notas de aulas de `lgebra linear - wordpress.com · 2013. 10. 29. · notas de aulas de `lgebra...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE EDUCAÇÃO E SAÚDE
UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO
PERÍODO 2011.2
TURNO:
DATA:
PROFESSORA: CÉLIA MARIA RUFINO FRANCO
Aluno (a): ____________________________________
NOTAS DE AULAS DE ÁLGEBRA LINEAR
Capítulo 1
Matrizes, Determinantes e Sistemas
de Equações Lineares
1.1 Matrizes
De�nição 1.1 Chamamos de matriz de ordemm�n uma tabela dem�n elementos (números
reais ou complexos, funções ou ainda outras matrizes) dispostos em m linhas e n colunas:
Am�n =
26666664a11 a12 a13 � � � a1n
a21 a22 a23 � � � a2n...
......
......
am1 am2 am3 � � � amn
37777775A matriz Am�n pode ser representada por
Am�n = [aij]m�n ; 1 � i � m e 1 � j � n
onde i indica a i-ésima linha e j indica a j-ésima coluna.
Uma matriz em que m 6= n (no de linhas diferente do no de colunas) é denominada
matriz retangular.
1
Exemplos 1
A =
266643x �2
1 3
0 x
37775 B =h3 0 1
iC =
24 5 �10 2
35 D1�1 = [5] :
1.1.1 Tipos Especiais de Matrizes
Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas denotada por Am�n:
1. Matriz-Coluna (n = 1) 26666664a1
a2...
am
37777775A matriz-coluna de ordem m � 1 pode representar as componentes de um vetor
(a1; a2; � � � ; am):
2. Matriz-Linha (m = 1)
A1�n = [a1 a2 � � � an] :
3. Matriz Quadrada: É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas
(m = n)
Ex: A =
24 �1 0
5 4
35 ; B = [�5] :Em geral, uma matriz quadrada de ordem n por n (ou simplesmente n) é da forma:
An�n =
26666664a11 a12 � � � a1n
a12 a22 � � � a2n...
.... . .
...
an1 an2 � � � ann
37777775Os elementos aij da diagonal principal são tais que i = j e os elementos da diagonal
secundária têm a propriedade: i+ j = n+ 1:
2
4. Matriz Nula: É aquela em que aij = 0; para todo i; j:
Ex: A =
24 0 0
0 0
35 ; B =266640 0
0 0
0 0
37775 :5. Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada onde aij = 0 para i 6= j:
Ex: A =
24 0 0
0 1
35 ; B =
266648 0 0
0 �1 0
0 0 2
37775 :6. Matriz Escalar: É uma matriz diagonal que tem os elementos aij iguais para i = j:
Ex: A =
26664�1 0 0
0 �1 0
0 0 �1
37775 :7. Matriz Identidade: É uma matriz escalar que tem os elementos aij = 1 para i = j:
Ex: I =
24 1 0
0 1
35 ; I =
266641 0 0
0 1 0
0 0 1
37775 :8. Matriz Triangular Superior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos, isto é, aij = 0 para i > j:
Ex: A =
24 �1 5
0 2
35 ; B =
266641 5 2
0 3 2
0 0 �1
37775 :9. Matriz Triangular Inferior: É uma matriz quadrada que tem os elementos aij = 0 para
i < j:
Ex: A =
266641 0 0
2 5 0
3 �1 �2
37775 :
3
10. Matriz Simétrica: É uma matriz quadrada onde aij = aji:
Ex: A =
266644 3 5
3 2 �1
5 �1 1
37775 :De�nição 1.2 Duas Matrizes A = [aij]m�n e B = [bij]r�s são iguais se m = r; n = s e
aij = bij; isto é, se possuem a mesma ordem e se os elementos correspondentes são iguais.
Ex:
24 32 0 log5 25
2 2�2 �8
35 =24 9 cos(�=2) 2
2 1=4 �8
35 :Exercício 1 Calcular os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam iguais.
A =
24 8 15n
12 +m 3
35 e B =
24 8 75
6 3
35 :Operações com Matrizes
Consideremos as tabelas abaixo que descrevem a produção de grãos em dois anos
consecutivos.
Produção de Grãos(em toneladas) durante o 1o ano
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 3000 200 400 600
Região B 700 350 700 100
Região C 1000 100 500 800
Produção de Grãos(em toneladas) durante o 2o ano
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 5000 50 200 0
Região B 2000 100 300 300
Região C 2000 100 600 600
4
Se quisermos montar uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois anos
conjuntamente teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas anteriores
e obtemos:
Produção de Grãos(em toneladas) durante os dois anos
Soja Feijão Arroz Milho
Região A 8000 250 600 600
Região B 2700 450 1000 400
Região C 3000 200 1100 1400
Suponhamos agora que a previsão para a safra do terceiro ano será o triplo da produção
do primeiro. Qual a matriz de estimativa de produção para o terceiro ano?
De�nição 1.3 (Adição de Matrizes): A soma de duas matrizes de mesma ordem A =
[aij]m�n e B = [bij]m�n é uma matriz de ordem m� n de�nida e denotada por
A+B = [aij + bij]m�n :
Exemplo 1.1
24 1 3 �2
5 0 8
35+24 0 �1 5
2 �2 4
35 =24 1 2 3
7 �2 12
35 :Propriedades da Adição de Matrizes: Dadas as matrizes A; B e C de mesma ordem
m� n; temos:
1. A+B = B + A (comutativa)
2. (A+B) + C = A+ (B + C) (associativa)
3. A+Om�n = A; onde Om�n denota a matriz nula.
De�nição 1.4 (Produto de uma Matriz por um Escalar) Sejam A = [aij]m�n e k um número
(real ou complexo), de�nimos:
k � A = [k � aij]m�n :
Exemplo 1.2 �3
24 1 �20 5
35 =24 �3 6
0 �15
35 :5
Propriedades do Produto de uma Matriz por um Escalar: Dadas as matrizes A e
B de mesma ordem m� n e números k; k1 e k2; temos:
1. k(A+B) = kA+ kB
2. (k1 + k2)A = k1A+ k2A
3. k1(k2A) = (k1k2)A
4. 0 � A = Om�n
5. 1 � A = A:
Observação 1.1 A diferença A�B de duas matrizes de ordem m� n é dada por
A�B = A+ (�1)B = [aij � bij]m�n ;
onde A = [aij]m�n e B = [bij]m�n :
Exercício 2 Dadas as matrizes
A =
266642 3 8
�5 9 �6
7 4 �1
37775 ; B =26664�3 7 1
�4 2 5
0 9 4
37775 e C =
266647 �8 3
4 �3 2
9 �5 1
37775Calcular: A+B; C � A e 3A� 2B + 4C:
Produto de Matrizes
Imaginemos a seguinte situação: uma empresa compra "matéria-prima"(peças,
componentes, etc.) e os utiliza para fabricar "produtos". A matriz abaixo descreve a
6
quantidade de matéria-prima utilizada na produção de cada produto
(P ) :
M1 M2 M3 � � � Mn
P1 a11 a12 a13 � � � a1n
P2 a21 a22 a23 � � � a2n
P3 � � � � � � � � � � � � a3n...
. . ....
Pm � � � � � � � � � � � � amn
onde aij é a quantidade de matéria-prima Mj utilizada na produção do produto Pi:
Vamos representar numa matriz de "custos"C o preço de cada matéria em condições
diferentes de compra (preço à vista, a prazo, para pequenas ou grandes compras, etc):
(C):
M1 M2 M3 � � � Mp
C1 b11 b12 b13 � � � b1p
C2 b21 b22 b23 � � � b2p
C3 � � � � � � � � � � � � b3p...
. . ....
Cn � � � � � � � � � � � � bnp
onde bij é o preço da matéria-prima Mi comprada nas condições Cj:
O produto P � C é uma matriz de ordem m � p cujos os elementos cij representam o
custo de se produzir o produto Pi comprando a matéria-prima nas condições Cj.
De�nição 1.5 Sejam A = [aij]m�n e B = [bij]n�p : O produto de A por B é de�nido pela
matriz AB = [cij]m�p ; onde
cij = ai1b1j + ai2b2j + � � � ainbnj =nXk=1
aikbkj:
Observação 1.2 Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da
primeira for igual ao número de linhas da segunda.
7
Observação 1.3 O elemento cij da matriz produto é obtido, multiplicando os elementos
da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da
segunda matriz, e somando estes produtos.
Exemplo 1.3 Sejam
A =
266641 2
3 �1
0 4
37775 e B =
24 1 �10 4
35 :Calcule AB: É possível efetuar o produto BA?
Observação 1.4 O produto de matrizes não é comutativo. Em geral AB 6= BA; podendo
um dos membros estar de�nido e o outro não.
Observação 1.5 Pode ocorrer de AB = O, com A 6= O e B 6= O; onde "O" é a matriz
nula.
Exercício 3 Sejam
A =
266641 �1 1
�3 2 �1
�2 1 0
37775 ; B =
266641 2 3
2 4 6
1 2 3
37775 :Calcule AB e BA:
Propriedades do Produto de Matrizes: Desde que sejam possíveis as operações, o
produto de matrizes tem as seguintes propriedades:
1. AI = IA = A; onde I é a matriz identidade.
2. A(B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
3. (A+B)C = AC +BC (distributividade à direita)
4. A(BC) = (AB)C (associatividade)
8
5. (kA)B = A(kB) = k(AB); k é um número
6. O � A = O e A �O = O; onde "O" é a matriz nula.
De�nição 1.6 (Matriz Transposta) Seja A = [aij] uma matriz de ordem m� n: A matriz
transposta de A é a matriz AT = [bij] de ordem n�m cujas linhas são as colunas de A; isto
é, bij = aji:
Ex : A =
266645 8
10 3
�1 0
377753�2
; AT =
24 5 10 �1
8 3 0
352�3
:
Propriedades da Matriz Transposta
1. Uma matriz A é simétrica se, e somente se, AT = A:
2. (A+B)T = AT +BT
3. (AT )T = A
4. (kA)T = kAT ; onde k é um número.
5. (AB)T = BTAT (observe a ordem!)
Exercício 4 Dadas as matrizes
A =
266641 3
0 2
2 4
37775 e B =
24 1 2
3 4
35veri�que a propriedade (5).
De�nição 1.7 (Matriz Anti - Simétrica): Dizemos que uma matriz quadrada A = [aij] é
anti-simétrica se AT = �A:
Ex : A =
24 0 2
�2 0
35 é anti-simétrica pois, AT =
24 0 �22 0
35 = �A:9
Observação 1.6 Se A = [aij] é uma matriz anti-simétrica, então os elementos dispostos
simetricamente em relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal
principal são nulos.
Potência de uma Matriz Uma matriz quadrada A = [aij] pode ser multiplicada n
vezes por si mesma. Temos:
A2 = A� A
A3 = A� A� A = A2 � A
A4 = A� A� A� A = A3 � A...
An = A� A� A� A� � � � � An vezes
= An�1 � A
Exercício 5 Seja
A =
24 1 2
�1 1
35 :Calcule A2 e A3:
De�nição 1.8 (Matriz Idempotente): Dizemos que uma matriz quadrada A é idempotente
quando A2 = A:
Ex : A =
266642 �1 1
�3 4 �3
�5 5 �4
37775 e B =
24 1 0
0 1
35 :Exercício 6 Veri�que que, se A é idempotente então A n = A para n 2 N; n � 2:
De�nição 1.9 (Matriz Nihilpotente): Dada uma matriz quadrada An�n; se existir um
inteiro positivo p tal que Ap = On�n; dizemos que An�n é uma matriz Nihilpotente. Se p é o
menor inteiro positivo tal que Ap = On�n; dizemos que An�n é uma matriz Nihilpotente de
"índice"p:
10
Observação 1.7 Se p é o índice de A; então: Am = On�n; para m � p:
Exercício 7 Encontre o índice da matriz
A =
266641 1 3
5 2 6
�2 �1 �3
37775e determine A100:
Exercício 8 Sejam A; B e C matrizes reais de ordem 3� 3 tais que A = [aij] é triangular
inferior, B = [bij] é diagonal e C = [cij] é anti-simétrica. Determine X = (ATB � 3C);
sabendo que aij = 2i� j para i � j, B =
26664�1 0 a
b 2 h
d 0 5
37775 e C =
26664e �1 h
i j k
0 �1 c
37775 :
1.2 Determinante
A toda matriz quadrada A = [aij] está associado um número real chamado determinante
de A e denotado por
det(A) ou jAj ou det [aij] :
Temos,
det [a] = a
det
24 a11 a12
a21 a22
35 =������ a11 a12
a21 a22
������ = a11a22 � a12a21:1.2.1 Desenvolvimento de Laplace
O determinante de uma matriz A de ordem 3� 3 é de�nido por:
det
26664a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
37775 =���������a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
��������� =11
= a11a22a33 � a11a23a32 � a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 � a13a23a31:
Mas podemos escrever esta soma da seguinte forma:
a11(a22a33 � a23a32)� a12(a21a33 � a23a31) + a13(a21a32 � a22a31)
Ou seja,
a11
������ a22 a23
a32 a33
������� a12������ a21 a23
a31 a33
������+ a13������ a21 a22
a31 a32
������ :Logo,
det(A) = a11 jA11j � a12 jA12j+ a13 jA13j
onde Aij é a submatriz de A; obtida retirando a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Além disso,
se considerarmos
�ij = (�1)i+j jAijj
obtemos a expressão
det(A) = a11�11 + a12�12 + a13�13:
Podemos estender esta idéia para calcular o determinante de uma matriz A = [aij] de
ordem n� n: Assim,
detAn�n = ai1�i1 + ai2�i2 + � � �+ ain�in (1.1)
=nXj=1
aij�ij =nXj=1
aij(�1)i+j jAijj :
para qualquer i = 1; : : : ; n �xado de modo arbitrário. O número �ij é chamado cofator do
elemento aij:
Observação 1.8 A fórmula (1.1) é chamada desenvolvimento de Laplace em relação à i-
ésima linha. Uma fórmula análoga é válida para as colunas
detAn�n =
nXi=1
aij�ij =
nXi=1
aij(�1)i+j jAijj (1.2)
para qualquer j = 1; : : : ; n �xado de modo arbitrário.
12
Exemplo 1.4 Vamos calcular o determinante da matriz
A =
266641 0 �2
1 �3 5
2 1 2
37775 :
1.2.2 Propriedades dos Determinantes
1. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz A são nulos; então
det(A) = 0:
2. det(A) = det(AT )
3. Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) da matriz por uma constante, o determinante
�ca multiplicado por esta constante.
4. Trocada a posição de duas linhas (ou colunas), o determinante muda de sinal.
5. O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero.
6. det
26666666664
a11 � � � a1n...
...
bi1 + ci1 � � � bin + cin...
...
an1 � � � ann
37777777775= det
26666666664
a11 � � � a1n...
...
bi1 � � � bin...
...
an1 � � � ann
37777777775+ det
26666666664
a11 � � � a1n...
...
ci1 � � � cin...
...
an1 � � � ann
377777777757. O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por
uma constante.
8. O determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é o produto dos
elementos da diagonal principal.
9. Se A e B são matrizes, onde A+B e A �B estão de�nidas, então:
(a) Em geral, det(A+B) 6= det(A) + det(B)
13
(b) det(A �B) = det(A) � det(B):
Exercício 9 Resolver as equações.
a)
���������3 2 x
1 �2 x
2 �1 x
��������� = 8 b)
���������x 3 2
5 x 1
1 3 1
��������� = 12:
1.3 Matriz Adjunta - Matriz Inversa
Dada uma matriz quadrada A; consideremos o cofator �ij = (�1)i+j jAijj do elemento
aij: Com esses cofatores podemos obter uma outra matriz A = [�ij] denominada matriz dos
cofatores de A:
Exemplo 1.5 Obtenha a matriz dos cofatores de A =
266642 1 0
�3 1 4
1 6 5
37775 :De�nição 1.10 (Matriz Adjunta): Seja A uma matriz quadrada. A transposta da matriz
dos cofatores de A é chamada matriz adjunta de A:
adj A = AT:
Exemplo 1.6 No exemplo anterior, determine a matriz adjunta de A:
De�nição 1.11 (Matriz Inversa): Dada uma matriz quadrada A de ordem n; chamamos de
inversa de A a uma matriz B tal que
A �B = B � A = In (1.3)
onde In é a matriz identidade de ordem n: Escrevemos A�1 para a inversa de A:
Observação 1.9 Quando a igualdade (1.3) ocorre, dizemos que A é invertível (ou não-
singular). Caso contrário, dizemos que A é não-invertível (ou singular).
Exemplo 1.7 Seja A =
24 2 3
1 4
35 : Procuremos sua inversa.14
1.3.1 Propriedades da Matriz Inversa
1. A inversa de uma matriz é única.
2. Se a matriz A é invertível, então sua inversa A�1 também é e (A�1)�1 = A:
3. Se A e B são matrizes de mesma ordem, ambas invertíveis, então A � B é invertível e
(AB)�1 = B�1 � A�1:
4. Se A é invertível, então AT também é invertível e (AT )�1 = (A�1)T :
5. A matriz identidade é invertível e (In)�1 = In:
Observação 1.10 Nem toda matriz tem inversa. Por exemplo, a matriz
24 0 2
0 1
35 não teminversa.
Proposição 1.1 Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, det(A) 6= 0: Neste
caso, A�1 =1
detA(adj A):
Proposição 1.2 Se A é uma matriz invertível, então det(A�1) =1
det(A):
Exemplo 1.8 Considere a matriz A =
24 6 2
11 4
35 : A é invertível? Em caso a�rmativo,
determine A�1:
1.3.2 Matriz Reduzida Escalonada por Linhas
De�nição 1.12 Uma matriz de ordem m� n está na forma reduzida escalonada por linhas
(ou na forma escada reduzida por linhas) se:
1. Qualquer linha nula está situada abaixo de todas as linhas não nulas.
2. O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é 1.
15
3. Cada coluna que tem o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus
outros elementos iguais a zero.
4. Se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki e as linhas 1; : : : ; r são
as linhas não nulas, então k1 < k2 < k3 < � � � < kr:
Exemplos 2 :
A =
266641 0 0 4
0 1 0 5
0 0 1 2
37775 ; B =
266641 2 0 0 2
0 0 1 0 1
0 0 0 0 0
37775
C =
266641 2 0 4
0 0 0 0
0 0 1 �3
37775 ; D =
266666641 0 3 4
0 2 �2 5
0 0 1 2
0 0 0 0
37777775
E =
266666641 0 3 4
0 1 �2 5
0 1 2 2
0 0 0 0
37777775 ; F =
266640 2 1
1 0 �3
0 0 0
37775 :
Operações Elementares
São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz:
1. Permutação de duas linhas. (Li ! Lj)
2. Multiplicação de uma linha i por um escalar não nulo k: (Li ! kLi)
3. Substituição de uma linha i por esta linha somada a k vezes uma outra linha j:
(Li ! Li + kLj)
16
Exemplo 1.9 Reduza a matriz
A =
266641 2 3
4 5 �1
2 1 1
37775à forma escada reduzida por linhas.
De�nição 1.13 Se A e B são matrizes de mesma ordem m � n; dizemos que B é linha
equivalente a A; se B for obtida de A através de um número �nito de operações elementares
sobre as linhas de A: Notação: A! B ou A � B:
Observação 1.11 Qualquer matriz quadrada A; de ordem n; invertível, pode ser
transformada na matriz identidade In; de mesma ordem, por meu de uma sucessão �nita
de operações elementares sobre as linhas de A; isto é, A � In:
Exercício 10 Mostre que a matriz
A =
266642 4 8 6
1 �1 2 3
4 �1 7 8
37775é linha equivalente a matriz
B =
266641 2 4 3
2 1 3 2
1 �1 2 3
37775 :Teorema 1.1 Toda matriz Am�n é linha equivalente a uma única matriz Bm�n na forma
escada reduzida por linhas.
De�nição 1.14 (Posto e Nulidade de uma Matriz): Seja A uma matriz de ordem m�n: Se
Bm�n é a matriz linha equivalente a A na forma escada, de�nimos o posto de A como sendo
o número de linhas não nulas de B e denotamos por P (A): A nulidade de A é o número
N(A) = n� P (A)
onde n é o número de colunas de A.
17
1.3.3 Método para determinar a inversa de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n� n:
1. Forme a matriz [A jIn ] de ordem n� 2n:
2. Reduza a matriz [A jIn ] à forma escada reduzida por linhas.
3. Suponhamos que obtemos do 2o passo a matriz [C jD ] :
(a) Se C = In; então A�1 = D:
(b) Se C 6= In; então A não tem inversa.
Isto signi�ca que A�1 é obtida da matriz identidade, aplicando-se a mesma sequência
de operações sobre as linhas de A:
Exemplo 1.10 Determine, caso exista, a inversa da matriz
A =
266641 1 1
0 2 3
5 5 1
37775 :
1.4 Sistemas de Equações Lineares
Um problema: A disciplina de Álgebra Linear no semestre passado teve três provas.
As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Jorge,
que acertou 6 questões na primeira prova, 5 na segunda e 4 na terceira, obteve no �nal um
total de 47 pontos. Fernando acertou 3, 6 e 6, totalizando 54 pontos. Por sua vez, Marcos
acertou 2, 7 e 5 questões, atingindo a soma de 50 pontos no �nal. Já Renato fez 5 questões
certas na primeira prova, 8 na segunda e 3 na terceira. Qual foi o total de pontos de Renato?
18
Chamando de x; y e z respectivamente os pesos da primeira, segunda e terceira provas,
as pontuações de Jorge, Fernando e Marcos nos fornecem as equações:
6x+ 5y + 4z = 47
3x+ 6y + 6z = 54
2x+ 7y + 5z = 50:
(1.4)
Com isso, determinamos x; y e z e, a partir daí, a nota �nal de Renato.
Não é difícil imaginar muitas outras situações que conduzem a sistemas de equações
lineares como o problema acima.
De�nição 1.15 Um sistema de equações lineares com m equações e n variáveis (incógnitas)
é um conjunto de equações lineares da forma:8>>>>>><>>>>>>:
a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + � � �+ a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = bm
(1.5)
com aij; bi números reais (ou complexos), 1 � i � m e 1 � j � n:
Uma solução do sistema (1.5) é uma n-upla (x1; x2; : : : ; xn) de números que,
substituíndos no primeiro membro de cada uma das equações acima, torna-o igual ao segundo
membro.Por exemplo, (2; 3; 5) é uma solução do sistema (1.4) e escreve-se: x = 2; y = 3 e
z = 5:
O sistema (1.5) pode ter uma única solução, uma in�nidade de soluções ou nenhuma
solução. No primeiro caso, diz-se que o sistema é compatível e determinado, no segundo,
compatível e indeterminado e, no terceiro, incompatível ou impossível.
Exercício 11 Resolva os sistemas abaixo pelo método da adição.8<: x+ 2y = 7
2x+ 5y = 16;
8<: x+ 2y = 7
2x+ 4y = 14e
8<: x+ 2y = 7
3x+ 6y = 20:
19
Observação 1.12 Cada equação do sistema8<: a1x+ b1y = c1
a2x+ b2y = c2
representa uma reta do plano e as posições relativas de duas retas no plano são somente três:
a) retas concorrentes b) retas paralelas c) retas coincidentes
Nos casos (a), (b) e (c) o sistema tem solução única, não tem solução ou tem in�nitas
soluções, respectivamente.
1.4.1 Sistemas e Matrizes
O sistema (1.5) pode ser escrito na forma matricial:26666664a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n...
......
am1 am2 � � � amn
37777775 �26666664x1
x2...
xn
37777775 =26666664b1
b2...
bm
37777775ou AX = B; onde
A =
26666664a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n...
......
am1 am2 � � � amn
37777775 é a matriz dos coe�cientes,
X =
26666664x1
x2...
xn
37777775 é a matriz das variáveis e
B =
26666664b1
b2...
bm
37777775 é matriz dos termos independentes.
20
Uma outra matriz associada ao sistema (1.5) é:
[A jB ] =
26666664a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n...
......
am1 am2 � � � amn
������������
b1
b2...
bm
37777775chamada matriz ampliada do sistema.
De�nição 1.16 Dois sistemas de equações lineares são equivalentes quando admitem a
mesma solução.
Exemplo 1.11 Os sistemas8<: 3x+ 6y = 42
2x� 4y = 12e
8<: x+ 2y = 14
x� 2y = 6
são equivalentes, pois admitem a mesma solução: x = 10 e y = 2:
O método de Gauss-Jordan para resolver sistemas é baseado no teorema a seguir.
Teorema 1.2 Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes.
Exemplo 1.12 Vamos resolver o sistema8>>><>>>:2x1 + x2 + 3x3 = 8
4x1 + 2x2 + 2x3 = 4
2x1 + 5x2 + 3x3 = �12
:
1.4.2 Análise de Sistemas Lineares usando Escalonamento
Consideremos um sistema linear dem equações e n variáveis e denotemos por pa o posto
da matriz ampliada e por pc o posto da matriz dos coe�cientes.
1. Se pa = pc = p; então o sistema admite solução. Neste caso,
21
(a) Se p = n; a solução será única, isto é, o sistema é compatível e determinado.
(b) Se p < n; então o sistema tem in�nitas soluções, isto é, o sistema é compatível
e indeterminado. Podemos escolher n � p variáveis livres e as outras p variáveis
serão dadas em função destas. Dizemos que o grau de liberdade do sistema é
g = n� p:
2. Se pc < pa; então o sistema é incompatível, isto é, o sistema não admite solução.
Exemplo 1.13 Resolver os sistemas
a)
8<: 5x+ 8y = 34
10x+ 16y = 50b)
8>>><>>>:4x� y � 3z = 15
3x� 2y + 5z = �7
2x+ 3y + 4z = 7
c)
8<: x+ 4y = 8
2x+ 8y = 16:
Exercício 12 Resolver o sistema8<: x+ 2y + z + t = 1
x+ 3y � z + 2t = 3:
Exercício 13 Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para
que o sistema 8>>><>>>:x+ y � z = a
�x+ 2z = b
y + z = c
seja compatível.
1.4.3 Sistema Linear Homogêneo
Um sistema de m equações lineares e n variáveis é dito homogêneo quando todos os
termos independentes são nulos, isto é8>>>>>><>>>>>>:
a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + � � �+ a2nxn = 0...
...
am1x1 + am2x2 + � � �+ amnxn = 0
22
Note que um sistema homogêneo é sempre compatível, pois admite pelo menos a solução
trivial: x1 = x2 = � � � = xn = 0:
Exemplo 1.14 Resolver o sistema8<: 3x+ 6y � 9z = 0
2x+ 4y � 6z = 0:
1.4.4 Regra de Cramer
O cálculo da inversa de uma matriz fornece um outro método de resolução de sistemas
de equações lineares. Este só se aplica a sistemas lineares em que o número de equações é
igual ao número de variáveis. Suponhamos que desejássemos resolver o sistema linear de n
equações e n variáveis: 8>>>>>><>>>>>>:
a11x1 + a12x2 + � � �+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + � � �+ a2nxn = b2
...
an1x1 + an2x2 + � � �+ annxn = bnNa forma matricial 26666664
a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n...
......
an1 an2 � � � ann
37777775 �26666664x1
x2...
xn
37777775 =26666664b1
b2...
bn
37777775 (1.6)
ou ainda AX = B: Para esta equação suponhamos que detA 6= 0 e portanto, que A tenha
inversa A�1: Então
A�1(AX) = A�1B
(A�1A)X = A�1B
InX = A�1B
X = A�1B
é a única solução do sistema (1.6).
23
Usando a proposição (1.1), temos
X =1
detA(adjA) �B:
Na forma matricial 26666664x1
x2...
xn
37777775 =1
detA
26666664�11 � � � �n1
�12 � � � �n2
......
�1n � � � �nn
37777775 :26664b1...
bn
37775Note que
x1 =b1�11 + � � �+ bn�n1
detA
e pelo desenvolvimento de Laplace, a soma b1�11+ � � �+ bn�n1 corresponde ao determinante
da matriz obtida de A substituindo a primeira coluna pela matriz dos termos independentes.
Fazendo deduções análogas, obtemos:
xi =detAidetA
; i = 1; : : : ; n
onde Ai é a matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna pela matriz dos termos
independentes. Este método de resolução de um sistema linear de n equações e n variáveis,
que só pode ser aplicado quando o determinante da matriz dos coe�cientes for não nulo, é
chamado Regra de Cramer.
Teorema 1.3 Seja AX = B um sistema lenear de n equações e n variáveis.
1. O sistema AX = B tem solução única se, e somente se, A é invertível. Neste caso, a
solução é X = A�1B:
2. O sistema homogêneo associado, AX = On�1; tem solução não trivial se, e somente
se, detA = 0:
Exemplo 1.15 Resolver os sistemas usando a Regra de Cramer
a)
8>>><>>>:�2x+ 3y � z = 1
x+ 2y � z = 4
�2x� y + z = �3
b)
8>>><>>>:x� 3y � 4z = 0
x� y � z = 0
x� y + 3z = 0:
24
Capítulo 2
Espaço Vetorial
Apresentaremos um tipo especial de conjunto chamado Espaço Vetorial. Os elementos
de um espaço vetorial são chamados de vetores, independentemente de sua natureza. Esses
elementos podem ser: números, matrizes, funções, polinômios, etc... A justi�cativa está
no fato de que os elementos desses conjuntos comportam-se como os vetores no espaço
Euclideano.
De�nição 2.1 Um espaço vetorial sobre R é um conjunto, não vazio, com duas operações:
adição e multiplicação por escalar, isto é,
+ : V � V ! V(u;v) 7!u+v
� : R� V ! V(a;v) 7�!av
tais que, para quaisquer u; v; w 2 V e a; b 2 R; as propriedades abaixo sejam satisfeitas:
i) Comutatividade: u+ v = v + u
ii) Associatividade: (u+ v) + w = u+ (v + w)
iii) Existe 0V 2 V; denominado vetor nulo, tal que u+ 0V = 0V + u = u:
iv) Para cada vetor u 2 V existe um vetor �u 2 V; chamado o inverso aditivo, ou
simétrico de u; tal que �u+ u = u+ (�u) = 0V :
v) a(u+ v) = au+ av
vi) (a+ b)u = au+ bu
25
vii) (ab)u = a(bu)
viii) 1u = u:
Observação 2.1 Se na de�nição acima tivéssemos tomado os escalares no conjunto dos
números complexos, V seria um espaço vetorial complexo (C� V �! V ).
1. O conjunto dos vetores no plano
V = R2 = f(x; y);x; y 2 Rg
é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais de adição e multiplicação por
escalar de�nidas por
(x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2)
a(x1; y1) = (ax1; ay1):
2. O conjunto dos vetores do espaço
V = R3 = f(x; y; z);x; y; z 2 Rg
é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais de adição e multiplicação por
escalar
(x1; y1; z1) + (x2; y2; z2) = (x1 + x2; y1 + y2; z1 + z2)
a(x1; y1; z1) = (ax1; ay1; az1):
3. No lugar de ternas de números reais consideremos como vetores n-uplas de números
reais
V = Rn = f(x1; x2; : : : ; xn);xi 2 Rg ; com n 2 N; n � 2:
Veri�ca-se que V é um espaço vetorial real com as operações usuais
(x1; x2; : : : ; xn) + (y1; y2; : : : ; yn) = (x1 + y1; x2 + y2; : : : ; xn + yn)
a(x1; x2; : : : ; xn) = (ax1; ax2; : : : ; axn):
26
Desta forma, R3;R4;R5; : : : são espaços vetorias reais com as operações usuais. As n-
uplas de números reais, ou equivalentemente, matrizes-linha 1�n (ou matrizes-coluna
n� 1) aparecem na descrição de muitos problemas que envolvem várias variáveis.
4. O conjunto R com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um
espaço vetorial real.
5. V =Mm�n(R); o conjunto das matrizes reaism�n com as operações usuais de adição e
multiplicação por escalar é um espaço vetorial real. Em particular, o conjuntoMn�n(R)
das matrizes reais quadradas, de ordem n; é um espaço vetorial real relativamente às
mesmas operações.
6. V = M1�n =nh
a11 a12 � � � a1n
i; a1i 2 R
oé um espaço vetorial real com as
operações usuais. Observe que este espaço vetorial pode ser identi�cado com V = Rn:
7. V = Pn(R) = fa0 + a1x+ a2x2 + � � �+ anxn; ai 2 Rg ; conjunto dos polinômios com
coe�cientes reais, de grau menor ou igual a n (incluindo o zero), é um espaço vetorial
com as operações de soma de polinômios e multiplicação destes por números reais
(a0 + a1x+ a2x2 + � � �+ anxn) + (b0 + b1x+ b2x2 + � � �+ bnxn)
= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + � � �+ (an + bn)xn
a(ao + a1x+ a2x2 + � � �+ anxn) = aao + aa1x+ aa2x2 + � � �+ aanxn:
8. Seja S um conjunto não-vazio qualquer.
V = F(S;R) = ff : S ! R; f é uma funçãog ; conjunto das funções de�nidas de S
em R é um espaço vetorial real com as operações:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(af)(x) = af(x):
Se f; g 2 F(S;R); dizemos que f = g se f(x) = g(x) 8x 2 S:
27
9. O conjunto V = f(x; y);x; y > 0g é um espaço vetorial com as operações de adição e
multiplicação por escalar
(x1; y1)� (x2; y2) = (x1 � x2; y1 � y2)
a� (x; y) = (xa; ya):
Qual o vetor nulo deste espaço? Qual o simétrico de cada vetor (x; y) 2 V ?
Os símbolos � e � são utilizados para indicar que a adição e a multiplicação por
escalar não são as usuais.
10. V = R2; com a soma usual e a multiplicação por escalar de�nida por
a� (x; y) = (ax; y); a 2 R
não é um espaço vetorial.
11. (Exemplo de um espaço vetorial complexo) O conjunto das matrizes de ordem 2 � 2;
cujos elementos são números complexos, é um espaço vetorial complexo com as
operações de adição e multiplicação destas por números complexos. Por exemplo,24 7 + i 0
2 �i
35+24 2 0
2 + i i
35 =24 9 + i 0
4 + i 0
35(1 + i)
24 i 2
1� i 0
35 =24 i� 1 2 + 2i
2 0
35 :Observação 2.2 Daqui por diante, salvo referência em contrário, serão considerados apenas
espaços vetoriais reais. Assim, quando se disser que V é um espaço vetorial, deve �car
subentendido que V é um espaço vetorial real, isto é, sobre R:
Proposição 2.1 Seja V um espaço vetorial.
a) Existe um único vetor nulo em V:
b) Cada vetor u 2 V admite apenas um simétrico �u 2 V:
28
Proposição 2.2 Seja V um espaço vetorial. Para quaisquer u; v; w 2 V e a 2 R; temos:
1. u+ w = v + w ) u = v:
2. 0 � u = 0V :
3. a � 0V = 0V :
4. a � u = 0V ) a = 0 ou u = 0V :
5. (�1)u = �u:
6. (�a)u = a(�u) = �(au):
7. �(�u) = u; isto é, o oposto de �u é u:
De�nição 2.2 Sejam V um espaço vetorial e u; v 2 V: De�nimos a subtração em V da
seguinte forma
u� v = u+ (�v):
Observação 2.3 u = v + w , w = u� v e u+ v = 0V , v = �u:
2.1 Subespaço Vetorial
De�nição 2.3 Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V: Dizemos
que S é um subespaço vetorial de V se:
a) Para quaisquer u; v 2 S tivermos u+ v 2 S:
b) Para quaisquer a 2 R; u 2 S tivermos au 2 S:
Observação 2.4 O próprio S é um espaço vetorial com as operações de adição e
multiplicação por escalar de�nidas em V:
Observação 2.5 Qualquer subespaço S de V precisa necessariamente conter o vetor nulo
0V :
29
Observação 2.6 Se u 2 S; então �u 2 S:
1. Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: S = f0V g e o próprio
espaço vetorial V; que são chamados subespaços triviais. Por exemplo, os subespaços
triviais de V = R2 são f(0; 0)g e o próprio R2:
2. V = R2; S = f(x; y) 2 R2; y = 2xg = f(x; 2x);x 2 Rg é um subespaço vetorial de
R2: Esse subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem.
Observe que se S não passasse pela origem, não seria um subespaço. Na verdade os
únicos subespaços de R2 são a origem f(0; 0)g ; as retas que passam pela origem e o
próprio R2:
3. V = R3; S = f(x; y; z) 2 R3; x = 2zg = f(2z; y; z); z; y 2 Rg é um subespaço vetorial
de R3: Esse subespaço S representa geometricamente um plano que passa pela origem.
Os únicos subespaços de R3 são a origem, as retas e planos que passam pela origem e
o próprio R3:
4. V = R5; S = f(0; x2; x3; x4; x5); xi 2 Rg é um subespaço de R5:
5. V = Mn�n(R); S = fA 2Mn�n(R); A é triangular superiorg é um subespaço de
Mn�n(R):
6. V = F(R;R); S = ff 2 F ; f(0) = 0g é um subespaço de F(R;R):
7. Uma situação importante em que aparece um subespaço é obtida ao resolvermos um
sistema linear homogêneo. Por exemplo, ao resolver um sistema linear homogêneo de
m equações e n variáveis26666664a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n...
......
am1 am2 � � � amn
37777775m�n
�
26666664x1
x2...
xn
37777775n�1
=
266666640
0...
0
37777775m�1
(2.1)
30
ou AX = Om�1; estamos procurando, dentro do espaço vetorial Mn�1(R); aqueles
vetores que satisfazem a relação (2.1). O conjunto-solução
S = fX 2Mn�1(R);AX = On�1g
é um subespaço vetorial de Mn�1(R):
8. S =
8<:24 a b
c d
35 ; a � 09=; é um subespaço vetorial de V =M2�2(R)?
9. S = f(x; x2); x 2 Rg é um subespaço vetorial de R2?
Exercício 14 Determine o espaço-solução do sistema linear homogêneo8<: x + y + 2z = 0
2y + z = 0:
De�nição 2.4 Sejam S1 e S2 subespaços de um espaço vetorial V: De�nimos a soma de S1
com S2 por
S1 + S2 = fv 2 V ; v = w1 + w2; w1 2 S1 e w2 2 S2g :
Observação 2.7 a) S1 + S2 6= ?; pois 0V 2 S1 + S2: b) S1 � S1 + S2 e S2 � S1 + S2: c)
S1 + S2 = S2 + S1:
Teorema 2.1 Sejam V espaço vetorial e S1 e S2 subespaços vetoriais de V: Então:
a) S1 \ S1 é subespaço vetorial de V:
b) S1 + S2 é subespaço vetorial de V:
Exemplo 2.1 V = Mn�n(R); S1 = fmatrizes triangulares superioresg ; S2 =
fmatrizes triangulares inferioresg : Então S1 \ S2 = fmatrizes diagonaisg e S1 + S2 =
Mn�n(R):
Exemplo 2.2 V =
8<:24 a b
c d
35 ; a; b; c; d 2 R9=; ; S1 =
8<:24 a b
0 0
35 ; a; b 2 R9=; ; S2 =8<:
24 a 0
c 0
35 ; a; c 2 R9=; : Vamos determinar S1 \ S2 e S1 + S2:
31
De�nição 2.5 (Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais) Sejam S1 e S2 subespaços de um
espaço vetorial V: Se V = S1 + S2 e S1 \ S2 = f0V g ; dizemos que V é soma direta de S1
com S2 e denotamos por V = S1 � S2:
Exemplo 2.3 S1 = f(x; y; 0); x; y 2 Rg ; S2 = f(0; 0; z); z 2 Rg : Então, R3 = S1 � S2:
Exemplo 2.4 S1 = f(x; y; z) 2 R3; z = x� yg ; S2 = f(a; a; a); a 2 Rg : Então, R3 =
S1 � S2:
2.2 Combinação Linear
De�nição 2.6 Sejam V um espaço vetorial e v1; v2; : : : ; vn 2 V: Dizemos que v 2 V é uma
combinação linear dos elementos v1; v2; : : : ; vn de V se existem escalares �1; �2; : : : ; �n 2 R
tais que
v = �1v1 + �2v2 + � � �+ �nvn =nXi=1
�ivi:
1. Seja V = R2: O vetor v = (3; 4) é combinação linear de v1 = (1; 0) e v2 = (1; 1); pois
v = (�1)v1 + 4v2:
2. Qualquer vetor v = (x; y; z) de R3 pode serexpresso como combinação linear de
v1 = (1; 0; 0); v2 = (0; 1; 0) e v3 = (0; 0; 1); pois
(x; y; z) = x(1; 0; 0) + y(0; 1; 0) + z(0; 0; 1):
3. Considere A =
24 1 2 0
0 0 1
35 ; B =24 3 1 0
1 1 1
35 2M2�3(R): Amatriz C =
24 0 0 1
1 1 1
35é combinação linear de A e B?
4. Sejam v1; v2; : : : ; vn 2 V: Então v1 é combinação linear de v1; v2; : : : ; vn; pois
v1 = 1 � v1 + 0 � v2 + � � �+ 0 � vn:
32
5. A matriz D =
24 5 2
3 0
35 é combinação linear de A =
24 1 1
1 0
35 ; B =
24 2 �10 0
35 eC =
24 4 1
2 0
35 :6. Considere o conjunto P (R) = fpolinômios com coe�cientes reaisg : Sejam p1(x) = 1+x
e p2(x) = x + x2 2 P (R): O polinômio q(x) = 1 + 2x + 3x2 é combinação linear de
p1(x) e p2(x)?
2.2.1 Subespaço Gerado
Se V é um espaço vetorial e v1; v2; : : : ; vn são vetores �xados em V; denotamos por
W = [v1; v2; : : : ; vn] o conjunto de todos os vetores de V que são combinação linear de
v1; v2; : : : ; vn: Assim,
W = [v1; v2; : : : ; vn] = fv 2 V ; v = �1v1 + �2v2 + � � �+ �nvn; �i 2 Rg :
Teorema 2.2 W = [v1; v2; : : : ; vn] é um subespaço vetorial de V:
O subespaço [v1; v2; : : : ; vn] é chamado subespaço gerado por v1; v2; : : : ; vn ou subespaço
gerado pelo conjunto fv1; v2; : : : ; vng :
1. V = R2; v1 = (1; 0); v2 = (0; 1): Temos que V = [v1; v2] ; pois dado qualquer vetor
v = (x; y) 2 V; temos
(x; y) = x(1; 0) + y(0; 1):
2. Se v1; v2 2 R2 são tais que �v1 6= v2 para todo � 2 R; então [v1; v2] = R2: Observe que
se v3 2 [v1; v2] ; então [v1; v2; v3] = [v1; v2] pois todo vetor que pode ser escrito como
combinação linear de v1; v2; v3 é uma combinação linear apenas de v1 e v2:
3. Mostre que os vetores v1 = (3; 1) e v2 = (5; 2) geram o R2:
33
4. V = R3; v 2 V; v 6= 0V : Então
[v] = f�v;� 2 Rg :
Isto é, [v] é a reta que contém o vetor v:
5. Se v1; v2 2 R3 são tais que �v1 6= v2 para todo � 2 R; então [v1; v2] será o plano que
passa pela origem e contém v1 e v2:
6. V =M2�2(R); v1 =
24 1 0
0 0
35 e v2 =24 0 0
0 1
35 : Vamos determinar [v1; v2] :7. W = f(x; y; z) 2 R3; z = x+ yg é subespaço de R3 e W = [v1; v2] ; onde v1 = (1; 0; 1) e
v2 = (0; 1; 1):
Observação 2.8 fv1; v2; : : : ; vng � [v1; v2; : : : ; vn] :
Observação 2.9 Se W1 é um subespaço de V e v1; v2; : : : ; vn 2 W1; então W =
[v1; v2; : : : ; vn] � W1: Isto é, W é o menor subespaço de V que contém o conjunto de vetores
fv1; v2; : : : ; vng :
Observação 2.10 Se u 2 [v1; v2; : : : ; vn] ; então [v1; v2; : : : ; vn; u] = [v1; v2; : : : ; vn] :
Exemplo 2.5 Sejam v1 = (1; 0; 1; 1); v2 = (2;�2; 0; 1) e v3 = (3;�2; 1; 2) vetores de R4:
Temos que v3 = v1 + v2 e portanto [v1; v2; v3] = [v1; v2] :
Exercício 15 Seja V = R3: Determine o subespaço de V gerado pelo vetor v = (1; 2; 3):
Exercício 16 Seja V = R3: Determine o subespaço de V gerado pelos vetores v1 = (�1; 3; 2)
e v2 = (2;�2; 1):
Exercício 17 Seja V = R3: Determine o subespaço de V gerado pelos vetores v1 = (1; 0; 0)
e v2 = (0; 1; 0):
Exercício 18 Os vetores v1 = (1; 0; 0); v2 = (0; 1; 0) geram o R3?
34
Observação 2.11 Existem espaços vetoriais que não são �nitamente gerado, isto é nenhum
conjunto �nito de vetores fv1; v2; : : : ; vng gera o espaço. Por exemplo, o espaço P (R) de todos
os polinômios reais é gerado pelo conjunto in�nito
� =�1; x; x2; x3; : : :
:
Isto não signi�ca que estamos trabalhando com combinações lineares in�nitas, pois cada
polinômio pode ser obtido através de uma quantidade �nita de vetores de �:
2.3 Dependência e Independência Linear
De�nição 2.7 Seja V um espaço vetorial. O conjunto fv1; v2; : : : ; vng � V é linearmente
independente (LI) ou os vetores v1; v2; : : : ; vn 2 V são LI se a igualdade
�1v1 + �2v2 + � � �+ �nvn = 0V
com �1; �2; : : : ; �n 2 R for válida apenas para �1 = �2 = � � � = �n = 0: No caso em que
exista algum �i 6= 0 dizemos que o conjunto fv1; v2; : : : ; vng é linearmente dependente (LD)
ou que os vetores v1; v2; : : : ; vn são LD:
1. Os vetores v1 = (1; 2); v2 = (2; 3) de R2 são LI:
2. Os vetores e1 = (1; 0); e2 = (0; 1) de R2 são LI:
3. Os vetores e1 = (1; 0; 0); v2 = (0; 1; 0) e v3 = (0; 0; 1) de R3 são LI:
4. Os vetores v1 = (2; 2; 3; 4); v2 = (0; 5;�3; 1) e v3 = (0; 0; 4;�2) de R4 são LI:
5. Os vetores v1 =
24 1 1
1 0
35 ; v2 =24 1 0
0 0
35 e v3 =24 0 2
2 0
35 de M2�2(R) são LD:
6. Considere V = P3(R): Os vetores f(x) = x2 + 1 e g(x) = x3 de V são LD ou LI?
Exercício 19 Seja fv1; : : : ; vk; w1; : : : ; wrg um subconjunto LI de um espaço vetorial V: Se
S1 = [v1; : : : ; vk] e S2 = [w1; : : : ; wr] ; mostre que S1 \ S2 = f0V g :
35
Vetores linearmente dependentes podem ser caracterizados de uma outra maneira.
Teorema 2.3 O conjunto fv1; v2; : : : ; vng é LD se, e somente se, um desses vetores é
combinação linear dos outros.
Exemplo 2.6 Considere os vetores v1 = (�1; 1); v2 = (1; 0) e v3 = (1; 2) de R2: O conjunto
fv1; v2; v3g é LD; pois v3 = 2v1 + 3v2:
2.3.1 Propriedades da Dependência e da Independência Linear
Seja V um espaço vetorial.
1. Se um conjunto B � V contém o vetor nulo, então B é LD:
2. Seja B = fvg � V; v 6= 0V ; então B é LI:
3. Sejam B1 e B2 subconjuntos não vazios e �nitos de V: Se B1 � B2 e B1 é LD então
B2 é LD:
4. Se B1 � B2 e B2 é LI então B1 é LI:
2.4 Base de um Espaço Vetorial
De�nição 2.8 Seja V um espaço vetorial. Dizemos que um conjunto fv1; v2; : : : ; vng � V
é uma base de V se:
1. fv1; v2; : : : ; vng é LI:
2. [v1; v2; : : : ; vn] = V:
1. V = R2; e1 = (1; 0); e2 = (0; 1): O conjunto fe1; e2g é uma base de V; chamada base
canônica de R2.
2. f(1; 0); (5; 0)g não é base de R2; pois é um conjunto LD:
36
3. O conjunto f(�1; 0); (1; 1)g é uma base de R2?
4. f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g é uma base de R3; chamada base canônica.
5. O conjunto f(1; 0; 1); (1; 2; 1)g é uma base de R3?
6. f(1; 0; 0); (0; 1; 0)g não é base R3: É LI; mão não gera todo R3:
7. V = Rn; e1 = (1; 0; : : : ; 0); e2 = (0; 1; 0; : : : ; 0); : : : ; en = (0; 0; : : : ; 1): O conjunto
fe1; e2; : : : ; eng é uma base de V; chamada base canônica de Rn:
8. V =M2�2(R);
8<:24 1 0
0 0
35 ;24 0 1
0 0
35 ;24 0 0
1 0
35 ;24 0 0
0 1
359=; é uma base de V:
9. O conjunto
8<:24 1 0
0 0
35 ;24 0 1
0 0
359=; é uma base de S =
8<:24 a b
0 0
35 ; a; b 2 R9=; :
10. V = P2(R) = fa0 + a1x+ a2x2; ai 2 Rg : O conjunto f1; x; x2g é uma base de V:
11. Os espaços P (R) e F (R;R) não têm base �nita.
Observação 2.12 Todo conjunto LI é base do subespaço por ele gerado.
Teorema 2.4 Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto �nito com n vetores.
Então qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é LD:
Exemplo 2.7 O conjunto f(1; 0); (2; 3); (0;�1)g é LD em R2:
Corolário 2.1 Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de
elementos.
37
2.4.1 Dimensão de um Espaço Vetorial
Seja V um espaço vetorial. Se V possui base �nita, de�nimos a dimensão de V como
sendo o número de elementos de alguma base de V e denotamos por dimV:
Se V não possui base �nita, dizemos que V tem dimensão in�nita.
1. dimR2 = 2
2. dimRn = n
3. dimM2�2(R) = 4
4. dimMm�n(R) = m � n
5. dimP2(R) = 3
6. dimPn(R) = n+ 1
7. dim f0V g = 0; pois por convenção [?] = f0V g :
8. P (R) e F(R;R) têm dimensão in�nita.
Exercício 20 Considere o subespaço
S = f(x; y; x+ y); x; y 2 Rg
de R3: Determine: a) Os geradores de S: b) uma base para S: c) a dimensão de S:
Teorema 2.5 Seja V um espaço vetorial de dimensão �nita e considere W um subespaço
de V; então dimW � dimV:
Teorema 2.6 Sejam V um espaço vetorial e v1; : : : ; vn 2 V vetores não-nulos tais que
V = [v1; : : : ; vn] ; então existe uma base � de V contida em fv1; : : : ; vng :
Exemplo 2.8 Seja W = f(x+ y + z; y � z); x; y; z 2 Rg : Encontre uma base de W:
Observação 2.13 Se dimV = n e fv1; : : : ; vmg gera V; então m � n:
38
Observação 2.14 Se dimV = n e � = fv1; : : : ; vng gera V; então � é base de V:
Teorema 2.7 Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão �nita
pode ser completado de modo a formar uma base de V:
Corolário 2.2 Se V é um espaço vetorial de dimensão n; então todo subconjunto de n
vetores LI de V é uma base de V:
Exemplo 2.9 Determinar uma base de R3 contendo o vetor u = (1; 1; 1):
Observação 2.15 Seja V espaço espaço vetorial. Se dimV é �nita, W é subespaço de V e
dimW = dimV; então W = V:
Observação 2.16 Se W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial V com bases �1 e �2
respectivamente, então �1 [ �2 gera W1 +W2 mas não necessariamente é base.
Observação 2.17 Se W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão
�nita, então W1 +W2 tem dimensão �nita e
dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2 � dim(W1 \W2):
e no caso em que V = W1 �W2; temos
dim(W1 +W2) = dimW1 + dimW2
e se �1 é base de W1 e �2 é base de W2; então �1 [ �2 é base de W1 +W2:
Exemplo 2.10 Sejam W1 =
8<:24 a b
c d
35 2M2�2(R); a = b = c+ d
9=; e
W2 =
8<:24 x y
x 0
35 ;x; y 2 R9=;. Determinar dimW1; dimW2; dim(W1 \W2); dim(W1 +W2);
W1 +W2 e W1 \W2:
39
2.5 Coordenadas de um Vetor
Teorema 2.8 Seja V um espaço vetorial e considere � = fv1; : : : ; vng uma base de V: Então
cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1; : : : ; vn:
De�nição 2.9 Sejam V um espaço vetorial, � = fv1; : : : ; vng uma base (ordenada) de V e
v 2 V; onde v = a1v1 + � � � + anvn: Dizemos que os escalares a1; : : : ; an são as coordenadas
de v em relação à base � e denotamos por:
[v]� =
26664a1...
an
37775 :Exemplo 2.11 Sejam �1 = f(1; 1); (0; 1)g e �2 = f(�1; 1); (1; 1)g bases de R2: Determinar
[v]�1 e [v]�2 se: a) v = (3; 5) b) v = (x; y):
Exercício 21 Considere o espaço vetorial
P3(R) = fpolinômios de grau � 3g
=�a0 + a1x+ a2x
2 + a3x3; ai 2 R
:
Sejam q1(x) = 1+ x+ x3; q2(x) = 2+ x
2; q3(x) = x3 e q4(x) = 1+ x+ x2: Veri�que que � =
fq1(x); q2(x); q3(x); q4(x)g é base de P3(R) e determine [q1(x)]� ; [q2(x)]� e [2 + 4x+ 6x3]� :
2.5.1 Mudança de Base
Seja V um espaço vetorial e considere � = fv1; : : : ; vng e �0 = fw1; : : : ; wng bases
ordenadas de V: Se v 2 V; então existem escalares x1; : : : ; xn; y1; : : : ; yn 2 R tais que
v = x1v1 + � � �+ xnvn e
v = y1v1 + � � �+ ynvn:
40
Assim,
[v]� =
26664x1...
xn
37775 e [v]�0 =
26664y1...
yn
37775 :Como � é uma base de V; podemos expressar os vetores de �0 como combinação linear
dos vetores de �; isto é,8>>>>>><>>>>>>:
w1 = a11v1 + a21v2 + � � � + an1vn
w2 = a12v1 + a22v2 + � � � + an2vn...
......
...
wn = a1nv1 + a2nv2 + � � � + annvn
De�nição 2.10 De�nimos a matriz [I]�0
� de mudança de base de �0 para � como sendo:
[I]�0
� =
26666664a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n...
......
an1 an2 � � � ann
37777775 :
Teorema 2.9 Seja V um espaço vetorial e considere � = fv1; � � � ; vng e �0 = fw1; : : : ; wng
bases ordenadas de V: Se v 2 V; então:
[v]� = [I]�0
� � [v]�0 :
Exemplo 2.12 Considere as bases � = f(1; 1); (�1; 1)g e �0 = f(1; 0); (0; 1)g de R2 e o
vetor v = (3; 5): Determinar: [I]�0
� ; [v]�0 e [v]� :
Observação 2.18 Se � e �0 são bases de um espaço vetorial V; então as matrizes [I]�0
� e
[I]��0 são inversíveis e �[I]�
0
�
��1= [I]��0 :
Exemplo 2.13 No exemplo anterior, podemos obter [I]�0
� a partir de [I]��0 :
41
Exercício 22 Consideremos a base � = fe1; e2g e a base �0 = ff1; f2g ; obtida da base
canônica � pela rotação de um ângulo �: Dado um vetor v 2 R2 de coordenadas [v]� =
24 x1x2
35em relação à base �; quaus são as coordenadas [v]�0 =
24 y1y2
35 em relação à base �0? Se
� = �=3 quais são as coordenadas de v em relação à base �0:
42
Capítulo 3
Transformações Lineares
De�nição 3.1 Sejam V eW dois espaços vetoriais. Dizemos que uma aplicação T : V ! W
é uma transformação linear se satisfaz as seguintes condições:
i) T (u+ v) = T (u) + T (v);8u; v 2 V ii) T (�u) = �T (u);8u 2 V e 8� 2 R:
Exemplo 3.1 T : R! R; T (x) = ax; a 2 R:
Exemplo 3.2 Id : V ! V ; Id(v) = v:
Exemplo 3.3 T :M2�2(R)! R4; T
0@24 a b
c d
351A = (a; b; c; d):
Exemplo 3.4 T : R2 ! R; T (x; y) = x+ y:
Exemplo 3.5 T : R3 ! R2; T (x; y; z) = (0; x):
Exemplo 3.6 Seja
F o espaço das funções de R em R e D = ff : R! R; f é diferenciável em Rg : Temos
que T : D ! F ; T (f) = f 0 é linear.
Exemplo 3.7 A aplicação nula é linear: T : V ! V ; T (u) = 0V :
Exemplo 3.8 T : R! R; T (x) = jxj não é linear.
43
Exemplo 3.9 T : R2 ! R; T (x; y) = x2 + y2 não é linear.
Exemplo 3.10 T : M2�2(R) ! R; T
0@24 a b
c d
351A = det
24 a b
c d
35 não é linear pois
det(A+B) 6= det(A) + det(B):
PropriedadesSe V e W são espaços vetoriais e T : V ! W é uma transformação linear, então:
i) T (0V ) = 0W :
ii) T (�v) = �T (v); 8v 2 V:
iii) T (u� v) = T (u)� T (v);8u; v 2 V:
Exemplo 3.11 T : R! R2; T (x) = (1; x) não é linear pois T (0) = (1; 0) 6= (0; 0):
Observação 3.1 A recíproca de (i) não é verdadeira, isto é, se T (0V ) = 0W não podemos
a�rmar que T é linear. Por exemplo, se T : R ! R é de�nida por T (x) = x2 temos que
T (0) = 0 e T não é linear.
Observação 3.2 Uma transformação linear T : V ! W preserva combinações lineares, isto
é, se v1; : : : ; vn 2 V e �1; : : : ; �n 2 R; temos:
T (�1v1 + � � �+ �nvn) = �1T (v1) + � � �+ �nT (vn):
Um fato importante sobre transformações lineares é que elas são perfeitamente
determinadas conhecendo-se apenas seu valor nos elementos de uma base.
Teorema 3.1 Dados dois espaços vetoriais reais V e W; fv1; : : : ; vng uma base de V e
w1; : : : ; wn vetores arbitrários de W: Então existe uma única transformação linear T : V !
W tal que T (vi) = wi; i = 1; : : : ; n:
Esta aplicação é dada por: Dado v 2 V; exsitem únicos �1; : : : ; �n 2 R tais que
v = �1v1 + � � �+ �nvn
44
De�nimos:
T (v) = �1T (v1) + � � �+ �nT (vn)
= �1w1 + � � �+ �nwn:
Exemplo 3.12 Qual é a transformação linear T : R2 ! R3 tal que T (1; 0) = (2;�1; 1) e
T (0; 1) = (1; 0; 0)?
Exemplo 3.13 Qual é a transformação linear T : R2 ! R3 tal que T (1; 1) = (3; 2; 1) e
T (0;�2) = (0; 1; 0)?
3.1 Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear
De�nição 3.2 Sejam V e W espaços vetoriais e T : V ! W uma transformação linear.
De�nimos o núcleo de T; denotado por Ker(T ); como sendo
ker(T ) = fv 2 V ;T (v) = 0Wg
e a imagem de T; denotada por Im(T ); de�nimos por
Im(T ) = fw 2 W ; w = T (v) p/ algum v 2 V g :
Exemplo 3.14 Dada a transformação linear T : R2 ! R; T (x; y) = x+y; determine ker(T )
e Im(T ):
Teorema 3.2 Se V e W são espaços vetorias e T : V ! W é uma transformação linear,
então
i) ker(T ) é subespaço de V
ii) Im(T ) é subespaço de W:
Exemplo 3.15 Dada a transformação linear T : R3 ! R3; T (x; y; z) = (0; y; z); determine
ker(T ) e Im(T ):
45
De�nição 3.3 Seja T : V ! W uma transformação linear. Dizemos que T é injetora se
T (u) = T (v)) u = v; 8u; v 2 V
ou equivalentemente,
u 6= v ) T (u) 6= T (v); 8u; v 2 V:
Dizemos que T é sobrejetora se Im(T ) =W: Se T é simultaneamente injetora e sobrejetora,
dizemos que T é bijetora.
Exemplo 3.16 T : R2 ! R3; T (x; y) = (x; y; 0) é injetora, mas não é sobrejetora.
Exemplo 3.17 T : R3 ! R2; T (x; y; z) = (y; z): T é sobrejetiva, mas não é injetiva.
Teorema 3.3 Se V e W são espaços vetorias e T : V ! W é uma transformação linear,
então T é injetora se, e somente se, ker(T ) = f0V g :
Exemplo 3.18 Determinar uma transformação linear T : R3 ! R4 tal que ker(T ) =
f(x; y; z) 2 R3; z = x� yg :
Teorema 3.4 (Teorema do Núcleo e da Imagem) Seja T : V ! W uma transformação
linear. Suponhamos que V seja de dimensão �nita. Então
dimV = dimker(T ) + dim Im(T ):
Exemplo 3.19 Comprove o Teorema do Núcleo e da Imagem para a transformação linear
T : R3 ! R3 de�nida por T (x; y; z) = (x; y; 0):
Exemplo 3.20 Comprove o Teorema do Núcleo e da Imagem para a aplicação identidade
T : V ! V; T (v) = v:
Exemplo 3.21 Comprove o Teorema do Núcleo e da Imagem para a aplicação nula T :
V ! W; T (v) = 0W :
Corolário 3.1 Se dimV = dimW; então T linear é injetora se, e somente se, T é
sobrejetora.
Corolário 3.2 Seja T : V ! W uma transformação linear injetora. Se dimV = dimW;
então T leva base em base.
46
3.1.1 Isomor�smo
Quando uma transformação linear T : V ! W for bijetora, dizemos que T é um
isomor�smo e que os espaços vetoriais V e W são isomorfos. Neste caso, dimV = dimW:
Além disso, um isomor�smo T : V ! W tem uma aplicação inversa T�1 : W ! V que
é linear e também é um isomor�smo.
Exemplo 3.22 Considere a transformação linear T : R3 ! R3; de�nida por T (x; y; z) =
(2x� y + 3z;�y + z; 2x+ y): Veri�que que T é um isomor�smo e determine sua inversa.
Observação 3.3 Todo isomor�smo leva base em base.
Observação 3.4 Se T : V ! W é linear e fv1; : : : ; vng gera V; então fT (v1); : : : ; T (vn)g
gera a Im(T ):
Exemplo 3.23 Seja T : R3 ! R2 a transformação linear tal que T (e1) = (1; 2); T (e2) =
(0; 1) e T (e3) = (�1; 3); sendo fe1; e2; e3g a base canônica de R3:
1. Determinar o ker(T ) e uma de suas bases. T é injetora?
2. Determinar a Im(T ) e uma de suas bases. T é sobrejetora?
3.2 Matriz Associada a uma Transformação Linear
Seja T : V ! W uma transformação linear e considere � = fv1; : : : ; vng uma base de
V e �0 = fw1; : : : ; wmg uma base de W: Temos,
T (v1) = a11w1 + a21w2 + � � � + am1wm
T (v2) = a12w1 + a22w2 + � � � + am2wm...
......
...
T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + � � � + amnwm
47
A matriz 26666664a11 a12 � � � a1n
a21 a22 � � � a2n...
......
am1 am2 � � � amn
37777775é chamada matriz de T em relação às bases � e �0 e é denotada por [T ]��0 :
Exemplo 3.24 Seja T : R4 ! R2 dada por T (x; y; z; t) = (x + y; z + t): Determine [T ]��0 ;
onde � é a base canônica de R4 e �0 = f(1; 1); (1; 0)g :
Exemplo 3.25 Dadas as bases � = f(1; 1); (0; 1)g de R2 e �0 = f(0; 3; 0); (�1; 0; 0); (0; 1; 1)g
de R3, encontre a transformação linear T : R2 ! R3 cuja matriz é
[T ]��0 =
266640 2
�1 0
�1 3
37775 :Observação 3.5 Quando � e �0 são bases canônicas de V e W respectivamente, costuma-se
usar a notação [T ]��0 = [T ] : Também é comum usar a notação T (v) = Tv:
Teorema 3.5 Sejam V e W espaços vetoriais, � base de V; � base de W e T : V ! W
uma transformação linear. Então
[T (v)]� = [T ]�� � [v]� :
Exemplo 3.26 Considere a transformação linear T : R2 ! P2(R) que tem a matriz
[T ]�� =
266641 �1
0 1
�2 3
37775 em relação às bases � = f(1; 0); (0; 1)g e � = f1 + t2;�2 + t2; tg :
Calcule T (2;�3):
Teorema 3.6 Sejam T1 : V ! W e T2 : W ! U transformações lineares e �; �; bases de
V; W e U respectivamente. Então a composta de T1 com T2; T2 � T1 : V ! U é linear e
[T2 � T1]� = [T2]� � [T1]
�� :
48
Exemplo 3.27 Considere as transformações lineares T : R3 ! R2; T (x; y; z) = (2x +
y; x+ z) e S : R2 ! M2�2(R); S(x; y) =
24 x+ y 0
0 0
35 : Se � = f(1; 1; 1); (1; 1; 0); (1; 0; 0)g ;� = f(1; 0); (0; 1)g e base canônica de M2�2(R): Determinar S � T : R3 !M2�2(R); [S]� ;
[T ]�� e [S � T ]� :
Teorema 3.7 Sejam V e W espaços vetoriais de mesma dimensão, � e � bases de V e W
respectivamente e T : V ! W uma transformação linear.
i) [T ] �� é uma matriz quadrada
ii) T é um isomor�smo se, e somente se, det�[T ]��
�6= 0:
iii) Se T é um isomor�smo, então�T�1
���=�[T ]��
��1:
Exemplo 3.28 Seja T : R2 ! R2; T (x; y) = (x + y; x) e sejam � = f(1; 0); (0; 1)g e
� = f(2; 1); (1; 1)g bases de R2: Encontre T�1:
49
Capítulo 4
Autovalores e Autovetores
De�nição 4.1 Um transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo T : V ! V é
chamada Operador Linear.
De�nição 4.2 Seja T : V ! V um operador linear. Dizemos que um escalar � 2 R é um
autovalor de T se existe v 2 V; v 6= 0V tal que T (v) = �v: Neste caso, dizemos que v é um
autovetor de T associado a �:
Observação 4.1 � pode ser o número zero, embora v 6= 0V :
Exemplo 4.1 T : R2 ! R2; T (x; y) = 3(x; y): Neste caso, � = 3 é um autovalor de T e
qualquer vetor (x; y) 6= (0; 0) é um autovetor de T associado ao autovalor � = 3:
Exemplo 4.2 O operador linear T : R2 ! R2; T (x; y) = (�y; x) (Rotação de 90o em torno
da origem) não possui autovalor.
Exemplo 4.3 Usando a de�nição, determine os autovalores e os autovetores do operador
T : R2 ! R2; T (x; y) = (4x� 3y; 6x� 7y):
Teorema 4.1 Seja T : V ! V um operador linear.
1. Se v é um autovetor de T associado a um autovalor �; então w = �v; � 6= 0; � 2 R
também é autovetor de T associado ao mesmo autovalor �:
50
2. O conjunto formado por todos os autovetores de T associados ao autovalor � mais o
vetor nulo, isto é,
V� = fv 2 V ;T (v) = �vg
é um subespaço vetorial de V: V� é chamado subespaço associado ao autovalor �:
4.0.1 Polinômio Característico
Seja V um espaço vetorial de dimensão n e T : V ! V um operador linear. Considere
� uma base de V e [T ]�� = (aij)n�n: Supondo que � 2 R é autovalor de T; temos que existe
v 2 V; v 6= 0V tal que T (v) = �v: Assim, [T (v)]� = [�v]� e daí
[T ]�� � [v]� = � [v]�
Assim,
[T ]�� � [v]� � � [v]� =
266666640
0...
0
37777775n�1
e portanto
�[T ]�� � �In�n
�[v]� =
266666640
0...
0
37777775n�1
:
Considerando
[v]� =
26666664x1
x2...
xn
37777775 =266666640
0...
0
37777775n�1
51
temos: 26666664a11 � � a12 � � � a1n
a21 a22 � � � � � a2n...
......
...
an1 an2 � � � ann � �
37777775 �26666664x1
x2...
xn
37777775 =266666640
0...
0
37777775Como esse sistema tem solução não-trivial devemos ter
det
26666664a11 � � a12 � � � a1n
a21 a22 � � � � � a2n...
......
...
an1 an2 � � � ann � �
37777775 = 0
ou seja,
det�[T ]�� � �In�n
�= 0:
De�nição 4.3 De�nimos o polinômio característico de T como sendo o polinômio de
grau n :
p(�) = det�[T ]�� � �In�n
�:
As raízes reais de p(�) são exatamente os autovalores de T ou os autovalores da matriz
[T ] :
Observação 4.2 Se � e � são bases de V então
p(�) = det�[T ]�� � �In�n
�= det ([T ]�� � �In�n) :
Assim, o polinômio característico independe da escolha da base.
Exemplo 4.4 Seja T : R2 ! R2; T (x; y) = (x + 3y; 3x + y) sendo � = f(1; 0); (0; 1)g e
� = f(1; 1); (2; 1)g : Determine [T ]�� ; [T ]�� e o polinômio característico de T: Encontre os
autovalores e autovetores de T através do polinômio característico.
De�nição 4.4 Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor a quantidade de
vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. A multiplicidade geométrica
de um autovalor � é dimV�:
52
Exemplo 4.5 Seja A =
266643 0 �4
0 3 5
0 0 �1
37775 : Determine os autovalores e autovetores de A:
Exemplo 4.6 Seja A =
266643 �3 �4
0 3 5
0 0 �1
37775 : Determine os autovalores e autovetores de A:
4.1 Diagonalização de Operadores
Seja T : V ! V um operador linear. A cada base � de V corresponde uma matriz [T ]��
que representa T na base �: Queremos encontrar uma base � de V na qual [T ]�� seja a matriz
mais simples possível. Veremos que essa matriz é a matriz diagonal.
Se conseguirmos uma base � = fv1; v2; : : : ; vng de V formada por autovetores de T;
então
T (v1) = �1v1 + 0v2 + � � �+ 0vn
T (v2) = 0v1 + �2v2 + � � �+ 0vn...
T (vn) = 0v1 + 0v2 + � � �+ �nvn
e portanto a matriz [T ]�� será uma matriz diagonal, onde os elementos da diagonal principal
são os autovalores �i; isto é,
[T ]�� =
26666664�1 0 0 � � � 0
0 �2 0 � � � 0...
......
...
0 0 0 � � � �n
37777775n�n
:
53
Por outro lado, se = fu1; u2; : : : ; ung é uma base de V tal que
[T ] =
26666664a1 0 0 � � � 0
0 a2 0 � � � 0...
......
...
0 0 0 � � � an
37777775n�n
então, interpretando a matriz temos:
T (u1) = a1v1 + 0v2 + � � �+ 0vn
T (v2) = 0v1 + a2v2 + � � �+ 0vn...
T (vn) = 0v1 + 0v2 + � � �+ anvn
e portanto, u1; u2; : : : ; un são autovetores de T:
Concluimos portanto que um operador linear T : V ! V admite uma base � na qual
[T ]�� é diagonal se, e somente se, � é formada por autovetores de T: Os resultados seguintes
asseguram a existência dessa base.
Teorema 4.2 Autovetores associados a autovalores distintos são L:I:
Corolário 4.1 Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T : V ! V é um operador linear
que possui n autovalores distintos, então V possui uma base formada por autovetores de T:
De�nição 4.5 Seja T : V ! V um operador linear. Dizemos que T é um operador
diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T:
Exemplo 4.7 Vamos veri�car se os operadores abaixo são diagonalizáveis.
1. T : R2 ! R2; T (x; y) = (�3x+ 4y � x+ 2y); [T ] =
24 �3 4
�1 2
35 :
2. T : R3 ! R3; [T ] =
266643 0 �4
0 3 5
0 0 �1
3777554
3. T : R3 ! R3; [T ] =
266643 �3 �4
0 3 5
0 0 �1
37775
55