1

PATRICIA AUGUST

PROJETO TIMO DE RESSONADORES DE HELMHOLTZ PARA CONTROLE PASSIVO DE RUDO EM CAVIDADES ACSTICAS

CURITIBA 2012

Ministrio da Educao Universidade Federal do Paran Setor de Tecnologia Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica (PG-Mec)

2

PATRICIA AUGUST

PROJETO TIMO DE RESSONADORES DE HELMHOLTZ PARA CONTROLE PASSIVO DE RUDO EM CAVIDADES ACSTICAS

FENMENOS DE TRANSPORTE E MECNICA DOS SLIDOS

Dissertao apresentada como requisito parcial para a obteno do grau de Mestre em Engenharia Mecnica, do Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica da Universidade Federal do Paran, rea de concentrao Fenmenos de Transporte e Mecnica dos Slidos

Orientador: Carlos Alberto Bavastri, Dr.

CURITIBA 2012

Ministrio da Educao Universidade Federal do Paran Setor de Tecnologia Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica (PG-Mec)

3

Dedico esse trabalho a Deus e a minha famlia.

4

AGRADECIMENTOS

A Deus, por ter me dado foras e nimo para a realizao desse trabalho.

Ao meu orientador, Professor Doutor Carlos Alberto Bavastri pela orientao, superviso e contribuio para a elaborao desse trabalho.

A minha famlia, que sempre acreditou no meu potencial e me apoiou nas escolhas feitas, especialmente minha cunhada/irm Susan, que compartilhou de muitas das minhas horas de estudo.

Aos meus amigos, que sempre me apoiaram e proporcionaram momentos de distrao.

Aos meus companheiros de mestrado, professores e funcionrios, que contriburam de forma direta ou indireta na concluso desse trabalho.

Fundao Araucria, por investir financeiramente no meu trabalho, provendo material e equipamentos para a realizao experimental.

CAPES/REUNI, que me forneceu bolsa de estudos, provendo o meu sustento.

5

RESUMO

Uma das ferramentas utilizadas no controle de rudo em cavidades acsticas o ressonador de Helmholtz. No se tem conhecimento de que haja, at o presente momento, uma metodologia geral desenvolvida para a abordagem em cavidades acsticas que so geometricamente complexas e nas quais vrios desses dispositivos so utilizados para o acondicionamento acstico das mesmas. Assim, o objetivo desse estudo propor tal metodologia, atravs de uma equivalncia direta com o projeto timo de neutralizadores dinmicos, aplicados a sistemas mecnicos geometricamente complexos para o controle passivo de vibraes, ao longo de uma ampla faixa de frequncias. Uma vez que a base dessa equivalncia acstica-mecnica encontrada, possvel generalizar o projeto de controle passivo de vibraes e rudo atravs de sistemas ressonantes, seja para o acondicionamento acstico de salas ou para a reduo de vibraes em estruturas mecnicas. Para identificar a cavidade acstica atravs de seus parmetros modais utilizado um software comercial de elementos finitos. De forma equivalente ao projeto de neutralizadores dinmicos de vibraes, uma formulao do sistema composto (cavidade a controlar e ressonadores) em um sub-espao modal do sistema a controlar (cavidade acstica) proposta, a partir da definio de parmetros equivalentes generalizados do dispositivo de controle. Com base nessa formulao, e usando tcnicas de otimizao no-linear, possvel projetar, de forma tima, um ou vrios ressonadores para controlar um ou vrios modos acsticos simultaneamente. Uma aplicao numrico-experiental sobre uma cavidade cilndrica, especialmente montada para os fins desse trabalho, implementada e os ressonadores, projetados para atuar em uma faixa de frequncias, so construdos. Os resultados numricos e experimentais, com e sem a presena do sistema de controle, sero comparados e discutidos.

6

ABSTRACT

The Helmholtz resonator is one of the tools used in noise control of acoustic cavities. So far, there is no knowledge of a general methodology for the approach of acoustic cavities that are geometrically complex and in which several of these devices are used for acoustic conditioning. Thus, the goal of this study is to propose such methodology, through a direct equivalence with the optimal design of dynamic neutralizers, applied to geometrically complex mechanical systems for passive control of vibrations and acting on a wide range of frequencies. Once the basis of the acoustic-mechanical equivalence is found, it is possible to generalize the design of passive vibration and noise control resonant systems, either for acoustic conditioning of rooms or for reducing vibrations in mechanical structures. A comercial finite elements software is used for the identification of the acoustic cavity through its modal parameters. Equivalently to the design of dynamic vibration neutralizers, a formulation of the compound system (cavity plus resonators) in a modal sub-space of the system to be controlled (acoustic cavity) is proposed from the definition of generalized equivalent parameters of the resonators. Based on this formulation, and using nonlinear optimization techniques, it is possible to design, optimally, one or more resonators to control one or more acoustic modes, simultaneously. A numerical-experimental application on a rectangular cavity, especially assembled for the purposes of this work, is implemented and the resonators, designed to operate in a frequency band, are built. The numerical and experimental results, with and without the presence of the control system, are discussed and compared.

7

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Transformador eltrico com neutralizadores instalados (UTFPR CARLOS ALBERTO BAVASTRI, 2012). ................................................................................................ 3 Figura 2 Neutralizador Dinmico MK. ................................................................................... 4 Figura 3 Neutralizador dinmico MCK. .................................................................................. 5 Figura 4 Neutralizador dinmico viscoelstico. ...................................................................... 6 Figura 5 Ressonador de Helmholtz (ACSTICA JEZABEL, 2008). ..................................... 9 Figura 6 Esquema de um ressonador de Helmholtz. ............................................................... 9 Figura 7 Analogia entre um ressonador de Helmholtz e um sistema massa-mola. ............... 10 Figura 8 Violo (IMOTION IMAGENS, S/D). .................................................................... 11 Figura 9 Xun chins (CRI\ ONLINE, S/D). .......................................................................... 11 Figura 10 Controle do rudo utilizando um ressonador de Helmholtz. ................................. 16 Figura 11 Elemento diferencial de volume de um fluido. ..................................................... 18 Figura 12 Distribuio de deslocamento em uma cavidade acstica semi-aberta. ................ 24 Figura 13 Distribuio de presso em uma cavidade acstica semi-aberta. .......................... 24 Figura 14 Representao simplificada de um neutralizador MCK........................................ 29 Figura 15 Diagrama de corpo livre do neutralizador MCK................................................... 29 Figura 16 Sistema primrio com neutralizador acoplado. ..................................................... 30 Figura 17 Sistema equivalente. .............................................................................................. 30 Figura 18 Diagrama de corpo livre da base. .......................................................................... 31 Figura 19 Diagrama de corpo livre da massa do neutralizador. ............................................ 31 Figura 20 Diagrama de otimizao. ....................................................................................... 40 Figura 21 Cavidade acstica de seo transversal circular utilizada nas simulaes numricas. ................................................................................................................................. 44

Figura 22 Esquema da cavidade acstica. ............................................................................. 45 Figura 23 Corte longitudinal da cavidade acstica. ............................................................... 46 Figura 24 Distribuio de presso da segunda frequncia natural. ....................................... 47 Figura 25 Distribuio de presso da terceira frequncia natural. ........................................ 48 Figura 26 Malha do ressonador para o controle do segundo modo de vibrar. ...................... 51 Figura 27 Malha do ressonador para o controle do terceiro modo de vibrar. ........................ 52 Figura 28 Malha da cavidade acstica com os dois ressonadores acoplados. ....................... 52 Figura 29 Respostas em frequncia obtidas no Scilab. ......................................................... 53

8

Figura 30 Resposta em frequncia obtida pelo modelo numrico sem os ressonadores acoplados na cavidade acstica. ............................................................................................... 54 Figura 31 Resposta em frequncia obtida pelo modelo numrico com os ressonadores acoplados na cavidade acstica. ............................................................................................... 54 Figura 32 Distribuio de presso com concentrao de presso no ressonador da direita quando excitado na segunda frequncia natural da cavidade. .................................................. 55 Figura 33 Distribuio de presso com concentrao de presso no ressonador da esquerda quando excitado na terceira frequncia natural da cavidade. ................................................... 55 Figura 34 Esquema do ressonador de Helmholtz utilizado. .................................................. 56 Figura 35 Cavidade acstica utilizada nas medies experimentais. .................................... 57 Figura 36 Ressonadores utilizados nas medies. ................................................................. 58 Figura 37 Fonte excitadora utilizada nas medies. .............................................................. 58 Figura 38 Microfone utilizado na entrada da cavidade nas medies experimentais. .......... 59 Figura 39 Microfone utilizado na sada da cavidade nas medies experimentais. .............. 59 Figura 40 Amplificador de potncia utilizado nas medies experimentais. ........................ 59 Figura 41 Exemplo da tela do programa do RT Pro Photon. ................................................ 60 Figura 42 Experimento real montado. ................................................................................... 62 Figura 43 Cavidade acstica utilizada nas medies experimentais mostrando os trs furos utilizados para a insero do microfone distante do auto-falante. ............................................ 63 Figura 44 Cavidade acstica utilizada nas medies experimentais mostrando os trs furos utilizados para a insero do microfone prximo do auto-falante. .......................................... 63 Figura 45 Excitao do tipo rudo branco em funo do tempo. ........................................... 64 Figura 46 Excitao do tipo rudo branco em funo da frequncia. .................................... 64 Figura 47 Medies das frequncias naturais da cavidade acstica para posio do microfone de entrada 1. ............................................................................................................ 65 Figura 48 Medies das frequncias naturais da cavidade acstica para posio do microfone de entrada 2. ............................................................................................................ 65 Figura 49 Medies das frequncias naturais da cavidade acstica para posio do microfone de entrada 3. ............................................................................................................ 66 Figura 50 Ampliao da primeira frequncia natural. ........................................................... 67 Figura 51 Ampliao da segunda frequncia natural. ........................................................... 67 Figura 52 Ampliao da terceira frequncia natural. ............................................................ 67 Figura 53 Ampliao da quarta frequncia natural. .............................................................. 68

9

Figura 54 Os dois ressonadores de Helmholtz acoplados cavidade acstica. .................... 70 Figura 55 Medies das frequncias naturais da cavidade acstica apenas com o primeiro ressonador aberto quando o microfone de entrada se encontra na posio 1. .......................... 71 Figura 56 Medies das frequncias naturais da cavidade acstica apenas com o primeiro ressonador aberto quando o microfone de entrada se encontra na posio 2. .......................... 71 Figura 57 Medies das frequncias naturais da cavidade acstica apenas com o primeiro ressonador aberto quando o microfone de entrada se encontra na posio 3. .......................... 72 Figura 58 Medies das frequncias naturais da cavidade acstica apenas com o segundo ressonador aberto quando o microfone de entrada se encontra na posio 1. .......................... 72 Figura 59 Medies das frequncias naturais da cavidade acstica apenas com o segundo ressonador aberto quando o microfone de entrada se encontra na posio 2. .......................... 73 Figura 60 Medies das frequncias naturais da cavidade acstica apenas com o segundo ressonador aberto quando o microfone de entrada se encontra na posio 3. .......................... 73 Figura 61 Transmissibilidade com ambos ressonadores ativos com microfone de entrada na posio 1. .................................................................................................................................. 73 Figura 62 Transmissibilidade com ambos ressonadores ativos com microfone de entrada na posio 2. .................................................................................................................................. 74

Figura 63 Transmissibilidade com ambos ressonadores ativos com microfone de entrada na posio 3. .................................................................................................................................. 74

Figura 64 Comparao entre as curvas experimentais de transmissibilidade da cavidade acstica com e sem os ressonadores de Helmholtz (RH). ........................................................ 76

10

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Frequncias naturais analticas de uma cavidade de 2m de comprimento e ambas as extremidades abertas................................................................................................................. 28 Tabela 2 Frequncias naturais da cavidade acstica obtidas numericamente. ...................... 46 Tabela 3 Parmetros timos dos ressonadores de Helmholtz................................................ 49 Tabela 4 Parmetros geomtricos dos ressonadores de Helmholtz. ...................................... 50 Tabela 5 Dimenses encontradas durante simulao por elementos finitos para os ressonadores de Helmholtz. ...................................................................................................... 50 Tabela 6 Frequncias naturais encontradas numerica e analiticamente. ............................... 51 Tabela 7 Novas frequncias naturais do sistema cavidade acstica e ressonadores. ............ 53 Tabela 8 Frequncias naturais da cavidade acstica real. ..................................................... 68 Tabela 9 Frequncias naturais da cavidade acstica real. ..................................................... 68 Tabela 10 Frequncias naturais da cavidade acstica real. ................................................... 68 Tabela 11 Mdia das frequncias naturais da cavidade acstica real. ................................... 69 Tabela 12 Dimenses reais dos ressonadores de Helmholtz. ................................................ 70 Tabela 13 Comparao entre as frequncias naturais obtidas nos diferentes mtodos. ........ 75 Tabela 14 Comprimento do corpo dos ressonadores de Helmholtz em metros. ................... 75 Tabela 15 Amplitudes das respostas obtidas quando a cavidade excitada com rudo branco. .................................................................................................................................................. 76

11

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 Condies de contorno (adaptado de: BERANEK e VR, 1992).........................23 Quadro 2 Frequncias naturais e modos acsticos (adaptado de: BERANEK e VR, 1992).........................................................................................................................................26

12

LISTA DE SMBOLOS

Letras Gregas: instante de tempo [s] instante de tempo [s] mdulo de Bulk [Pa] razo entre frequncia e frequncia natural

comprimento de onda [m] frequncia modal [Hz] razo de amortecimento

razo de amortecimento modal

matriz espectral () [Hz] densidade instantnea [kg/m3] densidade de equilbrio constante do fluido [kg/m3] densidade no volume [kg/m3] matriz modal ()

frequncia [Hz] frequncia natural [Hz] frequncia do n-simo modo [Hz] divergente

variao de tempo [s] variao de tempo [s]

Letras Romanas:

acelerao [m/s2]

maior dimenso da seo transversal da cavidade [m] rea [m2] divergente da funo de forma

matriz de de amortecimento do sistema primrio ( nxn ) [Ns/m] matriz de amortecimento do sistema composto () [Ns/m] - coeficiente de amortecimento da cavidade acstica obtida pelo mtodo de elementos

finitos [Ns/m]

13

matriz de amortecimento equivalente () [Ns/m] coeficiente de amortecimento crtico [Ns/m] velocidade do som [m/s] coeficiente de amortecimento [m2s] coeficiente de amortecimento acstico [m2s] coeficiente de amortecimento equivalente [m2s]

coeficiente de amortecimento acstico equivalente [m2s] coeficiente de amortecimento equivalente [Ns/m]

matriz de absoro do fluido em cada elemento () [Ns/m] coeficiente de amortecimento modal [Ns/m] constante de integrao [adim] fora [N] fora vetorial [N] frequncia de corte [Hz] fora exercida por um amortecedor [N] fora exercida por uma mola [N] frequncia natural [Hz] frequncias naturais calculadas [Hz] frequncias naturais obtidas via mtodos de elementos finitos [Hz] excitao externa em funo do tempo [N] excitao externa em funo da frequncia [N] funo resposta em frequncia

nmero imaginrio

matriz identidade

constante de integrao

constante elstica da mola [N/m] matriz de rigidez do sistema primrio ( nxn ) [N/m] rigidez dinmica [N/m] k constante de rigidez acstica () [m2]

matriz de rigidez da estrutura em cada elemento [N/m] ! comprimento da cavidade [m] " comprimento equivalente [m]

14

l comprimento [m] # massa [kg] # massa acstica [m2s2] $ matriz de massa do sistema primrio ( nxn ) [kg] $% matriz de massa do sistema composto () [kg] $ matriz de massa equivalente () [kg] $ massa equivalente [kg] #

massa acstica equivalente [m2s2] # massa equivalente [kg] $

matriz de massa do fluido em cada elemento () [m2s2]

nmero positivo, inteiro e diferente de zero &' vetor normal unitrio

( funo de forma

( - funo de forma [adim] ) presso em um elemento diferencial de volume [Pa] * presso [Pa] * vibrao do sub-espao modal do sistema primrio

* presso de referncia [Pa] * valores nodais da presso [Pa] ) participao do n-simo modo na presso na resposta livre [Pa] + fator de correo do comprimento do pescoo

+, coordenadas generalizadas em funo do tempo

- coordenadas generalizadas em funo da frequncia

. raio do pescoo do ressonador [m] / matriz de massa acoplada da interao fluido estrutura [m2s2] / funo auto correlao do sinal x

/ funo auto correlao do sinal y

0 rea da seo transversal [m2] 0 densidade espectral da excitao [W/Hz] 0 densidade espectral da resposta [W/Hz] 1 condensao em qualquer ponto

2 perodo [s]

15

2 transmissibilidade

, tempo [s] 3 velocidade [m/s] 4 matriz de deslocamento () [m] 4 matriz de deslocamento do elemento () [m] 5 volume [m3] 6, funo de onda em funo do tempo ,

7 funo independente [m] 7 deslocamento da base de um neutralizador [m] , 8 e 9 posio [m] : constante de integrao

< constante de integrao

16

SUMRIO

1 INTRODUO ............................................................................................ 1 2 REVISO BIBLIOGRFICA ........................................................................ 3 3 MODELOS MATEMTICOS ..................................................................... 17

3.1 Modelo Analtico ............................................................................................................ 17 3.1.1 Equao da onda ...................................................................................................... 17 3.1.2 Obteno dos parmetros modais da cavidade acstica ......................................... 21 3.1.2.1 Aplicao das condies de contorno ..................................................................... 23 3.2 Analogia entre Sistemas Vibrantes e Acsticos ............................................................ 28

3.2.1 Controle de vibraes utilizando neutralizadores dinmicos viscoelsticos .......... 28 3.2.2 Sistema composto ................................................................................................... 33 3.2.3 Controle de rudo utilizando ressonadores de Helmholtz ....................................... 34 3.2.3.1 Modelo equivalente do ressonador de Helmholtz ................................................ 35 3.2.3.2 Sistema primrio modelo de elementos finitos ................................................. 36 3.2.3.3 Sistema composto................................................................................................ 39

3.3 Otimizao No-Linear .................................................................................................. 39 3.4 Transmissibilidade ......................................................................................................... 42

4 SIMULAO NUMRICA ......................................................................... 44 4.1 Caractersticas do Duto ................................................................................................. 45 4.2 Caracterizao da Cavidade Acstica - Parmetros Modais ........................................ 46 4.3 Cdigo Numrico Utilizado para o Projeto dos Ressonadores ..................................... 48 4.4 Obteno dos Parmetros Geomtricos ....................................................................... 49 4.5 Estudo da Eficcia do Ressonador Atravs de um Modelo de Elementos Finitos ....... 50 4.6 Definio da Geometria do Prottipo ............................................................................ 56

5 MEDIES EXPERIMENTAIS ................................................................. 57 5.1 Descrio dos Equipamentos ........................................................................................ 57 5.2 Descrio do Experimento ............................................................................................ 61 5.2.1 Obteno das frequncias naturais reais da cavidade acstica ............................... 61 5.2.1.1 Rudo branco ............................................................................................................ 64 5.2.2 Construo dos ressonadores de Helmholtz ............................................................ 69

6 DISCUSSO SOBRE OS RESULTADOS OBTIDOS ............................... 75 7 CONCLUSES ......................................................................................... 77 8 SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................ 79 9 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .......................................................... 80 APNDICE A APNDICE B APNDICE C APNDICE D

1

1 INTRODUO

A qualidade sonora em auditrios, salas e cavidades em geral um assunto de extremo

interesse em acstica. Muito embora se reconhea, desde a antiguidade, a necessidade de

caractersticas arquitetnicas especiais para a acstica de ambientes fechados, foi somente a

partir do incio do sculo XX que estudos mais aprofundados foram realizados na rea. Os

desenvolvimentos mais importantes desde ento estiveram fortemente concentrados em salas

destinadas a concertos musicais.

Somente a partir das ltimas dcadas do sculo passado que comearam a aparecer

desenvolvimentos especficos para outros tipos de salas, tais como teatros, salas de aula,

estdios de gravao, rdio e televiso, entre outros. No projeto arquitetnico de tais

ambientes, h a necessidade de se saber quais condies acsticas devem ser satisfeitas para

cada utilizao. Via de regra, definidas essas necessidades, possvel, atravs de vrios

dispositivos e medidas de controle de rudo, realizar um acondicionamento acstico.

O objetivo central do presente trabalho apresentar uma metodologia geral para o

projeto timo de um sistema de dispositivos de controle passivo de rudo, conhecidos como

ressonadores de Helmholtz, atuando sobre uma cavidade acstica geometricamente complexa,

em uma ampla faixa de frequncias, onde uma ou vrias frequncias naturais da cavidade se

encontram. O estudo realizado sobre uma cavidade acstica unidirecional, em princpio, sem

perda de generalidade, para se ter controle sobre as diferentes variveis e poder implementar

na prtica os estudos realizados.

Para implementar tal metodologia, realizada uma analogia direta com a metodologia

geral existente para o projeto timo de neutralizadores dinmicos em controle passivo de

vibraes. Esses dispositivos so utilizados para reduzir as vibraes de estruturas

geometricamente complexas com comportamento linear, atuando em uma ampla faixa de

frequncias, na qual uma ou vrias frequncias naturais da estrutura a controlar esto

presentes.

Esse trabalho seguiu a seguinte metodologia: primeiramente foi feita uma reviso

bibliogrfica de neutralizadores dinmicos e depois de ressonadores de Helmholtz, juntamente

com uma reviso dos conceitos bsicos de ambos. Na sequncia foi apresentada a modelagem

2

matemtica para ento comparao e analogia entre os modelos vibratrio e acstico. Para

validar a analogia proposta, foram realizadas simulaes numricas e posteriormente a

realizao do experimento real com uma cavidade acstica e ressonadores de Helmholtz

acoplados. Os resultados encontrados foram ento comparados e analisados.

3

2 REVISO BIBLIOGRFICA

Em algumas situaes ou condies, o som desejado e agradvel percepo

humana. Em outros casos, provoca irritabilidade, desconforto ou at danos auditivos,

passando a ser chamado de rudo. O mesmo acontece com vibraes. Vibraes de cordas, por

exemplo, provocam som. Vibraes em pontes ou prdios esbeltos podem provocar

desconforto ou at o colapso da estrutura, com perdas materiais e/ou humanas.

Desde a antiguidade, tem-se procurado produzir mecanismos e teorias para controle de

vibraes e rudo irradiado (RAO, 2007). Um dos mtodos largamente utilizado para o

controle de vibraes o uso de neutralizadores dinmicos. Esses, tambm chamados de

absorvedores de vibraes, quando projetados convenientemente e fixados em pontos

estratgicos em uma estrutura, reduzem os nveis de vibrao de forma efetiva, em uma faixa

de frequncia previamente definida. A Figura 1 mostra o exemplo de vrios neutralizadores

acoplados em uma estrutura vibrante.

Figura 1 Transformador eltrico com neutralizadores instalados (UTFPR CARLOS ALBERTO BAVASTRI, 2012).

As aplicaes dos neutralizadores dinmicos de vibrao em estruturas mecnicas so

muitas. Dentre elas, pode-se citar: cabos de linha area de transmisso de energia eltrica,

prdios sob ao do vento ou foras ssmicas, mquinas de barbear, rotores dinmicos e

pontes, entre outros.

Um neutralizador dinmico (ND) pode ser um sistema ressonante simples, geralmente

de um grau de liberdade. Este dispositivo acoplado estrutura principal, tambm chamada

de primria, com o objetivo de controlar os nveis de vibrao atravs da aplicao de foras

de reao e/ou dissipao da energia vibratria (ESPNDOLA e SILVA, 1992).

Neutralizadores

4

Quando o neutralizador no possui amortecimento, denominado MK (massa-mola).

Entretanto, se um elemento viscoso de dissipao de energia for introduzido, como, por

exemplo, um amortecedor viscoso, denomina-se MCK (massa-amortecedor-mola).

Um neutralizador dinmico MK no possui nenhum elemento dissipador de energia,

existindo apenas elementos que armazenam energia cintica e potencial. Quando esse

dispositivo acoplado a uma estrutura, o princpio bsico de operao no envolve, portanto,

dissipao de energia, mas uma redistribuio das frequncias naturais do sistema composto

(sistema primrio mais neutralizadores), neutralizando a resposta vibratria em certa

frequncia especfica, ou faixa estreita de frequncia ao redor da frequncia natural do sistema

primrio. Contudo, sem amortecimento, o neutralizador tem uma vibrao elevada (podendo

at mesmo romper por fadiga). Tambm, se houver uma excitao em uma frequncia

diferente da qual o neutralizador foi projetado, e ela coincidir com uma das novas frequncias

naturais do sistema composto, este pode entrar em ressonncia, com gerao de grandes

amplitudes de vibrao no sistema primrio.

Alm disso, o neutralizador MK introduz uma impedncia mecnica extremamente

elevada, podendo criar um ponto de concentrao de tenses e deformaes, de modo que a

estrutura a controlar pode falhar na raiz do elemento que supostamente foi projetado para

proteg-la. Um exemplo tpico desta afirmao foi o que aconteceu com um cabo de

transmisso de energia eltrica de Itaip Binacional (TEIXEIRA et al., 2004). Na Figura 2

observa-se um exemplo de um neutralizador MK.

Figura 2 Neutralizador Dinmico MK.

A fim de se evitar os inconvenientes do neutralizador MK, na prtica procura-se utilizar

neutralizadores com amortecimento. O neutralizador dinmico com amortecimento viscoso,

5

ou MCK, visto na Figura 3, pode trabalhar em uma ampla faixa de frequncia, pois alm de

gerar foras de reao sobre a estrutura, promove tambm a dissipao da energia vibratria,

absorvendo a vibrao em frequncias vizinhas de sintonia. Todavia, esses dispositivos com

elementos viscosos so de difcil construo e, por essa razo, utilizados apenas como modelo

comparativo.

Figura 3 Neutralizador dinmico MCK.

Neutralizadores dinmicos confeccionados com material viscoelstico, ou NDVs

(neutralizadores dinmicos viscoelsticos), em que os elementos de mola e amortecedor

viscoso so substitudos por um elemento viscoelstico (via de regra, elastmeros entre

insertos metlicos), mostram-se vantajosos em comparao com os dispositivos acima

citados. O material viscoelstico, alm de produzir um efeito resiliente, introduz um fator

dissipador de energia intrnseco. Os NDVs so de fcil construo, baixo custo e produzem

excelentes resultados na reduo dos nveis de vibrao, podendo ser construdos com grande

versatilidade e com massas variando de algumas poucas gramas at toneladas. Na Figura 4,

pode observar-se um exemplo de sistema composto por um NDV.

6

Figura 4 Neutralizador dinmico viscoelstico.

Para projetar de forma tima estes dispostivos, KITIS (1983) apresentou um mtodo

numrico para minimizar a resposta vibratria de um sistema de mltiplos graus de liberdade,

em uma dada faixa de frequncia. Para isso, realizou uma otimizao do clculo numrico,

reduzindo o tempo de anlise estrutural, utilizando uma tcnica de reavaliao, sob uma

estrutura particular como uma viga engastada - livre.

ESPNDOLA e SILVA (1992) propuseram uma generalizao ao problema de reduo

de vibraes atravs de neutralizadores dinmicos pela via modal. Ao introduzirem o conceito

de parmetros equivalentes generalizados para neutralizadores viscosos e viscoelsticos, eles

demonstraram que se pode escrever as equaes do sistema composto em termos das

coordenadas generalizadas do sistema primrio. Nesse trabalho, o controle era realizado modo

a modo, atravs de uma equivalncia com a metodologia apresentada por DEN HARTOG

(1956), para o controle de um sistema de um grau de liberdade. Para realizar esta

equivalncia, os autores consideraram que o modelo dinmico do sistema composto (sistema

primrio mais neutralizadores) era predominantemente desacoplado no sub-espao modal do

sistema primrio. ESPNDOLA e BAVASTRI (1995) introduziram melhorias nesta

metodologia, lanando mo de tcnicas de otimizao no linear e passando a projetar esses

dispositivos de forma tima, para atuar sobre uma banda larga de frequncias, na qual uma ou

mais frequncias naturais estavam presentes.

DAYOU e BRENNAN (2002) utilizaram absorvedores de vibraes sintonizveis para

controlar a vibrao de perturbaes harmnicas. Eles mostraram que esses dispositivos,

quando posicionados cuidadosamente, podem reduzir a vibrao global de uma estrutura

(caracterizada pela sua energia cintica) em cada frequncia nica na gama de frequncias de

interesse, alm de ser comparvel ao desempenho de controle ativo. Desenvolveram uma

metodologia sobre o posicionamento correto dos dispositivos e sugeriram uma forma de

determinar a massa tima dos mesmos.

O trabalho de DAYOU e BRENNAN (2003) teve como objetivo verificar

experimentalmente o mtodo apresentado anteriormente. Foi mostrado que, usando o mtodo

de otimizao proposto, o neutralizador de vibrao sintonizvel pode ser to eficaz como um

dispositivo de controle ativo na reduo das vibraes globais de uma estrutura. Essa

7

descoberta foi particularmente interessante, uma vez que o neutralizador sintonizvel um

dispositivo passivo, ou seja, no requer potncia externa para funcionar.

BAVASTRI et al. (2006) e TAVARES (2005) propuseram uma metodologia geral que

permite determinar, simultaneamente, a localizao e os parmetros fsicos timos do sistema

de neutralizadores. Apresentaram ento um exemplo numrico sobre uma estrutura metlica

modelada por elementos finitos, estudando distintas faixas de frequncias, contendo distintas

quantidades de modos. A tcnica apresentada mostrou a versatilidade para o projeto timo de

neutralizadores, principalmente quando se precisa controlar uma estrutura que possui uma

densidade modal elevada, na faixa de frequncia de interesse.

Reatores eltricos so utilizados para possibilitar o funcionamento de agentes reativos e

correntes de curto circuito em subestaes de energia. Porm, o funcionamento desses

equipamentos, em alguns casos, so acompanhados de elevados nveis de vibrao, gerando

pontos quentes no ncleo eletromagntico do reator, que, por sua vez, pode gerar bolhas de

gases altamente inflamveis. Para solucionar esse problema, VALE (2006) utilizou um

sistema de absorvedores de vibrao que visavam a reduo de danos estruturais e

operacionais atravs da anlise de massa, rigidez e amortecimento.

ESPNDOLA et al. (2007) descreveram como projetar, de forma tima, um sistema de

neutralizadores dinmicos cujo material resiliente um material viscoelstico conhecido,

caracterizado dinamicamente por um modelo de derivadas fracionrias com quatro

parmetros. Nesse trabalho, foi proposta uma funo objetivo baseada na norma euclidiana da

funo resposta em frequncia de um sistema de mltiplos graus de liberdade.

OLFERT e WANG (2009) investigaram a resposta dinmica do espectmetro de

mobilidade rpido-integrado (FIMS), atravs da medio de aerossol submetido a uma

mudana radical e mudana senoidal na concentrao de nmero de partculas. A atenuao

do sinal do FIMS, sem usar a funo temporal de convoluo, foi medida com e sem um

neutralizador de aerossis na entrada do FIMS. Devido ao grande volume contido no aerossol,

o neutralizador significativamente diminuiu o tempo de resposta do FIMS quando

devidamente instalado.

8

ESPNDOLA et al. (2009) introduziram uma funo objetivo, para o projeto timo de

um neutralizador dinmico viscoelstico, baseada na norma de Frobenius da matriz resposta

em frequncia do sistema a controlar.

Como se pode observar, muitos estudos utilizando neutralizadores dinmicos foram

realizados propondo metodologias para o controle passivo ou ativo de vibraes assim como,

de forma equivalente, o ressonador foi projetado para o controle de rudo de cavidades

acsticas.

Os ressonadores de Helmholtz so dispositivos totalmente equivalentes aos NDs,

quando se trata do controle de rudo em cavidades acsticas. Assim como os NDs, os

ressonadores so projetados para redistribuir as frequncias naturais de cavidades acsticas e

evitar a formao de ondas estacionrias indesejadas, que causam uma pobre inteligibilidade

nas cavidades Ondas estacionrias em uma sala acstica como um teatro, por exemplo, podem

provocar pontos de boa e de m audibilidade, criando desconforto na audincia, dependendo

do local que est sendo analisado.

De forma semelhante, a insero de um ressonador de Helmholtz nas paredes laterais de

um tubo, que contem em seu interior ondas estacionrias, pode ser usado para redistribuir as

frequncias naturais deste, melhorando a sua qualidade acstica. Para tanto, a frequncia do

ressonador deve ser escolhida de forma adequada.

O ressonador de Helmholtz ele prprio uma cavidade acstica e tem por objetivo

oscilar com amplitude e frequncia com uma diferena de fase em relao perturbao

externa, modificando as caractersticas acsticas da cavidade a ser controlada de forma a

absorver o rudo interno desta, dentro de certa faixa de frequncias. Um exemplo ilustrado

na Figura 5. A faixa de utilizao restrita, pois se trata de um dispositivo passivo de controle

de rudo, com baixa capacidade de absoro de energia acstica. Portanto, cada ressonador

projetado para uma pequena faixa de frequncias. Entretanto, sua utilizao interessante,

pois de simples construo e baixo custo.

9

Figura 5 Ressonador de Helmholtz (ACSTICA JEZABEL, 2008).

Para os casos em que uma maior abrangncia requerida, necessria a utilizao de

um maior nmero de dispositivos, cada qual com uma geometria especfica para cada faixa de

frequncias a serem controladas. Cada ressonador necessita estar precisamente sintonizado

para que a atenuao do rudo seja efetiva pois, caso contrrio, ele pode, inclusive, aumentar

os nveis de rudo no ambiente. Outra desvantagem na utilizao desse dispositivo a

sensibilidade a mudanas do ambiente no qual se encontra, como as de umidade do ar e

temperatura. Essas mudanas podem dessintonizar levemente o ressonador.

O ressonador, como mostra a Figura 6, composto por uma cavidade de volume V, que

armazena energia potencial, e um pescoo de seo reta, com uma rea transversal S e

comprimento . O pescoo faz a comunicao entre o ressonador e o ambiente a ser

acondicionado e tem a capacidade de armazenar energia cintica.

Figura 6 Esquema de um ressonador de Helmholtz.

A frequncia natural de um ressonador de Helmholtz, segundo KINSLER et al.(1982), dada por:

10

, (1)

na qual

l , (2) sendo a velocidade do som no ar, o comprimento equivalente do pescoo, o fator de correo do comprimento do pescoo e o raio do pescoo.

O ressonador de Helmholtz, a exemplo de um ND elementar no amortecido, anlogo

a um sistema massa-mola, conforme representado na Figura 7, o pescoo equivale massa

(oferecendo resistncia transmisso do som) e a massa de ar contida no volume

independente da sua forma comparvel mola (quando se tenta aumentar a presso, o

interior se comprime, e quando se tenta diminuir, o interior se expande). O volume do

ressonador de Helmholtz pode ser feito com vrios formatos, mas o cilndrico, alm de fcil

construo, apresenta notvel rigidez fsica (no vibrando com facilidade) e exibe baixas

perdas por frico por possuir poucas arestas e ngulos.

Figura 7 Analogia entre um ressonador de Helmholtz e um sistema massa-mola.

O ar no interior desses ressonadores entra em vibrao, na sua frequncia natural, e

pode neutralizar a energia sonora contida em uma cavidade acstica. O princpio de

funcionamento desses dispositivos, devido ao baixo valor de elemento dissipador de energia

sonora, redistribuir as frequncias naturais da cavidade acstica a controlar. Dessa forma,

onde se tinha uma amplificao de som devido a uma coincidncia entre a frequncia de

excitao de uma fonte sonora e uma frequncia natural da cavidade acstica, obtm-se a duas

novas frequncias naturais distribudas para a vizinhana devido presena do ressonador. H

11

assim, uma reduo considervel da intensidade do som em alguns pontos da cavidade

acstica.

O sistema ressonante usado em alguns instrumentos musicais, como o violo (Figura 8),

o violino e o xun chins (Figura 9) constituem um ressonador de Helmholtz. Nesses casos, os

instrumentos possuem mais de uma frequncia natural.

Figura 8 Violo (IMOTION IMAGENS, S/D).

Figura 9 Xun chins (CRI\ ONLINE, S/D).

O ressonador de Helmholtz vem sendo cada vez mais empregado com diversas

aplicaes prticas. Nos ltimos anos, o ressonador objeto de estudo principalmente na linha

de pesquisa de controle passivo-adaptativo. Pode-se citar, dentre outros, os trabalhos de

BEDOUT et al. (1997), de ESTEVE e JOHNSON (2005), de BERNHARD (1994), de

KOSTEK e FRANCHEK (2000) e de JOHNSON e ESTVE (2002).

GILFORD (1952) apresentou uma teoria de ressonadores como absorvedores de som e

realizou experimentos em cmaras de reverberao e de estdios de gravao. Mostrou

tambm recomendaes gerais para o projeto desse dispositivo, concluindo que a variao da

geometria para se acomodar a arquitetura do sistema no interfere na eficcia do mesmo.

12

Um modelo mecnico semi-emprico do comportamento acstico do fluido em um

ressonador de Helmholtz foi apresentado no trabalho de HERSH e WALKER (1977), no qual

foi prevista a impedncia como funo da amplitude e da frequncia da presso do som

incidente e da geometria do ressonador. Os campos sonoros incidentes e da cavidade foram

resolvidos ao se utilizar as equaes de conservao de momento. O modelo est de acordo

com o modelo massa-mola de Rayleigh quando os valores do nvel de presso sonora

incidentes so baixos. Para valores elevados, previu-se que a resistncia fosse independente

da frequncia, mas proporcional raiz quadrada da amplitude do campo incidente da presso

sonora e virtualmente independente da geometria do ressonador.

BUSSE e HERBOECK (1979) investigaram em seu artigo a fase e a magnitude do sinal

de clulas fotoacsticas ligadas a um ressonador e demonstraram que a relao sinal-rudo

aumenta quando so utilizadas as propriedades de fase do sinal.

TANG et al. (1984) descreveram em seu artigo um ressonador de baixo custo e alta

qualidade de absoro. A partir dos experimentos realizados, obtiveram uma frequncia de

ressonncia do mesmo com uma preciso de 0,5Hz, permitindo assim a determinao da

velocidade do som no ar com uma preciso melhor do que 1%.

VANDERGRIFT (1993) obteve em seu artigo a funo de Green para um ressonador de

seo quadrada aplicado a uma cavidade acstica fechada contendo uma fonte de excitao

pontual de baixas frequncias. Ele chegou concluso que a abertura do pescoo deveria ser

muito menor do que as dimenses da cavidade a ser controlada e que essa cavidade no

deveria ter seu comprimento muito maior que a sua seo transversal.

BEDOUT (1996) apresentou em seu trabalho um ressonador de Helmholtz ajustvel e

uma nova lei de controle, baseada em experimentos, apresentada para encontrar um

ressonador com tima sintonia para aplicaes de controle de tempo variando de tons de

rudo. A estratgia de ajuste proposto empregou um algoritmo de ajuste em malha aberta com

base em um modelo simples de parmetro aglomerado do ressonador. Com uma abordagem

de descida do gradiente, baseada em uma estrutura de controle de experimentos, garantiu-se

um desempenho robusto. Uma tima sintonia do ressonador foi conseguida, apesar das

incertezas do sistema, tais como variaes na frequncia de excitao e mudanas ambientais.

RAO e BARAKAT (1999) apresentaram o problema de espalhamento de uma onda

plana eletromagntica por um ressonador de Helmholtz cilndrico, o qual foi estudado por

13

uma abordagem da funo de Green para a condio de contorno de Dirichlet. Os resultados

numricos para a disperso total de seo transversal normalizada com relao ao total de

espalhamento da seo transversal de um cilindro sem abertura indicaram, claramente as

caractersticas de ressonncia da estrutura.

NAGAYA et al. (2001) discutiram em seu artigo um mtodo de reduo de rudo via um

ressonador de Helmholtz de ajuste automtico de dois estgios rotativos, para o controle de

rudo de um ventilador, o qual emitia som de frequncias altas e variadas.

O processo de gerao de rudo em um ressonador de Helmholtz est fortemente

envolvido com a interao entre a excitao do fluxo de fluido no tempo e da ressonncia

acstica. Um dos grandes desafios para a dinmica de fluidos computacional quantificar

essa interao. No artigo de MALLICK et al. (2003), um procedimento numrico baseado na

equao cintica estrutural, combinado com o modelo de turbulncia RNG (tcnica

matemtica chamada renormalization group), foi aplicado para descrever um experimento

controlado com excitao acstica. Os resultados encontrados nos experimentos numricos e

fsicos foram muito semelhantes. As simulaes revelaram que possvel uma comparao

universal, permitindo alterar os dados para as condies de entrada.

GUIGUET e WELTI (2003) estudaram o comportamento de um ressonador de

Helmholtz atuando como um filtro para ondas propagantes. Nesse caso, o ressonador atenua

as ondas em uma faixa de frequncia especfica. Esses autores apresentaram um modelo

terico para explicar o comportamento do ressonador quando funciona como um filtro para

ondas estacionrias e destacaram as diferenas quando atua como um filtro de ondas

propagantes.

TANG (2004) investigou de forma experimental e terica as propriedades acsticas de

ressonadores de Helmholtz com pescoo com seo transversal com dimenses decrescentes

de distncia da entrada do ressonador na cavidade. Os resultados mostraram que a melhoria

significativa da capacidade de absoro sonora dos ressonadores pode ser obtida atravs da

introduo de pescoo com afilamento. Essa melhoria pode ser ainda maior quando o

comprimento cnico aumentado.

TURULL et al. (2005) teve como objetivo em seu artigo a busca da equao emprica de

frequncia de ressonncia em um ressonador de boca retangular e com comprimento de

pescoo curto, para depois projetar um instrumento musical.

14

NAKANO et al. (2005) aplicou a tcnica de ressonncia de Helmholtz para confirmar a

aplicabilidade da tcnica de medio do volume lquido em condies de microgravidade.

Uma clula experimental, considerada como um ressonador de Helmholtz fechado, foi

elaborada e nitrognio lquido utilizado como lquido de teste. A frequncia de ressonncia de

Helmholtz foi analisada pelo uso do mtodo da entropia mxima. As frequncias de

ressonncia de Helmholtz obtidas em condies de microgravidade concordaram com as

frequncias de ressonncia obtidas sob condies terrestres.

FLEMING et al. (2006) chegaram concluso de que a utilizao da linearizao da

equao de Euler em ressonadores pode ser utilizada quando h pequenas perturbaes da

presso e a velocidade mdia do fluido nula. O artigo revelou que a absoro sonora causada

por materiais porosos em ressonadores depende principalmente do amortecimento viscoso do

fluxo de fluido que passa sobre a superfcie porosa, e que o amortecimento pode ser

aumentado quando h a insero de materiais que causam dissipao de energia em locais

onde as partculas de fluido tem velocidades mximas.

Campos de baixa frequncia de som reverberante so normalmente absorvidos atravs

de um controle adaptativo, ou com a utilizao de um ressonador de Helmholtz. No trabalho

de FLEMING et al. (2006), uma impedncia eltrica foi ligada aos terminais de um alto-

falante acstico para simular a insero de um ressonador. Uma atenuao de 14dB na presso

de um modo acstico foi alcanada, quando realizados experimentos em um duto fechado.

SMITH e SLATON (2007) mostraram em seu artigo um experimento no qual um

substrato de cermica porosa foi inserido no gargalo de um ressonador de Helmholtz. O

substrato presente no pescoo do ressonador alterou a frequncia de ressonncia e o fator de

qualidade do mesmo. O fator de qualidade aumenta com o aumento da diferena de

temperatura at o incio da gerao espontnea de som.

YU et al. (2008) investigaram o efeito da resistncia interna de um ressonador de

Helmholtz sobre a reduo da energia acstica em uma cavidade multimodal. Usando a

soluo analtica de um modelo de interao ressonador-cavidade, um ndice de reduo de

energia foi definido em uma faixa de frequncia para otimizar a resistncia do ressonador. O

duplo processo de dissipao de energia e radiao do ressonador foi tambm quantificado. A

interao entre o ressonador e a cavidade foi analisada numrica e fisicamente e ento

classificada em termos de larguras de banda de frequncia. O desempenho previsto foi

15

confirmado a partir de experimentos. Foi mostrado que o modelo proposto serve como uma

ferramenta de projeto eficaz para determinar a resistncia interna do ressonador, a fim de

alcanar uma reduo de som na banda de frequncia.

DONOSO et al. (2008) chegou concluso que uma correo na frequncia pode ser

feita quando h uma complincia das paredes. Essa provocada pela presso que atua sobre

as paredes no rgidas de um ressonador, reduzindo o amortecimento do sistema e pode ser

entendida tambm como sendo anloga da capacitncia no oscilador eltrico, e do inverso da

constante da mola num oscilador mecnico.

SPOSETTI e WELTI (2008) enfocaram em seu artigo o efeito terico e experimental da

insero lateral de dois ou mais ressonadores sobre os modos normais de oscilao de um

tubo finito. Ao escolher frequncias e distncias entre os ressonadores, obtiveram um controle

adequado sobre uma banda de frequncia relativamente grande e previamente estabelecida.

WANG et al. (2008) relatou em seu artigo um hidrofone de fibra tica, um prottipo de

sensor que pode eliminar o aliasing em sistemas de sonar. O dispositivo mecnico utilizado

foi um pequeno ressonador de Helmholtz cilndrico de metal. Esse dispositivo foi comparado

com uma borracha macia, porm o ressonador obteve resultados melhores, por trabalhar

melhor em altas frequncias e ser insensvel presso hidrosttica.

VALLE et al. (2010) depositaram uma patente para um ressonador de Helmholtz em

motores de combusto interna com sintonia acstica varivel (controle ativo), para aumentar a

eficincia volumtrica de motores de combusto interna.

Como pode ser observado a partir dos exemplos acima, h uma grande necessidade de

se estudar mtodos gerais para o projeto timo de ressonadores para controle de rudo em

cavidades geometricamente complexas. Existem vrios trabalhos que mostram apenas uma

aplicao especfica do ressonador. Alm disso, na literatura se encontram apenas conceitos

bsicos relacionados a esse tpico.

Segundo GOMES (1991), o rudo ocupa o terceiro lugar entre os riscos ocupacionais

que atingem o trabalhador brasileiro, atrs apenas dos produtos agrotxicos e das doenas

osteoarticulares. Com isso, fica evidenciada a necessidade do controle do nvel de rudo ao

qual cada indivduo est submetido.

16

O controle do rudo deve preferencialmente ser realizado na fonte, entretanto, por razes

tcnicas ou econmicas, isso nem sempre possvel. Assim, podem-se empregar outras

formas de controle tais como (KINSLER et al., 1982):

Materiais de Absoro Sonora: transformam parte da energia sonora em

energia trmica;

Materiais Isolantes: dificultam a passagem do som, refletindo-o;

Dispositivos Passivos: atenuam o rudo quando excitados nas suas frequncias

naturais (ressonadores de Helmholtz, placas vibrantes, silenciadores);

Dispositivos Ativos: cancelam o rudo atravs da gerao de outro campo de

rudo defasado de 180 do primeiro, atravs de uma fonte secundria.

Um exemplo de aplicao de um dispositivo passivo de controle de rudo pode ser

observado na Figura 10.

Figura 10 Controle do rudo utilizando um ressonador de Helmholtz.

No presente trabalho, ser analisado o comportamento de um duto, no qual as ondas

sonoras se propagam longitudinalmente, de forma similar a ondas mecnicas em barras e as

propriedades do fluido contido no interior do duto podem ser consideradas constantes em

qualquer plano perpendicular direo de propagao da onda.

17

3 MODELOS MATEMTICOS

Nesse captulo ser apresentada a modelagem matemtica necessria para o

desenvolvimento da metodologia proposta. Inicialmente, deduzida a equao da onda, a qual

revela a distribuio da presso e, ao se aplicar as condies de contorno fornece os

parmetros modais da cavidade acstica em estudo. Na sequncia, apresentam-se o modelo

vibratrio e a metodologia para o projeto timo de neutralizadores dinmicos e, subsequente,

a sua analogia para o modelo acstico. Essa metodologia permitir projetar os ressonadores de

Helmholtz para uma cavidade geometricamente complexa.

3.1 Modelo Analtico

3.1.1 Equao da onda

Ser revisada, neste tpico, a obteno da equao da onda unidimensional. Para isso,

foi considerada uma onda sonora que se transmite em um fluido homogneo, isotrpico e

perfeitamente elstico, sem influncia de efeitos dissipativos, como a viscosidade. Outras

hipteses que foram adotadas para a obteno da equao da onda so:

Pequenas amplitudes de vibrao das partculas, ou seja, pequenas variaes na

densidade do meio, quando comparadas com o valor de equilbrio;

Processo adiabtico, ou seja, desconsiderada a troca de calor entre uma

partcula do fluido e outra;

Entropia constante.

Para encontrar a equao da onda, parte-se da 2a Lei de Newton, que relaciona a

resultante das foras aplicadas sobre um elemento de volume e a inrcia do mesmo, na forma

, (3)sendo a acelerao do elemento.

Considerando um elemento diferencial de volume (vide Figura 11) de um fluido

( ) que contem uma massa diferencial , tem-se que o mdulo da fora em cada direo do elemento definida por , sendo a rea na qual a fora est sendo aplicada e a presso absoluta correspondente.

18

Figura 11 Elemento diferencial de volume de um fluido.

Esse elemento deve ser, ao mesmo tempo, grande o suficiente para que contenha

milhes de molculas e assim o fluido poder ser considerado como um meio contnuo, e

pequeno o suficiente para que as variveis acsticas possam ser consideradas constantes no

elemento.

Segundo KINSLER et al. (1982), realizando o equilbrio de foras no elemento

diferencial da Figura 11, obtm-se as seguintes expresses nas direes , e : , (4) (5) e

. (6) As equaes (4), (5) e (6) podem ser escritas de forma compacta atravs de

, (7) sendo o diferencial de fora e o gradiente de presso.

A velocidade da partcula funo do tempo e do espao. Quando um elemento com

velocidade , no ponto e no instante se desloca para uma nova posio no intervalo de tempo , sua nova velocidade pode ser escrita como sendo

19

(8) de modo que

(9) (10) (11)

Aplicando uma expanso em srie de Taylor para incrementos muito pequenos, pode-se

expressar a nova velocidade utilizando apenas o primeiro termo da expanso. Assim, a Eq. (8)

pode ser expressa da seguinte forma

.(12)Portanto, a acelerao pode ser obtida por

, (13) ou,

. (14) Considerando que

, (15) a acelerao pode ser reescrita em uma notao mais compacta como

. (16) Considerando que um elemento diferencial possui uma massa e substituindo

as Eqs. (7), (14) e (16) na Eq. (3), tem-se que

. (17)

20

Simplificando em ambos os lados decorre que

. (18) As seguintes simplificaes podem ser adotadas:

Presso total: . Nesse caso, !"!# para todo volume, pois as foras gravitacionais foram negligenciadas. Assim, (i); Densidade instantnea: , sendo a densidade de equilbrio constante do fluido e a densidade no volume. Como , (ii); (iii).

Substituindo as simplificaes acima na Eq. (18), obtm-se a seguinte expresso

. (19) Aplicando o operador divergente nos dois lados da Eq. (19) chega-se a

. (20) Da equao da continuidade, tem-se que

. (21)

Definindo " como sendo a condensao em qualquer ponto (KINSLER et al., 1982) " (22)na qual constante no espao e no tempo.

Substituindo a Eq. (22) na Eq. (21), tem-se que

, (23) donde decorre que

. (24)

21

Derivando a Eq. (24) em funo do tempo, obtem-se

(25) e substituindo a Eq. (24) na Eq. (21), tem-se que

. (26)

Utilizando a definio do mdulo de Bulk (KINSLER et al., 1982), o qual dado por $ % & , e substituindo o mesmo na Eq. (26), chega-se a

. (27) Definindo a velocidade do som por ( )$ * , a Eq. (27) toma a forma

. (28) Como a propagao da onda na cavidade acstica em questo unidirecional, ou seja,

s envolve variao de presso ao longo de uma nica direo, pode-se simplificar a equao

acima, obtendo-se

. (29)

A Eq. (29) representa a equao da onda plana unidirecional.

3.1.2 Obteno dos parmetros modais da cavidade acstica

Com o objetivo de obter a soluo da presso em relao ao comprimento da cavidade acstica e ao tempo, utilizou-se do mtodo de separao de variveis para a soluo da Eq.

(29). Prope-se que a soluo seja um produto de duas funes independentes, uma somente funo de , +, e outra somente funo de , ,), tal que +,. (30)

Assim,

22

, , (31) e

+ . (32)

Substituindo as Eqs. (31) e (32) na Eq. (30), tem-se que

+ , . (33)

Note que, na Eq. (33), o termo da esquerda depende somente de e o termo da direita somente de . Portanto, devido igualdade, esses termos so, na verdade, iguais a uma constante no nula, denominada aqui . Assim,

. (34)

Quando atribudo um valor positivo a essa constante, a equao acima no representa

o comportamento de uma onda, mas sim, a soma de um crescimento e decaimento

exponencial. Esta soluo matematicamente correta, porm no de interesse fsico.

No entanto, quando lhe atribudo um valor negativo, sua soluo representada pela

soma de senos e cossenos (CLARK, 1972), sendo as equaes diferenciais ordinrias

decorrentes da forma

.

,

+. (35)

Portanto, as solues para as equaes dadas na Eq. (35) so dadas por:

+ / 0 , (36) e

, 1 2 . (37)

23

Para determinar as constantes /, 0, 1 e 2, necessrio aplicar as condies de contorno do caso em estudo.

3.1.2.1 Aplicao das condies de contorno

Para uma cavidade acstica, tal como o duto proposto nesse trabalho, as condies de

contorno so aquelas correspondentes a duas extremidades abertas. Segundo BERANEK e

VR (1992), uma extremidade aberta corresponde a um antinodo de deslocamento

(deslocamento mximo) e consequentemente um nodo de presso relativa (presso relativa

nula). No Quadro 1, pode-se observar as condies de contorno que se aplicam s cavidades

acsticas comumente encontradas.

Quadro 1 Condies de contorno (adaptado de: BERANEK e VR, 1992).

24

Sabe-se assim que, em cada uma das extremidades abertas, a presso total se iguala de

referncia (no caso, presso atmosfrica). As Figuras 12 e 13 ilustram as distribuies de

deslocamento e presso, respectivamente, em uma cavidade com ambas as extremidades

abertas. Pode-se perceber que na extremidade aberta a presso relativa nula e o

deslocamento possui um valor mximo.

Figura 12 Distribuio de deslocamento em uma cavidade acstica semi-aberta.

Figura 13 Distribuio de presso em uma cavidade acstica semi-aberta.

Assim, aplicaram-se as condies de contorno indicadas no item 5 do Quadro 1 para o

caso particular do duto em estudo.

a) Extremidade aberta em 0A condio de contorno para extremidade aberta em 0 requer que a presso sonora

relativa seja nula, ou seja, 0. Assim, substituindo esta condio na Eq. (30), encontra-se que, para um dado tempo arbitrrio

0 (38) ou

sen

0 cos

0 0. (39)

Sabendo que sen0 0 e cos0 1, decorre que a constante de integrao 0. b) Extremidade aberta em

25

A condio de contorno para extremidade aberta em 3 tambm requer que a presso naquele ponto deva tomar um valor igual zero, ou . Substituindo essa condio na Eq. (30), encontra-se que, para um dado tempo arbitrrio,

+3 , (40) ou

/ 3 0 3 . (41) Como 0 , obtem-se / 3 . (42)

Para que exista uma onda, / . Isso leva seguinte concluso

3 . (43)

Para que isso ocorra, deve-se respeitar a seguinte relao

3 !4, (44) ou

! !"# , (45)

com ! . Substituindo o autovalor ! na Eq. (36) e considerando 0 e / , sem perda de

generalidade, possvel encontrar a autofuno !"# , com ! . Com isso obtm-se os parmetros modais do duto (autovalores e autofuno) com ambas

extremidades abertas, de forma analtica, como apresentado por BERANEK e VR (1992),

como pode ser comprovado no Quadro 2.

Substituindo + e , em , tem-se que a participao do n-simo modo na resposta livre

26

, sen sen cos, !"# 1,2,3. (46)

Em geral, a resposta livre de presso, em duto equivalente ao deste estudo, para uma

dada perturbao inicial, dada por

, sen

sin cos , !"# 1,2,3. (47)

onde e sero definidos a partir das condies iniciais. Quadro 2 Frequncias naturais e modos acsticos (adaptado de: BERANEK e VR, 1992).

A Eq. (46) representa a soluo da equao homognea, que corresponde distribuio

de presso em um duto com extremidades livres sujeito a uma dada perturbao inicial. Essa

soluo contem os parmetros modais da onda da cavidade em estudo (duto), requeridos,

como se ver adiante, para os projetos dos ressonadores de Helmholtz.

27

A partir da Eq. (44), possvel obter as frequncias naturais analticas de uma cavidade

com ambas as extremidades abertas. Considerando o comprimento da cavidade 3 , obtm-se as frequncias naturais, relacionadas na Tabela 1.

28

Tabela 1 Frequncias naturais analticas de uma cavidade de 2m de comprimento e ambas as extremidades abertas.

3.2 Analogia entre Sistemas Vibrantes e Acsticos

3.2.1 Controle de vibraes utilizando neutralizadores dinmicos viscoelsticos

Aps vrios anos de pesquisa, foi desenvolvido por Espndola, Bavastri e seus

colaboradores (ESPINDOLA et al., 2000; BAVASTRI et al., 2007), uma metodologia geral

para o projeto timo de neutralizadores dinmicos para reduo dos nveis de vibrao em

estruturas geometricamente complexas, nas quais um ou mais neutralizadores podem

controlar um ou vrios modos em uma ampla faixa de frequncias. Para tal fim, o sistema

primrio a controlar (estrutura) modelado atravs dos seus parmetros modais e o projeto

timo dos neutralizadores alcanado utilizando tcnicas de otimizao no-linear. Com base

nesses estudos, pretende-se encontrar uma teoria anloga para o projeto de ressonadores

acsticos aplicados a cavidades acsticas.

O modelo matemtico de neutralizadores viscosos (MCK) apresentado a seguir. Um

neutralizador dinmico viscoso, como j citado anteriormente, composto de uma massa (que

deve ser menor do que a massa da estrutura a ser controlada), uma mola e um elemento capaz

de dissipar energia vibratria (por exemplo um amortecedor hidrulico). A Figura 14 mostra

uma representao simplificada desse dispositivo.

29

Figura 14 Representao simplificada de um neutralizador MCK.

Quando um sistema de um grau de liberdade de massa m, tal como neutralizador da

Figura 14, excitado com uma fora , esse responde com um deslocamento . Construindo-se o diagrama de corpo livre do neutralizador, conforme Figura 15, as

componentes de mola e amortecimento podem ser substitudas por foras que tendem a se

opor ao movimento . A fora exercida pela mola dada por $ 5 e aquela exercida pelo amortecedor dada por 6 .

Figura 15 Diagrama de corpo livre do neutralizador MCK.

Logo, aplicando-se a segunda lei de Newton, tem-se que

8 . (48) Portanto, a equao de movimento dada por

8 5 6 . (49) A dinmica do neutralizador MCK pode ento ser escrita por

8 6 5 . (50) De maneira anloga, um sistema primrio com mltiplos graus de liberdade que

possui distribuies de massa, amortecimento e rigidez intrnsecas pode ser descrito, atravs

de um modelo de elementos finitos, por exemplo, resultando em:

9:8 ;:6

30

sendo 9 a matriz de distribuio de massa, ; a matriz de distribuio de amortecimento, < a matriz de distribuio de rigidez do sistema primrio, todas de ordem !!, e : e os vetores de coordenadas generalizadas e esforos generalizados, respectivamente de ordem ! respectivamente.

Para o sistema primrio, os parmetros modais (matriz espectral), (matriz modal) e

= >%

? (matriz de amortecimento modal) podem ser determinados a partir da resoluo do problema de autovalores partindo da Eq. (51) (EWINS, 1984).

A Figura 16 representa, no domnio da frequncia, um modelo padro de um

neutralizador dinmico, sistema auxiliar de um grau de liberdade, cuja impedncia na base se

deseja conhecer, uma vez que o neutralizador ser adicionado, pela base, a um sistema

principal, para reduzir os nveis de vibrao desse.

Figura 16 Sistema primrio com neutralizador acoplado.

Segundo ESPNDOLA e SILVA (1992), o sistema apresentado na Figura 16

dinmicamente equivalente ao sistema da Figura 17. Como ser visto, esse modelo

equivalente mais interessante para o projeto timo dos neutralizadores dinmicos, quando

aplicados a sistemas geometricamente complexos de mltiplos graus de liberdade.

Figura 17 Sistema equivalente.

31

Os parmetros equivalentes da Figura 17 podem ser obtidos igualando, por exemplo, a

rigidez dinmica na base de ambos os modelos (Figuras 16 e 17). Para tal, pode-se construir

um diagrama de corpo livre para a base do modelo da Figura 16, como ilustrado na Figura 18.

Figura 18 Diagrama de corpo livre da base.

Realizando o somatrio das foras indicadas na Figura 18, tem-se

5+& + @+& + (52) de modo que

5 @+& +. (53)

Figura 19 Diagrama de corpo livre da massa do neutralizador.

Considerando-se agora a massa do modelo da Figura 16, cujo diagrama de corpo livre

ilustrado na Figura 19, tem-se que

5+& + @+& + + (54) de modo que

+ $% ' % $. (55)

Substituindo a Eq. (52) em (50), tem-se

5 @ +& $% ' % $. (56)

32

Segundo ESPNDOLA e SILVA (1992), a rigidez dinmica na base dada por $' $. (64) Como 0 A$', (65)

$

1 . (66)

Substituindo as Eqs. (65) e (66) na Eq. (62), decorre que

33

34

Assim, a Eq. (71) pode ser escrita no domnio da frequncia como

H9D @;E

35

3.2.3.1 Modelo equivalente do ressonador de Helmholtz

Como outrora apresentado, a dinmica de um sistema vibratrio pode ser descrita em

funo da variao do deslocamento, o que retradado, de forma elementar, na Eq. (50). J

um sistema acstico mais comumente representado pela variao de presso que ocorre em

seu interior, como pode ser visto, tambm na forma elementar, na Eq. (77).

=8 =6 5= R. (77) Para se realizar a equivalncia direta entre esses dois modelos, pode-se utilizar a relao

entre o deslocamento do sistema mecnico da Figura 14 e a presso da cavidade acstica da

Figura 6, apresentada por KINSLER et al. (1982), para pequenas variaes de , como >? . (78)

Substituindo a Eq. (78) na (50), tem-se

'? > 8 ? > 6 $? > R. (79) na qual a massa de ar contida no pescoo do ressonador, que pode ser calculada por ST, (80) Enquanto a rigidez do ressonador de Helmholtz pode ser dada por

5 @' >? (81) sendo a discipao de energia no pescoo do ressonador.

Por comparao entre as Eqs.(77), (79), (80) e (81), obtem-se

= ? >= ?A , (82) 5= 5 ? > 5= S, (83) e

36

= ? > (84) Como, por analogia direta, tem-se a massa e o amortecimento equivalentes do sistema

acstico dados por

89= '56:167616 (85) e

89= ' 16616 (86) substituindo ento a Eq. (82) nas duas equaes acima, tem-se

89= 2A? * 456:167616 , (87) 89= 2A? * 4 16616. (88)

Essa equivalncia entre os sistemas vibratrio e acstico, para o controle de uma

cavidade acstica, atravs de ressonadores de Helmholtz, j foi apresentada no XXXII

CILAMCE, como pode ser visualizado no Apndice A.

3.2.3.2 Sistema primrio modelo de elementos finitos

Para determinar a equao que governa a distribuio de presso na cavidade acstica a

controlar, parte-se da equao que governa a presso acstica sem dissipao de energia nas

fronteiras (CONDON e ODISHAW, 1967), qual seja

(89) na qual @' a velocidade do som e o operador dado por (90)

37

As condies de fronteira para a presso acstica se determinam mediante

consideraes da Mecnica dos Fluidos. Para uma superfcie de fronteira, S, que est em movimento com uma amplitude pequena, requer-se que o equilbrio do momento seja

U!V U!V BCD (91) na qual ! o vetor normal unitrio, a densidade do fluido e UWV o vetor deslocamento da estrutura.

Os elementos matriciais podem ser encontrados ao se discretizar a equao da onda, Eq.

(89), utilizando o mtodo de Galerkin (ZIENKIEWICZ e TAYLOR, 2000). Para tal,

multiplica-se a Eq. (89) por uma variao de presso UV e integra-se sobre o volume de domnio. Assim, chega-se a seguinte equao:

X Y X Y X U!VY> S?? (92)Nessa expresso, S representa a superfcie entre a estrutura e o fluido. Ao se aplicar as

condies de fronteira da Eq. (91) na Eq. (92) obtem-se

X Y X Y X YU!V> BCD S?? (93)A Eq. (93) relaciona a presso do fluido e as componentes de deslocamento mediante

o vetor UWV, sendo essas as variveis que se deseja encontrar. As funes de forma de elementos finitos para a variao espacial da presso e as variaes de deslocamento so

dadas por UZV e UZ=V, que, ao serem multiplicadas pelos vetores de presso nodal e deslocamento nodal da estrutura, U8V e UW8V respectivamente, fornecem a presso e o deslocamento da mesma:

UZVU8V (94)W UZ=VUW8V (95)

Ao se aplicar a segunda derivada em relao ao tempo em ambas as equaes acima,

pode-se ento fazer a substituio na Eq. (93).

38

X Y8[88\ X Y8 X Y8U!V> S?? [W88\ (96)Considerando que U]V ^UZV e Y UZVUY8V, ento a Eq. (96) pode ser

simplicada para

X UZVUZV[88\ X U]VU]VU8V X UZVU!V> UZ=VS[W88\?? UV (97)

Como o interesse encontrar o modelo modal da distribuio de presso em uma

cavidade acstica e assumindo que, na Eq. (97), a rigidez e massa acstica sejam

representados por (CORTS et al., 2009)

H

39

na qual a resistncia acstica do material da estrutura e 68 a primeira derivada da presso em relao ao tempo.

O termo `, adicionado equao matricial, Eq. (101), tem como funo considerar a perda de energia na superfcie da fronteira (interface fluido-estrutura), como mostrado na

equao

H98I[88\ H;8I[68\ H

40

modais da cavidade acstica. Utilizando tcnicas de otimizao no-linear, ela fornece, como

dados de sada, a frequncia natural tima de cada ressonador de Helmholtz uma vez que,

neste trabalho, a dissipao de energia do dispositivo de controle foi fixada em um valor

pequeno. Tambm, como feito em todo projeto de sistemas ressonantes, a massa fixada

seguindo a metodologia implementada em BAVASTRI (1997).

O diagrama de funcionamento da metodologia implementada, no tocante ao processo de

otimizao utilizado no cdigo escrito em Scilab, pode ser visto na Figura 20. Nesse

diagrama, pode-se identificar quais os dados de entrada necessrios (obtidos a partir das

simulaes feitas no ANSYS, como mostrado no subttulo 4.4) e como so obtidos ento os

dados de sada.

Figura 20 Diagrama de otimizao.

Os dados de entrada so constitudos pelos modos de vibrar, as frequncias naturais

correspondentes da cavidade, obtidos atravs da anlise modal no ANSYS, e um valor muito

pequeno, estimado e constante, de dissipao de energia acstica. Neste trabalho, o

ressonador a ser projetado tambm ter uma capacidade de absoro muito pequena, pela

forma como ser construdo, portanto, para que a otimizao no entre em loop, foi fixado um

certo valor para este parmetro. Para projetar os ressonadores, foi realizada uma simulao na

qual uma excitao de valor unitrio aplicada em um n prximo a uma das extremidades da

cavidade.

41

Os parmetros timos de sada so as frequncias naturais de cada ressonador e, com

estas, so fornecidos tambm a massa acstica equivalente e uma pequena absoro, ambas

adotadas. Esses so ento substitudos nas Eqs. (1), (2) e (81) para o clculo dos parmetros

geomtricos reais dos ressonadores de Helmholtz, utilizados na realizao fsica do sistema de

controle. Para verificar a eficcia desse sistema de controle, foi levantada uma curva de

resposta em frequncia em um dado ponto arbitrrio da cavidade, na extremidade oposta

quela do duto onde a excitao pontual foi introduzida no duto.

O problema de otimizao no-linear para neutralizadores viscoelsticos pode ser

definido por (BAVASTRI et al., 2007)

"! @&E #_ $ _ (105)sendo que

@&E b%&FGFGF|d |b (106)e

d!d! d! (107) Nas expresses acima, as ! representam as frequncias naturais dos ressonadores, & calculada atravs da Eq. (76), utilizando a equivalncia acstica/mecnica, limite inferior

da banda de frequncia de anlise, o limite superior, o vetor projeto e @&E a funo objetivo ou custo. O problema de otimizao deve obedecer seguinte desigualdade

imposta neste trabalho:

%# ' % ' %C (108)sendo %# e %C os limites inferior e superior, respectivamente, de cada componente do vetor projeto. O mtodo de otimizao utilizado foi o de Quasi Newton (Davidon-Fletcher-Powell)

(ARORA, 1989).

A tcnica de otimizao no-linear proposta em BAVASTRI et al. (2007) permite o uso

de diferentes tipos de neutralizadores dinmicos, podendo-se aplicar tambm, devido sua

generalidade, para o caso acstico de ressonadores de Helmholtz.

42

3.4 Transmissibilidade

Para um sistema linear elementar sob excitao estacionria , a autocorrelao da resposta dada por (BENAROYA e HAN, 2005) _e X X RfRg_HHe g ffgIIII (109) R a funo resposta ao impulso do sistema.

Ao se aplicar a transformada de Fourier na funo de autocorrelao _, obtm-se a densidade espectral de potncia Sd, que uma em funo da frequncia. Ou seja, Sd " X _e#%FJeII (110)na qual e representa a variao do tempo .

Substituindo a Eq. (109) na Eq. (110) e fazendo h e g f, decorre que a densidade espectral entre a resposta e a excitao

Sd " X #%FJHX X RfRg_HHhfgIIII IeII (111) Simplificando a Eq. (111), chega-se a

Sd X Rf#%FKfII X Rg#%FgII " X _HHh#%FLhII . (112) Portanto,

Sd ididS((d (113)onde id a funo resposta em frequncia do sistema e representa o complexo conjugado.

A Eq. (113) pode tambm ser escrita da forma

Sd |id|S((d. (114)A Eq. (114) o resultado fundamental para respostas e excitaes aleatrias e sistemas

lineares, posto que relaciona a densidade espectral de sada S((d com a densidade espectral de entrada Sd e o mdulo da funo resposta em frequncia do sistema |id|. A partir

43

dela, o mdulo da funo resposta em frequncia (FRF) pode ser obtido atravs da relao

entre as densidades espectrais de excitao e resposta, uma vez que

|id| >F>F (115) Essa relao pode ser extendida para um sistema linear no elementar, com vrias

excitaes e respostas. Assim sendo, uma transmissibilidade, entendida como razo entre duas

respostas em pontos distintos, para uma mesma excitao, pode ter seu mdulo calculado

atravs de

|,d| >FM F (116) na qual (NN a densidade espectral da resposta em um ponto do sistema e (NN= a densidade espectral da resposta em outro ponto deste.

No caso de uma anlise em uma cavidade acstica, pode-se dizer que a

transmissibilidade a relao entre duas respostas de presso medidas em dois pontos

distintos, para uma dada condio de excitao.

44

4 SIMULAO NUMRICA

Com o objetivo de implementar a metodologia proposta, foram realizadas simulaes

numricas em uma cavidade acstica. Ela consistia em um duto de seo transversal circular

de 0,175" de dimetro e 2" de comprimento, conforme pode ser visto na Figura 21. Neste captulo, so calculados os parmetros modais da cavidade acstica acima mencionada,

atravs de um modelo de elementos finitos construdo no software ANSYS, ao passo que o

projeto timo dos ressonadores implementado atravs de cdigos prprios, desenvolvidos

pelo grupo de pesquisa GVIBS/CNPq.

Figura 21 Cavidade acstica de seo transversal circular utilizada nas simulaes numricas.

Aps a utilizao dos cdigos prprios, desenvolvidos na linguagem SCILAB,

encontram-se os parmetros timos dos ressonadores, seguindo a filosofia de BAVASTRI et

al. (2007). Com os parmetros timos, possvel calcular, a partir das Eqs. (1) e (2), os

parmetros geomtricos dos ressonadores. Para verificar se estes parmetros geomtricos

esto corretos, foram realizadas simulaes numricas em um modelo feito no software

ANSYS. Assim, as frequncias naturais dos ressonadores obtidas via elementos finitos foram

comparadas com aquelas obtidas analiticamente e via otimizao.

Por ltimo, os ressonadores so acoplados na cavidade acstica e uma anlise modal e

outra harmnica foram realizadas via ANSYS. O resultado de resposta, assim como a anlise

45

modal, permite verificar o comportamento dinmico da cavidade acstica com os

ressonadores.

4.1 Caractersticas do Duto

A cavidade acstica utilizada neste trabalho foi um duto de madeira itaba. Devido s

caractersticas dimensionais do duto e s propriedades da madeira utilizada, foi

desconsiderada no modelo a interao fluido-estrutura, ou, o que equivalente, o duto foi

considerado como sendo de paredes rgidas. Nas Figuras 22 e 23 podem ser vistos uma

ilustrao do duto e um corte longitudinal, respectivamente. Observa-se que, a partir da

Figura 23, que os furos de menor tamanho, nas extremidades do duto, servem para posicionar

os microfones de medio, enquanto os furos na parte central, maiores, servem para colocar

os atuadores de controle (ressonadores).

Figura 22 Esquema da cavidade acstica.

46

Figura 23 Corte longitudinal da cavidade acstica.

A frequncia de corte para esse duto de 980Hz. Abaixo dessa frequncia, tm-se ondas

planas. Esta frequncia pode ser calculada atravs de (LIMA, 2001):

@O8 & (117)na qual @O8 a frequncia de corte e j a maior medida transversal do duto. Neste trabalho, foi considerado a velocidade do som de 343m/s, que a velocidade no ar numa temperatura

de 10oC (KINSLER et al., 1982).

4.2 Caracterizao da Cavidade Acstica - Parmetros Modais

Para obter os parmetros modais da cavidade apresentada nas Figuras 22 e 23, foi

utilizado um modelo de elementos finitos construdo no software ANSYS. Para a criao da

malha, utilizou-se o elemento FLUID30 tridimensional (considerando estrutura rgida, ou

seja, sem interao fluido-estrutura). Como condio de contorno, ambas as extremidades

foram consideradas abertas.

Uma anlise modal foi realizada para se obter as 10 primeiras frequncias naturais da

cavidade. Essas frequncias podem ser vistas na Tabela 2.

Tabela 2 Frequncias naturais da cavidade acstica obtidas numericamente.

47

As Figuras 24 e 25Figura 24 mostram a distribuio de presso de dois dos modos de

vibrar calculados do duto, os correspondentes segunda e terceira frequncias naturais,

respectivamente, os quais foram escolhidos para o controle de rudo com os ressonadores.

No foi escolhida a primeira frequncia natural, por se encontrar muito prxima frequncia

de excitao mnima do auto falante utilizado nos experimentos.

Figura 24 Distribuio de presso da segunda frequncia natural.

48

Figura 25 Distribuio de presso da terceira frequncia natural.

4.3 Cdigo Numrico Utilizado para o Projeto dos Ressonadores

Para o projeto dos ressonadores, devido analogia encontrada entre sistemas mecnicos

e acsticos, foi utilizado um cdigo em Scilab desenvolvido pelo grupo GVIBS, com o

objetivo de otimizar dispositivos de controle de vibrao, quais sejam neutralizadores

dinmicos, em estruturas geometricamente complexas. O cdigo permite calcular os

parmetros geomtricos timos de diferentes modelos de sistemas ressonantes, que at o

presente trabalho, eram todos neutralizadores dinmicos para controle de vibraes. Como um

ressonador, pelas caractersticas intrnsecas, possui pouca dissipao de energia acstica, a

faixa de frequncia de controle foi uma faixa estreita ao redor de cada uma das frequncias

naturais escolhidas para controle.

Assim, o mesmo cdigo utilizado no projeto de neutralizadores dinmicos, para controle

de vibraes, permite calcular os parmetros geomtricos dos ressonadores de Helmholtz, em

controle passivo de rudo. Como dados de entrada, ao cdigo devem ser fornecidos os

seguintes parmetros:

Parmetros modais do sistema a controlar cavidade acstica;

Modos a controlar segundo e terceiro modos;

Faixa de frequncia de controle 170 a 280Hz;

49

Localizao dos ressonadores posio dos ns que correspondam aos pontos

de mxima amplitude de presso, ou seja, as localizaes de 1m e 1,33m da

extremidade na qual o auto-falante est instalado, controlando respectivamente o

segundo e o terceiro modo.

Como dados de sada, o programa fornece as frequncias naturais dos ressonadores, as

dimenses desses e a capacidade correspondente de dissipar energia acstica. Importante

ressaltar que esta ltima propriedade no foi considerada no vetor projeto, e sim fixada em um

valor pequeno de referncia, para evitar que a resposta atingisse valores infinitos, o que

justificvel, porque, na prtica, esses dispositivos de controle, assim como todo sistema real,

possuem uma certa capacidade de dissipar energia acstica. Esses dados, quando substitudos

nas Eqs. (80), (81) e (1), podem ser convertidos nos parmetros geomtricos dos ressonadores

de Helmholtz e, assim, conduzir sua realizao fsica. Os parmetros timos encontrados

esto na Tabela 3.

Tabela 3 Parmetros timos dos ressonadores de Helmholtz.

4.4 Obteno dos Parmetros Geomtricos

Utilizando a analogia entre sistemas vibrantes e acsticos proposta no terceiro captulo,

possvel converter os parmetros fornecidos pelo programa em Scilab para o projeto de

neutralizadores dinmicos em um ressonador de Helmholtz equivalente.

A partir das Eqs. (1) e (2) utilizadas para determinar a frequncia natural de um

ressonador de Helmholtz foram encontrados os parmetros geomtricos timos dos

ressonadores. Para a Eq. (2), relativo ao dimensionamento do pescoo, aplicou-se o fator de

correo no valor de 1,2. Para definir este valor de correo, AUGUST et al. (2009)

estudaram as vrias sugestes da literatura em relao a esse tpico, realizaram e compararam

e chegaram concluso que o valor de correo de 1,2 provoca uma frequncia natural mais

prxima do valor obtido analiticamente, conforme discutido no Apndice B.

50

Os clculos apresentados no Apndice C foram aplicados na gerao das geometrias dos

ressonadores de Helmholtz, que devem acondicionar a cavidade acstica apresentada

anteriormente, na faixa de frequncia de interesse. Os parmetros geomtricos, obtidos aps a

aplicao das equaes analticas do ressonador de Helmholtz, so apresentados na Tabela 4.

Tabela 4 Parmetros geomtricos dos ressonadores de Helmholtz.

4.5 Estudo da Eficcia do Ressonador Atravs de um Modelo de Elementos Finitos

Uma vez determinados os parmetros geomtricos timos dos ressonadores, modelos

desses, com as dimenses encontradas, foram implementados no software ANSYS. O objetivo

desse estudo era verificar se as dimenses encontradas conduziram s frequncias naturais dos

ressonadores necessrias para o controle do segundo e do terceiro modos do duto.

Para a criao da malha dos ressonadores da Tabela 3, utilizou-se o elemento FLUID30

tridimensional, considerando a hiptese de estrutura com parede rgida. Como condio de

contorno, aplicou-se presso relativa nula na extremidade aberta do pescoo. Ao tentar se

aproximar as frequncias naturais de cada um dos ressonadores com o valor timo, foi

necessrio fazer alguns ajustes nas dimenses dos mesmos.

As novas dimenses dos ressonadores encontradas, relacionadas na Tabela 5, so tais

que a frequncia natural obtida atravs do modelo de elementos finitos seja a mais prxima da

desejada, conforme Tabela 4.