distribuição normal propriedades: 1 - uma distribuição normal é unimodal (uma moda), simétrica...

Distribuição NormalPropriedades:

1 - Uma distribuição normal é unimodal (uma moda), simétrica (lado direito e esquerdo são idênticos) e tem a forma de um sino, com a altura máxima coincidindo com a média;

2 - Uma distribuição normal é contínua, onde “X” é assumido ser uma variável contínua;

3 - Uma distribuição normal é assimptótica ao eixo “X”: quanto mais a curva se afasta da média, mais próximo ela chega do valor zero; mas nunca chega ao valor zero absoluto.

4 - A área sob a curva totaliza 1, portanto, …

Distribuição Normal

… portanto, é possível estimar a propabilidade de ocorrência de eventos … com base na área sob a curva

Área = 1

Distribuição Normal Padrão Y e X 1

2

2 22

( ) /

Onde: = 0 = 1

+/- 1 desvio padrão = 68,2%+/- 2 desvios padrão = 95,5%+/- 3 desvios padrão = 99,7%

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,00 0,500 0,504 0,508 0,512 0,516 0,520 0,524 0,528 0,532 0,536

0,10 0,540 0,544 0,548 0,552 0,556 0,560 0,564 0,567 0,571 0,575

0,20 0,579 0,583 0,587 0,591 0,595 0,599 0,603 0,606 0,610 0,614

0,30 0,618 0,622 0,626 0,629 0,633 0,637 0,641 0,644 0,648 0,652

0,40 0,655 0,659 0,663 0,666 0,670 0,674 0,677 0,681 0,684 0,688

0,50 0,691 0,695 0,698 0,702 0,705 0,709 0,712 0,716 0,719 0,722

0,60 0,726 0,729 0,732 0,736 0,739 0,742 0,745 0,749 0,752 0,755

0,70 0,758 0,761 0,764 0,767 0,770 0,773 0,776 0,779 0,782 0,785

0,80 0,788 0,791 0,794 0,797 0,800 0,802 0,805 0,808 0,811 0,813

0,90 0,816 0,819 0,821 0,824 0,826 0,829 0,831 0,834 0,836 0,839

1,00 0,841 0,844 0,846 0,848 0,851 0,853 0,855 0,858 0,860 0,862

1,10 0,864 0,867 0,869 0,871 0,873 0,875 0,877 0,879 0,881 0,883

1,20 0,885 0,887 0,889 0,891 0,893 0,894 0,896 0,898 0,900 0,901

1,30 0,903 0,905 0,907 0,908 0,910 0,911 0,913 0,915 0,916 0,918

1,40 0,919 0,921 0,922 0,924 0,925 0,926 0,928 0,929 0,931 0,932

1,50 0,933 0,934 0,936 0,937 0,938 0,939 0,941 0,942 0,943 0,944

1,60 0,945 0,946 0,947 0,948 0,949 0,951 0,952 0,953 0,954 0,954

1,70 0,955 0,956 0,957 0,958 0,959 0,960 0,961 0,962 0,962 0,963

1,80 0,964 0,965 0,966 0,966 0,967 0,968 0,969 0,969 0,970 0,971

1,90 0,971 0,972 0,973 0,973 0,974 0,974 0,975 0,976 0,976 0,977

2,00 0,977 0,978 0,978 0,979 0,979 0,980 0,980 0,981 0,981 0,982

2,10 0,982 0,983 0,983 0,983 0,984 0,984 0,985 0,985 0,985 0,986

2,20 0,986 0,986 0,987 0,987 0,987 0,988 0,988 0,988 0,989 0,989

2,30 0,989 0,990 0,990 0,990 0,990 0,991 0,991 0,991 0,991 0,992

2,40 0,992 0,992 0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 0,993 0,993 0,994

2,50 0,994 0,994 0,994 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995 0,995 0,995

2,60 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996

2,70 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997

2,80 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998

2,90 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999

3,00 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999

3,10 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999

Distribuição Normal Padrão

Para calcular a área:- adiciona as área se os valores “z”estão em lados opostos da média;- subtrai se os valores estão do mesmo lado da média.

Cálculo da Área

Distribuição Normal: a mais usada em estatística indutiva ...

Probabilidade e Distribuição Estatística

Distribuição estatística: distribuição que representa todos os resultados possíveis de um particular evento.

Ex: soma de dois dados

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

SOMA

0

1

2

3

4

5

6

Fre

quên

cia

Qual a probabilidade de 10, 11 e 12?

Soma Freq/Total Probabilidade 10 3/36 .083 11 2/36 .056 12 1/36 .028

P(10 ou 11 ou 12) = P(10) + P(11) + P(12) = .083 + .056 + .028 = .167

Distribuição Normal e Distribuição Estatística

Qual é a probabilidade de ocorrência de um valor entre 50 e 60?

Distribuição Normal:N =15.000 = 60 = 10

1 desvio padrão => 0,3413 ou 34,13%

Qual é a probabilidade de ocorrência de um valor maior que 80 ou menor que 40?

z80 = +2z40 = - 2

2 desvios padrão = 0,0228 ou 2,28%, então>80 ou < 40 = 0,0228 + 0,0228 = 0,0456 ou 4,56 %


Valores de “z”Y e X 1

2

2 22

( ) /

Onde: = 0 = 1

Variáveis observadas na prática apresentam valores cujas áreas não estão tabeladas … entretanto é possível transformar valores observados (x) em valores de z


Valores de “z”

onde:x = valores da variável observada = média = desvio padrão

x

z

Distribuição Normal padronizada e, portanto, com área conhecida ...

Estatística Aplicada à Motricidade

Teste de Hipóteses

J. A. Barela & E. Kokubun

Encontro #2

Estatística Inferencial

nós precisamos de estatística INFERENCIAL

(indutiva)

Aula anterior … foi discutido estatística descritiva

entretanto ...

permite tirar conclusões probabilisticas sobre uma população

com base em resultados verificados em amostras retiradas desta população

Estatística Inferencial:


Estatística Inferencial tem dois objetivos:• testar hipóteses• estimar parâmetros

População com

Parâmetros

Amostra com

Estatística*

Distribuição Estatística*

Probabilidade

SeleçãoAleatória

Inferência

* estatísitica => formulações teóricas


Para utilizar estatística inferencial:

1 - A amostra precisa ser selecionada aleatoriamente;

2 - Qualquer estimativa da amostra deve ser comparada com estimativas baseadas em pressupostos de uma distribuição (geralmente normal);

3 - Baseada nesta comparação e a probabilidade associada com resultados esperados quando a amostra é obtida aleatoriamente, inferências podem ser realizadas sobre parâmetros (população).

Teste de

Hipóteses

Realizar inferências sobre a natureza da população com base em observações de

amostras retiradas desta população (estatística inferencial).

Não rejeita a hipótese

Qual é a magnitude da diferença entre o valor

observado e o parâmetro hipotético?

População:valor do

parâmetro hipotético

Amostra:valor observado (estatístico)

Rejeita a hipótese

Selecion

ada

aleatoriamen

te

=455

X=535

DIF

EREN

ÇA

PEQ

UEN

A

DIFER

ENÇ

A

GR

AN

DE

Teste de Hipótese

Envolve quatro passos:

1 - Formular a hipótese;

2 - Decidir o critério para rejeitar esta hipótese;

3 - Computar o teste estatístico

4 - Decidir se rejeita ou aceita a hipótese

1 - Formulação de hipótese

Hipótese: conjectura sobre um ou mais parâmetros da população

a ser testada Hipótese nula H0

Hipótese de nenhum

relacionamento ou diferençaEx: H0: = 455 ou

H0: - 455 = 0

Hipótese alternativaHa

Hipótese que cobre o possível resultado

não coberto pela hipótese nulaEx: Ha: 455 ou

Ha: - 455 0

A hipótese alternativa geralmente considera a hipótese da pesquisa e pode ser aceita somente se a a hipótese nula for rejeitada

Teste de Hipótese

2 - Critério para Rejeição da Hipótese

O quão diferente as médias precisam ser para que a hipótese nula seja rejeitada?

Resposta relacionadaa três conceitos

1 - erros no teste de hipóteses2 - nível de significância3 - região de rejeição

Teste de Hipótese


Erros no Teste de Hipóteses

Quatro possíveis decisões testando hipóteses:

1 - Uma hipótese verdadeira é rejeitada

2 - Uma hipótese verdadeira não é rejeitada

3 - Uma hipótese falsa não é rejeitada

4 - Uma hipótese falsa é rejeitada

Decisão correta

Decisão correta

Erro Tipo I

Erro Tipo II

Teste de Hipótese

Teste de Hipótese 2 - Critério para Rejeição da Hipótese

ERRO TIPO IProbabilidade:

Hipótese Nulaé Verdadeira

Hipótese Nulaé Falsa

RejeitaHipótese Nula

Não RejeitaHipótese Nula

Problema:

Não é possível eliminar a possibilidade de realizar um erro no teste de hipótese MAS é possível controlar um erro ou outro!!!

ERRO TIPO IIProbabilidade:

Decisão CorretaProbabilidade: 1 -

Decisão CorretaProbabilidade: 1 - (poder estatístico)



Exemplo:

Testando duas drogas:D1 - nova droga caríssimaD2 - droga utilizadaH0: D1 = D2

As condições específicas da situação experimental determinam que tipo de erro é mais sério

Erro Tipo I: nova droga não é melhor mas H0 é rejeitada=> nova droga será usada

Erro Tipo II: nova droga é melhor mas H0 é aceita=> nova droga não será usada



Nível de Significância

= 0,05 e 0,01 são os mais utilizados em nossa área

ou alpha () é definido como a probabilidade de realizar um erro do Tipo I no teste de hipóteses (uma hipótese

verdadeira é rejeitada)

o pesquisador assume o risco que a decisão de rejeitar a hipótese pode estar incorreta 5% ou 1% das vezes,

respectivamente.


Região de Rejeição

Representa a proporção da área na distribuição amostral que é igual à probabilidade de rejeição da hipótese nula, se ela é verdadeira

= 0,05 = 0,01

A região de rejeição é ___________ com =0,05 do que com =0,01, portanto, será

Influência do alpha

Teste de Hipótese


H0: = 455Ha: < 455

Unidirecional

H0: = 455Ha: > 455

Bidirecional

H0: = 455Ha: 455

=0,05

Valores críticos = 1.96

Valor crítico =+ 1.645

Valor crítico =- 1.645

Influência da Hipótese

Teste de Hipótese

Valores Críticos do Teste Estatístico (mais comuns) usando uma distribuição normal

Nível de Significância Nível de Significância Valores Críticos Teste de 2-caudas Teste de 1-cauda do Teste Estatístico

.20 .10 1.282

.10 .05 1.645

.05 .025 1.960

.02 .01 2.326

.01 .005 2.576

.001 .0005 3.291



Exemplo:• Amostra com distribuição normal• = 455• x = 8,33• = 0,05

Representa a proporção da área na distribuição amostral que é igual à probabilidade de rejeição da hipótese nula

se ela é verdadeira

- x = (455 - 8,33) = 446,67 - 2x = (455 - 2 * 8,33) = 438,33

+ x = (455 + 8,33) = 463,33 + 2x = (455 + 2 * 8,33) = 471,67

Problema: Qual é a área entre 2x?

A resposta é 0,9544, acima de 95%.

Teste de Hipótese Critério para Rejeição da Hipótese


- 1,96x = 455 - (1,96 * 8,33) = 438,67 + 1,96x = 455+ (1,96 * 8,33) = 471,33

Exemplo:• Amostra com distribuição normal• = 455• x = 8,33• = 0,05

Onde: 1,96 corresponde a 0,025 daárea - Valor Tabela de Dist. Normal

Região de rejeição: área da distribuição que representa os valores da amostra que são improváveis se a hipótese nula é verdadeira

Região de aceite: área dos valores prováveis se a hipótese nula é verdadeira

Teste de Hipótese


Nível de Significância? = 0,05 = 0,01

Região de RejeiçãoBidirecionalUnidirecional

Que tipo de erro?Erro Tipo IErro tipo II

Poder estatístico…

mais tarde

Teste de Hipótese

3 - Computando o Teste Estatístico

x

n Erro Padrão da Média

zX

x

1 - Calcular o escore padrão (z calculado)

6,933,8

455535

z

A média da amostra observada (X=535) está 9,6 erros padrão acima da média da população (455).

Exemplo:• = 455• n = 144• X = 535• = 100

Teste de Hipótese

4 - Decidindo sobre a H0

Uma vez que o valor observado (+9,6) excede o valor crítico (1,96), a probabilidade é menor que 0,05 que a média da amostra teria ocorrido

por change se a hipótese nula fosse verdadeira (p<0,05).

A hipótese nula é rejeitada e. consequentemente, a hipótese alternativa é aceita

Exemplo:• = 455• n = 144• X = 535• = 100

A média da amostra observada (X=535) está 9,6 erros padrão acima da média da população (455).

Teste de Hipótese

4 - Computando o Teste Estatístico

zX

x

2,1

33,8

455465

z

1,2

Uma vez que o valor observado (+1,2) está abaixo do valor crítico (1,96), a probabilidade é maior que 0,05 que a média da amostra teria

ocorrido por chance se a hipótese nula fosse verdadeira (p>0,05).

A hipótese nula é aceita

Outro Exemplo:• = 455• n = 144• X = 465• = 100

Teste de Hipótese

Distribuição “t” Student

Para amostra pequena:• distribuição difere da distribuição normal• distribuição muda com o tamanho da amostra• aproxima da normal conforme o tamanho da amostra aumenta

Gosset (1906) e Gosset & Fischer (1926): fórmula para estas distribuições

As distribuições “t” são famílias de distribuições simétricas e com formas de sino que mudam conforme

o tamanho da amostra muda

Teste de Hipótese


Graus de Liberdade: é o número de observações menos o número de restrições colocados sobre eles

Ex: a média de 2 números = 50, então apenas um número precisa ser conhecido para que o outro possa ser determinado

n-1= 2 -1 = 1 gl

Teste de Hipótese


É realizado da mesma forma que usando uma distribuição normal. Apenas a área sob a curva é ajustada de acordo com os Graus de Liberdade (Tabela A2)

Gl = 15

Gl acima de 120, distribuição normal e “t” são consideradas iguais

Poder estatístico

“Power”

Poder estatístico: probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa (1-)

Se uma hipótese nula é falsa

PROBLEMA: e, consequentemente, 1- podem ser determinados apenas quando valores forem especificados para ambas hipóteses: nula e alternativa

ERRO TIPO II

(não rejeitar uma hipótese falsa)

probabilidade

Decisão Correta

probabilidade

1 -

(rejeitar uma hipótese falsa)

Poder estatístico

Exemplo:• = 455• n = 144• = 100• =0,05• unidirecional

Necessidade de especificar valores para H0 e Ha:

H0: = 455

Ha: = 465Poder estatístico do teste em determinar

essa diferença de 10 pontos

Valor padrão para o valor crítico da amostra:

+ 1,645x = 455+ (1,645 * 8,33) = 468,70

=455468,70

Poder estatístico(cont. exemplo anterior)

=455468,70

=465

zX

x

44,033,8

46570,468

z

z=0,44Área cinza () = 0,67Área clara (1-)= 0,33

Poder estatístico: 0,33 (33%) probabilidade de detectar uma diferença de 10 pontos

Poder estatístico

“Power”

Fatores que afetam:

• Natureza da direção da Ha: (uni- ou bi-direcional)

• Nível de significância ()

• Tamanho da amostra (n)

• Tamanho do efeito (effect size)

Poder estatístico

Natureza da direção da Ha

(mesmo exemplo anterior mas bi-direcional)

16,333,8

46567,438

z

área (esquerda)=0,4992

76,033,8

46533,471

z

área (direita)=0,2764

= 0,4992 + 0,2764 = 0,7756

1- = 1 - 0,7756 = 0,2244 (22%)

Com todos os fatores constantes, testes unidirecionais têm poder

estatístico maior que bi-direcionais

Poder estatístico

Nível de significância ()

(mesmo exemplo anterior unidirecional mas com =0,1)


08,033,8

46568,465

z

área (direita)=0,0319

= 0,5 + 0,0319 = 0,5319

1- = 1 - 0,5319 = 0,4681 (46%)Com todos os fatores constantes,

aumentando o valor de , aumenta o poder estatístico

Poder estatístico

Tamanho da amostra (n)

x

n Erro Padrão da Média

n=576

Exemplo anterior:• = 455• n = 144• X = 465• = 100

33,8144

100x

Exemplo novo:• = 455• n = 576• X = 465• = 100

16,4576

100x

Poder estatístico

Tamanho da amostra (n)

(exemplo anterior unidirecional, =0,05, mas

n=576)

75,017,4

46586,461

z


= 0,5 - 0,2734 = 0,2266

1- = 1 - 0,2266 = 0,7734 (77%)

Com todos os fatores constantes, aumentando o tamanho da amostra (n) o erro padrão diminui, aumenta o poder estatístico

Poder estatístico

Tamanho do efeito

76,033,8

47570,468

z


= 0,5 - 0,2764 = 0,2236

1- = 1 - 0,2236 = 0,7764 (77%)

Com todos os fatores constantes, aumentando o tamanho do efeito, aumenta o poder estatístico

(exemplo anterior unidirecional, =0,05, n=100,

mas X=475)

distribuição normal propriedades: 1 - uma distribuição normal é unimodal (uma moda), simétrica...

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