Notas de leitura em Teoria dos Grafos:Introducao a Grafos

Walner Mendonca dos Santos∗

Universidade Federal do Ceara

Abstract

Minhas notas do livro Graph Theory, Diestel. As notacoes sao as mesmas doDiestel.

Keywords: Teoria dos grafos.

1. O grau de um vertice

Proposicao 1.1. Para todo grafo G = (V, E), temos:∑v∈V

d(v) = 2|E| (1)

Demonstracao. Contagem dupla dos pares (v, e) ∈ V × E.

Proposicao 1.2. O numero de vertices de grau ımpar em um grafo e sempre par.

Demonstracao. Um grafo sobre V tem 12

∑v∈V d(v) arestas, entao

∑d(v) e um

numero par.

Proposicao 1.3. Todo grafo G com pelo menos uma aresta tem um subgrafo Hcom δ(H) > ε(H) ≥ ε(G).

Demonstracao. Vamos construir H a partir de G deletando vertices de grau pe-queno um por um ate restarem somente vertices de grau alto. Podemos deletarvertices v de um grafo qualquer G sem diminuir ε(G), desde que d(v) ≤ ε(G).Assim, o numero de vertices decai uma unidade e o numero de arestas decai, no

∗Aluno de bacharelado em Matematica pela Universidade Federal do Ceara.Email address: walner@alu.ufc.br (Walner Mendonca dos Santos)

Preprint submitted to Combinatorial Theory 23 de outubro de 2012

maximo, ε(G), de modo que a razao global ε(G) de arestas por vetices nao iradiminuir.

Formalmente, contruımos uma sequencia G = G0 ⊇ G1 ⊇ . . . de subgrafosinduzidos de G como segue. Se Gi tem um vertice vi de grau d(vi) ≤ ε(Gi),facamos Gi+1 := Gi− vi; se nao, terminamos nossa sequencia e facamos H := Gi.Pela a escolha de vi, temos ε(Gi+1) ≥ ε(Gi) para todo i, e portanto ε(H) ≥ ε(G).

O que mais podemos dizer sobre o grafo H? Desde que ε(K1) = 0 < ε(G),nenhum dos grafos em nossa sequencia e trivial, entao, em particular, H , ∅. Ofato de que H nao tem vertice adequado para ser deletado implica δ(H) > ε(H),como afirmado.

2. Caminhos e Ciclos

Definicao 2.1 (Caminho). Um caminho e um grafo nao-vazio P = (V, E) daforma

V = {x0, x1, . . . , xk} E = {x0x1, x1x2, . . . , xk−1xk}, (2)

onde xi sao todos distintos. O numero de arestas de um caminho e o seu tamanho,e o caminho de tamanho k e denotado por Pk.

Definicao 2.2 (Ciclo). Um ciclo e um grafo nao-vazio C = (V, E) da forma

V = {x0, x1, . . . , xk} E = {x0x1, x1x2, . . . , xk−1xk, xkx0}, (3)

onde xi sao todos distintos. Equivalentemente, dado um caminho P = x0 . . . xk,um ciclo e um grafo C := P + xkx0. O numero de arestas de um ciclo e o seutamanho, e o ciclo de tamanho k e denotado por Ck.

Proposicao 2.1. Todo grafo G contem um passeio de tamanho δ(G) e um ciclode tamanho pelo menos δ(G) + 1 (desde que δ(G) ≥ 2).

Demonstracao. Seja x0 . . . xk um caminho de maior comprimento em G. Entaotodos os vizinhos de xk estarao sobre o caminho (Figura 1). Portanto k ≥ d(xk) ≥δ(G). Se i < k e mınimo com xixk ∈ E(G), entao xi . . . xkxi e um ciclo decomprimento no mınimo δ(G) + 1.

Proposicao 2.2. Todo grafo G contem um ciclo satisfazendo g(G) ≤ 2diam G+1.

Demonstracao. Seja C um ciclo de menor comprimento em G. Se g(G) ≥2diam G + 2, entao C tem dois vertices cuja a distancia em C e no mınimodiam G + 1. Em G, estes vertices tem uma distancia menor; qualquer caminho P

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Figura 1: Um caminho x0 . . . xk de maior comprimento e os vizinhos.

mais curto entre eles nao e portanto um subgrafo de C. Portanto, P contem umC − caminho xPy. Juntamente com o mais curto dos dois caminhos x − y, estecaminhos xPy forma um ciclo menos do que C, uma contradicao.

Proposicao 2.3. Para todo grafo G, temos:

rad G ≤ diam G ≤ 2rad G. (4)

Demonstracao. Lembremos que

rad G := minx∈V(G)

maxy∈V(G)

dG(x, y) (5)

diam G := maxx∈V(G)

maxy∈V(G)

dG(x, y). (6)

Logo, a primeira desigualdade e valida. Para provarmos a segunda desigualdade,seja v ∈ V(G) um vertice central, i.e., um vertice tal que a maior distancia paraqualquer outro vertice e a menor possıvel. Esta distancia e o raio de G.

Suponhamos que diam G > 2rad G, para algum grafo G. Seja P um caminhotal que |P| = diam G. Seja x e y as extremidades de P. Seja u um verticequalquer em P. Seja Q um caminho que ligue u a v (este caminho pode sernulo). Olhemos para os caminhos P1 := xPuQv e P2 := yPuQv. Pela definicaode raio, |P1| ≤ rad G e |P2| ≤ rad G, isso implica que |P1| + |P2| ≤ 2rad G. Poroutro lado, |P1| + |P2| ≥ |P| = diam G, pela forma da qual definimos P1 e P2,contrariando a hipotese de que diam G > 2rad G. Logo, diam G ≤ 2rad G.

Proposicao 2.4. Um grafo G de raio no maximo k e grau maximo nao maior qued ≥ 3 tem menos do que d

d−2 (d − 1)k vertices.

Demonstracao. Seja z um vertice central em G, e seja Di o conjunto de verticesv de G tal que d(v, z) = i. Entao V(G) =

⋃ki=0 Di. Claramente |Do| = 1 e |D1| ≤ d.

Para i ≥ 1, temos |Di+1| ≤ (d − 1)|Di|, porque qualquer vertice em Di+1 e umvizinho de um vertice em Di, e cada vertice em Di tem no maximo d−1 vizinhosem Di+1 (uma vez que tem outro vizinho em Di−1). Portanto |Di+1| ≤ d(d − 1)i,para todo i < k pela inducao, resultando

|G| ≤ 1 + dk−1∑i=0

(d − 1)i = 1 +d

d − 2((d − 1)k − 1) <

dd − 2

(d − 1)k.

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Para d ∈ R e g ∈ N, seja

n0(d, g) :=

1 + d

r−1∑i=0

(d − 1)i, se g =: 2r + 1 e ımpar;

2r−1∑i=0

(d − 1)i, se g =: 2r e par.

(7)

Proposicao 2.5. Seja G um grafo e seja δ = δ(G) e g = g(G). Entao G tem pelomenos n0(δ, g) vertices.

Demonstracao. A demonstracao seguira o mesmo raciocıno da prova da Proposicao2.4. Vamos separar em dois casos: g sendo ımpar e g sendo par.

(g := 2r + 1) Seja x um vertice de G. Seja Di o conjunto dos vertices v de Gtal que d(v, x) = i. Entao V(G) =

⋃r−1i=0 Di. Claramente |D0| = 1 e |D1| ≥ d. Para

i ≥ 1, temos |Di+1| ≥ (d − 1)|Di|, pois qualquer vertice de Di+1 e um vizinho deum vertice em Di e cada vertice de Di tem pelo menos d − 1 vizinhos em Di+1

(uma vez que tem outro vizinho em Di−1). Portanto |Di+1| ≥ d(d − 1)i para todoi < r pela inducao, resultando

|G| ≥ 1 + dr−1∑i=0

(d − 1)i = 1 + d(d − 1)r − 1

d − 2

(g := 2r) Seja x e y dois vertices adjacentes de G. Seja Di o conjunto dosvertices v de G tal que min(d(v, x), d(v, y)) = i. Entao V(G) =

⋃r−1i=0 Di. Clara-

mente |D0| = 2. Observe que |D1| ≥ 2(d − 1), pois x possue pelo menos d − 1vizinhos diferentes de y e este, por sua vez, possue pelo menos d − 1 vizinhosdiferentes de x – a menos que g seja igual a 3, mas estamos assumindo g par.Para i ≥ 1, temos |Di+1| ≥ (d − 1)|Di|, pois qualquer vertice de Di+1 e um vizinhode um vertice em Di e cada vertice de Di tem pelo menos d − 1 vizinhos em Di+1

(uma vez que tem outro vizinho em Di−1). Portanto Di ≥ 2(d−1)i para todo i < rpela inducao, resultando

|G| ≥ 2r−1∑i=0

(d − 1)i = 2(d − 1)r − 1

d − 2

Teorema 2.1 (Alon, Hoory & Linial 2002). Seja G um grafo. Se d(G) ≥ d ≥ 2 eg(G) ≥ g ∈ N, entao |G| ≥ n0(d, g)

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Corolario 2.1. Se δ(G) ≥ 3, entao g(G) < 2 log |G|.

Demonstracao. Se g := g(G) e par, entao

n0(3, g) = 22q/2 − 1

2 − 1= 2g/2 + (2g/2 − 2) > 2g/2, (8)

enquanto que, se g e ımpar, entao

n0(3, g) = 1 − 32(q−1)/2 − 1

2 − 1=

3√

22g/2 − 2 > 2g/2. (9)

Como |G| ≥ n0(3, g), o resultado segue.

Teorema 2.2. Seja A = (ai j)n×n a matriz de adjacencia de um grafo G. A matrizAk = (a′i j)n×n mostra, para todo i, j ≤ n, o numero a′i j de caminhos de tamaho kde vi ate v j em G.

3. Conectividade

Proposicao 3.1. Os vertices de um grafo conexo G podem sempre ser enumera-dos, digamos v1, . . . , vn, de tal forma que Gi := G[v1, . . . , vi] e conexo para todoi.

Demonstracao. Pegue qualquer vertice v1 e assuma indutivamente que v1, . . . , vk

tem sido escolhido para algum i < |G|. Agora pegue um vertice v ∈ G−Gi. ComoG e conexo, ele contem um v−v1 caminho P. Escolha como vi+1 o ultimo verticede P em G −Gi; entao vi+1 tem um vizinho em Gi. A conexidade de qualquer Gi

segue pela inducao sobre i.

Definicao 3.1 (Conectividade). O menor numero de vertices que se deve deletarpara tornar um grafo G desconexo e a conectividade de G e e denotado porκ(G). O menor numero de arestas que se deve deletar para torna-lo desconexo ea aresta-conectividade de G e e denotado por λ(G).

Exemplo 3.1. κ(Kn) = λ(Kn) = n − 1;κ(Pn) = λ(Pn) = 1;κ(Cn) = λ(Cn) = 2;κ(T ) = λ(T ) = 1, onde T e uma arvore qualquer.

Proposicao 3.2. Se G e nao-trivial, entao κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G).

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Demonstracao. A segunda desigualdade segue do fato que todas as arestas in-cidentes com um vertice fixos separam-no de G. Para provar a primeira desi-gualdade, seja F qualquer subconjunto minimal de E tal que G− F e desconexo.Mostremos que κ(G) ≤ |F|.

Suponha primeiro que G tem um vertice v que nao e incidente com uma arestade F. Seja C a componente de G − F contendo v. Entao os vertices de C quesao incidentes com uma aresta em F possue ambas a extremidades em C (pelaminimalidade de F), existe no maximo |F| tais vertices, resultando κ(G) ≤ |F|,como desejado.

Suponha agora que todo vertice e incidente com um aresta em F. Seja vqualquer vertice e seja C a componente de G − F contendo v. Entao os vizinhosw de v com vw < F residem em C e sao incidentes com arestas disitintas emF, resultando dG(v) ≤ |F|. Como NG(v) separa v de todos os outros verticesem G, isto resulta em κ(G) ≤ |F| – a menos que nao exista outros vertices, i.e., amenos que {v}

⋃N(v) = V . Mas v foi escolhido com um vertice arbitrario. Entao

podemos assumir que G e completo, resultando em κ(G) = λ(G) = |G| − 1.

Teorema 3.1 (Mader 1972). Seja 0 , k ∈ N. Todo grafo G com d(G) ≥ 4k temum subgrafo (k + 1)-conexo H tal que ε(H) > ε(G) − k.

Demonstracao. Seja γ := ε(G) (≥ 2k), e considere o subgrafo G′ ⊆ G tal que

|G′| ≥ 2k e ‖G′‖ ≥ γ(|G′| − k). (10)

Tal grafo G′ existe, uma vez que G e um; seja H um de ordem menor.Nenhum grafo G′ como em (10) pode ter ordem exatamente 2k, uma vez que

isto implicaria que ‖G′‖ > γk ≥ 2k2 >(|G′ |2

). A minimalidade de H portanto

implica que δ(H) > γ: caso contrario poderıamos deletar um vertice de grau nomaximo γ e obtemos um grafo G′ ⊆ H ainda satisfazendo (10). Em particular,temos |H| ≥ γ. Dividindo a desigualdade ‖H‖ > γ|H| − γk de (10) por |H|,resultara ε(H) > γ − k, como desejado.

Resta mostrar que H e (k + 1)-conexo. Se nao, entao H tem uma separacaopropria {U1,U2} de ordem no maximo k; seja H[Ui] =: Hi. Uma vez que qual-quer vpertice v ∈ U1 \U2 tem todos os ses d(v ≥ δ(H) > γ vizinhos de H em H1,temos |H1| ≥ γ ≥ 2k. Similarmente, |H2| ≥ 2k. Como pela minimalidade de H,nem H1 nem H2 satisfazem (10), ainda temos

‖Hi‖ ≤ γ(|Hi| − k)

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para i = 1, 2. Mas entao

‖H‖ ≤ ‖H1‖ + ‖H2‖

≤ γ(|H1| + |H2| − 2k)≤ γ(|H| − k) (como |H1 ∩ H2| ≤ k),

o que contradiz (10) para H.

4. Arvores e florestas

Definicao 4.1 (Arvore e florestas). Um grafo acıclico, um que nao contem qul-quer ciclo, e chamado de floresta. Uma floresta conexa e chamado de arvore.

Teorema 4.1. As seguintes afirmacoes sao equivalentes para um grafo T:

(i) T e uma arvore;(ii) Qualquer dois vertices de T sao ligados por um unico caminho em T;

(iii) T e minimamente conexo, i.e., T e conexo, mas T − e e disconexo paraqualquer aresta e ∈ E(T );

(iv) T e maximamente conexo, i.e., T nao contem ciclos, mas T + xy contem,para qualquer dois vertices nao-adjacentes x, y ∈ V(T ).

Demonstracao. (i ⇒ ii) Suponha que algum par de vertice distintos u e v de Tsejam ligados por dois caminhos distintos P1 := x0x1 . . . xk e P2 := y0y1 . . . yl,onde x0 = y0 = u e xk = yl = v. Seja z1 um vertice tal que z1 = xi = yi, para omenor i possıvel, e tal que xi+1 e yi+1 sao distintos; e seja z2 um vertice tal quez2 = xi = y j, para o menor i e j possıvel, e tal que xi−1 e y j−1 sao distintos (tantoz1 quanto z2 deverao existir, pois P1 e P2 sao caminhos nao triviais e distintos).Afirmo que C := z1xixi+1 . . . z2y jy j−1 . . . z1 e um ciclo. De fato, pela definicao dez1 e z2, nenhum vertice em C − z1 − z2 deverao ser iguais. Mas isso contradiz ofato de T ser uma arvore.

(ii⇒ iii) Suponha que em T , qualquer dois vertices sao ligados por um unicocaminho e que T nao seja minimamente conexo, i.e., T −e e conexo para algumaaresta e ∈ T . Sejam u, v ∈ V(T ) os dois vertices incidentes com e. Sobre T , ocaminho trivial P = e conecta u a v, mas sobre T −e outro caminho os conectam,mas isso contradiz a hipotese de exixstir um unico caminho que conecta qualquerdois vertices de T .

(iii ⇒ iv) Seja T um grafo minimamente conexo. T nao tem um ciclo, poisse tivesse um ciclo C contradiria a hipotese de T ser minimamente conexo, poisT − e, onde e ∈ C, e ainda um grafo conexo. Agora se adicionarmos a T uma

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aresta e := xy, para algum par de vertices de T nao-adjacentes, o novo grafo teraum ciclo: pela conexidade de T , existe um caminho xPy em T que liga x a y etal caminho completa um ciclo com e em T , i.e., P + e e um ciclo em T .

(iv ⇒ i) Basta mostrar que T e conexo. Ora, se ao adicionarmos uma arestae := xy a T , para qualquer pares de vertices nao adjacentes x, y ∈ V(T ), criamosum ciclo C, o qual claramente contem xy, entao o caminho P := C − e, o qualesta em T , liga tais vertices x e y.

Corolario 4.1. Os vertices de uma arvore podem sempre ser enumerados, di-gamos v1, . . . , vn, de tal forma que todos os vertices vi com i ≥ 2 tem um unicovizinho em {v1, . . . , vi−1}.

Demonstracao. Use a enumeracao da Proposicao 3.1.

Corolario 4.2. Um grafo conexo com n vertices e uma arvore se, e somente se,ele contem n − 1 arestas.

Demonstracao. (⇒) Seja T uma arvore com n vertices. Por inducao, suponhaque a afirmacao seja verdadeira para i < n. Claramente, e verdadeiro para T =K1. Seja v ∈ V(T ) um vertice qualquer de T . Considere o grafo T − v. Ografo resultante contem d(v) componentes conexas os quais denotaremos por Ti,para i = 1, . . . , d(v). Sendo Ti subgrafos de T e pela caracterizacao de umaarvore dada pela parte (ii) do Teorema 4.1, temos que Ti sao arvores. Logo, pelahipotese de inducao, Ti possue ni − 1 arestas, onde ni := |Ti|, pois ni < n. Agorareconstruımos T a partir dos Ti e do vertice v retirado. Desta forma, temos

||T || =d(v)∑i=1

||Ti|| + d(v) =d(v)∑i=1

(ni − 1) + d(v) =d(v)∑

i

ni = n − 1

(⇐) Seja T qualquer grafo conexo com n vertice e n− 1 arestas. Seja T ′ umaarvores geradora em T . Pela a primeira implicacao do teorema, T ′ tem n − 1arestas, pois T ′ e uma arvore com n vertices. Segue que T = T ′.

Corolario 4.3. Se T e uma arvore e G e qualquer grafo com δ(G) ≥ |T | − 1,entao T ⊆ G, i.e.,G tem um subgrafo isomorfo a T .

Demonstracao. Claramente, a afirmacao e verdadeira para T = K1. Seguindo aenumeracao do Corolario 4.1, seja Ti := Ti−1 + vi, tal que Tk = T , onde k = |T |.Suponha que a afirmacao seja verdadeira para i < k, i.e., existe uma copia deTi, para i = 1, . . . , k − 1. Agora, sobre a copia de Tk−1, escolhemos um vertice

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em N(vk−1) − Tk−1 para ser vk. A unica coisa que impossibilitaria a escolha de vk

seria a situacao em que todos os vizinhos de de vk−1 estivessem sobre Tk−2, masisso nao ira acontecer, ja que δ(G) ≥ k − 1 e |Tk−2| = k − 2, restando pelo menosum vizinho de vk−1 em G − Tk−1 para ser vk.

5. Grafos bipartidos

Proposicao 5.1. Um grafo e bipartido se, e somente se, ele nao contem ciclosımpares.

Demonstracao. (⇒) Seja G um grafo bipartido o qual contem um ciclo C :=x1 . . . xkx1 de tamanho ımpar. Seja {A, B} uma biparticao de V(G). Sem perca degeneralidade, assuma que x1 pertenca a A. Indutivamente, mostra-se que x2 ∈ B,x3 ∈ A, x4 ∈ B, e assim por diante. Ou seja, os vertices xi, para i ımpar, estao emA, e para i par, estao em B. Como k e ımpar, pois o C e ımpar, xk ∈ A. Mas xkx1

e uma aresta de G, contradizendo o fato de G ser bipartido, pois tanto x1 quantoxk residem em A.

(⇐) Seja G um grafo sem ciclos ımpares; mostremos que G e bipartido.Claramente, um grafo e bipartido se todas as suas componentes sao bipartidasou triviais, entao podemos assumir que G e conexo. Seja v um vertice qualquerem G. Defina

X = {x ∈ V(G) | d(x, v) e par} e Y = {y ∈ V(G) | d(y, v) e ımpar}

Uma vez que G e conexo, V(G) = X ∪ Y . Tambem, pela definicao de distancia,X ∩ Y = ∅.

Seja u,w ∈ G ambos em X ou ambos em Y . Mostremos que u e w nao saoadjacentes. Seja P e Q caminhos curtos que liguem v a u e w, respectivamente.Seja x ∈ P ∩ Q, tal que d(x, v) e maxima. Considere os caminhos P1 ⊆ P eQ1 ⊆ Q os quais ambos ligam v a x. Como P e Q sao caminhos curtos, P1 e Q1

tambem deverao ser. Consequentemente, |P1| = |Q1|.

Figura 2: Os caminhos P1, P2, Q1 e Q2.

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Sejam P2 := P−P1 um caminho que conecta x a u e Q2 := Q−Q1 um caminhoque conecta x a w (Figura 2). Temos que esses caminhos possuem somente overtice x em comum, i.e., P1 ∩ P2 = x. Por construcao, |P2| e |Q2| possuem amesma paridade, logo a soma |P2| + |Q2| e par, i.e., o caminho uP2xQ2w e par,entao uw < E(G) por suposicao, pois caso contrario, terıamos um ciclo ımpar emG. Desta forma, X e Y biparticionam G, como afirmado.

6. Trilhas Eulerianas

Definicao 6.1 (Trilha Euleriana e Grafo Euleriano). Um passeio fechado em umgrafo e uma trilha Euleriana se ela passa por todas as arestas do grafo exata-mente uma vez. Um grafo e Euleriano se ele admite uma trilha Euleriana.

Teorema 6.1 (Euler 1736). Um grafo conexo e Euleriano se, e somente se, todovertice possue grau par.

Demonstracao. A condicao sobre o grau e claramente necessaria: um verticeaparecendo k vezes em uma trilha Euleriana (ou k + 1 vezes, se ele e o verticeinicial e o final, e em tal caso o contamos duas vezes) devera ter grau 2k.

Reciprocamente, seja G um grafo conexo tal que todos os seus vertices pos-suem grau par, e seja

W = v0e0 . . . el−1vl

o maior passeio em G usando nenhuma aresta mais do que uma vez. Visto que Wnao pode ser extendido, ele ja contem todas as arestas ligadas a vl. Por hipotese,o numero de tais arestas e par. Uma vez que vl = v0, entao W e um passeiofechado.

Suponha que W nao e uma trilha Euleriana. Entao G tem uma aresta e forade W mas incidente com um vertice de W, digamos e = uvi (aqui usamos aconexidade de G). Entao o passeio

ueviei . . . el−1vle0 . . . ei−1vi

e maior do que W, uma contradicao.

Vejamos agora um outro fato similar o qual foi primeiro notado por Veblenem 1912:

Teorema 6.2 (Veblen 1912). O conjunto das arestas de um grafo pode ser par-ticionado em ciclos se, e somente se, todo vertice possue grau par.

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Demonstracao. A condicao e claramente necessaria, uma vez que se um grafoe uniao dijunta de alguns ciclos de arestas e vertices isolados, entao um verticecontido em k ciclos tem grau 2k.

Suponha que todo vertice de um grafo G possue grau par e |G| > 0. Comopodemos encontrar um ciclo isolado em G? Seja x0x1 . . . xl um caminho de tama-nho maximal l em G. Uma vez que x0x1 ∈ E(G), temos d(x0) ≥ 2. Mas entao x0

tem outro vizinho y em adicao a x1; alem disso, podemos ter y = xi, para algumi, 2 ≤ i ≤ l, caso o contrario yx0x1 . . . xl devera ser um caminho de tamanho l+1.Assim encontramos nosso ciclo: x0x1 . . . xi.

Tendo encontrado um ciclo, digamos C1, tudo que deve ser feito e repetir oprocesso diversas vezes. Para fomralizar isto, seja G1 := G, tal que C1 e umciclo em G1 e defina G2 := G1 − E(C1). Todo vertice de G2 tera grau par, entaoou E(G2) = ∅ ou senao G2 contem um ciclo C2. Continuando o processo destaforma, encontramos ciclos disjuntos C1,C2, . . . ,Cs tais que E(G) =

⋃si=1 E(Ci).

Referencias

[1] Diestel, R. Graph theory. Graduate Texts in Mathematics, Third Ed., Springer-Verlag,2005.

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