Introdução a Trigonometria

Razões TrigonométricaCálculo I

Prof. Eraldo

Razões trigonométricas

• Catetos e HipotenusaEm um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.

Observe a figura:

• Seno, Cosseno e TangenteConsidere um triângulo retângulo BAC:

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

• Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

                                                                                                                                                                                                                                                         

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

Exemplo:

Observações:1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno

deste ângulo e o seu cosseno. Assim:

2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos

menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Considere as figuras:

quadrado de lado l e diagonal Triângulo eqüilátero de lado I e altura

:

Seno, cosseno e tangente de 30ºAplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:

• Seno, cosseno e tangente de 45ºAplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, temos:

• Seno, cosseno e tangente de 60ºAplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos:

Resumindo

x sen x cos x tg x

30º

45º

60º

Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos

No triângulo ABC, retângulo em A, temos:

Observando os valores de seno, cosseno e tangente acima, podemos estabelecer as seguintes relações:

Atividades de Fixação

1) Determinar o seno, cosseno e tangente dos ângulos de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6cm e 4cm.

2) Determinar a medida dos outros dois lados do esquadro de 60°.

3) Uma pequena árvore de altura x, ao ser replantada, foi escorada por duas vigas de madeira, como mostra a figura. Determinar as medidas de x e de y.

4) Uma escada de 8m de comprimento está encostada em uma parede. A distância entre o pé da escada e a parede é de 4m. Determine o ângulo formado entre a escada e a parede.

5) O mestre de uma obra estava descarregando areia de um caminhão. Sabendo que a tábua que ele colocou, apoiada na caçamba do caminhão, tem 3m, e que a inclinação da rampa é de 30°, calcule a altura h que a caçamba está do solo.

6) Uma antena de 15m de altura é presa ao chão por 4 cabos de aço. O ângulo formado por cada um deles com a ponta da antena mede 45°. Quantos metros de cabo de aço foram usados, aproximadamente, para prender essa antena?

7) Um recipiente com forma de um bloco retangular de altura 18cm foi tombado como mostra a figura. Determine a altura aproximada h do nível de água em relação ao solo.