Distribuições de prob~bilid~desInorm~ls

(dpítulo 5

Onde estamosDo capítulo 1 ao 4, você aprendeu corno coletar e

descrever dados, encontrar a probabilidade de um eventoe analisar distribuições de .probabilidade discretas. Vocêtambém aprendeu que, se uma amostra é usada para fazerinferências sobre uma população, então é imprescindívelque a amostragem não favoreça um grupo. Suponha, porexemplo, que você quisesse determinar o índice de masti-tes (infecções causadas por bactérias que podem alterar aprodução de leite) em um rebanho leiteiro. Como você or-ganizaria o estudo? Quando o Animal Health Service realizouesse estudo, foi usada uma amostragem aleatória e então,ela foi classificada de acordo com raça, habitação, higiene,saúde, administração do leite e máquinas de leite. Uma dasconclusões a qual eles chegaram foi que os rebanhos quetinham vacas Vermelhas e Brancas como raça predominantetinham um maior número de ocorrências de mastites querebanhos que tinham vacas Holstein-Friesian como raçapredominante.

Para onde vamosNo Capítulo 5, você vai aprender como reconhecer

distribuições normais (curva em forma de sino) e como usarsuas propriedades em aplicações de vida real. Suponha quevocê tenha trabalhado no zoológico da Carolina do Norte eestava coletando dados sobre características físicas de tar-tarugas de caixa orientais no zoológico. Para quais das se-guintes características você esperaria ter uma distribuiçãosimétrica com curva em forma de sino: comprimento dacarapaça (casca de cima), comprimento do plastrão (cascade baixo), largura da carapaça, largura do plastrão, peso oucomprimento total? Os quatro gráficos ao lado, por exem-plo, mostram o comprimento da carapaça e do plastrão detartarugas de caixa orientais macho e fêmea. Perceba que adistribuição relativa ao comprimento da carapaça da tarta-ruga macho tem forma de sino, mas as outras três distribui-ções são inclinadas para a direita.

Comprimento da carapaça detartarugas de caixa orientais fêmeas

18

E 15

i:n 12"~ 92& 6

3

Comprimento da carapaça(em milímetros)

Comprimento da carapaça detartarugas de caixa orientais machos

25

E 20"eoee 15c"2 10&

5

80 100 120 140 160

Comprimento da carapaça(em milímetros)

Comprimento doplastrão de tartarugas

de caixa orientais fêmeas

Comprimento doplastrão de tartarugas

de caixa orientais macho

"20

E 16"en~ 12ii,.,õc,

4

18

E 15

~J) 12'"~ 92& 6

3

70 90 110 130 150

Comprimento do plastrão(em milímetros)

70 90 110 130

Comprimento do plastrão(em milímetros)

Capítulo 5 • Distribuições de probabilidades normais 193

11I lntroducão à dlstrlbukão normal edlstribukão normal padrão

Propriedades de uma distribui~ão normal ----+ A di~trib~i~ãono;~al padrão : -c - - r:

li Propriedades de uma distribuição normal-Na Seção 4.1, você diferenciou as variáveis aleatórias contínuas e discretas, e

aprendeu que uma variável aleatória contínua tem um número infinito de valorespossíveis que podem ser representados por um intervalo na reta numérica, cuja distri-buição de probabilidade é chamada de distribuição de probabilidade contínua. Nestecapítulo, você vai estudar a distribuição de probabilidade contínua mais importanteem estatística - a distribuição normal.Distribuições normais podem ser usadas paramodelar muitos grupos de mensuração de dados na natureza, indústria e negócios. Apressão sanguínea dos humanos, por exemplo, o tempo de vida de grupos televisivos eaté mesmo custos domésticos são todos, normalmente, variáveis aleatórias distribuídas.

Propriedades de uma dlstribukãe normalUma distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua

para uma variável aleatória x. O gráfico de uma distribuição normal é chamadode curva normal. Uma distribuição normal tem as seguintes propriedades:

1. A média, a mediana e a moda são iguais.

2. Uma curva normal tem forma de sino e é simétrica em torno da média.

3. A área total sob a curva normal é igual a um.

4. À medida que a curva normal se distancia cada vez mais da média, ela se apro-xima do eixo x, mas nunca o toca.

5. Entre p, - a e p, + a (no centro da curva), o gráfico se curva para baixo. O gráficose curva para cima à esquerda de p, - a e à direita de p, + a. Os pontos nos quais acurva muda de crescente para descrescente são chamados de pontos de inflexão.

Área total = 1

'I I I I}l-3u .u-2u }l -u }l

I I 'x}l + U }l + 2u .u + 3u

Você aprendeu que uma distribuição de probabilidade discreta pode ser repre-sentada graficamente com um histograma. Para uma distribuição de probabilidadecontínua, você pode usar a função densidade de probabilidade (fdp). Uma curvanormal com média p, e desvio padrão a pode ser representada graficamente usando afunção densidade de probabilidade normal.

~- ~-- - O qu~\O(~r'-:.,-",deve aprende,r

• Como interpretar gráficos de dis-tribuições de probabilidade normal.

• Como encontrar áreas sob a curvanormal padrão.

Importante- ..

Para aprender como determi-nar se uma amostra aleatóriaé tirada de uma distribuiçãonormal, veja o Apêndice C.

Importante----Uma função densidade deprobabilidade tem duas con-dições.

1. A área total sob a curvadeve ser igual a 1.

2. A função nunca pode sernegativa.

194 • tstdtísticd dplicddd

Dica de estudo•Aqui estão as instruções parao gráfico da distribuição nor-mal em uma TI-83/ 84.

I y = II 2nd IDISTR

1: normalpdf(

Entre x e os valores de J1 e (J

separados por vírgulas.

ICRAPH I

20

E 15'"00ee

"'"~ 10~

5

30 40 50 60 70

y = _1_ e-(X-/l)' /2(1'(Jfk.

Lb'li? eur;';? normal dfpmdc comptctamentc dos dois purâmetros11e rr porquL' e ~ 2.:-18 e t: '" 3,14 são cOl/sI,udes.

Uma distribuição normal pode ter qualquer média e qualquer desvio padrãopositivo. Esses dois parâmetros J1 e (J determinam completamente o formato da curvanormal. A média dá a localização da linha de simetria e o desvio padrão descreve oquanto os dados são estendidos.

Pontos de

~,o 1 2 345 6 7

Pontos deinflexão Pontos de

inflexão

-;---i,~f--t--'-+-.p-+, -+, ...•..rO I 234 567

~I--t--'-t-.p-+-+--+,++...•..,r6 7012

Média: J1 = 3,5Desvio padrão: (J = 1,5

Média: J1 = 3,5Desvio padrão: (J = 0,7

Média: J1 = 1,5Desvio padrão: (J = 0,7

Perceba que a curva A e a curva B têm a mesma média, e a curva B e a curva Ctêm o mesmo desvio padrão. A área total sob cada curva é 1.

{xemplo 1

Intendendo a média e o desvio padrão

1. Qual curva normal tem uma média maior?

2. Qual curva normal tem um desvio padrão maior?

40E~o 3058 20oc, 10

6 9 12 1815 21

Solução

1. A linha de simetria da curva A ocorre em x = 15. A linha de simetria da curva Bocorre em x = 12. Portanto, a curva A tem uma média maior.

2. A curva B é mais estendida do que a curva A; portanto, a curva B tem um desviopadrão maior.

Considere as curvas normais à esquerda. Qual curva normal tem a médiamaior? Qual curva normal tem o desvio padrão maior? Justifique suas res-postas.

a. Encontre a localização da linha de simetria de cada curva. Tire conclusões sobre qualmédia é a maior.

Tentevocê1

b. Determine qual curva normal é mais estendida. Tire conclusões sobre qual desviopadrão é o maior.

Resposta na p . .4.40

Capítulo 5 • Distribuições de probabilidades normais 195

{xemplo 1Interpretando gráficos de distribuicões normais

As alturas (em pés) de árvores de carvalho adultas são normalmente distribuí-das. A curva normal representada a seguir mostra essa distribuição. Qual é a médiada altura de uma árvore de carvalho adulta? Estime o desvio padrão dessa distribui-ção normal.

-=F""'F=-+---if-t-+-+:d.-+---i-+-+-+--+-+-+-f-+-+-=t==""'i"~.1'80 85 90

Altura (em pés)95 100

Solução

Como uma curva normal ésimétrica em tomo da média, você

pode estimar que !l ::::90 pés.

Como os pontos de inlle Iãosão um desvio padrão da

média, você pode estimar quea:::: ::;Opés.

-=1",::::::t=~-+-+-+--+4-+-f-+-+--+-+-4---if-t-+--+--=t=""*- x80 85 90

Altura (em pés)95 100

InterpretaçãoAs alturas de árvores de carvalho normalmente são distribuídas com uma média

de cerca de 90 pés e um desvio padrão de aproximadamente 3,5 pés.

iTente Os diâmetros (em pés) de árvores de carvalho adultas são normalmente dis-você tribuídos; a curva normal a seguir representa essa distribuição. Qual é o diâ-2 metro médio de uma árvore de carvalho adulta? Estime o desvio padrão dessa

distribuição normal.

2.5 4,5-+---+----1=-+---+--+---+----1--="1"---+--+-.1'

0,0 3,5 3,7 3,9

Diâmetro (em pés)4,32,7 2.9 4,1

a. Encontre a linha de simetria e identifique a média.

b. Estime os pontos de inflexão e identifique o desvio padrão.Resposta na p, A40

Plot1 PlotZ Plot3···.'.,.'1 ElnOt~r"la1pdf (>:: >9~Z1:-3.5)....1.(1;::=....1.(13=

....''(''1=

..•.I·I.I~=

·...\-'6=

0.2

,//----"\"-.80 .....,- -••••• 100

O

Uma vez que você determina a médiae o desvio padrão, você pode usar umaTI-83/84 para representar a curva nor-mal no Exemplo 2 graficamente.

196 • lstatística aplicada

Importante. ---Como toda distribuição normalpode ser transformada em dis-tribuição normal padrão, vocêpode usar o z-escore e a curvanormal padrão para encon-trar áreas (e também a proba-bilidade) sob qualquer curvanormal.

Dica de estudo•É importante que você saibaa diferença entre x e z. A va-riável aleatória x é, às vezes,chamada de pontuação brutae representa valores em umadistribuição normal não pa-drão, enquanto z representavalores na distribuição nor-mal padrão.

Adlstribukão normal padrãoExiste uma infinidade de distribuições normais, cada uma com sua própria mé-

dia e desvio padrão. A distribuição normal com uma média de Oe um desvio padrãode 1 é chamada de distribuição normal padrão. A escala horizontal do gráfico da dis-tribuição normal padrão correponde ao z-escore. j a Seção 2.5, você aprendeu queum z-escore é uma medida de posição que indica o número de desvios padrão de umvalor a partir da média. Lembre-se que você pode transformar um valor x em z-escoreusando a fórmula:

Valor - Médiaz=-----

Desvio padrão

x-JLz = --. Arredonde para o centésimo mais próximo.

a

Defini~ãoA distribuição normal padrão é uma distribuição normal com uma média de O e um desviopadrão de 1.

-3 -2 -I

Distribuição normal padrão

o 2 3

.-Se cada valor de uma variável aleatória x distribuída normalmente é transfor-

mado em um z-escore, o resultado será a distribuição normal padrão. Quando essatransformação acontece, a área que cai no intervalo sob a curva normal não padrão é amesma que aquela sob a curva normal padrão dentro das fronteiras z correspondentes.

Na Seção 2.4, você aprendeu a usar a regra empírica para aproximar áreas sobuma curva normal quando os valores da variável aleatória x correspondiam a desviospadrão -3, -2, -1, O,1, 2, 3 da média. Agora, você vai aprender a calcular áreas corres-pondentes a outros valores de x. Depois de usar a fórmula dada para transformar umvalor x em uma pontuação z, você poderá usar a Tabela Normal Padrão no ApêndiceB. A tabela lista a área acumulada sob a curva normal padrão à esquerda de z para z--escores de -3,49 a 3,49. Enquanto observa a tabela, note o seguinte:

Propriedades da distribukão normal padrão

1. Aárea acumulada é perto de O para z-escores próximas a z = -3,49.

2. A área acumulada aumenta conforme as pontuações z aumentam.

3. A área acumulada para z = O é 0,5000.

4. A área acumulada é próxima a 1 para z-escores próximas a z = 3,49.

(apítuln 5 • Oistribuiçoes de probabilidades normas 197

[x~mplo 3Usando a tabela normal padrão

1. Encontre a área acumulada que corresponde a z-escore de 1,15.

2. Encontre a área acumulada que corresponde a z-escore de -0,24.

Solução1. Encontre a área que corresponde à z = 1,15 encontrando 1,1 na coluna à esquerda e

depois cruzando a fileira para a coluna sob 0,05. O número naquela fileira e colunaé 0,8749. Então, a área à esquerda de z = 1,15 é 0,8749. o 1,15

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 . 0,04 0,05 0,060,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,52390,1 0,5398 0,5438 0;5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,56360,2 0,5793 0,5m2 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026

0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 -0,24/ o1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,85541,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 (Q,8742) 0,87701,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,89621,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,91311,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279

2. Encontre a área que corresponde a z = -0,24 encontrando -0,2 na coluna à esquerdae depois cruzando a fileira para a coluna sob 0,04. O número naquela fileira e colu-na é 0,4052. Então, a área à esquerda de z = -0,24 é 0,4052.

z 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,033,4 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,00033,3 0,0003 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,00043,2 0,0005 0,0005 0,0005 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006

0,5 0,2776 0,2810 0,2843 0,2877 0,2912 0,2946 0,29810,4 0,3121 0,3156 0,3192 0,3228 0,3264 0,3300 0,33360,3 0,3483 0,3520 0,3557 0,3594 0,3632 0,3669 0,37070,2 0,3859 0,3897 0,3936 0,3974 0,4013 <Q!40@ 0,40900,1 0,4247 0,4286 0,4325 0,4364 0,4404 0,4443 0,44830,0 0,4641 0,4681 0,4721 0,4761 0,4801 0,4840 0,4880

Você também pode usar um computador ou calculadora para encontrar a áreaacumulada que corresponde ao z-escore, conforme está na margem à direita.

Tentevocê-31. Encontre a área sob a curva à esquerda do z-escore de -2,19.

2. Encontre a área sob a curva à esquerda do z-escore de 2,17.

Localize a pontuação z dada e encontre a área que corresponde a ela na TabelaNormal Padrão.

Resposta IIn p. A40

Quando o z-escore não estiver na tabela, use a entrada mais próxima dele. Se oz-escore dado estiver exatamente entre dois z-escores, então use a área entre as áreascorrespondentes.

Você pode usar as instruções seguintes para encontrar os vários tipos de áreassob a curva normal padrão.

Dica de estudo•Aqui você encontra instru-ções para determinar a áreaque corresponde a z = -0,24em uma T1-83/84.

Para especificar um limi-te menor neste caso, use-10.000.

I 2nd ImSTR

2: normalcdf(

-10000, -.24 [TIIENTERI

norMalcdf(-10000;t -.24 .405165175

198 • btõtísticõ õplicõdõ

Incontrando áreas sob a curva normal padrão

1. Esboce a curva normal padrão e a sombra da área apropriada sob a curva.

2. Encontre a área seguindo as direções para cada um dos casos.

a. Para encontrar a área à esquerda de z, encontre a área que corresponde a zna Tabela Normal Padrão.

l. Use a tabela para O /1,23

encontrar a área para o z-escore,

b. Para encontrar a área à direita de z, use a Tabela ormal Padrão para encon-trar a área que corresponde a z. Então, subtraia a área de 1.

3. Subtraia para encontrar aárea à direita de z = 1,23:1 - 0,8907 = 0,1093.

O Ir1. Use a tabela para / ' o

encontrar a área para o z-escore,

c. Para encontrar a área entre duas pontuações z, encontre a área correspon-dente para cada z-escore na Tabela Normal Padrão. Então, subtraia a áreamenor da área maior.

2. A área à esquerda dez = 1,23 é 0,8907.

4. Subtraia para encontrara área da região entre asduas z-escores:0,8907 -0,2266 = 0,6641.

3. A área à esquerda dez = -0,75 é 0,2266.

-0,75 O 1,23\ /

l. Use a tabela para encontrara área para o z -escore,

Capítulo 5 • Distribuições de probabilidades ncrmels 199

[xpmplo 4

Incontrando a área sob a curva normal padrão

Encontre a área sob a curva normal padrão à esquerda de z = -0,99.

SoluçãoA área sob a curva normal padrão à esquerda de z = -0,99 é exibida a seguir:

-0,99 o

Com base na Tabela Normal Padrão, esta área é igual a 0,1611.

Tente Encontre a área sob a curva normal padrão à esquerda de z = 2,13.você

4 a. Desenhe a curva normal padrão e sombreie a área sob a curva e ~ esquerdade z = 2,13.

b. Use a Tabela ormal Padrão para encontrar a área que corresponde a z = 2,13.Resposta lia p. A40

[xpmplo 5

Incontrando a área sob a curva normal padrão

Encontre a área sob a curva normal padrão à direita de z = 1,06.Solução

A área sob a curva normal padrão à direita de z = 1,06 é exibida a seguir:

Área = 0,8554 Área = 1- 0,8554

o 1,06

Com base na Tabela ormal Padrão, a área à esquerda de z = 1,06 é 0,8554. Comoa área total sob a curva é 1, a área à direita de z = 1,06 é:

Área = 1 - 0,8554= 0,1446.

Tente Encontre a área sob a curva normal padrão à direita de z = -2,16.você5 a. Desenhe a curva normal padrão e sombreie a área sob a curva e à direita de

z = -2,16.

b. Use a Tabela Normal Padrão para encontrar a área à esquerda de z = -2,16.c. Subtraia a área de 1.

Resposta IUlI'. A40

norMalcdf(-10000- 1::".1'::' -, ,

• -'--:161087~j612

Usando uma TI-83/84, você pode en-contrar a área automaticamente.

Importante-.Como a distribuição normalé uma distribuição de pro-babilidade contínua, a áreasob a curva normal padrãoà esquerda de um z-escorenos dá a probabilidade deque z seja menor que aque-le z-escore. Por exemplo, noExemplo 4, a área à esquerdade z = - 0,99 é 0,1611. Então,P(z < -0,99) = 0,1611, que élido como "a probabilidadede que z seja menor do que-0,99 é 0,1611."

nor-na l cdf (1.06 ~10000) .1445723274

Use 10.000 para o limite superior.

200 • fstatística aplicada

I,I j • I • I I

De acordo com uma publica-ção, o número de nascimen-tos durante um ano recentefoi 4.112.052. O peso dos re-cém-nascidos pode ser apro-ximado por uma distribuiçãonormal, como mostra o gráfi-co a seguir. (Fonte: \atioillli Center

ior HC/lltlJ Stafi'fit:,;.)

Peso de recém-nascidos

.il."'=T o \O N 00 -.::t o("'jV1'-OOOo--M"d: o \O N 00 V)N N r"i M .o:f

Peso (em gramas)

Encontre o z-escore que corres-penda ao peso de 2.000, 3.000e 4.000 gramas. Algum dessesbebês é excepcionalmente pesadoou leve?

norna 1cdf ( -1.5.1''')C' .)

• L __I 0°

. 82754213323

Ao usar tecnologia, seus resultados po-dem diferir um pouco daqueles encon-trados ao usar a Tabela Normal Padrão.

1 {xercí ci os

{xl»mplo 6Incontrando a área sob a curva normal padrão

Encontre a área sOb a curva normal padrão entre z = - 1,5 e z = 1,25.

SoluçãoA área sob a curva normal padrão entre z = - 1,5 e z = 1,25 é exibida a seguir:

-1.5 o 1.25

Com base na Tabela Normal Padrão, a área à esquerda de z = 1,25 é 0,8944 e aárea à esquerda de z = -1,5 é 0,0668. Então, a área entre z = - 1,5 e z = 1,25 é:

Área = 0,8944 - 0,0668

= 0,8276.

InterpretaçãoPortanto, 82,76% da área sob a curva está entre z = -1,5 e z = 1,25.

Tente Encontre a área sob a curva normal padrão entre z = -2,16 e z = -1,35.você

6 a. Use a Tabela ormal Padrão para encontrar a área à esquerda de z = -1,35.

b. Use a Tabela Normal Padrão para encontrar a área à esquerda de z = -2,16.

c. Subtraia a área menor da área maior.Respost/l na p. 1\40

a Seção 2.4 você aprendeu, usando a regra empírica, que valores que estão amais de dois desvios padrão da média são considerados incomuns. Valores que ultra-passam três desvios padrão da média são considerados muito incomuns. Então, se umz-escore é maior que 2 ou menor que -2, ele é incomum. Se o z-escore for maior que 3ou menor que -3, ele é muito incomum.

(onstruindo habilidades básicas l' conceitos

1. Encontre três exemplos reais de variável contínua. Quais você jul-ga serem normalmente distribuídas? Por quê?

2. Qual é a área total sob a curva normal?

3. Desenhe duas curvas normais que tenham a mesma média, masdesvios padrão diferentes. Descreva o que é similar e o que édiferente entre elas.

4. Desenhe duas curvas normais que tenham médias diferentes,mas os mesmos desvios padrão. Descreva o que é similar e oque é diferente entre elas.

5. Qual é a média da distribuição normal padrão? Qual é o desviopadrão da distribuição normal padrão?

6. Descreva como você pode transformar uma distribuição normalnão padrão em uma distribuição normal padrão.

Cõpítulo 5 • Distribuições de probebilidades nnrmaís 2017. Entendendo o conceito Por que é correto dizer "uma" distri-

buição normal e "a" distribuição normal padrão?

8. Entendendo o conceito Se um z-escore é zero, qual das se-guintes afirmações deve ser correta! Explique.(a) A média é zero.(b) O valor x correspondente é zero.(c) O valor x correspondente é o mesmo da média.

Análise gráficaNos exercícios 15 e 16, determine se o histograma representa

dados com uma distribuição normal. Explique seu raciocínio.

15.

Tempo de espera emum consultório dentário

~ :::ft'"0g 0,2,.,§.. 01~ .u,

Análise gráficaNos exerckios de 9 a 14, determine se os gráficos podem repre-

sentar uma variável com uma distribuição normal. Explique seu raciocínio.

9.

,4 12 20 28 36

Tempo (em minutos)

16.

10.Perda de peso

c:0.20.~

'"~ 0,15

'"'(3 0,10(~

'"ü' 0,05.,~

.;::....---------.=..1 x10 20 30 40 50 60 70 80

Li bras perdidas11.

Análise gráficaNos exercícios de 17 a 20, encontre a área da região indicada sob

a curva normal padrão. Se for conveniente, use ferramentas tecnológi-cas para encontrar a área.

17.-==--------------'~, x

12.

o 1,2

18.~'------------~I X

-2,25 o

19.

x

14.

/J x -0,5 o 1,5

13.

LoZ • tstdtística aplicada

20.

o 2

Encontrando a áreaNos exercícios de 21 a 40, encontre a área indicada sob a curva

normal padrão. Se for conveniente, use ferramentas tecnológicas paraencontrar a área.

21. À esquerda de z = 1,36.

22. À esquerda de z = 0,08.

23. À esquerda de z = 1,96.

24. À esquerda de z = 1)8.

25. À direita de z = -0,65.

26. À direita de z = -1,95.

27. À direita de z = 1)8.

28. À direita de z = 3)5.

29. À esquerda de z = -2,575.

30. À esquerda de z = -3,16.

31. À direita de z = 1,615.

32. À direita de z = 2,51.

33. Entre z = ° e z = 1,54.

34. Entre z = O e z = 2,86.

35. Entre z = -1,53 e z = O.

36. Entre z = -0,51 e z = O.

37. Entre z = -1,96 e z = 1,96.

38. Entre z = -2,33 e z = 2,33.

39. À esquerda de z = - 1)8 ou à direita de z = 1)8.

40. À esquerda de z = -1,96 ou à direita de z = 1,96.

Usando e interpretando conceitos

Afirmação do fabricante Você trabalha em uma publicação daConsumer Watchdog e está testando a afirmação do anúncio deum fabricante de lâmpadas. O fabricante declara que a vida útilde uma lâmpada é normalmente distribuída, com uma médiade 2.000 horas e um desvio padrão de 250 horas. Você testa20 lâmpadas e encontra os seguintes números para vida útil daslâmpadas:

2.210, 2.406, 2.267, 1.930, 2.005, 2.502, 1.106, 2.140,1.949, 1.921, 2.217, 2.121, 2.004, 1.397, 1.659, 1.577,2.840, 1.728, 1.209, 1.639

(a) Desenhe um histograma de frequência para mostrar essesdados. Use cinco classes. Seria razoável dizer que a vida útilé normalmente distribuída? Por quê?

(b) Encontre a média e o desvio padrão de sua amostra.

(c) Compare a média e o desvio padrão de sua amostra com osda declaração do fabricante. Discuta as diferenças.

'~42. Altura dos homens Você está fazendo um estudo sobre a al-tura de homens de 20 a 29 anos. Um estudo anterior mostrouque a altura é normalmente distribuída, com uma média de 69,6polegadas e um desvio padrão de 3,0 polegadas. Você escolhe,aleatoriamente, uma amostra de 30 homens e descobre as se-guintes alturas: (Adaptado do iVatianal Center for Health 5totistlcs)

72,1, 71), 67,9, 67,3, 69,5, 68,6, 68,8, 69,4, 73,5, 67,1,69,2, 75,7, 71,1, 69,6, 70,7, 66,9, 71,4, 62,9, 69,2, 64,9,68,2, 65,2, 69,7, 72,2, 67,5, 66,6, 66,5, 64,2, 65,4, 70,0

(a) Desenhe um histograma de frequência para mostrar essesdados. Use sete classes com valor médio de 63,85, 65,85,67,85, 69,85, 71,85, 73,85 e 75,85. Seria razoável dizer queas alturas são normalmente distribuídas? Por quê?

(b) Encontre a média e o desvio padrão de sua amostra.

(c) Compare a média e o desvio padrão de sua amostra com osdo estudo anterior. Discuta as diferenças.

Computando e interpretando os z-escores dedistribuições normaisNos exercícios de 43 a 46, foi dada uma distribuição normal, a

média da distribuição e o desvio padrão, quatro valores da distribuiçãoe um gráfico da distribuição normal padrão. (a) Sem converter para zescores, relacione cada valor com as letras A, B, C e D no gráfico dadoda distribuição normal padrão. (b) Encontre o z-escore que correspon-de a cada valor e verifique suas respostas da parte (a). (c) Determinese algum dos valores é incomum.

43. Anéis de pistão Sua empresa fabrica anéis de pistão para carros.Os diâmetros internos dos anéis de pistão são normalmente distri-buídos, com uma média de 93,01 milímetros e um desvio padrãode 0,005 milímetro. Os diâmetros internos de quatro dos anéisde pistão selecionados aleatoriamente são de 93,014 milíme-tros, 93,018 milímetros, 93,004 milímetros e 92,994 milímetros.

tA

44. Ovos de cambaxirra O período de incubação de ovos de cam-baxirras é normalmente distribuído com uma média de tempode 336 horas e um desvio padrão de 3,5 horas. O tempo deincubação de quatro ovos selecionados aleatoriamente é de 328horas, 338 horas, 330 horas e 341 horas.

45. Pontuação do SAT O SAT é um exame usado por faculdades e 50.universidades para avaliar os candidatos. As pontuações do exa-me são normalmente distribuídas. Em um ano recente, a pontua-ção média do teste foi de 1.518 e o desvio padrão foi de 308. Aspontuações dos testes de quatro alunos escolhidos aleatoriamen-te são 1.406, 1.848, 2.177 e 1.186. (Fome. Coliege Bootd Online.'

46. Pontuação do ACT O ACT é um exame usado por faculdadese universidades para avaliar candidatos. As pontuações do examesão normalmente distribuídas. Em um ano recente, a pontuaçãomédia do teste foi de 21,0 e o desvio padrão foi de 4,8. As pontu-ações dos testes de quatro alunos escolhidos aleatoriamente são18, 32, 14 e 25. (Fonte ACT,inc)

Análise gráficaNos exercícios de 47 a 52, encontre a probabilidade de z ocorrer

na região indicada. Se for conveniente, use ferramentas de tecnologiapara encontrar a probabilidade.

47.

48.

-1,0 o

49.

o 1,645

Capítulo 5 • Distribuições de probabilidades normais Z03

-1.28 o

51.

52.

Encontrando probabilidadesNos exercícios de 53 a 62, encontre a probabilidade indicada

usando a distribuição normal padrão. Se for conveniente, use ferra-mentas de tecnologia para encontrar a probabilidade.

53. P(z < 1,45).

54. P(z < 0,45).

55. P(z> -0,95).56. P(z> - 1,85).

57. P(-0,89 < z < O).58. P(-2,08<z<0).59. P(-1,65 <z < 1,65).

60. P(-1,54 < z < 1,54).

61. P(z < -2,58 ou z > 2,58).

62. P(z < -1,54 ou z > 1,54).

hpandindo conceitos

63. Redação Desenhe uma curva normal com uma média de 60 eum desvio padrão de 12. Descreva como você construiu a curvae discuta suas características.

64. Redação Desenhe uma curva com uma média de 450 e umdesvio padrão de 50. Descreva como você construiu a curva ediscuta suas características.

65. Distribuição uniforme Outra distribuição contínua é a distribui-ção uniforme. Um exemplo é f(x) = 1 para ° ::;x ::; 1. A médiadessa distribuição para este exemplo é 0,5 e o desvio padrão éde aproximadamente 0,29. O gráfico dessa distribuição para esteexemplo é um quadrado com altura e largura iguais a 1 unidade.Em geral, a função densidade para uma distribuição uniforme nointervalo de x = o para x = b é dada por:

f(x)=_l_.b-o