Dimensao de Krull

Juliana Fernandes Larrosa ra: 089366Julio Cesar Valencia Guevara ra: 099814

Thais Borges Damacena ra: 099887

4 de julho de 2012

Resumo

Neste trabalho apresentamos algumas ferramentas para o calculo da Dimensaode Krull de aneis. Para isso, introduzimos a nocao de extensao integral de aneis eapresentamos de maneira concisa alguns resultados relacionados a este conceito, quesao utilizados para a demonstracao dos Teoremas de Going Up e Going Down. Alemdisso, enunciamos e demonstramos os Teoremas do Ideal Principal e Generalizado deKrull, sendo a primeira consequencia destes teoremas o calculo da dimensao de aneisde polinomios. Ao final, fazemos alguns exemplos e mostramos a existencia de umanel Noetheriano com dimensao de Krull infinita.

Ao longo deste trabalho, R e um anel comutativo com unidade diferente de zero.

1 Dependencia Integral e Extensoes Integrais

O conceito de dependencia integral exerce um papel fundamental em teoria dos numerose tambem na teoria da dimensao de algebras associadas a variedades algebricas. Iniciamoscom a definicao basica:

Definicao 1.1. Dada uma extensao de aneis B/R um elemento x ∈ B e dito ser integral(ou inteiro) sobre R se x satisfaz uma equacao do tipo

xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0

com 1 ≤ n ∈ N e ai ∈ R, ∀i, ou seja, se x e raiz de um polinomio monico com coeficientesem R.

Uma caracterizacao dos elementos integrais de um anel e dada pela seguinte proposicao.

Proposicao 1.2. Dados uma extensao de aneis B/R e um elemento x ∈ B. Entao asseguintes condicoes sao equivalentes:

1

1. O elemento x e integral sobre R.

2. O anel R[x] e um R-modulo finitamente gerado.

3. Existe um subanel C de B tal que: R ⊂ B, C e um R−modulo finitamente gerado ex ∈ C.

Parte deste resultado pode ser generalizado, utilizando inducao sobre n, dando origemao corolario a seguir.

Corolario 1.3. Sejam B/R extensao de aneis e x1, · · · , xn ∈ B. Entao: x1, · · · , xn ∈ Bsao integrais sobre R se, e somente se, R[x1, · · · , xn] e R−modulo finitamente gerado. Nestecaso, todo elemento y ∈ R[x1, · · · , xn] e integral sobre R.

Proposicao 1.4. Seja B/R uma extensao de aneis. Se R′ = {x ∈ B : x e integral sobreR} entao R′ e subanel de B que contem R.

Definicao 1.5. Seja B/R uma extensao de aneis. O fecho inteiro de R em B e o subanelR′ = {x ∈ B : x e integral sobre R} de B. Quando R′ = B, dizemos que a extensao B/Re integral e quando R′ = R dizemos que R e integralmente fechado em B. Mais ainda,quando R e domınio e R e integralmente fechado em K = cfr(R), dizemos simplesmenteque R e integralmente fechado.

A proxima proposicao nos diz apenas que a propriedade de uma extensao ser inteira euma propriedade transitiva, e e de facil verificacao.

Proposicao 1.6. Sejam B/C/R extensoes de aneis, isto e B/C e C/R. Se B/C e C/Rsao extensoes inteiras entao B/R e uma extensao inteira.

Corolario 1.7. Se B/R e uma extensao de aneis, entao o fecho integral de R em B eintegralmente fechado em B, isto e, R′ = (R′)′.

Um resultado que vale a pena ser enunciado, e o seguinte:

Proposicao 1.8. Se D e um domınio fatorial entao D e integralmente fechado.

Apos enunciarmos alguns resultados basicos sobre extensoes integrais, vamos iniciar umestudo sobre os ideais primos de R e B quando B/R e integral.

Lema 1.9 (Lema de Noether). Se B/R e uma extensao integral de domınios, entao B ecorpo se, e somente se, R e corpo.

Demonstracao. (⇒) Suponhamos primeiramente que B seja um corpo. Queremos mostrarque R e um corpo, ou seja, para todo x 6= 0, existe y ∈ R \ {0} tal que xy = 1.

Tomemos x ∈ R \ {0} ⊂ B \ {0}. Como B e corpo, existe y ∈ B \ {0} elemento inversode x. Vamos provar que y ∈ R e portanto, x e invertıvel em R.

2

Como a extensao B/R e integral, y satisfaz um polinomio monico

f(X) =n∑

i=0

an−iXn−i ∈ R[X]

com ai ∈ R para todo 1 ≤ i ≤ n− 1. Assim

n∑i=0

an−iyn−i = 0. (?)

E claro que xy = 1 implica xnyn = 1, portanto, multiplicando (?) por −xn, obtemos

0 = −xn(n∑

i=0

an−iyn−i) =

n∑i=0

(−an−i)(xnyn−i) =n∑

i=0

(−an−i)xi. (??)

Deste modo, de (??) decorre que

−1−n∑

i=1

an−ixi = 0⇒ −

n∑i=1

an−ixi = 1⇒ x(−

n∑i=1

an−ixi−1) = 1

Pela unicidade do elemento inverso, segue que y = −∑n

i=1 an−ixi−1 ∈ R, pois cada

an−i, xi−1 ∈ R para 1 ≤ i ≤ n− 1. Portanto, R e um corpo.

(⇐) Reciprocamente, suponhamos que R seja corpo e tome x ∈ B \ {0}.Como a extensao B/R e integral, tomemos f(X) ∈ R[X] um polinomio monico de

menor grau que se anula em x, digamos

f(X) =n∑

i=0

an−iXn−i.

Assim

n∑i=0

an−ixn−i = 0. (♦)

Observe que a0 6= 0. De fato, suponha a0 = 0, assim

f(X) =n−1∑i=0

an−iXn−i = X(

n−1∑i=0

an−iXn−i−1) = Xg(X),

com g(X) ∈ R[X] polinomio monico e ∂g < n. Mas f(X) = Xg(X) implica 0 = f(x) =xg(x), como x 6= 0 e B e domınio entao g(x) = 0, o que e uma contradicao com a minima-lidade do grau de f .

3

Como R e corpo, entao existe a−10 ∈ R. Tomemos b = −(a−10 ) ∈ R, multiplicando (♦)por b, obtemos

0 = b(n∑

i=0

an−ixn−i) =

n−1∑i=0

ban−ixn−i + ba0 = x(

n−1∑i=0

ban−ixn−i−1)− 1.

Portanto x(∑n−1

i=0 ban−ixn−i−1) = 1. Deste modo,

y = b(n−1∑i=0

an−ixn−i−1) ∈ B,

e o elemento inverso de x. Donde concluımos que B e um corpo.

Uma questao importante e estudar o comportamento de uma extensao integral B/Rcom relacao a localizacao de aneis e quociente por um ideal. Observemos que se B/R euma extensao de aneis, e J ⊂ B e um ideal entao I = J ∩R e um ideal e a funcao

ϕ : RI

→ BJ

r + I 7→ r + J

e um homomorfismo injetor de aneis e portanto, RI' ϕ(R

I). Neste caso, identificamos R

I

com {r + J : r ∈ R} e dizemos que BJ/R

I.

Alem disso, dado S ⊂ R um conjunto multiplicativamente fechado temos S−1B/S−1R.

Proposicao 1.10. Seja B/R uma extensao integral de aneis. Entao:

1. Se S ⊂ R e multiplicativamente fechado, entao S−1B/S−1R e integral.

2. Se J ⊂ B e ideal e I = J ∩R entao BJ/R

Ie integral.

Como consequencia da Proposicao 1.10 e do Lema 1.9, temos o seguinte resultado:

Proposicao 1.11. Seja B/R uma extensao integral. Entao

1. Se q ∈ Spec(B) e ℘ = q ∩ R, entao q e ideal maximal de B se, e somente se, ℘ eideal maximal de R.

2. Se q, q′ ∈ Spec(B) com q ⊂ q′ e ℘ = q ∩R == q′ ∩R, entao q = q′.

O proximo teorema e muito importante em teoria de Dimensao de Krull de aneis, quefalaremos posteriormente. O Teorema de Going Up caracteriza os ideais primos de Rquando B/R e uma extensao integral.

Teorema 1.12 (Going Up). Seja B/R uma extensao integral de aneis.

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1. Se ℘ ∈ Spec(R) entao existe q ∈ Spec(B) qual que ℘ = q ∩R.

2. Dados m,n ∈ N com 1 ≤ m < n. Sejam ℘1 ⊆ ℘2 ⊆ · · · ⊆ ℘n e q1 ⊆ q2 ⊆ · · · ⊆ qmcom ℘i ∈ Spec(R) para 1 ≤ i ≤ n e qi ∈ Spec(B) para 1 ≤ i ≤ m. Se qi ∩ R = ℘i

para todo 1 ≤ i ≤ m, entao existem qm+1, · · · , qn ∈ Spec(B), tais que qm ⊂ qm+1 ⊂· · · ⊂ qn e ℘j = qj ∩R para todo m+ 1 ≤ j ≤ n.

Demonstracao. 1. Seja ℘ ∈ Spec(R). Considere S = R \ ℘ conjunto multiplicativamentefechado. Sabemos que R℘ = S−1R e um ideal local com ideal maximal S−1℘.

Pelo primeiro item da Proposicao 1.10, temos que S−1B/R℘ e uma extensao integral.Tome M um ideal maximal de S−1B e consideremos

M∩R ={ms∈M :

m

s=r

1, r ∈ R, s ∈ S

}⊂ R℘.

Como M e maximal, aplicando o item (1) da Proposicao 1.11 para a extensao integralS−1B/R℘, temos que M∩ R e um ideal maximal de R℘. Sendo R℘ um anel local, segueque M∩R = S−1℘.

Alem disso, M e um ideal primo em S−1B, pois e maximal, assim M = S−1q paraalgum q ∈ Spec(B) tal que q ∩ S = 0 (vide Proposicao 3.11 de Atiyah [2]).

Afirmacao: q ∩R = ℘.Com efeito, temos a igualdade de conjuntos

S−1℘ = M∩R{pt

: p ∈ ℘, s ∈ S}

={ms∈M :

m

s=r

1, r ∈ R, s ∈ S

}Dado x ∈ ℘ entao x

1= y

spara algum y ∈ Q e s ∈ S pela igualdade acima. Assim,

existe t ∈ S tal que t(sx− y) = 0, o que implica (ts)x = ty ∈ q, mas q e primo, portanto,(ts)x ∈ q implica x ∈ q, pois q ∩ S = ∅ e st ∈ S. Daı ℘ ⊆ q ∩R.

Reciprocamente, tome x ∈ q ∩ R, assim, x1∈ M∩ R, logo, existem p ∈ ℘ e s ∈ S tais

que x1

= ps

e portanto, existe t ∈ S tal que t(xs − p) = 0, logo (st)x = ps ∈ ℘. Como ℘ eprimo e st 6∈ ℘, segue que x ∈ ℘, portanto, q ∩R ⊂ ℘. Donde temos a igualdade.

2. Para demonstrar este segundo item, e suficiente mostrar o resultado para m = 1 e n =2 e depois basta proceder indutivamente. Deste modo, consideremos ℘1 ⊂ ℘2 ∈ Spec(R) eq1 ∈ Spec(B) com ℘1 = q1 ∩R.

Como ℘1 ⊂ R e q1 ⊂ B com ℘1 = q1∩R, pelo item 1 da Proposicao 1.10, temos Bq1

= R℘1

e uma extensao integral de aneis.Ainda, ℘2

℘1∈ Spec( R

℘1) pois, ℘2

℘1nada mais e do que a projecao canonica de ℘2 no quociente

R℘1

. Assim, pelo primeiro item desta proposicao, existe q2q1∈ Spec( B

q1) e

q2q1∩ R

℘1

=℘2

℘1

.

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Como os ideais primos de Bq1

estao em bijecao com os ideais primos de B que contem q1,segue que q1 ⊆ q2, tomando as imagens inversas pela projecao na igualdade acima, temosque q2 ∩R = ℘2, o que conclui a demonstracao.

Alem do Teorema de Going Up, temos tambem o Teorema de Going Down que nosda um resultado semelhante ao segundo item do Teorema de Going Up para cadeias des-cendentes, porem, com a hipotese de que B/R seja uma extensao integral de domınios eR seja integralmente fechado. Vamos agora introduzir alguns conceitos e resultados parapodermos enunciar e demonstrar tal teorema.

Definicao 1.13. Seja B/R uma extensao de aneis, I ⊂ R um ideal e x ∈ B. Dizemos quex e integral (ou inteiro) sobre I se x satisfaz a equacao

xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0

com 1 ≤ n ∈ N e {ai} ∈ I,∀i.

Lema 1.14. Sejam B/R uma extensao de aneis, R′ o fecho integral de R em B e I ⊂ R umideal. Se I ′ = {x ∈ B : x e integral sobre I} (fecho integral de I em B) entao I ′ = r(IR′).

Lema 1.15. Sejam B/R uma extensao de domınios, R um domınio integralmente fechado,I ⊂ R um ideal de R e x ∈ B um elemento integral sobre I. Se K = cfr(R) entao x ealgebrico sobre K e o polinomio mınimo p(X) ∈ K[X] de x sobre K e da forma

p(X) = Xm + an−1Xn−1 + · · ·+ a1X + a0,

com ai ∈ r(I) para todo 1 ≤ i ≤ n− 1.

Para mostrarmos o Teorema do Going-down usaremos o seguinte lema tecnico.

Lema 1.16. Seja B/R uma extensao integral de domınios com R integralmente fechado,℘1, ℘2 ∈ Spec(R), ℘2 ⊆ ℘1 e Q1 ∈ Spec(B) tal que Q1 ∩ R = ℘1. Entao (℘2)

e ∩ R = ℘2,onde a extensao e respeito ao monomorfismo R→ BQ1.

Demonstracao. Desde que ℘2 ⊆ (℘2)e temos imediatamente ℘2 ⊆ (℘2)

e ∩ R. Reciproca-mente, seja 0 6= x ∈ (℘2)

e ∩ R e observe que o ideal gerado por ℘2 em B, que denotamospor ℘2B, nao intersecta B −Q1 pois ℘2 ⊆ ℘1 ⊆ Q1. Mais ainda, p

t∈ (℘2B)e implica

p =∑

bipi, pi ∈ ℘2,

p

t=

∑ bit

pi1∈ (℘2)

e,

logo (℘2B)e = (℘2)e.

6

Suponha que x /∈ ℘2 com x = yt, y ∈ ℘2B, t ∈ B − Q1. Como a extensao B/R e

integral segue que r(℘2B) e o fecho integral de ℘2 em B logo y e integral em ℘2. PeloLema 1.15 y e algebrico em cfr(R) (corpo de fracoes de R) e o polinomio mınimo P (X) =Xn + an−1X

n−1 + . . .+ a0 tem coeficientes ai ∈ r(℘2) = ℘2. Em resumo, vale

yn + an−1yn−1 + . . .+ a0 = 0, (1)

como x 6= 0 entao e unidade no corpo de fracoes e multiplicando (1) por x−n temos

tn + an−1x−1tn−1 + . . .+ a0x

−n = 0, (2)

onde t = yx. Daqui temos que g(X) = Xn + an−1x

−1Xn−1 + . . . + a0x−n e o polinomio

minimal de t ∈ B − Q1 pois de (2) tambem pode-se obter (1). Mais t e integral emR e aplicando novamente o Lema 1.15 (com I = R) temos que an−ix

−i = ri ∈ R, logoxiri = an−i ∈ ℘2 e x /∈ ℘2 implica ri ∈ ℘2 para toda i = 0, . . . , n − 1. Isto implica quetn = −(rn − 1tn−1 + . . .+ r0) ∈ ℘2B ⊆ Q1, o que e absurdo pois t /∈ Q1.

Como uma consequencia temos o seguinte resultado importante.

Teorema 1.17 (Goin-down). Seja B/R uma extensao integral de domınios com R sendointegralmente fechado (i.e. integralmente fechado em cfr(R)) e sejam m,n ∈ N, com1 ≤ m < n.

Se ℘1 ⊇ ℘2 ⊇ · · · ⊇ ℘n, ℘i ∈ Spec(R), Q1 ⊇ Q2 ⊇ · · · ⊇ Qm, Qi ∈ Spec(B)e ℘i = R ∩ Qi para i = 1, 2, . . . ,m, entao existem Qm+1, . . . ,Qn ∈ Spec(B) tais queQm+1 ⊇ . . . ⊇ Qn e ℘j = R ∩Qj para todo j = m+ 1, . . . , n.

Demonstracao. Basta mostrar o teorema para o caso m = 1, n = 2. Defina S = R − ℘2

e a famılia F := {J ( BQ1 : J ideal, (℘2)e ⊆ J, J ∩ S = ∅}. Observe que (℘2)

e ∈ F ,pois pelo lema anterior (℘2)

e ∩ S = ℘2 − ℘2 = ∅ e como ℘2 ∩ (B − Q1) = ∅ segue que(℘2)

e e um subconjunto proprio de BQ1 . Aplicando o Lema de Zorn ao conjunto F coma relacao de ordem parcial dada pela inclusao obtemos um elemento maximal M ∈ F .Mostremos que M e primo em BQ1 , de fato, sejam x, y /∈ M elementos de BQ1 , entaoM ( M + (x) e M ( M + (y), entao pela maximalidade de M existem s1, s2 ∈ Stais que s1 = m1 + a1x e s2 = m2 + a2y para certos m1,m2 ∈ M e a1, a2 ∈ BQ1 , logos1s2 = m1m2 +m1a2y +m2a1x+ a1a2xy ∈M+ (xy) o que implica que xy /∈M, portantoM e primo em BQ1 .

Finalmente, escolha Q2 = (M)c, entao Q2 ∈ Spec(B) e e claro que Q2 ⊆ Q1. Tambempelo fato de ter (℘2)

e ⊆M segue que Q2 ∩R ⊇ (℘2)ec ∩R ⊇ ℘2 por outro ladoM∩S = ∅,

implica Q2 ∩ S = ∅, logo Q2 ∩R ⊂ ℘2.

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2 Dimensao de Krull para Aneis

indent Nesta secao apresentamos os resultados mais importantes da teoria da dimensaode Krull e mostramos algumas aplicacoes destes resultados. Comecamos coma algumasdefinicoes.

Definicao 2.1. Seja R um anel e ℘ ∈ Spec(R). Definimos a altura de ℘, denotada porht(℘), da seguinte forma:

ht(℘) := sup{n ∈ N : existe sequencia ℘0 ⊂ ℘1 ⊂ · · · ⊂ ℘n = ℘, ℘i ∈ Spec(R)}.

Definimos tambem a dimensao de Krull de R, denotada por dimK(R), por

dimK(R) := sup{ht(℘) : ℘ ∈ Spec(R)}.Finalmente, dado um ℘ ∈ Spec(R), definimos a co-altura de ℘, denotada por cht(℘),

como sendo cht(℘) = dimK(R/℘).

A seguir apresentamos um resultado inicial respeito a as definicoes acima.

Proposicao 2.2. Sejam B/R uma extensao inteira de aneis, Q ∈ Spec(B) e ℘ = R∩Q ∈Spec(R). Entao

(i) dimK(B) = dimK(R) e cht(Q) = cht(℘).

(ii) Se R e B sao domınios e R integralmente fechado, entao ht(Q) = ht(℘).

Demonstracao. (i) Observe que, pelo Teorema do Going-up, toda cadeia acendente deprimos em R pode ser levantada para uma cadeia acendente de ideais primos em B, portanto segue que dimK(R) ≤ dimK(B). Por outro lado, se temos uma cadeia de primos emB, Q0 ⊂ Q1 ⊂ · · · ⊂ Qm, a Proposicao 1.11 garante que Q0∩R ⊂ Q1∩R ⊂ · · · ⊂ Qm∩R euma cadeia estritamente crescente de ideais primos em R e portanto dimK(R) ≥ dimK(B).Para a segunda parte de (i) observe que a Proposicao 1.10 implica que a extensao B/Q/R/℘e inteira portanto temos a conclusao da primeira parte.

(ii) Dada uma cadeia descendente do tipo Q1 = Q ⊃ Q2 ⊃ · · · ⊃ Qm a Proposicao 1.11garante que ℘ = Q∩R ⊃ Q2 ∩R ⊃ · · · ⊃ Qm ∩R e uma cadeia descendente de primos emR, portanto ht(Q) ≤ ht(℘). Reciprocamente, uma cadeia descendente de primos do tipo℘ = Q ∩ R ⊃ ℘2 ⊃ · · · ⊃ ℘n pode ser levantada, pelo Teorema de Going-down, para umacadeia de primos de B do tipo Q1 = Q ⊃ Q2 ⊃ · · · ⊃ Qn e portanto ht(Q) ≥ ht(℘).

Precisaremos do seguinte resultado previo.

Lema 2.3. Seja R um anel e ℘ um ideal primo de R. Dado i ∈ N definimos a i-esimapotencia simbolica de ℘ por:

℘(i) = (℘n)ec

em relacao ao homomorfismo R→ R℘. Entao (℘)(i) e ℘-primario.

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Demonstracao. De fato, as inclusoes ℘i ⊆ ℘(i) ⊂ ℘ implicam que r(℘(i)) = ℘. resta somostrar que ℘(i) e primario. Se xy ∈ ℘(i) e y /∈ ℘ temos que xy

1= u

sonde u ∈ ℘i e s /∈ ℘,

logo multiplicando por 1y

segue que x1

= uys

ou seja x ∈ ℘(i) como se queria mostrar.

A seguir apresentamos um dos resultados centrais da teoria da dimensao para aneisnoetherianos conhecido como o Teorema de Krull para ideais principais.

Teorema 2.4. Sejam R um anel noetheriano e I=(a) um ideal principal proprio de R.Se ℘ e um ideal primo minimal de I, entao ht(℘) ≤ 1. Mais ainda se a e regular entaoht(℘) = 1.

Demonstracao. Observe que ht(℘) = dimK(R℘) e que se ℘ e primo minimal de (a) entao ℘e

em R℘ e primo minimal de (a)e. Assim podemos supor que (R,℘) e anel local com r(a) = ℘e mostraremos que dimK(R℘) ≤ 1. Vamos supor que dimK(R℘) > 0 pois caso contrarionao ha nada a provar. Entao existe um primo Q ( ℘, bastaria mostrar que ht(Q) = 0 ouseja dimK(RQ) = 0. Agora, como r(a) = ℘ entao a /∈ Q.

Para cada i ∈ N considere Q(i) como no lema anterior, entao sabemos que Q(i) e Q-primario (pelo lema anterior). Claramente para todo i temos Q(i) ⊇ Q(i+1) isto permitetomar a seguinte cadeia descendente de ideais de R

(a):

(a) +Q(1)

(a)⊇ (a) +Q(2)

(a)⊇ · · · .

Mas o fato de R(a)

noetheriano e, como e facil de verificar, dimK( R(a)

) = 0 implicam que

R(a)

e um anel artiniano. Logo existe n ∈ N tal que (a)+Q(n)

(a)= (a)+Q(n+1)

(a)ou seja

(a) +Q(n) = (a) +Q(n+1). (3)

A partir deste igualdade mostramos que

Q(n) = (a)Q(n) +Q(n+1), (4)

De fato so precisamos mostrar que Q(n) ⊆ (a)Q(n) +Q(n+1), se x ∈ Q(n), segue de (3) quex = ra + q, r ∈ R e q ∈ Q(n+1) ⊆ Q(n), portanto, ar ∈ Q(n) e a /∈ Q por definicao de idealprimario segue que r ∈ Q(n) assim x ∈ (a)Q(n) +Q(n+1). Como (R,℘) e local e (a) esta noradical de Jacobson de R a igualdade (4) e o Lema de Nakayama implicam Q(n) = Q(n+1)

tomando extensao temos (Qn)e = (Qn+1)e e novamente por Nakayama segue que (Qn)e = 0,mas (Qn)e e uma potencia do unico ideal maximal de RQ, logo o radical de (0) e QRQ etemos um unico primo implicando que dimK(RQ) = 0. Finalmente, se a e regular entao naopode estar em um primo minimal de R pois eles estao contidos no conjunto de divisores dezero como afirma o primeiro exercıcio da ultima lista. Logo ℘ nao pode ser primo minimalde R e portanto ele contem um outro primo minimal e portanto ht(℘) = 1.

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Agora apresentamos um resultado que e uma consequencia do teorema anterior.

Lema 2.5. Sejam R um anel noetheriano ℘, ℘′,Q1, . . . ,Qs ideais primos de R com ℘′ ⊂ ℘e ℘ 6⊆ Qi para todo i. Se existe Q′ ∈ Spec(R) com ℘′ ⊂ Q′ ⊂ ℘, entao existe Q ∈ Spec(R)com ℘′ ⊂ Q ⊂ ℘ e Q 6⊂ Qi.

Demonstracao. Observe que se ℘ ⊂ ∪iQi ∪ ℘′ entao por um resultado anterior ℘ tem queestar contido em algum dos primos que faz parte da uniao o que contradiz as hipoteses.Portanto, existe um x ∈ ℘ tal que x /∈ Qi para todo i e x /∈ ℘′. Tome agora I =(x)R℘ +℘′R℘ ⊆ ℘R℘ e sejaM um primo minimal de I em R℘. Logo escolha Q ∈ Spec(R)tal queM = QR℘ e como ℘′R℘ ⊂ I ⊆ QR℘ ⊆ ℘r℘ tomando contracoes fica facilmente que℘′ ⊂ Q ⊆ ℘, mas x ∈ Q logo Q 6⊂ Qi para todo i. Resta somente mostrar a contencaoestrita Q ⊂ ℘.

Aqui assumimos a existencia de Q′. Tome R℘ = R℘

℘′R℘e observe que a existencia de Q′

nos garante que ht( ℘R℘

℘′R℘) ≥ 2. Mas QR℘

℘′R℘e primo minimal de xR℘ e pelo teorema anterior

ht(QR℘

℘′R℘) ≤ 1. Assim QR℘ ⊂ ℘R℘ logo Q ⊂ ℘.

Teorema 2.6. (Teorema generalizado de Krull) Sejam R um anel noetheriano e I um idealproprio de R gerado por m elementos. Se ℘ e primo minimal de I entao ht(℘) ≤ m.

Demonstracao. A prova sera feita por inducao sobre m.Se m = 1, entao o teorema nos garante o resultado.Agora, suponha que o resultado vale para m− 1 e escreva I = (a1, a2, ..., am). Como R

e noetheriano, entao J = (a1, ..., am−1) possui uma decomposicao primaria. Tome q1, ..., qsos primos minimais de J .

Assim se ℘ ⊆ qi para algum i nada temos a provar, ja que, ht(℘) ≤ ht(qi) e por hipotesede inducao, ht(qi) ≤ m− 1. Logo, podemos assumir que ℘ * qi para todo i.

Considere a seguinte cadeia de ideais primos de R:

℘0 = ℘ ⊃ ℘1 ⊃ ℘2 ⊃ ... ⊃ ℘l−1 ⊃ ℘l (5)

Queremos mostrar que l ≤ m e como m > 1 podemos supor l ≥ 2.Agora como ℘0 = ℘ ⊃ ℘1 ⊃ ℘2 e ℘ * qi para todo i, podemos , pelo Lema, encontrar

um ideal primo ℘′1 tal que ℘0 = ℘ ⊃ ℘

′1 ⊃ ℘2 e ℘

′1 * qi para todo i. Se l = 2, acabamos.

Caso contrario, teremos ℘0 = ℘ ⊃ ℘′1 ⊃ ℘2 ⊃ ℘3 com ℘

′1 * qi para todo i e novamente

usando o Lema podemos encontrar um ideal primo ℘′2 tal que ℘0 = ℘ ⊃ ℘

′1 ⊃ ℘

′2 ⊃ ℘3 e

℘′2 * qi para todo i. Se l = 3, acabamos.

Caso contrario, repetimos o argumento. Ou seja, repetindo o processo ate l podemosassumir que na cadeia 5 o ideal ℘l−1 satisfaz ℘

′

l−1 * qi para todo i.

Seja R = RJ

e como ℘ e ideal primo minimal de I tem-se ℘ = ℘J

e primo minimal de

amR. Logo ht(℘) ≤ 1, mas ℘ nao e primo de R e portanto ht(℘) = 1.Agora observe que ℘l−1 + J * qi para todo i, pois ℘l−1 * qi para todo i. Logo

℘l−1 = ℘l−1+J

Je um ideal de R que nao esta contido em nenhum primo minimal de R,

10

℘l−1 + J ⊆ ℘ e ht(℘) = 1. Assim, ℘ e primo minimal de ℘l−1 + J . Portanto, ℘℘l+1

e

primo minimal de ℘l−1+J

℘l−1= (a1 + ℘l−1, ..., am−1 + ℘l−1)

R℘l−1

e por hipotese de inducao,

ht( ℘℘l−1

) ≤ m− 1.

Agora, olhando para a sequencia 5 vemos que l − 1 ≤ ht( ℘℘l−1

) ≤ m− 1 e assim l ≤ m.

A seguir apresentamos um exemplo de aplicacao do Teorema 2.6.

Exemplo 2.7. Se (R,m) e local e noetheriano com Spec(R) infinito e existem a, b ∈ Rtais que m =

√(a, b), entao dimKrull(R) = 2.

Demonstracao. Chame I = (a, b). Entao, m =√

(I) = ∩{℘ ∈ Spec(R); I ⊆ ℘}.Seja Q um ideal primo de R, tal que I ⊆ Q.Entao, ∩{℘ ∈ Spec(R); I ⊆ ℘} ⊆ Q ⊂ R. Como m e maximal, temos que Q = m.Logo, m e o unico ideal primo de R que contem I. Mais que isso, observe que se

I = q1 ∩ ... ∩ qn (√qi = ℘i), entao I ⊆ qi ⊆

√qi = ℘i para todo i.

Como cada ℘i e primo e m e o unico ideal primo de R que contem I, temos que m eprimo minimal de I.

Logo, pelo Teorema 2.6, ht(m) ≤ 2.Como todo ideal esta contido em um ideal maximal e R e local, temos que ℘ ⊆m para

todo ℘ ∈ Spec(R). Portanto, ht(m) ≥ 1.Suponha que ht(m) = 1. Como R e noetheriano, (0) tem decomposicao primaria. Sejam

℘1, ..., ℘n os primos associados com (0). Assim, se ℘ e um ideal primo de R, como (0) ⊆ ℘,temos que ℘i ⊆ ℘ para algum i.

Assim, terıamos ℘i ⊆ ℘ ⊆ m. Mas ht(m) = 1, e portanto ℘ = m ou ℘ = ℘i. Ou seja,Spec(R) = {℘1, ..., ℘1,m}. Absurdo, pois por hipotese, Spec(R) e infinito.

Logo, ht(m) = 2. Assim, dimKrull(R) = sup{ht(℘);℘ ∈ Spec(R)} = ht(m) = 2.

Temos a seguinte consequencia do Teorema 2.6.

Corolario 2.8. Seja R um anel noetheriano. Entao temos:

1. Se ℘ ∈ Spec(R) entao ht(℘) ≤ µ(℘), onde µ(℘) e o numero mınimo de geradores de℘.

2. Se (R,m) e local entao dim(R) ≤ dimKmm2 <∞, onde K = R

m.

Demonstracao. 1. imediato do Teorema 2.6.

2. Se xi ∈ m (1 ≤ i ≤ s) sao tais que suas imagens em mm2 formam uma base de m

m2

como espaco vetorial, entao pelo Lema de Nakayama, os xi geram m.

Logo, µ(m) ≤ s = dimkmm2 . Mas, dim(R) = ht(m) ≤ µ(m). E o resultado segue.

11

Vamos agora generalizar a definicao de altura para um ideal proprio qualquer de umanel noetheriano.

Definicao 2.9. Se I e ideal proprio de um anel noetheriano R entao a altura de I e definidacomo sendo ht(I) = min{ht(℘);℘ e primo minimal de I}.

Observacao 2.10. O corolario 2.8 se generaliza para um ideal qualquer de um anel no-etheriano, ou seja, se I e ideal proprio de um anel noetheriano entao ht(I) ≤ µ(I).

Como consequencia dos resultados precedentes temos a seguinte proposicao:

Proposicao 2.11. Se (R,m) e um anel local e noetheriano com dim(R) = n entao existema1, ..., an ∈m de modo tal que

√(a1, ..., an) = m. Mais ainda dim(R) = min{µ(q); qe m - primario}.

Demonstracao. Novamente faremos por inducao sobre n.Observe que se n = 0, entao

√(0) = m.

Suponha que o resultado vale para n − 1. Sejam q1, ..., qs os primos minimais de m.Como dim(R) = n tome uma cadeia maxima de ideais primos de R, a saber:

℘0 = m ⊃ ℘1 ⊃ ℘2 ⊃ ... ⊃ ℘n−1 ⊃ ℘n (6)

Como 6 e cadeia maxima de ideais temos que ℘n e um dos qi e ℘n−1 * ∪iqi.Tome x ∈ ℘n−1 tal que x /∈ qi para todo i e considere o anel local (R,m) onde R = R

(x)

e m = m(x)

. Pela escolha de x e por 6 ser cadeia maxima tem-se que dim(R) = n− 1.

Assim por hipotese de inducao, existem a2, ..., an ∈m com m =√

(a2, ..., an).Logo, como (R,m) e anel local e q e m − primario se e somente se

√q = m, entao,√

(a1, ..., an) = m, onde a1 = x.

O proximo resultado e uma consequencia imediata da Proposicao 2.11 e pode ser vistacomo uma recıproca do Teorema 2.6.

Teorema 2.12. Se R e anel noetheriano e ℘ ⊂ R e um ideal primo de altura m entaoexistem a1, ..., am ∈ ℘ tal que ℘ e primo minimal de I = (a1, ..., am).

Demonstracao. Tome ℘ ∈ Spec(R) de altura m, logo dim(R℘) = m. Pela Proposicao 2.11,sabemos que existem a1, ..., am ∈ ℘ com ℘R℘ =

√IR℘, onde I = (a1, ..., am) e portanto ℘

e primo minimal de I.

O objetivo agora e mostrar que se R e um anel noetheriano com dimensao de Krullfinita n entao a dimensao de Krull do anel de polinomios R[X] e n+ 1.

Para isso, apresentamos a seguinte proposicao com uma serie de afirmacoes a respeitodo comportamento da extensao (contracao) de ideais de R para R[X] (de R[X] para R).

12

Proposicao 2.13. Sejam R um anel e R[X] o anel de polinomios em uma variavel sobreR.

1. Se I ⊂ R e ideal entao IR[X] = I[X], onde I[X] = {anXn + ...+ a1X + a0; ai ∈ I}.Mais ainda, R[X]

I[X]∼= R

I[X] e portanto I e ideal primo se e somente se I[X] e ideal

primo.

2. Se S ⊂ R e sistema multiplicativo de R entao S−1(R[X]) = (S−1R)[X]. Em particu-lar, se S = R \ ℘ com ℘ ∈ Spec(R) entao S−1(R[X]) = R℘[X].

3. Se R e domınio, Q1,Q2,Q3 ∈ Spec(R[X]) com Q1 ⊂ Q2 ⊆ Q3 e mais ainda

(0) = Q1 ∩R = Q2 ∩R = Q3 ∩R entao Q1 = (0) e Q2 = Q3.

4. Se Q1,Q2,Q3 ∈ Spec(R[X]) com Q1 ⊂ Q2 ⊆ Q3 e ℘ = Q1 ∩ R = Q2 ∩ R = Q3 ∩ Rentao Q1 = ℘[X] e Q2 = Q3.

5. Se ℘ ∈ Spec(R) e primo minimal do ideal I ⊂ R entao ℘[X] e primo minimal deIR[X] = I[X].

6. Se (R,m) e anel local e m[X] ⊂ Q com Q ∈ Spec(R[X]) entao existe f ∈ Q \m[X]tal que Q = m[X] + fR[X]. Em particular se m e primo minimal de I ⊂ R entao Qe primo minimal de IR[X] + fR[X].

7. Se R e noetheriano, Q ∈ Spec(R[X]) e ℘ = Q ∩R entao Q = ℘[X] e ht(Q) = ht(℘)ou ht(Q) = ht(℘) + 1.

Demonstracao. 1. A primeira afirmacao e trivial. Para provar que R[X]I[X]∼= R

I[X], basta

considerar a aplicacao φ : R[X] → R[X]I[X]

dada por∑r1x

i 7→∑rix

i e entao usar oteorema do isomorfismo.

2. Trivial.

3. Como R e domınio, entao S = R\{0} e sistema multiplicativo de R. Assim, pela letra(b), S−1R[X] = K[X], onde K e o corpo de fracoes de R.

Por hipotese, temos que ∅ = Q1 ∩ S = Q2 ∩ S = Q3 ∩ S e assim, S−1Q1 ⊂ S−1Q2 ⊆S−1Q3 ⊂ K[X].

Mas K[X] e domınio principal e portanto todo ideal primo nao nulo de K[X] emaximal. Logo, S−1Q1 = (0) e S−1Q2 = S−1Q3, e portanto, Q1 = (0) e Q2 = Q3.

4. Observe que R[X]℘[X]∼= R

℘[X], ℘ ∈ Spec(R). Como ℘ e primo, temos que R

℘e domınio.

Dessa forma, estamos em condicoes de aplicar a letra (c).

Portanto, Q1 = ℘[X] e Q2 = Q3.

13

5. Seja Q ∈ Spec(R[X]) com IR[X] ⊆ Q ⊆ ℘[X].

Assim, I ⊆ Q∩R ⊆ ℘. Mas, ℘ e primo minimal de I, entao, Q∩R = ℘. A letra (d),implica entao que Q = ℘[X].

Logo, ℘[X] e primo minimal de IR[X] = I[X].

6. Como (R,m) e anel local tem-se que R[X]m[X]

∼= Rm

[X] e domınio principal.

Logo, como m[X] ⊂ Q existe f ∈ Q\m[X] tal que Qm[X]

= f R[X]m[X]

.

Portanto, Q = m[X] + fR[X].

7. Observe que se n = ht(℘), entao n ≤ ht(℘[X]).

Agora, pela Proposicao 2.11, sabemos que ℘ e primo minimal de I = (a1, ..., an) ⊆ Re portanto ℘.R℘ e primo minimal de (a1, ..., an)R℘.

Se Q = ℘[X], temos pela letra (e) que Q e primo minimal de IR[X] e pelo Teorema2.4 ht(℘[X]) ≤ n. Portanto, ht(℘[X]) = n.

Caso contrario, ou seja, ℘[X] ⊂ Q tome S = R\℘ e observe que, pela letra (b),S−1R[X] = R℘[X] e que ℘R℘[X] ⊂ S−1Q. Assim, pela letra (f), S−1Q e primominimal de (a1, ..., an)R℘+fR℘. Pelo Teorema 2.6, tem-se entao que ht(S−1Q) ≤ n+1e entao ht(Q) ≤ n + 1. Mas, ℘[X] ⊂ Q e ht(℘[X]) = n. Portanto, ht(Q) ≥ n + 1, oque finaliza a prova.

A sequencia de itens da proposicao anterior na verdade e o caminho natural para aprova do seguinte teorema:

Teorema 2.14. Se R e um anel noetheriano de dimensao de Krull finita e igual a n entaoa dimensao de Krull do anel de polinomios R[X] e n+ 1.

Demonstracao. Se

℘0 = ℘ ⊃ ℘1 ⊃ ℘2 ⊃ ... ⊃ ℘n−1 ⊃ ℘n (7)

e uma cadeia de ideias primos de R de comprimento n entao

(X) + ℘0[X] ⊃ ℘0[X] = ℘ ⊃ ℘1[X] ⊃ ℘2[X] ⊃ ... ⊃ ℘n−1[X] ⊃ ℘n[X] (8)

e uma cadeia de ideais primos de R[X] de comprimento n+ 1 e portanto dim(R[X]) ≥n+ 1.

Agora pelo item (g) da Proposicao 2.13 temos que para todo Q ∈ Spec(R[X]), ht(Q) ≤ht(℘) + 1, onde Q∩R = ℘ ∈ Spec(R) e assim dim(R[X]) ≤ n+ 1.

Portanto, dim(R[X]) = n+ 1.

14

Pelo princıpio da inducao finita pode-se provar a seguinte consequencia imediata e na-tural do teorema anterior:

Teorema 2.15. Se K e corpo e B = K[X1, ..., Xn] e o anel de polinomios a n variaveissobre K entao a dimensao de Krull de B e n.

Exemplo 2.16. Afim de exemplificar os teoremas anteriores, calcularemos a dimensao deKrull dos seguintes aneis:

1. A = Z[X,√

2];

Seja B = Z[X]. Observe que√

2 e integral sobre B, pois e raiz do polinomio Y 2−2 ∈(Z[X])[Y ]. Logo, B ⊆ A e extensao integral.

Assim, pelo Teorema 2.2, dimKrullA = dimKrullB.

Mas, pelo Teorema 2.14, dimKrullZ[X] = dimKrullZ + 1.

Portanto, dimKrullA = 2.

Para finalizar os resultados, apresentaremos o conceito de anel catenario. Enunciaremostambem um teorema util nos calculos da dimensao de Krull de aneis de polinomios. Naoapresentaremos sua demonstracao.

Definicao 2.17. Seja R um anel com dimensao de Krull n <∞. Dizemos que R e catenariose para todo ℘ ∈ Spec(R) tem-se que n = ht(℘) + dimKrull

R℘

.

Teorema 2.18. Sejam K um corpo e B = K[X1, ..., Xn] o anel de polinomios em nvariaveis sobre K. Entao:

1. B e catenario;

2. Se A = B℘

com ℘ ∈ Spec(B), entao A e catenario.

3 Exemplos e Aplicacoes da Teoria

Nesta secao mostramos como a teoria desenvolvida anteriormente pode ser utilizadapara o calculo da dimensao de Krull de alguns aneis especıficos.

Exemplo 3.1. Vamos calcular a dimensao de Krull do anel Q[X,Y,Z](X2−Y,Z2)

.

Seja ℘ um ideal primo minimal de (X2 − Y, Z2). Pelo Teorema 2.6, ht(℘) ≤ 2.Agora, como X2 − Y e irredutıvel em Q[X, Y, Z], entao (X2 − Y ) e um ideal primo, e

como Q[X, Y, Z] e domınio, temos que (0) tambem e ideal primo. Assim,

(0) ⊂ (X2 − Y ) ⊂ ℘ (9)

15

e uma cadeia de primos. Assim, ht(℘) ≥ 2 e portanto, ht(℘) = 2 para todo ideal primominimal de (X2 − Y, Z2).

Pelo Teorema 2.18, Q[X, Y, Z] e catenario e portanto,

ht(℘) + dimKrullQ[X, Y, Z]

℘= dimKrullQ[X, Y, Z].

Pelo teorema 2.15, dimKrullQ[X, Y, Z] = 3, e assim, dimKrullQ[X,Y,Z]

℘= 1 para todo

primo minimal de (X2 − Y, Z2).Agora, se ℘ e um primo minimal de (X2 − Y, Z2) e

(0) =℘

℘⊂ ℘1

℘(10)

uma cadeia de primos em Q[X,Y,Z]℘

, entao

℘

(X2 − Y, Z2)⊂ ℘1

(X2 − Y, Z2)(11)

e uma cadeia de primos em Q[X,Y,Z](X2−Y,Z2)

. Assim, dimKrullQ[X,Y,Z]

(X2−Y,Z2)≥ 1.

Agora, se dimKrullQ[X,Y,Z]

(X2−Y,Z2)> 1, entao existe cadeia de primos

℘0

(X2 − Y, Z2)⊂ ℘1

(X2 − Y, Z2)⊂ ℘2

(X2 − Y, Z2). (12)

Sabemos que existira um primo minimal de (X2 − Y, Z2) tal que ℘ ⊆ ℘0.Entao,

℘

℘⊂ ℘0

℘⊂ ℘1

℘⊂ ℘2

℘. (13)

E dessa forma, terıamos que dimKrullQ[X,Y,Z]

℘> 1. Absurdo.

Portanto, dimKrullQ[X,Y,Z]

(X2−Y,Z2)= 1.

Aqui temos mais um exemplo para ilustrar aplicacoes dos resultados expostos.

Exemplo 3.2. Sejam L corpo, S = L[X, Y, Z], J = (Z2 − XY ) ideal de S, R = SJ

=L[x, y, z], onde x, y e z sao as classes de X,Y e Z em R. Dado ℘=(x,y,z)∈ Spec(R) vamoscalcular a altura de ℘.

Primeiro observe que se Q e um primo minimal de J , entao o teorema do ideal principalde Krull garante que ht(Q) ≤ 1 e se for o caso ht(Q) = 0 Q seria primo minimal em S,mas S e domınio e portanto Q = 0 o que e um absurdo. Assim concluımos que ht(Q) = 1.

Sendo L corpo sabemos que S e catenario, portanto,

dimK S = dimK(S

Q) + ht(Q),

16

ou seja dimK( SQ) = 2. Daqui segue que

ht(℘) ≤ dimKS

J= dimK

S

Q= 2.

Por outro lado, J ⊂ (Y, Z) com (Y, Z) primo, tambem (0) ( (Y ) ( (Y, Z), implicaht(Y, Z) > 1 logo, necessariamente tem que existir Q0 primo minimal de J contido em(Y, Z), finalmente a cadeia de primos

Q0

J(

(Y, Z)

J(

(X, Y, Z)

J= ℘

implica ht(℘) ≥ 2 como se queria mostrar.

No proximo exemplo, exibiremos um anel Noetheriano que possui dimensao de Krullinfinita, para isso, precisaremos do seguinte resultado sobre aneis Noetherianos.

Fato: Dado um anel A para o qual se cumpre:

1. Para cada ideal maxinal M, a localizacao AM e Noetheriana,

2. Para cada x ∈ A com x 6= 0, o conjunto dos ideais maximais de A que contem x efinito.

Entao A e Noetheriano.

Exemplo 3.3. Construcao de um anel Noetheriano com dimensao de Krull infinita:Consideremos R = K[X1, · · · , Xn, · · · ] o anel de polinomios em um numero enu-

meravel de variaveis sobre um corpo K. Seja m1,m2, · · · uma sequencia infinita e crescentede numeros inteiros positivos que satisfaz mi+1 − mi > mi − mi−1 para todo i > 1, porexemplo, mi = 2i.

Agora, para cada i ∈ N, considere o ideal primo

℘i = (Xmi+1, Xmi+2, · · · , Xmi+1),

e considere o sistema multiplicativo

S = R \⋃i∈N

℘i.

Seja A = S−1R o anel de fracoes de R com relacao ao conjunto multiplicativo S.Mostraremos que A e um anel Noetheriano e tambem que sua dimKrull =∞, ou seja, todoideal de A e finitamente gerado, porem o comprimento das cadeias de ideais primos em Anao tem uma cota superior finita.

Comecaremos demonstrando que e A e um anel Noetheriano. Vamos dividir a provadeste fato em um conjunto de afirmacoes, cujas demonstracoes seguem naturalmente como

17

consequencia umas das outras.

Primeiro, observe que

A =⋃n

K[X1, · · · , Xn],

e defina L = cfr(R) e tambem ℘i = S−1℘i ∈ Spec(A).

Afirmacao 1: Para mi > n tem-se ℘i ∩K[X1, · · · , Xn] = {0}.Se f ∈ ℘i entao f e um polinomio com termo constante nulo cuja variavel de menor

ındice e Xmi+1 que e maior que n, portanto f 6∈ K[X1, · · · , Xn]. A recıproca e analoga.

Afirmacao 2: Se f ∈ R e um polinomio nao nulo, entao f ∈ ℘i somente para umnumero finito de ındices i.

Suponha que f 6= 0, deste modo, f ∈ K[X1, · · · , Xn] para algum n. Como a sequencia{mi}i∈N e crescente, existe i0 ∈ N para o qual mi0 > n e portanto, ℘i∩K[X1, · · · , Xn] = {0}para todo i > i0. Assim, f ∈ ℘i para no maximo 1 ≤ i < i0 − 1.

Afirmacao 3: Seja 0 6= I ⊂ R e um ideal tal que I ⊆⋃

i ℘i entao, para todo n ∈ Nexiste ln ∈ N tal que

I ∩K[X1, · · · , Xn] ⊆ ℘ln ∩K[X1, · · · , Xn],

mais ainda, o conjunto {ln, n ∈ N} e finito. A partir disto, conclui-se que existe j ∈ N talque I ⊂ ℘j.

Temos que

I ⊆⋃i

℘i ⇒ I ∩K[X1, · · · , Xn] ⊆ (⋃i

℘i) ∩K[X1, · · · , Xn].

Dado n ∈ N existe i0 ∈ N tal que mi0 ≥ n, assim ℘i0 ∩K[X1, · · · , Xn] = {0}. Como asequencia {mi}i∈N e crescente, segue que ℘i ∩K[X1, · · · , Xn] = {0} para todo i ≥ i0, logo

(⋃j

℘j) ∩K[X1, · · · , Xn] = (⋃j≤i0

℘j) ∩K[X1, · · · , Xn].

Logo,

I ∩K[X1, · · · , Xn] ⊆ (⋃i

℘i) ∩K[X1, · · · , Xn] = (⋃j≤i0

℘j) ∩K[X1, · · · , Xn] ⊆ (⋃j≤i0

℘j).

Como cada ℘j e um ideal primo, segue que existe ln ∈ N para o qual

I ∩K[X1, · · · , Xn] ⊆ ℘ln .

18

Sendo I 6= 0 e ideal proprio de R, ja que I ⊆∑

i ℘i = 〈X1, · · · , Xn, · · · 〉 que e ma-ximal. Deste modo, existe 0 6= fI nao constante, assim existe n0 ∈ N para o qualf ∈ K[X1, · · · , Xn0 ] ∩ I.

Para m ≥ n0, temos

f ∈ K[X1, · · · , Xm] ∩ I ⊂ ℘lm ⇒ f ∈⋂

m≥n0

℘lm .

Porem, se i 6= j entao ℘i∩℘j = {0}, portanto, para todom ≥ n0, tem-se ℘lm∩℘ln06= {0},

entao lm = ln0 . Deste modo, o conjunto {ln : n ∈ N} = {ln : n ≤ n0, n ∈ N} e finito.Assim, concluımos que existe j = lk0 = max{ln : n ∈ N}; e para n ≥ k0 tem-se

I ∩K[X1, · · · , Xn] ⊆ ℘j,

dondeI = I ∩R = I ∩

⋃n≥k0

K[X1, · · · , Xn] =⋃n≥k0

I ∩K[X1, · · · , Xn] ⊆ ℘j.

Afirmacao 4: Para i 6= j os ideais ℘j e ℘j nao sao comparaveis com relacao a inclusao,implicando que max(A) = {℘i : i ∈ N}.

Suponha ℘i ⊂ ℘j, entao Xmi+k ∈ ℘j para todo k ∈ {1, · · · ,mi+1 − mi}. Por outrolado, se Xl ∈ ℘j, tem-se l ∈ {mj + 1, · · · ,mj+1}, o que implica {mi + 1, · · · ,mi+1} ⊂{mj + 1, · · · ,mj+1}. Porem mi 6= mj quando i 6= j, portanto

{mi + 1, · · · ,mi+1} = {mi + 1, · · · ,mi+1} ∩ {mj + 1, · · · ,mj+1} = ∅,

que e um absurdo, pois mi+1 −mi > 0.Vamos mostrar agora que ℘i sao ideais maximais de A. E claro que ℘i = S−1℘i e ideal

primo de A.Suponhamos ℘i ⊂ J ( A, logo ℘i ⊂ J c ⊂ R \ S = ∪j℘j. Daı, existe j0 ∈ N para o

qual ℘i ⊂ J c ⊂ ℘j0 , pelo que acabamos de demonstrar, temos i = j0 e entao J c = ℘i, logoJ = J ce = ℘i. Daı {℘i : i ∈ N} ⊆ max(A).

Para mostrar a inclusao contraria, suponha m ∈ max(A), entao mc ∈ Spec(R) emc ⊂ R \ S ⊆ ∪℘j, o que implica a existencia de j0 para o qual mc ⊂ ℘j0 . Apli-cando a extensao temos m = mce ⊂ ℘j0 , como m maximal, tem-se m = ℘j0 . Logo,max(A) ⊆ {℘i : i ∈ N}, donde decorre a igualdade.

Afirmacao 5: Se 1 ≤ r ∈ N, ℘ = 〈X1, · · · , Xr〉R e B = F [X1, · · · , Xr] ondeF = K(Xr+1, · · · ), entao R℘ = T−1B onde T = B \ 〈X1, · · · , Xr〉B. Com este fato,conclui-se que R℘ e Noetheriano.

` R℘ ⊂ T−1B: Temos R \ ℘ ⊂ B \ ℘B pois

s ∈ R \ ℘⇒ s(X1, · · · , Xn) =r∑

i=1

ri(X1, · · · , Xn).Xi + s∗(Xr+1, · · · , Xn),

19

com s∗ 6= 0. Se

s ∈ ℘B ⇒ s(X1, · · · , Xn) =r∑

i=1

bi(X1, · · · , Xn).Xi.

Mas 0 = s(0, · · · , 0, Xr+1, · · · , Xn) = s∗(Xr+1, · · · , Xn), que e um absurdo, logo s 6∈ ℘B.Portanto r

s∈ R℘ ⇒ r

s∈ T−1B.

` T−1B ⊂ R℘: Suponha x ∈ B, assim, podemos escrever

x =∑I∈I

xIXI ,

onde xI ∈ F , XI = X i11 · · · , X ir

r , se I = (i1, · · · , ir) com I ⊂ Nr um conjunto finito.Se xI ∈ F entao xI = cI

dIcom cI , dI ∈ K[Xr+1, · · · ]. Assim, tomando d =

∏I dI , para

simplificar facamos dI = ddI

e cI = dIcI . Deste modo,

dx = d∑I∈I

xIXI =

∑I∈I

dxIXI =

∑I∈I

cIXI ∈ R.

Considere xt, com x ∈ B e t ∈ T , logo

t =r∑

i=1

tiXi + t∗, ti ∈ B, t∗ ∈ F \ {0}.

Cada ti ∈ B pode ser escrito como ti = eitiei

e t∗ = e∗t∗

e∗, tomando e =

∏i eie

∗, ei = eei

ee∗ = e

e∗. Logo

et =r∑

i=1

etiXi + et∗ =r∑

i=1

eieitiXi + e∗e∗t∗ ∈ R \ ℘.

Como x ∈ B e d ∈ K[Xr+1, · · · ]\{0}, entao dx ∈ R e portanto dex ∈ R. Daı, concluımosque, det ∈ R \ ℘. Portanto, x

t= dex

det∈ R℘.

Por fim, como B e Noetheriano, R℘ = T−1B e Noetheriano, concluindo a afirmacao.

Afirmacao 6: Dado i ∈ N, entao A℘i= R℘i

. Com isso, teremos mostrado que A℘ie

Noetheriano.E claro que R ⊆ A ⊆ cfr(R) = L e implica facilmente que R℘i

⊆ A℘i.

Mostremos a inclusao contraria. Seja α ∈ L ∩ A℘i, que pode ser escrito como α = a

b,

onde a ∈ A e b ∈ A \ ℘i. Ainda, a ∈ A e b ∈ A \ ℘i implicam que a = cs1

com c ∈ R e

s1 ∈ S e b = ts2

com t ∈ R \ ℘i e s2 ∈ S. Logo

α =cs1ts2

=cs2ts1∈ Rpi .

20

Portanto temos a igualdade A℘i= R℘i

.Falta apenas concluirmos que A℘i

e um anel Noetheriano, porem, procedendo de formaanaloga a demonstracao da Afirmacao 5, temos R℘i

Noetheriano e assim A℘ie Noetheriano.

Note que estamos nas condicoes da observacao feita anteriormente, ou seja, para cada℘i, que sao todos os maximais de A, temos A℘i

e Noetheriano e tambem para cada f ∈ Anao nulo esta em uma quantidade finita de maximais (conforme Afirmacao 3). Portanto,A e um anel Noetheriano.

Para concluir este longo exemplo, mostremos que dimKrullA =∞.Mostremos que ht(℘i) = mi+1 −mi. Temos ℘i = 〈Xmi+1, · · · , Xmi+1

〉 (ideal gerado emA), donde pelo Teorema 2.6 (Teorema Generalizado de Krull) ht(℘i) ≤ mi+1 −mi.

Alem disso, temos a cadeia de ideais primos

〈0〉 ( 〈Xmi+1〉 ( 〈Xmi+1, Xmi+2〉 ( · · · ( ℘i,

de comprimento mi+1 −mi e portanto ht(℘i) = mi+1 −mi.Deste modo, dimKrullA = sup{ht(℘i) : i ∈ N} = sup{mi+1 −mi, i ∈ N} =∞.

Referencias

[1] P. Brumatti, Notas de Aula, Unicamp, 1o semestre, 2011.

[2] M.F. Atiyah, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.

[3] E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhaeuser,Boston 1985.

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