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Volumes de Sólidos de Revolução

Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP

CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Volumes de Sólidos de Revolução

1.O método do disco

2.O método da arruela

3.Aplicação

1. O método do disco

Conforme a figura a seguir, obtém-se umsólido de revolução fazendo-se uma região planarevolver em torno de uma reta. A reta é chamadaeixo de revolução.

1. O método do disco

1. O método do disco

Para deduzir uma fórmula que nos permitaachar o volume de um sólido de revolução,consideremos uma função contínua f, não-negativano intervalo [a, b]. Suponhamos a área da regiãoaproximada por n retângulos, todos com mesmalargura Dx, conforme a figura a seguir.

1. O método do disco

n → ∞

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1. O método do disco

Fazendo os retângulos revolverem em tornodo eixo x, obtemos n discos circulares, cada umdos quais tem volume dado por

2( )if x x ⋅ ∆ π

O volume do sólido formado pela revoluçãoda região em torno do eixo x é aproximadamenteigual à soma dos volumes dos n discos. Além disso,tomando o limite quando n tende para o infinito,podemos ver que o volume exato é dado por umaintegral definida. Este resultado é chamado oMétodo do Disco.

1. O método do disco

O Método do Disco

O volume do sólido formado pela revolução, em tornodo eixo x, da região delimitada pelo gráfico de f e peloeixo x (a ≤ x ≤ b), é

[ ]2Volume ( )

b

af x dx= ∫π

1. O método do disco

Exemplo 1: Determine o volume do sólido formadopela revolução, em torno do eixo x, da regiãodelimitada pelo gráfico de f (x) = -x2 + x e pelo eixo x.

1. O método do disco

Inicialmente fazemos um esboço da regiãodelimitada pelo gráfico de f e pelo eixo x.Conforme a figura a seguir, tracemos um retângulorepresentativo cuja altura é f (x) e cuja largura é ∆x.

1. O método do disco

2Raio ( )f x x x= = − +

1. O método do disco

[ ]1 2

0Volume ( )f x dx= ∫π

( )1 22

0x x dx= − +∫π

Método do Disco

Substituir f (x)

Determinando a antiderivada

Aplicando o Teorema Fundamental

( )1 4 3 2

02x x x dx= − +∫π

15 4 3

05 2 3x x x

= − +

π

unidades cúbicas0,105 30

= ≈π

Desenvolvendo o integrando

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1. O método do disco

OBS: No Exemplo 1, todo o problema foi resolvidosem apelar para o esboço tridimensional mostradona figura anterior, à direita. Em geral, paraestabelecer a integral para o cálculo do volume deum sólido de revolução, é mais útil um esboçográfico da região plana do que do próprio sólido,porque o raio se torna mais visível na região plana.

2. O método da arruela

Podemos ampliar o Método do Disco paracalcular o volume de um sólido de revolução queapresente um buraco. Consideremos uma regiãodelimitada pelos gráficos de f e g, conforme afigura a seguir (lado esquerdo).

2. O método da arruela

2. O método da arruela

Se a região revolve em torno do eixo x,podemos determinar o volume do sólido resultanteaplicando o Método do Disco a f e g e subtraindoos resultados.

[ ] [ ]2 2Volume ( ) ( )

b b

a af x dx g x dx= −∫ ∫π π

Escrevendo esta expressão como uma únicaintegral, obtemos o Método da Arruela.

O Método da Arruela

Sejam f e g contínuas e não-negativas no intervalofechado [a, b]. Se g (x) ≤ f (x) para todo x no intervalo,então o volume do sólido gerado pela revolução, emtorno do eixo x, da região delimitada pelos gráficos def e g (a ≤ x ≤ b), é

f (x) é o raio exterior e g (x) é o raio interior.

[ ] [ ]2 2Volume ( ) ( )

b b

a af x dx g x dx= −∫ ∫π π

2. O método da arruela

2. O método da arruela

Note que, na figura anterior (à direita), osólido de revolução tem um buraco. Além disso, oraio do buraco é g (x), o raio interior.

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Exemplo 2: Calcule o volume do sólido gerado pelarevolução, em torno do eixo x, da região delimitadapelos gráficos de

2. O método da arruela

2( ) 25 e ( ) 3f x x g x= − =

conforme a figura a seguir.

2. O método da arruela

Determinemos primeiro os pontos deinterseção de f e g igualando f (x) e g (x) e resol-vendo em relação a x.

2. O método da arruela

( ) ( )f x g x=

225 3x− =

Igualar f (x) e g (x)

Substituir f (x) e g (x)

Resolver em relação a x

Elevar ambos os membros ao quadrado225 9x− =2 16x =

4x = ±

Tomando f (x) como raio exterior e g (x) comoraio interior, podemos determinar o volume dosólido como a seguir.

2. O método da arruela

Método das Arruelas

[ ] [ ]( )4 2 2

4Volume ( ) ( )f x g x dx

−= −∫π

( ) ( )24 22

425 3x dx

−

= − −

∫π

Substituir f (x) e g (x)

2. O método da arruela

( )4 2

416 x dx

−= −∫π Simplificar

43

4

163x

x−

= −

π Determinar a antiderivada

polegadas cúbicas256

268,08 3

= ≈π

3. Aplicação

Exemplo 3: De acordo com o regulamento, umabola de rugby pode ter como modelo um sólidoformado pela revolução, em torno do eixo x, dográfico de

2( ) 0,0944 3,4, 5,5 5,5f x x x= − + − ≤ ≤

conforme a figura a seguir. Utilize este modelopara determinar o volume de uma bola de rugby.(No modelo, x e y são dados em polegadas.)

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3. Aplicação

OBS: Obtém-se um sólido em forma de uma bola de rugby (futebolamericano) pela revolução de um segmento de parábola em torno do eixo x.

3. Aplicação

Para determinar o volume do sólido de revolução,aplique o Método do Disco.

Método do Disco[ ]5 2

5Volume ( )f x dx

−= ∫π

( )5 22

50,0944 3,4x dx

−= − +∫π Substituir f (x)

polegadas cúbicas232 ≈

3. Aplicação

Exemplo 4: Determine o volume do sólido obtidopela rotação da região limitada por y = x3, y = 8 ex = 0 ao redor do eixo y.

3. Aplicação

Como a região é girada ao redor do eixo y,faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente aoeixo y e, portanto, integrar em relação a y.

3. Aplicação

Se fatiarmos a uma altura y, obteremos umdisco circular com raio x, onde x = y1/3.

3(y)f y=

[ ]2Volume ( )

b

af y dy= ∫π

3. Aplicação

Como o sólido está entre y = 0 e y = 8, seuvolume é

283

0Volume )y dy = ∫π

8 821/3 2/3

0 0Volume y dy y dy = = ∫ ∫π π

885/3 5/3

00

Volume3 35 5

y y = = π π

[ ]8

0Volume

3 9632 0

5 5= − = ππ