores isotrópicos calculando a directividade

devida apenas ao factor de agrupamento

• Cortina transversal– Intensidade é proporcional a |AFn(ψ)|2

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– Fazendo a mudança de variáveis seguinte

– Obtém-se

– Finalmente temos π

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• Cortina longitudinal– Procedendo de forma análoga obtém-se neste caso

• Cortina longitudinal de Hansen-Woodyard– Neste caso temos

O dobro da cortina transversal

1.8 vezes maior que cortina longitudinal

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• Método gráfico para obter diagrama de radiação a partir de |AF(ψ)|

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• Método gráfico (exemplos)

N = 4, d = 0.4λ e β = -kd N = 4, d = 0.4λ e β = 0

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• Agrupamentos lineares não uniformes

– Continuamos a considerar apenas o factor de agrupamento.

– De uma forma geral podemos variar quer a distância entre elementos do agrupamento, quer a amplitude e fase das correntes de alimentação de cada elemento. No entanto, na prática nem todos estes parâmetros são usados ao mesmo tempo como variáveis de controlo.

– Um caso importante ocorre quando o espaçamento é constante e as correntes de alimentação têm a mesma fase mas amplitudes distintas.

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• Factor de agrupamento– Espaçamento constante, correntes em fase mas com amplitudes

ai diferentes e com simetria em torno da origem

2M elementos 2M + 1 elementos

Com número ímpar de elementos o elemento central é alimentado pela corrente 2a1

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Agrupamentos de antenas– Se definirmos

e normalizarmos o factor de agrupamento dividindo por 2 vem

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• Cortina (de radiação transversal) binomial– As amplitudes das correntes são proporcionais aos coeficientes

do binómio de Newton, que se podem obter pelo triângulo de Pascal

– Se o número de elementos usados for elevado as correntes diferem muito, particularmente entre os elementos centrais e daspontas, o que origina problemas de implementação

Triângulo de Pascal

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• Cortina (transversal) binomial– No caso de d ≤ λ/2 não temos lóbulos secundários no factor de

agrupamento.

– Para o caso de d = λ/2 obtém-se

Diagramas do factor de agrupamento com 10 elementos

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• Cortina (transversal) de Dolph-Tschebyscheff– Como vimos, o factor de agrupamento é um somatório de

termos do tipo cos(mu) em que o valor mais elevado de m é o número de elementos do agrupamento menos um.

– Para cos(mu) podemos escrever

– Onde Tm(z) é um polinómio de Tschebyscheff de ordem m

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Agrupamentos de antenas– Polinómios de Tschebyscheff

Fórmula Recursiva

Propriedades dos polinómios:

1. Todos passam no ponto (1,1);

2. Todos são limitados a ±1 para |z| ≤ 1;

3. Na região |z| ≤ 1 todos os máximos valem 1 e os mínimos –1;

4. Todos os zeros ocorrem na região |z| ≤ 1;

5. Os polinómios de ordem par são funções pares e os de ordem ímpar são funções ímpares.

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Agrupamentos de antenas– A utilização dos polinómios de Tschebyscheff com uma escolha

adequada da região visível, vai permitir obter um factor de agrupamento com todos os máximos secundários de igual valor e R dB abaixo do máximo do lóbulo principal.

– As amplitudes das correntes de alimentação dos N elementos do agrupamento são obtidas forçando o factor de agrupamento a ser representado pelo polinómio de Tschebyscheff de grauN – 1.

– A relação de passagem da variável u = (πd/λ)cosθ para a variável z do polinómio é dada por

sendo z0 obtido por forma a que

Relação objectivo entre o máximo do lóbulo principal e os máximos dos lóbulos secundários

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Agrupamentos de antenasExemplo: considerar 10 elementos igualmente espaçados e uma

relação objectivo de R = 26 dB

1. O polinómio a usar será o de ordem N – 1 = 92. O factor de agrupamento é

3. Expande-se a expressão anterior

e substituem-se os termos cos(mu) pelo seu desenvolvimento em termos com apenas potências de cos(u)

4. A partir de R = 26 dB = 20 obtemos o valor de z0

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Agrupamentos de antenas5. Faz-se a mudança de variável cos(u) = z/z0 na expressão obtida

em 3. 6. Igualamos a expressão anterior ao polinómio T9(z) e calculamos

os coeficientes para serem iguais aos do polinómio, obtendo assim os valores das amplitudes das correntes dos elementos.

Normalizando por a1

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Agrupamentos de antenas– Note-se que não foi ainda escolhido o valor de d pelo que

poderão ocorrer máximos para direcções diferentes da desejada de θ = 90º. Temos de controlar a região visível usando valores de d inferiores a λ.

θ = 90º → z = z0Máximo transversalnão depende de d

Região visível para d = λ/2Região visível

para d = λ

d = λθ = 0º ou 180º

→ z= –z0

|z| ≤ 1 → lóbulos secundários

Máximo em θ = 0º ou 180º

Nota: este tipo de agrupamento conduz ao nível mais baixo de lóbulos secundários relativamente ao principal, para uma dada largura de feixe.

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Agrupamentos de antenas– Diagrama do factor de agrupamento e directividade

HPBW

Note-se os máximos dos lóbulos secundários todos iguais e R dB abaixo do máximo do lóbulo principal

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• Cortina de Dolph-TschebyscheffO estudo anterior foi feito para o caso mais usado na prática de radiação transversal (θmax = 90º e β = 0). Podemos estender este estudo para outras direcções de máximo se incluirmos um desvio progressivo de fase não nulo.

– Para o factor de agrupamento teremos

– Os cálculos são feitos da mesma forma mas usa-se a variável ψ/2 em vez de u, sendo a mudança de variáveis para z dada por

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Agrupamentos de antenasExemplo: retomando o caso de 10 elementos igualmente

espaçados e uma relação objectivo de R = 26 dB.

Usemos agora β = –kd= –π

θ0º90º180º

Região visível

ψ/2 = π/2cosθ – π/2

–π ≤ ψ/2 ≤ 0

z = z0cos(ψ/2)

–z0 ≤ z ≤ z0

Obtemos uma cortina de radiação longitudinal com máximos em 0º e 180º

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• Resumo comparativo

Agrupamento Menor HPBW Nível mais baixo dos lóbulos secundários

Nível mais baixo dos lób. sec. para uma

dada HPBW

Uniforme 1 3 3

Binomial 3 1 2

Dolph-Tschebyscheff 2 2 1

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• Agrupamentos planares uniformes– O factor do agrupamento normalizado é dado pelo produto dos

factores de agrupamento normalizados nas direcções x e y

Para evitar a ocorrência de máximos em direcções não desejadas devemos usar dx e dymenores que λ/2.

Agrupamento planar uniforme

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Agrupamentos de antenas– Como βx e βy são independentes podemos ter máximos em AFx

e AFy em direcções diferentes. No entanto, normalmente pretendemos uma única direcção de máximo (θ0 , φ0) pelo que devemos ter simultaneamente

• Directividade– Para um número elevado de elementos e com o máximo

próximo da radiação transversal, obtém-se

onde Dx e Dy são, respectivamente, as directividades das cortinas transversais segundo xx e yy.

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Agrupamentos de antenas– Exemplos de factores de agrupamentos planares uniformes

Nota: também podemos ter agrupamentos tridimensionais onde o factor total é o produto de três factores, em x, y e z.

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• Síntese de Schelkunoff– Neste método sintetiza-se um agrupamento de tal forma a que o

factor de agrupamento apresente nulos segundo direcções desejadas.

– Consideremos um agrupamento linear com N elementos igualmente espaçados e com um desvio progressivo de fase β; o factor de agrupamento é dado por

onde an representa a corrente de alimentação do elemento n.– Se fizermos a mudança de variável

o factor de agrupamento fica um polinómio em z de grau N – 1

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Agrupamentos de antenas– O polinómio tem N – 1 raízes zi e pode ser expresso de forma

factorizada

– O seu módulo é dado por

– Uma escolha adequada do posicionamento das raízes deste polinómio determina os nulos de AF(ψ), o que por sua vez determina também os nulos em de AF(θ), quando tomamos em AF(ψ) a sua região visível (depende dos valores de d e de β)

– A relação entre as variáveis z, ψ e θ é

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Agrupamentos de antenas– A variável z tem módulo unitário e fase ψ que depende de d, de

θ e de β; a região visível de ψ determina a região visível do círculo unitário onde z reside.Exemplos:

Região visívelRegião invisível

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Agrupamentos de antenas– A expressão

permite afirmar que, para cada valor de z, o módulo do factor de agrupamento normalizado por |an| é dado pelo produto das distâncias de z às raízes no círculo unitário, como se mostra na figura para três raízes

• Note-se que só podemos tomar os valores de z que estão na região visível.

• Isto também implica que só os nulos na região visível originam nulos em direcções θ no factor de agrupamento.

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Agrupamentos de antenasExemplo: pretende-se nulos nas direcções 0º, 90º e 180º, utilizar

um espaçamento de λ/4 e β = 0.� 3 nulos → polinómio de grau N – 1 = 3 → nº elementos N = 4

� θ1 = 0º → ψ1 = (2π/ λ)dcosθ1 + β = π/2 → z1 = ejπ/2 = j� θ2 = 90º → ψ2 = 0 → z2 = ej0= 1� θ3 = 180º → ψ3 = –π/2 → z3 = e –jπ/2 = – j

Correntes

Diagrama

Nulos nas direcções desejadas

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Agrupamentos de antenasExemplo: AFnorm(z) = z(z4 – 1), β = 0. Determinar:a) Número de elementos, sua posição ao longo do eixo do agrupamento

e amplitudes e fases das correntes de cada elemento;

b) Direcções dos nulos do factor de agrupamento se o comprimento total for 2λ.

Não confundir com variável z = ejψ

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• Síntese de Fourier– Consideremos um agrupamento linear de N = 2M + 1 elementos

uniformemente espaçados de d e com uma variação progressiva de fase de valor β. O factor de agrupamento é

– Se nesta expressão considerarmos que as correntes de alimentação satisfazem

então o somatório corresponde ao desenvolvimento em Série Exponencial de Fourier de AF(ψ), mas truncada pois não temos um número infinito de termos.

∑−=

+==M

Mm

jmm kdeAAF βθψψ

ψ cos,)(

)arg()arg( e * mmmmmm AAAAAA −−− −==⇒=

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Agrupamentos de antenas– Se tivermos uma função periódica AF(ψ), com período 2π,

podemos aproximá-la pela série exponencial de Fouriertruncada, sendo os coeficientes da série as correntes de alimentação dos elementos do agrupamento.

– Os coeficientes da série são dados por

– No caso do resultado do integral anterior ser indeterminado parao termo de ordem 0, o valor de A0 deve ser calculado por

ψψπ π

ψ deAFA jmm ∫−=

2

)(2

1

ψψπ π

dAFA ∫=2

0 )(2

1(Análogo ao cálculo do termo DC)

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Agrupamentos de antenas– A função AF(ψ) a aproximar é obtida a partir do diagrama do

factor de agrupamento que se pretende sintetizar, definido em função de θ, usando-se a mudança de variável habitual

– Quanto mais termos usarmos mais elementos teremos no agrupamento e também melhor será aproximação do diagrama pretendido

βθψ += coskd

Nota:

� Se d = λ/2 temos a função AF(ψ) completamente definida no seu período 2π.

� Se d < λ/2 temos AF(ψ) definida apenas numa parte do seu período; devemos usar então uma função de preenchimento para completar a definição de AF(ψ) no seu período e teremos resultados diferentes conforme a função de preenchimento escolhida; esta deve ser tal que a série seja convergente, isto é,a função AF(ψ) depois de preenchida deve satisfazer as condições de Dirichlet.

� Se d > λ/2 só em casos particulares se pode usar este método.

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