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Introdução a Trigonometria
Razões TrigonométricaCálculo I
Prof. Eraldo
Razões trigonométricas
• Catetos e HipotenusaEm um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.
Observe a figura:
• Seno, Cosseno e TangenteConsidere um triângulo retângulo BAC:
Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:
• Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.
Exemplo:
Observações:1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno
deste ângulo e o seu cosseno. Assim:
2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos
menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.
As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º
Considere as figuras:
quadrado de lado l e diagonal Triângulo eqüilátero de lado I e altura
:
Seno, cosseno e tangente de 30ºAplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:
• Seno, cosseno e tangente de 45ºAplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, temos:
• Seno, cosseno e tangente de 60ºAplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:
Resumindo
x sen x cos x tg x
30º
45º
60º
Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos
No triângulo ABC, retângulo em A, temos:
Observando os valores de seno, cosseno e tangente acima, podemos estabelecer as seguintes relações:
Atividades de Fixação
1) Determinar o seno, cosseno e tangente dos ângulos de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6cm e 4cm.
2) Determinar a medida dos outros dois lados do esquadro de 60°.
3) Uma pequena árvore de altura x, ao ser replantada, foi escorada por duas vigas de madeira, como mostra a figura. Determinar as medidas de x e de y.
4) Uma escada de 8m de comprimento está encostada em uma parede. A distância entre o pé da escada e a parede é de 4m. Determine o ângulo formado entre a escada e a parede.
5) O mestre de uma obra estava descarregando areia de um caminhão. Sabendo que a tábua que ele colocou, apoiada na caçamba do caminhão, tem 3m, e que a inclinação da rampa é de 30°, calcule a altura h que a caçamba está do solo.
6) Uma antena de 15m de altura é presa ao chão por 4 cabos de aço. O ângulo formado por cada um deles com a ponta da antena mede 45°. Quantos metros de cabo de aço foram usados, aproximadamente, para prender essa antena?
7) Um recipiente com forma de um bloco retangular de altura 18cm foi tombado como mostra a figura. Determine a altura aproximada h do nível de água em relação ao solo.