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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP
KEIJI NAKAMURA
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS: A TRAJETÓRIA DE
UM CONTEÚDO NÃO INCORPORADO ÀS PRÁTICAS
ESCOLARES
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2008
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP
KEIJI NAKAMURA
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS: A TRAJETÓRIA DE
UM CONTEÚDO NÃO INCORPORADO ÀS PRÁTICAS
ESCOLARES
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como
exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob
a orientação da Prof(a). Dr(a). Ana Lúcia Manrique.
São Paulo
2008
Banca Examinadora
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta
Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________
Este Trabalho é dedicado a todos aqueles que
tiveram a sorte de encontrar nesta linguagem
da ciência um número chamado irracional.
AGRADECIMENTOS
Deus, família, Professor e amigo existem.
Pela humildade, competência, paciência e apoio decisivo, a minha
gratidão à Professora Doutora AAna Lúcia Manrique, orientadora deste
trabalho. Lembrarei com carinho dos momentos de orientação, muito
obrigado.
Ao Professor Doutor BBendito Antonio da Silva, que aceitou participar
da banca examinadora deste trabalho e, assim trouxe observações e
sugestões pertinentes para a finalização do estudo. A cada cruzamento
na PUC, um incentivo, obrigado por tudo.
Ao Professor Doutor AAntonio Sérgio Cobianchi que aceitou participar
na Qualificação deste trabalho e, assim trouxe observações, sugestões,
indicações bibliográficas e contribuições de forma valiosas para a
conclusão deste trabalho. A cada momento de sua preocupação no meu
trabalho, fluíram novas idéias. Jamais vou ser suficientemente
agradecido, muito obrigado mesmo.
Aos Professores Doutores: AAna Paula Jahn, Célia Maria Carolino
Pires, Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, Laurizete Ferragut Passos,
Leila Zardo Puga, Saddo Ag Almouloud, Sandra Maria Pinto
Magina, Sônia Pitta Coelho, Vincenzo Bongiovanni, muito obrigado.
Aos colegas Professores: JJoão Batista de Andrade, Mirtes Fátima
Pasini, Ângela Maria dos Santos. A primeira viagem era um sonho de
Euclides. A segunda viagem era o sonho de Descartes. Outras viagens
eram o sonho de Nicolas Bourbaki. Enfim chegou o sonho da
Professora Ângela, Professor João Batista e da Professora Mirtes. F.
Pasini.
A SScelisul pela ajuda financeira nesse Mestrado.
A todos os funcionários do Programa, em especial ao Francisco
Olímpio da Silva, Secretário do Programa de Estudo de Pós-
Graduação em Educação Matemática da PUC/SP que sempre se
dispôs a ajudar quando necessário.
A Professora HHeleni Sousa pela colaboração na revisão dos textos
matemáticos.
A Professora EElizabeth Kozikoski pela colaboração no abstract.
A Professora SSimone da Silva Dias Caetano pela colaboração,
incentivo e apoio moral.
A minha família: TTeresina (esposa), CClaudia (filha) e RRicardo
Nakamura (filho) pela compreensão e carinho.
A todas as pessoas que de alguma forma contribuíram para a
realização deste trabalho.
O Autor
RESUMO
O objetivo principal deste trabalho é investigar as dificuldades que surgiram ao longo da
história para o desenvolvimento do conteúdo matemático números irracionais e quais a
abordagens estão presentes nos livros didáticos. O assunto números irracionais é
considerado importante na escolaridade básica de Matemática e apresenta-se para os
alunos, nos livros didáticos, como um obstáculo a sua plena compreensão. Um dos
aspectos que pode justificar tal situação é a complexidade com que esse assunto se
manifesta. No entanto, o número irracional pode ser trabalhado em um processo
histórico-epistemológico, fazendo-se um estudo de como se tem processado a
transformação de objeto científico a objeto de ensino em uma organização praxeológica.
Essa organização é o resultado final de uma atividade matemática que apresenta dois
aspectos inseparáveis: a prática matemática, que consta de tarefas e técnicas, e o
discurso fundamentado sobre essa prática, que é constituída por tecnologias e teorias.
Nossas análises apontam que existem fatores os quais interferem no processo de ensino-
aprendizagem de números irracionais relacionados com a organização praxeológica
desse conteúdo nas coleções dos livros didáticos dos anos 70, 90 e 2000. A prova da
irracionalidade com abordagem tradicional euclidiana serviu de parâmetro para avaliar o
grau de dificuldade e analisar o tipo de tarefas, técnicas e o discurso teórico-tecnológico
para a demonstração do número irracional. A organização aponta que a maior dificuldade
está no sistema axiomático que deve satisfazer a duas condições: ser consistente, quer
dizer, os postulados não podem contradizer uns aos outros por si mesmos ou por suas
conseqüências; ser completo e suficiente, no sentido de se ter condições para provar
verdadeiras ou falsas todas proposições formuladas no contexto da teoria em questão. A
prova da irracionalidade em uma abordagem moderna dedekindiana analisada pelo tipo
de tarefas, técnicas e pelo discurso teórico-tecnológico amplia o domínio numérico,
juntando aos números racionais uma nova categoria de números irracionais que vêm
preencher as lacunas da reta numérica. Construir técnicas para modificar e ampliar o
conceito de irracionalidade de outros números é uma abordagem que explora números
na forma a+b 2 , com a e b racionais, e que contribui para a superação da idéia de que
há poucos números irracionais.
Palavras-Chave: números irracionais; organização praxeológica; análise de livro
didático; estudo histórico-epistemológico.
ABSTRACT
The main objective of this work is to investigate the difficulties that appeared along the
history for the development of the mathematical content irrational numbers and which are
the approaches present in the text books. The subject irrational numbers is considered
important in the basic education of Mathematics and it comes for the students, in the text
books, as an obstacle to its full understanding. One of the aspects that can justify such
situation is the complexity that the subject shows. However, the irrational number can be
worked in a historical-epistemological process, by doing a study of how the transformation
of scientific object to an object of teaching in a praxeological organization has been
processing. That organization is the final result of a mathematical activity that presents
two inseparable aspects: the mathematical practice, that consists of tasks and techniques,
and the speech based on that practice that is constituted by technologies and theories.
Our analyses point that factors exist which interfere in the process of teaching-learning of
irrational numbers related with the praxeological organization of that content in the
collections of the text books of the 70s, 90s and 2000. The proof of the irrationality with
traditional Euclidian approach served as parameter to evaluate the degree of difficulty and
to analyze the type of tasks, techniques and the theoretical-technological speech for the
demonstration of the irrational number. The organization points that the most difficulty is in
the axiomatic system that should satisfy to two conditions: to be solid, it means, the
postulates cannot contradict each other for themselves or for their consequences; to be
complete and enough, in the sense of having conditions to prove true or false all
propositions formulated in the context of the theory in subject. The proof of the irrationality
in a modern Dedekind approach analyzed by the type of tasks, techniques and for the
theoretical-technological speech enlarges the numeric domain, joining to the rational
numbers a new category of irrational numbers that fill out the gaps of the numeric straight
line. To build techniques to modify and to enlarge the concept of irrationality of other
numbers is an approach that explores numbers in the form a+b 2, with rational a and b,
and that contributes to overcome the idea that there are few irrational numbers.
Keywords: irrational numbers; organization praxeological; text book analysis; I study
historical-epistemological.
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 ............................................................................................................ 13
Apresentação do trabalho ................................................................................ 13
1.1. Introdução .................................................................................................... 13
1.2. Questão de Pesquisa e Objetivo .................................................................. 16
1.3. Desenvolvimento do Estudo ........................................................................ 17
CAPÍTULO 2 ............................................................................................................ 19
Considerações Históricas e Epistemológicas do número irracional ........... 19
2.1. Antigüidade .................................................................................................. 22
2.1.1. A Matemática do Antigo Egito ............................................................ 22
2.1.2. A Matemática da Babilônia ................................................................. 31
2.1.3. A Matemática Grega Antiga ............................................................... 36
2.1.3.a. Pitágoras ................................................................................ 42
2.1.3.b. Euclides ................................................................................. 45
2.1.3.c. Eudoxo ................................................................................... 46
2.1.3.d. Os Paradoxos de Zenão ........................................................ 48
2.1.3.e. Arquimedes ............................................................................ 50
2.2. Renascimento da Ciência ............................................................................ 55
2.2.1. Galileu ................................................................................................ 55
2.2.2. Cavalieri ............................................................................................. 57
2.3. Idade Moderna ............................................................................................. 58
2.3.1. Descartes ........................................................................................... 58
2.4. Século dezenove .......................................................................................... 59
2.4.1. Bolzano .............................................................................................. 59
2.4.2. Cauchy ............................................................................................... 60
2.4.3. Weierstrass ........................................................................................ 61
2.4.4. Cantor ................................................................................................. 62
2.4.5. Dedekind ............................................................................................ 66
2.5. Considerações ............................................................................................ 71
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................ 73
Análise das Reformas Curriculares e dos Livros Didáticos ......................... 73
3.1. Reformas do Currículo de Matemática ........................................................ 75
3.1.1. Guias Curriculares de Matemática – 1ºgrau – 1975 .......................... 75
3.1.2. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática – Ensino
Fundamental ....................................................................................... 81
3.1.3. Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática – 5ª a 8ª série
do Ensino fundamental ....................................................................... 83
3.2. Livros Didáticos ............................................................................................ 87
3.2.1. Livros Didáticos dos Anos 70 ............................................................. 88
3.2.2. Livros Didáticos dos Anos 90 ............................................................. 91
3.2.3. Livros Didáticos dos Anos 2000 ......................................................... 93
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................ 97
Organização Praxeológica ............................................................................... 97
4.1. Critérios para Análise ................................................................................... 98
4.2. Quadro Sinopse da Aderência às Situações ............................................... 110
CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 115
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 119
FIGURAS E QUADROS
Figura 2.1. Marcos na evolução de número irracional ............................................... 21Figura 2.1.1.1. Tronco de Pirâmide ............................................................................ 23Figura 2.1.1.2. Conjectura sobre a origem da regra de Ahmes ................................. 24Figura 2.1.1.3. Círculo de diâmetro igual a 9 ............................................................. 24Figura 2.1.1.4. Quadrado 8x8 .................................................................................... 24Figura 2.1.1.5. A sua representação simbólica .......................................................... 25Figura 2.1.1.6. Um ponto C divide o segmento AB em duas partes Desiguais Parte
Maior e Parte Menor ........................................................................... 25
Figura 2.1.1.7. A divisão áurea de um segmento(I) ................................................... 26Figura 2.1.1.8. A divisão áurea de um segmento ou divisão em média e extrema
Razão (II) ............................................................................................ 26
Figura 2.1.1.9. A Pirâmide de base quadrada ........................................................... 29Figura 2.1.1.10. Pentágono regular ........................................................................... 29Figura 2.1.2.1. A diagonal de um quadrado de um pequeno tablete da Babilônia
antiga .................................................................................................. 33
Figura 2.1.3.1. Triângulo retângulo ............................................................................ 37Figura 2.1.3.2. Do triângulo retângulo tem se a área do semicírculo de raio c é a
Soma das áreas dos semicírculos de raios a e b ............................... 38
Figura 2.1.3.3. A área da Lua hachurada .................................................................. 38Figura 2.1.3. 4. A área (L) da lua igual a área do triângulo de catetos a ................... 39Figura 2.1.3.5. O esquema de quatro componentes chamado Quadrivium .............. 40Figura 2.1.3.6. Antiga civilização da Grécia e seus marcos das descobertas ........... 42Figura 2.1.3.A.1. Triângulo retângulo (a, b e c) ......................................................... 44Figura 2.1.3.A.2. Esquema do quadrado de lado (a+b) ............................................. 44Figura 2.1.3.A.3. Demonstração do Teorema de Pitágoras ....................................... 44Figura 2.1.3.E.1. Polígono regular inscrito ................................................................. 51Figura 2.1.3.E.2. Polígono regular circunscrito .......................................................... 51
Quadro resumo 2.1.3.E.3. A diferença entre polígono circunscrito e inscrito ............ 53Figura 2.4.4.2. A cardinalidade dos pontos do quadrado e do segmento .................. 66Figura 2.4.5.1. Exemplo um dos Cortes de Dedekind(I) ............................................ 68Figura 2.4.5.2. Exemplo dois dos Cortes de Dedekind(II) ......................................... 69Figura 2.4.5.3. Exemplo três dos Cortes de Dedekind(III) ......................................... 69Figura 3.a. Transposição didática .............................................................................. 74Figura 3.1.1.1. Guias Curriculares – Conjunto dos números irracionais .................... 78Figura 3.1.1.2. Subsídios para implementação do Guia Curricular de Matemática -
Álgebra para o 1º grau – 5ª a 8ª série - informação para o professor 79
Figura 3.1.1.3. Subsídios do Guia Curricular de matemática – Álgebra de 1º grau .. 80Figura 3.2.1.1. Curso moderno para o ensino de 1º grau .......................................... 90Quadro: resumo 1. Síntese das análises realizadas por situação nos Documentos
Oficiais ......................................................................................... 111
Quadro resumo 2. Síntese das análises realizadas por situação nas coleções de
Livros didáticos ............................................................................ 112
CAPÍTULO 1
Apresentação do Trabalho
O avesso de um bordado não é tão bonito, mas é mais esclarecedor, pois deixa ver como são dados os pontos.
(SCHOPENHAEUER apud BRAGA, 2006, p. 5).
1.1. Introdução
No ápice do Movimento da Matemática Moderna (MMM) no Brasil, nos
anos 70, uma de nossas preocupações foi a de buscar caminhos que não
acarretassem prejuízos à aprendizagem da Matemática de nossos alunos, fato
que nos levou diversos questionamentos, entre eles:
Com que objetivo ensinamos o conteúdo números irracionais?
Para que servem os números irracionais?
Onde vamos usar os números irracionais?
Para que estudá-los?
Afinal, após ouvir uma composição de Mozart, admirar um quadro de Da Vinci ou ler um soneto de Camões, ninguém pergunta: para que serve isso? (GARBI, 2007, p. 5).
No dia-a-dia, jamais nos deparamos com uma situação onde precisamos
expressar resultados de medições com números possuindo infinitas casas
decimais. Na prática, sempre que necessitamos dessas medidas, precisamos
apenas de aproximações.
13
As nossas respostas como professores para essas e outras perguntas
continuam limitadas, pois ainda não sabemos realmente o que devemos fazer
para melhorar o processo de ensino e aprendizagem desse conteúdo e, por isso,
aparentes dificuldades dos alunos do Ensino Fundamental relacionadas a alguns
conceitos e aplicação de números irracionais.
Refletindo sobre o processo de ensino implementado para esses números,
chegamos a seguinte hipótese: os obstáculos podem ser encontrados na própria
evolução histórica, principalmente na passagem do conjunto dos números
Racionais para os Reais.
Ao analisar a prática do professor em sala de aula, verificamos que
estudos sobre os saberes desse profissional parecem revelar baixos níveis de
compreensão e domínio do conhecimento matemático a ser ensinado. De acordo
com PAIS (2002), neste caso com o avanço das idéias científicas, certos
conhecimentos quando defendidos cegamente por aqueles que o detêm,
impedem a aproximação de novo saber.
A partir dessas observações, ao tentarmos refletir sobre nossa prática,
novas preocupações vimos-nos envoltos em atendemos aos interesses dos
alunos?
Conseguimos identificar as dificuldades enfrentadas pelos alunos para
aprender a Matemática?
Resolvemos, então, buscar respostas para nossos questionamentos e
fomos para o Mestrado Profissional em Ensino de Matemática na PUC-SP. De
acordo com o Histórico do Programa (PUC/SP, 2005).
A área de Educação Matemática inclui pesquisas sobre as questões de ensino e de aprendizagem e também sobre o desenvolvimento profissional do professor em sua prática. A vertente de Mestrado Profissionalizante em Ensino pode atender aos anseios de formação de professores que buscam novas formas de atualização, o que nem sempre significa de desenvolver pesquisas acadêmicas. As alternativas de formação continuada comumente oferecidas aos professores dos ensinos fundamentais e médios – cursos de pequena duração, desarticulados de sua prática – não têm produzido resultados positivos. Nesse contexto, o Mestrado Profissionalizante em Ensino, organizado com currículo que contemple sua área específica de conhecimento e sua formação didática – pedagógica, foi considerada uma alternativa potencialmente interessante.
14
O Mestrado Profissionalizante em Ensino, de acordo com as normas da CAPES, tem caráter de preparação profissional na área docente, focalizando o ensino, a aprendizagem, o currículo, a escola e o sistema escolar. Deve também contribuir efetivamente para a evolução do sistema de ensino, seja pela ação direta em sala de aula, seja pela ação em espaços educativos em que a atuação do professor é fundamental: escola, comunidade, associações científicas etc.
O presente trabalho é o resultado de nossa busca. Procuramos fatores
predominantes para compreendermos as dificuldades que muitos professores e
alunos têm na compreensão dos números irracionais.
Em 2005, matriculamos-nos no Programa de Mestrado Profissional da
Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP de acordo com a linha de Pesquisas: A
Matemática na Estrutura e Formação de Professores, cujo objetivo é estudo do
papel que a Matemática desempenha na estrutura Curricular do ensino elementar
e médio e o estudo sobre a reorientação da Formação do Professor de
Matemática com ênfase nas pesquisas sobre as representações dos professores
em sua prática e sobre as relações professor-aluno-saber matemático.
O Tema do nosso trabalho é o Conjunto dos números Irracionais: a
trajetória de um conteúdo não incorporado às práticas escolares, já que os
números Irracionais são um dos mais intrigantes temas da matemática elementar,
sendo ainda hoje assunto de pesquisa.
O objetivo principal deste trabalho é investigar as dificuldades que surgiram
ao longo da história para o desenvolvimento do conteúdo matemático números
Irracionais e quais abordagens estão presentes nos livros didáticos.
Esperamos que o produto final de nosso trabalho seja significativo para os
professores, ao colocá-los em contato com essa pesquisa, conseqüentemente
aos alunos. Assim, o nosso propósito ao apresentarmos este trabalho é contribuir
para a formação do professores de matemática, educadores e educandos e levá-
los a outros ramos de conhecimentos.
De acordo com Sacristán (1998, p. 37), as teorias são vários modelos que
costumam influir na construção de um currículo antes de ser interpretado pela
comunidade de professores. A primeira conseqüência, tanto para o professor
15
quanto para o aluno, é que o currículo não reflete a realidade em sua verdadeira
complexidade.
A organização Curricular deve criar um ambiente escolar que possa ser caracterizado como espaço em que, além de buscar dados e informações, as pessoas tenham possibilidade de construir seu conhecimento e desenvolver sua inteligência com suas múltiplas competências. O processo de construção de um currículo assim concebido só pode ser um processo em constante construção e renegociação, que leve em conta o princípio de metamorfose das redes. (PIRES, 2000, p. 203-4)
Ao refletirmos sobre nossas experiências como professores, percebemos
que, com o decorrer dos anos, as perguntas mudaram, mas as dúvidas persistem
nas cabeças dos professores de matemática.
Nas décadas de 70 a 90, os questionamentos dos professores e alunos
eram: os por quês, para que, onde vamos usar isso?
Atualmente, os professores e alunos continuam com perguntas: por que
temos dificuldades de ensinar e aprender?
1.2. Questão de pesquisa e objetivo
Considerando essa reflexão inicial, propomos então a nossa questão:
Que dificuldades surgiram ao longo da história de Matemática para o
desenvolvimento do conteúdo matemático números irracionais, e quais
abordagens estão presentes nos livros didáticos?
Logicamente, a consideração deste trabalho não é suficiente e nem temos
a pretensão de esgotar o assunto, muito ao contrário, destina-se apenas
despertar a atenção sobre o tema Números Irracionais. Acreditamos também que
uma nova abordagem do Conjunto dos números irracionais deve ser construída
especificamente voltada para a formação de professores e que tal abordagem
teria que partir fundamentalmente da problemática da apresentação conceitual e
uma visão global dos conjuntos numéricos que efetivamente instrumentalize para
o ensino.
16
1.3. Desenvolvimento do Estudo
No capítulo dois faremos uma análise histórico-epistemológica dos
números irracionais, na qual constatamos que a sua evolução seguiu um caminho
muito longo e com muita dificuldade, sendo que a verificação da irracionalidade
de um dado número só é possível, naturalmente, no âmbito da própria
matemática. Nenhuma verificação empírica, nenhuma medição de grandezas, por
mais precisa que seja, provará que uma medida tem valor irracional. Os trabalhos
desenvolvidos nas Antigas civilizações do Egito, Babilônia e Grécia através dos
estudiosos como Pitágoras (586 a.C.-500 a.C.), Euclides, Eudoxo (408 a.C.-355
a.C.), Zenão e Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.); e dos estudos de Galileu (1564-
1642), Descartes (1596-1650), Cavalieri (1598-1647), Bolzano (1781-1848),
Cauchy (1789-1857), Weiersttrass (1815-1897), Cantor (1845-1918) até chegar a
Dedekind (1831-1916), ocupam posições de destaque nessa caminhada,
separando os números Racionais em duas classes A e B para determinação do
número Irracional.
No capítulo três faremos uma investigação da evolução do conceito de
números irracionais nos livros didáticos do Ensino Fundamental e nas Reformas
do ensino mais recentes.
No capítulo quatro apresentamos uma análise dos livros didáticos,
utilizando a noção de Organização Praxeológica proposta por Chevallard (1995),
presente em sua Teoria Antropológica do Didático, que situa a atividade
matemática no conjunto das atividades humanas e das instituições sociais.
E terminamos com nossas considerações finais.
17
CAPÍTULO 2
Considerações Históricas e Epistemológicas do Número
Irracional
Todo professor do Ensino Fundamental, Médio e Universitário deveria conhecer a história da Matemática. Há muitas razões para isto, mas ser um excelente guia
pedagógico é talvez a mais importante. (MORRIS KLINE apud CARVALHO, 1984, p. 13)
Neste capítulo temos como objetivo fazer uma viagem panorâmica histórica
que nos auxilie na reflexão a respeito da importância do tema números irracionais
como objeto de estudo.
A compreensão epistemológica da evolução do conhecimento do número
Irracional, considerando sua motivação filosófica e social tem sido um recurso
bastante válido, nos auxiliando a entender a coerência e estrutura do
conhecimento do aluno.
STRUIK aponta seis aspectos que tornam o estudo da história da
Matemática atrativo:
1) ele satisfaz o desejo de muitos de nós de sabermos como as coisas em
matemática se originaram e se desenvolveram;
2) o estudo de autores clássicos pode oferecer uma grande satisfação em
si mesmo, mas também pode ser um auxiliar no ensino e na pesquisa;
3) ele ajuda a entender nossa herança cultural, não somente através das
aplicações que a matemática teve e ainda tem na astronomia, na física
e outras ciências, mas também devido às relações que ela teve e ainda
tem com campos variados como a arte, a religião,a filosofia e as
técnicas artesanais;
19
4) ele pode proporcionar um campo onde o especialista em matemática e
os outros campos da ciência podem encontrar interesse comum;
5) ele oferece um pano de fundo para a compreensão das tendências em
educação matemática no passado e no presente;
6) podemos ilustrar ou tornar mais interessante o seu ensino e
conversação com historietas. (STRUIK, 1985, p. 213 apud MATEUS,
2007, p. 61)
Segundo D’Ambrósio (1999), a introdução da História da Matemática para
o ensino pode ser considerada elemento motivador e, mesmo, caminho para
esclarecer idéias Matemáticas, incluindo-as em um Movimento Humanista.
Para conhecermos melhor a história dos marcos da evolução do conceito
de número irracional, começaremos a estudar as Civilizações Antigas: Egito,
Babilônia e Grécia. Parece que os gregos nunca chegaram a ter uma concepção
clara do que nós chamamos hoje de número irracional. Para tentar entender por
quê os gregos não conseguiram explicar as contradições geradas pelo fenômeno
da incomensurabilidade, por isso estudaremos alguns estudiosos gregos como
Pitágoras, Euclides, Eudoxo, os Paradoxos de Zenão e Arquimedes.
Talvez da Grécia tenham partido as primeiras grandes provocações
filosóficas da época como algo que não estava sendo compreendido ou
suficientemente explicado pelos conhecimentos já existentes. Os estudiosos
partiram na incessante busca de explicações, gerando assim novas descobertas
matemáticas que permanecem válidas até hoje como o famoso Teorema de
Pitágoras,
No período do Renascimento da Ciência, estudaremos alguns seguidores
da Rainha das Ciências italianos como Cavalieri (1635) e Galileu (1638). Nesse
período, os estudiosos em matemática enfrentaram novos paradoxos: Quantos
elementos tem o conjunto dos números naturais? E dos inteiros? E dos racionais?
E dos irracionais? O conjunto dos naturais tem o mesmo número de elementos
que o conjunto dos inteiros? Esses paradoxos não foram superados sem traumas
pelos estudiosos da matemática.
20
Na época da Idade Moderna estudaremos a invenção da Geometria
Analítica do filósofo Descartes (1639).
No Século XIX estudaremos a evolução do Conceito do Número Irracional
com: Bolzano (1820), Dedekind (1872), Cantor (1883). As respostas a várias
provocações só foram consideradas satisfatórias no final do século XIX com os
trabalhos sobre os números irracionais de Dedekind, dentre outros.
ANTIGÜIDADE
A Conquista O Homem País A Época
Constata a existência de SEGMENTOS
INCOMENSURÁVEIS
PITÁGORAS Grécia Séc. VI a.C
A TEORIA DAS PROPORÇÕES(método de
exaustão)
EUDOXO Grécia Séc. IV a.C.
Primeira crise no conceito de INFINIDADE. ZENÃO Grécia Séc. IV a.C.
Primeira formulação do conceito LIMITE. ARQUIMEDES Grécia Séc. III a.C.
RENASCIMENTO DA CIÊNCIA
A Conquista O Homem País A Época
Primeiro uso sistemático das FRAÇÕES
CONTÍNUAS.
BOMBELLI Itália Séc. XVI D.C.
Formulação do INFINITO. CAVALIERI Itália 1635
Primeira formulação do CONJUNTO INFINITO GALILEU Itália 1638
IDADE MODERNA
A Conquista O Homem País A Época
Invenção da GEOMETRIA ANALÍTICA DESCARTES França 1639
SÉCULO DEZENOVE
A Conquista O Homem Pais A Época
Primeira Formulação da POTÊNCIA de um
conjunto
Bolzano Alemanha 1820
Primeira Teoria Científica dos IRRACIONAIS Dedekind Alemanha 1872
Segunda Teoria Científica dos
IRRACIONAIS
Cantor Alemanha 1883
Invenção do TRANSFINITO Cantor Alemanha 1883
Figura 2.1. Marcos na evolução do conceito de número irracional (DANTZIG, 1970, p. 214-5)
21
2.1. Antigüidade
2.1.1. A Matemática do antigo Egito
O conhecimento do Antigo Egito ainda não foi completamente descoberto, mas já se sabe que eles foram mestres na medicina,
na astronomia e, principalmente, na engenharia. (GONÇALVES, nº 3, p. 11).
Os egípcios há 6.500 anos escreviam números sem se importarem com a
ordem dos símbolos e com o princípio aditivo. Usavam base dez, como fazemos
hoje, mas não adotavam notação posicional. Temos como exemplos: e
||| que correspondem ao valor vinte e três nos dias de hoje.
|||
A base dez não aparece como uma constante na evolução dos sistemas de
numeração já que outras bases também foram usadas; o mesmo acontece com a
notação posicional.
A matemática era conhecida pelos antigos egípcios como receitas práticas
que, muitas vezes, funcionavam por aproximação e eram resultados de tentativas
e erros feitos durante milênios. Conheciam o teorema que, mais tarde, passou a
chamar-se Teorema de Pitágoras e desenvolveram fórmulas para o cálculo de
áreas e volumes. Criaram um calendário de 365 dias e inventaram o relógio de sol
e a balança.
A civilização egípcia sempre foi considerada uma grande atração do ponto
de vista histórico e matemático, pois ao longo de sua fascinante trajetória
apresentou uma vasta coleção de documentos matemáticos, como os papiros de
Rhind e de Moscou. Os quais são considerados os trabalhos mais importantes da
matemática egípcia, por apresentarem o maior número de problemas, os quais
surgiram para auxiliar as atividades práticas de agricultura e engenharia.
Documento importante, que juntamente com o Papiro de Rhind formam a
base de conteúdos matemáticos, desenvolvidos pelos egípcios, é o Papiro de
Moscou, comprado em 1858, que, provavelmente foi escrito por volta de 1890
antes de Cristo e contém 25 problemas, os quais retratam a vida prática e não se
diferem muito dos encontrados no Papiro de Rhind. Contudo, há dois exemplos
neste que têm significado especial. Um deles retrata um cálculo de volume para o
22
tronco de uma Pirâmide de base quadrada, no qual se constatou que os egípcios
tinham conhecimento da fórmula V= (a2+ab+b2).3
h, em que h era a altura do
tronco da Pirâmide, a e b eram os lados das bases quadradas. Apesar de essa
fórmula não ter sido encontrada em nenhum outro lugar, segundo ZUFFI (2004-
2005, p. 55), era evidente conhecida em essência pelos egípcios.
Figura 2.1.1.1. Tronco de Pirâmide
Segundo Boyer (1974, p. 16), os papiros tinham uma essência prática no
que diz respeito aos fundamentos e utilidades da Matemática Egípcia, a qual não
se preocupava com o aprofundamento teórico. Esses documentos poderiam se
tratar de guias para estudos e aplicações desses temas.
Ainda temos no Egito Antigo o cálculo de aproximações numéricas simples
de , que aparece no problema 50 do Papiro Rhind e trata da tentativa de
determinação da área de campo circular. A solução sugere: tire 1/9 do diâmetro e
eleve ao quadrado o resto. Disso se deduz que os egípcios aproximavam por
256/81 =3,16049... Essa aproximação remete à nossa questão de pesquisa por
apontar uma maneira de os egípcios resolverem o problema da representação
dos números irracionais, aproximando-os com fração de números inteiros.
Há indícios de que chegaram a essa solução utilizando um octógono
inscrito num quadrado de lado D cuja área, visualmente, semelhante à do círculo.
23
A área de tal octógono é D9
7 2 ou seja, D81
63D
9x9
9x7 22 , que ele teria aproximado
para )D9
8(D
81
64 22 .
Figura 2.1.1.2. Conjectura sobre a origem da regra de Ahmes
Vejamos um exemplo numérico.
Figura 2.1.1.3. Círculo de diâmetro igual a 9 Figura 2.1.1.4. Quadrado: 8x8
24
Área do Círculo = r 2 = )2
9(
2
u.a.
Área do Quadrado: lado x lado = 8x8 u.a.
Ao pensarmos na equivalência das áreas obtemos um valor aproximado de
:
)2
9(
2
=8x8 16,381
133
81
256
81
4x6464)
4
81(
De acordo com BROLEZZI (1996, p. 13) o antigo egípcio usava esse
recurso que poderia tornar possível contornar o problema das grandezas
irracionais, ou seja, usava números para lidar com a geometria, aproximando
numericamente o valor da área de um círculo pela área de um quadrado. De
maneira geral, utilizavam números para contagem e para medidas, sem distinção
clara nas atividades.
TAHAN (1972, p. 232) aponta que dividir um segmento AB em média e
extrema razão é dividi-lo em duas partes, AC e CB, tais que todo (AB), dividido
pela parte maior (AC), seja igual à parte maior dividida pela parte menor.
Simbolicamente temos:
Figura 2.1.1.5. A sua representação simbólica.
Figura 2.1.1.6. Um ponto C divide o segmento AB em duas partes desiguais: parte Maior e parte
Menor.
25
Figura 2.1.1.7. A divisão áurea de um segmento, ou divisão em média e extrema razão
Um ponto C divide o segmento AB em duas partes desiguais: parte maior e
parte menor. Observamos que a parte maior é uma média entre o todo e a parte
menor; a razão é extrema porque não existe, no caso, outra solução da qual
resulte a igualdade entre as razões segmentárias. E, para o ponto C, uma posição
extrema, denomina-se média e extrema razão. Esse ponto que divide o segmento
AB em média e extrema razão é chamado ponto de ouro do segmento AB.
Estando o ponto de ouro no segmento diremos que ele é interno e, nesse caso, o
maior segmento AC é determinado de segmento áureo interno.
Figura 2.1.1.8. A divisão áurea de um segmento, ou divisão em média e extrema razão.
Se o ponto C, fora do segmento AB, isto é, o ponto de ouro externo C fica
no prolongamento do segmento AB, podemos dizer que o ponto C divide AB em
média extrema razão. O segmento AC é chamado segmento áureo externo.
Lucas Pacioli (1445-1514) descobriu que existe uma certa divisão que é a
máxima expressão harmoniosa, momento agradável ao espírito, aquela que tem a
preferência dos artistas, dos arquitetos, dos escultores e dos estudiosos em
matemática, ou seja, a divisão em média e extrema razão. Essa divisão áurea foi
criada por Leonardo da Vinci (1452-1519), segundo TAHAN (1972, p. 235-6).
Se C divide o segmento AB em média e extrema razão, ou, ainda, C ocupa
a posição de Ouro no segmento AB, se e somente se, CB
AC
AC
AB, na figura 2.1.8,
AB=AC+CB com AC>CB, logo,
26
0)CB()AC)(CB()AC()CB()AC)(CB()AC(CB
AC
AC
CBAC 2222
,01CB
AC
)CB(
)AC(2
2
pela fórmula de Bháskara (*):
02
51
CB
AC e
2
51
CB
AC<0.
Das duas raízes dessa equação: 2
51
CB
AC e
2
51
CB
AC, a raiz
positiva é o ponto de ouro interno e a raiz negativa é o ponto de ouro externo. A
“Posição de ouro” é a expressão utilizada por BIEMBENGUT (1996) quando se
refere à posição do ponto C sobre AB , determinando a seção áurea desse
segmento (p. 13) (CORBO, 2005, p. 58).
Segundo CORBO (2005, p. 58), 2
51
CB
AC é conhecida como Razão
Áurea entre os segmentos AB e AC ou AC e CB. Por sugestão do matemático
americano Mark Barr, foi adotada a letra (Phi), para representar o número
irracional2
51, em homenagem ao escultor grego PHIDIAS (490?-430?), pois
foi observado que em suas obras há uma predileção por dimensões que atendem
à Razão Áurea.
De acordo com ÁVILA (1985, p. 11), chamamos de divisão Áurea de um
segmento, a divisão em média e extrema razão, enquanto que o número da razão
de medida (AB)=a e a medida (CA)=b da figura 2.1.1.6, b
a=
2
15 é conhecido
como razão Áurea.
A matemática e a razão Áurea em particular proporcionam um rico tesouro
de surpresas desse tipo. Se CB
ACx, substituindo em (*) x2-x-1=0. Baseada na
construção de um método interativo do tipo x=f(x), temos x=1+x
1, a fração
27
contínua periódica que corresponde a razão Áurea é composta somente de uns,
ela converge muito lentamente.
...1
11
11
1x
A razão Áurea é, nesse sentido, mais difícil de expressar como uma fração
do que qualquer outro número irracional ou seja, é a mais irracional dos
irracionais.
Segundo LÍVIO (2006, p. 72), em 1999 o escritor francês Micdhat J. Gazelé
escreveu um assunto muito interessante no livro Gnomo: Dos faraós aos fractais;
em que dizia: “Disseram que o historiador grego Heródoto aprendeu com
sacerdotes egípcios que o quadrado da altura da Grande Pirâmide é igual à área
da sua face lateral triangular”. Então, podemos dizer que a Grande Pirâmide foi
projetada de modo que a razão entre a altura de sua face triangular e a metade
do lado da base quadrada fosse igual à Razão Áurea.
SARAIVA (2002, p. 4) apresenta um cálculo aproximado de ,
considerado Razão Áurea, para uma pirâmide.
Dados:
A altura da pirâmide é h=146,59 metros.
A aresta da base quadrada é 2.a = 230,33 metros
A metade da aresta da base é a = 115,165 metros.
S a altura da face triangular da pirâmide.
Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
S2 = (115,165 m)2 + (146,59 m)2
S2 = 13262,97723 m2 + 21488,6281 m2 = 34751,60533 m2
S = 186,4178246 metros
28
a
S= 618,1
m165,115
m4178246,186
(SARAIVA, 2002, p. 4)
Figura 2.1.1.9. A pirâmide de base quadrada.
Um outro exemplo do número Áureo 2
51 pode ser observado da razão
entre os comprimentos de uma diagonal de um lado do pentágono regular.
Figura 2.1.1.10. Pentágono regular
29
I) O ângulo ABC = 108º (ângulo interno do pentágono regular).
II) O triângulo ABC é isósceles, implica que ângulo BAC e ângulo BCA são
congruentes, ou seja, o ângulo BAC é igual ao ângulo BCA=36º. Logo
ângulo ABF = 36º.
Analogamente, ângulo ABE = ângulo DBC=36º
Portanto ângulo FBG=108º-72º=36º
Ângulo BGC=108º, ângulo BGA=72º, o que mostra que o triângulo ABG é
isósceles (1).
Também, pelo caso AA da semelhança de triângulos, tem-se a semelhança
de triângulos ABC e BGC, já que os ângulos de ambos medem 36º, 36º e 108º
Da semelhança entre os triângulos ABC e BGC, temos:
)2(BC
AC
GC
AB
Representando por l o lado e por d a diagonal do pentágono regular,
temos: AC=d, AB=BC=l;
GC=d -AG= d-l por (1)
Substituindo em (2), tem
0ldldl
d
ld
l 22 : multiplicando ambos os membros por l
12
resulta:
01l
d)
l
d(
2
2
51
2
411
l
d, considerando a medida positiva, temos:
2
51
l
d
Como não existe qualquer evidência de que os egípcios da época do
Antigo Reino tivessem algo além dos mais rudimentares elementos de
30
matemática, a presença de e na geometria das pirâmides deve ser
conseqüência de alguns conceitos práticos e não teóricos, consistindo como um
verdadeiro enigma das pirâmides.
2.1.2. A Matemática da Babilônia
Há cerca de cinco mil anos, entre os rios Tigre e Eufrates começaram a surgir alguns dos principais avanços no mundo do
conhecimento científico. (GRECCO, nº 3, p. 16).
Ao nos referirmos à matemática da Babilônia, queremos falar sobre o tipo
de matemática cultivada na Antiga Mesopotâmia, a região entre os rios Tigres e
Eufrates ou, de maneira geral, o que é hoje o Iraque.
Os babilônios trabalhavam com um sistema de numeração sexagesimal,
base sessenta, que deu origem as nossas atuais unidades de tempo, em horas,
minutos, segundo e as unidades de ângulos, em graus, minutos e segundos.
As semelhanças entre nosso sistema de numeração e o dos babilônios são
várias: nós, como eles, empregamos um número finito de símbolos (usamos dez e
eles dois) para exibir todos os números inteiros; fazemos o valor posicional
(mudança de casa para a esquerda) ou seja, o seu valor seja multiplicado por 10,
se for o nosso; por 60, dos babilônios.
Usamos uma extensão desse princípio para exprimir certas frações, como
frações decimais e eles com frações sexagesimais, fazendo valer mesmo além da
casa das unidades a regra de que a movimentação de um algarismo uma casa
para a direita significa dividir o seu valor pela constante 10 ou 60.
Também, é certo que cada base tem as suas vantagens e desvantagens.
Uma desvantagem de ser a base maior 60 é que a tabuada de multiplicação terá
a dimensão de 59 por 59, praticamente impossível a sua memorização. Por sua
vez, são possíveis números muito grandes ou bem pequenos, de modo que seus
números cresciam muito rapidamente para um lado e decresciam muito
rapidamente em direção ao lado oposto.
31
AABOE (1984, p. 26-7) aponta que outra grande diferença, ou seja, a falta
de equivalência à vírgula decimal é, certamente, uma deficiência no sistema de
numeração sexagesimal, embora, não tão séria quanto pode verificar à primeira
vista.
No sistema de numeração decimal, quando se trata das técnicas
operatórias das multiplicações ou divisões de números decimais em verdade, elas
não têm implicação sobre a seqüência dos dígitos do resultado, mas controlam
somente sua grandeza, isto é, sobre a posição da vírgula decimal.
No S.N.D. temos várias regras e alguns atalhos que facilitam as técnicas
operatórias, tais como: para multiplicar por 5 divida por 2 e multiplique o resultado
por 10; um número é divisível por 3 ou 9 se a soma dos algarismos é divisível por
3 ou 9. Essas técnicas simples podem ser aplicadas ao sistema sexagesimal; a
razão de que são possíveis mais regras na base sexagesimal do que no decimal
é porque a base 60 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60) tem muito mais
divisores do que base 10 (1, 2, 5, 10). Fica assim evidente que os babilônios não
encontravam mais dificuldades com o cálculo aritmético do que nós, hoje. O
Sistema de Numeração decimal foi tratado para compreender a densidade dos
números Irracionais como procedimento, troca de um ou mais algarismos da
representação decimal infinita não periódica baseada na diagonalização de
Cantor.
Com relação aos cálculos sexagesimais, estes auxiliados por uma grande
variedade de tábuas. Existem tábuas para o cálculo de juros compostos, tábuas
de quadrados e de raízes quadradas, de cubos, e várias outras que indicam um
interesse em processos numéricos muito além das exigências da aritmética
simples, com desenvolvimentos sexagesimais finitos, segundo AABOE (1984).
Esse recurso tornava possível contornar a dificuldade das grandezas
irracionais formando uma linguagem numérica extremamente facilitada para lidar
com segmentos incomensuráveis.
Assim, por exemplo, utilizando o caso especial do que costumamos hoje
chamar de Teorema de Pitágoras, isso aconteceu uns 1200 anos antes da época
32
em que acreditamos que Pitágoras viveu, que os babilônios sabiam que a
diagonal do quadrado é 2 vezes seu lado.
Temos como a figura 2.1.2.1 uma tradução de um pequeno tablete da
babilônia antiga de acordo com AABOE (1984, p. 34 e 35).
Vemos três números: a=30; b=(1; 24, 51, 10) e c=(42; 25, 35).
Observamos primeiramente que: c=a.b
Figura 2.1.2.1. A diagonal de um quadrado de um pequeno tablete da Babilônia antiga, segundo
AABOE (1984, p. 35).
Verificamos primeiramente o produto c=a.b e introduzimos os pontos e
vírgulas nas posições apropriadas, conforme a indicação de AABOE (1984, p. 34).
33
C=(42; 25, 35, 0)
Se a representar o lado do quadrado, como sugerido pela figura, e c a
diagonal, então, pelo Teorema de Pitágoras, c2= a2 + a2, portanto, c2 = 2 a2
chamaremos de equação I e se temos c=a.b, elevando ao quadrado ambos os
membros, temos: c2 = a2. b2 equação II, substituindo na equação I e depois
aplicando a lei do cancelamento, temos: b2=2 2b , desse modo o valor de
b deve ser a aproximação de 2 .
.)maproximada(414212962,1000046296,0014166666,04,0160
10
60
51
60
241
)10;51;24;1(2b
32
Segundo Vitti (1999), os pesquisadores Otto Neugebauer e F. Thureau -
Dangin, que, na década 30 reconstruíram, através de pesquisa em mais de dez
mil tabletes, vários conceitos aritméticos da história da matemática Babilônica,
encontraram no tablete Plimpton 3221 uma relação de números pitagóricos
ligados por cba 222 , quando o escriba limitou-se a descrever a harmonia da
igualdade, não a relacionando a qualquer problema prático.
BOYER (1974, p. 8) também aponta os estudos de Neugebauer quanto ao
cálculo, dos babilônios, da diagonal de um quadrado, afirmando ser prova
suficiente de que o teorema pitagórico era conhecido mais de mil anos antes de
Pitágoras.
A decifração dos tabletes de argila YB-4650, AO-6484, TV-3420 e YH-567
permitiu, mesmo que de maneira precária, deduzir que os babilônios já
trabalhavam com a raiz quadrada de um número.
1 Segundo AABOE (1984, p. 167), Plimton 322 é o tablete de número 322 na coleção Plimton da Universidade de Columbia, New York.
34
Uma aproximação da raiz quadrada de um número (N) pode ser obtida
segundo a receita prática: arbitre um valor qualquer ( ) que deverá dividir o
número do qual se pretende extrair a raiz quadrada. Resulta outro número ( ).
Some ( ) com o arbitrado ( ) e divida tudo por dois. O resultado será outro
número ( ). Divida o número pretendido (N) pelo valor anterior ( ), quando se
encontra ( ). Divida a soma dos dois resultados ( e ) por dois. Continue
até os valores convergirem.
0N
N
1N
1N
N
0N
2
3N
2N
2N 3
O texto acima pode ser trazido como segue:
X = N Raiz quadrada
No = valor aproximado da raiz quadrada de N.
N
NN
o1 Divida N pelo valor aproximado No
2NN
N1o
2 Some N1 com No e divida por 2
N
NN
23 Divida N por N2
2NN
N32
4 Some N2 com N3 e divida por 2
N
NN
45 Divida N por N4.
Continue.
Aplicando o procedimento dos babilônios, apresentamos dois exemplos,
um para um quadrado perfeito e outro para um não perfeito, encontrados em
VITTI (1999, p. 60-1)
Exemplo 1: 9x
2N0 ,
5,42
9N1 ,
;25,32
5,42N2
35
00,32
76,225,3N
;76,225,3
9N
4
3
Exemplo 2: 21x
5825,42
54,4625,4N
54,4625,4
21N
625,42
25,54N
;25,54
21N
4N
4
3
2
1
o
21 é aproximadamente 4,58.
O ensino da Matemática na Babilônia não encontrava dificuldades na
realização de seus cálculos. Isso, pelo fato de possuírem um sistema de
numeração posicional, o que pode ser uma das razões que levaram a Matemática
dos babilônios a um desenvolvimento maior que a dos egípcios, segundo Miorim
(1998).
2.1.3. A Matemática Grega antiga
No século III a.C., a cidade fervia de intelectuais e de matemáticos, que tomaram conhecimento dos trabalhos dos
colegas enquanto ali estavam e trocaram correspondência durante a produção de suas obras.
(autor desconhecido, nº 3, p. 44)
GARBI (2003, p. 15) aponta que os egípcios e os babilônios já possuíam
expressivos conhecimentos de Aritmética e de Geometria cerca de 2.000 a.C.,
mas tudo indica que suas descobertas se deram de forma intuitiva, ou seja,
através da prática.
36
A civilização grega que floresceu de 2000 anos a.C. até as conquistas de
Alexandre na década de 330 a.C. e foi uma das mais admiráveis em toda a
história da humanidade. Atenas foi o centro de toda atenção do mundo helênico e
continuou no tempo de Péricles, no século V a.C.
Segundo MACHADO (1995, p. 253) na sua origem e remontando ao
pensamento grego, a palavra número dizia respeito aos de hoje chamados
números naturais, os quais, de fato, permitem ligação intuitiva e imediata com a
idéia de medida. Os números podiam ser representados como segmentos de reta,
seus quadrados como área, seus cubos como volumes. De acordo com esse tipo
de pensamento, números negativos realmente não fariam sentido e menos ainda
suas raízes.
Pela primeira vez na história surgiram nas disputas políticas e sociais,
filósofos e professores que qualificavam as suas teorias. Dentre o grupo de
homens críticos, os sofistas desenvolveram uma matemática com elevado grau
de perfeição que se relaciona, como é característico, com um assunto fantástico e
pouco prático, mas teoricamente válido, as chamadas de lúnulas, as pequenas
luas ou crescentes delimitados por dois arcos circulares.
Encontrar determinadas áreas limitadas por dois arcos circulares em
função dos diâmetros está relacionado com o problema da quadratura do círculo,
que constituiu um problema central da matemática grega, segundo STRUIK
(1992, p. 75).
Apresentaremos apenas a lúnula 1 (ao todo são três) de Hipócrates:
Do triângulo retângulo tem-se que a área do semicírculo de raio c é a soma
das áreas dos semicírculos de raios a e b, tem-se:
)b2()a2()c2( 222
2b
2a
2c
bac222
222
Figura 2.1.3.1. triângulo retângulo.
37
Multiplicando-se por a igualdade da identidade acima, tem-se:
2b
2a
2c 222
Figura 2.1.3.2 (I)
Aplicação deste resultado na lúnula, tem-se:
Figura 2.1.3.3 (II)
A área da Lua hachurada é igual à área do semicírculo de raio b menos
(um quarto da área do círculo de raio a menos a área do triângulo isósceles de
cateto a),
38
Figura 2.1.3.4
logo,
Área da Lua = ]2a
4a[
2b 222
Pelo Teorema de Pitágoras temos: b2aaa)b2( 22222
L=2a
4b2
2b 222
, portanto, L=2a2
Conclui-se que a área (L) da lua é igual à área do triângulo de catetos a.
STRUIK (1992, p. 73) aponta que os gregos foram responsáveis pelas
primeiras noções e idéias propriamente científicas, do porquê, ou seja, uma
matemática que colocava não só a questão de como, mas também a moderna
questão científica, por que, ou ainda, fundamentadas em uma lógica de raciocínio
e baseadas na tentativa de formar definições dos termos empregados.
Segundo BROLEZZI (1996, p. 19), Nicolas Bourbaki, do grupo de
matemáticos franceses, atribui a crise dos incomensuráveis aos gregos devido ao
fato de que estavam tão convencidos de que no conceito de número não cabia
nada mais que inteiro e frações que não aceitaram que os irracionais fossem
números também.
A existência de segmentos incomensuráveis significa que os números
naturais mais a frações são insuficientes para medir todos os segmentos de reta.
A solução que se impunha, e que no final do século XIX finalmente foi adotada,
era de estender a noção do número. Era evidente que o conceito de números
irracionais está diretamente associado à noção de grandezas incomensuráveis.
Todavia os gregos não fizeram a ampliação do seu mundo numérico, apenas
reforçaram a separação entre a teoria dos números (Aritmética) e a geometria.
39
A separação da Matemática em componentes era como sair de um
compartimento e encontrar uma resposta noutro compartimento em que não via
claramente as relações e que causava muita obscuridade e embaraço. Parece ser
o fruto do receio grego (pitagórico) de misturar a pureza dos números com as
grandezas incomensuráveis.
O esquema de quatro componentes, que mais tarde foi chamado de
Quadrivium, segundo BROLEZZI, (1996, p. 19):
Números Grandezas
Em repouso Aritmética Geometria
Em movimento Música Astronomia
Figura 2.1.3.5 - Quadrivium
COSTA (1971, p. 220) aponta que os gregos antigos conheciam um outro
campo do saber, a logística e a aritmética aplicada, que ensinava aos homens de
vida prática (como os agrimensores e militares) que precisavam fazer uso de
números em operações e cálculos relativos à geometria e à Astronomia, números
racionais vizinhos do valor verdadeiro. Desse modo, a Aritmética grega tratava do
que hoje chamamos de Teoria dos Números, e a Logística grega se referia às
operações aritméticas, geometria e astronomia que hoje é assunto da Álgebra.
Durante a segunda metade do século V a.C. (A IDADE HERÓICA)
circularam relatos sobre alguns estudiosos em matemática muito importantes.
Essa época é chamada de idade Heróica pois, talvez, nunca se tenha feito em
qualquer outra época, um ataque tão audacioso a tantos problemas matemáticos
fundamentais com recursos metodológicos tão insuficientes. Alguns exemplos:
1. Os indivisíveis;
2. Os paradoxos de Zenão;
3. A razão de grandezas incomensuráveis;
4. Validade dos métodos infinitesimais;
5. O problema da quadratura;
6. A quadratura do círculo; etc
40
Platão (422 a.C.-347 a.C) foi importante na História da Matemática pois
explicitou uma distinção entre Aritmética(no sentido da Teoria dos números) e
logística (a técnica da computação). Seu estudo sobre a incomensurabilidade
causou um verdadeiro escândalo lógico, pois pareceu arruinar teoremas
envolvendo proporções. Mas a crise resultante da incomensurabilidade foi
enfrentada com sucesso e com a criatividade de Eudoxo(408 a.C.-355 a.C.), que
reformulou a teoria das proporções de modo a levar em conta a existência dos
números irracionais, e de Aristóteles(384 a.C.-322 a.C.), considerado o pai de
todas as ciências, discípulos de Platão.
Durante a idade Helenista (a civilização grega, que floresceu desde uns
2000 a.C. até as conquistas de Alexandre na década de 330 a.C.), três estudiosos
matemáticos se destacaram: Euclides(por volta de 300 a.C.), Arquimedes(287
a.C.-212 a.C.) e Apolônio(262 a.C.-190 a.C.). Os Elementos de Euclides e As
cônicas de Apolônio foram de longe as melhores obras em seus campos.
Arquimedes pode ser considerado pai da Física-matemática não só por seu
estudo sobre o equilíbrio de planos, mas também por outro tratado como corpos
flutuantes.
Arithmetica escrito por Diophanto (em torno de 250D.C.) reúne uma
coleção de 100 problemas resolvidos de modo original.
Ptolomeu (127-151D.C,) viveu no século II da nossa era e sua principal
obra é o Almagesto que, em árabe, significa o maior. A preocupação central
desse astrônomo era o estudo da trigonometria, que lhe permitia localizar, entre
outras coisas, a posição dos planetas na abóbada celeste.
Do nosso ancestral que inventou a roda ao grego Arquimedes, percebemos
que muita coisa mudou, a ciência evoluiu e as descobertas deixaram de ocorrer
ao acaso para serem criativas e planejadas na hora e no tempo certo.
Abaixo, temos a linha do tempo da Civilização Grega Antiga que não
estudava somente a geometria conforme as notações periódicas e suas
descobertas, mas as principais obras primas da área da matemática que
permanecem até hoje, como o famoso Teorema de Pitágoras.
41
Figura 2.1.3.6. Antiga civilização da Grécia e seus marcos das descobertas segundo GIRARDI (nº
3, ?a, p. 5).
2.1.3.a. Pitágoras (586?a.C. - 500? a.C.)
Temos conhecimento particularmente de Pitágoras de Samos, em torno de
530 a.C., e seus seguidores, os pitagóricos, por suas realizações na matemática,
na filosofia e na religião.
Enquanto a maior parte dos sofistas dava prioridade à realidade da
mudança, os pitagóricos privilegiavam os estudos dos elementos imutáveis da
natureza e da sociedade. Na procura de leis eternas do universo, os pitagóricos
estudaram geometria, aritmética, astronomia e música, mais tarde chamado de
quadrivium. Os números (inteiros) eram divididos em classes: ímpares e pares,
primos e compostos, perfeitos, amigos, triangulares, quadrados, pentagonais, etc.
Os pitagóricos investigavam as propriedades dos números, acrescendo-lhes um
sinal do seu místicismo e convergindo a sua filosofia cósmica que tentava reduzir
todas as relações fundamentais a relações numéricas: tudo é número.
Davam a maior importância às razões entre números. A igualdade de
razões formava:
I) uma proporção aritmética: 2b = a + c;
II) uma proporção geométrica: ;c.ab2
III) uma proporção harmônica: c
1
a
1
b
2,
e interpretavam-nas filosófica e socialmente.
42
Segundo PIRES (2006, p. 137), os irracionais apareceram também no meio
pitagórico, os quais se interessavam por figuras regulares, quadrado, triângulo
eqüilátero, pentágono, e como em cada uma aparece uma relação irracional,
percebe-se tal qual foi a confusão e quão grande foi o escândalo que durou mais
de dois mil anos.
A descoberta da irracionalidade da 2 é provavelmente da Escola
Pitagórica, segundo STRUIK (1992, p. 80), devido aos segmentos de reta
incomensuráveis.
Essa descoberta pode ter tido interesse pela média geométrica a:b=b:c,
isto é, b= c.a , parecia que servia como símbolo de nobreza aos pitagóricos. Qual
é a média geométrica de 1 e 2, dois símbolos sagrados? Essa questão centralizou
ao estudo da razão entre a diagonal e o lado do quadrado e concluiu que essa
razão não podia ser expressa por número, o que hoje chamamos de racionais
(inteiros e fracionários), os únicos que eram conhecidos naquela época.
A demonstração clássica da irracionalidade de 2 , segundo Aristóteles, é:
Suponhamos por hipótese que a razão é a : b e o máximo divisor comum
de a e b é igual a 1., isto é, a e b primos entre si. Então , pelo
que a2, e portanto a é par, digamos a=2m, m inteiro positivo. Então, b tem de ser ímpar, mas, visto que, b também tem de ser par. Mas se a é par e b é par então os dois não são primos entre si. Esta contradição provém da hipótese de que é racional. Portanto não é racional. (STRUIK, 1992, p. 80).
222ba
A descoberta de que 2 não é racional, perturbou a harmonia da
aritmética e da geometria do universo dos pitagóricos. Surgia assim uma outra
dificuldade, as provocações do filósofo Zenão de Eléia que em breve
estudaremos, ou seja, os Paradoxos de Zenão.
Entretanto, a grande contribuição dos pitagóricos à geometria grega foi o
Teorema de Pitágoras.
Seja o triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c.
43
Figura 2.1.3.A.1
Sejam agora dois quadrados de lado (a+b)
Figura 2.1.3.A.2 (I) Figura 2.1.3.A.3 (II)
Nas figuras 2.1.3.A.2 e 2.1.3.A.3, a demonstração do Teorema de
Pitágoras, segundo (EVES, 2005, p. 103).
O primeiro quadrado está decomposto em seis partes, a saber: um
quadrado médio (área b2), um quadrado pequeno (área a2) e mais quatro
triângulos retângulos congruentes.
O segundo quadrado está decomposto em cinco partes: Um quadrado
médio (área c2) sobre a hipotenusa e quatro triângulos retângulos congruentes.
Da figura 2.1.3.A.2: a2 + b2 + 4. 2
b.a=(a+b)2 (I)
Da figura 2.1.3.A.3: . c2 + 4.2
b.a=(a+b)2 (II)
44
Igualando I e II, temos:2
b.a.4c
2
b.a.4ba 222 aplicando a lei do
cancelamento, obtemos: cba 222 , e concluímos que:
À soma das medidas das áreas dos quadrados sobre os catetos é igual
a medida da área do quadrado sobre a hipotenusa.
2.1.3.b. Euclides
Aos onze anos comecei a estudar Euclides, tendo meu irmão como meu tutor. Foi esse um dos grandes acontecimentos de minha vida, algo tão deslumbrante como o primeiro amor. Eu não imaginava que houvesse no mundo nada tão delicioso. BERTRAND RUSSEL (1872-1970) apud GARBI (2006, p. 48).
Os Elementos de Euclides são os mais antigos textos matemáticos gregos
que nos chegam completos até os dias de hoje. Euclides conseguiu incorporar,
neste único trabalho, bem ordenado, praticamente todo o conhecimento
matemático acumulado por seus antecessores, com algumas exceções notáveis,
como as secções cônicas e a geometria esférica, e possivelmente algumas
descobertas próprias.
Nos treze livros que compõem Os Elementos, Euclides organizou a
geometria desenvolvida naquela época em único texto, apresentando duas das
três grandes descobertas gregas:
1. a teoria de Eudoxo das proporções, livro V;
2. a teoria de Teeteto dos irracionais, livro X;
3. deixando apenas a teoria dos cinco corpos regulares que ocupava lugar
de destaque na cosmologia de Platão.
Segundo BARBOSA (1985, p. 102), Euclides baseou a construção da
geometria em dez axiomas separados em duas classes. Cinco foram classificados
como “noções comuns” e os outros cinco como “postulados”. As “noções comuns”
parecem ter sido consideradas como hipóteses aceitáveis a todas as ciências,
enquanto “os postulados” eram como hipóteses aceitáveis a geometria. As cinco
noções comuns eram:
45
1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si;
2. Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais;
3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais;
4. Coisas que coincidem com outras coisas são iguais a uma outra;
5. O todo é maior do que qualquer de suas partes.
Os Postulados eram:
1. Pode-se traçar uma reta por quaisquer dois pontos;
2. Pode-se continuar uma reta infinitamente;
3. Pode-se descrever uma circunferência com qualquer centro e qualquer
raio;
4. Todos os ângulos retos são iguais;
5. Se uma reta corta duas outras retas formando ângulos colaterais
internos cuja soma é menor do que dois retos, então as duas retas, se
continuadas infinitamente, encontram-se, no lado na qual estão os
ângulos cuja soma é menor do que dois retos.
2.1.3.c. Eudoxo (408 a.C. – 355 a.C.)
Nos dias de hoje parece fácil perceber que a crise dos incomensuráveis
seria resolvida com uma simples ampliação do conceito de número, introduzindo
os chamados números irracionais, de tal modo que, fixando uma unidade de
comprimento arbitrária, qualquer segmento de reta pudesse ter uma medida
numérica. Quando o segmento considerado é comensurável com a unidade
escolhida, sua medida é um número racional (inteiro ou fracionário). Os números
irracionais representam medidas de segmentos que são incomensuráveis com a
unidade. Mas os gregos tomaram outro caminho inventando um modo de falar em
igualdade de razões mesmo no caso de grandezas incomensuráveis. Com isso
criaram toda uma teoria das proporções que só dependia dos números naturais.
O criador dessa teoria, exposta no livro V dos Elementos de Euclides, foi Eudoxo
(408-355 a.C.), matemático e astrônomo ligado à escola de Platão, que introduziu
a noção de grandeza, não como número, mas como segmento, ângulo, área,
46
volume, e que poderia variar continuamente. Grandezas eram opostas aos
números, as quais passam de um valor para outro, como 3 para 4.
Entretanto, segundo COBIANCHI (2001, p. 101) os conceitos de razão e
proporção eram vinculados à geometria, por isso não eram usados números para
expressá-las a fim de escapar dos números irracionais. A teoria de Eudoxo
capacitava os estudiosos matemáticos gregos a fazerem um enorme progresso
na geometria. Assim, no caso de dois segmentos comensuráveis A e B, ele deve
ter percebido que dizer que A está para B, assim como m está para n, equivale a
dizer que nA=mB. Então, no caso de quatro segmentos, dizer que A está para B
assim como C está para D, significa a existência de dois números m e n tais que:
nA=mB e nC=mD.
No caso em que A e B forem incomensuráveis, igualdades do tipo nA=mB
nunca ocorrerão. Mas, dados dois números quaisquer m e n, podemos sempre
testar se nA>mB, nA=mB ou nA<mB;
E igualmente, se nC>mD, nC=mD ou nC <mD. Pois bem, esse teste é o
que Eudoxo utiliza para dar uma definição de igualdade de duas razões, A:B e
C:D, que se aplique sempre, sejam segmentos comensuráveis ou não.
É característica a definição 5 do livro V dos Elementos, de Euclides:
Diz-se que [quatro] grandezas estão na mesma razão, a primeira para a
segunda e a terceira para a quarta, quando, tomando quaisquer eqüimúltiplos da
primeira e da terceira, e tomando quaisquer eqüimúltiplos da segunda e da
quarta, os primeiros eqüimúltiplos excedem, são iguais ou são menores que os
últimos eqüimúltiplos tomados na ordem correspondentes. STRUIK (1992, p. 84).
Isto significa, na nossa notação, que A:B=C:D se nA>mB se e nC>mD,
nA=mB implica nC=mD e nA<mB só se nC<mD, sendo m e n inteiros. Para uma
tal definição tinha de ser estabelecido primeiro o chamado “axioma de
Arquimedes”, que em Os Elementos de Euclides precede a definição anterior,
como definição 4:
Diz-se que [duas] grandezas têm uma razão de uma para outra se cada
uma puder, quando multiplicada, exceder a outra. STRUIK (1992, p. 84).
47
Segundo COBIANCHI (2001, p. 101) a Teoria das Proporções de Eudoxo
trazia graves conseqüências. Uma delas foi forçar uma forte separação entre
número e geometria, deixando somente a geometria tratar de razões
incomensuráveis. Uma outra conseqüência foi direcionar os estudiosos em
matemática para a categoria de geômetras, e a geometria tornar-se a base para
quase todo rigor matemático nos próximos dois mil anos. Embora seja genial, a
solução dada por Eudoxo ao problema dos incomensuráveis afastou os gregos de
um desenvolvimento numérico da Matemática que, a partir de então, tornou-se
geometria e os problemas aritméticos e algébricos tratados em “Os Elementos” de
maneira geométrica. A aritmética e a Álgebra somente voltariam a ganhar
importância e autonomia própria com a influência dos estudiosos árabes em
matemática a partir do século XII.
2.1.3.d. Os Paradoxos de Zenão
Um paradoxo é uma afirmação que não nos parece contraditória em si
mesma, mas que contraria fatos ou pressupostos tidos como verdadeiros
segundo SALVITTI (1996, p. 12). Um exemplo de paradoxo é o de Zenão sobre
Aquiles e a Tartaruga.
Aquiles vai disputar uma corrida contra uma tartaruga e, sendo justo, dá-lhe
uma certa vantagem. Mas, contrariando a sua expectativa e a nossa experiência,
não consegue alcançar a tartaruga. Com efeito, raciocina Zenão, quando Aquiles
atinge o ponto em que ela, a tartaruga, se encontrava quando ele iniciou a corrida
ainda não alcançou, pois ela, embora muito lenta, moveu-se para um ponto à
frente. Quando Aquiles alcançar este novo ponto, ainda não a terá atingido, ela se
encontra agora ainda mais à frente, e quando ele atingir este novo ponto, etc,...
Desta maneira, ele nunca conseguirá alcançá-la.
Nesta corrida, por meio de um recurso hábil, Zenão dividiu o intervalo de
tempo entre o momento da partida de Aquiles e o instante em que ele alcançaria
a tartaruga em muitos intervalos de tempo. Entende-se, então, que a soma de
muitos termos deve ser necessariamente infinita, o que pode ser errado.
Poderíamos, da mesma forma, dizer que 2/3 é infinito, pois: =0,6+0,06+0,006+...
48
existe infinidade de termos do lado direito. O argumento referente à Aquiles e a
tartaruga envolve uma progressão geométrica. De acordo com Zenão, Aquiles
nunca alcançará a tartaruga, pois a vantagem dela diminui na progressão
geométrica, mas, a soma de números infinitos de termos pode ser finita.
Em tempos modernos, a seqüência no primeiro argumento de Zenão é uma
progressão geométrica decrescente infinita: ,...Essa progressão gera
a
16
1,
8
1,
4
1,
2
1
série: ;...16
15,
que converge para 1. Podemos argumentar que a soma:
16
1
8
1
4
1
2
1s;
8
7
8
1
4
1
2
1s;
4
3
4
1
2
1s;
2
1s 4321
...16
1
8
1
4
1
2
1
representa o número finito 1, apesar do argumento de Zenão, de que a soma se
estende por um número infinito de termos. Com esta introdução dos conceitos de
convergência e limite pelos matemáticos fica enfraquecido o argumento de Zenão
de que a soma de uma série infinita ou de uma seqüência infinita de números
deve, necessariamente, ser infinita, de acordo com COBIANCHI (2001, p. 99).
Os outros paradoxos de Zenão usam o mesmo tipo de raciocínio, como por
exemplo a demonstração de que o movimento é impossível, pois se uma flecha
não se move em um instante, então não pode mover-se durante um intervalo de
tempo. Zenão adota a hipótese alternativa que o tempo e o espaço não são
infinitamente divisíveis, isto é, existe uma menor unidade indivisível de tempo e de
espaço. Os paradoxos envolviam problema do domínio da matemática que
contém hoje assuntos como a continuidade, processos de passagem do limite e
uma introdução apropriada ao sistema dos números reais. O objetivo principal de
Zenão era provavelmente defender seu sistema filosófico ou de Parmênides
(c.500 a.C.), mostrando como seria muito mais fácil chegar a conclusões ridículas
a partir das hipóteses dos sistemas rivais. Sua argumentação funciona também
como um exemplo cauteloso aos matemáticos, que mostra como um raciocínio
sobre limites deve ser cuidadosamente examinado, antes que seja considerado
convincente.
Os argumentos de Zenão tornaram clara a incompatibilidade entre o mundo
contínuo e a teoria das mônadas. COBIANCHI (2001, p. 97) aponta que esta
incompatibilidade já havia sido revelada pelo fato de existirem alguns valores que
49
não podem ser representados por razões de números inteiros, que são números
Irracionais. Para Zenão era negar a tese dos pitagóricos, mas não justificar a
impossibilidade do movimento.
Segundo COBIANCHI (2001) a hipótese pitagórica era que a soma dos
números crescentes de segmentos, ainda que decrescentes, cada vez menores,
deve tender para o infinito, porque cada um conteria um número inteiro de átomos
dotados de dimensões, que seria equivalente a efetuar a soma de infinitos
números inteiros, que tendem para o infinito.
A corrente dos pitagóricos acreditava na existência de uma unidade de
medida absoluta. A medida, a menor unidade de todas, era chamada de mônada.
Assim uma quantidade de tempo, por exemplo, poderia ser dividida em um certo
número unidade tempo, que a comporiam. Essa unidade, por sua vez, não
poderia mais ser subdividida. Havia uma dúvida sobre isso já que apesar da
crença pitagórica não ser aceita por todos, não se tinha um argumento
convincente para negá-la.
Assim, Zenão jogou por terra a afirmação dos pitagóricos mostrando que
se admitirmos a existência de uma menor unidade absoluta cairemos num
absurdo. Por outro lado, a crise não estaria completamente resolvida se fosse
admitido que uma certa quantidade de tempo pudesse ser subdividida
indefinidamente até um mínimo que seria nula, porque isso levaria à contradição
de que somar essas partes nulas para reconstituir o todo daria como resultado
algo de medida zero que não o valor da medida de partida. Essas formas de
pensar, que levaram sempre a contradições, plantaram as bases para o conceito
de limite e o conceito de números reais. A partir dela, podemos dizer que não
existe a menor medida de tempo ou não existe a menor medida de segmento, etc.
2.1.3.e. Arquimedes (287 a.C.– 212 a.C.)
Arquimedes (287-212 a.C.), o maior estudioso em matemática do período
helenístico e de toda a antiguidade, viveu em Siracusa como conselheiro do rei
Hierão. As mais importantes contribuições dele foram feitas no domínio que hoje
chamamos de Cálculo Diferencial Integral: teoremas sobre áreas de figuras
50
planas e sobre volumes de corpos sólidos. Na Medição do círculo encontrou uma
aproximação da circunferência do círculo pelo uso de polígonos regulares
inscritos e circunscritos, levando esta aproximação a polígonos de 96 lados. Foi o
primeiro a obter uma aproximação razoável de por números racionais e provou
que:7
13
71
103 , usando dois polígonos regulares de 96 lados, um inscrito
e outro circunscrito a um círculo de raio 1.
Segundo IMENES (1979, p. 87-90), para calcular o perímetro de quaisquer
polígonos regulares, inscritos e circunscritos numa circunferência de raio 1,
devemos considerar as figuras 1 e 2, respectivamente.
Figura 2.1.3.E.1 Figura 2.1.3.E.2
Na figura 2.1.3.E.1, seja o lado do polígono regular inscrito de n lados.
Temos:
l n
AM=2ln
AÔM=n
º180
2n
º360
2
AÔB
sen2l
12l
r2l
n
º180 n
nn
.:n
º180sen.2ln
donde: pn=2nsenn
º180, Perímetro do polígono regular inscrito de n lados. pn
51
E, sendo Ln o lado do polígono regular circunscrito de n lados, da figura 2,
tem-se:
AM=2Ln
AÔM=n
º180
tg2L
12L
r2L
n
º180 n
nn
n
º180tg2Ln
portanto: Pn=2n.tgn
º180, Perímetro do polígono regular circunscrito de n
lados.
Pn
Note que o perímetro do polígono regular inscrito é igual ao produto do
número n.senn
º180 por 2, sendo que esse número 2 foi obtido por 2.r, com r=1 o
raio da circunferência. O número n.senn
º180 depende exclusivamente do
polígono regular.
Na figura 2.1.3.E.2, nota-se que o perímetro do polígono regular
circunscrito é igual ao produto do número n.tgn
º180 por 2, sendo que esse
número 2 foi obtido por 2.r, o raio da circunferência. O número n.tgn
º180 depende
exclusivamente do polígono regular.
Com o auxílio de uma calculadora científica, podemos obter os valores de
n.sen2
p
n
º180 n e os valores de n.tg 2
Pn
º180 n , para vários polígonos.
Estes valores constam no Quadro resumo abaixo:
52
n 2
pn (inscrito)2
Pn (circunscrito)2
p
2P nn
(Circunscrito)-(inscrito)
3 2,598 5,196 2,598
4 2,828 4,000 1,172
5 2,939 3,633 0,694
6 3,000 3,464 0,464
12 3,106 3,215 0,109
24 3,133 3,160 0,027
48 3,139 3,146 0,007
96 3,141 3,143 0,002
Quadro resumo 3.1.3.E.3
Portanto, 3,141< <3,143. A média aritmética desses dois valores é 3,142.
O valor correto de é 3,14145... O símbolo não foi usado na antiguidade e no
sentido moderno foi usado por William Jones em 1706, um amigo de Isaac
Newton, mas foi adotado por Euler e usado em sua Introductio em 1748.
Da tabela podemos concluir que, sendo , respectivamente, os
perímetros dos polígonos regulares de n lados, inscritos e circunscritos a uma
circunferência de raio r, e sendo C o perímetros dessa mesma circunferência,
tem-se:
Pep nn
PCp nn
Alem disso, qualquer que seja n, tem-se: r2
Pr2
C
r2
p nn
Conclui-se então que: 3,141<r2
C 3,143; para n=96.
Logo, 3,141 < < 3,143.
Nota-se que a demonstração acima foi uma aplicação do método de
exaustão para se obter um valor limite de . Obteve-se o valor de a partir de
um par de polígonos regulares: inscrito e circunscrito, como se podem obter os
perímetros dos polígonos regulares inscritos e circunscritos com o dobro do
números de lados. Aplicando-se sucessivas vezes esse processo, pode-se
53
calcular os perímetros dos polígonos regulares inscritos e circunscritos de 12, 24,
48, 96 lados e, dessa forma, obter cada vez mais próximo do valor limite de .
Começando com um triângulo, polígonos regulares, e duplicando o número de
lados até que Arquimedes alcançou polígonos de 96 lados. Os perímetros
sucessivos dos polígonos inscritos formam uma seqüência, e os dos circunscritos
formam outra. Se o processo fosse contínuo, as duas seqüências convergiriam
para o mesmo limite que é o comprimento da circunferência. Se o raio dessa
última fosse a unidade, o limite comum seria . Assim, usando o processo de
raciocínio por absurdo, Arquimedes encontrou uma aproximação da
circunferência do círculo pelo uso dos polígonos regulares inscritos e
circunscritos. Esta demonstração apresenta duas seqüências, e ambas são
constituídas por números Racionais, de acordo com COBIANCHI (2001).
O “método de exaustão” será muito importante para a idéia de limite,
porque se apóia na noção de que duas grandezas variáveis se aproximarão do
estado de igualdade se sua diferença tornar-se quase nula. Esse método, que se
constitui em um avanço muito importante ao estudo da continuidade, levou
Arquimedes a uma posição considerável no cálculo diferencial e integral, que o
usou esse método em várias circunstâncias para estimar a quadratura da
parábola, o perímetro da circunferência e área do círculo.
Outra obra importante de Arquimedes foi “O Método”, descoberto
casualmente por Heiberg em 1906, é um dos poucos documentos da história da
Matemática, que menciona procedimentos para a descoberta de teoremas. Por
ele, sabemos que Arquimedes pesava e media mentalmente curvas, superfícies e
volumes, o que muitas vezes sugeria as relações que mais tarde provava com
todo o rigor matemático. A obra O Método tratava do assunto de Continuidade.
Em todos os trabalhos, Arquimedes combinou uma originalidade de
raciocínio surpreendente com uma mestria de técnica de cálculo e rigor nas
demonstrações.
O primeiro trabalho sobre o cálculo do foi desenvolvido por meio de
trigonometria, enquanto que Arquimedes usou o processo para o cálculo do
comprimento da circunferência, que é apresentado na obra sobre as medidas do
círculo e que é considerada a primeira tentativa verdadeiramente científica de
54
calcular-se o valor aproximado de , já que ele começou provando que a área
daquela figura é igual à de um triângulo cuja base é o comprimento da
circunferência e cuja altura é o raio do círculo.
Podemos dizer que o número certamente o irracional mais conhecido é
definido a área limitada por um círculo de raio 1. A demonstração de que é um
número irracional, apesar de não ser trivial, pode ser feita usando-se apenas o
cálculo diferencial elementar. A primeira demonstração de que é irracional só
foi obtida em 1761 por J.H. Lambert, de forma não completamente rigorosa,
usando frações contínuas, tendo sido finalmente obtida de modo rigoroso pelo
famoso matemático A. M. Legendre e publicada em 1855. O fabuloso matemático
grego Arquimedes foi o primeiro a obter uma aproximação razoável de por
números racionais. Ele provou que 7
13
71
103 , usando dois polígonos
regulares de 96 lados, um inscrito e outro circunscrito a um círculo de raio 1. No
século XVIII, o matemático suíço Leonard Euler demonstrou essa
igualdade: ...2
1
2
1
2
1
2
1.
2
1
2
1
2
1
2
12
2
1
2.2. Renascimento da Ciência
2.2.1. Galileu
Galileu Galilei (1564-1642) – humanista e estudioso em matemática, física
e astronomia era dono de um intelecto incomparável.
Foi seduzido ao estudo matemático do movimento e à relação entre a
distância, velocidade e aceleração e foi encontrar um método matemático de
tratamento adequado dos processos infinitos.
Galileu nunca deu explicação de suas idéias sobre os cálculos, deixando
isto para seus alunos Torricelli e Cavalieri. Suas idéias matemáticas eram sempre
originais como transparece da sua observação: “nem o número de quadrados é
menor do que o da totalidade dos números, nem o último é maior do que o
primeiro”, segundo STRUIK (1992, p. 160).
55
GUZMÁN (1986, p. 103) aponta que os pitagóricos, no século VI a.C.,
pensaram que não seria preciso sair essencialmente dos números naturais para
interpretar matematicamente a realidade. Eles verificaram que no próprio símbolo
de sua fraternidade religiosa, o pentagrama, se escondia um monstro
incompreensível chamado número irracional, o número áureo, e
conseqüentemente a idéia do infinito. É possível que os gregos se depararam
com a idéia de infinito por causa dos recorrentes paradoxos atribuídos ao filósofo
Zenão de Eléa (495 – 435 a.C.). As idéias de infinitamente pequeno estavam
muito longe de serem resolvidas, já que as grandezas infinitamente pequenas são
aquelas as quais todo múltiplo fica inferior a unidade e as grandezas infinitamente
grandes, aquelas que são maiores que todo número qualquer de unidades, isto é,
aquelas as quais todo o conjunto finito de unidades constitui apenas uma parte.
A mesma confusão voltou a surgir com os paradoxos de Galileu sobre
infinitamente grande. A situação pareceu ficar bem encaminhada em finais do
século XIX, quando Weierstrass, Cantor e Dedekind conseguiram reinterpretar e
atualizar as velhas teorias gregas.
Observe a equação: 1...8
1
4
1
2
1, ou, em notação mais sofisticada,
. Do lado esquerdo parece que temos algo incompleto, a soma infinita; o
do lado direito temos finitude, um complemento. Nesse caso, há uma tensão entre
os dois lados, que é uma fonte de poder e um paradoxo.
121n
n
O infinito constituiu-se, então, um conceito intimidador, conflitante com a
nossa intuição e causou espanto a Galileu ao descobrir que os conjuntos infinitos
não se comportavam da mesma maneira que os finitos, o caso dos conjuntos
enumeráveis entre conjunto dos números quadrados perfeitos e conjunto dos
números inteiros positivos.
Parece que os estudiosos em matemática alimentam-se substancialmente
todas as vezes que um paradoxo é enunciado e saem em busca incessante de
explicação, enriquecendo, assim, a matemática.
56
2.2.2. Cavalieri (1598-1647)
BONAVENTURA CAVALIERI, discípulo de Galileu, desenvolveu a noção
de indivisíveis, mas que se mostrou inadequada para o cálculo. Entretanto,
Cavalieri conseguiu obter áreas limitadas através de curvas como y=xm, onde m é
um inteiro positivo.
Em seu livro Geometria indivisibilus continuorum, publicado em 1635,
Cavalieri estabeleceu uma forma simples de cálculo o ponto gerando a reta e a
reta gerando o plano através do movimento. Então, adicionou segmentos de reta
para obter uma área e segmentos de plano para obter um volume mas quando
Torricelli lhe mostrou que desta forma se podia provar que qualquer triângulo é
dividido por uma altura em duas partes iguais, ele substituiu “linha” por “faixa”, ou
seja, uma linha de pequena espessura, e assim voltou-se a uma teoria “atômica”
(o mundo é constituído de elementos indivisíveis). As suas idéias sobre linhas que
construíam uma área conduziram-no ao correto princípio de Cavalieri, o qual
afirma que sólidos de alturas iguais terão mesmo volume se as secções planas de
alturas iguais tiverem a mesma área, o que permite realizar o equivalente da
integração de polinômio.
Embora alguns estudiosos em matemática tenham rejeitado
completamente o uso dos indivisíveis de Cavalieri, outros, certos de que eles
constituíam uma ferramenta poderosa no processo de resolução de problemas,
tentaram modificá-los de tal modo a poderem justificar o seu uso.
STRUIK (1992, p. 167) aponta que o aparecimento do livro de Cavalieri
estimulou um número considerável de matemáticos, em diferentes países, a
estudar problemas que envolviam infinitesimais (quantidades infinitamente
pequenas).
Os Indivisíveis de Cavalieri foram modelo para os mais importantes livros
escritos neste período de antecipação a Arithmetica infinitorum (1655), de John
Wallis (1616-1703). O título do seu livro mostra que Wallis tencionava ultrapassar
Cavalieri na sua Geometria Indivisibilibus; era a nova arithmética (álgebra) que
Wallis queria aplicar, não a antiga geometria. Nesse processo, Wallis estendeu a
álgebra numa verdadeira análise – foi o primeiro matemático a fazê-lo. Com os
57
seus métodos dos processos infinitesimais obteve novos resultados e o introduziu
séries infinitas e produtos infinitos e usou com grande competência expoentes
imaginários, negativos e fracionários.
2.3. Idade Moderna
2.3.1. René Descartes (1596-1650)
WAGNER (1991, p. 9) aponta que o século XVII foi importantíssimo para a
história da Matemática nesse período. Começava a existir um grande intercâmbio
entre os matemáticos e formavam-se grupos de cientistas na França, Itália e
Inglaterra, podendo-se citar René Descartes.
Assim nasceu a ciência moderna que foi precedida e acompanhada por um
desenvolvimento do pensamento filosófico que deu origem a uma formulação
extrema do dualismo espírito/matéria, que veio à tona através da filosofia de René
Descartes. Para ele, a visão da natureza derivava de uma divisão fundamental em
dois reinos separados e independentes: o da mente e o da matéria.
A divisão cartesiana permitiu aos cientistas tratar a matéria como algo
morto e inteiramente separado de si mesmos, vendo o mundo material como uma
vasta quantidade de objetos reunidos numa máquina de grandes proporções.
Essa visão mecanicista do mundo foi sustentada por Isaac Newton, que elaborou
sua Mecânica a partir de tais fundamentos, tornando-a o alicerce da Física
Clássica.
A filosofia de Descartes não se mostrou importante apenas em termos do
desenvolvimento da Física Clássica já que exerce, até hoje, influência sobre o
modo de pensar ocidental.
Com a evolução do Cálculo e participando da renovação total da
matemática, os pensadores pouco a pouco iam libertando-se da antiga visão
aristotélica e surgiu uma nova matemática que haveria de se tornar o exemplo
clássico do pensamento quantitativo e lógico.
58
STRUIK (1992, p. 162, 165) aponta que esta evolução da matemática foi
estimulada pela publicação de La Géométrie (1637), de Descartes, que introduziu
todo o campo da geometria clássica no domínio da ação dos algebristas.
Descartes publicou La Géométrie como uma aplicação do seu método
geral de unificação racionalista, nesse caso de unificação da álgebra e da
geometria. O mérito do livro, de acordo com o ponto de vista geralmente aceito,
consiste principalmente na criação da chamada “geometria analítica”.
DANTZIG (1970, p. 172) aponta que Descartes e Fermat buscaram a
solução na álgebra, algebrizando, assim, a geometria. Um problema de geometria
podia ter um processo de manipulação da álgebra para ter resultado na geometria
analítica. Assim, todos os famosos problemas da antiguidade, qualquer problema
que levasse a uma equação do primeiro grau era capaz de uma solução
geométrica apenas com régua; que a construção com compasso e régua era
equivalente a uma equação quadrática; mas se um problema levasse a uma
equação irredutível de grau mais alto do que o segundo, sua solução não seria
possível apenas com régua e compasso.
As propriedades da álgebra já admitiam implicitamente os irracionais em
termos de igualdade com grandezas racionais, cuja produção obtinha os mesmos
resultados que os gregos - comprometidos com o máximo rigor e limitados pelo
medo aos números irracionais e ao infinito.
2.4. Século dezenove
2.4.1. Bolzano
Bernardo Bolzano (1781-1848) foi um padre theco afastado pela igreja por
sustentar pontos de vista progressistas sobre teologia, e que publicou o livro
Paradoxos do Infinito, cuja obra e idéias receberam pouca atenção dos
matemáticos da época.
59
Bolzano comenta que se pensássemos em termos de números de
elementos para conjuntos infinitos, teríamos um paradoxo, já que um conjunto
infinito poderia ser semelhante a um subconjunto próprio (como o conjunto dos
Naturais e dos naturais ímpares por exemplo).
Na perspectiva dos “Paradoxos” há necessidade de dissociar o conceito de
número do de grandeza, ao menos por duas razões:
A primeira permite definir as grandezas infinitamente grandes como
aquelas que são maiores que todo número qualquer de unidade, isto é, aquelas
as quais todo conjunto finito de unidades constitui apenas uma parte; a segunda,
as grandezas infinitamente pequenas como aquelas as quais todo múltiplo fica
inferior à unidade. Diríamos, em linguagem do dia-a-dia, que além dos números
inteiros esse conjunto compreende o que nós chamamos números racionais, os
números irracionais, e enfim os infinitamente grandes e os infinitamente
pequenos. Em outros termos, o conjunto das grandezas constitui uma extensão
do conjunto dos números reais (que compreende os inteiros, as frações e os
irracionais) acrescentando-se os infinitamente grandes e os infinitamente
pequenos.
A diferença entre número e grandeza ajuda a resolver o paradoxo do maior
número e outros do mesmo tipo. O conjunto, atualmente chamado por naturais,
de todos os números naturais é o exemplo de uma grandeza (pluralidade) infinita
que não é um número, pois, um número é uma “pluralidade numerável”, uma
grandeza finita.
2.4.2. Augustin-Luis Cauchy (1789-1857)
Cauchy é a figura mais influente da Matemática na França de sua época
por várias décadas. Primeiramente apresentou um novo estilo de rigor que formou
o princípio-guia para grande parte do desenvolvimento da Análise no século XIX.
Segundo, ele usou esse enfoque para definir a derivada como um limite, e fez
uma combinação dos conceitos de função e de limite nos fundamentos do cálculo,
que foi reconhecido no século XVIII.
60
Cauchy foi, também, o responsável pela mudança de atitude na Análise e
apresentou o seu novo enfoque sobre esse conceito em seus livros. Forneceu
uma fundamentação completa dos conceitos de cálculo e incluiu muitos exemplos
de um novo tipo de raciocínio, especialmente em relação a problemas de
convergência de seqüências e séries.
Como aponta COBIANCHI (2001, p. 157), deve-se a Cauchy a idéia de que
a existência do limite de uma seqüência numérica determina a lei segundo a qual
se formam os termos da própria seqüência, sem que intervenham razões de
ordem geométrica. Ele definiu o número irracional como limite de uma seqüência
de números racionais, parecendo-lhe evidente a existência desse limite. Por
exemplo, a seqüência )n1
1(an
n define o número e .
Outro elemento para a sua definição de limite é a questão da interpretação
do termo “infinitamente pequeno”, o que capacitou também a formular uma
definição mais precisa de continuidade.
Quando os valores numéricos sucessivos de uma variável diminuem
indefinidamente de modo a tornarem-se menores que qualquer número dado,
dizemos que a variável se torna “infinitamente pequena” ou uma quantidade
infinitamente pequena. O limite de tal variável é zero. Segundo Cauchy, uma
quantidade infinitamente pequena não é zero, nem é uma quantidade constante
menor do que qualquer quantidade finita, mas é uma variável que se aproxima de
zero; na verdade, idéias vagas de uma quantidade que se torna cada vez menor
estavam na base de todas as explicações sobre infinitésimos como
indefinidamente pequenos.
2.4.3. Karl Wilhelm Theodor Weierstrass (1815-1897)
Karl Weiertrass estudou Direito por quatro anos na Universidade de Bonn,
passando em seguida para a Matemática. Abandonou os estudos antes de se
doutorar, tornando-se professor do ensino secundário em Braunsberg, de 1841 a
1854.
61
STRUIK (1992) aponta que a fama de Weierstrass baseou-se no seu
raciocínio extremamente cuidadoso e no rigor, que é visível não apenas na sua
teoria das funções, mas também no seu cálculo das variações. Clarificou as
noções de mínimo de uma função e de derivadas e, com isto, eliminou o que
estava vago nos conceitos fundamentais do cálculo. Ele era a consciência
matemática por excelência metodológica e lógica. Outro exemplo do seu
raciocínio meticuloso foi a descoberta da convergência uniforme, já que com ele
começou a redução dos princípios da análise aos conceitos aritméticos mais
simples, o que nós chamamos hoje de aritmetização da matemática.
Atualmente em Análise, os tipos de desenvolvimento de raciocínio que se
baseiam no conceito de número irracional e no limite em geral é essencialmente
um mérito dessa atividade científica de Weierstrass. Devemos-lhe o fato de existir
unanimidade nos resultados das questões mais complicadas relativamente à
teoria das equações diferenciais e integrais, apesar das combinações mais
audaciosas e diversificadas com a aplicação sobre a transposição de limites.
ÁVILA (2001, p. 129) aponta que nas Notas dos cursos de Weierstrass
aparecem as primeiras noções topológicas, em particular a definição de
“vizinhança” de um ponto, a definição de continuidade em termos de desigualdade
envolvendo e, e vários resultados sobre funções contínuas em intervalos
fechados. Em particular, o chamado “Teorema de Bolzano-Weierstrass”: “Toda
seqüência limitada ( possui uma subseqüência convergente” está entre esses
resultados, o qual ele formulou originalmente para conjuntos infinitos e limitados,
e não para seqüências. O Teorema diz que todo conjunto numérico infinito e
limitado possui ao menos um ponto de acumulação.
)an
Weierstrass, através de seus cursos, exerceu decisiva influência na
modernização da Análise.
2.4.4. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
Georg Cantor nasceu em São Petersburgo, Rússia, em 3 de março de
1845. Estudou matemática na Universidade de Berlim, entre seus professores
estavam Karl Weierstrass, Ernst Eduard Kummer e Leopold Kronecker.
62
Ele percebeu que desde o tempo de Zenão, de Eléia (cerca de 450 a.C.), a
idéia do infinito é bastante sutil e perigosa, já que, por meio dela, podem-se
facilmente produzir alguns paradoxos de difícil explicação. No início do século
XVII, Galileu (1564-1642) notou um fato que lhe chamou atenção: nem o número
de quadrados é menor do que o da totalidade dos números, nem o último é maior
que o primeiro.
Como a cada número da linha superior corresponde um e um só número
da linha inferior e reciprocamente, não temos dificuldades em aceitar que ambas
têm a mesma quantidade de elementos. Entretanto, todos os números da linha
inferior também podem ser encontrados na linha superior, ou seja, como bem
observou Galileu no conjunto infinito dos naturais a parte é igual ao todo. Isso
bate de frente com a noção comum de Euclides, válida para quantidades finitas,
segundo a qual a parte é sempre menor do que o todo.
Segundo GARBI (2006, p. 285), com o Cálculo muitas discussões sobre
infinito, quantidades infinitamente grandes ou pequenas eram usadas para avaliar
limites. Desde o tempo de Zenão, de Eléia (450 a.C.) os estudiosos matemáticos
afirmavam que o infinito real é algo que não existe, havendo apenas um infinito
potencial, ou seja, a possibilidade de se fazer com que certas quantidades sejam
tão grandes quanto desejarmos. Em 1831, Gauss escreveu: “O infinito é apenas
uma figura de linguagem”, uma forma abreviada para a afirmação de que existem
limites dos quais certas relações podem se aproximar tanto quanto nós
desejarmos, desde que permitamos que outras magnitudes cresçam sem
qualquer restrição. Em relação ao infinito, os matemáticos ficaram mais
cautelosos porque estavam conscientes de que qualquer descuido poderia levar a
grandes erros. O estudo de Cantor foi sobre o tamanho dos conjuntos com
infinitos elementos, por exemplo existem infinitos números naturais e infinitos
números irracionais. Haveria alguma forma de se comparar estas duas
infinidades, de se saber se uma é maior do que a outra? Cantor entendeu que a
63
possibilidade de se estabelecer uma correspondência biunívoca entre os
elementos de dois conjuntos finitos assegura que ambos têm o mesmo número de
elementos. Cantor decidiu estender esse mesmo critério para os conjuntos
infinitos de tal modo que todo conjunto que pudesse ser colocado em
correspondência biunívoca com o conjunto dos naturais era enumerável. Criou
também um número cardinal “transfinito” correspondente à infinidade dos
números naturais, chamando-o de (álef-zero, de álef, a primeira letra do alfabeto
hebraico). Por hipótese, se todos os conjuntos são enumeráveis, existiria apenas
um transfinito. Na verdade, esta era a idéia de Cantor na primeira etapa de sua
obra prima: enumerar os números reais era um dos pontos mais importantes de
seu programa; e a teoria dos números transfinitos deve seu nascimento a essa
tentativa do “contar o continuum”, segundo DANTZIG (1970, p. 191).
Em 1874, Cantor atestou que era impossível alinhar todos os números
reais numa seqüência enumerável. Entretanto, a demonstração disso só surgiu
em 1883, quando lhe aprimorou esta demonstração da não enumerabilidade do
conjunto dos números reais. Nela considerou somente as representações
decimais infinitas de cada número, como por exemplo: 0,5=0,4999..., para que
cada um deles tenha apenas uma única representação decimal. Um esboço das
principais idéias contidas em tal demonstração, é descrito a seguir:
O princípio geral consiste em presumir que todos os números reais foram
colocados hierarquicamente e supõe-se que fosse possível estabelecer uma
correspondência biunívoca entre os números do intervalo [0; 1], ou seja, os
números deste intervalo são elementos de uma seqüência escritos em suas
representações decimais da seguinte forma:
)9a0(onde
........................................
...a...aaa,0a
........................................
......................................
...a...aaa,0a
...a...aaa,0a
ij
nn3n2n1nn
n22322212
n11312111
64
GARBI (2006) aponta que Cantor mostra, através de um processo
diagonal, que é possível produzir outros números, os quais apesar de reais não
estão entre os enumerados. Ora, construindo qualquer número do tipo 0,
, tal que ...,bbb 321 etc,b.ab,ab 3222111 , ele estará entre 0 e 1 e diferirá por
pelo menos um dígito de qualquer número da lista, que deveria conter todos os
reais daquele intervalo, se eles fossem contáveis. Portanto, não o são. Assim, a
cardinalidade do “contínuo” dos números reais não é 0 . Cantor chamou-a de c
(de contínuo) ou 1 , uma segunda ordem de “número transfinito”.
Quando dois conjuntos são ambos infinitos, não pode existir nenhuma
função sobrejetora f: N em R. Em particular se não existe nenhuma
correspondência biunívoca entre N e R, diz-se então que a cardinalidade de N é
estritamente menor do que a do R.
Transfinito é a existência de um número que fosse infinito, porém o menor
número maior do que todos os números finitos. Embora não haja o maior número
dos números – pode-se sempre somar 1 a qualquer número e obter um maior, há
a possibilidade da existência de um número maior do que todos os números
finitos.
Se A e B são duas coleções finitas, cada uma delas contendo o mesmo
número de elementos estão obviamente têm a mesma potência e também têm o
mesmo número cardinal.
Comprovada a existência dos dois transfinitos, Cantor questiona se haveria
algum transfinito entre ambos ou outros além de 1 . Pareceu-lhe evidente que
um transfinito maior do que 1 [a cardinalidade do segmento de reta unitário]
seria achado no conjunto dos infinitos pontos de um quadrado de lado unitário.
Cantor descobriu uma prova e uma forma de se estabelecer uma
correspondência biunívoca entre os pontos de tal quadrado e os pontos de tal
segmento. Seja um quadrado de lado unitário, um ponto P(x, y) genérico interno a
ele e um segmento de reta unitário com um ponto Q.
65
Suponhamos que as coordenadas de P sejam e
onde os e os são dígitos de zero a nove. Se criarmos um
número ele estará entre zero e um e corresponderá a
um único ponto Q sobre o segmento unitário. Reciprocamente dado um ponto Q
qualquer por sua coordenada linear
...xxx,0x321
...ynn
...yyy,0y321
x,0q1
x1
x...n
y1
...n
yyxy221
x...yxyxyx,0q332211
, os dígitos
podem ser desembaralhados de volta, de modo a formar as coordenadas de
um ponto P interno ao quadrado e assim está estabelecida uma correspondência
biunívoca, como aponta GARBI (2006).
yxii
Figura 2.4.4.2
Esta também é uma das idéias primitivas de Cantor. Os pontos contidos
num segmento de comprimento 1 têm a mesma potência que os da linha definida,
e os pontos contidos dentro do quadrado de lado 1 têm a mesma potência que os
do plano indefinido. Para isso será suficiente mostrar que podemos estabelecer
uma correspondência um a um entre a região desse quadrado e o segmento,
segundo DANTZIG (1970).
2.4.5. Richard Dedekind (1831-1916)
Richard Dedekind (1831-1916) foi colega de Georg Cantor e estudou em
Göttingen, onde foi aluno de Gauss e Dirichlet. Em 1858 tornou-se professor em
Zurique, transferindo-se em 1862 para Brunswick, sua terra natal, onde
permaneceu pelo resto de sua vida.
66
Em 1858, no início de sua carreira como professor, percebeu a falta de
fundamentação adequada para os números reais, principalmente quando teve de
provar que uma função crescente e limitada tem limite. Na reconstrução dos
números reais foi buscar inspiração na antiga teoria das proporções de Eudoxo.
Assim, em 1887 Dedekind escreve. “... e se interpretamos número como
razão de duas grandezas, há de se convir que tal interpretação já aparece de
maneira bem clara na célebre definição dada por Euclides sobre igualdade de
razões. Aí reside a origem de minha teoria (...) e muitas outras tentativas de
construir os fundamentos dos números reais” (ÁVILA, 2001, p. 29).
(...) há muito tempo pensei, em vão, nestas coisas até que encontrei o que procurava. A minha descoberta será julgada de maneira diferente por pessoas diferentes mas acredito que a maioria dela a achará trivial..
No parágrafo anterior salientou-se que cada ponto p contido numa reta divide essa reta em duas partes tais que cada ponto de uma das partes fica à esquerda de cada ponto da outra parte. Afirmo que a essência da continuidade está na inversa, isto é, no seguinte princípio: se todos os pontos de uma reta pertencem a duas classes tais que cada ponto da primeira classe fica à esquerda de cada ponto da outra classe, então existe um e só um ponto que determina esta divisão em duas partes.” Richard Dedekind(GARDING, 1981, p. 145)
COBIANCHI (2001) aponta que para garantir sua definição de
“Continuidade” de maneira puramente aritmética, Dedekind aplicou procedimentos
iguais para o Conjunto dos números Racionais Q e para uma reta geométrica
contínua r, que constavam além de Continuidade, as propriedades de ordenação,
de enumerabilidade, de infinidade e de densidade. Foi estabelecido, também, um
morfismo entre o Conjunto dos números racionais Q e para uma reta geométrica
contínua r.
A comparação do domínio dos números racionais Q com a reta geométrica
contínua r levou ao reconhecimento da existência de lacunas de uma certa
imperfeição ou descontinuidade do conjunto Q e, ao mesmo tempo a reta
geométrica contínua r de perfeição, ausências de lacunas, continuidade.
Assim, deve-se a Dedekind uma nova concepção puramente aritmética do
número irracional.
67
Consideremos o conjunto de todos os números racionais Q.
Pode-se repartir o conjunto dos números racionais de uma infinidade de
maneiras, em dois conjuntos R1 e R2, tais que cada racional pertença ou a R1 ou
a R2, qualquer número de R1 seja inferior a qualquer número de R2. Dedekind
chama de Corte esses conjuntos dos números racionais.
Três casos ocorrem, e apenas três, os quais mutuamente se excluem:
1) Em R1, existe um número r1 superior a todos os outros números desse
conjunto, e neste caso não existe em R2 nenhum número que seja
inferior a todos os outros números de R2. Exemplo: Considere um corte
(R1, R2) na reta numérica racional de modo que à classe R1 pertençam
todos os números racionais menores ou iguais a zero, e à classe R2
todos os racionais maiores que zero.
Figura 2.4.5.1. exemplo 1
Seja R1 o conjunto formado pelos racionais negativos e zero; R2
compreende todos os racionais positivos, dos quais nenhum é inferior a todos os
outros. Nesse caso, dizemos que (R1, R2) define o número real 0, que é também
um número racional.
2) Em R2, existe um número r2 inferior a todos os outros números desse
conjunto, e neste caso não existe em R1, nenhum número que seja
superior a todos os outros números de R1. Exemplo: Considere um
corte (R1, R2) na reta numérica racional de modo que à classe R1
pertençam todos os racionais menores que zero e à classe R2, todos os
racionais maiores ou igual a zero.
68
Figura 2.4.5.2. exemplo 2
Nesse caso, dizemos que (R1, R2) define o número real 0, que é também
racional.
3) Não existe em R1 um número que seja superior a todos os outros de R1,
nem em R2 um número que seja inferior a todos os outros de R2.
Exemplo: Considere um corte (R1, R2) na reta numérica racional de
modo que à classe R1 pertençam todos os números racionais cujo
quadrado é menor que 3 e à classe R2, todos os racionais cujo
quadrado é maior que 3.
Observe que (R1, R2) define um corte sobre Q, pois qualquer número
racional ou pertence à classe R1 ou pertence à classe R2. Além disso, não existe
nenhum racional que pertença as duas classes ao mesmo tempo.
Figura 2.4.5.3. exemplo 3
Não existe nenhum número racional que seja o maior de todos os de R1,
nem nenhum que seja menor de todos os de R2, porque nenhum número racional
tem 3 para quadrado.
No exemplo 1 e 2, os conjuntos R1 e R2 caracterizam o número racional
r1=r2=0. No exemplo 3, por extensão, R1 e R2 definem um número qualificado de
irracional.
69
Para Dedekind, qualquer número racional ou irracional é o símbolo de um
corte no sistema dos números racionais, assim, cada corte aberto, ou corte do
terceiro tipo, se identifica a um número irracional.
Observe que o que faz Dedekind não é nada mais do que ampliar o
domínio numérico, dos números racionais, que era conhecido pelos gregos
juntando a esses números racionais uma nova categoria de números, os números
irracionais, que vêm preencher as lacunas cuja existência os gregos já haviam
constatado. Ao conjunto dos números racionais e irracionais, Dedekind dá o nome
de conjunto dos números reais, e à reta contendo os racionais e irracionais de
reta numerada real.
Assim, Dedekind conclui que, segundo MIGUEL (2005, p. 115):
1) Existem mais pontos na reta que números racionais;
2) O conjunto dos números racionais não é adequado para se aplicar
aritmeticamente a continuidade da reta;
3) Logo, é absolutamente necessário criar novos números para que o
domínio numérico seja tão completo quanto a reta, isto é, para que
possua a mesma continuidade da reta.
De acordo com a teoria de Dedekind, esse é o único aspecto que distingue
os dois tipos de números: é característica de um número racional pertencer a uma
das classes e é também característica dos irracionais não pertencer a nenhuma.
DANTZIG (1970, p. 156) aponta que, por mais paradoxal que possa
parecer, o presente é verdadeiramente irracional, usando-se a palavra no sentido
de Dedekind, pois, apesar de agir como partição, não é nem parte do passado,
nem do futuro. Na verdade, numa Aritmética baseada apenas no tempo, se tal
Aritmética fosse possível, o irracional seria encarado como um dado, enquanto
todos os esforços de nossa lógica seriam dirigidos para o estabelecimento da
existência de números racionais.
COBIANCHI (2001, p. 194) aponta que através dos “Cortes de Dedekind”
foi explicado de uma maneira puramente aritmética o conjunto dos números reais,
justificado também a continuidade, e a noção de número irracional adquirindo
70
sentido geral, rigoroso, e colocando um ponto final em mais de vinte século de
polêmicas, dúvidas e brigas filosóficas.
2.5. Considerações
As primeiras descobertas do ser humano foram frutos de tentativa e erro e
não de uma prática desenvolvida do método científico como o conhecemos hoje.
Entre o quinto e o sexto século a.C., os gregos descobriram que os
segmentos incomensuráveis são indispensáveis em geometria, e esta foi uma das
mais importantes contribuições à civilização.
Este trabalho tenta compreender a construção do conhecimento do número
Irracional, quais os grandes conflitos filosóficos da época, e como foram feitas as
principais descobertas que permanecem válidas até hoje.
O primeiro caso de duas grandezas, que não guardam ente si uma relação
de inteiro a inteiro, foi encontrado pelos pitagóricos no lado e na diagonal de um
quadrado. A demonstração da sua incomensurabilidade foi encontrada em Os
Elementos de Euclides, mas Aristóteles dizia ser conhecida de Pitágoras.
Entendemos, então, que os gregos nunca chegaram a ter uma idéia clara
do que nós chamamos hoje de número irracional.
Foi Descartes que estabeleceu assim uma identidade das operações sobre
grandezas e das operações sobre números: do cálculo geométrico e do cálculo
algébrico. O irracional não lhe parece mais considerado numerus fictus (números
fictícios), mas como numerus verus (números com significados), por isso que se
torna necessário representar por números todos os estados de uma grandeza de
espécie determinada.
Só no final do século XIX que a noção de número irracional adquiriu
sentido geral, rigoroso e puramente aritmético, independente da intuição
geométrica. O ponto de vista cartesiano é ainda o do número como medida da
grandeza; os números reais concebem-se como medindo segmentos de uma reta,
na qual foram escolhidos uma origem e um segmento unidade já os irracionais
correspondem aos segmentos incomensuráveis ao segmento unidade.
71
Essa interpretação métrica apresenta uma certa dificuldade. É preciso
mostrar que se tem o direito de efetuar sobre os números generalizados as
operações da aritmética, cujas regras foram estabelecidas para os números
racionais ou, em outros termos, que a cada símbolo obtido pela combinação das
expressões que representam os irracionais, corresponde efetivamente um certo
segmento. Isso exige o apelo à noção da continuidade geométrica, o que se
traduz por um postulado conhecido por postulado de Cantor-Dedekind.
O Postulado de Dedekind-Cantor: É possível associar a qualquer ponto na
reta um único número real e, inversamente, qualquer número real pode ser
representado de maneira única por um ponto numa reta, hoje conhecido como
Axioma segundo GARBI (2006, p. 290).
Para Dedekind, qualquer número racional ou irracional é o símbolo de um
corte no sistema dos números racionais. Cada corte aberto, ou corte do terceiro
tipo, se identifica com um número irracional.
Em outros termos, número real, racional ou irracional pode ser considerado
como par de conjuntos infinitos de números racionais, e como o número racional
se exprime em termos do número inteiro, a concepção de Dedekind nos permite
finalmente conceber o número irracional como uma arquitetura de números
inteiros.
72
CAPÍTULO 3
Análise das reformas curriculares e dos livros didáticos
Nesta parte do estudo, apresentaremos uma análise de reformas
curriculares e de livros didáticos.
Os livros didáticos contêm exercícios, definições, exemplos, observações e
demonstrações que são apresentados em uma linguagem a ser usada na
comunicação com a classe. Muitas vezes, o professor aprende no livro didático
aquilo que vai ensinar a seus alunos sendo que o livro é umas das maiores fontes
do saber para os alunos. A maioria dos professores procura os livros didáticos
para a elaboração de seu plano de aulas e de ensino, não utilizando os
documentos oficiais (LIMA, 2001, p. 45).
Para escolha dos livros didáticos para análise tomou como base os livros
mais indicados pelos professores da nossa região Vale do Ribeira. Levamos em
conta também a opinião de alguns professores nossos conhecidos. Para análise
dos livros didáticos do Ensino Fundamental, separamo-os de acordo com as
reformas Curriculares, isto é, livros dos anos 70 pela oublicação dos Guias
Curriculares, livros dos anos 90, pela publicação da Proposta Curricular para o
ensino da matemática do 1º grau e livros dos anos 2000 devido aos Parâmetros
Curriculares Nacionais de matemática do Ensino fundamental.
Segundo os PCN (1998, p. 21), os documentos oficiais mais recentes não
são conhecidos pelos professores, que muitas vezes não sabem de sua
importância e nem o que motivou sua elaboração. Percebe-se ainda que as idéias
ricas e inovadoras, veiculadas nesses documentos não chegam aos professores
73
ou são incorporadas superficialmente com diversas falhas de interpretação, não
provocando as mudanças esperadas e desejadas.
Um dos aspectos abordados neste trabalho refere-se a tentar compreender
as transformações sofridas pelo saber quando passa do campo científico para a
Escola.
Essas idéias apareceram na definição dada por Chevallard apud PAIS
(2002, p. 19).
Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão torna-lo apto a tomar lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que, de um objeto de saber ensinar faz um objeto de ensino, é chamado de transposição didática.
Figura 3.a. Transposição didática: Conceito que expressa o processo de transformação em categorias (SANT’ANNA, BITTENCOURT e OLSSON, 2007, p. 78)
A transposição didática é um conceito que expressa o processo de
transformação entre três categorias: o saber sábio, o saber a ensinar e o saber
ensinado, aquele que verdadeiramente acontece em sala de aula.
Pela FIGURA 3.a acima notamos que, o processo de transposição didática
permite compreender a passagem do saber dos matemáticos (saber sábio) ao
saber a ensinar ou a saber ensinado, e este processo é encaminhado em várias
etapas. Uma das etapas passa-se ao nível da noosfera e da organização do
currículo. O papel de noosfera se relaciona com a transposição institucional, ou
seja, com a transposição dos saberes de forma que estes possam se configurar
enquanto objetos de ensino nas instituições. (ASSUDE, 1992, p. 95).
74
Apresentaremos a seguir uma análise de documentos oficiais curriculares e
de livros didáticos dos anos 70, 90 e 2000, centrada em um objeto de ensino,
números irracionais.
3.1. Reformas do currículo de matemática
Iremos apresentar uma análise nos seguintes documentos:
Guia Curricular de matemática do 1º grau e Subsídios para
implementação do Guia Curricular de matemática - Álgebra para o 1º
grau – 5ª a 8ª séries – informações para o professor;
Proposta Curricular para o ensino de Matemática do 1º grau e
Experiências Matemáticas da 8ª série; e
Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino
Fundamental de Matemática.
3.1.1. Guias curriculares de Matemática – 1º grau – 1975
Subsídios para implementação do Guia Curricular de matemática-Álgebra
para o 1ºgrau – 5ª a 8ª séries – informações para professor
Na década de 70, a Secretaria Estadual de Educação de São Paulo –
SEESP, por meio de Coordenadoria de Ensino e Normas Pedagógicas – CENP,
elaborou, além dos Guias Curriculares (1976), os Subsídios para implementação
dos Guias Curriculares (1977) e a Geometria Experimental (1978).
Entretanto, no âmbito de Delegacia de Ensino (DE), antiga denominação à
Diretoria de Ensino, apontava-se a dificuldade de comunicação com as Unidades
Escolares no que se referia às discussões sobre implantação de novas propostas.
Assim a CENP, órgão central da SEESP, encarregada de promover um canal
competente de comunicação entre os órgãos centrais e a rede escolar, propôs a
criação da Monitoria (1976), hoje denominada Assistente Técnica Pedagógica
(ATP), com o objetivo de dar apoio pedagógico regional à ação supervisora na
implementação do currículo de matemática.
75
Assim, os programas de conteúdo matemático eram divulgados por
professores de universidades brasileiras e os Guias por professores divulgadores
da Delegacia de Ensino e do Curso de Metodologia da Matemática - materiais
estruturados.
Os subsídios para implementação do Guia Curricular de matemática –
Álgebra para o 1º grau - 5ª a 8ª séries – informações para professor, serviram
como instrumentos nos quais o professor podia buscar o conhecimento, já que
fora concebido com objetivo de auxiliá-lo com algumas informações referentes a
certos conceitos subjacentes à maioria dos assuntos abordados no Guia
Curricular.
Até a década de 70, predominava no Brasil uma orientação curricular que
se caracterizava por apresentar uma ordem hierárquica de conteúdos que
deveriam ser ensinados, geralmente sem incluir aspectos importantes como
objetivos, metodologia, sugestões de atividades etc.
No início dos anos 70, o ensino de Matemática no Brasil, assim como em
outros países, foi influenciado por um movimento de renovação, a nível da
organização do saber e do ensinar foi à reforma, sendo conhecido como
Movimento da Matemática Moderna.
A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional inscrito numa política de modernização econômica e foi posta na linha de frente do ensino por ser considerar que, juntamente com a Área de Ciências, ela constituía uma via de acesso privilegiada para o pensamento científico e tecnológico. Para tanto se procurou renovar a Matemática desenvolvida na escola da Matemática como é vista pelos estudiosos e pesquisadores. (PCN, 1998, p. 19).
O contexto inicial deste movimento era muito diferente do que prevaleceu
nas propostas curriculares. Acreditava-se que era possível um ensino proposto
que se fundamentava em grandes estruturas que organizavam o conhecimento
matemático contemporâneo e enfatizava a teoria dos conjuntos, as estruturas
algébricas, a topologia, etc. Esse movimento provocou, em vários países,
inclusive no Brasil, discussões amplas e reformas no currículo de Matemática.
Houve, ainda, tentativa de uso de novas técnicas de ensino, com o objetivo
de favorecer a aprendizagem. Diversas criações didáticas surgiram para tentar
76
melhorar esta proposta, como foi o caso dos diagramas de Venn, que passou a
constituir um novo objeto de ensino. No entanto, essas reformas deixaram de
considerar um ponto básico que viria tornar-se seu maior problema: o que
propunha, estava fora do alcance dos alunos, principalmente das séries finais do
ensino fundamental.
O ensino passou a ter preocupações excessivas com formalizações,
distanciando-se das questões práticas. A linguagem da teoria dos conjuntos, por
exemplo, enfatizava o ensino de símbolos e de uma terminologia complexa
comprometendo o aprendizado do cálculo numérico, da geometria e das medidas.
Os números eram tratados a partir de sua organização em conjuntos numéricos,
passando-se dos naturais aos inteiros, aos Racionais, aos Reais, tendo como fio
condutor as propriedades estruturais que caracterizavam tais conjuntos deixando
de lado a ampliação dos conjuntos numéricos e o estudo da evolução da noção
do número, principalmente dos irracionais.
Na figura 3.1.1.1 notamos que o conteúdo Números irracionais tem como
objetivo associar aos números irracionais as representações decimais infinitas e
não periódica. Essa caracterização dos irracionais pode criar obstáculos à
compreensão da noção de irracionalidade e da própria natureza do contínuo
numérico.
77
Figura 3.1.1.1. Guias Curriculares – Conjunto dos números irracionais.
Os números racionais e irracionais têm um tratamento integrado na
aplicação do dia-a-dia, na utilização da tecnologia. Essa afirmação demanda um
entendimento um pouco mais aprofundado de que os números racionais podem
ser escritos como fração e os irracionais, não.
Os Guias trazem várias definições e aplicações para os números racionais
e suas propriedades (densidade, ordenação, etc) enquanto os números irracionais
vêm com pequena definição e sem explicação dadas as suas propriedades
78
(densidade, ordenação, etc), com tratamento isolado e não parecendo existir
conexão entre os conteúdos num único momento.
Entendemos, em primeiro lugar, que o professor precisa fundamentalmente
conceber os irracionais como números, em segundo lugar, que o professor
precisa saber a diferença entre números racionais e irracionais e que os racionais
completam os irracionais, e, finalmente, precisa saber que são objetos criados
com alguma finalidade, ou alguma necessidade humana.
Os subsídios do Guia Curricular de matemática dão umas informações a
respeito da necessidade de ampliação do conjunto numérico através da equação
x2=r e justificando que existem lacunas nos conjuntos números racionais.
Apresentam na figura 3.1.1.2 que não existe o racional q
p que seja a medida da
diagonal de um quadrado de L unidade de lado, isto é, a equação x2-r=0 não tem
solução em Q.
Figura 3.1.1.2. Subsídios para implementação do Guia Curricular de Matemática-Álgebra para o 1º grau - 5ª a 8ª séries - informações para o professor.
79
A figura 3.1.1.3 mostra, usando a representação decimal e aproximações,
uma seqüência de racionais menores que 2 e uma seqüência de racionais
maiores que 2 , ambas com limite 2 .
Figura 3.1.1.3. Subsídios do Guia Curricular de matemática-Álgebra para 1º grau
Percebemos que o ensino era realizado de modo centrado no professor
que expõe, demonstra ou prova rigorosamente tudo no quadro-negro. O aluno,
salvo algumas poucas atividades alternativas, continua sendo considerado
80
passivo, tendo de imitar a linguagem e os raciocínios lógico-estruturais ditado pelo
professor (FIORENTINI, 1995).
3.1.2. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática – Ensino
Fundamental – 1997
A proposta Curricular para o ensino de matemática – Ensino fundamental
do Estado de São Paulo, elaborada pela Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas - CENP, da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo foi
publicada durante os anos 80/90.
Em decorrência da contraposição às idéias do Movimento da Matemática
Moderna a concepção de currículo também havia sido alterada significativamente,
em lugar de uma concepção que privilegiava o tecnicismo e o formalismo no
ensino da matemática, passava a defender os princípios da tendência pedagógica
conhecida como construtivista.
O construtivismo adotado pela Proposta Curricular levava em conta que o
conhecimento matemático deveria valorizar mais o processo do que o produto. A
preocupação maior era o desenvolvimento de estruturas mentais dos alunos e,
desse modo, a importância do conteúdo em si era bastante relativa.
A Proposta Curricular para o ensino da matemática - Ensino fundamental,
as Experiências matemáticas, a Prática Pedagógica de matemática, as Atividades
Matemáticas são instrumentos em que o professor pode buscar o saber sábio e o
saber a ensinar.
O volume 4 das Experiências Matemáticas (1994, p. 14-5) tem em seu
prefácio:
O papel do professor é portanto, fundamental, em todos os aspectos, seja na ordenação das atividades, seja na ampliação ou redução da abordagem de um dado assunto, seja em relação ao fato de não submeter todos os alunos mesmo ritmo etc..
81
É importante destacar que numa proposta em que os objetivos, os conteúdos e a metodologia se redefinem, a avaliação não pode restringir-se meramente à aplicação de provas e testes, mas utilizar-se de um amplo espectro de indicadores. Eles podem incluir a observação do aluno quando trabalha individualmente e seu posicionamento frente a um grupo; seu desempenho quando realiza provas com resultada mostrando competência para buscar as informações que interessam e também quando realiza provas em que o que se pretende identificar é o nível de sistematização e de assimilação de um dado conceito.
Entendemos que a Proposta Curricular para o ensino da matemática do 1º
grau foi considerada importante principalmente pelo modelo de modificações no
ensino da matemática e também pela ampla divulgação em todo o território
Nacional e sua influência na elaboração de propostas curriculares em outros
estados. Suas Diretrizes e sugestões a respeito da organização do conhecimento
matemático escolar influenciaram diretamente as propostas de diversos estados
até os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, principalmente quanto à
organização dos conteúdos por temas. a integração entre os temas num currículo
espiral e entre diferentes disciplinas e a Matemática.
Embora os números possam ser estudados a partir de sua organização em
conjuntos numéricos, passando-se dos Naturais aos Inteiros, aos Racionais, aos
Reais, tendo como fio condutor às propriedades estruturais que caracterizam tais
conjuntos, a Proposta Curricular apresenta esse conteúdo de uma maneira
diferente. Propõe-se acompanhar a evolução da noção de número, a partir de
contagem ou de medida, sem ter ainda as propriedades claramente divisadas,
deixando se guiar pelo fio condutor que a história propicia e trocando assim uma
sistematização prematura por uma abordagem mais rica em significados
(MIGUEL e MIORIM, 2005).
A Proposta Curricular dos anos 90 e as Experiências Matemáticas da
oitava série não trazem um maior aprofundamento do conceito de irracionalidade.
Tem-se que: D
C, chamando de C o comprimento da circunferência e de
D a medida do diâmetro da mesma unidade de medida. O número ,
apresentado dessa maneira, é pouco provável que um aluno diga que é um
número irracional.
82
O aluno também tende a associar ao número irracional a idéia de número
aproximado, número de forma decimal infinita. Por exemplo, quando
determinamos por meio de uma calculadora o número 5 , obtemos o valor
aproximado 2,236067977.
Percebemos que na Proposta Curricular a abordagem do conjunto dos
números racionais sempre aparece antes do conjunto dos números irracionais. Na
ampliação do campo numérico, tanto a Proposta quanto as Experiências
Matemáticas dão ênfase ao conceito, aprofundamento e aplicação do conjunto
dos racionais e tratam o conteúdo dos irracionais, com recuperação do processo
histórico da produção desse conhecimento. Criam-se situações com a construção
de um quadrado de lado unitário e pergunta-se a medida da diagonal desse
quadrado, o que coloca em questão a postura do professor e a do aluno.
Para a implantação da Proposta Curricular, o professor necessita ter
postura de orientador e motivador da aprendizagem na construção de
conhecimento matemático, numa tarefa de erros e acertos. O erro que o aluno
comete ao realizar um exercício de matemática, passa a ser visto não de forma
negativa, ruim e que deva ser imediatamente corrigido pelo professor, ao
contrário, para o construtivismo, o erro é sinônimo de manifestação positiva de
grande valor pedagógico, refletindo um tipo de postura diferente que o professor
deveria ter diante do erro.(FIORENTINI, 1995).
3.1.3. Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) 5ª a 8ª SÉRIE – Ensino
Fundamental
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) foram desenvolvidos a partir
dos anos noventa, praticamente dez anos depois das reformulações curriculares
que marcaram a década de 80, especificamente em São Paulo com a
apresentação da Proposta Curricular para o Ensino de 1º Grau. Os PCN, sob
influência de órgãos de financiamento internacionais, têm o intuito de orientar e
garantir a coerência entre as práticas educativas e os novos investimentos no
sistema educacional, além de terem a intenção de constituir, portanto, uma
83
política curricular, com ênfase no desenvolvimento de capacidades, habilidades e
competências, visando à integração dos alunos no mundo social contemporâneo.
PIRES (2003) relaciona as várias tensões e questões existentes na época:
Como construir referências nacionais de modo a enfrentar antigos problemas da educação brasileira e ao mesmo tempo encarar novos desafios colocados pela conjuntura mundial e pelas novas características da sociedade, como a urbanização crescente? O que significa indicar pontos comuns do processo educativo em todas as regiões, mas, ao mesmo tempo, respeitar as desigualdades da realidade brasileira? Como equacionar problemas referentes à possibilidade de acesso aos centros de produção de conhecimento, tanto das áreas curriculares quanto da área pedagógica, e que se refletem na formação dos professores que colocaram as idéias curriculares em prática? Que Matemática deve ser ensinada às crianças e jovens de hoje e com que finalidade? De que modo teorias: didático e metodológico deve ser incorporado ao debate curricular, sem que sejam distorcidas e traga prejuízos a aprendizagem dos alunos?.
Os PCN trazem sugestões, objetivos, conteúdos e uma fundamentação
teórica dentro de cada área, com intuito de contribuir com o trabalho do professor.
Nessa proposta, optou-se por um tratamento específico das áreas, contemplando
também a integração entre elas, além de serem incorporadas às áreas de
conhecimento algumas questões sociais consideradas mais importantes, como
ética, saúde, meio ambiente, orientação sexual e pluralidade cultural, a serem
abordadas enquanto temas transversais. Além disso, os PCN sugerem a
organização do ensino através de ciclos formados pelo agrupamento de séries
segundo (SANT’ANNA, BITTENCOURT e OLSSON, 2007).
Os PCN mantiveram algumas semelhanças com a Proposta Curricular para
o ensino da Matemática de São Paulo, principalmente no caso da organização
curricular por grandes temas, mas também introduziram novos aspectos, ao
considerar novas áreas de pesquisa, como é o caso do debate a respeito das
novas tecnologias, da preocupação com a inclusão dos componentes sociais e
culturais, do aprofundamento do debate relativo ao papel do erro na
aprendizagem, como também da postura do professor com relação à valorização
dos conhecimentos prévios e das hipóteses que os alunos investigam nos
problemas. Assim, os PCN apresentam um discurso moderno na direção de uma
política curricular nacional.
84
Os PCN estimulam o desenvolvimento do pensar matemático com a idéia
de que qualquer aluno é capaz de fazer matemática em sala de aula, envolvendo
cada um no processo de produção do conhecimento, a fim de garantir sentido ao
que é feito. Para tanto, é preciso despertar a análise crítica de valores e de idéias,
com atividades que façam parte de um contexto significativo para o aluno.
Quando a atividade tem significado para o aluno, amplia e resulta em
novas relações que ele estabeleceu entre os diferentes temas matemáticos e
também entre estes e as demais áreas do conhecimento e as situações do dia-a-
dia.
O estabelecimento de relações é fundamental para que o aluno
compreenda efetivamente os conteúdos matemáticos, que se tornam uma
ferramenta poderosa para resolver problemas e para a aprendizagem/construção
de novos conhecimentos.
Entretanto, tradicionalmente, o professor reproduz e apresenta o conteúdo
oralmente, partindo de elementos primitivos, definições para prosseguir com a
teoria e a demonstração. Só após esta apresentação completa é que aparecem
os exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação, o que pressupõe que o aluno
aprenda pela reprodução. Assim, considera-se que uma reprodução correta
evidência se ocorreu a aprendizagem.
Essa prática de ensino tem se mostrado não eficiente porque não basta ao
professor passar ou dar aos alunos os conteúdos prontos e acabados, que já
foram descobertos e se apresentam sistematizados nos livros didáticos. Sob essa
concepção, é suficiente que o professor apenas conheça a matéria que irá
ensinar, cabendo ao aluno copiar e repetir.
Naturalmente, à medida que se redefine o papel do aluno diante do saber,
é preciso redimensionar também o papel do professor que ensina Matemática no
ensino fundamental.
85
Ao trabalhar com essas relações nos terceiro e quarto ciclos o professor deve levar em conta que os alunos adolescentes; jovens atuam mais em grupo do que individualmente e, por isso, a interlocução direta com um determinado aluno é mais fácil de se estabelecer, principalmente diante de outros alunos. Tal fato exige do professor uma profunda compreensão das mudanças pelas quais eles estão passando, além da perseverança e criatividade para organizar e conduzir as situações de ensino de modo que garanta suas participações e interesses. (PCN, 1998, p. 39).
Segundo os PCN de matemática (1998), o professor deve desempenhar
diferentes papéis, organizador, facilitador, mediador, incentivador, avaliador.
Entretanto, segundo PIRES (2003) a descentralização na tomada de
decisões curriculares nas diferentes regiões brasileiras acarretou problemas
bastante graves. Ao deixar essa atribuição aos estados e municípios, o reflexo
das desigualdades regionais nos currículos ficava evidente: regiões mais
desenvolvidas economicamente e socialmente, com maior acesso à produção de
conhecimentos científicos, reuniam melhores condições de elaborar projetos
curriculares contemporâneos, incluindo avanços das pesquisas tanto das áreas
de conhecimento específico como das áreas didático-pedagógicas. Em
compensação, as demais continuavam reproduzindo listas de conteúdos sem
maior reflexão sobre a sua importância ou não. Esse contraste foi claramente
notado em estudo feito pela Fundação Carlos Chagas em 1996, que buscava
identificar o que se ensinava nas diferentes regiões brasileiras a partir da análise
de documentos curriculares oficiais.
No quarto ciclo, além da consolidação dos números e suas operações já
conhecidas pelos alunos, existe a necessidade de ampliar os significados dos
números pela identificação da existência de números não-racionais.
Os PCN (1998) recomendam aos professores que proponham aos alunos a
análise, interpretação, formulação e resolução de novas situações-problema,
envolvendo os números (Naturais, Inteiros e Racionais) e os diferentes
significados das operações, e que sejam valorizadas as resoluções aritméticas
tanto quanto as algébricas.
Dessa forma, assumem a resolução de problemas como um de seus
pilares e buscam argumentos relacionados ao desenvolvimento histórico da
Matemática para justificar a importância do trabalho com problemas históricos.
86
A própria História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (física, astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria matemática. (BRASIL, 1998, p. 40).
Segundo MIGUEL e MIORIM (2005, p. 53) podemos entender ser possível
buscar na História da Matemática apoio para se atingir objetivos pedagógicos que
levem os alunos a perceberem, por exemplo:
1. a matemática como uma criação humana;
2. as razões pelas quais as pessoas fazem matemáticas;
3. as necessidades práticas, sociais, econômicas e físicas que servem de
estímulo ao desenvolvimento das idéias matemáticas;
4. as conexões existentes entre matemática e filosofia, matemática e
religião, matemática e lógica, etc;
5. a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e
extensão de idéias e teorias;
6. as percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da
matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo;
7. a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova.
3.2. Livros Didáticos
Nos PCN (1998, p. 20-1) encontramos que:
No Brasil, o Movimento Matemático Moderno, veiculado principalmente pelos livros didáticos, teve grande influência, durante longo período, só vindo a refluir a partir da constatação de inadequação de alguns de seus princípios básicos e das distorções e dos exageros ocorridos.
(...) Não tendo oportunidade e condições para aprimorar sua formação e não dispondo de outros recursos para desenvolver as práticas da sala de aula, os professores apóiam-se quase exclusivamente nos livros didáticos, que, muitas vezes, são de qualidade insatisfatória.
Recentemente, o Plano Nacional dos livros didáticos (PNLD), projeto de
avaliação institucional dos livros didáticos, veio a institucionalizar a vinculação
existente entre a política nacional de distribuição de livros didáticos e as práticas
escolares, por meio de uma seleção criteriosa dos livros a serem recomendados
87
para uso didático nas escolas. Neste contexto, a influência dos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) tornou-se ainda mais relevante e constitui um dos
aspectos considerados na presente análise.
A função do livro didático no Brasil, enquanto instrumento de mediação de
tendências curriculares, tem sido objeto de estudos em diversas áreas, inclusive
em Educação Matemática. Essas análises indicam alguns problemas existentes
nos livros didáticos e ao mesmo tempo modificações e influências presentes
nesses materiais.
3.2.1. Livros didáticos dos anos 70
Analisamos duas coleções:
Coleção A – Matemática para o 1º grau – 7ª e 8ª série, de autoria de
Lydia Conde Lamparelli, Adolfo Walter P. Canton, Pedro Alberto
Morettin e Dalva Fontes Indiani, do ano de 1973.
Coleção B – Curso moderno de matemática para o ensino de 1º grau –
7ª e 8ª série, de autoria de Anna Averbuch, Franca Cohen Gottlieb,
Lucília Bechara Sanchez, Manhúcia Perelberg Liberman, supervisão de
L.H. Jacy Monteiro, do ano de 1977.
Nessas Coleções de livros didáticos analisados encontramos
recomendações para que o aluno faça suas atividades e anotações no próprio
livro. Observamos que as recomendações de atividades foram exatamente na
ordem de apresentação dos assuntos.
Encontramos um padrão recorrente nas coleções A e B. O texto contém
informações sobre o tema, apresenta introdução ou definição, propriedades e
procedimentos de cálculo. Além disso, cada um de seus capítulos:
(i) Expõe o “conhecimento pronto e acabado” e em seguida atividades de
fixação;
(ii) Aprofunda os conceitos na linguagem matemática, baseada na teoria
dos conjuntos, apresentando e discutindo quase tudo sobre o assunto;
(iii) Apresenta uma ordem linear dos conteúdos.
88
Das características apontadas nas coleções A e B, a linearidade é a que
mais chamou nossa atenção pelos seguintes motivos:
a. parecem reproduzir implicitamente o modelo euclidiano, partem de
elementos primitivos: introdução, demonstração, fixação de exercícios e
aprofundamento;
b. no estudo dos temas, parte-se dos mais fáceis para os mais difíceis;
c. os conteúdos foram elaborados como conhecimentos prontos e
acabados de tal modo que o professor e o aluno ocupam uma posição
secundária, constituindo-se meros executores de um processo cuja
concepção, planejamento, coordenação e controle ficam a cargo de
especialistas.
O livro didático da 7ª série da coleção A apresenta os números Irracionais
logo após atividades de números Racionais na forma fracionária, correspondendo
a uma representação decimal infinita e periódica. Os autores expõem o
conhecimento pronto sobre esses números Irracionais, dizendo que não possuem
uma representação decimal infinita e periódica, e em seguida, apresentam
exercícios de fixação.
No livro da 8ª série da coleção A, os autores fazem o estudo dos
segmentos comensuráveis e incomensuráveis e, em seguida, exercícios com
caráter de fixação.
No livro da 7ª série da coleção B, os números Irracionais apareceram
através de uma classificação de números decimais ilimitados que podem ser
dízimas periódicas ou não, já os decimais ilimitados que não são dízimas
periódicas representam números chamados Irracionais.
Também é feita a demonstração por absurdo de que a equação 2x2
não tem solução e que pode ser escrita como quociente de dois inteiros e em
seguida, são apresentados exercícios de aplicação.
No livro da 8ª série da coleção B, os autores dão ênfase a representação
de números Irracionais na reta numérica, sendo que nos exercícios preliminares,
tentam passar que existem segmentos de reta que não podem ser medidos
através de um número Racional.
89
Observamos que os autores do livro didático da 8ª série da Coleção B
ainda possuem vestígios do modelo enciclopédico ao tentarem esgotar o assunto
de números Irracionais em unidade estanque de cada volume. Em nenhum
momento é destacada a relação do segmento incomensurável com o número
Irracional.
Na Figura 3.2.1.1, a atividade é formada de seqüência de triângulos
retângulos isósceles de lado 1, ESPIRAL PITAGÓRICA, para alguns valores de n,
a medida hn é racional quando (n+1) é quadrado perfeito e, para outros, a medida
de hn, não é racional quando (n+1) não é quadrado perfeito.
Figura 3.2.1.1. Curso Moderno para o ensino de 1º grau (AVERBUCH, GOTTLIEB, SANCHEZ, LIBERMAN, MONTEIRO, 1977, p. 6)
Nossa análise apontou que as coleções priorizam objetivos que se
restringem ao treino como desenvolvimento de habilidades estritamente técnicas.
Os conteúdos, sob esse enfoque, aparecem dispostos em passos seqüenciais em
forma de instrução programada, onde o aluno deve realizar uma série de
exercícios do tipo siga o modelo.
Esses livros foram elaborados numa perspectiva tradicional, respeitando a
linearidade apresentada no Movimento da Matemática Moderna, com
conhecimento pronto, isolado e exercícios de fixação sem respeitar o ritmo de
cada aluno.
90
Essas considerações mostram que os autores centraram-se em uma
pedagogia tecnicista, com objetivos instrucionais e em técnicas de ensino com
que garantem o alcance dos objetivos propostos.
3.2.2. Livros Didáticos dos anos 90
Analisamos duas coleções:
Coleção C – Matemática: Conceitos e História – 1ºgrau – 7ª e 8ª séries,
de autoria de Scipione Di Pierro Netto, do ano de 1997.
Coleção D – Matemática e Vida; 1ºgrau – 7ª e 8ª série, de autoria de
Vincenzo Bongiovanni, Olímpio Rudinin Vissoto Leite, José Luiz
Tavares Laureano, do ano de 1997.
As coleções C e D analisadas parecem que foram elaborados sobre outra
visão, diferente dos anos 70 embora não tenham rompido seus compromissos
com a linearidade. Mesma não estando mais ligadas às estruturas matemáticas,
percebe-se uma mudança significativa em relação à linguagem matemática
utilizada na representação dos conceitos. Esta modificação se deve muito
provavelmente às tendências construtivistas presentes nos documentos oficiais
curriculares.
Nesta perspectiva, identifica-se também o objetivo de aproximar o
conhecimento matemático do cotidiano dos alunos, o que se evidencia nos textos
através de uma linguagem mais coloquial na apresentação dos conteúdos, assim
como na tentativa de atualização dos enunciados dos problemas construindo
conexões entre os temas e evitando em muitos pontos o conhecimento pronto e
isolado.
Nessas Coleções, o estudo de um tema não se limita a um só capítulo, ao
contrário, é retomado várias vezes ao longo das séries, com apresentações
diferentes, que buscam se adaptar à evolução da maturidade e da experiência
matemática dos alunos.
91
Os autores dos livros didáticos atendem a orientação da história no estudo
dos números pelo fio condutor que a esta propicia.
No livro didático da 7ª série da Coleção C, o autor começa com ampliações
dos conjuntos numéricos de Naturais a Reais. Ao tratar de números Racionais
são explorados temas como densidade, distribuição dos números Racionais e
decimais periódicas na reta numérica.
Os Irracionais são introduzidos como que se não pudessem ser escritos na
forma de frações com numerador inteiro e denominador inteiro diferente de zero,
porque suas representações decimais são infinitas e não-periódica, conforme a
citação abaixo:
Se 2 tivesse um resultado exato, como 2 =1,4142135, então a última casa decimal seria um destes algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9.
Acontece que, se 2 fosse 1,414213 ou 1,4142135, ou outro número qualquer, veja o que ocorreria: 1,414213 x 1,414213 = ..........9; 1,4142135 x 1,4142135 =.........5; 1,41421352 x 1,41421352 = ..........4. E jamais ocorreria o valor 2 ou 2,000...00 exato, pois:
1 x 1= 1; 2 x 2 = 4; 3 x 3 = 9; 4 x 4 = 16; 5 x 5 = 25; 6 x 6 = 36; 7 x 7 = 49; 8x 8 = 64; 9 x 9 = 81.
Neste caso, o irracional 2 nunca terá uma expansão finita, nem terá uma expansão infinita e periódica, pois se fosse um número decimal de expansão infinita e periódica como 1,414213562... resultaria 1
900000000
1272792206
900000000
3727922061
900000000
41421356414213562.
Assim, seria racional. (SCIPIONE DI PIERRO NETTO, 1997, p. 16).
O autor apresenta contos semelhantes ao de Malba Tahan, adequados à
prática pedagógica.
No livro da 8ª série da coleção C, o autor apresenta outras histórias sobre:
os pitagóricos e o 1º paradoxo de Zenão, as mônadas, Arquimedes e o cálculo do
número pi; os números pitagóricos, a diagonal e o lado dos quadrados, a corrida
de Aquiles e a Tartaruga - 2º paradoxo de Zenão.
No livro da 7ª série da coleção D, os autores fazem uma revisão dos
números Naturais, dos inteiros, dos Racionais e do descobrimento dos números
Irracionais, sempre usando recursos históricos. Para os autores, a alternativa pelo
92
fio condutor que a história propicia forneceria a abordagem mais interessante para
tornar o estudo dos números irracionais mais significativo.
Bongiovanni, Vissoto e Lauriano (1997) comentam que os egípcios para
evitar que, após as cheias, um agricultor perdesse parte de suas terras para outro
mantinha funcionários par medir e desmarcar suas terras. Esses trabalhadores
usavam uma corda com treze nós distribuídos em intervalos iguais. Desse modo,
o intervalo entre dois nós funcionava como unidade de medida. A corda era fixada
ao chão de três estacas em pontos estratégicos. Se a corda ficasse bem esticada,
o anglo formado na segunda estaca media 90º de acordo com as medidas 3, 4 e 5
intervalos de nós. Os egípcios precisavam obter um ângulo reto para marcações
de suas terras, porque os terrenos geralmente eram retangulares. A primeira idéia
de aplicação do Teorema de Pitágoras.
No livro da 8ª série da coleção D, os autores fazem novamente uma
revisão do conjunto dos naturais, dos inteiros, dos racionais e dos números
irracionais com aprofundamento cada vez maior e com desenvolvimento cíclico,
em espiral, de acordo com as sugestões da Proposta Curricular para o ensino da
matemática/SEESP.
Bongiovanni, Vissoto e Lauriano (1997). Procuram trabalhar com os
números Naturais e suas propriedades, recordando os inteiros sobre regras de
sinais e mudança de referencial, direção e sentido, reconhecimento e a sua
definição de racional com as propriedades, e brincando com números Irracionais
para calcular na prática ou na calculadora o número famoso como pi e raiz
quadrada de 2.
3.2.3. Livros didáticos dos anos 2000
Analisamos duas coleções:
Coleção E – Matemática hoje é feito assim – Ensino fundamental – 7ª e
8ª séries, de autoria de Antônio José Lopes, do ano 2000.
Coleção F – Tudo é matemática – Ensino Fundamental – 8ª série, de
autoria de Luiz Roberto Dante, do ano 2005.
93
Ao analisarmos as coleções E e F verificamos que atendem explicitamente
a proposta pedagógica e estão fundamentadas nos mesmos princípios
norteadores dos Parâmetros Curriculares Nacionais. Os textos foram elaborados,
de tal modo, que evitam a linearidade e constroem conexões, fugindo de
conhecimento pronto. Além de seqüências didáticas específicas, existem seções
que propiciam diálogo e debates entre alunos e entre estes e o professor, bem
como a reflexão sobre conhecimentos extra-escolares.
O autor da coleção E, no livro da 8ª série do ensino fundamental, faz uma
revisão sobre os conjuntos numéricos os números naturais e suas propriedades,
dos múltiplos e dos divisores, os números inteiros, da propriedade de fechamento
para os naturais e inteiros, da enumerabilidade dos naturais e inteiros, do
conjunto Q dos números racionais, da ordenação dos racionais, dos decimais
finitos e infinitos (dízimas periódicas) e da representação decimal infinita e
periódica.
O autor introduz os irracionais por meio da história da matemática do
século IV a.C. e pela classificação dos números: infinita e periódica de número
racional e a infinita e não periódica de números irracionais. Afirma, ainda que hoje
temos respostas para maior parte das questões como essas, uma vez que
sabemos que:
Os irracionais são infinitos.
A expansão decimal dos irracionais é infinita e não-periódica e podemos
estabelecer uma correspondência entre os pontos de uma reta e os números
irracionais.
LOPES (2000) prova que os irracionais são infinitos pela demonstração de
que p é um número irracional sempre que p for um número primo. Sabe-se que
pela teoria dos números que o conjunto dos números primos é infinito, logo, pode-
se tirar a conclusão que o conjunto dos números irracionais é infinito.
Esse autor apresenta atividades com os Paradoxos dos infinitos (conjuntos
infinitos) e o uso de um número irracional no dia-a-dia.
94
Lopes (2000) os conjuntos numéricos a partir de números naturais e suas
propriedades, par e ímpar, voltando ao assunto de números inteiros com
conjuntos enumeráveis e com m.m.c. (a, b) e m.d.c. (a., b), O conjunto dos
Racionais Q e sua definição, conjunto ordenado, e finalmente com números
irracionais com questionamentos: quantos são números irracionais? Como
representa-los? Que números são os racionais? Como se distribuem?
Comparando racionais com irracionais e suas densidades, usando um número
irracional, comprimento da circunferência, a quadratura do círculo e o pai da
calculadora.
O autor do livro da 8ª série da coleção F faz uma revisão geral nos
conjuntos numéricos dos naturais até os números racionais, semelhantes ao do
livro da coleção E.
Para a introdução dos números irracionais utilizou o número e o número
2 .
DANTE (2005, p. 17) aproxima os racionais do irracional e do irracional
2 para mostrar que a expansão decimal dos irracionais é infinita e não-
periódicas através de aproximações racionais sucessivas.
No primeiro momento, o autor classifica os números pelo padrão que não
se repete após a vírgula de números irracionais. Como exemplo dado:
0,10100100010000...O número é formado na parte inteiro que é zero e uma parte
não inteira formada de um1 0 um, um 1 dois 0, um 1 três 0, um 1 quatro 0, etc.
a) O notável número .
3< <4; 3,1< <3,2; 3,14< ;...15,3
b) O número 2 .
O autor descreve que o número 2 é a medida da diagonal do quadrado
de lado mede 1 unidade de comprimento.
A explicação vem por meio de comunicação perguntas e respostas:
- Como seria 2 na forma decimal?
- Vamos respondê-la por tentativas e aproximações.
95
Se 221421 . Fazendo tentativas com uso da calculadora
temos:
25,2)5,1(
96,1)4,1(
69,1)3,1(
44,1)2,1(
2
2
2
2
Assim, 1,4< 5,12 . Tentando mais uma aproximação, temos:
0164,2)42,1(
9881,1)41,1(2
2
Logo, 42,1241,1 , continuando com o processo, poderemos chegar a
valores como: 2 1,414213562.
Para a construção do conjunto dos números irracionais, esses autores
procuraram incorporar algumas indicações presentes nos PCN de matemática em
relação à abordagem do conhecimento matemático, mas fazem de maneira
diferente.
96
CAPÍTULO 4
Organização Praxeológica
Utilizaremos a noção de Organização Praxeológica proposta por Yves
Chevallard, presente em sua Teoria Antropologia do didático, para analisarmos
atividades desenvolvidas com números irracionais.
Numa atividade matemática como em qualquer atividade, existem duas
partes dependentes. De um lado estão as TAREFAS e as TÉCNICAS, e de outro,
estão as TECNOLOGIAS e as TEORIAS que são compostas de elementos que
permitem justificar e entender o que é feito, isto é, uma reflexão sobre a prática.
Para responder a uma determinada questão é necessário organizar uma
praxeologia matemática, que é constituída por tipo de problema, uma ou várias
técnicas, sua tecnologia e a teoria correspondente (CHEVALLARD, 2001, p. 275).
A tarefa envolve dois momentos diferentes ao mesmo tempo, o do
professor e o dos alunos nos problemas envolvendo números irracionais, sendo
que cada tipo de problema envolve uma técnica. Essa técnica é justificada pela
“tecnologia”, que além do torná-la compreensível, traz elementos que podem
transformar essa técnica, o momento tecnológico-teórico para dar ênfase aos dois
níveis de justificativa: a tecnologia, que se mantém mais próxima da técnica, e a
teoria, um pouco mais distante.
Justificada pela tecnologia, a técnica traz elementos que podem modifica-la
e ampliar seu alcance, superando suas limitações e permitindo, às vezes, a
97
produção de uma nova técnica. Por sua vez a “teoria” é a explicação da
tecnologia e serve para interpretá-la, justificá-la e demonstrá-la.
Outro elemento da Organização Praxeológica que utilizamos em nossa
análise é chamado de Discurso Técnico-Tecnológico que consiste em utilizar três
momentos do estudo, isto é, a teoria e a tecnologia em relação a uma técnica de
forma simultânea (MAIA, 2007).
O bloco [tarefa/técnica] é considerado o saber-fazer, ao passo que
[tecnologia/teoria] é considerado o saber. Nesta perspectiva, no estudo da análise
do conceito de números irracionais, não se pergunta o que é número irracional,
mas quais são os tipos de tarefas a serem executadas e de técnicas envolvidas e
quais são as respectivas justificativas tecnológicas e teóricas. Assim, o conceito
matemático de número irracional emerge dessa praxeologia.
4.1. Critérios para análise
Na avaliação do tipo de tarefa, pretendemos verificar se ela está bem
identificada, se sua razão de ser está explicitada, se é adequada para os alunos
da série a que se destina e se o conjunto de tarefas fornece uma visão das
situações matemáticas mais utilizadas. Na avaliação da técnica, verificaremos se
ela é disponibilizada nos livros e, em caso afirmativo, se de maneira completa, ou
seja, passo a passo, ou somente esboçada. Na avaliação do bloco
tecnologia/teoria, se está disponível pelo menos no manual do professor e, em
caso afirmativo, como são dadas as justificativas tecnológicas.
Realizaremos essa análise considerando algumas situações nos livros
didáticos utilizados no capítulo anterior e incluiremos, ainda, as verificações se
estão seguindo ou não as orientações contidas nos documentos oficiais.
98
Situação 1: A prova da irracionalidade de n c , onde c é racional positivo e n
inteiro positivo.
Abordagem tradicional (euclidiana)
Os livros didáticos anteriores à década de 70 parecem reproduzir
implicitamente o modelo euclidiano, pois geralmente partem de elementos
primitivos e definições para prosseguir com a teoria (teoremas e demonstrações)
Só após esta apresentação completa é que aparecem os exercícios de aplicação.
Para o entendimento dessa prova da irracionalidade é preciso ter
conhecimento básico de:
1. Números Naturais e inteiros:
Primos;
Unicidade da decomposição em fatores primos;
Inteiros pares e ímpares;
Propriedades de fechamento;
M.d.c. (a, b) e m.m.c (a, b);
Propriedades da divisibilidade.
2. Números racionais:
Definição de números racionais;
Representações decimais finitas e infinitas;
Dízimas periódicas;
3. Equações.
“Demonstre que n c não é racional”.
A tarefa proposta consiste em demonstrar que n c não é um número
racional de acordo com uma abordagem tradicional. A técnica a ser utilizada
consiste no fato de que os inteiros pares e ímpares são fechados em relação à
multiplicação. E, em particular, uma potência enésima de um inteiro par é par e
uma potência enésima de um inteiro ímpar é ímpar. O discurso teórico-
tecnológico compreende que nenhuma solução da equação b
acn pode ser
99
escrita como quociente de dois inteiros, Para isso, utiliza-se um raciocínio por
redução ao absurdo.
Uma variação dessa situação é considerar o seguinte enunciado:
“Demonstre que 3 5 não é racional.”
A tarefa demonstrar de acordo com a abordagem euclidiana tradicional,
isto é, demonstração indireta, raciocinando por absurdo.
A técnica sabemos que os inteiros pares são fechados em relação à
multiplicação, o mesmo acontecendo com os inteiros ímpares. Em particular, o
cubo de um inteiro par é par e o cubo de um inteiro ímpar é ímpar.
O discurso Teórico-Tecnológico
suponhamos, agora, que 3 5 fosse um número racional, isto é, b
a53
onde a e b são inteiros. Suponhamos ainda, e isto é essencial para o argumento,
queb
a seja uma fração irredutível, ou seja, que a e b sejam primos entre si, que a
e b não têm divisores comuns. Elevando ao cubo a equação acima e
simplificando, obtemos, b5a,b
a5 333
3. Dessa igualdade podemos concluir
que, como a não é divisível por b, tem que ser divisível por 5. Como a é divisível
por 5 temos, inevitavelmente, a=5m. Agora faremos o mesmo com b.
De a3=5.b3, segue que 5.b3 é divisível por a. Como a e b não tem divisores
comuns, então 5 é divisível por a, logo a=1 ou a=5.
Se a=1 então não existe valor inteiro para b tal que 1=5.b3.
Se a=5 então também não existe valor inteiro para b tal que 53=5.b3, pois a
e b são primos entre si, ou seja, b não pode ser divisível por 5.
Mas, agora chegamos à conclusão de que a é inteiro ímpar (a=1 ou a=5) e
b não é inteiro, enquanto a e b foram, inicialmente, supostos primos entre
si. Esta contradição nos leva à conclusão de que não é possível escrever
3 5 na forma b
a com a e b inteiros e, portanto, 3 5 é irracional.
100
Verificamos que a demonstração tem como primeira necessidade expor um
conteúdo conhecido dos alunos, porém o assunto exige muito conhecimento de
aritmética e da teoria dos números.
Do ponto de vista cognitivo, o aluno tem dificuldade para compreender a
prova da irracionalidade por envolver um raciocínio por absurdo.
Analisamos os livros didáticos da coleção A, a única que usou essa
situação1 como a demonstração de acordo com a abordagem euclidiana
tradicional, ou seja, demonstração indireta raciocinando por absurdo.
Todos os documentos oficiais das Reformas da Educação recomendam ou
indiretamente quanto a demonstração indireta euclidiana, situação 1, considerado
como referência a noção de rigor em matemática.
Situação 2: A prova da irracionalidade de n c , onde c e n são inteiros
positivos.
Abordagem Moderna (dedekindiana).
Em uma abordagem moderna dos números reais, a partir dos cortes de
Dedekind, observamos que:
1. Existem mais pontos na linha reta do que números racionais;
2. O conjunto dos números racionais não é adequado para aplicarmos
aritmeticamente a continuidade da reta;
3. É absolutamente necessário criar novos números para que o domínio
numérico seja tão completo quanto à reta.
Demonstre que n c não é racional.
A Tarefa consiste em demonstrar de acordo com a abordagem
dedekindiana moderna. E, a técnica considera um corte (A, B) na reta numérica
racional de modo que a Classe A pertençam todos os números racionais cuja
potência de n é menor que c e à classe B, todos racionais cuja potência de n é
maior que c. O discurso teórico-tecnológico compreende que se o número de
separação entre duas classes A e B não pertence à classe A, nem a classe B,
então o número não é racional. Ele será um número irracional.
101
O conhecimento básico para entendermos essa prova de Irracionalidade
são: definição de números racionais; representações decimais finitas e infinitas,
representações decimais infinitas e não periódicas, potências, equações e
inequações em Q.
Uma variação dessa situação é considerar o seguinte enunciado:
Demonstre que 3 5 não é racional.
A Tarefa demonstrar de acordo com abordagem dedekindiana moderna.
A técnica demonstrar através dos cortes de Dedekind.
O discurso teórico-tecnológico observe que (A, B) define o corte sobre
Q, pois qualquer número racional, ou pertence à classe A ou pertence à classe B.
Portanto, não existe nenhum racional que pertença a ambas as classes ao
mesmo tempo.
Para provar a irracionalidade, escrevemos x= 3 5 . Se elevarmos ao cubo,
temos: x3=5, consideremos alguns valores de x tais que:
5x3
x 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,709X3 1 1,331 1,728 2,197 2,744 3,375 4,096 4,913 4,991
5x3
x 1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71X3 5,74 5,64 5,54 5,45 5,35 5,26 5,17 5,08 5,0002
Classe A={1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,709...}
Classe B={1,79; 1,78; 1,77; 1,76; 1,75; 1,74; 1,73; 1,72; 1,71...}
Notamos que:
1. Todos os números racionais estão distribuídos nestas duas classes;
2. Os cubos dos números racionais da primeira classe são menores que 5,
crescentes e cada vez mais próximos de 5, enquanto os cubos dos
números racionais da segunda são maiores do que 5, decrescentes e
também cada vez mais próximos de 5;
102
3. A diferença entre dois valores correspondentes, um da primeira e outro
da segunda classe, vai se tornando cada vez menor, nunca chegando,
porém, a ser nulo.
Nestas condições, o número 3 5 está separando essas duas classes de
números racionais, não pertencendo, portanto, ao campo racional, por não ser
possível encontrar um número racional cujo cubo seja igual a 5. As duas classes
de números racionais, com as propriedades enunciadas, serviram para definir
3 5 . Portanto, 3 5 é número irracional.
Do ponto de vista cognitivo, o aluno parece ter condição de processar essa
demonstração.
Ao examinarmos os livros didáticos das coleções analisadas tivemos
agradável surpresa, já que a prova da irracionalidade de n c já não ocorre na
velha abordagem tradicional, mas uma abordagem dedekindiana moderna
considerado a situação 2.
Os documentos das Reformas Educacionais indicam ou recomendam uma
abordagem moderna para justificar a irracionalidade. Dedekind elaborou uma
teoria dos números reais mais elaborada, no final do século XIX.
Situação 3 - A prova da irracionalidade de n c , onde c e n são inteiros
positivos.
Abordagem moderna pela equação polinomial.
Para verificar a irracionalidade de um número dado faremos uma pesquisa
de raízes racionais na equação polinomial.
Nas equações polinomiais , quando a, b, c e d
são números inteiros, ocorre a seguinte propriedade; se um número racional
)0a(0dx.cxbxa 23
q
p
(sendo p e q primos entre si) é raiz da equação polinomial, então p é divisor de d,
e q é divisor de a. Observamos que, substituindo x por p/q na equação acima,
temos:
103
0d)q
p(.c)
q
p(.b)
q
p.(a
23
Efetuando cálculos nessa equação, podemos chegar às seguintes
conclusões:
qdcpqbpq
pa)ª1 2
3
Como o segundo membro é um número inteiro, então q tem que ser divisor
de a, pois p e q são primos entre si.
2ª)p
qdq.cbpqp.a
322
Como o primeiro membro é um número inteiro, então p tem que ser divisor
de d, pois p e q são primos entre si.
“Prove que n c não é racional.”
A tarefa demonstrar de acordo com a abordagem moderna, e
considerando a equação polinomial: xn=c.
A técnica um número da forma n c , onde c e n são inteiros positivos, ou é
irracional ou é um inteiro; no segundo caso, c é uma n-ésima potência de um
inteiro.
Dada equação polinomial: xn-c=0, a=1 e d=-c aplicando a seguinte
propriedade: q é divisor de a, isto é, q=1, e p é divisor de d, então }c,1{q
p.
O discurso teórico-tecnológico: fazer uma verificação se existe uma raiz
racional ou mais.
Uma variação dessa situação é considerar o seguinte enunciado:
“Prove que 3 5 não é racional.”
A tarefa consiste em provar que 3 5 não é racional utilizando uma
equação polinomial.
104
A técnica consiste que, ou 3 5 é uma raiz de x3-5=0, ou esta equação tem
uma raiz racional, que tem que ser 1 ou 5, considerando a=1 e d=- 5.
O discurso técnico-tecnológico compreende que os divisores de a={-1,
1} e divisores de d={-1,1, -5, 5}
p é divisor de 5:, então p é –1, 1, -5 ou 5.
q é divisor de 1, então q é –1 ou 1.
Logo, para p/q temos as seguintes possibilidades: -1, 1, -5, 5.
Como (-1)3-5 0; 13-5 0; (-5)3-5 0; 53-5 0, então x3-5=0 não tem raiz
inteira, logo não tem raiz racional, de modo que 3 5 é um número irracional.
Do ponto de vista cognitivo, o aluno não terá dificuldade para processar
esta demonstração.
Ao examinarmos livros didáticos tivemos agradável surpresa, já que a
prova da irracionalidade de n c ocorre em todas as coleções numa abordagem
moderna pela equação polinomial dando sentido ao conhecimento matemático e
também ao saber escolar.
Todos os documentos oficiais das Reformas Educacionais recomendam a
utilização da abordagem mais moderna principalmente pela equação polinomial
valorizando a contextualização como objeto a ensinar na formação de jovens.
Situação 4: Construir uma técnica para provar a irracionalidade de outros
números
Situação 4 construir uma técnica para provar a irracionalidade.
A tarefa consiste em construir uma técnica para determinar se um número
dado é ou não irracional.
A técnica considera como ponto de partida que 3 é irracional. Se 3 é
irracional, então a sua metade 2
3 é irracional. Se somarmos
2
5, a soma
105
2
35
2
3
2
5 é irracional. Então 2 vezes 35
2
35 também será e o
mesmo com 5+ 353 . Portanto, se sabemos que 3 não é racional, então
2
35 também não será racional.
O discurso técnico-Tecnológico utiliza o teorema: “se a e b são números
racionais, com b diferente de zero, e se x é um número irracional, então a+bx
também é irracional”.
Uma variação dessa situação é considerar o seguinte enunciado:
“Prove que 7- 3 não é racional.”
Como 3 é irracional, então 7- 3 é irracional. De outra maneira,
suponhamos que 7- 3 fosse um número racional, digamos r, isto é, r = 7- 3 ,
isolando a 3 , temos: 3 =7-r. Mas, números racionais são fechados em relação
às quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero)
e, portanto, 7-r é um número racional. Mas 3 é irracional e, assim, chegamos a
uma contradição. Concluímos, então, que 7- 3 é irracional.
Para esta demonstração é necessário conhecermos alguns irracionais e a
propriedade de fechamento das quatro operações para os racionais e assim
chegarmos a uma contradição.
Do ponto de vista cognitivo, o aluno será capaz de realizar as
demonstrações sem dificuldades com conhecimento de números racionais que
são fechados em relação à quatro operações: adição, subtração, multiplicação e
divisão(exceto por zero).
Ao analisarmos os livros didáticos das coleções, alguns autores como das
coleções B e C deixaram de utilizar a situação 4, na construção de uma técnica
para provar a irracionalidade de outros números.
Nem todos os documentos oficiais das Reformas Educacionais deixaram
de mencionar ou utilizar a situação 4 na construção de uma técnica para provar a
irracionalidade de outros números.
106
Situação 5: Outras caracterizações de número irracional
Outras caracterizações de número irracional.
A tarefa é propor uma outra forma de caracterizar o número irracional. A
maioria dos livros didáticos de matemática traz as caracterizações do número
irracional como:
a. número irracional não é racional, e portanto não pode ser escrito na
forma de fração;
b. número cuja representação decimal é infinita e não-periódica.
A técnica aponta que, enquanto os termos número racional e fração
ordinária são, às vezes, usados como sinônimo, a palavra fração, sozinha, é
usada para denominar qualquer expressão algébrica com numerador e
denominador. (NIVEN, 1984).
O discurso técnico-tecnológico considera que qualquer número, com
representação decimal infinita periódica, apesar de não ter fim para o número de
termos, a soma tem um valor bem definido. O número por ter representação
decimal não-periódica, também corresponde a um determinado ponto da reta real.
É aquele para o qual converge a seqüência de pontos, ponto correspondente a
um ponto irracional.
A palavra “racional” se refere-se à razão de números inteiros e “irracional”
indica a ausência de uma tal razão.
Do ponto de vista cognitivo, a dificuldade do aluno está na linguagem de
todo dia, ao associar número irracional como tudo aquilo que não é familiar.
Todos os livros didáticos analisados trazem essas caracterizações dos
números irracionais sem explicações e detalhes do significado da palavra ou com
frase solta.
Todas as Reformas Educacionais trazem indireta ou diretamente as
caracterizações do número irracional. Nessa passagem de uma reforma para
outra, parece que criam um certo número de obstáculos. Parece que esses
obstáculos não se constituem na falta de conhecimento, mas pelo contrário, são
107
conhecimentos antigos cristalizados pelo tempo, que resistem à instalação de
novas concepções que ameaçam a estabilidade intelectual de quem detêm esse
conhecimento.
Situação 6: Segmentos comensuráveis e Segmentos incomensuráveis
Segmentos comensuráveis e Segmentos incomensuráveis.
A tarefa consiste em descrever quando eles são chamados de segmentos
comensuráveis e quando de segmentos incomensuráveis.
Trataremos de duas técnicas a primeira pela razão de segmentos; e a segunda,
utilizando o método de subtrações sucessivas, conhecido como máximo divisor
comum entre dois segmentos dados.
O discurso técnico-Tecnológico compreende que:
1. Dados dois segmentos quaisquer, se a razão de suas medidas tomadas
com a mesma unidade for um número racional, os segmentos são
chamados comensuráveis e, se esta razão for um número irracional os
segmentos são incomensuráveis.
2. Sempre que for possível encontrar o maior divisor comum entre dois
segmentos, eles serão chamados de segmentos comensuráveis, pois é
possível expressar a medida de um deles utilizando o outro como
unidade de medidas. Se não for possível encontrar o maior divisor
comum entre dois segmentos, isto é, repetindo o processo e não
encontrar uma diferença zero, então eles são chamados de segmentos
incomensuráveis.
Do ponto de vista cognitivo, a dificuldade do aluno está na conceituação do
número racional como resultado da medição de uma grandeza, que coloca a
ênfase no aspecto do racional como expressão da medição de uma grandeza
escolhida como unidade. Essa expressão é um número inteiro ou fracionário,
chamado preferencialmente de número racional, caso contrário de número
irracional.
108
Apenas a coleção A introduziu as atividades com segmentos
comensuráveis e incomensuráveis para melhorar a definição de números
racionais e números irracionais.
Dos documentos oficiais apenas o GUIA CURRICULAR deixou de apontar
a necessidade e a importância do estudo dos segmentos comensuráveis e
incomensuráveis para definir números racionais e irracionais respectivamente.
Situação 7: Infinito e representação decimal
A igualdade 0,333...=0,3+0,03+0,003+...=3
1 é verdadeira?
A tarefa consiste em identificar a dificuldade para interpretar essas duas
igualdades.
A técnica compreende em mostrar que a representação decimal infinita
por envolver a idéia de limite, não tem uma forma simples.
O discurso Teórico-Tecnológico considera que se
0,3+0,03+0,003+...=0,333... então representa a soma de infinitas parcelas. Por
um lado, o resultado de uma soma é concebido como o número finito 3
1 que se
obtém no final do processo de somar e, por outro lado, é impossível chegar ao
final. Nesse caso, a soma estende-se por um número infinito de parcelas.
Do ponto de vista cognitivo, a dificuldade do aluno está na compreensão da
idéia de limite envolvendo representação decimal infinita. Notamos que o símbolo
de reticências causa instabilidade nas respostas.
Ao examinarmos livros didáticos percebemos que não ocorrem abordagens
do infinito e representação decimal, sendo que essas ausências enfraquecem
sensivelmente as definições de números racionais e irracionais.
Os documentos oficiais analisados não apontaram para esses detalhes. O
infinito e a representação decimal sempre foram obstáculos epistemológicos e
problemas para os estudantes, bem como para os professores de matemática.
109
Situação 8: Conceito de irracionalidade
Corte uma folha de papel sulfite em dois pedaços ao acaso. É sempre
possível exprimir a razão entre os tamanhos desses dois pedaços (as áreas ou
comprimentos deles) por um número racional?
A Tarefa consiste em aprofundar o conceito de irracionalidade.
A técnica considera a necessidade de reconhecimento dos segmentos
comensuráveis e incomensuráveis, e também a quantidade infinita de números
irracionais e racionais.
O discurso Teórico-Tecnológico compreende que a razão entre dois
números reais é irracional se um deles ou ambos for irracional.
Esta atividade tem como aprofundamento o conceito de irracionalidade
desmistificando a idéia que número irracional não pode ser escrito como fração.
Do ponto de vista cognitivo, a dificuldade do estudante está na
compreensão do conceito de irracionalidade.
Ao analisarmos os livros didáticos não encontramos atividades
relacionadas a esse conceito de irracionalidade.
Também não houve apontamento desse conceito de irracionalidade nos
documentos oficiais. Com a ausência desse objeto a ensinar, criam-se diferentes
fontes de dificuldades na aprendizagem escolar.
4.2 Quadro sinopse da aderência às situações
O Quadro resumo 1 apresenta uma síntese da análise realizada nas
coleções de livros didáticos, Os itens assinalados com um X indicam que o
capítulo do livro didático é aderente ao critério.
110
SITUAÇÃO GUIA CURRICULAR PROPOSTA CURRICULAR
PARÂMETROS CURRICULARES
NACIONAIS 1-Prova da irracionalidade de n c - abordagem tradicional (euclidiana)
X X X
2-A prova da irracionalidade
de n c -abordagem Moderna(dedekindiana)
X X X
3-A prova da irracionalidade
de n c -abordagem Moderna pela equação polinomial
X X X
4-Construir uma técnica para provar a irracionalidade de outros números.
X X
5- Outras caracterizações de número irracional X X X6-Segmentos comensuráveis e segmentos incomensuráveis X X7- infinito e representação decimal 8- Conceito de irracionalidade
Quadro resumo 1. síntese das análises realizadas por situação nos documentos oficiais.
Analisando o quadro resumo 1 constatamos as situações 7 e 8 não estão
preenchidas. Acreditamos que as duas abordagens são de suma importância para
a construção do conceito de números irracionais. Os PCN de matemática do
Ensino fundamental apontam que a comprovação da irracionalidade de um
número dado só tem uma possibilidade, no âmbito da própria matemática (PCN,
1998, p. 106).
O GUIA CURRICULAR foi o único que deixou de mencionar na situação 6,
enfraquecendo ainda mais a ligação com números racionais e irracionais
respectivamente.
A situação 4 não foi apontada no GUIA CURRICULAR, mostrando que
para essa justificativa basta saber que os números racionais são fechados em
relação as quatro operações.
111
SITUAÇÃO COL. A COL. B COL. C COL. D COL. E COL. F
1-Prova da irracionalidade de n c - abordagem tradicional (euclidiana)
X
2-A prova da irracionalidade de n c-abordagem Moderna (dedekindiana)
X X X X X X
3-A prova da irracionalidade de n c-abordagem Moderna pela equação polinomial
X X X X X X
4-Construir uma técnica para provar a irracionalidade de outros números. X X X X5- Outras caracterizações de número irracional X X X X X X6-Segmentos comensuráveis e segmentos incomensuráveis X7- infinito e representação decimal 8- Conceito de irracionalidade
Quadro resumo 2. síntese da análise por situação nas coleções de livros didáticos
Examinando os livros didáticos constatamos as situações 7 e 8 não estão
preenchidas. Talvez a maior dificuldade da situação 7 envolva a idéia de limite,
que não é tão simples para o aluno.
A situação 8 é uma atividade para verificar a possibilidade da
incomensurabilidade presente no dia-a-dia.
Analisando os livros didáticos, somente a coleção A comentou a situação 6,
que parece não considerar a possibilidade de incomensurabilidade de segmentos
e também a relação confusa com a irracionalidade.
Na situação 4, somente as coleções B e C não apontaram uma técnica
para provar a irracionalidade de um número dado. Para isso bastaria saber que os
números racionais são fechados em relação as quatro operações fundamentais.
A situação 1, foi apontada por apenas a coleção A, as demais coleções não
apontaram para essa abordagem, que é considerada ultrapassada e de difícil
entendimento por parte dos alunos.
A finalidade desse trabalho foi a de estudar os fenômenos relacionados ao
ensino e a aprendizagem do conteúdo de números irracionais nas séries finais do
ensino fundamental.
Nas coleções de livros didáticos analisados, apenas a coleção A
apresentou a abordagem tradicional euclidiana, por ter sido elaborado no período
112
da Matemática Moderna. As coleções dos outros períodos mudaram bastante,
principalmente devido a influência da Proposta Curricular para o ensino da
matemática e dos Parâmetros Curriculares Nacionais.
A demonstração da irracionalidade com abordagens alternativas modernas
também foram destaque de nossa análise para a compreensão alguns aspectos
relacionados ao processo de ensino e aprendizagem de números irracionais.
Apontamos que:
As idéias matemáticas evoluem, nesse caso, o conceito de número
irracional não é estático, é um conhecimento historicamente construído
e que se reconstrói para cada professor;
Um mesmo objeto matemático como números irracionais, permite
diversas abordagens de ensino, que repercutem em nossa ação
pedagógica na sala de aula;
Uma vez que os conceitos matemáticos, como números irracionais, se
transformam, evoluem, modificam e ganham novos significados, sua
compreensão exige que se volte sempre a eles, em diferentes
momentos da aprendizagem.
113
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A partir de nossos estudos, a nos propusemos responder a seguinte
questão de pesquisa: Que dificuldades surgiram ao longo da história da
Matemática para o desenvolvimento do conteúdo matemático, números
irracionais, e quais abordagens estão presentes nos livros didáticos?
Para tentarmos responder a essa questão, realizamos uma análise
histórico-epistemológica dos números irracionais e verificamos que a descoberta
dos incomensuráveis, na antiguidade, representou um momento de crise no
desenvolvimento da Matemática, a qual foi superada ainda no século IV a.C. por
Eudoxo da escola Platônica. Este autor desenvolveu uma teoria das proporções
que permitiu superar a dificuldade dos incomensuráveis sem a necessidade de
números irracionais, a qual pretendia contornar o problema de expressar a razão
entre segmentos incomensuráveis, que é um número irracional, pois os
estudiosos gregos da época aceitavam a existência de números inteiros e alguns
Racionais.
Depois de mais de dois milênios, Richard Dedekind construiu uma teoria
rigorosa dos números reais e vários estudiosos em matemática colaboraram
nesta conquista, desde as Antigas Civilizações, o Renascimento da Ciência, a
Idade Moderna e o século dezenove.
Cantor, um desses matemáticos que colaborou com o desenvolvimento
dos números reais, denominou o infinito dos números inteiros e dos racionais de
. Ele sabia que os números irracionais, os transcendentes em particular, eram
mais abundantes que os racionais, ou seja, que aqueles números não podiam ser
postos em correspondência biunívoca com os racionais. Continuando, por um
0
115
método simples, Cantor provou que os números reais não são contáveis e
chamou a potência daquele conjunto de C (de contínuo) ou 1 .
Nos documentos curriculares oficiais, os números irracionais são tratados
em uma organização linear, por meio de acumulação nos conjuntos numéricos, ou
seja, primeiro os naturais, depois os inteiros, depois os racionais e por último os
irracionais. O tipo de abordagem dada ao seu ensino continua sendo o axiomático
euclidiano, enquanto outros tipos de abordagens poderiam ser mais aproveitados
pelos alunos e professores na sala de aula.
A maioria desses documentos propõe acompanhar a evolução dos
números irracionais através do fio condutor que a história propicia, trocando uma
sistematização prematura por uma abordagem mais rica em significados. A
História da Matemática mostra que os conceitos matemáticos foram construídos
como respostas a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos,
motivadas por problemas de ordem prática, bem como por problemas
relacionados a investigações internas à própria matemática.
Nas coleções mais recentes, nas atividades com números irracionais, os
autores estão construindo conexões entre os temas, evitando a idéia de
conhecimento pronto, propõem a evolução dos números irracionais através do fio
condutor que a história propicia dentro da sala de aula. O estudo do tema
irracional é retomado várias vezes ao longo dos volumes, buscando acompanhar
a evolução do aluno e das experiências matemáticas desenvolvidas.
Entretanto, em nossa análise encontramos outras maneiras de abordar o
conteúdo matemático. Segundo Singh (1999), a idéia de demonstração
matemática clássica começa com uma série de axiomas, declarações que
julgamos ser verdadeiras. Então, através de argumentação lógica, é possível
chegar a uma conclusão: Se os axiomas estiverem corretos e a lógica for
impecável, então a conclusão será inegável o teorema.
Os teoremas matemáticos dependem deste processo lógico e uma vez
demonstrados serão considerados verdades. A prova matemática é absoluta, o
que faz com que essa ciência Matemática seja considerada exata, ou seja produz
conclusões indubitavelmente corretas.
116
Essa maneira de ver a matemática é sentida nos livros didáticos da década
de 70. A partir da década de 80 começa-se a perceber um certo abandono dessa
abordagem tradicional euclidiana para abordagens mais modernas, como a
dedekindiana, que utiliza equação polinomial, além de outras caracterizações de
número irracional.
Percebemos em nossa análise que os números naturais, inteiros e
racionais são bastante trabalhados nos livros didáticos, mas os irracionais são
tratados de forma muito superficial.
O principal fator que nos motivou a realizar esse trabalho foi exatamente o
desejo de apontar e esclarecer dificuldades de ensinar e aprender sobre o
conjunto dos números irracionais. Conseguimos muito pouco, mas aprendemos
muito com esse trabalho.
117
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