dificuldades encaradas pelos alunos na adição e subtracção defracções na 8ª classe
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Universidade Católica de Moçambique
Centro de Ensino à Distância
Licenciatura em Ensino de Matemática
Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção de Fracções na 8ª classe –
Estudo de Caso: Escola Secundária Eduardo Mondlane de Tambara
Armando Paulo Curanganua
Beira, Maio de 2015
Universidade Católica de Moçambique
Centro de Ensino à Distância
Licenciatura em Ensino de Matemática
Tema: Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção deFracções na 8ª
classe – Estudo de Caso: Escola Secundária Eduardo Mondlane de Tambara
Estudante: Armando Paulo Curanganua
Supervisor: Dr. Domingos Neto João Joaquim
Co-Supervisor: dr. Mathusso Jucuiana
Beira, Abril de 2016
Monografia Científica apresentada ao Centro de Ensino à Distância da UCM Curso de Matemática, para obtenção do grau académico de Licenciatura em Ensino de Matemática.
ii
Declaração de honra
Eu, Armando Paulo Curanganua, declaro que esta Monografia é resultado da minha investigação
pessoal e das orientações do meu supervisor, o seu conteúdo é original e todas fontes consultadas
estão devidamente mencionadas no texto, nas notas e na referência bibliográfica.
Declaro ainda que este trabalho nunca foi apresentado em nenhuma outra instituição para a
obtenção de qualquer grau académico.
Beira, Abril de 2016
______________________________
(Armando Paulo Curanganua)
iii
Agradecimentos
Queira Deus aceitar os meus profundos agradecimentos por me dar saúde, força, inteligência, na
concretização de mais um sonho da minha vida.
Em seguida, endereço os meus agradecimentos ao meu irmão dr. Zacarias Curanganua (a sua
memória), minha esposa Amélia Ussore, achas mesmo que existem palavra para dizer o que
sinto? Você sabe que tudo conquistamos juntos.
Estendo a linha de agradecimentos, desta feita aos meus filhos Beatriz, Catarina, Isaías e Zélia
(papá vos ama).
Ao Dr. Domingos Neto pelas correcções e sugestões na melhoria deste trabalho, meu muito
obrigado. Aos meus colegas do curso, em especial ao Filipe Mathusso e Luís Papora que sempre
moralmente me apoiaram para juntos caminharmos.
Em fim, a todos que directa ou indirectamente, contribuíram para o meu sucesso ao longo desses
4 anos.
iv
Dedicatória
Dedico este trabalho, especialmente a Deus, por esta maravilhosa vitória.
Em seguida dedico a minha esposa Amélia e aos meus filhos Beatriz, Catarina, Isaías e Zélia.
v
Resumo
Este trabalho, intitulado Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção de Fracções na 8ª classe, tinha como objectivo, Conhecer as causas destas dificuldades, no entanto sabe-se que precisa-se da Matemática não só em nossa vida escolar, mas também no aspecto profissional e no quotidiano. Através de observação focalizada (assistência as aulas, o que nos permitiu analisar o que está acontecendo com o ensino desse conteúdo), teste diagnóstico aplicado aos alunos (cujo a sua finalidade era de saber porque e quais são as principais causas das dificuldades encaradas pelos alunos) e o estudo bibliográfico que culminou com a descoberta dos livros que dão relevo a um ensino com base no conhecimento que o aluno trás consigo das outras classes, isto é, de que forma poderíamos ensinar os Números Racionais de modo a tornar o conteúdo significativo e mais acessível a todos os que dele necessitam dado que um dos primeiros momentos onde o aluno realmente tem condições de compreender (fazer a acomodação em esquemas dos novos estímulos – adição e subtracção de números Racionais, neste caso de fracções) é geralmente nas classes onde este conteúdo é introduzido, devendo-se neste contexto trabalharem mais os professores, para garantir que os alunos criem esquemas que lhes possam garantir a sua posterior utilização, para não fazer com que o aluno pense ser um novo estímulo quando solicitado a colocar em prática tais estímulos, uma vez que ele passa de duas classes (6ª e 7ª) onde abordam deste mesmo conteúdo. Portanto, nota-se que as dificuldades decorem de uma ênfase na simples memorização de regras e técnicas e da ignorância dos professores pois estes limitam-se em ensinar apenas para cumprir com o programa e não para formar um cidadão capaz de utilizar os seus conhecimentos ao longo da sua vida, sendo por isso que os alunos apresentam dificuldades tanto nos procedimentos quanto na resolução de problemas envolvendo a adição e subtracção de números racionais.
Palavras-chave: Dificuldades, adição e subtracção, números Racionais (fracções).
vi
ÍNDICE
Declaração de honra .............................................................................................................................. ii
Agradecimentos .................................................................................................................................... iii
Dedicatória ............................................................................................................................................ iv
Resumo .................................................................................................................................................. v
Lista de abreviatura ............................................................................................................................viii
Lista de tabelas ..................................................................................................................................... ix
Lista de figuras ...................................................................................................................................... x
CAPÍTULO I ......................................................................................................................................... 1
1. Introdução ...................................................................................................................................... 1
1.1. Tema ........................................................................................................................................... 3
1.2. Delimitação do tema .................................................................................................................. 3
1.3. Justificativa ................................................................................................................................ 3
1.4. OBJECTIVOS............................................................................................................................ 4
1.4.1. Objectivo Geral: ..................................................................................................................... 4
1.4.2. Objectivos Específicos: ......................................................................................................... 4
1.5. Relevância .................................................................................................................................. 4
1.6. Problematização ......................................................................................................................... 5
1.7. Hipóteses .................................................................................................................................... 5
CAPÍTULO II: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................................ 6
2.1. O Ensino da Matemática ........................................................................................................... 6
2.2. Uma nova abordagem para o ensino de fracções ..................................................................... 8
2.3. O surgimento dos números racionais .................................................................................. 11
2.4. Conceito de Número Racional versus adição e subtracção ................................................... 14
2.5. Importância do estudo das fracções ........................................................................................ 16
2.6. Ensino e aprendizado dos números racionais (Fracções). ..................................................... 17
Capítulo III: Metodologias do trabalho .......................................................................................... 19
3.1. Métodos .................................................................................................................................... 19
3.2. População e amostra ................................................................................................................ 19
Capítulo IV: Análise e interpretação de dados .................................................................................. 20
vii
4.1. A construção do conhecimento segundo Piaget. ................................................................... 27
4.1.1. Assimilação e acomodação ................................................................................................. 28
4.2. Relatório de assistência de aulas ............................................................................................. 29
4.3. Análise e crítica dos conteúdos do livro de matemática em uso na escola. ......................... 31
Capítulo V: Conclusão e recomendações .......................................................................................... 33
5. Conclusão ..................................................................................................................................... 33
5.1. Recomendações ....................................................................................................................... 34
Referências bibliográficas ................................................................................................................... xi
Apêndice .............................................................................................................................................xiii
Anexo 1: Teste diagnóstico ............................................................................................................... xiv
viii
Lista de abreviatura
EB- Ensino Básico (1ª à 7ª classes)
ESG- Ensino Secundário Geral
fi – Frequência absoluta
fa- Frequência absoluta percentual
m.m.c – Mínimo Múltiplo comum
PEA- Processo de Ensino e Aprendizagem
≠ - Diferente
∈- Pertence
ℚ- Conjunto dos números Racionais
- Conjunto dos Números Inteiros
ix
Lista de tabelas
Tabela 1: regras de adição e subtracção de fracções com mesmo denominador---------------------15
Tabela 2: regras de adição e subtracção de fracções com denominadores diferentes --------------15
Tabela 3: Amostra--------------------------------------------------------------------------------------------19
Tabela 4: Resultados do teste diagnóstico aplicado-----------------------------------------------------20
Tabela 5: Resposta esperada e obtidas da aliena a-------------------------------------------------------20
Tabela 6: Resposta esperada e obtidas da aliena b-------------------------------------------------------22
Tabela 7: Resposta esperada e obtidas da aliena c-------------------------------------------------------22
Tabela 8: Resposta esperada e obtidas da aliena d-------------------------------------------------------24
Tabela 9: Resposta esperada e obtidas da aliena e-------------------------------------------------------24
Tabela 10: Resposta esperada e obtidas da aliena f------------------------------------------------------25
Tabela 11: Alguns pontos relevantes da assistência efectuada ----------------------------------------29
x
Lista de figuras
Figura 1--------------------------------------------------------------------------------------------------------20
Figura 2--------------------------------------------------------------------------------------------------------20
Figura 3--------------------------------------------------------------------------------------------------------21
Figura 4--------------------------------------------------------------------------------------------------------21
Figura 5--------------------------------------------------------------------------------------------------------23
1
CAPÍTULO I
1. Introdução
Tem-se frequentemente constatado inúmeras dificuldades nos alunos, relacionadas à capacidade
de resolver problemas matemáticos que envolvem cálculos (Adição e Subtracção de números
Racionais na 8ª classe). Contudo, com a presente pesquisa tencionava conhecer acerca das causas
que dificultam a compreensão da adição subtracção de fracções na 8ª classe, estabelecendo
orientações aos professores e sugerindo ferramentas que facilitam o ensino e a compreensão deste
tema. Pois, quando nos deparamos com a realidade dos alunos na escola, percebemos que muito
pouco mudou com relação à percepção (pelos alunos) ensino (pelos professores) deste tema.
Precisamos estar atentos e não perder o nosso enfoque sobre o que o aluno deve saber quando se
lecciona esta matéria.
Como sabemos, um dos objectivos de ensino de Matemática é conduzir ao praticante (aluno) a
descoberta e a compreensão de que o ensino e aprendizagem da matemática e em particular da
adição e subtracção de números Racionais é um fenómeno organizado e orientado por princípios
e regras que ordenam a natureza complexa desta disciplina e sua socialização no campo
complexo professor-aluno, e o processo de Ensino-Aprendizagem como ferramenta da formação
do individuo no domínio de princípios, regras, conceitos ou fórmulas que deve facilitar a sua
compreensão, para que este tema não se torne em mais um paradigma das suas vidas.
O foco do pesquisador, visava buscar formas de compreendê-la para intervir pedagogicamente no
sentido de minimizar esse défice no processo de Ensino-Aprendizagem, pois, suportando-se em
Vygotsky, a matemática é uma ferramenta de extrema importância para o homem, porque é
através dela que a sociedade garante a sua sobrevivência, visto que a necessidade de lidar com os
números e realizar cálculos está, inequivocamente, presente em toda prática diária do homem.
Portanto, vamos iniciar um estudo para a verificação do que ocorre com essas pessoas e a
investigação científica permitirá identificar as dificuldades assim como as respectivas soluções.
Contudo, dada a importância deste problema, pretende-se contribuir com nossa opinião para
ajudar os professores de matemática, de maneiras que possam dar a devida atenção as causas que
2
forem destacados no final da nossa pesquisa, para permitir o sucesso académico (professores)
pessoal (alunos) e da sociedade em geral.
O estudo foi realizado na Escola Secundária Eduardo Mondlane de Tambara, distrito de Tambara,
província de Manica e composto pelos seguintes pontos: Capítulo I: introdução, tema,
delimitação do tema, justificativa, objectivos, relevância, problematização, hipóteses. Capítulo
II: Fundamentação teórica. Capítulo III: metodologia do trabalho. Capítulo IV: análise e
interpretação de dados. Capítulo V: conclusão, recomendações e referências bibliográficas.
3
1.1. Tema
O tema de estudo do presente trabalho é Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e
Subtracção de Fracções na 8ª classe, por esta constituir uma ferramenta chave de orientação dos
professores e alunos no processo de ensino e aprendizagem.
1.2. Delimitação do tema
Este trabalho, o qual é intitulado Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção
de Fracções na 8ª classe o seu estudo está sendo realizado desde o início do ano lectivo de 2014
até então na Escola Secundária Eduardo Mondlane de Tambara, tem como base a análise do
processo de Ensino-Aprendizagem, tomando em conta a prática pedagógica dos professores da
escola.
1.3. Justificativa
O autor encontra incentivo em desenvolver esta pesquisa, pelo facto do ensino deste tema ter a
seguinte importância para os alunos e a sociedade, segundo nos aponta David e Fonseca (1997):
Aspecto prático – As fracções estão relacionados em suas diferentes representações à
expressão de medidas e índices comparativos.
Aspecto psicológico - o trabalho com fracções possibilita a expansão de estruturas mentais
que são necessárias ao desenvolvimento intelectual.
Aspecto da evolução conceitual da matemática – o estudo fracções é fundamental para o
desenvolvimento do trabalho com as operações algébricas que se dará posteriormente, ao
longo do ensino nos temas subsequentes.
Aspecto didático – epistemológico – o trabalho com fracções proporciona a produção de
conhecimento matemático, superando conflitos e dificuldades que surgem no campo dos
números naturais e que se amplia na criação de um novo campo numérico (o dos números
fracionários).
Ainda, se os alunos terem domínio deste conteúdo, não só saberão resolver os problemas que
encarram nas suas vidas envolvendo a adição e subtracção de fracções, como também estarão
4
aptas a progredirem intelectualmente nos conteúdos posteriores a este que exigem a aplicação
deste conheciemento, pois bem sabemos que os conteúdos matemáticos obedecem o critério da
cumulatividade, eis a razão da nossa preocupação em estudar este tema.
1.4. OBJECTIVOS
1.4.1. Objectivo Geral: Conhecer as causas das dificuldades encarradas pelos alunos na adição e subtracção de
fracções na 8ª Classe.
1.4.2. Objectivos Específicos:
Identificar as dificuldades encarradas pelos alunos na adição e subtracção de fracções.
Encontrar formas mais eficientes que possibilitam a compreensão rápida das regras de
adição e subtracção de fracções.
1.5. Relevância
Através do estudo das Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção de Fracções
na 8ª classe, esperamos que:
Haja um bom aproveitamento pedagógico neste tema e noutros que necessitam da
aplicação deste conhecimento; e
Criemos oportunidades na vida real, com os quais os professores possam encontrar
melhores formas de leccionação para a superação das dificuldades encaradas pelos alunos
no estudo deste tema.
Daí que, achamos pertinente estudar esta situação para que Conheçamos as causas das
dificuldades encaradas pelos alunos na adição e subtracção de fracções na 8ª Classe.
5
1.6. Problematização
Tendo eu sido chamado no ano de 2014 para substituir o professor de matemática da 8ª classe na
escola em epígrafe na introdução que estava ou andava com problemas de saúde, descobri nos
alunos sérios problemas na adição e subtracção de fracções em todas turma por onde passava.
Contudo, depois de várias análises ao longo das minhas aulas, notei que maior parte dos alunos,
encarram dificuldades neste tema. Eles não seguem as regras de adição e subtração e números
Racionais patentes nos livros da 8ª classe, e o problema agudiza-se porqueeste conteúdo estudam
depois de falarem de números negativos, o que veio ainda constituir outro entrave, pois notamos
que perante dois números racionais, os alunos adicionam ou subtraem os numeradores entre si,
idem com os denominadores, isto é, eles não calculam o mínimo múltiplo comum (m.m.c)
quando os números tiverem denominadores diferentes, por exemplo, encontramos o caso como
este:
, entre outras várias maneiras não correctas de resolver casos de adição e subtracção de fracções.
Perante este dilema, levantamos a seguinte questão: Quais são as causas das dificuldades
encarradas pelos alunos da 8a classe na adição e subtracção de fracções?
1.7. Hipóteses
De acordo com as reflexões nossas, levantamos as seguintes respostas hipotéticas:
Talvez seja pelo facto dos alunos não terem sido preparados profundamente pelos
professores do EB (6ª e 7ª classe), onde aprendem pela primeira vez as regras do calculo
do m.m.c?
Talvez seja pelo facto dos professores da 8ª classe não aplicarem teste diagnóstico no acto
da introdução deste conteúdo?
Talvez seja falta da dedicação dos alunos por não saberem onde irão aplicar este conteúdo
ao longo das suas vidas?
Talvez seja a forma como este conteúdo é abordado nos livros da 8ª classe?
;73
52
21
101
102
101
52
21
)10()10(
6
CAPÍTULO II: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2. Neste ponto vamos fazer referência sobre o estudo das dificuldades encaradas pelos
alunos na adição e subtracção de números racionais na 8ª Classe, procurando fazer uma
análise da prática dos professores na sala de aula e comparando com os autores que já
abordaram esse assunto e o impacto que essa tem no rendimento escolar.
2.1. O Ensino da Matemática
Aprender matemática significa mais que aprender técnicas ou memorizar regras é além de tudo
interpretar, construir ferramentas conceituas, criar significados, sensibilizar-se para perceber
problemas tanto quanto preparar-se para equacioná-los ou resolvê-los, desenvolver o raciocínio
lógico, a capacidade de conceber, projectar, transcender o imediatamente sensível (SÃO PAULO,
1992).
É importante, pois, considerar que para alcançar todas essas habilidades matemáticas ocorra
aprendizagem significativa por parte dos alunos. Aprender significa tomar para si um
conhecimento que se traduzirá em habilidades adquiridas. É por isso que as actividades propostas
pelo professor em sala de aula têm que ser significativas a fim de promover a aprendizagem. Ao
privilegiar um ensino que dê a oportunidade ao aluno de participar do processo de aprendizagem
de forma activa e dinâmica, a partir de diferentes tipos de experiência, que o leve a construir
significados, este, por sua vez, é capaz de atribuir mais sentido as actividades realizadas,
constituindo um agente do seu processo de aprendizagem.
É importante, pois, salientar que a aprendizagem de qualquer conteúdo por parte do aluno requer
uma fase inicial exploratória e concreta. Antes de adquirir abstracções e generalizações
matemáticas a criança precisa manipular e visualizar diferentes tipos de materiais, trabalhar com
diferentes situações e problemas que o levem a adquirir abstracções posteriores. Essa fase
exploratória e concreta é fundamental para a construção de significados e a formulação de
conceitos sobre os números fraccionários.
Ao iniciar o ensino da adição e subtracção de fracções, é preciso repensar em práticas, métodos,
metodologias e que estratégias de ensino utilizar na abordagem desse tema. Uma reflexão sobre
7
os métodos e as metodologias a serem empregadas é essencial para definir o ponto de partida e o
ponto de chegada no ensino e aprendizagem desse conteúdo. As competências matemáticas
devem ser trabalhadas desde o início dos estudos passando por toda carreira estudantil dos
educandos. Pois, os principais objectivos a serem alcançados com a educação matemática é o
desenvolvimento, nos alunos, da compreensão do significado, estrutura e função de conceitos
matemáticos; o desenvolvimento da competência para construir abordagens matemáticas para
problemas e situações; e a apreciação da actividade matemática enquanto prática cultural.
Para que tais objectivos sejam alcançados, deve-se trabalhar desde as classes iniciais ( e para este
conteúdo desde da 6ª e 7ª classe) de forma objectiva, sendo nestas classes onde existem as bases
para a domínio da adição e subtracção de fracções.
O bom treinamento em matemática é efectuado, necessariamente, com ênfase no argumento
lógico, oposto ao autoritário, na distinção de casos, na crítica dos resultados obtidos em
comparação com os dados iniciais do problema e no constante direcionamento para o pensamento
independente. Assim sendo, o saber pensar matemático dar-se-á quando a matemática for
trabalhada de forma criativa, crítica e contextualizada. O “o que”, e o “como” fazer precisam ser
repensados tendo-se em vista “para que” e o “quando” fazer.
Aprender Matemática de uma forma contextualizada, traz em si o desenvolvimento de
competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e
estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para
se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias,
tomar decisões, generalizar e para muitas outras acções necessárias à sua formação.
É necessário que o professor tenha o conhecimento com o qual está trabalhando, tenha a
responsabilidade de fazer com que esse conhecimento ajude na formação de seu aluno, tornando-
o um cidadão crítico, criativo e transformador da sua realidade. Para isso, “um dos ingredientes
da personalidade do educador que ressalta aos olhos de suas plateias consiste no facto de ele ter
de ser uma criatura verdadeira e consistente, saber sobre o que está falando e acreditar no que
está dizendo.”
Essa competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de aplicação dos
conceitos e técnicas matemáticas, pois, neste caso, o que está em acção é uma simples
8
transposição analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos
análogos aos daquela situação, o que não garante que seja capaz de utilizar seus conhecimentos
em situações diferentes ou mais complexas.
É importante que o professor tente contextualizar e enxergar matemática no seu dia-a-dia, e
perceber que ela pode ser trabalhada a partir de notícias económicas dos jornais, da curva da água
do bebedouro, de plantas de casas, de revistas, enfim, de todo o nosso ambiente, e neste caso à
partir de factos como: duas pessoas comem a mesma laranja e depois comem o mesmo ananás,
etc.
Essa consciência só virá quando o professor perceber a si mesmo para muito além de um mero
transmissor de conhecimento, ou seja, como um educador, que levará o aluno a tornar-se homem,
no sentido de humano; quando descobrir, dentro de si, a verdadeira natureza. O professor precisa
passar pela crise do ser: encontrar as razões e os fins que darão sentido ao seu fazer. Quando as
razões e os fins forem encontrados, a busca pelo conhecimento inovador será uma consequência
natural. Se quer-se fazer a diferença na construção de uma nova história para a educação, é
necessário primeiro acreditar que a mudança é possível.
2.2. Uma nova abordagem para o ensino de fracções
Deve se privilegiar no ensino da matemática o hábito de pensar, cultivar ideias bem como a busca
pela compreensão de conceitos e de suas propriedades. Recitar a tabuada ou mesmo efectuar
cálculos complicados são acções que levam os alunos a adquirirem simplesmente uma habilidade
mecanizada, mas que não deve ser dispensável no trabalho diário do professor.
Para Dante a matemática tem sido considerada uma ciência exacta que não admite “meio certo”
(1987, p.33), e isso é um dos motivos para punir a criança quando essa comete erros. Esse modo
de ver e conceber a matemática como uma ciência exacta (que não admite erros) leva a atitudes
exageradas do tipo “você deve fazer isso; “pense assim”; “não a tempo a perder é preciso cumprir
o programa” (DANTE, 1987)
9
Romper com essa concepção internalista da matemática significa dar ênfase a um ensino mais
intuitivo e menos formal, que possa estabelecer conexões com outras áreas do conhecimento.
Assim, resume-se abaixo algumas mudanças que devem ocorrer no ensino da matemática sob o
ponto de vista de Dante (1987). Segundo ele deve haver:
Mais ênfase:
Nas ideias matemáticas;
Nos porquês, significado do que se faz;
Pense um pouco sobre isso;
Processo usado para a obtenção dos resultados;
Incentivo a criatividade, curiosidade, iniciativa e exploração;
Compreensão;
Ensino mais intuitivo, menos formal;
Situações-problema que envolvam significativamente o aluno;
Experiência acumulada do dia-a-dia;
Ensino interligado com outras áreas do conhecimento.
Menos ênfase:
Linguagem e simbolismos;
Regras e esquemas;
É assim que se faz;
Resultados;
Repetição e imitação
Pressa e impaciência que levam a simples mecanização;
Formalismo e abstracções precoces
Operações rotineiras;
Ensino desligado da vivência do aluno;
Ensino isolado no currículo.
A visão estagnada dos conteúdos e a forma linear como são ensinados causa prejuízos na
aprendizagem dos alunos. Um exemplo disso, é que após todo um trabalho com fracções em sala
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de aula, os alunos ainda continuam utilizando expressões como “metade maior” e “metade
menor”, mostrando a não significância e relevância diante dos conteúdos aprendidos.
O que adiantou todo o tempo dispensado à aprendizagem dos números fraccionários, se os alunos
não conseguirão trabalhar com esse conteúdo posteriormente? Os conteúdos quando são
memorizados acabam por serem esquecidos com o passar do tempo, o que pode se dizer que a
aprendizagem não ocorreu. E observamos as dificuldades enfrentadas pelos alunos de 6ª classe
em diante, para compreenderem os números fraccionários, pois com o passar das classes esse
conteúdo vai se tornando cada vez mais abstracto e complexo. Como os alunos não construíram o
conceito de fracção e as ideias iniciais que fundamentarão o trabalho dos anos seguintes, não
conseguem avançar, gerando o fracasso escolar.
Embora a representação fraccionária e decimal dos números racionais sejam conteúdos desenvolvidos no 2º e 3º ciclo do Ensino Básico, o que se constata é que os alunos chegam ao Ensino Secundário sem compreender os diferentes significados associados a esse tipo de números e tampouco os procedimentos e cálculo, em especial os que envolvem os racionais na forma fraccionária. (Murimo & Morgadinho, 2007).
Uma dificuldade apresentada por muitos alunos é aplicar os princípios da adição e subtracção de
fracções. Essa dificuldade é decorrente da ênfase no trabalho com as fracções que representam
parte de um todo, deixando de lado o trabalho com as outras interpretações de fracções. Quando o
aluno, por exemplo, se depara com o seguinte problema: “Uma família pediu dois bolos do
mesmo tamanho, ambos cortados em 7 fatias iguais. Do primeiro comeram 5 fatias, e do segundo
comeram 6 fatias. Que fracção corresponde ao total de bolo que foi comido” ? É muito comum a
resposta 11/14, quando na verdade a resposta certa seria 11/7. O erro cometido pelo aluno pode
ser considerado um erro construtivo, pois se analisarmos a pergunta “Que fracção corresponde ao
total de bolo que foi comido?”, veremos que o aluno pensou certo, pois o total de fatias é 14. Isso
mostra que o aluno já construiu a ideia de fracção como relação entre partes e todo, porém é
possível perceber que ainda não construiu a ideia de fracção como medida. No caso do problema
acima a unidade de medida é o bolo dividido em 7 fatias iguais, portanto em um bolo, de 7 fatias
foram comidas 5, ou seja, 5 partes de 7, e no outro de 7 fatias foram comidas 6, ou seja, 6 partes
de 7, assim o total de fatias comidas foi de 11/7.
11
As noções e os conceitos sobre fracção vão se construindo no aluno à medida que ele tem a
oportunidade de desenvolver actividades significativas utilizando diferentes tipos de materiais
concretos, com a orientação do professor, enfrentando desafios, pensando e repensando sobre as
actividades desenvolvidas, discutindo as dúvidas. E isso não acontece do dia para a noite, é
necessário um tempo de preparação e investimento.
2.3. O surgimento dos números racionais
Hoje em dia é comum o uso de fracções. Houve tempo, porém que as mesmas não eram
conhecidas. O homem a introduziu quando começou a medir e representar medidas.
Os egípcios usavam apenas fracções que possuíam o número 1 dividido por um número inteiro,
como por exemplo: ;21;
31;
51
Tais fracções eram denominadas fracções egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas.
Outras fracções foram descobertas pelos mesmos povos, as quais eram expressas em termos de
fracções egípcias, como:31
21
65
Os babilónios usavam em geral fracções com denominador 60. É provável que o uso desse
denominador se deve ao fato que é um número menor do que 100 com maior quantidade de
divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente fracções com denominador
12. Provavelmente, eles assim o faziam por ser um número que embora pequeno, possui um
número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas
para representar fracções. A actual maneira de representação data do século XVI.
Os números decimais têm origem nas fracções decimais. Por exemplo, a fracção21 equivale à
fracção105 que equivale ao número decimal 0,5.
Stevin, engenheiro e matemático holandês em 1585 (IFRAH, 1992), ensinou um método para
efectuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de fracções, no qual escrevia os
números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição
ocupada pela vírgula no numeral decimal.
12
A representação dos algarismos decimais, provenientes de fracções decimais, recebia um traço no
numerador indicando o número de zeros existentes no denominador. Este método foi aprimorado
e em 1617, Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira da
parte decimal.
Por muito tempo os números decimais foram empregados apenas para cálculos astronómicos em
virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e
passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
“Graças à descoberta das fracções denominadas ‘decimais’ (aquela cujo denominador é uma potência de 10), foi pouco a pouco transparecendo o interesse em prolongar a numeração decimal de posição no outro sentido, isto é, em termos modernos, na representação dos números ‘depois da vírgula’. O que permitiu a notação sem nenhuma dificuldade de todas as fracções, além de mostrar nitidamente os inteiros como fracções particulares: aquelas cuja representação não comporta nenhum algarismo depois da vírgula”. (IFRAH, 1987)
Um Número Racional se apresenta como fracção, que pode ser escrito na forma ba , onde a e b
são números inteiros e 0b . Podemos assim representar o Conjunto dos Números Racionais:ℚ = ; ∈ ℤ, ≠ 0 Esse número fraccionário pode também ser representado como número decimal em que, ao
dividirmos o numerador a pelo denominador b , obteremos um número com vírgula que exige um
processo a ser realizado para se chegar a esse valor. Caso esse número decimal seja infinito e
venham repetidos valores com uma sequência determinada, determinamos esse número decimal
de dízima periódica, que por sua vez pode ser simples (quando é formada apenas pelo período
após a vírgula) ou composta (se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o
período). Caso a divisão dessa fracção seja um número decimal infinito e não periódico, o
chamaremos de número irracional (outro conjunto de números, que não será neste artigo
estudado). Podemos também encontrar a fracção geratriz da dízima periódica, se ao invés de
fracção tivermos apenas a dízima periódica.
Além dessas formas e outras ainda não citadas, os Números Racionais podem ser usados em
cálculos matemáticos e admitem a adição, subtracção, multiplicação, divisão, potenciação,
radiciação, módulo, simétrico, entre outros e suas propriedades, os quais podem estar
relacionados como equações, médias e etc.
13
Segundo Kieren apud Mendes (2004) há sete subconjuntos para os números racionais e desde o
início da escolarização é passado para o aluno somente a ideia de medida fraccionária (relação
parte-todo). Somente após alguns anos de estudos é que os alunos passam a ter noção de outros
subconjuntos como razão, decimal do número racional e outros.
Os subconjuntos vistos pelo autor são relações que um número racional pode ter:
1. Medida fraccionária (relação parte-todo): quantidades contínuas e discretas, base
fundamental param a construção do conceito de número racional e introduzido ao aluno
desde seu primeiro contacto com fracções. Exemplos:
a) 32 de uma manga b)
51 de um chocolate
2. Coordenada linear: Enfatiza a questão intervalar, a densidade e a descontinuidade; os
números racionais são interpretados como pontos sobre uma recta numérica. Exemplos:
a) A representação de 23 na recta numérica
3. Quociente: Representação de uma divisão a:b, na forma a/b, ou seja, a dividido por b,
0b . Exemplo:
a) Transformação de 43 em número decimal
b) Resolução da equação 182 x
4. Razão: Relação expressa entre duas quantidades de uma mesma espécie.
5. Taxa de número racional: Aquele que define uma nova quantidade como uma relação
entre duas outras quantidades; a velocidade é um exemplo de taxa.
6. Decimal do número racional: Enfatiza as propriedades do número racional, na sua
representação decimal, associadas ao sistema de numeração decimal.
7. Operador: Relacionado à ideia de função, como uma transformação. Trata-se da noção
amplia-encolhe. Esse subconjunto impõe ao número racional p/q uma interpretação
algébrica, significando uma função que, quando aplicada em figuras geométricas,
transforma-as em figuras semelhantes, quando aplicadas a um conjunto discreto actua
como multiplicador-divisor. Exemplo:
a) Preço do pão em uma padaria: P(x) 0,25x , onde x é a quantidade de pães a ser
comprada e P(x) é o valor a ser pago pelos pães.
14
Observando a utilização dos subconjuntos pelas colecçõesseleccionadas pode-se notar que em
quase nenhum dos casos é trabalhado como conteúdos relacionados a números racionais. O
aluno, geralmente aprende que números racionais são fracções que são representados como
operações, ou resultados das mesmas.
A linguagem utilizada no trato das informações contidas nos conteúdos é de extrema importância
para que o aluno entenda o processo de formação e operação de cada conteúdo, neste caso da
adição e subtracção das fracções. Nesse sentido torna-se imprescindível que os conteúdos tenham
ligação um com o outro e que não apareçam como formas dissociadas, o que na maioria das
vezes, principalmente em Matemática, isso não acontece. Um conteúdo provém de outro ou pelo
menos facilita a compreensão dos posteriores. Se a linguagem é acessível para o nível dos alunos
e a conexão dos conteúdos se faz de forma coerente e simples, é mais fácil para que os alunos
compreendam e utilizem a Matemática em problemas quotidianos.
A utilização de materiais manipulativos faz com que seja mais fácil para os alunos
compreenderem o trabalho com números racionais e facilita na expressão desse conteúdo para
formas mais abstractas. O importante é o professor saber seleccionar bem os materiais concretos
para conseguir os objectivos desejados de acordo com cada tema. O material manipulativo pode
ter uma relação facilitadora com os conceitos matemáticos (Post, apud Mendes, 2004).
2.4. Conceito de Número Racional versus adição e subtracção Para MARTINS (2011);NHÊZE, JOÃO & NHABIQUE (2010); SAPATINHA & GUIBUNDANA (2008) Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fracção) entre dois números inteiros.
Ainda, o conjunto dos números racionais (representado por ) é definido por:
Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por
todos os quocientes de números inteiros a e b, em que b é não nulo. O uso da letra "Q" é derivado
da palavra latina quotiē(n)s, cujo significado é quantas vezes .
Ex: 25;24,0;51;
47;
52
15
Adição1 e Subtracção de fracções
A adição assim como a subtracção de números é regida por duas fórmulas a saber:
Para MURIMO & MORGADINHO (2007:62-63), quando se trata de fracções com denominador
igual, adicionam-se os numeradores e mantém-se o denominador.
Tabela 1: Regras de adição e subtracção de fracções com o mesmo denominador
Ex 1: Quanto que é 54
51
53
Ex 2: Quanto que é233
2311
238
Ex 3: Quanto que é
43
86
820
814
820
82
812
842
82
812
Nota: Uma expressão pode conter tantas fracções, mas se tiverem o
mesmo denominador, a regra é a mesma.
Ainda suportando-se em MURIMO & MORGADINHO (2007:62-63), para adicionar e subtrair
fracções com denominadores diferentes, reduzimos a um denominador, por meio de fracções
equivalentes.
Tabela 2: Regras de adição e subtracção de fracções com denominadores diferentes
Ex 1: Quanto que é 157
1512
155
54
31
)3()5(
1A adição goza as seguintes propriedades a saber: Elemento neutro ( zero); Propriedade Associativa; Propriedade Comutativa:
16
Ex 2: Quanto que é 21
25
24
252
)1()2(
Ex 3: quanto que é 97
1814
189
184
186
183
1812
21
92
31
61
32
)9()2()6()3()6(
Ex 4: 2077
2070
2040
2020
2012
205
2050
27
20401
53
41
25
2132
)10()20(
)4()5()10()10()20(
=
20107
2077
2030
São vários exemplos que podemos trazer, envolvendo a adição e subtracção de fracções.
2.5. Importância do estudo das fracções
De acordo com o MIORIM (1995) a aprendizagem de números Racionais constituem a base para
outros conteúdos de cunho fortemente social como é o estudo das medidas e da
proporcionalidade, que leva ao trabalho com percentagem e juros.
O autor menciona que alguns exemplos de trabalho que podem servir de contextos para ensinar
os números racionais são o acompanhamento do próprio desenvolvimento físico (altura, peso,
musculatura) e os estudos dos elementos que compõem a dieta básica das pessoas.
STRUIK (1989) afirma que os números decimais, o sistema monetário e os sistemas de medidas
devem ser compreendidos como um estudo integrado, dinâmico e interessante. Sua aprendizagem
não pode ser limitado apenas ao estudo de mudança de vírgula de um lado para o outro, sem
compreensão, sem manuseio, sem construção e sem o uso de materiais que são utilizados
diariamente como embalagens, balanças, fitas métricas, em fim, ferramentas de medição, etc. O
autor considera que o papel da escola não é somente transmitir conteúdos, mas formar um
cidadão capaz de viver e participar da sociedade em que vive, portanto, o ensino da matemática
deve ser prioritário no trabalho docente, procurando desenvolver nos alunos competências para
compreender e transformar a realidade.
17
Para D’AMBROSIO (1996), no ensino da matemática destacam-se aspectos básicos como
relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figura), por isso a
aprendizagem em matemática (de números Racionais- fracções) está ligada à compreensão, isto
é, à apreensão do significado, resultante das conexões entre todas as disciplinas com o quotidiano
nos seus diferentes temas. A escola necessita formar cidadãos com raciocínio matemático.
PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA (2003), mencionam que ensinar fracções é importante
porque ela está em tudo o que rodeia as pessoas, com maior ou menor complexidade. Perceber
isso é compreender o mundo que gira em torno da humanidade, e o poder em actuar nele como
cidadão.
A compreensão da adição e subtracção de fracções tem como fundamento nos conceitos de
unidade e de sua subdivisão em partes iguais. As primeiras explorações sobre estes conceitos
partem das expressões utilizadas quotidianamente (meia hora, dez por cento, um quarto para as
duas, um quarto de quilo de café, etc.) e das relações já conhecidas entre as fracções e decimais.
Por exemplo, se os alunos reconhecem que ½ é igual a 0,5 , poderão concluir que 0,4 ou 0,45 é
um pouco menos que ½ , ou ainda, que 0,6 ou 0,57 é um pouco mais que ½.
2.6. Ensino e aprendizado dos números racionais (Fracções).
Sabemos que a Matemática está relacionada à nossa vida desde os primeiros anos e que sem ela,
é como se alguém que sabe ler e escrever não tivesse completado a sua alfabetização
(MACHADO, 2001). Essa disciplina até pouco tempo estava sendo leccionada como algo
completamente separado da nossa língua materna, o que não condiz com a realidade, pois as duas
disciplinas têm uma ligação muito grande, assim como outras disciplinas propostas no currículo
da Educação Básica.
Além da ligação com as disciplinas estudadas pelos alunos, a Matemática, ao ser leccionada, tem
objectivos muito importantes que vão além de uma simples resolução de “contas” e cálculos
aritméticos.
“A Matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e actuar no mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber
18
como um fruto da construção humana na sua interacção constante com o contexto natural, social e cultural”. (PCN’s: Matemática, 1998)
Nessa perspectiva, vamos entendendo que a disciplina precisa ser ensinada com sentido, ou seja,
precisa ser contextualizada e partir da realidade do aluno, para que o conteúdo faça sentido e
tenha, de certa maneira, maior relação com a sua vida. Por isso que autores diversos entram em
consenso ao dizerem que uma disciplina só tem sentido ao aluno se fizer parte da realidade social
e cultural dele (CARVALHO, 1994), e para conseguirmos ensinar, precisamos partir do concreto
para, então abstrair aos poucos o conhecimento adquirido pelo aluno.
O conjunto dos Números Racionais recebe destaque por ser um conteúdo que do início até certo
ponto, é tratado como parte da realidade do aluno e usado material concreto para a representação
da mesma. A partir do momento em que o aluno consegue identificar “fracções”, o professor, na
maioria das vezes deixa de utilizar o referido material e a contextualização para continuar o
ensino desse conteúdo, ou até mesmo antes do seu entendimento. O uso do material concreto é
utilizado apenas como introdução do conteúdo.
A dificuldade do aluno pode aumentar ou começar a partir do momento da abstracção desse
conteúdo, onde é primordial que o mesmo entenda os processos envolvidos, bem como suas
operações e propriedades.
19
Capítulo III: Metodologias do trabalho
3. Para a concretização deste trabalho, usaram-se as seguintes metodologias.
3.1. Métodos
1. Teste diagnóstico- elaborei exercícios que foram resolvidos pelos alunos na oficina.
Utilizei esta metodologia com o objectivo de descobrir os principais erros dos alunos
na adição e subtracção de números Racionais (fracções). Os resultados estão
ilustrados no capítulo IV.
2. Estudo Bibliográfico- foiutilizado para que o autor pudesse fazer uma comparação
das várias abordagens dos diversos autores sobre o ensino deste tema com a realidade
que encararei ao longo do desenvolvimento desse trabalho.
3. Observação focalizada – foram assistidos aulas, cujoobjectivo era de descobrir se os
professores aplicam o teste diagnóstico no acto da introdução deste conteúdo, e como
procedem a leccionação do mesmo (ver o apêndice 2, onde está patente a ficha de
assistência de aula).
4. Comparativo- realizou-se um estudo dos conteúdos patentes nos livros da 8ª classe,
cujo objectivo era descobrir como cada autor aborda este conteúdo (adição e
subtracção de números racionais).
3.2. População e amostra
A população para este estudo, foram todos os alunos da 8ª classe na Escola Secundária Eduardo Mondlane de Tambara. Os alunos foram escolhidos duma forma aleatória em todas as turmas da 8ª classe (são 4 turmas e em média cada turma possui 30 alunos, sendo assim o universo é de 120 alunos ao todo. A nossa amostra corresponde a 25% do universo).
Tabela 3: Amostra
Professores Alunos Total da amostra
H M HM H M HM H M HM 1 1 2 20 10 30 21 11 32
20
Capítulo IV: Análise e interpretação de dados
4. Aqui, vamos fazer a apresentação e análise dos resultados que buscamos nas nossas
oficinas de trabalhos levados a cabo ao longo da pesquisa.
Tabela4: Resultados do teste diagnóstico aplicado
Nº Alínea Respostas dos alunos Alunos que: fi fa OBS
1
a) 62
63 12
562
63
; 6
1762
63
;69
62
63
Acertaram 6 20% Não acertaram 24 80%
b) 11
3119
1116
04
113
119
1116
; 4
7113
119
1116
Acertaram 8 26,6% Não acertaram 22 73,3%
c)
252
210
252
; 627
252
)3()6(
Acertaram 0 0% Não acertaram 30 100%
d)
321
43
86
321
43
; 6
7321
43
Acertaram 2 6,6% Não acertaram 28 93,3%
e)
2
313
51
312 5
8256
31
872
85
Acertaram 0 0% Não acertaram 30 100%
f) 2)9,23(1,2 072)9,23(1,2
;
22429,11,2
Acertaram 0 0% Não acertaram 30 100%
21
Oficina de trabalho: Realização de um teste diagnóstico (Figura 1 e 2: Fonte- autor)
Exercícios Propostos, para o teste diagnóstico.
1. Resolva
a) 62
63
Tabela 5: Resposta esperada e obtidas da aliena a.
Resposta esperada Respostas dos alunos fi fa
65
623
62
63
65
62
63
6 20%
125
62
63
8 26,6%
617
62
63
;69
62
63
16 53,3%
Como podemos observar na tabela, apenas 20% dos alunos submetidos ao teste diagnóstico é que
acertaram esta questão, cujo objectivo era de descobrir se os alunos possuem o conhecimento
sobre as regras de adição e subtracção de fracções.
E o que notamos, é que os alunos possuem conceito de fracção como mais um conteúdo e não
como uma unidade de medida. A demais, apresentam também uma forma de resolver que é de
22
difícil decifração. Assim pudemos notar que existe de facto uma falta de conhecimento da regra
da adição e subtracção de fracções.
Figura: 3 e 4- Fonte autor - (Resolução do teste diagnóstico) – Oficina de trabalho
b) 113
119
1116
Tabela 6: Resposta esperada e obtidas da aliena b.
Resposta esperada
Respostas dos alunos fi fa
114
113916
113
119
1116
114
113916
113
119
1116
8 26,6%
04
113
119
1116
3 10%
47
113
119
1116
1 3,3%
Outras maneiras 18 60%
Nesta alínea, os alunos apresentaram até algumas habilidades em manipular os números
racionais, mas sem necessariamente ter uma compreensão clara do conceito de adição e
subtracção de fracções.
NUNES & BRYANT (1997) argumentam que:
“Com as fracções as aparências enganam. Às vezes as crianças parecem ter uma compreensão completa das fracções e ainda não a
23
têm. Elas usam os termos fraccionários certos; falam sobre fracções coerentemente, resolvem alguns problemas fraccionais; mas diversos aspectos cruciais das fracções ainda lhes escapam. De fato, as aparências podem ser tão enganosas que é possível [… ] alunos passem pela escola sem dominar as dificuldades das fracções, e sem que ninguém perceba”.
Essa afirmação acima pode ser constatada quando observamos o baixo desempenho atingido
pelos alunos frente a situações que envolvem o conceito de adição e subtracção, na sua
representação fraccionária, em questões bem próximas daquelas trabalhadas em sala de aula e
apresentadas na maioria dos livros didácticos.
c)
252
Tabela 7: Resposta esperada e obtidas da aliena c.
Resposta esperada Respostas dos alunos fi fa
29
254
25
24
252
)1()2(
Nota: Nenhum aluno acertou
47
252
3 10%
210
252
3 10%
627
615
612
252
)3()6(
2 6,6%
Outras formas 22 73%
Nesta alínea a situação tornou-se grave, pois o exercício foi tão pragmático que nenhum aluno
ousou acertar. A questão que levantamos, não é porque os alunos não acertaram, mas sim porque
os alunos resolveram desta maneira. Ou então qual é a motivação que eles tem para resolverem
desta forma exercícios ligados com a adição e subtracção de fracções, com denominadores
diferentes que necessitem do cálculo do m.m.c. No entanto, o facto curioso é de o grosso dos
alunos não apresentarem nenhuma ideia que se relaciona com as regras de adição e subtracção de
fracções.
24
Figura 5- Fonte autor- Oficina de trabalho
d) 321
43
Tabela 8: Resposta esperada e obtidas da aliena d.
Resposta esperada Respostas dos alunos fi fa
1229
12209
1220
129
35
43
321
43
)4()3(
1229
1220
129
35
43
321
43
)4()3(
1 3,3%
86
321
43
3 10%
67
321
43
1 3,3%
Outras formas 25 83,3%
e)
2
313
51
312
Tabela 9: Resposta esperada e obtidas da aliena e.
25
Resposta esperada Respostas dos alunos fi fa
1522
154870
1545330535
1530
155
1545
153
37
2313
51
312
)5(
)15()5(
)15()3(
Nota: Nenhum aluno acertou o exercício
15112
1545305335
1530
155
1545
153
37
2313
51
312
)5(
)15()5(
)15()3(
3
10%
582
56
31
872
85
3
10%
8112
313
51
312
2 6,6%
1172
313
51
312
2
6,6%
Outras formas 20 66,6%
f) 2)9,23(1,2
Tabela 10: Resposta esperada e obtidas da aliena f.
Resposta esperada Respostas dos alunos fi fa
62829,51,2
2)9,23(1,2
Ou
61060
1020293021
210293
1021
2)9,23(1,2
)10()10(
Nota: Nenhum aluno acertou o exercício
8,51,29,729,59,232)9,23(1,2
2
6,6%
072)9,23(1,2
3 10%
101,2261,22)9,23(2)9,23(1,2
2
6,6%
22429,11,2
6 20%
992)9,23(12)9,23(1,2
S
3
10%
Outras formas de resolver 14 46,6%
Concluindo sobre a resolução das últimas 3 alíneas, notamos que as dificuldades concentram-se
nas operações com fracções (adição e subtracção). Os alunos têm algumas ideias formadas, mas
26
não tem bem construído o conceito de número racional (fracção). Pois encontramos uma
transferência de regras, introdução de fórmulas que não justificam o trabalho do professor.
Especulamos, dizer que isso acontece, pelo facto de números Racionais (fracções) serem a
generalização dos números naturais. Pois apesar de os números Racionais herdarem conceitos e
propriedades dos números naturais, esses novos apresentam peculiaridade que geram dificuldades
na sua aprendizagem.
Rodrigues (2005) afirma que algumas escolhas da unidade, formas diferentes de representar uma
mesma quantidade, um mesmo número representando quantidades diferentes, em função da
unidade. Segundo ele, essas peculiaridades agregam dificuldades à compressão da ordem entre os
números Racionais. Daí que concordamos e acrescentamos, ‘para que o aluno compreenda o que
é o número racional e consiga operar (adicionar e subtrair) com ele, é importante que ele trabalha
com quantidades diferentes (contínuas e discretas), perceba as diversas formas de representar um
mesmo número, e que um mesmo número, ou mesma representação, pode ter significados
diferentes (contextos).
Como sabemos, para obter sucesso no ensino da matemática, e em particular, das fracções, não é
suficiente apenas saber o conceito que se vai ensinar. Outras variáveis como as relações
interpessoais entre professor/aluno, aluno/aluno, a dinâmica das aulas, os recursos pedagógicos, a
concepção de aprendizagem, são factores determinantes nesse processo.
Segundo Brolezzi (1996:1), o ensino da matemática não tem conseguido “construir na mente dos
alunos um conceito de Número Racional que permita sua utilização mais tarde. As operações
com Racionais são, quanto muito mecanizadas em torno de algumas regrinhas básicas
geralmente confundidas umas com as outras”.
Hiebert e Beher ( apud Tinoco & Lopes, 1994: 13) constataram que ”as criançasnão percebem
um número Racional, ou fracção, como um simples número. A ideia de que fracção é um par de
números naturais persiste em muitas crianças por um período de tempo considerável, mesmo
depois de terem iniciado o estudo dos números Racionais”.
Como observamos, os alunos mostraram muitas dificuldades para resolver os exercícios que nós
colocamos no teste diagnóstico. No entanto vamos rever a construção do conhecimento segundo
PIAGET.
27
4.1. A construção do conhecimento segundo Piaget.
Segundo Tafner (2008), Piaget, ”para explicar o desenvolvimento intelectual, partiu da ideia de
que os actos biológicos são actos de adaptação ao meio físico e organizações do meio ambiente,
sempre procurando manter um equilíbrio”. A actividade intelectual está interligada ao
funcionamento total do organismo.
CARUSO (2002:118) afirma que “para Piaget, a inteligência não nasce com o surgimento da
linguagem organizada, mas é fruto de um processo de desenvolvimento que a precede [… ] a
inteligência é uma adaptação, ou, ainda, uma organização cuja função consiste em estruturar o
universo tal como o organismo estrutura o meio de imediato“.
Organização é inseparável de adaptação, do ponto de vista biológico, porque “o sujeito, ao
adaptar-se, mantém sua organização”. (Caruso, 2002:120). ”São dois processos complementares
de um único mecanismo, sendo que o primeiro é o aspecto interno do ciclo do qual a adaptação
constitui o aspecto externo“ (Tafner, 2008).
Segundo Becker (1997:19):
Ao contrário da forma definitiva dada a priori, Piaget apresenta a forma ou estrutura activamente construída, através de sucessivas e controladas correcções, por um duplo e solidário processo organização (interdependência dos elementos dados) e da adaptação (equilíbrio entre a assimilação e a acomodação)
Portanto, o conhecimento se dá através de estruturas activamente construídas e a acção do sujeito
sobre o meio ocorre através do processo de adaptação, considerada “a essência do funcionamento
intelectual” ( Pulaski, 1986, apud Tafner, 2008).
O processo de adaptação acontece a partir de outros dois processos: assimilação e acomodação. A
assimilação acontece por meio de esquemas. Para Becker (1997:34), ʻʻa assimilação implica
esquemas [… ] e os dois se apoiam um sobre o outro, numa regressão sem fim. Todo esquema é o
produto de assimilações anteriores, assim toda assimilação é a incorporação de objecto um
esquema anterior, já formado ou em construçãoˮ.
Tafner (2008), discorrendo sobre a utilização dos esquemas, descreve seu funcionamento:
28
Uma criança apresenta certo número de esquemas, que grosseiramente poderíamos compra-los como fichas de um arquivo. Diante de um estímulo, essa criança tenta encaixar o estímulo em um esquema disponível. Vemos então que os esquemas são estruturas intelectuais que organizam os eventos como eles são percebidos pelo organismo e classificados em grupos, de acordo com características comuns.
Daí que se nos esquemas formados pelos alunos sobre a adição e subtracção de números racionais
não estiverem profundamente construídos/ formados nada não conseguirá ter a resposta certa
diante um estímulo.
4.1.1. Assimilação e acomodação
Becker (1997:32) Cita Piaget para definir a assimilação. Em sentido mais geral, é a
"incorporação dse uma realidade externa qualquer a uma ou outra
parte do ciclo de organização orgânica ou mental, e em sentido
mais específico, é uma incorporação dos objectos aos esquemas
das acções do sujeito (quer dizer, à estrutura das acções julgadas
equivalentes entre elas pelo sujeito), de tal forma que um objecto é
percebido e concedido em função das acções que o utilizam".
Segundo ele, a assimilação encontra-se presente tanto na vida orgânica, quanto na vida psíquica
ou mental, e toda actividade intimamente ligada à assimilação leva ao desenvolvimento.
Assimilar é também coordenar o novo e o antigo, pois implica incorporar um dado actual a um
esquema já construído – ou em vias de construção; de qualquer forma, um esquema que já têm
seu passado (Becker, 1997:33). Em outras palavras, quando um sujeito passa por experiencias
novas (vendo, ouvindo, desenvolvendo), ele tenta adequar os novos estímulos aos esquemas que
já possui. Tafner (2008) traz um exemplo para explicar a assimilação. Imaginemos uma criança
que está aprendendo a reconhecer animais e que o único conceito que possui é o de um cachorro.
Quando vêum cavalo, diz que é um cachorro, analisando-o pelas semelhanças (quatro patas, rabo,
pescoço, etc). Com a intervenção de um adulto, dizendo-lhe que é um cavalo, ela então
acomodaráaquele estímulo a um esquema para o conceito de cachorro e outro para o conceito
de cavalo (Tafner, 2008).
29
Na assimilação, durante a incorporação dos objectos aos esquemas,
ʻʻou um esquema se aplica, ou não, o sujeito consegue ou não consegue assimilar as situações a um esquema, sobrevém uma terceira possibilidade: a modificação do esquema de assimilação. Se a assimilação é a incorporação do meio à estrutura, a acomodação é a modificação dessa estrutura em função das modificações do meioˮ (Becker, 1997:48)
Assim, frente a um novo estímulo, a acomodação acontece quando a criança não consegue
incorporá-lo a esquemas já existentes e necessita modificá-los ou criar um novo esquema. Para
Tafner (2008) ʻʻ ambas as acções resultam em uma mudança na estrutura cognitiva. Ocorrida a
acomodação, a criança pode assimilar o estímulo novamente, e uma vez modificada a estrutura
cognitiva, o estímulo é prontamente assimiladoˮ.
Perante estas explicações acima, notamos que maior parte dos alunos não conseguiram acomodar
os novos estímulos ( as regras ou princípios que devem ser seguidos na adição e subtracção de
facções), por isso não conseguiram assimilar tais regras. Daí que quando eles deparam com
situações que lhes exige a aplicação das regras de adição e subtracção de fracções, não
conseguirem as suas mentes encontrarem os esquemas já formados, acabando parecendo
novidade as situações que lhes são chamados a dar respostas.
4.2. Relatório de assistência de aulas
Tabela 11: Alguns pontos relevantes da assistência efectuada
Prof.
Questão Observada
Resultados OBS Sim Não 1Pouco
A Recorre ao campo de experiência do aluno? X B X A Formula perguntas claras e precisas? X B X A Considera as diferenças que os alunos têm na
percepção da matéria? X
B X A Manifestar gosto e interesse pelo exercício da
função docente, assumindo uma atitude de entrega, empenhamento e criatividade.
X B
30
O objectivo desta assistência, era de descobrir se os professores aplicam o teste diagnóstico no
acto da introdução deste conteúdo, e como procedem a leccionação do mesmo. Daí, trazemos
aqui a importância da avaliação diagnostica e como deve ser aplicada ao longo do processo de
ensino-aprendizagem.
Para KRAEMER (2006) a avaliaçãodiagnóstica é baseada em averiguar a aprendizagem dos
conteúdos propostos e os conteúdos anteriores que servem como base para criar um diagnóstico
das dificuldades futuras, permitindo então resolver situações presentes. Nesse olhar, percebeu-se
que o papel da avaliação diagnóstica, objectiva investigar os conhecimentos anteriormente
adquiridos pelo educando, propiciando assim, assimilar conteúdos presentes que são partilhados
no processo ensino aprendizagem.
Blaya ao reportar-se a avaliação diagnóstica destaca que:
Avaliação Diagnóstica tem dois objectivos básicos: identificar as competências do aluno e adequar o aluno num grupo ou nível de aprendizagem. No entanto, os dados fornecidos pela avaliação diagnóstica não devem ser tomados como um "rótulo" que se cola sempre ao aluno, mas sim como um conjunto de indicações a partir do qual o aluno possa conseguir um processo de aprendizagem. (BLAYA, 2007).
Ao reflectir sobre a função da avaliação diagnóstica, a ênfase dada é identificar os conteúdos e
competências, objectivando saber qual nível encontra-se o aluno, bem como destacar que o seu
principal foco não é voltado à nota, mais em um diagnóstico para compreender o processo da
produção do conhecimento. Ao referir-se sobre a avaliação diagnóstica, Gil revela que:
“constitui-se num levantamento das capacidades dos estudantes em
relação aos conteúdos a serem abordados, com essa avaliação,
A Respeito pelas ideias e enquadra-los na matéria em estudo ou não descriminar as opiniões.
X
B X
A Utilização de material didáctico. X B X A Os seus exemplos são com base na vida do
aluno? X
B X A Explica aos alunos quando nota dúvidas
trazidas das classes anteriores, mas que tem a ver com a matéria que está sendo leccionada?
X
B X
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busca-se identificar as aptidões iniciais, necessidades e interesses
dos estudantes com vistas a determinar os conteúdos e as
estratégias de ensino mais adequadas”. (GIL, 2006:247).
Contudo, nesta assistência que efectuamos evidenciou-se que a avaliação diagnostica não é posta
em prática pelos professores, daí que eles não possuem nenhuma informação sobre as
dificuldades que os alunos trazem consigo do EB. Essa forma de trabalhar, suportando-se nas
várias posições sustentados pelos autores acima citados sobre a avaliação diagnóstica os
resultados são exactamente os que encontramos. Alunos com problemas sérios de resolver uma
expressão que envolve a adição e subtracção de números racionais, pois se os professores dessem
conta da prática de fazer uma auscultação dos conhecimentos que devem anteceder o ensino deste
conteúdo, acreditamos que o cenário seria diferente, porque começariam por corrigir os
problemas que os alunos tem e em seguida leccionariam aquela matéria.
Freire (1997:17), diz que o professor deve convencer-se definitivamente de que ensinar não é
transferir conhecimentos, mas criar um bom ambiente na sala de aulas, organizando tarefas
concretas, que possibilitam o sujeito construir o seu saber. Daí que é de extrema importância o
uso desta metodologia de ensino, ou seja, esta prática é indispensável no trabalho docente e
qualquer que seja o conteúdo a leccionar.
4.3. Análise e crítica dos conteúdos do livro de matemática em uso na escola.
Queremos antes de tudo lamentar porque nesta escola, existe apenas livro de SAPATINHA, J.C
& GUIBUNDANA, D. Saber matemática 8ª classe. Longmam, Maputo, 2008, daí que o nosso
trabalho foi exactamente de fazer análise da forma como este conteúdo é abordado. No entanto,
embora ter sido o Ministério que recomendou o uso do livro deste autor, ele tem um aporte
teórico fraco, do ponto de vista das novas exigências do PEA. Dado que aquele livro, de acordo
com o título é do aluno e não do professor, mas da página 22 à 25 onde trata da adição e
subtracção de números racionais, não apresenta uma forma de estudo individualizado que
possibilite a compreensão por parte do aluno, dado que a tarefa do professor não transmitir
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conhecimento, mas sim criar um ambiente e orientar a aprendizagem dos participantes no sentido
de capacitá-los para discutir as informações recebidas. Para tanto deverá dar ênfase aos aspectos
formativos, procurando transformar o participante de simples espectador, de mero e passivo
receptor, de elemento manipulado pelo tema, em elemento crítico da mensagem em estudo. E,
isso será possível quando os livros trazerem uma abordagem de conteúdos que ajuda ao aluno a
fazer o estudo individualizado.
O livro, antes de mais deveria fazer uma revisão dos critérios de cálculo de m.m.c que o aluno
aprendeu na 6ª e 7ª classe, ou então, como metodologia, é preciso rever o que antes o aluno
aprendeu para posterior introdução do novo conteúdo, pois desta forma estaríamos a utilizar o
método indutivo, que consiste em introduzir aos poucos o complexo partindo do simples. Ainda,
constatamos o mesmo problema cometido pelos professores de não dar a avaliação diagnóstica,
porque se o livro não começa por rever o antes, significa não valoriza este ponto indispensável no
PEA.
De facto este livro possui uma forma de abordar esse conteúdo de uma forma muito diferente da
dos outros que a escola poderia fazer a aquisição e facilitar o trabalho do professor, mas
infelizmente é único que existe em uso lá.
33
Capítulo V: Conclusão e recomendações
5. Conclusão
Depois do estudo que levamos a cabo das diversas obras literárias e da experiência nossa como
docente desta disciplina, constatamos que muito deve ser feito para mudar o cenário que está
sendo vivido. No entanto, este conteúdo exige que o aluno tenha conhecimentos de multiplicação
de números naturais, também exige o conhecimento de fracções equivalentes, daí que nada temos
a contrapor à respeito da organização dos conteúdos no currículo escolar Moçambicano embora
não podemos dizer o mesmo à respeito do seu desenvolvimento, visto, a multiplicação o aluno
estuda desde a 1ª classe, e as fracções são introduzidas á partir da 5ª classe, a adição e subtracção
de fracções é introduzida desde à 6ª classe em diante.ʻʻa compreensão de fracção é o passo
crítico na compreensão de números racionais porque fracções constituem a primeira introdução
à abstracçãoˮ( Wu, 2005:2) , daí que pretendemos demonstramos que se começarmos cedo a
enfrentar os erros mais comum pelos alunos cometidos, iremos de certo modo minimizar esta
situação.
Contudo, notamos que as causas das dificuldades que os alunos encaram neste conteúdo de
adição e subtracção de números Racionais (fracções) deve-se principalmente á:
Fraco domínio da tabuada por parte dos alunos, embora estudarem desde a 1ª classe, a
realidade mostra que até alunos da 12ª classe hoje em dia têm problemas sérios na
recitação da tabuada, isto é, o aluno é mal preparado no ensino básico, daí que não ter
capacidades para recitar tabuada e calcular m.m.c pelo processo de conjunto e pelo
processo de decomposição em factores primos.
a falta de aplicação de metodologias adequadas ao longo da leccionação das aulas pelos
professores (não se aplica o teste diagnóstico, não exige o aluno a dominar a tabuada, não
34
lima os erros que os alunos tem para depois leccionar a sua matéria), sendo a grande
preocupação deste o cumprimento do programa de ensino;
o manual utilizado na escola, não possibilita o estudo individualizado, daí que os alunos
estão condenados a serem dependentes apenas da explicação do professor o mesmo que
não aplica metodologias adequadas;
5.1. Recomendações
Das nossas conclusões, vamos deixar as seguintes recomendações para diferentes níveis
(Ministério, professores e alunos).
1. Os professores devem intensificar os trabalhos de ensino da recitação da tabuada nas
classes iniciais (1ª à 5ª classe), para garantir que o aluno tenha a capacidade de formar
conjunto dos múltiplos de um número.
2. Os alunos devem serem mais dedicados para facilitar o trabalho dos professores, visto se
não houver a motivação intrínseca por parte deles, em vão será o trabalho dos professores
na sala de aulas.
3. É importante que os professores não se rendam em atirarem-se culpas de mau trabalho
que os outros das classes do EB fizeram, daí que é preciso quando os professores do ESG
no 1º ciclo procurem formas de limar estes problemas para que possam garantir maior
serenidade na abordagem dos outros conteúdos que necessitam da aplicação destes
conteúdos ao longo da resolução de diversos problemas.
4. Para a Direcção da escola e os professores, devem adquirir os seguintes livros para o uso
na escola:
LANGA, Heitor; CHUQUELA, Neto João. Matemática 8ª classe. Plural Editores.
Maputo, 2013
MARTINS, Zeferino. Matemática M8. Texto Editores, Maputo, 2011, 1ª ed.
NHÊZE, I.C ; JOÃO, R; NHABIQUE, F.F. Matemática para todos 8ª classe. ENM,
Maputo, 2010
35
xi
Referências bibliográficas
BLAYA, Carolina. Processo de Avaliação. Disponível em
<http://www.ufrgs.br/tramse/med/textos /2004_07_20_tex.htm> , acesso em 27-5-2015
BECKER, Fernando. Da acção à operação: o caminho da aprendizagem em J. Piaget e
P.Freire. Rio de Janeiro: DP & A Editora e palmarinca, 1997
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. Tradução de Elza Gomide. São Paulo.
Edgard Blucher, p. 378, 1974
BROLEZZI, António Carlos. Fracções e Decimais: História e significado CAEM/USP,
1996
CARUSO, Paulo DM. Professor de matemática: transmissão de conhecimentos ou
construção de significados? Tese (Doutoramento em educação) - UFRS, Porto Alegre,
2002
CARVALHO, Dione Luchessi de. Metodologias do ensino da Matemática. 2ª ed.rev –
São Paulo: Cortez, 1994
DANTE, L.R. Uma proposta para mudanças nas ênfases ora dominantes no ensino de
matemática. Brasília, Revista do professor de matemática, 1987.
DAVID, M.M.S.; FONSECA, M.C.F.R. Sobre o conceito de número racional e a
representação fracionária. Belo Horizonte, Presença Pedagógica, v.3, n.14, mar/abr. 1997.
D’AMBRÓSIO, Ubiratan.A História da Matemática: questões historiográficas e políticas e
reflexos na Educação Matemática. São Paulo: UNESP, 1996
FREIRE, Paulo.Pedagogia da autonomia. São Paulo: Editora Paz e Terra, 1997.
GIKOVATE, Flávio. A arte de educar. Curitiba: Nova Didáctica, p. 512001.
GIL, Antonio Carlos. Didática do ensino superior. São Paulo: Atlas, 2006.
KRAEMER, Maria Elisabeth Pereira. Avaliação da aprendizagem como construção do
saber. 19/07/2006.
MACHADO, Nilson José. Matemática e Língua materna: Análise de uma impregnação
mútua. 5ª ed – São Paulo: Cortez, 2001
IFRAH, Georges. Os números: a história de grande invenção. 4ª ed. São Paulo:
Globo,1987
MARTINS, Zeferino. Matemática M8. Texto Editores, Maputo, 2011, 1ª ed.
xii
MEIRA, Luciano. O “Mundo Real” e o Dia-a-Dia no Ensino de Matemática. A Educação
Matemática, Recife, ano 9, nº 1, p. 19, Julho 2002.
MENDES, Jackeline Rodrigues et all. Números Racionais no Ensino Fundamental:
subconstructos, o papel da linguagem e dos materiais manipulativos. NEPEM, UFPE,
2004
MURIMO, Adelino; MORGADINHO, Stella. Didáctica da Matemática. Textos Editores,
Maputo, Dezembro de 2007, 1ª ed.
NHÊZE, I.C ; JOÃO, R; NHABIQUE, F.F. Matemática para todos 8ª classe. ENM, Maputo,
2010
SAPATINHA, J.C & GUIBUNDANA, D. Saber matemática 8ª classe. Longmam, Maputo,
2008
RODRIGUES, Wilson Roberto. Números Racionais: um estudo das concepções de alunos
após o estudo formal. Dissertação (Mestrado em educação Matemática) - PUC, São Paulo,
2005
SÃO PAULO (ESTADO), SECRETARIA DE EDUCAÇÃO. Proposta curricular para o
ensino de matemática. São Paulo, CENP/SE, 1992.
STRUIK, Dirk J. História Concisa das Matemáticas. Gradiva, Lisboa, 1989
TAFNER, Malcon Msc. A construção do conhecimento segundo Piaget. Revista
Electrónica de divulgação científica em Neurociência, 2008. Disponível em:
http://www.cerebromente.org.br/n08/mente/construtivismo/construtivismo.htm16/03
xiii
Apêndice
xiv
Anexo 1: Teste diagnóstico
Caro aluno!
Armando Paulo Curanganua, estudante da Universidade Católica de Moçambique no Centro de
Ensino à Distancia do Búzi, que neste momento está a fazer um estudo sobre o tema:
Dificuldades Encaradas pelos Alunos na Adição e Subtracção de Fracções na 8ª classe, com o
objectivo de conhecer as causas encaradas pelos alunos na adição e subtracção de números
Racionais (fracções) na 8ª classe, quero agradecer a sua disposição por fazer parte da amostra da
nossa pesquisa e dizer que tenha a paciência de responder com clareza as questões que lhe serão
apresentados.
Obrigado.
1. Resolva
a) 62
63
b) 113
119
1116
c)
252
d) 321
43
e)
2
313
51
312
f) 2)9,23(1,2
FIM
Bom Trabalho!