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Economics 20 - Prof. Anderson 1

O Básico da Análise de Regressão com Dados de Séries

Jaci2

ED Séries2006Mestrado em Informática/UFES

Profs Flávio e Magnos


Séries Temporais vs. Dados de corte transversal

Séries temporais têm uma ordenação temporal; Passado pode afetar o futuro;Há aleatoriedade em dados temporais? Processo estocástico ou processo de série temporal;Não há amostras aleatórias de indivíduos, apenas a realização de um único processo estocástico. O tamanho da amostra de um conjunto de dados de séries temporais é o número de períodos em que observamos as variáveis de interesse.


Exemplos de Modelos:Modelos Estáticos

Um modelo estático relaciona duas variáveis contemporaneamente:

yt = 0 + 1zt + ut

Estático → modela uma relação contemporânea (entre duas ou mais variáveis);Interessante quando se acredita que z tem um efeito imediato em y.Exemplo clássico: curva de Philips estática (relaciona taxa de inflação e taxa de desemprego);


Exemplos de Modelos: Modelos de Defasagens Distribuidas Finitas

Permite que uma ou mais variáveis afetem y com defasagens:

yt = 0 + 0zt + 1zt-1 + 2zt-2 + ut

Um modelo de defasagens finitas de ordem q inclui q defasagens de z.Chamamos 0 de propensão de impacto ou mutiplicador de impacto. Chamamos 0 + 1 +…+ q de propensão de longo prazo (PLP) ou de multiplicador de longo prazo. Devido à multicolinearidade (correlação substancial em zt ,zt-1, zt-2 …),

Pode ser difícil conseguir estimativas individuais precisas dos j .


Hipóteses para Inexistência de Viés do MQO

ST .1: Linear nos parâmetros:

yt = 0 + 1xt1 + . . .+ kxtk + ut

ST .2: Média condicional zero:

E(ut|X) = 0, t = 1, 2, …, n Obs.: A média condicional zero implica que o erro no tempo t, ut, é não-correlacionado com cada regressor em todos os períodos de tempo.


Hipóteses para Inexistência de Viés do MQO

Em E(ut|X) = 0, X é uma matriz de todas as variáveis independentes vs. o tempo;

Exogeneidade contemporânea: E(ut|xt)=0;

Exogeneidade estrita: E(ut|X) = 0;


Hipóteses para Inexistência de Viés

ST .3: Inexistência de colinearidade perfeita: nenhum regressor é constante ou é uma combinação linear perfeita dos outros.

Sob essas 3 hipóteses os estimadores MQO são não-viesados;


Hipóteses para Inexistência de Viés

A hipótese de amostra aleatória foi descartada;

Essa hipótese implicava que os ui eram independentes;

ST .2 garante essa propriedade (exogeneidade strita);


Homoscedasticidade

ST .4: Homoscedasticidade:

Var(ut|X) = Var(ut) = 2

Significa que Var(ut|X) não depende de X e é constante ao longo do tempo;

Exige dos fatores não-observáveis que estejam afetando o regressando com uma variância constante ao longo do tempo;


Inexistência de Correlação serial

ST .5: Inexistência de Correlação serial: Os erros em dois períodos de tempo diferentes devem ser não correlacionados:

Corr(ut,us| X)=0 for t s


Variâncias Amostrais do MQO

Sob essas 5 hipóteses de Gauss-Markov, as variâncias do MQO para dados de séries temporais são as mesmas do MQO para dados de corte transversal.

Var(^βj|X) = 2/[SQTj (1 - Rj2)], j = 1, …k,

MQO permanesce BLUE


Inferência sob as Hipóteses do Modelo Linear Clássico

Com a hipótese adicional ST .6: Normalidade (erros normais), não há nenhuma alteração no modo de como fazer inferência para MQO de séries temporais;

Sob essas 6 hipóteses tudo que aprendemos sobre estimadores e inferência das regressões de corte transversal aplica-se diretamente às regressões em séries temporais.


Variáveis DUMMY

São variáveis independentes binárias (ou dummy);

Principais componentes para fazer estudo de evento;

Exemplo:

gfr: taxa geral de fertilidade (para cada 1000 mulheres)

pe: taxa de insenção de impostos

ww2: = 1 para os anos de 1941 a 1945 (segunda guerra)

pill: = 1 apartir de 1963 (1ª pílula anticoncepcinal)


Variáveis DUMMY

Cada variável é estatisticamente significante ao nível de 1%;

ww2 = 24: Significa que houve cerca de 24 nascimentos a menos para cada 1000 mulheres durante a segunda guerra mundial;


Números ÍndicesMedida estatística idealizada para mostrar as oscilações de uma variável em função de: tempo, posição geográfica …

Exemplo: Indices de Inflação/Preço;

Valores Nominais vs.Valores reais;

Usar índices de preço para transformar uma série temporal em valores nominal para valores reais;


Tendência em Séries Temporais

Muitas séries temporais econômicas têm uma tendência temporal;

Não se pode assumir que duas séries com tendência (na mesma direção ou opostas) tenham uma relação causal;

Provavelmente, essa falsa relação causal é devido a fatores não-observados diversos;

Como capturar adequadamente uma tendência?


Tendência Temporal Linear

Uma tendência linear pode ser modelada como:

yt = 0 + 1t + et, t = 1, 2, …

Mantendo todos os outros fatores fixos (em et), 1

mede a mudança em yt em intervalo de tempo

Outra possibilidade é:

E(yt) = 0 + 1t


Tendência Temporal Linear


Tendência Temporal Exponencial

Muitas séries econômicas são bem aproximadas por uma tendência exponencial, cujo modelo pode ser dado por:

log(yt) = 0 + 1t + et, t = 1, 2, …

Caracteriza uma taxa (percentual) média constante de crescimento;

1 = ∆log(yt) ≈ (yt – yt-1) /yt-1


Tendência Temporal Exponencial


Tendência Temporal Quadrática

Apesar de menos comum, algumas tendências mais complicadas podem requerer um modelo quadrático:

yt = 0 + 1t + 2t2 + et, t = 1, 2, …


Variáveis com Tendência e Análise de Regressão

Variáveis com tendência não violam as hipóteses do modelo linear clássico;O problema da regressão espúria. A adição de uma tendência temporal elimina esse problema:

É o mesmo que usar séries “destendenciadas”na regressão;O modelo reconhece que y pode ter uma tendência não-relacionada aos regressores;Nesse caso, omitir t a regressão geralmente levará a estimadores viesados;



Exemplo:

invpc : investimento imobiliário real per capita

price: índice de preco de imóveis

A elasticidade de invpc em relação a price é estatisticamente significante e não é estatisticamente ≠ 1



Adicionando uma tendência temporal:

A elasticidade de invpc em relação a price é negativa e não é estatisticamente ≠ 0

Não podemos concluir que invpc não é afetado por price;

Fatores não-observados, que afetam invpc e price, não foram modelados;

A tendência temporal indica um crescimento de 1% ,em média, em invpc;



Outro Exemplo (Equação da Fertilidade):

gfr: taxa geral de fertilidade (para cada 1000 mulheres);

pe: taxa de insenção de impostos;

ww2: = 1 para os anos de 1941 a 1945 (segunda guerra);

pill: = 1 apartir de 1963 (1ª pílula anticoncepcinal);

Conclusão: O coeficiente pe triplicou e é muito mais significante; Curioso: pill deixou de ser significante;



Outro Exemplo (Equação da Fertilidade): Tgf apresentou tanto tendência crescente e

decrescente durante o periodo de 1913 a 1984; O que sugere o uso de tendência quadrática:

Conclusão: O coeficiente de pe aumentou ainda mais, permanescendo significante; pill passou a ter efeito em gfr, sendo marginalmente;


Inclusão de uma Tendência Temporal: Retirada de Tendência

É possível mostrar que β1 e β2 na equação:

Podem ser obtidos assim: Compute a regressão

de y1,xt1 e xt2 sobre uma constante e t;



Encontre os resíduos:

Ϋt pode ser entendida como uma variável que teve sua tendência temporal retirada;

Fazendo a regressão de Ϋt sobre ¨xt1 e ¨xt2

encontramos β1 e β2;



Obs.: o grau de ajuste (R2) quando a variável dependente apresenta uma tendência pode apresentar problemas;

O autor sugere regredir primeiro Ϋt sobre ¨xt1 e ¨xt2 e depois calcular R

2 assim(SSR=SQR):


Sazonalidade

Com certa freqüência, séries temporais exibem alguma periodicidade;

Exemplo: Vendas trimestrais do varejo;

A sazonalidade pode ser tratada com a inclusão de um conjunto de variáveis dummys sazonais;


Sazonalidade

Modelo geral para dados mensais:

fevt …dezt são variáveis dummy;

β0 é o intercepto de janeiro;

Se não houver sazonalidade: δ1 ... δ11 = 0 (pode ser verificado por um teste F)


Sazonalidade

Assim como na inclusão de tendência temporal em uma regressão, a inclusão de variáveis dummy pode ser interpretada como dessazonalização dos dados;

Isso pode ser concluído regredindo-se a variável dependente e todas independentes sobre as dummies mensais, em seguida regredindo-se a variável dependente sobre as independentes (sem as dummies);

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