EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Calcule a derivada de cada função abaixo:

2. Aplicação. Uma partícula se desloca em linha reta, de tal forma que sua distância à origem (em

metros) é dada, em função do tempo, pela equação: . Calcule S’ e S’’ e interprete o

resultado.

3. Aplicação. As vendas mensais M de um modelo Iphone recém-lançado são modeladas por

em que t é o número de meses desde o lançamento.

a) Determine M’(t).

b) Determine M(3) e M’(3) e interprete os resultados.

c) Determine M(24) e M’(24) e interprete os resultados.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Calcule a derivada de cada função abaixo:

2. Aplicação. O consumo mensal de cimento C (em toneladas) numa obra em construção é modelado

por C(t) = em que t é o número de meses desde o começo da obra.

a) Determine C’(t). b) Determine C(3) e C’(3) e interprete os resultados. c) Determine C(10) e C’(10) e interprete os resultados.

2

1)()

)93)(62()()

)1)(1()()

)3()()

)()

34

1

5

1)()

153)()

15)()

19)()

6)()

2

2

2

2345

345

100500

4

9

xxfj

xxxfi

xxxfh

xxfg

xxxxxxff

xxxxfe

xxxfd

xxfc

xfb

xxfa

t

ttvq

uugp

tttfo

xtfn

xxfm

x

xxfl

x

xxfk

1)()

5

9)()

6

3)()

)()

)()

2

12)()

1

1)()

2

2

3 2

3

x

xxxfe

x

xxxfd

x

xxfc

xxxxfb

xxxfa

2)()

6

2)()

21

3)()

)2)(4()()

)32)(2()()

2

3

2

2

34

2

23)()

2

4)()

3

7)()

4)()

2

2

2

3

2/3

x

xxxfi

x

xxfh

xxfg

x

xxff

10

.1002 t

t

258 ttS

81

.300)(

2

t

ttM

3. Aplicação. A quantidade de ligação feitas por celulares ao longo do dia é modelada pela função

onde h é a hora da ligação ao longo do dia e Q é a quantidade total de pessoas

fazendo ligação no país (em milhões).

a) Determine Q’(h).

b) Determine Q(3) e Q’(3) e interprete os resultados.

c) Determine Q’(11), Q’(12) , Q’(13) e Q’(20) e faça uma análise da situação.

4. Aplicação. Um robô se desloca em linha reta, de tal forma que sua distância à origem (em metros) é

dada, em função do tempo, pela equação:

a) Calcular a sua velocidade no instante t =1s. b) Calcular a aceleração da partícula.

5. Controle de qualidade. A porcentagem P de peças defeituosas produzidas por um funcionário novo

t dias após ele ter começado a trabalhar pode ser modelada por

Determine as taxas de variação de P quando a) t= 1 e b) t = 10.

6. Aplicações. Qual é a derivada da função f(x) = 2x2 em x = 3? Invente um contexto “real” para esta

situação e interprete a derivada encontrada.

7. Aplicações. Qual é a derivada da função f(x) = (x + 2)/(x2+2) em x = 1? Invente um contexto “real”

para esta situação e interprete a derivada encontrada.

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1.a) 4x+1

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

2.a)

b) C(3)= =15,8 (Interpretação: Após três meses o início da obra o consumo mensal de cimento

é de 15,8 toneladas).

C’(3)= = + 0,28 (Interpretação: No terceiro mês de obra foi consumido 0,28 tonelada

de cimento a mais do que no mês anterior).

hhhQ 24)( 2

264 tts

)2(50

1750

t

tP

c) C(10)= 9,1 (Interpretação: Após dez meses o início da obra o consumo mensal de cimento é de 9,1

toneladas).

C’(10)= = – 0,74 (Interpretação: No décimo mês de obra foi consumido 0,74

tonelada de cimento a menos do que no mês anterior).

3.a) Q’(h) = –2h + 24

b) Q(3) = –32 + 24.3 = 63 (Interpretação: Às 3h da manhã a quantidade de ligações feitas por celulares é

de 63 milhões)

Q’(3) = –2.3 + 24 = 18 (Interpretação: Houve um aumento de 18 milhões de ligações às 3 da manhã em

relação à hora anterior. Às 3h da manhã ouve 18 milhões de ligações a mais do que às 2h).

c) Q’(11) = –2.11 + 24 = +2

Q’(12) =–2.12 + 24 = 0

Q(13) =–2.13 + 24 = –2

Q(20) =–2.20 + 24 = –16

Análise: As derivadas indicam que até há aumento no número de ligações antes do meio dia, momento

em que é atingida a quantidade máxima de ligações no dia. Após este horário, o número de ligações

começa a diminuir.

Curiosidade: A afirmação anterior pode ser confirmada pelo gráfico a seguir.

Q(h)

4) a)

v(1) = 4 + 12.1 = 16 m/s

b) m/s2

5) P’(t) =

a) P’(1) = = -3,9 b) P’(10) = = -0,24

Os itens a e b indicam que a porcentagem de erros cometidos pelo funcionário cai à medida que o

tempo passa.

tttdt

d

dt

dsv 124)64( 2

12)124( tdt

d

dt

dva

OUTRAS DERIVADAS

8. Calcule f´(x):

Respostas do Exercício 8

b) 5x.ln 5 c) πx.ln π e)

h) cos2x – sen2x = cos (2x)

i) j)

k) l) m)

n)

o) x + 2.ex + 2x.ln x

senxx

xxsen

xx

ee xx

cos'

cos'

0)(x 1

]'[ln

]'[

gxecxecx

xecxg

tgxxx

xxtg

ax

kkk xx

cot.coscos

cos'cot

.secsec'

sec'

1)a e 0(a ln.

1x]'[log

constante) uma é(k ln.]'[

2

2

a

senxxff

xxfe

xxfd

xfc

xfb

exfa

x

x

x

)()

log)()

ln)()

)()

5)()

)()

3

xexfk

x

senxxf

tgxxfi

senxxxfh

xxfg

x cos)()

)()j

x).5()()

.cos)()

cos)()

x

x

x

exxxfo

x

xxfn

e

exfm

xxxfl

2ln)()

ln)()

1

1)()

ln53)()

2