distribuição normal

Em uma distribuição de probabilidades é necessário:

P(x) = 1, onde x toma todos valores possíveis0 P(x) 1 para todo o x.

A distribuição de probabilidades indica a porcentagem de vezes que, em grande quantidade de observações, podemos esperar a ocorrência de vários resultados de uma variável aleatória.

Distribuição de Probabilidades

Distribuições de probabilidade

Distribuições descontínuas ou

discretas

Distribuições contínuas

Envolvem distribuições de probabilidades de variáveis aleatórias relativas a dados que podem ser contados.

Exemplos: Número de ocorrências por amostras Número de ocorrências por unidade num intervalo de tempo Número de fumantes presentes em eventos esportivos

Distribuições Descontínuas ou Discretas

Uniforme ou RetangularBinomialBinomial Negativa ou de PascalGeométricaPoissonMultinomial ou PolinomialHipergeométrica

Formas da distribuição descontínua

Quando se usa as distribuições contínuas?

A variável aleatória discreta apresenta um grande número de resultados;

A variável aleatória em questão é contínua.

Os ponteiros de um relógio podem parar em qualquer dos infinitos pontos do círculo

logo A probabilidade de parar em um ponto definido é zero

Nas distribuições contínuas utilizam-se a probabilidade da ocorrência em um intervalo P(a < x < b);

Em uma distribuição contínua, a probabilidade é dada pela área contida no intervalo considerado.

Distribuições Contínuas

DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

UNIFORME OU RETANGULARNORMALBIVARIADA NORMALEXPONENCIALLOGNORMALWEIBULL

QUI-QUADRADO 2

t DE STUDENTF DE SNEDECORGAMABETAERLANG

( formas)

Distribuições Contínuas

Um pouco de história

No século XVIII, astrônomos e outros cientistas observaram que medidas repetidas de mensurações como a distância à lua variavam como na figura, quando coletadas em grande número.

Esta forma gráfica era associada aos erros de mensuração, daí o nome de “Distribuição normal dos erros” e depois “Distribuição normal”

Também é conhecida por “Distribuição Gaussiana”, em função do modelo matemático desenvolvido por Karl F. Gauss para este comportamento.

Distribuição Normal

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

Peso da população adulta

n = 5000 µ = 75 kg s = 12 kg

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

Altura de universitários

n = 3000 µ = 152 cm s = 5 cm

0,00

0,05

0,10

0,15

Comprimento de uma régua

n = 1000 µ = 30cm s = 0,15cm

0

0,05

0,1

0,15

0,2

197

215

233

251

269

287

305

Pessoas num restaurante µ = 250 por dia s = 20 por dia

Distribuição Normal - Exemplos

IMPORTÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Retrata com boa aproximação, as distribuições de freqüência de muitos fenômenos naturais e físicos

Serve como aproximação das probabilidades binomiais (sim ou não) quando n é grande

Representa a distribuição das médias e proporções em grandes amostras, o que tem relevante implicação na amostragem (a mais importante)


Curva normal típica

Média = µ

Desvio padrão =

média

Forma de uma boca de sino

50% 50%

Área sob a curva = 1 (0,5 + 0,5)


1. A curva normal tem a forma de sino

2. É simétrica em relação a média

3. Prolonga-se de - a + (apenas em teoria) (assintótica)

4. Fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal para cada par (média e desvio padrão)

5. A área total sob a curva é considerada 100% ou igual a 1

6. A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos

7. A probabilidade de uma variável aleatória normalmente distribuída tomar exatamente determinado valor (pontual) é zero (característica da distribuição contínua)

8. A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto

Distribuição Normal - Características

A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área sob a curva normal entre aqueles pontos

µ

a b

P (a < x < b) = área hachurada sob a curva


OBSERVAÇÃO:

x - µ = distância do ponto considerado à média

x - µ

z =número de desvios padrões a contar da média. Ex.: 2,5 desvios padrões

z = valor z ou score z. Pode-se obter valores negativos de z para valores de x inferiores à média

ef(x) =

x – ponto considerado da distrib.

µ - média da distribuição

- desvio padrão da distribuição

-12( )x - µ 2

2

1


A distância entre a média e um ponto qualquer é dado em número de desvios padrões (z)

Normal padronizada

Normal não padronizada

z = x - µ

µ x 0 z

PP


70 80 90 100 110 120 130

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

µ = 100,0

= 10,0

escala efetiva

escala padronizada

Escala efetiva X Escala padronizada


Como calcular Z ?

µ x x - µ (x - µ)/ = z

média desvio padrão valor considerado diferença diferença relativa

40 1 42 2 2

30 2,5 37,5 7,5 3

25 2 23 -2 -1

22 4 22 0 0

18 3 13,5 -4,5 -1,5

37 38 39 40 41 42 43 escala efetiva

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

(42 – 40)/1 = 2S = 1


Como calcular o valor efetivo

Passando do valor z para o valor efetivo

µ z µ + z resultado

média desvio padrão valor z cálculo valor efetivo

20 1 3 20 + 3(1) 23

72 5 0,3 72 + 5(0,3) 73,5

50 3 -1 50 + 3(-1) 47

60 2 -2 60 + 2(-2) 56


-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

68%

95,5%

99,7%


1,2

.

..

1,0

00 01 02 03 04 05 06 ...

1,1

1,25

.

..

0,3944olhando a tabela

Distribuição Normal - Consultando a tabela

Probabilidade de uma variável aleatória normal tomar um valor z entre a média e o ponto situado a z desvios padrões

z área entre a média e z

1,00 0,3413 1,50 0,43322,13 0,4834 2,77 0,4972

área tabelada = área desejada

0 z


z P(0 < x < z) P(x > z) = 0,5 – P(0 < x < z)

0 z


0 z

Distribuição Normal - Tabela

Determinando a área entre dois pontos quaisquer

Exemplos

Determinando a área (probabilidade) sob a curva entre dois pontos entorno da média

0,1359

0 +1 +2

0,3413

0,4772

-1 0 +1

0,3413 0,3413

Distribuição Normal - Cálculo da probabilidade

1) Após 28 dias de curagem, o cimento de uma certa marca tem uma resistência compressiva média de 4000psi. Suponha que a resistência tem uma distribuição normal com desvio-padrão de 120psi. Qual a probabilidade de se comprar um pacote de cimento com resistência compressiva de 28 dias menor que 3850psi?

N(;) = N(4000,120) psi X = 3850psi

%56,101056,0)25,1( ZP

3850 4000

-1,25Área em vermelho = z = -1,25 = 0,3944

Área desejada = 0,50 – 0,3944 = 0,1056 = 10,56%

25,1120

40003850

X

z

P(z ≤ -1,25)


N(,) = N(50;15) dias X = 31 dias

2) Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem

acessas continuamente. A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma

variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desvio-padrão de 15 dias.

Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas, aproximadamente

quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro?

27,115

5031

X

z

%20,101020,03980,05000,0log3980,0)27,1( oZPConsultando tabela:

Deverão ser substituídas um total de (0,1020x 8.000) = 816 lâmpadas

X

Z

f(x)

50

0

31

-1,27

3520


3) Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo

comprimento pode ser considerado uma variável normalmente

distribuída com média =10,00 metros, e desvio padrão igual a

= 0,09 metros. Quanto refugo a indústria espera produzir se o

comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo, igual a

10,20 m?

N(,) = N(10;0,09) metros

X = 10,20m

22,209,0

1020,10

X

z

%32,10132,04868,05,0)22,2()22,2( ZPZP

f(x)

10

X10,20

0 2,22 Z


Consultando tabela temos:

4) O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desvio-padrão de 3 minutos. Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos.

CASO PRÁTICO DO USO DA ESTATÍSTICA

NA QUESTÃO LOGÍSTICA DA PRESTAÇÃO DE SERVIÇOS

%18,90918,04082,05,0)33,1()4( ZPxPConsultando a tabela:

33,13

84

X

z

N(,) = N(8;3) minutos

X < 4 minutos

f(x)

X8

0

4

Z-1,33


5) Um máquina produz peças com o diâmetro médio de 2,00” e o desvio-padrão

de 0,01”. As peças que se afastam da média por mais de 0,03” são consideradas

defeituosas. Qual é a percentagem de peças defeituosa?

ESTATÍSTICA NO CONTROLE DA PRODUÇÃO INDUSTRIAL

)3()3()97,1()03,2( ZPZPxouPxP

301,0

203,21

X

z

f(x)

2

X2

0 3 Z

2,031,97

-3

N(,) = N(2,00;0,01)

X1 = 2,03 e X2=1,97

301,0

297,12

X

z

Consultando tabela: %28,00014,00014,0)3()3( ZPZP


6) A vida média de uma marca de televisão é de 8 anos com desvio-padrão de 1,8

anos. A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito

dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos. Se você fosse o gerente de

produção, qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo

5% de trocas.

ESTATÍSTICA E A ASSISTÊNCIA TÉCNICA

05,0049471,0

)(65,1

050503,0049471,0

)64,1(65,1

Zx

6449,105,0 Z

X

z

8,1

86449,1

X

N(,) = N(8;1,8) anos

X=?

z-1,65 0,049471

? 0,05-1,64 0,050503

)( oZ

anosX 04,5


distribuição normal

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