dissertacao - revisao c - teses.usp.br · Índice: 1 1 - introduÇÃo 4 2 - as idÉias de charles...

ÍNDICE: 1 1 - INTRODUÇÃO 4 2 - AS IDÉIAS DE CHARLES DARWIN 6 2.1 - As Causas da Variabilidade 6 2.2 - A Seleção e a Adaptação 7 2.3 - Fundamentos Biológicos 9 2.3.1 - Cromossomos 9 2.3.2 - Reprodução 9 3 - RETROANÁLISE DE ESTRUTURAS 10 4 - ALGORITMOS GENÉTICOS 12 4.1 - Introdução 12 4.1.1 - Algoritmos 12 4.1.2 - Otimização 13 4.2 - Definições 15 4.3 - Histórico 16 4.4 - Espaço de Soluções 18 4.5 - Descrição Básica 19 4.5.1 - Esboço Básico do Algoritmo Genético (Obtiko,1998) 21 4.5.2 - Alguns comentários 22 4.6 - OPERADORES DOS ALGORITMOS GENÉTICOS 22 4.6.1 - A Codificação de um Cromossomo 22 4.6.2 - Tipos de Codificação 23 4.6.2.1 - Codificação Binária 23 4.6.2.2 - Codificação por Ponto Flutuante 24 4.6.2.3 - Codificação de Valores 24 4.6.2.4 - Codificação por Permutação 25 4.6.2.5 - Codificação em Árvore 25 4.6.3 - A População inicial 26 4.6.3.1 - Avaliação da População 26 4.6.4 - A Seleção 27 4.6.4.1 - Introdução 27 4.6.4.2 - Mapeamento da Função de Adequação 28 4.6.4.2.1 - Ordenamento Linear (Baker, 1987) e (Whitle, 1989) 28 4.6.4.2.2 - Ordenamento Exponencial (Michaeliwicz, 1994) 28 4.6.4.3 - Seleção por Roleta 29 4.6.4.4 - Seleção por Classificação 29 4.6.4.5 - Seleção por Estado Estacionário 29 4.6.4.6 - Seleção por Torneio . 30 4.6.5 - Elitismo 30

Análise Inversa de Estruturas com Utilização de Algoritmos Genéticos

francisco augusto pereira leite - 2 -

4.6.6 - Cruzamento 30 4.6.6.1 - Tipos de Cruzamento 31 4.6.6.1.1 - Ponto de Cruzamento Único 31 4.6.6.1.2 - Dois pontos de cruzamento - 31 4.6.6.1.3 - Cruzamento 31 4.6.6.1.4 - Cruzamento Aritmético 31 4.6.7 - Mutação 32 4.7 - PARÂMETROS DOS ALGORITMOS GENÉTICOS 34 4.7.1 - Tamanho da População 34 4.7.2 - Probabilidade de Cruzamento 35 4.7.3 - Probabilidade de Mutação 35 4.7.4 - Comentários sobre os parâmetros 36

4.8 - EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DOS ALGORITMOS GENÉTICOS 37

5 - DESCRIÇÃO DO UTILITÁRIO IMPLEMENTADO 38 5.1 - Introdução 38 5.2 - Geração da População Inicial 38 5.2.1 - Avaliação da População Inicial 38 5.3 - Codificação das Variáveis 39 5.4 - Cromossomos 39 5.5 - Elitismo 39 5.6 - Seleção 39 5.7 - Cruzamento 40 5.8 - Mutação 40 6 - EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 41 6.1 - Exemplo de Aplicação 1 : Determinação dos 3 parâmetros de uma estrutura 41 6.1.1 - Introdução 41 6.1.2 - Desenvolvimento do Modelo 41 6.1.3 - Função de Avaliação 42 6.1.4 - Planilhas de Apoio 42 6.1.5 - Parâmetros adotados 43 6.1.5.1 - Tamanho da População 43 6.1.5.2 - Probabilidade de Cruzamento 43 6.1.5.3 - Probabilidade de Mutação 43 6.1.5.4 - Extremos de pesquisa adotados para variação dos parâmetros elásticos 43 6.1.5.5 - Função de Avaliação 43 6.1.5.6 - No. de Gerações 43 6.1.5.7 - População Inicial : 44 6.1.6 - Resultados observados : 48 6.1.6.1 Comentários : 51 6.1.7 - Considerações finais : 51



6.2 - Exemplo de Aplicação 2 : Determinação dos 4 parâmetros de uma estrutura 52

6.2.1 - Introdução 52 6.2.2 - Desenvolvimento do Modelo 52 6.2.3 - Função de Avaliação 53 6.2.4 - Planilhas de apoio 53 6.2.5 - Parâmetros adotados 54 6.2.5.1 - Tamanho da População 54 6.2.5.2 - Probabilidade de Cruzamento 54 6.2.5.3 - Probabilidade de Mutação 54 6.2.5.4 - Extremos de pesquisa adotados para variação dos parâmetros elásticos : 54 6.2.5.5 - Função de Avaliação 54 6.2.5.6 - No. de Gerações 54 6.2.5.7 - População Inicial : 55 6.2 6 - Resultados observados : 59 6.2. 6.1 Comentários : 65 6.2.7 - Considerações finais: 66 6.3 - Exemplo de Aplicação 3 : Análise Inversa de uma placa Ortótropa 67 6.3.1 - Introdução 67 6.3.2 - Desenvolvimento do Modelo 67 6.3.3 - Função de Avaliação 68 6.3.4 - Planilhas de apoio 68 6.3.5 - Parâmetros adotados 69 6. 3.5.1 - Tamanho da População 69 6. 3.5.2 - Probabilidade de Cruzamento 69 6. 3.5.3 - Probabilidade de Mutação 69 6. 3.5.4 - Extremos de pesquisa adotados para variação dos parâmetros elásticos 69 6. 3.5.5 - Função de Avaliação 69 6. 3.5.6 - No. de Gerações 69 6. 3.5.7 - População Inicial: 70 6. 3. 6 - Resultados observados: 73 6.3.6.1 - Comentários : 76 6.3.7 - Considerações finais: 77 7 - Bibliografia: 78



1 - INTRODUÇÃO

Com base na teoria evolutiva das espécies, John H. Holland um pesquisador da Universidade de Michigan, propôs nos anos 60 a construção de um algoritmo matemático para otimização de sistemas complexos, sendo denominado de Algoritmo Genético (AG). Este algoritmo pretendia simular matematicamente o mecanismo da evolução biológica, com todas as características e vantagens desse processo. A partir dos anos oitenta, o Algoritmo Genético recebeu um grande impulso em diversas áreas de aplicação científica, devido principalmente à versatilidade e excelentes resultados apresentados. A popularização dos computadores e o aparecimento de sistemas cada vez mais rápidos e potentes também auxiliaram muito o seu desenvolvimento. O Algoritmo Genético tem sido aplicado nas mais variadas áreas, podendo-se destacar sua utilização em processamento de imagem; modelagem; identificação de sistemas; filtros para cancelamento de ruídos; robótica e seleção de parâmetros em redes neurais. Mais recentemente, o AG começou a ser utilizado em química, uma vez que nesta área problemas complexos de otimização também são normalmente encontrados. A primeira aplicação do AG em química foi realizada no início dos anos noventa para a seleção de comprimentos de onda em espectros no ultravioleta para análise de quatro nucleotídeos. As aplicações deste algoritmo cresceram muito nos últimos anos, principalmente devido às vantagens que este apresenta quando comparado a outros métodos de otimização. Como principais vantagens, podemos destacar: I – Não requer informações sobre o gradiente da superfície de resposta; II – Eventuais descontinuidades da superfície de resposta não afetam o desempenho da otimização; III – A presença de mínimos locais não reduzem a eficiência do algoritmo; IV – A performance do algoritmo tem apresentado excelentes resultados para problemas de otimização em grande escala. Atualmente a otimização de estruturas tem se mostrado uma ferramenta importante para tornar as empresas mais competitivas num mercado globalizado. Pode ser entendida como uma maneira hábil de se identificar a melhor solução dentre as inúmeras disponíveis. Os AG exploram com eficiência informações que servirão para auxiliar na busca de novas soluções melhorando o seu desempenho a cada geração. As pesquisas com Algoritmo Genético têm alcançado grande importância devido à sua eficiência na otimização de problemas complexos em contraste com sua relativa simplicidade de programação. O processamento completo de estruturas utilizando AG é bastante dispendioso computacionalmente, já que para cada indivíduo da população teremos uma nova estrutura a ser resolvida. Como o número de variáveis nos projetos é bastante grande, o tamanho da população de indivíduos a ser analisada também o será, o que resulta na necessidade de algoritmos e métodos cada vez mais eficientes. No desenvolvimento de tais métodos pode-se optar pela interação entre AG e outras técnicas de otimização. O AG se adapta muito bem às técnicas de Processamento Paralelo, atualmente em grande desenvolvimento, podendo desta forma resolver problemas cada vez maiores em menor tempo. Apesar de já terem sido realizados inúmeros trabalhos e estudos sobre métodos de otimização, a engenharia estrutural utiliza muito pouco esses recursos para solucionar seus problemas.



Um exemplo de aplicação é que ao longo do tempo, o módulo de elasticidade do concreto da estrutura se altera. Isso pode ocorrer devido a ações mecânicas, físicas e químicas características do material e de seu comportamento estrutural. Para o modelo matemático da estrutura gerado, é necessário conhecer o módulo de elasticidade do concreto (ou outros parâmetros) , cujo valor é desconhecido. O problema de Retroanálise ou Análise Inversa, o qual nos propomos a pesquisar, visa encontrar o módulo de elasticidade do concreto da estrutura que seja bem próximo ou igual ao módulo de elasticidade do modelo matemático. O desenvolvimento da Análise-Inversa com utilização dos AG, tende a se tornar uma essencial e poderosa ferramenta na avaliação das condições atuais das estruturas. Nosso trabalho será – com a utilização dos AG como ferramenta de pesquisa e otimização - a Retroanálise ou Análise-Inversa de uma estrutura, visando a obtenção dos melhores parâmetros de um modelo teórico, de tal modo, que estes mais se aproximem do conjunto de resultados experimentais. O procedimento a ser adotado é a comparação otimizada entre os dados experimentais medidos na estrutura real e o modelo matemático a ser desenvolvido com a inserção de “danos controlados – parâmetros de modelagem estabelecidos”, até que os parâmetros “danificados” do modelo matemático em comparação com os dados experimentais colhidos nos dêem um panorama da estrutura, mostrando com muita segurança qual o nível de comprometimento dessa. Isso nos possibilitaria a avaliação de sua vida útil, o que nos permitiria decidir economicamente com segurança sobre adoção de mecanismos corretos de tratamento para a recuperação da estrutura em questão, ou então, sua substituição por outra.



2 – AS IDÉIAS DE CHARLES DARWIN

Influenciado por inúmeras observações feitas na sua viagem de 5 anos ao redor do mundo, o inglês Charles Darwin propôs uma teoria que explicava o mecanismo de evolução das espécies. Em 1859, foi publicado o livro “A Origem das Espécies”, em que Darwin expunha sua teoria enfatizando em particular o conceito de seleção natural. As suas idéias, tiveram uma influência profunda sobre o mundo intelectual do século XIX, provocando controvérsias acaloradas, sustentadas em particular pelos defensores da idéia da criação especial.

As idéias de Darwin podem ser resumidas assim: 1.a) Os organismos vivos têm grande capacidade de reprodução. Apesar disso, já

que o suprimento alimentar é reduzido, poucos indivíduos chegam à idade de reprodução.

1.b) Disso decorre que organismos com as mesmas exigências alimentares competem entre si, “lutando” constantemente pela existência.

2.a) Os organismos apresentam variações hereditárias, e portanto transmissíveis. Algumas variações são mais favoráveis de que outras, num determinado ambiente.

2.b) Disso decorre que os organismos com as variações mais favoráveis num determinado ambiente estarão mais capacitados a sobreviver e se reproduzir nele do que os que possuem variações desfavoráveis. Assim, cada geração sucessiva fica melhor adaptada ao ambiente (Junior e Sasson – 3ª. Edição).

Percebemos que, para Darwin, as variações hereditárias conferem aos seus

portadores probabilidades diferentes de sobrevivência e reprodução num dado ambiente. Portanto para Darwin, o ambiente seleciona a variação mais adaptativa, ou seja, ele

parte de um universo biológico variado e explica a predominância de certas formas pelo efeito selecionador do ambiente. No entanto, Darwin nunca explicou satisfatoriamente a origem da variação. Foi preciso esperar redescoberta das leis de Mendel, em 1900, e o surgimento das teorias sobre mutação, elaboradas por De Vries, para se entender a origem da variação.

2.1 - As Causas da Variabilidade Os avanços da genética no início do século XX, vieram complementar a teoria da

seleção natural. De maneira, muito simplificada, pode-se dizer que a evolução depende basicamente do binômio variação/seleção; uma boa compreensão dos mecanismos evolutivos implica então em entendermos as causas da variação, como também o papel da seleção natural.

Para o mecanismo da evolução, somente influem as variações que possam ser transmitidas hereditariamente.

O conceito de mutação, foi apresentado pela primeira vez pelo naturalista Hugo De Vries, um dos redescobridores dos trabalhos de Mendel. De Vries estudava a hereditariedade de uma planta, a prímula. De vez em quando, apareciam na planta características novas que não haviam ocorrido em nenhum dos ancestrais estudados por ele. Foi proposta a hipótese de que essas modificações eram causadas por alguma mudança brusca em um dos genes (mutação), que daí por diante era transmitido na forma modificada (mutada) aos descendentes. Os diferentes alelos de um gene surgiriam pós mutação, o que explicaria a origem da variação genética dos organismos.



Então, a mutação é uma modificação brusca do genótipo, passível de ser transmitida à descendência, ocorrendo de maneira mais ou menos rara. A freqüência de mutação varia bastante de um lócus gênico para o outro, por motivos não esclarecidos. Na maioria dos casos, não sabemos o quê causa uma determinada mutação, e nem podemos prever com antecedência qual lócus gênico vai sofrer mutação. Dizemos então que as mutações são espontâneas. Isso não quer dizer que elas ocorrem sem motivos; apenas o fator que as induziu, seja ele celular ou ambiental, não é conhecido e nem controlado por nós.

Devido ao fato de a maioria dos organismos estarem bem adaptados ao meio em que vivem, a maior parte das mutações é prejudicial, “desadaptando” o indivíduo. No entanto, elas constituem um importantíssimo fator de evolução, pois representam a fonte primária de variabilidade, sendo que certos genótipos “desfavoráveis” podem se tornar “adaptados” face a uma mudança do ambiente.

Há dois tipos de mutações: as mutações gênicas, que consistem na modificação de apenas um gene, e as mutações cromossômicas , que envolvem uma alteração na estrutura ou número de cromossomos. A mutação gênica muitas vezes implica na mudança de uma ou mais bases nitrogenadas ao longo da molécula de DNA (Junior e Sasson – 3ª. Edição).

2.2 - A Seleção e a Adaptação Um dos principais fatores de evolução é a variabilidade genética. A variabilidade é

o substrato sobre o qual a seleção age, “escolhendo os genótipos mais adaptados a um certo ambiente. Se o ambiente for estável, a cada geração ocorre uma fixação cada vez maior dos fenótipos adaptados. Veja que o significado da palavra “adaptação”, aqui, é totalmente diferente da adaptação individual, que não é transmitida.

Exemplos de seleção natural podem ser enumerados: 1) O melanismo industrial – mostra que em determinados ambientes,

mariposas claras podem se tornar mais visíveis a predadores (pássaros, por exemplo) do que as escuras (por exemplo, em florestas com predominância de troncos mais escuros ou claros);

2) A sisclemia (anemia falciforme) – produção de moléculas de hemoglobina com um aminoácido trocado; os glóbulos vermelhos apresentam-se deformados e são pouco eficientes no transporte de oxigênio. De modo geral, o gene para anemia falciforme é mantido em baixas taxas nas populações pelo fato de um homozigoto raramente atingir a fase adulta de reprodução (normalmente morrem até os cinco anos de idade), não sendo o gene transmitido às gerações seguintes. Porém, em determinadas populações da África Oriental, Grécia e Índia, a freqüência de heterozigotos revelou-se extremamente alta, atingindo às vezes 40 %. Verificou-se que nestas regiões havia malária em grande escala. Foi provado experimentalmente por Allison, que injetou o Plasmodium da malária em heterozigotos para a sisclemia, que estes não contraiam a malária, representando assim, para os indivíduos que possuem estes genes em regiões com malária, uma vantagem adaptativa sobre não possuí-lo, ou seja, naquele ambiente a seleção natural favorece o gene S quando em heterozigose, apesar de continuar eliminá-lo quando aparece em homozigose;

3) Seleção artificial;



4) Resistência aos inseticidas; 5) Camuflagem, coloração de advertência e mimetismo; 6) Seleção sexual; 7) A Seleção para resistência a doses crescentes de antibióticos – este caso,

será descrito com pormenores, pois mostra bem claramente o mecanismo de aplicação do processo dos algoritmos genéticos, objetivo deste texto. Algumas experiências interessantes, demonstraram que é possível, por meio de seleções sucessivas, obter populações de bactérias resistentes a doses cada vez maiores de antibióticos. Uma cultura de bactérias E. Coli é submetida a uma baixa dosagem de cloranfenicol. A maior parte das bactérias não se desenvolve, sobrando apenas uma ou outra colônia resistente. Essas são postas a crescer, formando várias colônias, e são em seguida colocadas em contato com uma dose de cloranfenicol um pouco maior: novamente morre a maioria das colônias, sobrando algumas. A operação é repetida, usando-se dosagens cada vez maiores da droga e selecionando-se os indivíduos resistentes. Em outros termos, estamos efetuando uma seleção dirigida, no sentido de obtermos populações

resistentes a dosagens cada vez maiores do antibiótico. Dessa forma, podem-se obter populações resistentes a dosagens centenas de vezes maiores do que a inicial. Repare que se as altas dosagens tivessem sido aplicadas às populações iniciais, todos os indivíduos teriam morrido. A resistência ao antibiótico cloranfenicol é um caso de herança quantitativa (poligenes). Podemos para entender o raciocínio supor que a resistência depende de 5 genes (A,B,C,D,E) de efeito aditivo; o indivíduo sensível seria abcde; aquele com um dos genes aditivos (Abcde, aBcde, abCde, abcDe ou abcdE) seria resistente a uma pequena dosagem; o indivíduo com dois genes, a uma dosagem um pouco maior e assim por diante. No início da experiência, as poucas bactérias resistentes tinham adquirido por

mutação apenas um dos genes aditivos, ficando por exemplo Abcde. Toda a descendência dessas bactérias adquire assim o gene A; em algumas delas, porém, um dos 4 outros genes muta (não se esqueça que há milhões de

indivíduos produzidos, e a probabilidade de mutação em alguns deles fica maior; mutação é “engano” acidental na duplicação do DNA). Os descendentes dessas bactérias têm portanto dois genes aditivos, por exemplo ABcde, resistindo portanto a dosagens maiores; algumas delas, por mutação novamente, adquirem um terceiro gene, por exemplo ABCde, e assim sucessivamente. As implicações de experiências deste tipo são muitas e bastante alarmantes; com equipamento de laboratório relativamente simples, por seleção, poder-se-ia obter variedades de bactérias resistentes a vários antibióticos ao mesmo tempo. Caso, por descuido, essas bactérias “escapassem” do laboratório e contaminassem as águas de uma cidade, resultados imprevisíveis poderiam advir. Além do que, microorganismos assim selecionados poderiam ser usados como armas biológicas.

Conforme observado acima, este exemplo (Junior e Sasson – 3ª. Edição) espelha de

maneira muito fiel a metodologia da aplicação da teoria de algoritmos genéticos, foco deste trabalho e que começará a ser discutida agora. Portanto, vale a pena não perdê-lo de vista no decorrer deste trabalho.



2.3 - Fundamentos Biológicos

2.3.1 - Cromossomos

Todos os organismos vivos são constituídos de células. Em cada célula há um mesmo conjunto de cromossomos. Cromossomos são cadeias de DNA e servem como modelo para todo o organismo. O cromossomo é constituído de genes, que são blocos de DNA. Cada gene codifica uma determinada proteína. Basicamente, podemos dizer que cada gene codifica uma determinada feição, por exemplo cor dos olhos. Conjunto de genes relacionados com determinada feição (por exemplo, olhos azuis, castanhos) são chamados alelos. Cada gene tem sua posição própria dentro do cromossomo. Essa posição é chamada local.

Um conjunto completo de material genético (todos os cromossomos) é chamado genoma. Um conjunto particular de genes de um genoma é chamado genótipo. O genótipo mais o desenvolvimento que ocorre após o nascimento é a base para o fenótipo do organismo, que são suas características físicas e mentais, tais como: cor dos olhos, inteligência, etc.

2.3.2 - Reprodução

Durante a reprodução, ocorre inicialmente recombinação (ou cruzamento). Os genes dos pais são combinados para formar um novo cromossomo. Essa descendência recém criada pode sofrer uma mutação. Mutação significa que os elementos do DNA são ligeiramente modificados. Essas mudanças são causadas principalmente por erros na cópia dos genes dos pais.

A adaptação de um organismo é medida pelo sucesso do organismo na vida (sobrevivência).



3 – RETROANÁLISE DE ESTRUTURAS Nosso enfoque agora, com base na Dissertação de Mestrado de Adriane Costa

(Escola Politécnica da USP – 2000) é a abordagem do conceito da retroanálise de estruturas.

O objetivo da retroanálise é através da interpretação de dados e resultados obtidos em campo, medir a distância entre o projeto desenvolvido e a execução monitorada da construção .

Procura identificar o modelo matemático e os parâmetros deste modelo que melhor representem a estrutura, ou seja, queremos que este modelo produza resultados os mais próximos possíveis dos valores observados.

De acordo com o Professor Décio de Zagotis (Costa,2000) o ideal é que o modelo a ser desenvolvido baseado na geometria e características reológicas do material representasse o comportamento da estrutura em qualquer situação de solicitação. Representa assim, tarefa árdua a criação de modelo tão completo. Podemos, no entanto, proceder a simplificações de características que não sejam vitais ao comportamento em estudo, simplificando desta forma, a elaboração do modelo pretendido.

Definir um modelo significa o estabelecimento das relações entre as solicitações que o meio aplica ao sistema estrutural definido com suas propriedades (parâmetros) e as respostas do comportamento desse sistema sob tais solicitações.

Na análise de sistemas, em geral, são conhecidas suas propriedades (teóricas) e as solicitações, as quais aplicadas ao modelo matemático escolhido, nos permitem a obtenção das respostas teóricas (resultados).

Em retroanálise, são conhecidos os resultados (práticos) de medições, e portanto, esses serão utilizados para se determinar as propriedades (parâmetros) do sistema ou as solicitações.

A metodologia de identificação de sistemas pode ser aplicada a dois tipos de problemas: um associado a identificação do modelo, ou seja, a definição das relações entre as solicitações e as respostas , e outro relacionado com a identificação dos parâmetros dessas relações.

Em engenharia de estruturas, os modelos são (normalmente) conhecidos. Assim, o problema de identificação dos sistemas se reduz a um problema de identificação dos parâmetros do modelo, que melhor adaptem as medidas realizadas às previsões desse modelo (respostas teóricas), sejam estes parâmetros relacionados com a geometria da estrutura, com as propriedades dos materiais envolvidos, com as leis que regem o modelo ou com a caracterização das solicitações (ações) exercidas sobre eles.

O processo de identificação de parâmetros corresponde a um problema matemático, usualmente, um problema de minimização de uma dada função, cuja solução seja o valor desses parâmetros, os quais tornam mínima a diferença entre os valores medidos e calculados.

Podemos dividir o processo de retroanálise em duas fases. A primeira, consiste na escolha de um critério de identificação que define a função a ser minimizada, denominada função objetivo, que mede a distância entre valores medidos e valores calculados. A segunda consiste na minimização dessa função objetivo, ou seja, na resolução numérica do problema de minimização.

Segundo (Costa-2000), a formulação da retroanálise pode ser estabelecida por duas abordagens distintas: abordagem inversa e abordagem direta.

A abordagem inversa é baseada na formulação oposta à adotada em análise estrutural. As equações que governam o modelo são rescritas de modo que alguns sinais de entrada sejam desconhecidos (tornem-se os parâmetros a serem identificados), e alguns dados de saída (medidas experimentais realizadas) sejam os dados do problema.



Este procedimento, pede uma relação explícita (modelo) entre os parâmetros a identificar e os resultados medidos (grandezas observadas). Além disso, é necessário que o número de medidas disponíveis seja maior ou igual ao número de parâmetros desconhecidos, obtendo-se um sistema de equações cuja solução obtida é baseada em um método de minimização adequado; ou seja, tenho um modelo ao inverso onde os resultados experimentais, conduzem aos dados de entrada.

Na abordagem direta , toma-se o modelo e calculam-se as grandezas correspondentes às observadas (resultados experimentais) em função dos parâmetros a estimar, p, estabelecendo-se a função objetivo, fobj, , função dos valores medidos, y*, e dos valores calculados pelo modelo, y(p),

fobj = f (y*,y(p))

Os parâmetros podem ser obtidos por uma técnica de minimização baseada em

um processo iterativo, partindo de uma estimativa inicial, po. A convergência do processo iterativo é testada em termos do mínimo da função objetivo.

Há, ainda, outro procedimento de análise inversa baseado em tentativa e erro, que constitui uma seqüência de cálculos em que são atribuídos valores a parâmetros a identificar até alcançar um ajuste satisfatório entre os resultados numéricos e experimentais. No desenvolvimento deste trabalho, foi utilizado um misto entre a abordagem direta, abordagem indireta e o processo de tentativa e erro, como os leitores irão reparar.



4 - ALGORITMOS GENÉTICOS 4.1 - Introdução 4.1.1 - Algoritmos

Um algoritmo é um conjunto de instruções e passos a serem seguidos com o objetivo de se executar uma tarefa específica ou resolver um determinado problema de interesse.

Em nosso cotidiano, empregamos algoritmos em uma infinidade de ocasiões para resolver diversos problemas como por exemplo, para funcionar uma lavadora (instruções na tampa), para tocar músicas (partituras), para fazer um bolo (receita) .

De um modo mais formal, um algoritmo é uma seqüência finita de instruções realizáveis, não repetidas, cuja execução conduz a resolução do problema.

Outra definição possível é a seguinte: um algoritmo representa uma metodologia para resolver um problema mediante uma série de fases e etapas precisas, definidas e finitas.

Um algoritmo nos dá a solução genérica à um problema e poderemos empregá-lo todas as vezes que este mesmo problema se apresente: por exemplo o algoritmo da divisão é genérico e independente dos números que tenhamos que dividir.

Uma vez desenvolvido um algoritmo para realizar uma tarefa, para que esta seja realizada, não será necessário que se entendam os princípios aos quais se baseia este algoritmo, ou seja, o processo se reduz a seguir as instruções determinadas pelo algoritmo em utilização. O conhecimento requerido para executar a tarefa está implícito no algoritmo.

As máquinas algorítmicas são aquelas capazes de seguir algoritmos e entre elas estão os computadores. No ambiente dos computadores, os algoritmos são os programas.

Os programas, são algoritmos codificados com uma linguagem “entendida” pela máquina.

Deste modo, se quisermos a execução de uma tarefa por um computador, em primeiro lugar deveremos desenvolver um algoritmo para representá-la em sua linguagem de programação. Em outras palavras, deveremos transformar o algoritmo conceitual em um conjunto de instruções “entendidas” pelo computador.

Graças à capacidade para comunicar nossos conhecimentos mediante desenvolvimento de algoritmos, podemos construir máquinas cujo comportamento simula inteligência. O nível desta “inteligência” presente na máquina, estará limitado pela “inteligência” que possamos repassar à ela por meio dos algoritmos, pois estas só podem executar tarefas algorítmicas. Se for possível desenvolver algoritmos para dirigir a realização de uma tarefa, poderemos construir máquinas que a levem a cabo sempre que a tecnologia disponível permita. Se não encontrarmos um algoritmo, é possível que a execução da tarefa não possa ser realizada pela máquina. Um computador é uma máquina destinada a processar informações, entendendo-se por processo, as sucessivas fases, manipulações e transformações que sofre a informação para resolver um determinado problema, seguindo as instruções de um programa definido, ou seja, baseando-se num algoritmo.



4.1.2 – Otimização

Otimização pode ser definida como um conjunto de procedimentos através dos quais busca-se a direção que maximize ou minimize uma determinada função de interesse, denominada função objetivo. A diferença de como proceder a esta busca, é a característica que individualiza os diferentes métodos de otimização (Olivieri,2004).

De acordo com a natureza e/ou as restrições do problema, podemos dividir os processos de otimização em programação linear e programação não linear. A programação linear trata de problemas onde a função objetivo e as restrições impostas ao problema em estudo, são funções ou inequações lineares das variáveis de projeto. A programação não linear trata dos problemas, onde a função objetivo ou alguma(s) das restrições do problema, são funções não lineares das variáveis de projeto. Esta pode ser dividida em métodos determinísticos e os não determinísticos (Olivieri,2004)..

Os métodos determinísticos, chamados clássicos, em geral, são os que utilizam o cálculo de derivadas de primeira ordem ou aproximações destas, ou também, o cálculo de derivadas parciais de segunda ordem. A procura da solução atual, utiliza como ponto de partida, a solução anterior e a próxima solução, utilizará a solução atual:

xk+1=xk+

44 ûK

onde, xk+1 representa a próxima solução, xk representa a solução atual,

44 representa o

passo da iteração e ûK representa a direção do espaço de busca.

Os métodos não-determinísticos, também denominados de Computação Natural, são técnicas que se baseiam de forma simplificada no conceito dos mecanismos e processos presentes na natureza. Pode se destacar dentre essas técnicas a Inteligência Computacional e suas sub-áreas. Uma das principais ramificações da Inteligência Computacional é a Computação Evolutiva, surgida ao final da década de 70, porém tendo começado a ganhar força, somente dez anos após seu surgimento em decorrência dos limitados recursos computacionais da época. São técnicas estocásticas de busca e aprendizagem, inspiradas nos mecanismos da evolução natural das espécies. Compartilham de um conceito em comum, que é a evolução de cada indivíduo através do processo de seleção, reprodução e mutação. Inclusos neste conceito estão os Algoritmos Genéticos, que são técnicas de busca por um ponto ótimo através da utilização de um conjunto de soluções possíveis manipuladas pela simulação dos mecanismos naturais de evolução. As técnicas de computação evolucionária operam diferentemente das técnicas heurísticas, sobre um grupo de possíveis soluções paralelamente. Assim, elas podem fazer a busca em diferentes áreas do espaço de solução , utilizando-se de um número de membros apropriado para que a busca ocorra em diversas regiões.



Algoritmos Genéticos são muito eficientes para busca de soluções ótimas, ou aproximadamente ótimas em uma grande variedade de problemas, por não imporem muitas das condições necessárias aos métodos tradicionais de pesquisa. Trabalham ao mesmo tempo com uma “população” (grupo total de possíveis soluções) todas com seus parâmetros codificados para facilitar a mescla entre as possíveis soluções, utilizando informações de custo e recompensa para avaliar as soluções geradas ao invés de derivadas ou outro conhecimento paralelo. São baseados tanto em regras probabilísticas como em não-probabilísticas, além de serem considerados uma técnica de gerar-e-testar muito elegante por pertencerem a uma família de modelos computacionais inspirados na teoria da evolução de Darwin. Falando simplesmente, os problemas são resolvidos através de um processo evolutivo que resulta na melhor (mais adequada) solução (a sobrevivente) - ou em outras palavras, a solução é desenvolvida.

Estes algoritmos modelam uma solução para um problema específico em uma estrutura de dados como a de um cromossomo e aplicam operadores que re-combinam estas estruturas preservando informações críticas. Uma implementação do Algoritmo Genético começa com uma população (geralmente randômica) de cromossomos. Estas estruturas são então avaliadas para gerar oportunidades reprodutivas de forma que os cromossomos que representarem uma solução "melhor" tenham maiores chances de se reproduzirem do que os que representam uma solução "pior". A definição de uma solução melhor ou pior é tipicamente relacionada à população atual. Esta particular descrição do Algoritmo Genético é intencionalmente abstrata por que de certa forma, o termo Algoritmo Genético tem dois significados. Numa interpretação formal, o Algoritmo Genético refere-se ao modelo introduzido e estudado por John Holland (1975) e seus estudantes (e.g., DeJong, 1975). Ainda hoje a maior parte da teoria existente sobre Algoritmo Genético aplica-se totalmente ou primariamente ao modelo introduzido por Holland, assim como variações do que é referido em seu “paper” como Algoritmo Genético canônico. Avanços recentes na teoria da modelagem do Algoritmo Genético também aplicam-se primariamente ao Algoritmo Genético

Canônico . Numa utilização mais abrangente do termo, um Algoritmo Genético é qualquer modelo baseado em população que utiliza operadores de seleção e recombinação para gerar novos pontos amostrais em um espaço de busca. Muitos tipos de Algoritmos Genéticos foram introduzidos por pesquisadores. A maior parte deles tem interesse no Algoritmo Genético como ferramenta de otimização.



4.2 – Definições

Variáveis de projeto : são os parâmetros que se alteram durante o processo. Podem ser classificadas em dois tipos : as variáveis de dimensionamento (contínuas ou discretas) e as variáveis de decisão. Como exemplo de variáveis de dimensionamento, temos as dimensões das seções transversais. Como exemplo das variáveis de decisão, temos o número de apoios de uma estrutura (Olivieri,2004).

Função objetivo: é a função a ser otimizada, ou seja, maximizada ou minimizada. É o critério de se avaliar se uma solução encontrada é melhor do que outra. Se quisermos otimizar mais de uma variável, essa será considerada multidimensional, ao passo que se tivermos envolvida somente uma incógnita, será considerada unidimensional (Olivieri,2004).

Restrições de projeto : compreendem as inequações determinantes das situações limites do projeto. Podem ser classificadas em dois tipos : laterais ou de comportamento.Restrições laterais, limitam valores que podem ser assumidos por variáveis de projeto. As restrições de comportamento, definem as condições limites, por exemplo, de tensões ou deformações (Olivieri,2004)..

Espaço de busca: é o conjunto das possíveis ou viáveis soluções do problema a ser otimizado, sendo delimitado pelas funções de restrições (Olivieri,2004)..

Ponto ótimo : é o ponto contido no conjunto de todas as soluções (espaço de busca), caracterizado pelo vetor das variáveis de projeto que minimiza ou maximiza a função objetivo. No caso do AG, este vetor é denominado cromossomo.

Valor ótimo: é o valor que atinge a função objetivo no ponto ótimo (Olivieri,2004)..

Solução ótima: corresponde ao par (ponto ótimo, valor ótimo). Pode ser classificada em quatro tipos : local – quando o valor ótimo é local; global- quando o valor ótimo é global na região viável ; restringida – quando atende a todas às restrições impostas; não restringida – quando deixa de atender a pelo menos uma das restrições (Olivieri,2004)..



4.3 – Histórico

Algoritmos Genéticos são parte da Computação Evolutiva, que é uma área em crescimento da Inteligência Artificial. A Computação Evolucionária foi introduzida em 1960 por I. Rechenberg com seu trabalho "Estratégias de Evolução" (Evolutionsstrategie, no original). Sua idéia foi então desenvolvida por outros pesquisadores. Algoritmos Genéticos (AG) foram inventados por John Holland e desenvolvidos por ele, seus alunos e colegas. Isso resultou no livro de Holland "Adaption in Natural and Artificial Systems" publicado em 1975.

Em 1992 John Koza usou algoritmos genéticos para desenvolver programas para realizar certas tarefas. Ele chamou seu método de "Programação Genética" (PG). Foram usados programas em LISP porque programas nessa linguagem podem ser expressos na forma de árvores, que são objetos utilizados pelos algoritmos genéticos.

A evolução pode ser vista como um processo de busca por soluções melhores a cada geração para um determinado problema.

Um algoritmo evolutivo pode ser definido como um procedimento iterativo de busca (otimização) inspirado nos mecanismos evolutivos biológicos, ou seja, são modelos simplificados de processos biológicos.

Os principais algoritmos evolutivos são :

Algoritmos Genéticos (AG);

Estratégias Evolutivas (EE);

Programação Evolutiva (PE);

Programação Genética (PG);

Sistemas Classificadores (SC).

As principais diferenças entre eles são o tipo de representação (qual codificação adotada na representação das variáveis), os operadores genéticos (cruzamento – “crossover” e/ou mutação) e os operadores de seleção (determinísticos ou probabilísticos).

Na verdade, a aproximação entre eles está cada vez menor, de modo a torná-los um algoritmo evolutivo com características específicas ao invés de dizer que está trabalhando com um algoritmo definido isoladamente.

Em resumo, quadro adaptado de (Back, 1994):



AG EE PE PG

Representação Cadeias binárias Vetores reais Vetores reais Árvores

Auto-adaptação

Nenhuma Desvio padrão e

Co-variâncias

Desvio padrão e

Coeficiente de co-

Relação

Nenhuma

A avaliação é Valor escalonado da função objetivo

Valor da função objetivo

Valor (escalonado) da função objetivo

Valor escalonado da função objetivo

Mutação Operador secundário

Principal operador

Único operador Um dos operadores

Recombinação Principal operador Diferentes variações, importante para a auto-adaptação

Nenhuma Um dos operadores

Seleção Probabilística Determinística Probabilística Probabilística



4.4 - Espaço de Soluções

Se estamos resolvendo um problema, geralmente procuramos por alguma solução que seja melhor que outras. O espaço de todas as soluções possíveis (que é um conjunto entre as quais a solução procurada está) é chamado Espaço das Soluções (ou Espaço de Estados). Cada ponto desse estado representa uma solução possível. Cada uma das possíveis soluções pode ser "marcada" pelo seu valor (ou adequação) para o problema. Com os Algoritmos Genéticos nós procuramos pela melhor solução dentre um número de possíveis soluções - representadas por pontos no Espaço de Soluções.

Procurar por uma solução se resume então em procurar por algum valor extremo (um mínimo ou máximo) no espaço de soluções. Às vezes o espaço de soluções pode estar bem definido, mas usualmente nós sabemos apenas poucos pontos do espaço de soluções. No uso dos Algoritmos Genéticos, o processo de encontrar soluções gera outros pontos (possíveis soluções) à medida que a evolução acontece. O problema é que cada pesquisa pode ser muito complicada. Por exemplo, pode não se saber por onde procurar uma solução ou por onde se começar. Há muitos métodos que podem ser usados para encontrar uma solução adequada, mas esses métodos não fornecerão necessariamente a melhor solução. Alguns desses métodos são: subindo a montanha, pesquisa de tabelas, enrijecimento simulado e os Algoritmos Genéticos. As soluções encontradas por esses métodos são freqüentemente consideradas boas soluções porque nem sempre é possível provar qual é a ótima.

A solução de um problema pode freqüentemente ser expressa como a procura pelo extremo de uma função definida em um espaço de soluções. Iremos resolver exatamente esse problema aqui.

Dada uma função, o AG tentará encontrar o mínimo dessa função. Para outros problemas, nós apenas temos que definir o espaço de soluções e a função de adequação (para a qual nós teremos que achar um extremo).



4.5 - Descrição Básica

Em seu trabalho (Tutorial sobre Algoritmos Genéticos) Darrel Whitley, descreveu os Algoritmos Genéticos como algoritmos de otimização global, espelhados nos processos de seleção natural e da genética, que utilizam uma estratégia de busca paralela e programada, porém aleatória, voltada para a direção dos pontos de “alta aptidão”, ou seja, pontos nos quais o problema a ser maximizado (ou minimizado) apresentam valores altos (ou baixos). Utilizam-se de informações anteriores para gerar novos pontos (possíveis soluções) de melhor desempenho, sendo portanto, métodos iterativos, onde cada iteração é designada de geração.

O primeiro passo na implementação do Algoritmo Genético é gerar a população inicial (grupo de possíveis soluções) . No Algoritmo Genético Canônico, cada membro desta população é um cromossomo codificado de comprimento L (a alternativa do tipo de codificação é definida de caso para caso dependendo da natureza do problema). Na maioria dos casos a população inicial é gerada randomicamente, utilizando-se os geradores randômicos dos microprocessadores. Após ter sido criada a população inicial, cada membro é avaliado e recebe um valor de aptidão. A função de avaliação e a de aptidão devem ser bem distinguidas. A função de avaliação ou função objetivo é uma medida de performance com respeito a um conjunto particular de parâmetros. A função de aptidão transforma esta medida em alocação de oportunidades reprodutivas. A avaliação de um “string” representando um conjunto particular de parâmetros (cromossomo) é independente da avaliação de qualquer outra “string”. Já a aptidão é sempre definida de acordo com outros membros da atual população, ou seja, cria-se um “ranking” onde todos os cromossomos são classificados de acordo com sua avaliação individual de forma crescente ou decrescente. No Algoritmo Genético Canônico, aptidão pode ser definida como fi/f onde fi é a avaliação associada à i e f é a avaliação média de todas “strings” na população. A aptidão pode também ser associada à classificação de uma “string” na população ou outras medidas. É útil olhar para a execução do Algoritmo Genético como um processo de duas fases. Inicia-se com a população atual, seleção é feita na população para criar uma população intermediária. Então a população intermediária sofre mutação e é recombinada para criar a próxima população. O processo de partir da população atual e chegar à próxima população constitui uma geração na execução do Algoritmo Genético. Vamos considerar primeiro a construção da população intermediária a partir da população atual. Após calcular fi/f para todas as “strings” da população atual é feita a seleção. No Algoritmo Genético Canônico a probabilidade que o cromossomo seja duplicado e posicionado na população intermediária é proporcional a aptidão. Existem diversas maneiras para efetuar o processo de seleção. Após o término da construção da população intermediária a recombinação pode ocorrer. Isto pode ser visto como a criação da próxima população. É aplicado “crossover” à “strings” pareadas randomicamente com probabilidade denotada pc (A população deveria estar devidamente embaralhada pelo processo randômico de seleção). Escolha um par de “strings” e, com probabilidade pc recombine estas “strings” para formar duas novas que serão inseridas na próxima população. Considere a seguinte sequência binária: [1101001100101101]. Esta “string” (cromossomo) representaria uma possível solução para algum problema de otimização de parâmetros. Novos pontos serão gerados recombinando duas “strings”. Considere a “string” [1101001100101101] e outra [yxyyxyxxyyyxyxxy] (x=0, y=1). Utilizando nesse exemplo um único ponto de recombinação o “1- point crossover” ocorre como segue:



Pai 1 : [11010 . 01100101101] Pai 2 : [yxyyx . yxxyyyxyxxy]

Trocando os fragmentos entre ambos produziríamos as seguintes crias (filhos):

Filho 1 : [11010yxxyyyxyxxy] Filho 2 : [yxyyx01100101101]

Após a recombinação podemos aplicar um operador de mutação. Para cada bit na população mutamos com uma baixa probabilidade pm. Tipicamente a probabilidade de mutação é aplicada com probabilidade menor que 1%. Por exemplo, vamos supor que para o filho 1, tivesse sido gerado aleatoriamente a posição do 5º, gene para sofrer mutação e que gerado randomicamente essa probabilidade de mutação, essa tenha sido superior ao parâmetro pm. Então, o novo indivíduo gerado (nova solução do nosso problema) será:

Filho 1 : [1101 0 yxxyyyxyxxy] - antes da mutação Filho 1 : [1101 1 yxxyyyxyxxy] - após a mutação

Após o processo de seleção, recombinação e mutação estarem completos, a próxima população pode ser avaliada. O processo de seleção, recombinação e mutação constituem uma geração no processo do Algoritmo Genético.

Então, o algoritmo começa com um conjunto de soluções (representadas por cromossomos) chamados população. Soluções de uma população após o processo de seleção, recombinação e mutação estarem completos, são utilizadas para formar uma nova população. Isto é motivado pela esperança de que a nova população seja melhor do que a primeira. Soluções que são selecionadas para formar novas gerações de soluções são selecionadas de acordo com sua adequação - quanto melhores, mais chances de reprodução terão. Esse processo é repetido até que alguma condição imposta para o problema, seja satisfeita (por exemplo o número de populações ou o aperfeiçoamento da melhor solução).



4.5.1 - Esboço Básico do Algoritmo Genético (Obtiko,1998)

1. [Início] - Gere uma população aleatória de n cromossomos (possíveis soluções para o problema)

2. [Adequação] - Avalie a adequação f(x) de cada cromossomo x da população

3. [Nova população] - Crie uma nova população repetindo os passos seguintes até que a nova população esteja completa :

1. [Seleção] - Selecione de acordo com sua adequação (melhor adequação, mais chances de ser selecionado) dois cromossomos para serem os pais

2. [Cruzamento] - Com a probabilidade de cruzamento cruze os pais para formar novos indivíduos (filhos). Se não houver cruzamento os filhos, serão exatamente como os pais (mantem-se as soluções presentes);

3. [Mutação] - Com a probabilidade de mutação, altere os cromossomos dos filhos em posições aleatórias dentro do cromossomo (escolha aleatória de determinado gen).

4. [Aceitação] - Coloque a nova descendência na nova população

5. [Substitua] - Utilize a nova população gerada para a próxima rodada do algoritmo;

6. [Teste] - Se a condição final foi atingida, pare, e retorne à melhor solução da população atual

7. [Repita] - Vá para o passo 2

4.5.2 - Alguns comentários

Podemos perceber que a estrutura do Algoritmo Genético básico é bastante geral. Há muitos parâmetros e ajustes que podem ser implementados de forma diferente em variados problemas.

A primeira questão é como criar cromossomos e que tipo de codificação escolher. A próxima questão é: como selecionar os pais para o cruzamento? Isso pode ser feito de muitas formas, mas a idéia principal é selecionar os melhores pais (os melhores sobreviventes), na suposição que os melhores pais produzirão as melhores descendências.

Gerando as populações apenas de dois pais, pode ocorrer a perda dos melhores cromossomos da última população, pois o processo de seleção é aleatório. Portanto, o elitismo é usado com freqüência. Isto significa que pelo menos uma cópia sem alterações da melhor solução da geração é passada para a nova população, de forma que a melhor solução possa sobreviver às sucessivas gerações.



4.6 - OPERADORES DOS ALGORITMOS GENÉTICOS

Basicamente, a função dos operadores genéticos é transformar a população através de sucessivas gerações, na busca por uma solução satisfatória. São extremamente importantes, pois depende deles a diversificação e/ou a manutenção de características de adaptação adquiridas pelas gerações anteriores.

4.6.1 - A Codificação de um Cromossomo

A codificação dos cromossomos é a primeira questão a ser feita quando começamos a resolver um problema utilizando AG.

Cromossomos são a representação das soluções do problema em forma de cadeia de “strings”. Cada um dos “strings” constituintes desta cadeia, é denominada gene. Decodificar um cromossomo, significa dividi-lo em “partes menores - genes” com intuito de poderem ser manipuladas na combinação com “partes menores”de outras soluções na etapa de cruzamento ou serem ligeiramente modificadas na etapa de mutação.

Os Algoritmos Genéticos também resolvem problemas não-lineares. Isto normalmente significa que não é possível tratar cada parâmetro como uma variável independente que pode ser resolvida isolada das outras variáveis. Existem interações que devem ser consideradas para maximizar ou minimizar a geração de uma solução. Na comunidade do Algoritmo Genético, esta interação é geralmente referida como Epístase (epistasis). Geralmente a primeira coisa que assumimos é que as variáveis referentes aos parâmetros podem ser representadas como sequências binárias (bits “strings”). Isto significa que as variáveis são discretizadas em um intervalo correspondente a alguma potência de 2. Por exemplo, com 10 bits por parâmetro, podemos obter um intervalo com 1024 valores discretos. Se os parâmetros são realmente contínuos esta discretização não é um problema. Isto assumindo que a discretização oferece resolução suficiente para possibilitar que a saída seja tão precisa quanto desejado. Também assume-se que esta discretização seja representativa da função subjacente. Se um parâmetro só pode assumir um conjunto finito de valores então esta codificação torna-se mais difícil. Suponha que, por exemplo, existam precisamente 1200 valores discretos que podem ser atribuidos a uma variável Xi. Precisa-se então de pelo menos 11 bits para cobrir este intervalo e no entanto, isto codifica um total de 2048 valores. Os 818 padrões desnecessários podem resultar em uma não avaliação, uma avaliação padrão de pior caso, ou algumas possibilidades podem ser representadas duas vezes para que todas as sequências binárias resultem em um conjunto viável de valores (Pinto,2000). A solução deste tipo de problemas de codificação é geralmente considerada como parte do projeto da função de avaliação. Para cada natureza de problema a ser enfrentado, existe um tipo mais adequado de codificação. Um cromossomo deve de conter a informação da solução que ele representa. Um cromossomo codificado pode então se parecer assim:

Cromossomo 1 1101100100110110

Cromossomo 2 1101111000011110

Cada bit da série representa alguma característica da solução.



4.6.2 - Tipos de Codificação

Qualquer numeração pode representar uma quantidade em função de seus algarismos. Por exemplo, 975

O número 975 representado em decimal deve ser entendido por: 900+070+005, ou seja centena, dezena, unidade.

No caso da numeração decimal, temos todos os números em função da base 10 (quantidade de algarismos):

975 = 9 x 10^2 + 7 x 10^1 + 5 x 10^0

4.6.2.1 - Codificação Binária

A forma mais tradicional de codificação das variáveis de um problema, é a codificação binária. Nela, o valor (em módulo) de cada variável é decomposto em um vetor formado por zero e um. Cada zero e um dentro deste vetor, representa um gene do cromossomo formado, gene este onde os operadores do Algoritmo Genético vão atuar na busca por novas soluções.

O número 1111001111 na base 2 (binário) é igual ao número 975 na base 10 (decimal).

Para transformar o decimal 975 na sua forma binária, deveremos fatorá-lo por 2, e o resultado estará no resto das sucessivas divisões tomadas de baixo para cima, ou seja:

posição 975 RESTO 0 487.5 488 487 1 1 1 243.5 244 243 1 2 2 121.5 122 121 1 4 3 60.5 61 60 1 8 4 30 30 30 0 0 5 15 15 15 0 0 6 7.5 8 7 1 64 7 3.5 4 3 1 128 8 1.5 2 1 1 256 9 0.5 1 0 1 512

10 0 0 0 0 0

[975] 10 = [01111001111] 2

Sendo o problema com n variáveis, ou seja, n-dimensional, o cromossomo (vetor de zeros e uns) será montado alocando-se lado a lado a seqüência de genes gerados pela decodificação de cada variável independente.

Por exemplo, se o problema apresentar 3 variáveis V1, V2 e V3 , cujos valores reais sejam respectivamente 2000, 200 e 50 teremos:



V1 = 2000 > [11111010000]

V2 = 200 > [00011001000]

V3 = 50 > [00000110010]

Cromossomo gerado > [111110100000001100100000000110010 ]

4.6.2.2 - Codificação por Ponto Flutuante

A codificação binária, apresenta algumas desvantagens quando aplicada a problemas de alta precisão numérica. Nesta codificação cada cromossomo é representado por um vetor de números reais, cujo tamanho será dado pelos extremos das variáveis do problema. Por exemplo:

V1 = 22,33 0>V1>100 > [02233]

V2 = 47,78 0>V2>1000 > [004778]

V3 = 13,19 0>V3>10000 > [0001319]

Cromossomo gerado > [022330047780001319 ]

A codificação direta dos valores pode ser usada em problemas em que são usados valores mais complicados tais como números reais. Usar codificação binária para esse tipo de problema seria muito difícil.

4.6.2.3 - Codificação de Valores

Na Codificação de Valores, cada cromossomo é uma seqüência de alguns valores. Esses valores podem ser qualquer coisa relacionada com o problema, tais como: números reais, caracteres ou qualquer outro objeto.

Cromossomo A 1.2324 5.3243 0.4556 2.3293 2.4545

Cromossomo B ABDJEIFJDHDIERJFDLDFLFEGT

Cromossomo C (atrás), (atrás), (direita), (frente), (esquerda)

A Codificação de Valores é uma boa escolha para alguns problemas especiais. Entretanto, para essa codificação, é freqüentemente necessário desenvolver um método de cruzamento e mutação específico para o problema.



4.6.2.4 - Codificação por Permutação

É utilizada em problemas de ordenação. Nesse tipo de codificação, todo cromossomo é um vetor de números que representa uma seqüência. Por exemplo:

Cromossomo A > [453567]

Cromossomo B > [985341]

Para alguns tipos de cruzamentos e mutações, são necessárias correções para que os cromossomos fiquem consistentes (isto é contenham seqüências reais) para alguns problemas.

4.6.2.5 - Codificação em Árvore

Aqui, cada cromossomo é uma árvore que representa funções ou comandos em linguagem de programação. É usada principalmente, para problemas que envolvem programas ou expressões.

Usada principalmente para desenvolver programas ou expressões, isto é, para Programação Genética. Na Codificação em Árvore cada cromossomo é uma árvore de alguns objetos, tais como funções ou comandos de uma linguagem de programação. Por exemplo:

Cromossomo A Cromossomo B

( + x ( / 5 y ) ) ( do_until step wall )

A Codificação em Árvore é útil para desenvolver programas ou qualquer outra estrutura que pode ser codificada em árvores. A programação na linguagem LISP é frequentemente utilizada para este propósito uma vez que os programas em LISP são diretamente representados na forma de árvores e podem ser facilmente processados como uma árvore, de forma que o cruzamento e a mutação podem ser realizados com relativa facilidade.



4.6.3 - A População inicial

A população inicial de indivíduos que serão codificados e transformados em cromossomos, poderá ser gerada por diversos processos, processos esses na maioria das vezes, randômicos.

A melhor população gerada para a busca da solução otimizada de um problema, é formada uniformemente de modo a representar todo o espaço de busca da solução ótima. Assim, estaremos evitando uma convergência do AG para um ponto de ótimo local. A população inicial será mais representativa, quanto maior for sua diversidade populacional, o que nos mostrará o espalhamento da população no domínio de busca, pois quanto maior for a distância entre os cromossomos, melhor será a divisão do domínio de busca, portanto, aumentando-se a probabilidade de algum cromossomo estar próximo da solução do problema.

Para gerarmos uma população que seja mais representativa, poderemos adotar alguns procedimentos e critérios.

Poderemos, por exemplo, adotar algumas soluções pré-estabelecidas, com o intuito de melhorarmos a performance do AG.

Se uma população inicial pequena for gerada aleatoriamente, muito provavelmente, algumas regiões do espaço de busca não serão representadas. De acordo com (Silva, 2001), uma alternativa, é gerar a primeira metade da população aleatoriamente e a segunda metade a partir da primeira, invertendo-se os bits, pois assim, cada posição na cadeia de bits terá um representante na população com valores 0 e 1.

Pode-se também, adotar um maior número de indivíduos na população inicial.

Existe também, um procedimento denominado SEED. Consiste em se introduzir na população inicial, soluções geradas por outros processos de otimização, o que garante que a solução gerada pelo AG seja no mínimo, tão boa quanto a solução gerada por esses outros processos. (Silva, 2001)

4.6.3.1 - Avaliação da População

Há dois componentes do Algoritmo Genético que são dependentes do problema: a codificação do problema e a função de avaliação. Considere um problema de otimização de parâmetros em que devemos otimizar um conjunto de variáveis ou para maximizar um alvo (como lucro), ou para minimizar o custo ou uma medida de erro. A única maneira de sabermos se vamos na direção correta, é o valor retornado por uma função de avaliação (adequação) indicando quão bem uma combinação de parâmetros é adequada para a resolução do problema.

Além da questão da codificação, a função de avaliação é geralmente considerada como parte da descrição do problema, além de ser o elo de ligação entre o problema analisado e o AG. Por outro lado, o desenvolvimento de uma função de avaliação pode



muitas vezes envolver algum tipo de simulação. Em outros casos a avaliação pode se basear somente na performance representando uma avaliação parcial ou aproximada.

Representa a força de cada solução dentro da população. Além de medir a qualidade de uma solução gerada pelo processo, nos dá idéia geração a geração, de quão distante estamos da solução ótima, ambição de nossa pesquisa. A função de avaliação deve também ser relativamente rápida. Isto é tipicamente verdade para um método de otimização, particularmente para Algoritmos Genéticos. Como um AG trabalha com uma população de soluções potenciais, neste incorre o custo de se avaliar esta população. Além disto, a população é substituída (em parte ou totalmente) a cada geração. Os membros da população reproduzem e sua cria deve ser então avaliada. Se o algoritmo leva 1 hora para efetuar uma avaliação, ele levará mais de um ano para efetuar 10,000 avaliações. Isto seria aproximadamente 50 gerações para uma população de somente 200 sequências binárias. Uma das grandes vantagens do AG, é a aplicação do método sem utilização das derivadas da função objetivo, e portanto, utilizamos somente a função que deveremos otimizar podendo, assim, otimizar funções não diferenciáveis. O valor da adequação de cada indivíduo será dado pela função de adequação. Para problema de maximização, a função de adequação poderá ser:

Função de adequação=f(x)+C1

onde f(x)+ C1>0 para qualquer valor de f(x) com C1 para o caso de f(x) assumir valores negativos. Para problemas de minimização, a função de adequação poderá ser:

Função de adequação= C2-g(x) onde C2 > g(x) para qualquer valor de g(x) e C2 deverá ser o valor máximo de g(x). 4.6.4 - A Seleção

4.6.4.1 - Introdução

Definida a adequação de cada indivíduo dentro da população à qual pertence, serão agora selecionados de forma semi-randômica, os melhores indivíduos que participarão do cruzamento, enquanto os indivíduos de baixa adequação serão descartados ou penalizados. Esta seleção, será feita de acordo com um método probabilístico baseado na aptidão de cada indivíduo ser chamado uma ou mais vezes para cruzamento. Os valores da função de adequação nem sempre são adequados para serem utilizados como valores de aptidão. Por exemplo, a função objetivo pode assumir valores negativos (o Método da Roleta não funciona), pode fornecer valores muito próximos (torna a seleção aleatória), alguns valores podem ser muito elevados em relação ao resto da população (causa convergência prematura), etc. Para evitar estes problemas, poderemos mapear a função de adequação transformando seus valores em valores de aptidão.(Silva, 2001).



4.6.4.2- Mapeamento da Função de Adequação

4.6.4.2.1 - Ordenamento Linear (Baker, 1987) e (Whitle, 1989)

Nesse método, a aptidão é dada pela equação:

Fk=Min+(Max-Min)* (N-k)/(N-1),

em que k é o índice do cromossomo na população em ordem decrescente da função de adequação e N é o tamanho da população. Normalmente, é utilizado 1<=Max<=2 e Max+Min=2. Assim, a aptidão representa o número de filhos esperados do cromossomo e Max-Min representa a pressão de seleção (razão entre a maior aptidão e a aptidão média, Fmax/Fméd). (Silva, 2001)

4.6.4.2.2 - Ordenamento Exponencial (Michaeliwicz, 1994)

Nesse método, a aptidão é dada pela equação:

Fk=q . (1-q)^(k-1),

em que q�=�[0,1] e k é o índice do cromossomo na população em ordem decrescente da função objetivo. Alternativamente, a aptidão pode ser normalizada dividindo-se a equação anterior pelo fator 1-(1-q)^N. O ordenamento exponencial permite maior pressão de seleção que o ordenamento linear.

Há muitos métodos para selecionar o melhor cromossomo. Exemplos são: seleção por roleta, seleção Boltzman, seleção por campeonato, seleção por classificação, seleção por estado estacionário, e outras. (Silva, 2001)



4.6.4.3 - Seleção por Roleta

Os pais são selecionados de acordo com sua adequação. Quanto melhores são os cromossomos, mais chances de serem selecionados. Imagine uma roleta onde são colocados todos os cromossomos da população. O lado de cada secção da roleta é proporcional ao valor da adequação de cada cromossomo: quanto maior for esse valor, mais larga a secção. Uma bolinha é lançada na roleta e o cromossomo onde ela para é selecionado. Evidentemente os cromossomos com maiores valores de adequação serão selecionados mais vezes.

Este processo pode ser descrito pelo seguinte algoritmo:

1. [Soma] Calcule a soma dos valores de adequação de todos os cromossomos da população - soma S.

2. [Seleção] Gere um número aleatório no intervalo (0,S) - r.

3. [Repetição] Percorra toda a população e some a adequação de 0 - soma s. Quando a soma s for maior que r, pare e retorne o cromossomo atual.

É claro, o passo 1 somente é realizado uma vez para cada população.

4. 6.4.4 - Seleção por Classificação

O método anterior de seleção tem problemas quando há grandes diferenças entre os valores de adequação. Por exemplo, se a melhor adequação dos cromossomos é 90% da soma de todas as adequações, então haverá cromossomos com chances muito baixas de serem selecionados.

A Seleção por Classificação primeiro classifica a população e então atribui a cada cromossomo um valor de aptidão determinado pela sua classificação. O pior terá aptidão igual a 1, o segundo pior 2 etc. de forma que o melhor terá aptidão igual a N (número de cromossomos na população).

Assim todos os cromossomos tem uma chance de serem selecionados. Entretanto, este método pode resultar em menor convergência, porque os melhores cromossomos não se distinguem muito dos outros.

4.6.4.5 - Seleção por Estado Estacionário

Este não é um método particular de seleção de pais. A idéia principal deste tipo de seleção é que a nova população deve ter uma grande parte de cromossomos que sobreviverão para a próxima geração.



A seleção tipo Estado Estacionário dos AG funciona do seguinte modo: Em cada nova geração uns poucos bons cromossomos (com alta adequação) são selecionados para a criação da descendência. A seguir alguns maus cromossomos (com baixa adequação) são removidos e novos descendentes são colocados em seus lugares. Todo o resto da população sobrevive para as próximas gerações.

4.6.4.6 - Seleção por Torneio

Aqui, são sorteados aleatoriamente n cromossomos com mesma probabilidade, e o cromossomo com maior aptidão é levado para formar a população intermediária. O processo se repete até o preenchimento total da população intermediária.

A seleção por torneio, não precisa de escalonamento de aptidão e nem de ordenamento.

4.6.5 - Elitismo

Quando criamos uma nova população por cruzamento e mutação, nós temos uma grande chance de perder os melhores cromossomos.

Elitismo é o nome do método que primeiro copia os melhores cromossomos (ou os poucos melhores cromossomos) para a nova população. O resto da população é construída das formas descritas acima. Elitismo pode aumentar rapidamente o desempenho do AG, porque previne a perda da melhor solução já encontrada, aumentando a performance do AG.

4.6.6 - Cruzamento

Depois de decidirmos qual a codificação a ser utilizada e de ser formada o grupo de cromossomos que serão recombinados (após a seleção) podemos proceder a operação de cruzamento. O cruzamento opera em determinados genes dos cromossomos dos pais e cria novas descendências.

De acordo com uma probabilidade de ocorrer, o cruzamento consiste na troca de genes entre os cromossomos pais, formando-se dois novos cromossomos. Estes cromossomos, são denominados filhos.

Poderão ser trocados um ou mais genes, de acordo com o tipo de cruzamento escolhido.



4.6.6.1 - Tipos de Cruzamento

4.6.6.1.1 - Ponto de Cruzamento Único - um ponto de cruzamento é escolhido. A série binária desde o começo do cromossomo até o ponto de cruzamento é copiada do primeiro pai e o resto copiado do outro pai :

Cromossomo 1 11001 | 00100110110

Cromossomo 2 11011 | 11000011110

Descendência 1 11001 | 11000011110

Descendência 2 11011 | 00100110110

4.6.6.1.2 - Dois pontos de cruzamento - são definidos dois pontos de cruzamento. A série binária desde o início do cromossomo até o primeiro ponto de cruzamento é copiada do primeiro pai, a parte do primeiro ponto de cruzamento até o segundo ponto é copiada do outro pai e o resto do cromossomo é copiado do primeiro pai novamente:

Cromossomo 1 11011 | 00100 |110110

Cromossomo 2 11011 | 11000 | 011110

Descendência 1 11011 | 11000 |110110

Descendência 2 11011 | 00100 |011110

4.6.6.1.3 - Cruzamento Uniforme - os bits são copiados aleatoriamente do primeiro ou do segundo pai

Cromossomo 1 1001011 00100110110

Cromossomo 2 1101110 11000011110

Descendência 1 1001111 11000011110

Descendência 2 1001111 00100110110

4.6.6.1.4 - Cruzamento Aritmético - é realizada uma operação aritmética para obter a nova geração

Há outras maneiras de fazer cruzamento. Por exemplo, nós podemos escolher mais pontos de cruzamento. O cruzamento pode ser um pouco complicado e depender principalmente da codificação dos cromossomos. Cruzamentos específicos feitos para problemas específicos podem melhorar o desempenho dos algoritmos genéticos.



4.6.7 - Mutação

Geralmente quando a população inicial é gerada, os indivíduos que a constituem são bem diferentes da solução do problema. Portanto, é possível que os operadores de seleção e cruzamento sejam incapazes de diversificar a população e encontrar a solução ótima, fazendo com que o algoritmo convirja prematuramente e longe da solução almejada.

Na evolução dos organismos vivos, a mutação é um processo raro de ocorrer (com probabilidade aproximada de um indivíduo sofrer mutação em cada mil). Na maioria dos casos as mutações são letais, porém são responsáveis pela diversidade genética da espécie. O papel da mutação é evitar que a solução do problema convirja prematuramente para um ponto ótimo local, ao aumentar a varredura do espaço de soluções devido a uma maior diversidade populacional. Desse modo, a probabilidade de se chegar a qualquer ponto do espaço de busca nunca é zero além de contornar o problema de mínimos locais. (Silva, 2001)

Uma vez estabelecida a freqüência da mutação, o algoritmo deverá percorrer bit por bit do cromossomo mudando aleatoriamente com uma probabilidade pm a descendência criada pelo cruzamento. No caso de uma codificação binária, podemos mudar aleatoriamente alguns bits escolhidos de 1 para 0, ou de 0 para 1.

A mutação pode então ser ilustrada como a seguir:

Descendência Original 1 1101111000011110

Descendência Mutada 1 1100111000011110

A técnica da mutação (da mesma forma que a do cruzamento) depende muito da codificação dos cromossomos. Por exemplo, quando codificamos permutações, mutações podem ser realizadas como uma troca de dois genes.

Apesar da sua grande importância para diversificar a população, deve ser aplicada de maneira muito criteriosa, pois depois de ocorrida haverá perda do indivíduo gerado anteriormente pelo cruzamento.

Se a pm=0, não ocorrerá a mutação. A nova população será então aquela gerada logo após o cruzamento, o que poderá levar a uma convergência prematura do processo para algum ponto de ótimo local. Porém, se ao contrário tivermos definido uma pm muito alta, o processo de busca tornar-se-á aleatório, pois grandes quantidades de genes dos indivíduos sofrerão variação.

Assim, este operador influencia de maneira muito importante a variabilidade das soluções encontradas durante o processo e , conseqüentemente, o resultado final.



Depende muito da sensibilidade e experiência do operador, a adoção de um valor adequado ao problema em estudo, sendo muitas vezes necessário, rodarmos o AG até calibrarmos o valor deste parâmetro de maneira satisfatória.

Notamos, por exemplo, que se tivermos mais variáveis envolvidas no problema, ou um número maior de indivíduos na população, maior deverá ser o valor de pm.



4.7 - PARÂMETROS DOS ALGORITMOS GENÉTICOS

4.7.1 - Tamanho da População: quantos cromossomos existem na população (em uma geração). Se houver poucos cromossomos, o AG terá poucas possibilidades de realizar cruzamentos e somente uma parte pequena do espaço de soluções será explorada. Por outro lado, se houver muitos cromossomos, os AG tornar-se-ão lentos, além de extremamente trabalhosos devido à aplicação da função de avaliação, pois esta deverá ser aplicada a cada individuo separadamente, e em algumas situações, pode não haver softwares que façam a ponte entre o AG e a função de avaliação. Pesquisas mostram que após determinado limite (que depende principalmente da codificação e do problema), não é conveniente aumentar a população porque isso não resolve o problema mais rapidamente do que com tamanhos moderados de população.

De acordo com a tabela abaixo (Pinto, 2000) , temos como sugestão alguns valores do tamanho de populações aconselhados por outros autores:

Autor Tamanho da População

De Jong 50 - 100

Grefenstette 30 – 80

Schaffer 20 - 30

Uma outra idéia proposta por Goldberg, seria relacionar o tamanho da população ao tamanho do cromossomo através da seguinte expressão:

Tamanho da População = 1.65 x 2 ^ (0.21 x tamanho do cromossomo)

Tamanho do cromossomo Tamanho da População

10 7

20 30

30 130



4.7.2 - Probabilidade de Cruzamento: com qual freqüência o cruzamento entre os indivíduos selecionados é realizado. Se não não houver cruzamento, a descendência é uma cópia exata dos pais. Se ocorre o cruzamento a descendência é constituída de partes dos cromossomos de ambos os pais. Se a probabilidade de cruzamento é 100%, então toda a descendência é produzida por cruzamento, e pode haver perda de bons indivíduos para a geração seguinte. Se a probabilidade é 0%, toda a nova geração é formada por cópia exata dos cromossomos da população antiga (mas isso não significa que a nova geração é a mesma devido aos critérios de seleção e devido a mutação). Os cruzamentos são realizados na esperança de que os novos cromossomos contenham partes boas dos cromossomos antigos e que portanto os novos cromossomos serão melhores. Entretanto, é bom deixar uma parte da antiga população sobreviver para a próxima geração. Junto com a mutação, é responsável pela diversidade de indivíduos na população, influenciando diretamente o tempo de convergência do AG.

A tabela a seguir (Pinto, 2000) , nos mostra alguns valores de probabilidade de cruzamento aconselhados por outros autores:

Autor Probabilidade de Cruzamento

De Jong 0,50

Grefenstette 0,45 – 0,95

Schaffer 0,75 – 0,95

Entretanto, esses valores podem ser vistos apenas como uma ordem de grandeza, pois há possibilidades distintas de tipos de cruzamentos criados por diversos pesquisadores.

4.7.3 - Probabilidade de Mutação: com qual freqüência as partes dos cromossomos sofrerão mutação. Se não houver mutação, a descendência é gerada imediatamente após o cruzamento (ou copiada diretamente) sem nenhuma alteração. Se ocorreu a mutação, uma ou mais partes do cromossomo é alterada. Se a probabilidade de mutação é 100%, todos os cromossomos são alterados, se é 0%, nenhum é alterado. A mutação é extremamente importante pois em geral evita que o AG caia num extremo (mínimo ou máximo) local. Porém, não deve ocorrer com muita freqüência porque senão o AG tornar-se-á de fato uma busca aleatória. As taxas de mutação utilizadas normalmente variam entre 0,001 a 0,10. Porém, é um parâmetro cuja correta definição dependerá muito da sensibilidade do pesquisador que está aplicando o AG. Segundo CASTRO (1999), a taxa de mutação pode ser dada pela expressão:

Pm=1/(N. L^(1/2))

onde N é o tamanho da população e L o comprimento do cromossomo. A aplicação dessa expressão gera a seguinte tabela :



N

L

30 50 100

5 0,015 0,009 0,0045

10 0,010 0,006 0,0032

20 0,0075 0,0045 0,0022

A tabela de NONATO (1997) – extraída de (Pinto, 2000) - , mostra outros valores de probabilidade de mutação aconselhados por outros autores :

Autor Probabilidade de Mutação

De Jong 0,001

Grefenstette 0,01

Schaffer 0,005 – 0,01

4.7.4 – Comentários sobre os parâmetros

Após a aplicação dos diversos conceitos a exemplos práticos, podemos constatar que a definição dos parâmetros discutidos acima, dependerão da sensibilidade do pesquisador e também das características de cada problema a ser analisado. Isto ocorre, pois os parâmetros estão intimamente relacionados.

Notamos, que pequenas populações com taxa muito baixa de mutação, tendem a convergir para mínimos locais, não apresentando boa solução final.

Por outro lado, pequenas populações com alta taxa de mutação, fazem com que o AG apresente uma convergência quase impossível, pois quase todos seus elementos, após o cruzamento, serão modificados.



4.8 – EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DOS ALGORITMOS GENÉTICOS

Algoritmos genéticos têm sido utilizados para resolver problemas complexos, como por exemplo, para aprendizado de máquinas e também para o desenvolvimento de programas simples. Eles têm sido também usados em algumas aplicações artísticas como pintura e música.

Uma vantagem dos AG é o seu paralelismo pois percorre o espaço das soluções usando mais indivíduos (e com genótipos em vez de fenótipos) de forma que eles são menos susceptíveis de "enroscar" em um extremo local do que os outros métodos.

Também são muito simples de implementar. Uma vez que você implantou a parte básica do AG, você simplesmente precisa escrever um novo cromossomo (apenas um objeto) para resolver outro problema. Com uma codificação, você simplesmente muda a função de adequação . Entretanto, para alguns problemas, a escolha e implementação da função de adequação pode ser difícil.

A desvantagem dos AG é o tempo de processamento. Os AG podem ser mais lentos do que os outros métodos. Porém, desde que possamos terminar o cálculo sem restrições severas de tempo, eles se tornam uma poderosa ferramenta de pesquisa.

Para ter uma idéia sobre alguns tipos de problemas resolvidos com AG, é apresentada a seguir uma lista de algumas aplicações:

• Sistemas Dinâmicos não Lineares: predição e análise de dados

• Projeto de Redes Neurais: determinação da arquitetura e dos pesos

• Trajetória de Robôs

• Desenvolvimento de programas em LISP (programação genética)

• Planejamento Estratégico

• Determinação da Forma de Moléculas de Proteínas

• Determinação de Rotas e Seqüenciamento de Tarefas

• Determinação de Funções para criação de imagens



5 - DESCRIÇÃO DO UTILITÁRIO IMPLEMENTADO 5.1 Introdução Com a finalidade de aplicação dos conceitos adquiridos com o estudo deste trabalho, foi implementado um aplicativo para o processo de AG, utilizando-se a planilha eletrônica EXCEL, juntamente com a linguagem de programação VISUAL BASIC 6.0. Foi escolhido trabalhar-se em EXCEL, pois partes do aplicativo que teriam de ser inteiramente programadas e formatadas em VB, já constituem elementos básicos do EXCEL, além da utilização direta de seus recursos e da sua extrema versatilidade. Um ponto positivo também, foi a forma didática que este procedimento gerou, pois temos uma completa visualização de cada passo do desenvolvimento e aplicação dos operadores do AG. Além disso, o EXCEL apresenta uma comunicação com o programa SAP, o que possibilita (apesar de parcialmente), o desenvolvimento de exemplos e aplicações que utilizem os AG diretamento sobre os modelos estruturais criados em elementos finitos, possibilitando otimizações de análises estruturais que envolvam modelagem com utilização deste processo. 5.2 – Geração da População Inicial Com o intuito de tornar o aplicativo versátil para utilização em uma gama ampla de problemas, foi definido um número máximo de 10 variáveis . Assim, problemas dependentes de até 10 grandezas poderão ser otimizados. As variáveis utilizadas têm o formato de números inteiros. Porém, na sua definição, a planilha aceita entrada de número de casas decimais, pois caso as variáveis em estudo não sejam inteiras, a planilha as multiplicará pela potencia de 10 correspondente ao número de casas decimais, transformando-as em inteiros. Devem ser definidos também os extremos de variação para cada parâmetro independente. Os cromossomos definidos são formatados para 200 genes, divididos em 10 partes (cada parte correspondente a uma variável) com 20 genes cada um, ou seja, cada variável poderá ter seu valor definido entre 0 e 1.048.575. Após definição dos parâmetros do problema que serão analisados e da escolha dos parâmetros genéticos do AG, o aplicativo gerará automaticamente e aleatoriamente os valores para todas as variáveis que constituirem o problema formando assim, a primeira população a ser analisada.

Planilha > ENTRADA DE DADOS

5.2.1 – Avaliação da População Inicial Após a geração aleatória dos valores da primeira população, precisamos fazer a ligação entre esses valores e o objetivo a ser atingido por nossa análise, ou seja, cada indivíduo gerado deverá ser avaliado. Para isso, ou desenvolvemos uma rotina específica para cada problema diferente ou criamos comunicações entre o AG e algum programa comercial existente no mercado.



5.3 – Codificação das Variáveis O tipo de codificação escolhida para o desenvolvimento do AG foi a codificação binária, pois esta abrange a maioria dos problemas apresentados. Após a geração da população e sua avaliação, o procedimento para a codificação aplicado é o mesmo apresentado na seção 4. 6 . 2 .1.

Planilha > CONVERSÃO BINÁRIO Botão > GERA POPULAÇÃO

5.4 – Cromossomos As variáveis codificadas formarão os cromossomos. Estes serão armazenados em ordem decrescente de sua avaliação, pois será utilizada uma seleção por classificação com aptidão decrescente .

Planilha > POPULACAO

5.5 – Elitismo Na própria planilha POPULACAO, optaremos ou não por utilizar o recurso Elitismo. Para isso, basta pressionar o botão presente na planilha que corresponde a rotina desenvolvida em VBA para o Elitismo.

Botão > ELITISMO 5.6 – Seleção Na planilha SELECAO, a rotina disparada pelo botão SELECAO 1 , vai percorrer a população criada, avaliada, classificada por sua aptidão e armazenada na planilha POPULACAO, selecionando os melhores indivíduos que servirão como progenitores da próxima população. A rotina SELECAO 1, busca aleatoriamente, um cromossomo armazenado e guarda sua aptidão. Depois de escolhido o primeiro, novamente busca um outro cromossomo percorrendo novamente toda a população e compara a aptidão deste com a do primeiro escolhido. Aquele que tiver o maior valor de aptidão, será o primeiro pai escolhido. O procedimento é repetido para a escolha do segundo pai, formando-se assim o primeiro par de genitores e assim sucessivamente. Portanto, a rotina



SELECAO 1 funciona de acordo com o conceito de Seleção por Torneio de dois cromossomos (item 4. 6. 4. 6). 5.7 – Cruzamento Na planilha CRUZAMENTO serão realizados ( respeitando-se o parâmetro probabilidade de cruzamento), os cruzamentos entre os pais selecionados e armazenados na planilha anterior. A rotina disparada pelo botão CRUZAMENTO (2 pontos), gerará um número aleatório . Se este número for menor do que a probabilidade de cruzamento, serão escolhidos aleatoriamente dois indivíduos na população selecionada e alocados na área CROMOSSOMOS PAIS da planilha CRUZAMENTO. Depois desse procedimento, serão gerados mais dois números aleatórios correspondentes aos extremos inicial e final das partes dos cromossomos pais que serào trocados entre si. Após essa troca de material genético, surgirão dois novos indivíduos denominados filhos que serão armazenados na área CROMOSSOMOS FILHOS da planilha cruzamento. Ocorrerão N/2 cruzamentos que obedecerão a esse procedimento, os quais gerarão uma nova população com N indivíduos a ser submetida ao próximo operador genético (mutação).

Planilha > CRUZAMENTO Botão > CRUZAMENTO (2 pontos)

5.8 – Mutação O fim do 1º. Ciclo, ocorre nessa fase. Aqui, os filhos gerados e armazenados na planilha CRUZAMENTO, sofrerão mutação (ou não – de acordo com o parâmetro taxa de mutação). Para cada gene de cada indivíduo, a rotina presente no botão MUTACAO, vai gerar um número aleatório que será comparado ao parâmetro taxa de mutação. Se este número for menor do que o parâmetro, ocorrerá a mutação a qual corresponderá à troca do valor 0 para 1 ou de 1 para 0 no gene em questão. .

Planilha > MUTACAO Botão > MUTACAO

Findo o operador mutação, os indivíduos finais gerados, serão decodificados novamente, e levados para a planilha ENTRADA DADOS, onde recomeçará todo o processo e assim sucessivamente até ser atingida a convergência esperada ou algum critério de parada estabelecido.



6.1 - Exemplo de Aplicação 1 : Determinação dos 3 parâmetros de uma estrutura

6.1.1 – Introdução A finalidade deste exemplo é através do AG, partir da premissa que os parâmetros elásticos do modelo são desconhecidos, e através de seus deslocamentos, o AG deverá gerar tais parâmetros de maneira exata ou aproximada.

Nosso objetivo, será determinar o E constituinte das barras, o K da mola e o E do fio; ou seja; teremos três parâmetros a determinar.

6.1.2 – Desenvolvimento do Modelo Para simulação da estrutura real, foi desenvolvido um modelo resolvido através da Análise Matricial de Estruturas. O modelo desenvolvido consiste em uma barra engastada no ponto A, definida com o parâmetros elástico Ebarra, apoiada no centro (ponto B) em uma mola com rigidez K e sustentada na extremidade B por um fio com rigidez Efio.

Os valores dos parâmetros elásticos para iniciais do modelo a ser pesquisado são:

Ebarra Kmola Efio (t/m2) (t/m) (t/m2) 1000 200 50



Foram aplicadas uma carga concentrada de 3.0 t e um momento de 6,0 t m ambos no ponto B, além da carga distribuída de 2,0 t/m entre os pontos B e C. Foram tomados para análise os deslocamentos nos pontos D, B e C.

Ponto de leitura dos deslocamentos

Deslocamentos iniciais (Z)

(m) D -0.0076845538 B -0.0525111177

C -0.1141476430

6.1.3 - Função de Avaliação A função que avaliará os indivíduos gerados pelo AG, será dada pelo inverso da raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças entre os deslocamentos medidos no modelo inicial (faz o papel da nossa estrutura real) e os deslocamentos obtidos pelo modelo com os parâmetros elásticos, gerados pelo AG. Ou seja, procura-se o conjunto de parâmetros que minimize os três deslocamentos Z1, Z2 e Z3.

6.1.4 – Planilhas de apoio Para resolução da estrutura, foi incorporada a planilha molas 1 ao aplicativo para resolução da estrutura dada. Consiste na resolução por Análise Matricial da Estrutura dada com definição das matrizes de rigidezes das partes constituintes da estrutura, além da matriz de rigidez total da estrutura.



FB FC FD FE-9 -12 -6 6

K1 K2 K3 K4 K5 K61000 1000 200 50

A B C DBARRA AD : 444.4444 666.6667 1333.333333 666.6666667BARRA BC : 55.55556 166.6667 666.6666667 333.3333333BARRA DB : 444.4444 666.6667 1333.333333 666.6666667

7 8 1 2 1 2 3 4 5 6BARRA AD : 444.4444 666.6667 -444.4444444 666.6666667 7 888.888889 0 -444.4444 666.6667 0 0 1

666.6667 1333.333 -666.6666667 666.6666667 8 0 2666.666667 -666.6667 666.6667 0 0 2-444.444 -666.667 444.4444444 -666.6666667 1 -444.44444 -666.6666667 700 -500 -55.55555556 166.6667 3666.6667 666.6667 -666.6666667 1333.333333 2 666.666667 666.6666667 -500 2000 -166.6666667 333.3333 4

3 4 5 6 0 0 -55.55556 -166.6667 105.5555556 -166.6667 5BARRA BC : 55.55556 166.6667 -55.55555556 166.6666667 3 0 0 166.6667 333.3333 -166.6666667 666.6667 6

166.6667 666.6667 -166.6666667 333.3333333 4-55.5556 -166.667 55.55555556 -166.6666667 5 FORCAS166.6667 333.3333 -166.6666667 666.6666667 6

0.00237057 0.000554162 0.001668 -0.000549 -0.000353543 -0.000231 0 -0.00768 u1 mm3 0.00055416 0.000633097 0.000881 -0.000152 -6.67062E-06 -0.000146 0 -0.00694 u2 rad

MOLA 200 3 0.00166765 0.000880522 0.003896 0.000374 0.001334124 -0.000827 X -9 = -0.05251 u3 mm5 -0.000549 -0.000151868 0.000374 0.000981 0.001360806 -0.000244 -12 -0.02476 u4 rad

FIO 50 5 -0.0003535 -6.67062E-06 0.001334 0.001361 0.017717166 0.003415 -6 -0.11415 u5 mm-0.0002308 -0.000145864 -0.000827 -0.000244 0.003415357 0.002682 6 0.005972 u6 rad

1 2 3 4BARRA DB : 444.4444 666.6667 -444.4444444 666.6666667 1

666.6667 1333.333 -666.6666667 666.6666667 2-444.444 -666.667 444.4444444 -666.6666667 3666.6667 666.6667 -666.6666667 1333.333333 4

-0.007684554 -0.052511118 -0.114147643

MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA:

INVERSA DA MATRIZ DE RIGIDEZ DA ESTRUTURA:

Analise Matricial de Estruturas :

Planilha Molas (1) : desenvolvida para interação com o AG.

6.1.5 – Parâmetros adotados Para a resolução do problema, o AG foi configurado com os seguintes parâmetros : 6.1.5.1 - Tamanho da População .................... : 200 indivíduos

6.1.5.2 - Probabilidade de Cruzamento ........ : 90 %

6.1.5.3 - Probabilidade de Mutação ............... : 1.0 % 6.1.5.4 – Extremos de pesquisa adotados para variação dos parâmetros elásticos : 0 <= Ebarra <= 4000 t/m2 (4001 elementos) 0 <= Kmola <= 500 t/m2 (501 elementos) 0 <= Efio <= 500 t/m2 (501 elementos) 6.1.5.5 - Função de Avaliação

6.1.5.6 – No. de Gerações Como o processo é automático, foi definido um número máximo de 100gerações a serem pesquisadas.



6.1.5.7 – População Inicial : Gerada de forma randômica, respeitando-se para cada variável, os intervalos descritos no item 4.

Ebarra Kmola Efio ADEQUACAO ELEMENTO 2822 290 145 13.43547 1 1208 8 381 7.308418 2 3258 24 208 13.2798 3 3451 187 481 9.867776 4 3486 475 183 11.42313 5 2100 28 297 10.82024 6 1875 312 324 10.24872 7 1056 415 412 9.643048 8 2357 456 114 14.1492 9 2781 123 267 11.46158 10 426 338 9 2.724386 11

2301 52 400 10.44404 12 1139 149 192 12.41765 13 1205 490 201 10.99355 14 1114 82 324 10.25572 15 1641 357 164 12.26601 16 2533 94 292 11.27265 17 324 453 131 12.26589 18

3141 146 460 10.06038 19 2527 215 50 132.7774 20 2245 457 418 9.578088 21

91 458 216 7.193572 22 2712 257 232 11.30315 23 1415 136 29 12.44612 24 976 31 196 8.602144 25

1461 79 238 11.44957 26 1030 271 79 22.98959 27 3754 254 196 11.97648 28 430 230 377 10.07017 29

2385 10 106 16.54015 30 297 167 65 30.55505 31

2 329 272 0.207665 32 3310 97 340 10.85461 33 1817 76 352 10.5804 34 3715 46 379 10.78568 35 1608 247 105 17.19375 36 1320 295 86 19.99124 37 3711 222 137 14.51193 38 3490 137 337 10.70432 39 1027 16 162 7.674262 40 3161 118 241 11.89297 41 1019 23 242 7.911461 42 825 295 378 9.994656 43

3712 272 41 70.79486 44 2538 480 58 25.77316 45 3694 175 75 31.19865 46 1920 497 66 21.99218 47



Ebarra Kmola Efio ADEQUACAO ELEMENTO 117 274 462 7.968725 48

2153 424 413 9.639857 49 2690 498 171 11.61737 50 1981 348 90 18.05541 51 1692 408 271 10.39802 52 1711 115 310 10.90114 53 1960 443 186 11.42446 54 1211 76 265 10.75527 55 894 182 438 10.02592 56

1913 342 374 9.926925 57 2456 82 404 10.46479 58 811 34 32 5.912401 59

3173 232 61 42.52329 60 463 25 358 5.00103 61

2133 109 235 11.94191 62 2986 200 452 9.943581 63 2984 318 357 10.04807 64

64 202 138 6.492309 65 3942 348 209 11.32329 66 2938 179 217 11.95856 67 3780 323 175 12.1553 68 419 40 217 6.371661 69

3837 248 487 9.698449 70 872 199 141 14.09717 71

2014 259 483 9.738376 72 2230 329 221 11.18505 73 2772 378 351 9.959066 74 1989 113 164 13.94077 75 3138 259 379 10.07709 76 3203 486 402 9.591915 77 2700 438 209 11.05224 78 493 399 348 9.801369 79

1607 85 83 23.94166 80 2039 54 139 15.27146 81 2573 249 95 19.00452 82 3587 162 386 10.30791 83 873 119 439 9.92332 84

2442 195 430 10.05048 85 2344 259 166 12.77905 86 3474 131 90 25.19658 87 1388 371 421 9.698695 88 1115 203 406 10.11836 89 2967 40 206 13.14945 90 1358 157 400 10.24597 91 608 478 122 13.23804 92

3760 492 317 9.953975 93 2396 288 123 14.79167 94 3441 220 380 10.1672 95 983 199 264 11.03818 96

1082 106 40 19.34205 97 3582 327 450 9.663837 98 927 423 221 10.83229 99

1969 418 192 11.38022 100



Ebarra Kmola Efio ADEQUACAO ELEMENTO 783 207 77 26.26692 101

2480 103 347 10.75766 102 2018 496 236 10.56355 103

17 145 377 1.81809 104 3565 89 55 56.54338 105

42 189 95 4.534383 106 3918 291 365 10.05295 107 581 15 414 4.697609 108

3134 167 226 11.85822 109 2221 282 103 16.9729 110 831 287 173 12.23149 111

2113 287 26 16.51276 112 2191 481 467 9.416164 113 3970 205 403 10.08471 114 3958 88 348 10.81558 115

69 347 56 7.142924 116 440 200 280 10.7261 117

1244 404 155 12.31557 118 1504 421 205 11.12249 119 2899 204 475 9.8635 120 2583 112 292 11.20775 121 2994 452 142 12.66229 122 2670 141 185 13.05044 123

58 492 381 5.147904 124 2324 135 255 11.5394 125 3175 47 271 11.81253 126 1662 226 350 10.33281 127 1998 473 492 9.369635 128 2366 308 45 64.15666 129 739 10 77 5.141811 130

1681 280 391 9.994825 131 173 30 157 3.966512 132

2413 299 165 12.56833 133 3637 288 216 11.42738 134 2930 31 122 18.62327 135 3035 173 342 10.54405 136 3166 397 242 10.72612 137 827 455 473 9.406203 138

2614 331 482 9.587997 139 39 38 147 3.602019 140

2330 21 28 5.813335 141 2258 207 256 11.18944 142 2934 162 38 30.6927 143 1636 382 291 10.29822 144 2608 209 399 10.13262 145 2884 366 97 16.60043 146 3095 125 475 10.07208 147 3280 93 119 18.75391 148 3702 129 358 10.58358 149 2660 380 155 12.49388 150 3299 448 112 14.31577 151 1425 178 103 18.71851 152 2316 71 31 10.03199 153



Ebarra Kmola Efio ADEQUACAO ELEMENTO 2537 321 213 11.34539 154 749 487 385 9.590624 155

1523 274 337 10.269 156 154 450 171 9.517054 157 470 386 180 11.42959 158

1649 219 360 10.29887 159 2027 140 45 43.74037 160 3916 309 154 12.91566 161 3409 398 88 17.48417 162 1201 247 227 11.3611 163 2392 160 69 41.31081 164 1309 314 482 9.638193 165 3311 304 96 17.62787 166 3608 301 299 10.43952 167 3068 344 380 9.88911 168 1033 255 283 10.68359 169 1127 176 486 9.908301 170 2075 233 17 8.023265 171 1512 327 77 22.05848 172 793 49 308 8.506774 173

2810 211 169 13.03713 174 2804 23 443 10.35802 175 174 370 378 8.821364 176

3290 235 434 9.908533 177 3314 232 175 12.68072 178 998 273 270 10.73925 179

2507 356 130 13.74921 180 231 480 164 10.61932 181

2591 186 164 13.43769 182 860 212 309 10.59129 183 967 295 302 10.41196 184 316 77 124 10.4356 185

1596 145 418 10.21106 186 3592 194 2 3.370965 187 1004 323 491 9.597663 188 1248 439 66 23.62784 189 2280 305 347 10.13547 190 3400 198 412 10.08506 191 1073 199 417 10.08311 192 1732 110 366 10.51772 193 3597 491 483 9.361954 194 3486 326 229 11.09017 195 627 307 427 9.769093 196

1470 253 28 16.14092 197 1500 150 484 9.971618 198

52 307 267 4.972677 199 119 158 491 8.396878 200

Podemos observar, que a melhor solução da população inicial, corresponde ao seguinte elemento:

VAR IAVEL 1 VAR IAVEL 3 VAR IAVEL 4 U1 U3 U 5 D IF E R E N C A S P AD IF E R E N C A S P AD IF E R E N C A S P AA D E Q U A C G E R A C A O E LE M E N T O

2527 215 50 -0.01062 -0.04582 -0.11232 -0.002937941 0.006690313 0.001824891 132.7774 0 20



6.1. 6 - Resultados observados : Adequação do melhor indivíduo de cada geração (sem elitismo), média das adequações e melhor elemento de cada geração :

Ebarra Kmola Efio ADEQUACAO GERACAO ELEMENTO MEDIA 2527 215 50 132.7774 0 20 13.51494 2538 215 50 132.3339 1 184 16.02107 2591 207 54 92.64353 2 139 20.02657

783 207 54 113.3538 3 184 26.83295 2527 179 50 175.6319 4 39 35.68865

783 207 51 251.5345 5 85 45.05309 783 207 51 251.5345 6 110 55.29375 783 207 50 330.7376 7 45 70.01728 783 201 51 299.779 8 175 77.18214 975 203 50 1376.477 9 179 103.6281 911 203 50 898.207 10 82 111.9 911 207 50 545.1374 11 18 126.4934 911 207 50 545.1374 12 150 138.7887

1285 202 50 481.6906 13 112 140.8863 774 203 50 368.7432 14 111 139.4046 911 203 50 898.207 15 109 166.8537 911 203 50 898.207 16 154 173.4288 911 203 50 898.207 17 104 204.3515 975 203 50 1376.477 18 12 235.8454 911 199 50 1119.535 19 93 278.5081 911 202 50 1018.011 20 70 325.4098 975 203 50 1376.477 21 80 379.9832 974 203 50 1370.88 22 168 460.1953 975 203 50 1376.477 23 98 556.6396 974 201 50 3047.334 25 183 742.7794 974 201 50 3047.334 26 73 814.5986 991 201 50 4095.856 27 126 976.8219

1006 201 50 4172.842 28 96 1077.151 974 200 50 4247.329 29 175 1162.808 974 200 50 4247.329 30 153 1352.69 974 200 50 4247.329 31 145 1655.922

1006 200 50 18999.6 32 198 2059.72 991 200 50 12480.87 33 170 2225.833

1006 200 50 18999.6 34 167 2450.715 998 200 50 56553.76 35 53 3304.512

1006 200 50 18999.6 36 200 4296.222 998 200 50 56553.76 38 172 7820.497

1002 200 50 56776.35 39 18 9500.981 1002 200 50 56776.35 40 170 12246.93

999 200 50 113218.8 41 67 13660.67 999 200 50 113218.8 42 4 15928.95 999 200 50 113218.8 43 193 19256.79 999 200 50 113218.8 44 191 23688.97

1000 200 50 1E+19 45 182 5E+16 999 200 50 113218.8 46 199 40042.31 999 200 50 113218.8 47 198 45231.99 999 200 50 113218.8 48 199 57146.7

1000 200 50 1E+19 49 49 5E+16 1000 200 50 1E+19 50 141 1.5E+17



Ebarra Kmola Efio ADEQUACAO GERACAO ELEMENTO MEDIA 1000 200 50 1E+19 51 187 4E+17 1000 200 50 1E+19 52 195 8.5E+17 1000 200 50 1E+19 53 199 1.2E+18 1000 200 50 1E+19 54 200 1.7E+18 1000 200 50 1E+19 55 187 2.15E+18 1000 200 50 1E+19 56 199 2.7E+18 1000 200 50 1E+19 57 198 3.15E+18 1000 200 50 1E+19 58 194 4.05E+18 1000 200 50 1E+19 59 198 4.25E+18 1000 200 50 1E+19 60 200 5.2E+18 1000 200 50 1E+19 61 199 5.5E+18 1000 200 50 1E+19 62 200 5.85E+18 1000 200 50 1E+19 63 200 6E+18 1000 200 50 1E+19 64 199 5.75E+18 1000 200 50 1E+19 65 200 6.3E+18 1000 200 50 1E+19 66 200 6.15E+18 1000 200 50 1E+19 67 200 6.95E+18 1000 200 50 1E+19 68 200 6.3E+18 1000 200 50 1E+19 69 199 6.05E+18 1000 200 50 1E+19 70 200 5.2E+18 1000 200 50 1E+19 71 199 5.3E+18 1000 200 50 1E+19 72 197 5.45E+18 1000 200 50 1E+19 73 200 5.75E+18 1000 200 50 1E+19 74 200 5.25E+18 1000 200 50 1E+19 76 199 6.4E+18 1000 200 50 1E+19 77 200 6.2E+18 1000 200 50 1E+19 78 200 6.65E+18 1000 200 50 1E+19 79 200 6.9E+18 1000 200 50 1E+19 80 200 6.35E+18 1000 200 50 1E+19 81 199 5.5E+18 1000 200 50 1E+19 82 200 5.65E+18 1000 200 50 1E+19 83 199 6E+18 1000 200 50 1E+19 84 200 6.55E+18 1000 200 50 1E+19 85 199 6.85E+18 1000 200 50 1E+19 86 199 6.65E+18 1000 200 50 1E+19 87 200 6.85E+18 1000 200 50 1E+19 89 200 5.85E+18 1000 200 50 1E+19 90 199 5.7E+18 1000 200 50 1E+19 91 198 6.15E+18 1000 200 50 1E+19 92 200 6.95E+18 1000 200 50 1E+19 93 200 6.95E+18 1000 200 50 1E+19 94 199 6.55E+18 1000 200 50 1E+19 95 199 5.8E+18 1000 200 50 1E+19 96 200 6.3E+18 1000 200 50 1E+19 97 199 6.25E+18 1000 200 50 1E+19 98 200 6.1E+18 1000 200 50 1E+19 99 200 6.3E+18 1000 200 50 1E+19 100 199 6.45E+18



Variação da adequação do melhor elemento de cada geração (com baixa taxa mutação):

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96

Variação da média das adequações de cada geração

0

1E + 18

2E + 18

3E + 18

4E + 18

5E + 18

6E + 18

7E + 18

8E + 18

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96



6.1. 6.1 Comentários : Podemos notar, pela análise dos. gráficos, a enorme variação sofrida tanto pela adequação do melhor elemento da 1a. geração em relação à última geração, como a melhora da média da população como um todo (mesmo sem considerarmos elitismo), e com uma baixa taxa de mutação. Isso nos mostra explicitamente, a evolução sofrida pelos indivíduos ao longo das gerações, demonstrando a premissa básica do AG que é a evolução natural dos indivíduos ao longo das gerações.

Verificou-se também, a convergência da população após 100 gerações devido a baixa probabilidade de mutação adotada, o que acarretou sempre de uma geração para outra, uma pequena variabilidade dos cromossomos gerados após o cruzamento com intuito de não ocorrer uma variabilidade desenfreada durante o processo.

Neste exemplo, o AG forneceu os valores exatos para os parâmetros da estrutura:

elemento Ebarra Kmola Efio Ponto D Ponto B Ponto C distância 1 distância 2 distância 3

102 2000 200 50 -0.007685 -0.05251 -0.11415 0 0

DEFORMACOES REAIS p/ modelo Inicial :

Ponto D Ponto B Ponto C

-0.007685 -0.05251 -0.11415

Temos assim, para Ebarra, Kmola e Efio, resposta exata e com erro de 0 %.

6.1.7 – Considerações finais sobre este exemplo: Percebemos pelos resultados obtidos, ser a análise inversa de estruturas acoplada ao processo de AG, uma poderosa e promissora ferramenta para a avaliação estrutural, pois calibrando-se um modelo matemático (por exemplo modelado através da Análise Matricial) com base em parâmetros reais obtidos em campo através de instrumentação, teremos uma modo bastante confiável para tomarmos decisões importantes sobre o futuro dessa estrutura. Outro ponto a ser comentado, é a eficiência do processo mesmo quando da pesquisa de mais de um parâmetro (Ebarra, Kmola, Efio), pois o AG, aproximou a solução chegando a valores muito próximos para os três módulos, com a pesquisa de aproximadamente 20000 possíveis soluções num universo de 4001 x 501 x 501 = 1.004.255.001 de soluções. Isto corresponde a pesquisa de apenas 0.00199 % do espaço de soluções.



6.2 - Exemplo de Aplicação 2 : Determinação dos 4 parâmetros de uma estrutura

6.2.1 – Introdução A finalidade deste exemplo é determinar os 4 parâmetros elásticos da estrutura acima..

Nosso objetivo será determinar o E constituinte das barras, o K da mola 1 (K1) , o K da mola 2 (K2) e o E do fio.

6.2.2 – Desenvolvimento do Modelo Para simulação da estrutura real, foi desenvolvido um modelo resolvido através da Análise Matricial de Estruturas. O modelo desenvolvido consiste em uma barra engastada no ponto A, definida com o parâmetros elástico Ebarra, apoiada no centro (ponto B) em uma mola com rigidez K2 e sustentada na extremidade B por um fio com rigidez Efio. Teremos também uma mola de rigidez K1 no ponto E. Os valores dos parâmetros elásticos para iniciais do modelo a ser pesquisado são:

Ebarra Kmola 1 Kmola 2 Efio (t/m2) (t/m) (t/m) (t/m2) 1000 300 200 50



Foram aplicadas uma carga concentrada de 3.0 t e um momento de 6,0 t m ambos no ponto B, além da carga distribuída de 2,0 t/m entre os pontos B e C. Tomamos para análise os deslocamentos nos pontos D, B e C.



(m) D 0.0000761626 E -0.0044908147 F -0.0201363043 G -0.0872259186

H -0.1125653327

I -0.1203129131

6.2.3 - Função de Avaliação A função que avaliará os indivíduos gerados pelo AG, será dada pelo inverso da raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças entre os deslocamentos medidos no modelo inicial (faz o papel da nossa estrutura real) e os deslocamentos obtidos pelo modelo com os parâmetros elásticos, gerados pelo AG. Ou seja, procura-se o conjunto de parâmetros que minimize os seis deslocamentos.

6.2.4 – Planilhas de apoio Para resolução da estrutura, foi incorporada a planilha molas 1 ao aplicativo. Consiste na resolução por Análise Matricial da estrutura dada com definição das matrizes de rigidezes das partes constituintes da estrutura, além da matriz de rigidez total da estrutura.



ANALISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1000 1000 200 50 3000 0 0 0 -4.5 -6.375 -3 0 -3 0 -3 0 -1.5 0.375

K1 K2 K3 K4 K5 K6989 989 202 50 253

COMP; A B C DBARRA AD : 1.5 3516.4444 2637.3333 2637.333333 1318.666667BARRA DE : 1.5 3516.4444 2637.3333 2637.333333 1318.666667BARRA EF : 1.5 3516.4444 2637.3333 2637.333333 1318.666667BARRA FB 1.5 3516.4444 2637.3333 2637.333333 1318.666667BARRA FG 1.5 3516.4444 2637.3333 2637.333333 1318.666667BARRA GH 1.5 3516.4444 2637.3333 2637.333333 1318.666667BARRA HI 1.5 3516.4444 2637.3333 2637.333333 1318.666667BARRA IC 1.5 3516.4444 2637.3333 2637.333333 1318.666667

17 18 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16BARRA AD : 3516.4444 2637.3333 -3516.444444 2637.333333 17 7032.8889 0 -3516.444444 2637.333333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2637.3333 2637.3333 -2637.333333 1318.666667 18 0 5274.666667 -2637.333333 1318.666667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2-3516.444 -2637.333 3516.444444 -2637.333333 1 -3516.444 -2637.333333 7285.888889 0 -3516.444444 2637.333333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 32637.3333 1318.6667 -2637.333333 2637.333333 2 2637.3333 1318.666667 0 5274.666667 -2637.333333 1318.666667 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

1 2 3 4 0 0 -3516.444444 -2637.333333 7032.888889 0 -3516.444444 2637.333333 0 0 0 0 0 0 0 0 5BARRA DE : 3516.4444 2637.3333 -3516.444444 2637.333333 1 0 0 2637.333333 1318.666667 0 5274.666667 -2637.333333 1318.666667 0 0 0 0 0 0 0 0 6

2637.3333 2637.3333 -2637.333333 1318.666667 2 0 0 0 0 -3516.444444 -2637.333333 7234.888889 0 -3516.444444 2637.333333 0 0 0 0 0 0 7-3516.444 -2637.333 3516.444444 -2637.333333 3 0 0 0 0 2637.333333 1318.666667 0 5274.666667 -2637.333333 1318.666667 0 0 0 0 0 0 82637.3333 1318.6667 -2637.333333 2637.333333 4 0 0 0 0 0 0 -3516.444444 -2637.333333 7032.888889 0 -3516.444444 2637.333333 0 0 0 0 9

0 0 0 0 0 0 2637.333333 1318.666667 0 5274.666667 -2637.333333 1318.666667 0 0 0 0 103 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 -3516.444444 -2637.333333 7032.888889 0 -3516.444444 2637.333333 0 0 11

BARRA EF : 3516.4444 2637.3333 -3516.444444 2637.333333 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2637.333333 1318.666667 0 5274.666667 -2637.333333 1318.666667 0 0 122637.3333 2637.3333 -2637.333333 1318.666667 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3516.444444 -2637.333333 7032.888889 0 -3516.444444 2637.333333 13-3516.444 -2637.333 3516.444444 -2637.333333 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2637.333333 1318.666667 0 5274.666667 -2637.333333 1318.666667 142637.3333 1318.6667 -2637.333333 2637.333333 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3516.444444 -2637.333333 3566.444444 -2637.333333 15

5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2637.333333 1318.666667 -2637.333333 2637.333333 16BARRA FB 3516.4444 2637.3333 -3516.444444 2637.333333 5

2637.3333 2637.3333 -2637.333333 1318.666667 6 0.0004672 0.000319045 0.000614159 -4.78642E-05 0.000461029 -0.000139965 0.000243292 -0.000134007 8.00852E-05 -8.58932E-05 -2.12607E-05 -5.15259E-05 -8.13659E-05 -3.09055E-05 -0.000120851 -2.4032E-05 0 -0.0000006-3516.444 -2637.333 3516.444444 -2637.333333 7 0.000319 0.000511842 0.000657357 2.56878E-05 0.000560862 -0.00013096 0.00033464 -0.000147282 0.000150732 -0.000100172 2.73946E-05 -6.65215E-05 -5.55624E-05 -4.63313E-05 -0.000118329 -3.96012E-05 0 -0.00077202637.3333 1318.6667 -2637.333333 2637.333333 8 0.0006142 0.000657357 0.001487505 0.000345583 0.001521055 -0.000225897 0.00103467 -0.000347663 0.000584051 -0.000257458 0.000249411 -0.000193025 -7.91081E-06 -0.000154366 -0.000226573 -0.000141479 0 -0.0046295

7 8 9 10 -4.79E-05 2.56878E-05 0.000345583 0.000588416 0.000798662 7.20445E-05 0.000730781 -0.000106198 0.000565175 -0.000114228 0.000389243 -0.000119965 0.000206428 -0.000123406 2.01711E-05 -0.000124554 0 -0.0061710BARRA BG : 3516.4444 2637.3333 -3516.444444 2637.333333 7 0.000461 0.000560862 0.001521055 0.000798662 0.002476613 0.000275656 0.002317503 -0.00030839 0.001823423 -0.000348474 0.001277807 -0.000377105 0.000697833 -0.000394284 0.00010068 -0.00040001 0 -0.0201610

2637.3333 2637.3333 -2637.333333 1318.666667 8 -0.00014 -0.00013096 -0.000225897 7.20445E-05 0.000275656 0.000674024 0.000890656 0.000223307 0.001075244 3.19236E-05 0.001013767 -0.000104779 0.000788248 -0.0001868 0.000480707 -0.000214141 0 -0.0148647-3516.444 -2637.333 3516.444444 -2637.333333 9 0.0002433 0.00033464 0.00103467 0.000730781 0.002317503 0.000890656 0.003439621 0.000516495 0.003773554 -4.45355E-05 0.003386162 -0.000445272 0.002517885 -0.000685714 0.001409167 -0.000765861 -4.5 -0.05020472637.3333 1318.6667 -2637.333333 2637.333333 10 -0.000134 -0.000147282 -0.000347663 -0.000106198 -0.00030839 0.000223307 0.000516495 0.000941287 0.001512855 0.000412378 0.001829189 3.45869E-05 0.001692174 -0.000192088 0.001328483 -0.000267646 -6.375 -0.0255207

9 10 11 12 8.009E-05 0.000150732 0.000584051 0.000565175 0.001823423 0.001075244 0.003773554 0.001512855 0.005892219 0.001010929 0.006471791 -0.000160098 0.00564613 -0.000862715 0.004117852 -0.00109692 -3 -0.0872440BARRA GH : 3516.4444 2637.3333 -3516.444444 2637.333333 9 -8.59E-05 -0.000100172 -0.000257458 -0.000114228 -0.000348474 3.19236E-05 -4.45355E-05 0.000412378 0.001010929 0.001037369 0.002057445 0.000400446 0.002339652 1.82921E-05 0.002239705 -0.000109093 0 -0.0220530

2637.3333 2637.3333 -2637.333333 1318.666667 10 -2.13E-05 2.73946E-05 0.000249411 0.000389243 0.001277807 0.001013767 0.003386162 0.001829189 0.006471791 0.002057445 0.00887588 0.00092047 0.009119341 -0.000444223 0.007998109 -0.00089912 -3 -0.1126342-3516.444 -2637.333 3516.444444 -2637.333333 11 -5.15E-05 -6.65215E-05 -0.000193025 -0.000119965 -0.000377105 -0.000104779 -0.000445272 3.45869E-05 -0.000160098 0.000400446 0.00092047 0.001095112 0.002152129 0.000601902 0.002890578 0.000437498 0 -0.01112612637.3333 1318.6667 -2637.333333 2637.333333 12 -8.14E-05 -5.55624E-05 -7.91081E-06 0.000206428 0.000697833 0.000788248 0.002517885 0.001692174 0.00564613 0.002339652 0.009119341 0.002152129 0.011685017 0.001129606 0.012659413 0.000409593 -3 -0.1203051

-3.09E-05 -4.63313E-05 -0.000154366 -0.000123406 -0.000394284 -0.0001868 -0.000685714 -0.000192088 -0.000862715 1.82921E-05 -0.000444223 0.000601902 0.001129606 0.001558741 0.003281102 0.001372126 0 0.000435211 12 13 14 -0.000121 -0.000118329 -0.000226573 2.01711E-05 0.00010068 0.000480707 0.001409167 0.001328483 0.004117852 0.002239705 0.007998109 0.002890578 0.012659413 0.003281102 0.017711241 0.003411277 -1.5 -0.1144241

BARRA HI : 3516.4444 2637.3333 -3516.444444 2637.333333 11 -2.4E-05 -3.96012E-05 -0.000141479 -0.000124554 -0.00040001 -0.000214141 -0.000765861 -0.000267646 -0.00109692 -0.000109093 -0.00089912 0.000437498 0.000409593 0.001372126 0.003411277 0.002694791 0.375 0.00580562637.3333 2637.3333 -2637.333333 1318.666667 12-3516.444 -2637.333 3516.444444 -2637.333333 132637.3333 1318.6667 -2637.333333 2637.333333 14

13 14 15 16 1 3 5 7 9 11 13 15BARRA IC 3516.4444 2637.3333 -3516.444444 2637.333333 13 -0.0000006 -0.0046295 -0.0201610 -0.0872440 -0.1126342 -0.1203051

2637.3333 2637.3333 -2637.333333 1318.666667 14-3516.444 -2637.333 3516.444444 -2637.333333 152637.3333 1318.6667 -2637.333333 2637.333333 16

3MOLA 253 3

7MOLA 202 7

15FIO 50 15

Planilha Molas (1) : desenvolvida para interação com o AG

6. 2. 5 – Parâmetros adotados Para a resolução do problema, o AG foi configurado com os seguintes parâmetros : 6. 2.5.1 - Tamanho da População .................... : 200 indivíduos 6. 2.5.2 - Probabilidade de Cruzamento ........ : 90 %

6. 2.5.3 - Probabilidade de Mutação ............... : 3.5 % 6. 2.5.4 – Extremos de pesquisa adotados para variação dos parâmetros elásticos : 0 <= Ebarra <= 4000 t/m2 (4001 elementos) 0 <= K1mola <= 500 t/m (501 elementos)

0 <= K2mola <= 500 t/m (501 elementos) 0 <= Efio <= 500 t/m2 (501 elementos) 6. 2.5.5 - Função de Avaliação

6. 2.5.6 – No. de Gerações Como o processo é automático, foi definido um número máximo de 200 gerações a serem pesquisadas.



6. 2.5.7 – População Inicial: Gerada de forma randômica, respeitando-se para cada variável, os intervalos descritos no item 4.

Ebarra K mola 2 E fio K mola 1 DISTANCIA ADEQUACAO ELEMENTO

2822 290 145 152 0.105560388 9.473251 1 3099 381 407 355 0.137356781 7.28031 2

182 431 395 187 0.082658126 12.09802 3 3848 29 475 183 0.113642145 8.799552 4 2100 28 297 235 0.078451352 12.74675 5 1193 324 133 140 0.083727358 11.94353 6 3319 295 493 456 0.137199372 7.288663 7

908 490 123 267 0.084211679 11.87484 8 426 338 9 288 0.319697328 3.127959 9 401 400 143 24 0.04532467 22.06304 10

1184 151 474 490 0.089105009 11.22271 11 1606 81 82 324 0.030905481 32.35672 12 1641 357 164 317 0.103249294 9.685296 13

831 292 41 230 0.01595635 62.67097 14 3623 393 190 146 0.125092305 7.994097 15 3678 314 215 50 0.123556466 8.093466 16 2245 457 418 12 0.134246442 7.448987 17 2174 216 339 252 0.114677762 8.720086 18 2055 177 203 136 0.095557337 10.46492 19

223 490 31 196 0.14223761 7.030489 20 1461 79 238 129 0.069150104 14.46129 21 2515 79 469 328 0.107054735 9.341016 22 2025 55 392 230 0.088784002 11.26329 23 3015 417 10 106 0.071764095 13.93454 24

297 167 65 1 0.094706843 10.5589 25 2148 272 414 42 0.121718308 8.215691 26

768 228 179 76 0.061959295 16.13963 27 2818 266 46 379 0.041679312 23.99272 28 1608 247 105 166 0.074220407 13.47338 29

383 86 464 50 0.087996312 11.36411 30 1776 436 376 137 0.126826112 7.884812 31 2695 46 16 162 0.240906498 4.150988 32 3161 118 241 128 0.104214794 9.595567 33 1363 242 104 432 0.06853205 14.59171 34 2355 464 166 272 0.118197957 8.460383 35

324 206 480 58 0.043817374 22.822 36 3694 175 75 241 0.06483562 15.42362 37

878 66 15 173 0.304468652 3.28441 38 2191 270 204 424 0.10970459 9.115389 39 3305 361 498 171 0.139694748 7.158465 40 1981 348 90 212 0.084129513 11.88644 41 2173 271 214 255 0.11028577 9.067353 42

912 245 341 443 0.08677106 11.52458 43 1483 147 76 265 0.03510305 28.48755 44

894 182 438 240 0.079315634 12.60785 45 763 374 307 391 0.090149544 11.09268 46 648 102 478 34 0.058562831 17.07568 47 247 190 232 61 0.076214881 13.1208 48




463 25 358 267 0.167344823 5.975685 49 2244 235 373 376 0.11958955 8.361935 50 1596 373 45 318 0.041198789 24.27256 51 2852 216 202 138 0.109087362 9.166965 52 3942 348 209 368 0.127061857 7.870182 53 1109 217 473 62 0.095201497 10.50404 54 2584 53 94 40 0.045346769 22.05229 55 1732 271 248 487 0.10823515 9.239143 56

872 199 141 252 0.055654196 17.9681 57 556 483 279 455 0.079623981 12.55903 58

2629 347 33 378 0.030953758 32.30626 59 2802 79 113 164 0.062367783 16.03392 60 3138 259 379 401 0.130003342 7.69211 61 1301 402 338 453 0.114843291 8.707518 62 3503 62 477 399 0.118001977 8.474434 63 2785 9 85 83 0.049317079 20.27695 64 2039 54 139 322 0.058434909 17.11306 65 3397 95 448 187 0.11784131 8.485988 66 1295 110 224 119 0.069072852 14.47747 67 3514 188 195 430 0.111693365 8.953083 68 2344 259 166 434 0.104334841 9.584526 69 1037 90 174 2 0.056799454 17.6058 70 2970 140 352 203 0.115238823 8.677631 71 3246 219 40 206 0.025642025 38.99848 72 1358 157 400 77 0.091648435 10.91126 73 2372 122 470 58 0.108578152 9.209956 74 3937 300 451 288 0.139025994 7.192899 75

981 38 220 380 0.058318664 17.14717 76 983 199 264 136 0.078275829 12.77534 77

2325 40 448 57 0.091010025 10.9878 78 2610 117 475 423 0.115249058 8.676861 79 1765 385 418 192 0.125333174 7.978734 80

783 207 77 310 0.023507041 42.54045 81 399 347 253 92 0.04926039 20.30029 82

3966 3 213 145 0.086794973 11.5214 83 3010 411 89 55 0.096401895 10.37324 84

42 189 95 490 0.7671491 1.303528 85 3489 365 73 130 0.085613925 11.68034 86

114 392 396 167 0.193181564 5.176477 87 1804 402 282 103 0.120885523 8.272289 88

831 287 173 265 0.073413444 13.62148 89 1703 26 274 104 0.071307354 14.0238 90 3851 496 420 205 0.145191036 6.887478 91 3221 130 88 348 0.064540692 15.4941 92

69 347 56 56 0.471130664 2.122553 93 1163 280 156 148 0.083238846 12.01362 94 3232 189 201 421 0.110779567 9.026935 95 1639 330 204 475 0.107165754 9.331339 96 2583 112 292 375 0.104609829 9.559331 97 1826 142 334 445 0.100260802 9.973988 98 1126 8 148 492 0.06767878 14.77568 99 3045 303 135 255 0.105929177 9.44027 100 3175 47 271 208 0.096655854 10.34598 101




294 350 250 204 0.040876086 24.46418 102 3780 296 266 308 0.128972815 7.753572 103

358 142 10 77 0.400874903 2.494544 104 1681 280 391 22 0.114788566 8.711669 105 1624 157 302 259 0.095103919 10.51481 106 2386 455 385 288 0.134736277 7.421906 107 1727 82 31 122 0.098429241 10.15958 108 3035 173 342 396 0.120421469 8.304167 109

143 242 104 301 0.175756303 5.689696 110 3636 327 8 331 0.090809481 11.01207 111 3859 477 38 147 0.061403431 16.28573 112 2330 21 28 283 0.160264337 6.239691 113 1260 256 367 226 0.102504809 9.75564 114 1290 205 287 382 0.093170323 10.73303 115 2322 404 209 399 0.120887761 8.272136 116 2884 366 97 387 0.096909248 10.31893 117

280 475 410 111 0.050094139 19.96242 118 738 463 129 129 0.075358144 13.26997 119

2858 387 380 155 0.134729954 7.422254 120 3299 448 112 179 0.109901752 9.099036 121 2214 103 290 315 0.096897382 10.3202 122

559 317 419 321 0.072081576 13.87317 123 1700 248 487 385 0.116218619 8.604473 124 1523 274 337 20 0.108958372 9.177817 125 2592 171 60 213 0.039929789 25.04396 126 3087 207 374 219 0.124533359 8.029977 127 2880 88 140 45 0.074326789 13.4541 128 3916 309 154 426 0.115840388 8.632568 129 1277 88 151 37 0.054920513 18.20813 130 1974 299 16 160 0.079480933 12.58163 131

543 380 314 482 0.072648078 13.76499 132 3311 304 96 451 0.093852266 10.65504 133 1275 299 384 358 0.108188801 9.243101 134 2749 130 275 255 0.10668445 9.373437 135 2261 209 176 486 0.100201705 9.97987 136 2075 233 17 189 0.087647326 11.40936 137

552 77 100 188 0.077871051 12.84174 138 383 352 220 211 0.044552919 22.44522 139

1345 107 23 443 0.125730751 7.953504 140 174 370 378 411 0.08886493 11.25303 141 839 434 414 206 0.102778749 9.729638 142

1851 125 404 273 0.100065156 9.993489 143 2153 45 356 130 0.085876978 11.64456 144

231 480 164 324 0.051684106 19.34831 145 1455 164 108 107 0.057633309 17.35108 146 1693 121 343 295 0.093137109 10.73686 147 2412 23 77 124 0.047266877 21.15646 148 1596 145 418 449 0.099274734 10.07306 149 2107 2 126 82 0.065930035 15.16759 150 2581 157 121 439 0.081730423 12.23535 151

519 304 305 347 0.062054855 16.11477 152 3400 198 412 135 0.127098806 7.867895 153 2714 417 217 418 0.125440417 7.971912 154




876 450 110 491 0.076164566 13.12946 155 3863 262 326 229 0.131066369 7.629722 156

627 307 427 184 0.077887802 12.83898 157 213 28 188 226 0.363951308 2.74762 158

1193 7 325 307 0.074053283 13.50379 159 2133 359 158 491 0.108895039 9.183155 160 1165 162 178 119 0.068765157 14.54225 161 2372 135 288 289 0.10413942 9.602512 162 3963 126 405 385 0.126023004 7.935059 163 1631 247 250 67 0.102723889 9.734834 164 3878 295 341 56 0.133172779 7.509042 165 2604 390 216 42 0.122415656 8.16889 166 1999 31 207 60 0.068296951 14.64194 167

585 495 303 138 0.084524117 11.83094 168 1666 33 230 219 0.065332278 15.30637 169 3780 88 254 173 0.107261585 9.323002 170 2052 130 35 321 0.036907715 27.09461 171 1460 441 212 298 0.112107648 8.919998 172 1524 56 74 73 0.053221966 18.78923 173 3041 70 22 347 0.123867677 8.073131 174 3378 400 492 263 0.141862412 7.049084 175

273 165 140 342 0.077361492 12.92633 176 1609 103 438 76 0.089364022 11.19019 177 1607 275 365 63 0.112137334 8.917637 178 1301 392 461 150 0.117965931 8.477024 179

905 95 209 182 0.051949777 19.24936 180 1300 290 264 68 0.101303757 9.871302 181 3595 396 360 123 0.138201533 7.23581 182 3769 362 199 117 0.125130176 7.991677 183 2411 231 325 383 0.118834299 8.415079 184

262 51 27 273 0.353605935 2.828007 185 3829 174 445 241 0.129905067 7.697929 186

929 35 67 482 0.087035661 11.48954 187 3336 498 120 332 0.115312505 8.672086 188 2505 211 29 439 0.025214825 39.65921 189

652 304 183 265 0.064910936 15.40572 190 3674 480 383 203 0.142784052 7.003583 191 3025 223 24 20 0.037987006 26.32479 192 1453 183 316 91 0.094884105 10.53917 193 1738 485 138 30 0.107369304 9.313649 194 3219 127 395 435 0.120221763 8.317962 195 3935 232 457 462 0.136128775 7.345985 196 2001 287 212 410 0.10984634 9.103626 197 2907 78 387 334 0.109096162 9.166225 198 3656 389 388 237 0.139588232 7.163928 199 2952 83 156 234 0.08184889 12.21764 200


VARIAVEL 1 VARIAVEL 3 VARIAVEL 4 VARIAVEL 5 U1 U2 U3 U5 U6 U7 DISTANCIA ADEQUACAELEMENTO831 292 41 230 0.001427 0.000528 -0.01055 -0.08254 -0.11561 -0.13053 0.01595635 62.67097 14



6. 2. 6 – Resultados observados: Adequação do melhor indivíduo de cada geração (sem elitismo), média das adequações e melhor elemento de cada geração :

Ebarra K mola2 E fio K mola 1 ADEQUACAO GERACAO ELEMENTO media

831 292 41 230 62.67097 0 14 12.24349 3027 211 29 439 46.65986 1 71 13.72607

831 300 41 238 61.90646 2 120 16.92085 831 300 41 231 61.86962 3 113 20.21541 831 292 41 230 62.67097 4 51 21.14994 831 292 41 230 62.67097 5 102 23.94851

1476 128 49 398 68.79548 6 21 27.32783 1023 247 48 185 95.47932 7 32 29.73909 1477 128 57 398 76.74185 8 102 28.37132 1512 136 49 396 88.95574 9 67 31.23055 1023 247 48 185 95.47932 10 155 33.68296

831 193 57 430 179.4515 11 83 35.18968 831 193 56 430 184.0561 12 165 42.75535

1046 182 49 460 209.225 13 5 46.592 1219 180 49 460 325.9207 14 157 48.89876 1219 180 51 462 178.4912 15 5 53.72321 1032 215 49 332 224.7238 16 87 58.28641 1223 192 49 462 181.1535 17 185 58.82509 1219 180 49 462 326.8283 18 66 61.3526 1219 181 49 364 273.0078 19 88 61.85513 1129 183 49 430 462.6516 20 115 61.79986 1155 188 49 398 411.6781 21 173 75.40206 1129 188 49 388 537.5918 22 143 73.65595 1129 183 49 430 462.6516 23 136 68.26946 1149 183 49 470 541.0304 24 91 62.05215

988 195 51 366 1108.964 25 36 71.49898 1129 183 49 358 359.0903 26 145 65.41295 1129 183 49 358 359.0903 27 106 64.87721 1129 183 49 366 369.4136 28 97 56.42374 1022 210 49 372 338.8029 29 46 58.73431 1022 210 49 372 338.8029 30 148 59.66651 1031 193 52 308 312.0339 31 179 64.75351 1094 193 49 288 531.7698 32 16 67.32939

988 193 51 366 781.6925 33 75 69.51052 1029 193 49 433 445.6966 34 70 81.35935

988 195 51 367 1110.082 35 137 84.59891 988 195 51 335 1028.785 36 140 76.00198

1093 193 48 497 492.8118 37 185 78.75865 988 195 51 362 1103.505 38 55 113.8963

1075 193 49 500 942.921 39 171 112.6589 988 195 51 367 1110.082 40 174 110.2269 988 195 51 367 1110.082 41 50 114.3813 988 195 51 367 1110.082 42 125 87.40864

1055 195 49 429 1002.671 43 94 83.56854 1055 195 49 429 1002.671 44 171 87.49334



Ebarra K mola 2 E fio K mola 1 ADEQUACAO GERAÇÃO ELEMENTO MÉDIA

1074 193 49 377 893.7237 45 81 68.93707 1074 193 49 500 944.7402 46 118 66.64608

965 192 53 321 383.1522 47 139 65.43174 988 195 51 367 1110.082 48 199 79.26327

1020 195 51 301 627.6183 49 70 74.35805 988 195 51 367 1110.082 50 105 82.98343

1104 194 49 237 400.2385 51 103 73.59903 863 224 51 49 422.6892 52 28 71.13546 988 195 51 385 1113.425 53 31 85.05655 988 195 51 293 837.2447 54 150 71.987

1020 195 50 420 2146.323 55 160 82.74483 1022 195 50 420 2424.985 56 131 108.4743 1020 195 50 412 2269.794 57 70 126.5919 1020 195 50 409 2309.94 58 195 124.7848 1020 195 50 409 2309.94 59 84 116.0085 1012 195 50 420 1312.349 60 120 111.0502 1012 195 50 420 1312.349 61 105 120.4332 1012 195 50 484 1023.177 62 2 125.7053 1022 203 49 308 1038.584 63 118 120.7136 1022 193 50 437 1221.55 64 120 143.9746

958 201 51 229 1030.894 65 160 124.2225 958 201 51 229 1030.894 66 179 138.5409

1022 193 50 485 1125.554 67 28 126.6814 989 195 51 392 1124.94 68 129 133.5967 983 201 50 336 1365.479 69 70 142.5382

1022 195 50 420 2424.985 70 109 167.6599 991 202 50 245 3898.922 71 27 156.9363 991 203 50 245 2781.428 72 184 151.8897 991 203 50 247 2796.496 73 71 153.0311 991 203 50 245 2781.428 74 104 162.93

1011 194 51 317 828.8524 75 109 132.6394 958 202 51 286 1100.028 76 30 125.5901 958 202 51 286 1100.028 77 111 129.6761 958 202 51 286 1100.028 78 184 118.4857 991 202 50 245 3898.922 79 155 144.1961 958 202 51 286 1100.028 80 152 129.8717

1053 197 49 376 1123.099 81 160 116.3027 991 202 50 245 3898.922 82 46 112.0911 991 202 50 244 3758.757 83 146 109.4359

1022 201 49 190 644.749 84 176 92.78142 1022 202 49 182 690.341 85 112 108.785

991 197 51 433 840.4058 86 95 107.1085 1022 208 49 182 604.1216 87 97 108.6119 1022 205 49 182 805.2004 88 147 105.5053 1023 201 49 432 711.3277 89 145 100.6495

991 202 50 245 3898.922 90 48 146.0804 991 203 50 245 2781.428 91 125 146.6221 991 202 50 181 994.2712 92 63 131.2652 907 211 51 100 873.4058 93 42 117.6494

1010 207 49 165 854.308 94 4 117.1974 991 202 50 231 2500.5 95 17 140.1122 990 202 50 231 2530.793 96 182 152.5361 991 202 50 293 3372.89 97 90 139.0234 974 202 50 293 1256.401 98 72 119.4471




975 202 50 293 1332.944 99 98 132.539 975 202 50 309 1234.807 100 96 138.1269 975 202 50 309 1234.807 101 79 153.1279 991 202 50 244 3758.757 102 159 164.1417 991 202 50 212 1623.589 103 166 143.9004 986 203 50 353 1034.329 104 46 130.3029 986 203 50 353 1034.329 105 47 124.0446 975 203 50 261 2037.648 106 40 128.738 975 199 51 261 1081.171 107 57 142.4466 990 197 50 395 787.4151 108 114 125.5372 991 202 50 245 3898.922 109 153 181.8476 991 202 50 245 3898.922 110 69 143.1988 991 202 50 245 3898.922 111 174 142.352 991 200 50 245 1374.893 112 53 121.9143 991 200 50 245 1374.893 113 179 116.4806 991 203 49 226 629.9828 114 59 103.604 991 202 50 245 3898.922 115 8 123.3051 948 202 51 213 927.388 116 53 121.3481 983 205 50 233 1864.854 117 82 154.9168 979 205 50 233 2518.864 118 12 168.73 948 202 51 215 935.0438 119 118 125.3352 960 200 51 303 1063.058 120 85 129.061 949 207 50 262 859.6764 121 123 136.4378 948 207 51 323 528.6625 122 91 103.0089 916 207 51 195 731.4287 123 41 114.9214 916 207 51 195 731.4287 124 165 119.4079 944 212 50 243 620.7617 125 47 112.0309 944 212 50 179 939.9774 126 38 128.1332

1018 196 50 328 2071.803 127 10 156.3927 991 202 50 245 3898.922 128 195 209.1367 991 202 50 247 4205.244 129 127 163.0194 991 203 50 247 2796.496 130 131 161.1971 987 203 50 213 2186.538 131 122 143.6646 991 199 51 377 727.8904 132 143 129.807 992 202 50 215 1702.049 133 26 157.9181 992 202 50 198 1263.231 134 190 160.4241 992 202 50 198 1263.231 135 12 144.9925 976 202 50 247 1439.436 136 68 150.1249 979 202 50 247 1789.709 137 19 127.3596 993 205 50 236 1031.791 138 162 117.1553 991 202 50 247 4205.244 139 108 143.4746 962 205 50 236 1467.343 140 30 113.8464 974 205 50 236 2993.809 141 67 133.3878 987 202 50 215 1691.292 142 133 131.1518 987 202 50 215 1691.292 143 51 121.8689 991 203 50 255 2758.293 144 38 145.5992 991 202 50 247 4205.244 145 130 146.862 990 203 50 255 3113.552 146 128 168.0024 991 202 50 247 4205.244 147 145 116.9107 968 204 50 176 1111.945 148 1 107.51 991 200 50 255 1559.809 149 53 107.0849 991 200 50 223 1056.979 150 88 110.3525 979 203 50 223 2363.533 151 129 116.9676




979 203 50 221 2275.538 152 122 131.9682 979 203 50 221 2275.538 153 31 138.852 977 203 50 243 2530.433 154 25 128.4273 911 215 51 4 561.7744 155 47 99.91524 911 215 51 84 687.7846 156 9 112.2089 910 220 50 51 744.7635 157 185 125.7612 904 213 51 165 652.1973 158 127 115.3761 967 206 50 126 947.842 159 40 123.685 967 207 50 126 1106.006 160 93 125.1881 934 215 50 63 1052.741 161 9 146.0198 934 215 50 63 1052.741 162 61 146.67 991 202 50 247 4205.244 163 21 191.0231 930 215 50 61 1142.348 164 15 179.7159 934 213 50 65 1129.977 165 75 187.59 969 206 50 240 1902.599 166 126 204.7023 969 205 50 240 2286.89 167 25 223.3658 991 202 50 247 4205.244 168 100 242.2803 991 202 50 247 4205.244 169 161 283.4165 991 202 50 247 4205.244 170 40 186.7179 942 215 50 57 815.937 171 186 177.276 989 202 50 253 5691.499 172 57 208.4381 997 207 49 165 997.4755 173 102 153.771 989 202 50 253 5691.499 174 90 184.189 990 202 50 240 3344.328 175 65 181.0261 990 202 50 240 3344.328 176 93 167.278 990 202 50 241 3463.68 177 137 159.5764 990 202 50 241 3463.68 178 79 179.4508 991 200 50 240 1292.28 179 71 144.4018 991 200 50 248 1427.621 180 43 149.4958 949 207 50 163 1135.219 181 97 162.5906 951 207 50 163 1253.925 182 194 151.2197 991 202 50 253 5362.688 183 36 165.1852 957 207 50 227 1458.039 184 196 172.954 989 202 50 253 5691.499 185 153 197.6715 989 202 50 253 5691.499 186 58 219.3961 992 202 50 253 4794.212 187 190 228.1186 989 202 50 253 5691.499 188 74 205.5735 989 202 50 253 5691.499 189 127 216.1529

1018 197 50 383 3133.557 190 34 258.2694 989 202 50 253 5691.499 191 145 241.6371 989 202 50 253 5691.499 192 187 274.9225 989 202 50 239 3222.026 193 53 212.127 989 202 50 253 5691.499 194 163 217.0352 968 204 50 255 1597.254 195 71 209.8348 989 202 50 253 5691.499 196 134 247.4259

1018 197 50 408 2012.387 197 70 179.7044 1005 200 50 284 3608.679 198 176 175.4718

985 203 50 235 4413.388 199 35 192.11 980 206 50 233 1403.302 200 186 128.6396



Variação das adequações do melhor elemento a cada geração :

ADEQUAÇÃO x G ERAÇÕES

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193

Variação da média das adequações de cada geração

media adequacoes

0

50

100

150

200

250

300

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 151 161 171 181 191 201

geracao

ad

eq

ua

ca

o



Como variam os parâmetros geração a geração e valor da adequação:

Variaveis x Gerações

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 127 134 141 148 155 162 169 176 183 190 197

Geração

Va

riá

veis

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Ad

eq

ua

ção

E barra

Kmola 2

E fio

K mola 1

ADEQ



6.2.6.1 - Comentários : Podemos notar, pela análise dos. gráficos, a enorme variação sofrida tanto pela adequação do melhor elemento da 1a. geração em relação à última geração, como a melhora da média da população como um todo (mesmo sem considerarmos elitismo). Isso nos mostra explicitamente, a evolução sofrida pelos indivíduos ao longo das gerações, demonstrando a premissa básica do AG que é a evolução natural dos indivíduos ao longo das gerações.

Neste exemplo, o AG forneceu os valores aproximados para os parâmetros da estrutura:

elemento Ebarra Kmola 2 Efio K mola 1

102 989 202 50 253

U1 U2 U3 U5 U6 U7 DIFERENCAS PADIFERENCDIFERENCDIFERENCDIFERENCDIFERENCDISTANCIAADEQUAC GERACA-6.3E-07 -0.00463 -0.02016 -0.08724 -0.11263 -0.12031 -7.6792E-05 -0.00014 -2.5E-05 -1.8E-05 -6.9E-05 7.84E-06 0.000176 5691.499 17



(m) D – U1 0.0000761626 E – U2 -0.0044908147 F – U3 -0.0201363043 G – U4 -0.0872259186

H – U5 -0.1125653327

I - U6 -0.1203129131

Temos assim, para Ebarra erro de 1.1 % (989 ao invés de 1000), Kmola 2 erro de 1% (202 ao invés de 200), Efio resposta exata (50) e para K mola 1 erro de 15.6 % (253 ao invés de 300).

Estes parâmetros, representaram uma distância de 0.000176 m da resposta exata, o que pode ser considerado um erro muito pequeno para a estrutura global.



6.2.7 – Considerações sobre o exemplo: Podemos novamente perceber, pelos resultados obtidos, ser a análise inversa de estruturas acoplada ao processo de AG, uma poderosa e promissora ferramenta para a avaliação estrutural, pois calibrando-se um modelo matemático (por exemplo modelado através da Análise Matricial) com base em parâmetros reais obtidos em campo através de instrumentação, teremos uma modo bastante confiável para tomarmos decisões importantes sobre o futuro dessa estrutura. Frisamos a eficiência do processo tendo agora pesquisado 4 parâmetros (Ebarra, Kmola 1 e 2 , Efio). Apesar de não chegarmos neste exemplo a resposta exata, o AG aproximou a solução nos levando a deformações muito próximas das reais, mesmo tendo um erro maior para um dos parâmetros, o que também é justificável pois o espaço pesquisado de aproximadamente 40000 soluções num universo de 4001 x 501 x 501 x 501 = 503.131.755.501 soluções é praticamente nulo, correspondendo a pesquisa de apenas 7.95 x 10-6 % do espaço global de soluções.

Ainda, da observação do 3º. Gráfico elaborado para este exemplo, podemos perceber que quando a variável Kmola 1 passou da faixa aproximada de valor 400 para mais ou menos 200, houve uma melhora acentuada da adequação. O mesmo ocorreu quando mais para frente, houve um aumento de 200 para o valor de 253. Isto nos leva a crer, que a resposta exata deverá estar neste intervalo (253< Kexato<400). Assim, se voltarmos ao AG e considerarmos somente a variação desse parâmetro, com os outros parâmetros obtidos travados, deveremos melhorar a resposta.

Também pode ser melhorada a discretização da barra, pois se tormarmos mais pontos para medida das flechas, ajudaremos o AG a aumentar sua eficiência. Isto ocorre, pois se houver influência maior da flecha de algum nó sobre os outros quando da avaliação de determinada solução, ao aumentarmos o número de pontos estudados, estaremos diminuindo este erro. Este raciocínio vem comprovar uma das premissas da retroanálise, já abordada no capítulo três que diz o seguinte :

“ ... é necessário que o número de medidas disponíveis seja maior ou igual ao

número de parâmetros desconhecidos, obtendo-se um sistema de equações cuja solução

obtida é baseada em um método de minimização adequado ...”



6.3 - Exemplo de Aplicação 3 : Análise Inversa de uma placa Ortótropa

6.3.1 – Introdução A finalidade deste exemplo, é o entendimento do processo do método de Análise Inversa com utilização do AG e a calibração do aplicativo implementado, para sua posterior aplicação em outras análises, contendo um número maior de grandezas envolvidas. Foi desenvolvido baseado no exemplo 1 presente em (Junior; Lindiquist e Cheung ,2004). Através do AG, deveremos partir da premissa que os parâmetros elásticos do modelo são desconhecidos, e através de seus deslocamentos averiguados, o AG deverá gerar tais parâmetros de maneira exata ou aproximada. 6.3.2 – Desenvolvimento do Modelo Para simulação da estrutura real, foi desenvolvido um modelo no programa SAP 2000. O modelo desenvolvido consiste em uma placa ortótropa, definida com os parâmetros elásticos Ex, Ey e Gxy, os quais deverão ser gerados e otimizados pelo aplicativo implementado. Consiste em uma placa bi-apoiada com 10 metros de vão, 5 metros de largura e 20 centímetros de espessura. Os valores dos parâmetros elásticos iniciais do modelo a ser pesquisado são:



Ex Ey Gxy (kN/cm2) (kN/cm2) (kN/cm2)

2000 200 50 Foram aplicadas duas cargas de 75 kN, e lidos os deslocamentos conforme as tabelas abaixo : Ponto de leitura dos deslocamentos

X Y deslocamentos iniciais (Z)

(cm) (cm) (mm) 1 (No 229) 500 -250 8.26566 2 (No 174) 500 0 4.80568 3 (No 237) 500 250 0.84232

Definição do carregamento

P1 500 -200 75 kN P2 500 0 75 kN

6.3.3 - Função de Avaliação A função que avaliará os indivíduos gerados pelo AG, será dada pelo inverso da raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças entre os deslocamentos medidos no modelo inicial (faz o papel da nossa estrutura real) e os deslocamentos obtidos pelo modelo com os parâmetros elásticos, gerados pelo AG. Ou seja, procura-se o conjunto de parâmetros que minimize os três deslocamentos Z1, Z2 e Z3.

6.3.4 – Planilhas de Apoio Para comunicação entre o AG e o programa SAP, foi necessário a elaboração das seguintes pastas de trabalho (extensão .xls) : a) 0-ALGORITMO GENETICO – EXEMPLO 1 – PROPRIEDADES MATERIAIS; b) ALGORITMO GENETICO – EXEMPLO 1 – DESLOCAMENTOS NOS i Através da planilha a, importamos para o SAP, os valores dos parâmetros elásticos gerados pelo AG. Corresponde para o SAP, ao arquivo de materiais diversificados para os quais o programa calculará os deslocamentos nodais material por material;



Após a importação pelo SAP dos materiais constantes na planilha a, são calculados os novos deslocamentos. Os deslocamentos serão exportados para uma planilha b. Esses resultados, posteriormente serão levados ao aplicativo AG, para avaliação de cada parâmetro. 6.3.5 – Parâmetros adotados Para a resolução do problema, o AG foi configurado com os seguintes parâmetros : 6. 3 .5.1 - Tamanho da População .................... : 100 indivíduos 6. 3 .5.2 - Probabilidade de Cruzamento ........ : 90 % 6. 3 .5.3 - Probabilidade de Mutação ............... : 2.5 % 6. 3 .5.4 – Extremos de pesquisa adotados para variação dos parâmetros elásticos : 0 <= Ex <= 4500 kN/cm2 (4501 elementos) 0 <= Ey <= 1000 kN/cm2 (1001 elementos) 0 <= Gxy <= 500 kN/cm2 (501 elementos) 6.3.5.5 - Função de Avaliação

6.3.5.6 – No. de Gerações Como o processo é semi-automático, não foi definido um número máximo de gerações a serem pesquisadas, sendo de critério do operador com base na aproximação dos dados gerados às deformações iniciais do modelo, decidir pela interrupção do processo. Nesse exemplo, paramos o processo após 100 gerações.



6.3.5.7 – População Inicial : Gerada de forma randômica, respeitando-se para cada variável, os intervalos descritos no item 4.

Ex (kN/cm2)

Ey (kN/cm2)

Gxy (kN/cm2) ADEQUACAO ELEMENTO

3175 533 290 21.55677 1 1303 302 387 17.92421 2

63 761 407 0.400558 3 3191 45 207 22.87028 4 3882 790 187 19.63543 5 4329 871 28 20.64166 6 4273 364 262 17.67203 7 3452 54 296 20.09476 8 2109 298 311 29.40442 9 2915 264 140 27.84593 10 3734 825 295 19.02445 11 4437 911 113 18.69042 12 3128 980 122 26.19669 13 2402 106 500 23.56091 14 3043 16 288 22.39193 15

450 103 399 3.547921 16 1280 46 148 20.54634 17 1719 301 474 24.49197 18 4409 401 139 18.43194 19

722 163 323 6.806051 20 1845 413 356 28.04343 21 1468 633 104 32.91272 22

837 583 40 8.203384 23 2061 906 131 53.08295 24 3533 379 145 22.06902 25 4137 632 314 17.68162 26 1928 98 281 31.19217 27 3125 914 417 20.46177 28

102 543 458 0.661718 29 1936 678 251 33.43258 30 2312 463 177 35.85096 31 1822 270 28 62.93075 32 1097 979 30 12.68312 33 1756 365 245 32.38343 34

700 474 129 6.628639 35 2829 542 78 34.29083 36 4223 654 253 17.8756 37 1757 107 392 26.26866 38 2068 754 298 30.2781 39 3747 19 105 21.89223 40

333 105 166 2.458488 41 577 0 268 4.950017 42

2957 544 414 21.30875 43 369 192 339 2.776303 44

2044 357 75 122.5974 45 3170 929 265 21.97647 46

403 758 201 3.104514 47 2078 492 104 67.46773 48 1484 95 295 23.6783 49



Ex (kN/cm2)

Ey (kN/cm2)

Gxy (kN/cm2) ADEQUACAO ELEMENTO

764 928 49 7.272261 50 1997 273 436 26.29073 51 3378 273 337 20.00759 52 1155 90 15 12.20584 53 1452 790 149 28.77201 54 1059 480 127 13.77703 55 1533 45 241 26.56796 56

927 865 294 10.17698 57 3397 928 166 22.47412 58 2443 81 317 26.35817 59 1845 960 57 143.74 60 4156 620 174 18.81297 61

672 480 110 6.227555 62 4472 130 14 20.32595 63 1554 548 461 22.46411 64 2422 406 424 24.46118 65 3718 672 361 18.57639 66 4485 340 248 17.26627 67 1858 695 90 90.37675 68 1903 543 407 26.90704 69 2434 428 255 28.63542 70 1025 619 245 12.30739 71 3064 887 185 24.50935 72 1361 293 75 26.10831 73 2384 223 292 27.72256 74 1636 876 239 30.25141 75

858 684 374 8.84732 76 2763 782 81 35.7287 77 3635 203 478 18.18111 78

296 62 397 2.132547 79 1708 464 60 71.02448 80

520 174 24 3.911434 81 3217 533 281 21.44896 82

975 468 373 10.90649 83 3385 399 452 19.13854 84 3357 89 317 20.28644 85 3209 16 216 22.63599 86 1809 275 493 24.90423 87 3612 696 209 20.48098 88 3305 277 178 22.76853 89 1951 945 61 290.726 90 2907 348 52 35.14066 91

834 78 216 8.636615 92 4317 542 247 17.67647 93 4378 218 189 17.98226 94 1781 282 252 32.22407 95

624 517 483 5.470617 96 2509 909 329 25.62598 97 1985 693 32 130.0551 98 3402 701 249 20.92742 99

699 224 163 6.5955 100




Ex Ey G xy ELEM EN T O UB UC UD D IF ER EN CD IF ER EN CD IF ER EN CD IST AN C IAAD EQ UA C ELEM EN T O1951 945 61 90 -0.01167821 -0.048437695 -0.08403178 -0.00341 -0.00038 0.000201 0.00344 290.726 90



6.3. 6 - Resultados observados : Adequação do melhor indivíduo de cada geração (sem elitismo), média das adequações e melhor elemento de cada geração :

Ex Ey Gxy ADEQUACAO GERACAO ELEMENTO MEDIA 1951 945 61 290.726 0 90 28.06928 1869 105 57 172.7598 1 14 25.54569 1985 693 54 707.362 2 4 42.69507 2019 270 48 1099.255 3 23 64.59703 2016 421 51 995.1008 4 54 102.5763 2016 421 51 995.1008 5 25 118.3814 2017 699 50 907.172 6 3 158.4774 1991 287 54 811.0196 7 39 177.1341 1991 287 54 811.0196 8 96 206.3529 1998 173 52 1404.533 9 66 230.0999 1993 674 50 1034.348 10 2 236.3517 1995 163 50 3330.211 11 84 337.7064 2001 283 51 2311.316 12 78 357.8493 2009 163 50 2102.07 13 17 436.0493 2009 163 50 2102.07 14 89 490.7957 1992 163 50 2481.447 15 19 604.4786 1995 216 51 3083.04 16 3 621.8402 1994 337 51 1857.783 17 62 566.6942 1995 163 50 3330.211 18 18 598.5518 1992 223 51 2573.557 19 20 578.3022 1993 137 50 1957.327 20 55 716.4345 1995 163 50 3330.211 21 21 736.2382 1995 163 50 3330.211 22 49 828.36 1995 167 50 3543.619 23 88 821.868 1995 167 50 3543.619 24 34 912.2426 1995 195 50 4504.69 25 97 986.0486 1999 163 50 4469.463 26 94 938.6747 1999 163 50 4469.463 27 80 973.9065 1995 199 50 4491.144 28 13 828.8354 1995 203 50 4439.758 29 5 772.8429 1995 201 50 4469.778 30 13 795.7146 1995 195 50 4504.69 31 85 809.6702 2003 197 50 7359.369 32 28 877.3004 1999 195 50 20250.11 33 51 1083.245 1998 197 50 11248.8 34 85 1208.986 1999 197 50 21890.4 35 83 1404.169 1998 197 50 11248.8 36 96 1598.769 1998 199 50 11268.44 37 19 1422.12 1999 197 50 21890.4 38 67 2088.182 1999 197 50 21890.4 39 67 2052.008 1999 194 50 19232.4 40 97 1610.662 1999 199 50 22568.07 41 11 1932.732 1999 197 50 21890.4 42 37 1808.82 1999 199 50 22568.07 43 96 1832.452 1999 199 50 22568.07 44 95 1592.348 1999 199 50 22568.07 45 87 1584.112 1999 199 50 22568.07 46 25 1929.92 1999 199 50 22568.07 47 66 1551.327



Ex Ey Gxy ADEQUACAO GERACAO ELEMENTO MEDIA 1999 197 50 21890.4 48 47 1521.052 1999 193 50 18167.72 49 21 1759.347 1999 214 50 11675.48 50 50 1517.425 1999 199 50 22568.07 51 56 1848.422 1999 199 50 22568.07 52 79 2550.309 1999 194 50 19232.4 53 79 2808.577 1999 199 50 22568.07 54 90 2887.962 1999 199 50 22568.07 55 35 3420.695 1999 202 50 21399.92 56 77 4184.786 2000 199 50 192712 57 86 6119.999 1999 195 50 20250.11 58 70 3473.735 2000 199 50 192712 59 3 6291.739 2000 199 50 192712 60 33 5921.834 2000 199 50 192712 61 26 5906.627 2000 197 50 63735.85 62 31 4483.291 2000 199 50 192712 63 80 4878.069 2000 199 50 192712 64 41 10704.11 2000 199 50 192712 65 92 8019.104 2000 199 50 192712 66 4 10091.45 2000 199 50 192712 67 18 18350.67 2000 199 50 192712 68 66 16070.78 2000 199 50 192712 69 21 10881.43 2000 199 50 192712 70 13 15992.4 2000 199 50 192712 71 8 9368.772 2000 199 50 192712 72 19 11936.23 2000 199 50 192712 73 18 13730.82 2000 199 50 192712 74 14 6063.48 2000 199 50 192712 75 11 9938.564 2000 199 50 192712 76 17 14286.33 2000 199 50 192712 77 100 10161.62 2000 199 50 192712 78 13 11843.99 2000 199 50 192712 79 15 12189.82 2000 199 50 192712 80 16 14801.75 2000 199 50 192712 81 100 14731.91 2000 199 50 192712 82 19 10004.83 2000 199 50 192712 83 76 16523.22 2000 199 50 192712 84 9 10478.23 2000 199 50 192712 85 20 9506.127 2000 199 50 192712 86 77 14010.88 2000 199 50 192712 87 95 12959.51 2000 199 50 192712 88 89 11321.3 2000 201 50 194215.6 89 50 10946.34 2000 199 50 192712 90 70 7168.036 2000 198 50 95979.94 91 35 4313.047 2000 198 50 95979.94 92 4 3443.701 2000 201 50 194215.6 93 80 7249.443 2000 206 50 32995.14 94 66 5193.201 2000 199 50 192712 95 91 10824.34 2000 201 50 194215.6 96 73 12284.36 2000 201 50 194215.6 97 42 18550.29 2000 201 50 194215.6 98 69 12003.88 2000 201 50 194215.6 99 9 18499.44 2000 201 50 194215.6 100 46 12323.03



Variação da adequação do melhor indivíduo de cada geração (com elitismo):

0

50000

100000

150000

200000

250000

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101

Variação da média das adequações de cada geração com alta taxa mutação:

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

20000

1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 61 67 73 79 85 91 97


francisco augusto pereira leite 76

6.3.6.1 Comentários : Podemos notar, pela análise dos. gráficos, a enorme variação sofrida tanto pela adequação do melhor elemento da 1a. geração em relação à última geração, como a melhora da média da população como um todo (mesmo sem considerarmos elitismo), e com uma alta taxa de mutação. Isso nos mostra explicitamente, a evolução sofrida pelos indivíduos ao longo das gerações, demonstrando a premissa básica do AG que é a evolução natural dos indivíduos ao longo das gerações.

Verificou-se também, a não convergência da população após 100 gerações devido a alta probabilidade de mutação adotada, o que acarretou sempre de uma geração para outra uma grande variabilidade dos cromossomos gerados com intuito de não ocorrer convergência prematura durante o processo.

Devido à grande aproximação entre os deslocamentos reais (modelo inicial) e os deslocamentos gerados pelos parâmetros elásticos do AG, podemos considerar atingido o objetivo do AG, considerando para os parâmetros elásticos da placa em estudo, os valores desse indivíduo.

elemento Ex Ey Gxy Nó 229 Nó 174 Nó 237 distância 1 distância 2 distância 3

1 2000 201 50 -0.0082668 -0.0480527 -0.0842357 -1.2E-06 4.05E-06 -2.9E-06

DEFORMACOES REAIS p/ modelo Inicial :

Nó 229 Nó 174 Nó 237

-0.008265615 -0.04805680 -0.084232794

Temos assim, para Ex e Gxy, resposta exata e para Ey, erro de apenas 0.5 %.

Novamente, os resultados obtidos nos mostram que a Análise Iinversa de Estruturas acoplada ao processo de AG, será uma poderosa e promissora ferramenta para a avaliação estrutural, pois calibrando-se um modelo matemático (por exemplo modelado em elementos finitos) com base em parâmetros reais obtidos em campo através de instrumentação, teremos um modo bastante confiável para tomarmos decisões importantes sobre o futuro dessa estrutura. Frisamos novamente, a eficiência do processo mesmo quando da pesquisa de mais de um parâmetro (Ex, Ey, Gxy), pois o AG, aproximou a solução chegando a valores muito próximos para os três módulos, com a pesquisa de aproximadamente 10000 possíveis soluções num universo de 4501 x 1001 x 501 = 2.257.256.001 de soluções. Isto corresponde a pesquisa de apenas 0.000443 % do espaço de soluções.



6.3.7 – Considerações finais : O processo dos Algoritmos Genéticos, corresponde a um método robusto e elegante de gerar e testar soluções para um determinado problema. Salientamos que deverá ser levado em conta quando de sua utilização, o caráter estocástico das variáveis e parâmetros envolvidos. Como mostram os exemplos desenvolvidos, poderão se tornar uma poderosa ferramenta também para a análise estrutural, porém, não poderemos deixar de estudar a influência das incertezas que cercam as variáveis envolvidas no resultado final. Como exemplo desta afirmação, poderemos testar como o resultado final no exemplo 3 seria afetado por uma maior ou menor discretização da malha de elementos finitos. Ou então, como o posicionamento e/ou precisão dos sensores para medição das deformações afetará mais ou menos as respostas nos exemplos 1 e 2 . Fica aqui, portanto, sugestão para futuros trabalhos, de avaliação do método quando da variação dos parâmetros envolvidos nos problemas em estudo.



7 - Bibliografia: – Costa, Adriane – Aplicação das Técnicas de Retroanálise em Obras Civis (Dissertação de Mestrado – Escola Politécnica USP – 2000) – Bernardes, Haroldo de Mayo – Retroanálise do Efeito Estrutural das Reações Álcali-Agregado em Barragens de Concreto. (Tese de Doutorado – Escola Politécnica USP – 2000) – Pinto, Cristiano Martins – Algoritmos Genéticos Aplicados à Engenharia de Estruturas (Dissertação de Mestrado – Escola Politécnica USP – 2000) – Silva, Elivaldo Elenildo da – Otimização de Estruturas de Concreto Armado Utilizando Algoritmos Genéticos. (Dissertação de Mestrado – Escola Politécnica USP – 2001) – Junior, Calil Carlito ; Lindquist, Malton ; Cheung, Andrés B. – Calibração das Propriedades Elásticas de uma Placa Ortótropa Utilizando Algoritmos Genéticos. (Trabalho publicado na Revista Sul-Americana de Engenharia Estrutural, v.1,n.2, set/dez 2004) – Filho, Avelino Alves – prof. Dr. – Elementos Finitos. A Base da Tecnologia CAE (Editora Érica – 1ª. Edição 2000) – Junior, Cesar da Silva ; Sasson, Sezar – Biologia 3 – Genética , Evolução , Ecologia , Embriologia (Atual Editora – 3ª. Edição) – Wells, Eric – Desenvolvendo Soluções e Aplicações em Excel 7 / Visual Basic (Makron Books – São Paulo, 1997) – Candreva, Pietro ; Bugan, Antônio – Flexão Composta Normal (Publicação sobre dimensionamento e verificação de seções retangulares de concreto submetidas à flexão composta normal) – Pimenta, Paulo de Mattos – Notas de aula do curso de Análise não Linear de Estruturas – (Processo de Newton / Programação Matemática – EPUSP - 2004) – Structural Analysis Program (SAP 2000) - Manuais de Operação e Tutoriais – Obitko, Marek – Algoritmos Genéticos (Aluno da Universidade Tcheca Técnica – Trabalho desenvolvido na Universidade de Ciências Aplicadas de Dresden – 1998 ) – www.htw-dresden.de – Whitley, Darrel – Tutorial sobre Algoritmos Genéticos (Computer Science Department Colorado State University) – [email protected] – Pereira, Celso F. ; Marchezini, Reynaldo Carvalho – Programação em DBASE (Publicação do Colégio Bandeirantes – Apostila Curso Programação)

– Campanari, Flavio Antonio – Teoria das Estruturas – Volumes 1,2,3,4 (Editora Guanabara Dois – Rio de Janeiro, 1985) – Olivieri, Bruno Perdigão – Otimização do Projeto de Pontes Protendidas Pré-Moldadas pelo Método dos Algoritmos Genéticos. (Dissertação de Mestrado – Universidade Federal do Rio de Janeiro - 2004)



– Nonato, L. V. – Aplicação de Algoritmos Genéticos ao Planejamento de Levantamentos Oceanográficos. (Tese de Doutorado – São Paulo, EPUSP - 1997). – Michaelewicz, Z. – Genetic Algorithms + Data Structures=Evolution Programs (Springer-Verlag – New York, USA,1996) – Whithey, D. ª - Genetic Algorithms – Statistic and Computing Vol. 4 - 1994

dissertacao - revisao c - teses.usp.br · Índice: 1 1 - introduÇÃo 4 2 - as idÉias de charles...

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