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Divisão de Engenharia Civil

EDI-49 Concreto Estrutural II Projeto – Parte 06

Cálculo prático de pilares

Flávio Mendes

2015

Flávio Mendes www.civil.ita.br/~flavio/

EDI-49 Concreto Estrutural II

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Excentricidades Excentricidades de 1a ordem Iniciais ou construtivas – existem na posição

indeformada

Excentricidades de 2a ordem Surgem devido aos deslocamentos da peça, ou seja,

na posição deformada



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Exemplos Excentricidades de 1a ordem

Nd

A A

a

h Corte A-A Perfil longitudinal

h

b

a

Nd

d

d

NMae ±=1

Md

pilar

viga



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Exemplos Excentricidades de 2a ordem

x

Nd

L

y y

x

Nd f

e2 no topo? e2 na base?

L e2(x) = f – y(x)



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Cálculo de pilares

Efeitos de 1a ordem obrigatórios Falta de retilinidade

11.3.3.4.2 (a) e (b) Desaprumo

11.3.3.4.2 (c)

Solicitação mínima 11.3.3.4.3 M1d,min = Nd (0,015 + 0,03 h)

Envoltória mínima, Figura 11.3

m

L/2 L

1 1

L1001

1 =θ



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Efeitos de 2a ordem

Dispensa da análise de 2a ordem

15.8.2 15.6 ℓe

Observação: 35 ≤ 1 ≤ 90

1λλ ≤=ie

AIi =



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Efeitos de 2a ordem

Cálculo dos efeitos de 2a ordem (15.8.3) Método geral (DifFin [EDI-38], MEF [IE-223])

> 140 Métodos aproximados: 15.8.3.3

Pilar padrão com curvatura aproximada Pilar padrão com rigidez aproximada Pilar padrão e diagramas N-M-1/r Pilar padrão e FOC

Observação: 15.8.1 ≤ 200 (exceção postes com * < 0,1)

Quadrado = 121/2 ℓe/h ℓe = 2L = 200 h = 1 m L ≈ 29 m



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Dimensionamento simplificado

Flexão Normal Composta Transforma uma FNC em compressão centrada

Flexão Oblíqua Composta 17.2.5 Transforma uma FOC em duas FNC



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( ) sdscdscscccd AAARRN σσ +−=+=

( )21 αωρν +−=

Nd Compressão uniforme e centrada Domínio 5 (reta b) 2 o/oo

As taxas de armadura são pequenas

( )21 αων +=

= As/Ac

Zona O?

Compressão uniforme

Aço CA (2)

25 1,0000

50 0,9660

60 0,8050



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Exemplo

Dimensionamento

Dimensionar a armadura de um pilar retangular engastado-livre sujeito a um esforço normal de 4000 kN. Admita concreto C20, aço CA-50 e comprimento efetivo ℓe = 3,3 m.



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Pré-dimensionamento

Nd = 1,4 Nk = 5600 kN CA-50 -> (2o/oo) = 0,9660 Compressão centrada ( ρ = 1%) = 1 + . (2) -> Ac = 3 427 cm2 (~582)

Será arbitrada uma seção 30 x 110 cm.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0As/Ac (%)

Área bruta de concreto (cm2) pré-dimensionamento



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Efeitos de 1a ordem

NBR-6118 11.3.3.4.3 Md = Md,min = Nd(0,015 + 0,03h) hx = 30 cm, hy = 110 cm Momentos fletores Mdx,min = 13 440 kN cm Mdy,min = 26 880 kN cm

Excentricidades e1x = 2,4 cm ou e1x/hx = 0,08000 e1y = 4,8 cm ou e1y/hy = 0,04364

x

y

hx

hy



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Efeitos de 2a ordem

Obrigatórios? (15.8.2) 1 = 35 (“limite de esbeltez”)

Direção x x = (12)1/2 ℓe/hx = 38 > 1

Devem ser considerados, pode ser simplificadamente Direção y y = (12)1/2 ℓe/hy = 10 < 1

Não precisam ser considerados



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Curvatura aproximada

Efeitos de 2a ordem (15.8.3.3.2) * = 1,1879

1/r = 9,8743x10-5 cm-1

e2x = 3,6 cm

e2x/hx = 0,1185



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Casos de dimensionamento Caso A

h = 30 cm

= 1,3975 Nd = 5600 kN = 0,2795 Md = 33 600 kN cm ex = e1x + e2x = 6,0 cm

h = 110 cm

Caso B

= 1,3975 Nd = 5600 kN = 0,06098 Md = 26 880 kN cm ey = e1y = 4,8 cm



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Casos de dimensionamento Caso A

h = 30 cm

= 1,3975 = 0,2795 ex = e1x + e2x = 6,0 cm = 5/30 nc=2 n1=5

h = 110 cm

Caso B

= 1,3975 = 0,06098 ey = e1y = 4,8 cm = 5/110 nc=5 n1=2



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Bitolas previstas

Bitolas – fios (mm) NBR-7480/2007 Tabela B.2

2,4 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 5,5

6,0 6,4 7,0 8,0 9,5 10,0

Bitolas – barras (mm) NBR-7480/2007 Tabela B.1

6,3 8,0 10,0 12,5 16,0

20,0 22,0 25,0 32,0 40,0



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Caso A nc = 2, n1 = 5, = 5/30, 40

Curva de Interação FNC

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

-1,5

-1,0

-0,5 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5ν

µ

w = 1,3635

“Exato” 113,91 cm2 [9,1 barras 40 ou 14,2 de 32]



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Caso B nc = 5, n1 = 2, = 5/110, 32

Curva de Interação FNC

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

-1,0

-0,5 0,0

0,5

1,0

1,5

2,0ν

µ

w = 0,8726

“Exato” 53,15 cm2 [4,2 barras 40 ou 6,6 de 32]



Abordagem de FOC (11.3.3.4.3)

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21

Dúvidas?

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