didÁtica da resoluÇÃo de problemas de matemÁtica
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Curso de Licenciatura Plena em Matemática
Ana Itamara Paz de Araújo
DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA
Ji-Paraná-RO
2010
ANA ITAMARA PAZ DE ARAÚJO
DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à banca examinadora do Curso de Matemática da Universidade Federal de Rondônia- UNIR, Campus de Ji-Paraná, como exigência parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática, sob orientação da Prof.º Ms. Ana Fanny Benzi de Oliveira Bastos.
DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA
ANA ITAMARA PAZ DE ARAÚJO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à banca examinadora do Curso de Matemática da Universidade Federal de Rondônia- UNIR, Campus de Ji-Paraná, como exigência parcial para obtenção do título de Licenciado em Matemática.
__________________________________________________
Presidente:
Profª. Mestre Ana Fanny Benzi de Oliveira Bastos
Orientadora
__________________________________________________
Prof. Mestre Lenilson Sérgio Cândido
Membro
__________________________________________________
Prof. Doutor Ricardo José Souza da Silva Membro
Ji-Paraná-RO 2010.
IV
DEDICATÓRIA
A toda minha Família que muito me ajudou para que minha graduação acontecesse
principalmente minha mãe, Maria Lúcia Paz que teve um papel importantíssimo na minha
graduação, infelizmente ela não está mais entre nós, mas sei que de onde ela estiver, estará
muito feliz com essa nossa conquista, pois era um sonho meu e dela, obrigada minha mãe
por tudo, amo-te eternamente!
E a todos que acreditaram em mim e que de alguma forma contribuíram para
realização deste trabalho.
V
AGRADECIMENTOS
A Deus que até aqui tem me ajudado a superar as dificuldades na trajetória árdua de
minha vida.
A minha mãe, Maria Lúcia Paz que muito contribuiu para minha formação e é a
quem eu devo tudo na vida.
As minhas irmãs que sempre me apoiaram ao longo do curso, Ana Lúcia Paz de
Araújo e Ana Virgínia Paz de Araújo.
Ao meu pai, Itamar Barros de Araújo e meus sobrinhos, Luana Maria Paz Barbosa,
Josenildo Luanderson Paz Araújo Barbosa e Lucas Vinícius Paz Araújo Barbosa.
Ao Márcio Antônio Bezerra de Menezes que tem sido um companheiro
maravilhoso, sempre me apoiando.
A todos os meus professores da pré-escola a universidade, pois fizeram parte da
minha vida como universitária, não podendo esquecer-se daqueles que foram além de suas
obrigações com a nossa turma, como: Ana Fanny Benzi de Oliveira Bastos que sempre tive
como uma amiga, Marcos Leandro Ohse que no momento mais difícil da minha graduação
teve a sensibilidade de conversar comigo e me dar ânimo para continuar a minha trajetória.
A todos os meus amigos, tanto de faculdade como de infância.
Muitíssimo Obrigada!
VI
Entrega teu caminho ao Senhor; confia nele e ele tudo fará.
Salmos 37.5
VII
RESUMO
ARAÚJO, Ana Itamara Paz de. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2010.
Trabalho de conclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Departamento de
Matemática e Estatística da Universidade Federal de Rondônia – Campus de Ji-Paraná. Ji-
Paraná-Rondônia, 2010.
O presente trabalho aborda inicialmente a caracterização de problemas, fazendo uma
generalização do tema de resolução de problemas, em seguida define o que é um problema
matemático e os dois principais modelos de problemas matemáticos que é o problema de
determinação e o de problema demonstração.
Seguidamente faz-se uma abordagem das quatro etapas para a resolução de problemas
matemáticos, demonstrando um trabalho minucioso com essas etapas e abordamos também
a didática que o professores utilizam para se resolver problemas de matemática. Por fim,
aplicou-se um questionário com alunos do 2º ano da Escola Estadual de Ensino
Fundamental e Médio Rio Urupá com finalidade de saber como anda a relação dos alunos
com a resolução de problemas.
Neste trabalho procuramos mostrar que o professor que propuser a trabalhar com a didática
da resolução de problemas, terão em um futuro próximo, êxito em sala de aula, formando
cidadãos críticos, já que essa didática promove ao aluno um pensar diferenciado, que
consiste em aprender a aprender.
PALAVRAS CHAVES: Problemas; Resolução; Didática.
VIII
ABSTRACT
ARAÚJO, Ana Itamara Paz de. Didactics of Mathematics Problem Solving. 2010.
Completion of Course Work (Graduated in Mathematics) – Department of Mathematics
and Statistics from the Universidade Federal de Rondônia – Campus de Ji-Paraná. Ji-
Paraná- Rondônia, 2010.
This paper makes an initial approach to the characterization of problems, making a
generalization of the theme of problem solving, and then defines what is a mathematical
problem and the two main types of mathematical problems that is the problem and
determination problem statement.
Then it is an approach to the four steps in solving mathematical problems, demonstrating a
thorough job with these steps and also the didactic approach that teachers use to solve math
problems. Lastly, we applied a questionnaire with students from 2nd year of the State
School for Elementary and Middle Rio Urupá with the purpose of knowing how good the
relationship with the students´ problem-solving.
In this work we show that the teacher who proposes to work with the teaching of problem
solving, will in the near future, success in the classroom, forming critical citizens, as this
promotes teaching students to think of a differential, which is to learn learning.
KEY-WORDS: Issues; Resolution; Curriculum.
X
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO--------------------------------------------------------------------------------------01
1 A Resolução de Problemas--------------------------------------------------------------------03
1.1 Caracterização da resolução de problemas nas diversas áreas-----------------------------03
1.2 O Problema Matemático------------------------------------------------------------------------04
1.2.1 Problema de Determinação-------------------------------------------------------------------05
1.2.2 Problema de Demonstração------------------------------------------------------------------07
1.3 Diferenças entre Problema Matemático e Exercício Matemático-------------------------09
2 Estratégias para a Resolução de Problemas Matemáticos-----------------------------12
2.1 A Resolução de Problemas Matemáticos Segundo Polya----------------------------------12
2.2 As quatro etapas de Resolução de Problemas------------------------------------------------13
2.2.1 Compreensão do Problema-------------------------------------------------------------------14
2.2.2 Estabelecimento do Plano--------------------------------------------------------------------16
2.2.3 Execução do Plano-----------------------------------------------------------------------------19
2.2.4 Retrospecto-------------------------------------------------------------------------------------20
2.3 A Resolução de Problemas Matemáticos-----------------------------------------------------21
3 Resolução de Problemas Matemáticos para o Ensino Médio--------------------------24
3.1 O Ensino da Resolução de Problemas Matemáticos-----------------------------------------24
3.2 Recomendações para a Resolução de Problemas no Ensino Médio-----------------------25
4 Pesquisa com alunos da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Rio Urupá-------------------------------------------------------------------------------------------------28
X
4.1 Dados e Análise da Pesquisa com Alunos da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Rio Urupá------------------------------------------------------------------------------------28
Considerações Finais------------------------------------------------------------------------------37
Referências------------------------------------------------------------------------------------------38
Anexos-----------------------------------------------------------------------------------------------------------39
1
INTRODUÇÃO
Com base nos Parâmetros Curriculares Nacionais professores que trabalham com
resoluções de problemas estão colaborando com seus alunos a questionar a realidade, quando
estes formulam problemas ou tratam de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico,
a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e
verificando sua adequação.
No processo de resolução de problemas, percebe-se que para resolvê-los é preciso
compreender, propor e executar um plano de solução, verificar e comunicar a resposta. Cabe
ao aluno a construção do conhecimento matemático que permite resolver problemas, tendo o
professor como mediador e orientador do processo ensino-aprendizagem, responsável pela
sistematização do novo conhecimento.
O presente trabalho tem como objetivo descrever os tipos de problemas
matemáticos e fazer uma análise na resolução de tais problemas, com a inserção das etapas de
Polya, que favorece o ensino da resolução de problemas matemáticos e suas estratégias.
Diferenciar problemas matemáticos de exercícios matemáticos e também acompanhar os
alunos frente à resolução de problemas matemáticos e o interesse pelas aulas de Matemática.
Organizou-se o trabalho, abordando no capítulo I, a resolução de problemas e suas
características, descrevendo definições de resolução de problemas matemáticos e
apresentando os dois tipos de problemas de matemática, e abordando significado sobre o que
é um problema de matemática e o que é um exercício matemático.
No capítulo II, apresenta-se as estratégias para a resolução de problemas matemáticos,
as quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya, e as definições de problemas
matemáticos segundo vários estudiosos do tema.
2
No capítulo III, descreve-se o ensino de resolução de problemas com a abordagem
específica para o ensino médio.
No capítulo IV, descreve-se o resultado do questionário aplicado aos alunos do 2º ano
do Ensino Médio da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Rio Urupá, sobre a
importância da resolução de problemas. Faz-se também uma análise detalhada de dois
problemas que foram aplicados para estes alunos, destaca alguns pontos importantes da
resolução indicando que um aluno bem orientado consegue atingir sucesso na resolução de
problemas matemáticos.
O que mostra que o conhecimento de algumas técnicas facilita aos alunos na resolução
de problemas matemáticos, pois cognitivamente promove novas estratégias de como resolver
o problema proposto.
3
1 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Estruturo-se este capítulo apontando, num primeiro momento, as questões referentes à
caracterização da resolução de problemas nas diversas áreas, posteriormente abordou-se o
problema matemático, problema de determinação e problema de demonstração, citando
exemplos significativos para a compreensão dos mesmos e aprofundou-se na diferença
significativa entre problema matemático e exercício matemático.
1.1 CARACTERIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NAS DIVERSAS ÁREAS
Quando falamos em resolução de problemas, a primeira coisa que lembramos são
aqueles problemas matemáticos que nossa professora do primário nos ensinou a resolver.
Realmente, a área onde mais notamos a aplicação da resolução de problemas é a Matemática,
mas nem só de Matemática vivem os problemas.
Existe uma infinidade de situações em que nos deparamos com problemas a serem
resolvidos que nada tem a ver com Matemática, por isso, muitas vezes não os relacionamos
com problemas propriamente ditos, mas apesar de possuírem uma abordagem diferente que
não existe uma incógnita ou uma prova para serem desvendadas, estas situações são
classificadas como problemas, e devem-se analisar especificamente cada abordagem a fim de
escolher a estratégia mais adequada para a ocasião.(MENDES.1998)
Em situações onde se têm um impasse a ser resolvido, deve-se analisar o contexto,
as variáveis envolvidas, as possibilidades do desdobramento e então decidir qual é o caminho
ideal a ser percorrido. Tudo isso nada mais é senão uma estratégia utilizada para a resolução
do problema apresentado.
4
Cada pessoa tem uma visão peculiar permitindo relacionar todos os fatores
envolvidos na resolução de um problema, pois cada pessoa pensa de um modo diferente,
portanto um mesmo problema pode ser apresentado para uma ou mais pessoas e cada uma
consequentemente resolverá de forma diferenciada, portanto podemos afirmar com toda
certeza que o mesmo problema pode ser resolvido de diversas maneiras, encontrando
caminhos diferentes, o importante é que essas formas tenham algum sentido com o problema
em questão e que a resolução esteja de acordo com o problema.(MORIN.2002)
As conceituações de problema matemático, ou simplesmente problema, estão inter-
relacionadas. A diferença básica é a própria generalização da palavra problema, permitindo
extrapolar para todas as áreas de conhecimento, resgatando o que é semelhante na estrutura de
todos os problemas, independentemente da área que um indivíduo esteja atuando.
1.2 O PROBLEMA MATEMÁTICO
Segundo o dicionário Aurélio primeira edição do ano de 2004, “problema significa
questão matemática proposta para que se lhe dê solução; questão não resolvida, ou de solução
difícil”. Os educadores matemáticos, atualmente, vêm se preocupando muito com a questão
de resolução de problemas, devido à sua grande importância não só no ensino da Matemática,
como em outras disciplinas.
Um problema matemático é toda e qualquer situação onde é requerida uma descoberta
de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que está tentando resolvê-lo, ou
ainda, é o desenvolvimento da demonstração de um dado resultado matemático. O importante
a ser destacado é que a pessoa que vai resolver um problema terá de descrever estratégias
novas, percorrer novos caminhos, ela até pode conhecer os objetivos a serem alcançados, mas
desconhece os meios para alcançar tais objetivos.(MATEUS.2002)
Pode-se assim definir um problema matemático como sendo uma situação em que devemos
chegar a um objetivo em que não conhecemos o caminho a ser trilhado. De outra forma não
seria um problema, mas sim a aplicação de conhecimentos previamente conhecidos.
5
Neste contexto, eis como os PCNs definem o problema matemático:
“Uma situação que demanda a realização de uma seqüência
de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução
não está disponível de início, no entanto é possível construí-la”.
(PCNs, 1997,p.44)
Podemos complementar que problema matemático como sendo toda e qualquer
situação em que para se resolver o determinado problema precisa-se criar algum plano e/ou
estratégias a ser seguidas. É um caminho desconhecido que teremos que trilhar e nem sempre
sabemos se estamos indo para o caminho de um desfecho satisfatório, mas para seguir este tal
caminho o solucionador do problema precisa-se encontrar motivado para criar estratégias
significantes.
E relacionado ao problema de matemática, temos dois tipos que se destacam o
problema de determinação e o problema de demonstração, a seguir vamos conhecer as suas
principais características e peculiaridades.
1.2.1 PROBLEMA DE DETERMINAÇÃO
Os problemas de determinação podem ser teóricos ou práticos, abstratos ou concretos,
problemas sérios ou simples enigmas. Podemos procurar determinar incógnitas de todos os
tipos, podemos tentar encontrar, calcular, obter, produzir, traçar, construir todos os tipos
imagináveis de objetos.
O problema de determinação tem como objetivo principal encontrar certo objeto, a
incógnita do problema. No problema da novela policial, a incógnita é um assassino. No
problema de xadrez, a incógnita é a jogada do enxadrista. Em certos problemas de Álgebra
elementar, a incógnita é um número. Num problema de traçado geométrico, a incógnita é uma
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figura e assim por diante. Este problema é mais freqüente na Matemática elementar, este tipo
de problema tem mais destaque do que qualquer outro tipo de problemas.
Para resolver um problema de determinação é preciso conhecer, com grande exatidão,
as suas partes principais, a incógnita, os dados e a condicionante. Algumas das perguntas mais
freqüentes são:
“Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? Neste caso
separamos as várias partes da condicionante, procuramos a relação entre incógnita e os dados
apresentados, e também podemos fazer uso da estratégia de procurar algum problema
parecido que já resolvemos anteriormente isso facilita e muito a resolução de um problema de
determinação. Um exemplo de problema de determinação que foi retirado do livro “A Arte de
Resolver Problemas”, do autor Polya.
Calcular os valores de x, y, u e v que satisfazem o sistema de quatro equações
x + 7y + 3v + 5u = 16
8x + 4y + 6v + 2u= -16
2x + 6y+ 4v + 8u= 16
5x+ 3y + 7v + u = -16
Este problema ilustra muito bem um modelo de problema de determinação, pois a
incógnita é o valor de x, y, u e v. Para a resolução de tal problema primeiro precisamos
observar que a primeira equação e a última é semelhante à que existe entre a segunda e a
terceira: os coeficientes dos termos do primeiro membro são os mesmos, mas na ordem
inversa, enquanto que os do segundo membro são opostos. Somando a primeira equação à
última e a segunda à terceira:
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6 ( x + u ) + 10 ( y + v) = 0
10 ( x + u) + 10 ( y + v) = 0
Este resultado pode ser considerado como um sistema de duas equações lineares a
duas incógnitas, x + u e y + v, que facilmente fornece
x + u = 0, y + v = 0.
Substituindo u por –x e v por –y nas duas primeiras equações do sistema original
encontramos
-4 x + 4 y = 16
6 x – 2 y = -16.
Este sistema simples fornece
x= -2, y = 2, u = 2, v= -2.
1.2.2 PROBLEMA DE DEMONSTRAÇÃO
O problema de demonstração consiste em mostrar conclusivamente que certa
afirmativa, claramente enunciada, é verdadeira ou, então, que é falsa. Teremos que responder
à pergunta: a afirmativa é verdadeira ou falsa? E temos de respondê-la conclusivamente, quer
provando-a verdadeiramente, quer provando-a falsa.
Uma testemunha afirma que o acusado passou em casa toda certa noite. O juiz tem de
verificar se essa afirmativa é verdadeira ou não e, além disso, tem de apresentar razões tão
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boas quanto possíveis para a sua conclusão. Assim, o juiz tem um problema de demonstração.
(POLYA,1887)
Outro problema desse tipo seria demonstrar o teorema de Pitágoras. Não diremos:
“Demonstre ou refute o teorema de Pitágoras”. Em alguns aspectos, seria preferível incluir no
enunciado do problema a possibilidade de refutar, mas poderemos desprezá-la, pois sabemos
que as probabilidades de contradizer o teorema de Pitágoras são por demais remotas. Portanto
podemos concluir que o um problema de demonstração é aquele que temos que encontrar
provas suficientes pra dizer que algo é verdadeiro ou falso, este tipo de problema é mais
freqüente no ensino superior. Se for um problema de matemático comum, suas partes
principais serão hipótese e a conclusão do teorema que tiver de ser provado ou refutado.
“Se os quatro lados de um quadrilátero forem iguais, então as suas duas diagonais
serão perpendiculares entre si.” A segunda parte, que começa por “então”, é a conclusão; a
primeira parte, que começa por “se”, é a hipótese.
Para resolver um problema de demonstração é preciso conhecer com grande exatidão,
as suas partes principais, ou seja, a definição, os teoremas e ter uma facilidade de
argumentação, com objetivo de mostrar a veracidade ou não do problema proposto. A seguir
um exemplo matemático de problema de demonstração, retirado do livro “A Arte de Resolver
Problemas” (Polya;1995,p.5).
O lado de um hexágono regular tem o comprimento n (n é o número inteiro). Por
paralelas eqüidistantes a seus lados, o hexágono é dividido em T triângulos eqüiláteros, todos
estes com lados de comprimento unitário. Seja V o número de vértices que aparecem na
divisão e L o número de linhas de comprimento unitário. (uma linha-limite pertence a um ou
dois triângulos, um vértice a dois ou mais triângulos.) Quando n= 1, que é o caso mais
simples, T = 6, V = 7, L= 12. Considerar o caso geral e expressar T, V, L em função de n.
(Supor é bom, mas demonstrar é melhor).
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Para resolver este problema o interessante é traçar uma figura, podendo ajudar a
descobrir intuitivamente alguma relação que existe entre T, V, L e n. Para resolução de tal
problema precisamos saber que o comprimento do perímetro do hexágono regular de lado n é
6n. Portanto, este perímetro é composto de linhas-limites de comprimento unitário e contém
6n vértices. Por conseguinte, na transição de n-1 para n, V aumenta de 6n unidades e, assim,
V = 1 + 6(1+ 2+3 + ... + n) = 3n² + 3n + 1;
Por 3 diagonais que passam pelo seu centro, o hexágono fica dividido em 6 (grandes)
triângulos eqüiláteros. Examinando-se um deles, verifica-se que,
T = 6( 1+ 3 + 5 + ... + 2n-1) = 6n²
Os T triângulos têm, em conjunto, 3t lados. Neste total 3T, cada linha divisória interna
é contada duas vezes, enquanto as 6n linhas de perímetro são contadas uma só vez. Daí
2L = 3T + 6n, L = 9n² + 3n.
1.3 DIFERENÇAS ENTRE PROBLEMA MATEMÁTICO E EXERCÍCIO MATEMÁTICO
Caracterizamos sendo um problema matemático como toda situação que requer a
descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo, a
invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o
aluno tenha de “inventar estratégias e criar idéias”; ou seja: pode até ocorrer que o aluno
conheça o objetivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não tem os
meios para atingir tal objetivo já o exercício matemático é uma atividade de “adestratamento”
no uso de alguma habilidade, pois o conhecimento já é conhecido pelo aluno, podemos citar
como exemplo a aplicação de algum algoritmo conhecido, de uma fórmula conhecida,
portanto o exercício envolve mera aplicação e o problema necessariamente envolve invenção
ou/e criação significativa. (DANTE,2005)
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Mas às vezes é possível que uma mesma situação represente um problema para uma
pessoa enquanto que para outra não, pois esta outra pessoa conhece mecanismos suficientes
para resolução, assim com um investimento mínimo de recursos cognitivos este problema se
reduz a um simples exercício.
Solução de problemas representa para o aluno uma demanda cognitiva e motivacional
maior do que a execução de exercícios, pelo que, muitas vezes, os alunos não habituados a
resolver problemas se mostram inicialmente reticentes e procuram reduzi-los a exercícios
rotineiros. Tendo em vista este pensamento, de acordo com Polya em A Arte de Resolver
Problemas, ele diz:
[...] No ensino da Matemática, podem fazer-se necessários
exercícios rotineiros, até mesmo muitos deles, mas deixar que os
alunos nada mais façam é indesculpável. O ensino que se reduz ao
desempenho mecânico de operações matemáticas rotineiras fica
bem abaixo do nível do livro de cozinha, pois as receitas culinárias
sempre deixam alguma coisa à imaginação e ao discernimento do
cozinheiro, mas as receitas matemáticas não deixam nada disso a
ninguém. ( POLYA;1995, p.124)
Isso implica dizer que os exercícios matemáticos nada mais é que situações onde o
aluno precisa somente um pouco de atenção para fazer cálculos onde já sabe todo o caminho a
percorrer, não precisam de nenhuma idéia nova, pois o processo é mecânico e muitas vezes
acabam sendo repetitivo.
Para concluirmos a idéia vejamos o quadro abaixo com um exemplo significativo de
problema matemático e exercício matemático:
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Exercício Matemático Problema Matemático
Resolver a equação x 2 - 3x + 2 = 0
(supõe-se que tal aluno conheça a fórmula de
Bháskara)
Provar a fórmula de Bháskara (supõe-se
que tal aluno nunca tenha visto tal
demonstração, mas conheça a fórmula)
A resolução de exercício matemático
não estimula a curiosidade do aluno, por se
tratar de uma forma mecanizada de resolução.
O problema matemático estimula a
curiosidade do aluno, fazendo com que ele
entre em um mundo desconhecido e que
formule estratégias para a resolução.
Os exercícios matemáticos geralmente
apresentam apenas uma forma de resolução.
Os problemas matemáticos podem ser
resolvidos de formas variadas, pois cada aluno
pode interpretar o problema de um modo, e
isso não se significa que a resolução não está
correta.
A solução de exercícios matemáticos
não apresenta motivação para o aluno.
A solução de problemas apresenta para
o aluno uma demanda cognitiva e motivacional
maior.
Fonte: ARAÚJO.2010.UNIR
Caso a resolução da forma geral da equação quadrática haja sido previamente
ensinada e exemplificada, de tal forma que o aluno nada mais tenha a fazer do que substituir
algumas letras, que aparecem na solução geral, pelos números -3 e 2. Mesmo que a equação
quadrática não tenha sido resolvida genericamente sob a forma “literal”, mas se meia dúzia de
equações desse tipo, com coeficientes numéricos, o tenham sido pouco antes apresentados
isso se caracteriza um exercício matemático ou podemos chamar de problema rotineiro que
acaba tanto na mesma definição e não um problema matemático, diferentemente se ao invés
de pedir a resolução da equação pedisse ao aluno que demonstrasse a fórmula de Bháskara,
dando o suporte necessário para tal dedução.
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2 ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Neste capítulo estaremos abordando as várias estratégias de resolução de problemas
matemáticos, estaremos tecendo as quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya,
G. George, que foi sem sombra de duvida o maior estudioso na arte de resolução de
problemas matemáticos e faremos algumas considerações significativas do ponto de vista de
outros autores.
2.1 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS SEGUNDO POLYA
Polya (1985) sendo um dos mais conceituados estudiosos do processo de resolução
de problemas deu a seguinte definição de problema:
“Temos um problema sempre que procuramos os meios para atingir
um objetivo. Quando temos um desejo que não podemos satisfazer
imediatamente, pensamos nos meios de satisfazê-lo e assim se põe um
problema. A maior parte da nossa atividade pensante, que não seja
simplesmente sonhar acordado, se ocupa daquilo que desejamos e dos
meios para obtê-lo, isto é de problemas”. (POLYA, 1985,p.13)
Portanto resolução de problemas matemáticos nada mais é que o aluno se depare na
frente de um determinado problema que nunca antes fora resolvido por ele, e que ele tenha
que criar planos para a resolução. Se o aluno tiver certa facilidade em resolução de problemas
um dos primeiros passos a ser percebido é relacionar o problema a ser resolvido com algum
outro problema correlato que já fora resolvido anteriormente, agindo desta forma o aluno
chegará com maior facilidade a resolução do problema proposto, portanto salientamos que o
problema matemático se origina quando um sujeito se encontra diante de uma situação busca
compreender a sua natureza, ter, querer ou precisar encontrar a solução, não dispor
imediatamente do procedimento ou solução que altere a situação e, por isso, faz tentativas
para achar a solução.
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Polya desenvolveu algumas estratégias que hoje julgamos fundamentais para a
resolução de problemas, tais estratégias nos auxilia no processo de resolução de vários
problemas matemáticos. A seguir descreveremos as quatro etapas na resolução de problemas
matemáticos e conseqüentemente entenderemos porque essas etapas são de grande
importância na resolução de problemas matemáticos, não estamos afirmando necessariamente
que se o aluno não seguir essas etapas ele não atingirá com êxito o objetivo da resolução, mas
estamos afirmando que conhecendo essas etapas de resolução o aluno não precisará somente
de sorte na hora da resolução de qualquer espécie de problemas matemáticos.
2.2 AS QUATRO ETAPAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A primeira etapa da resolução de problema é a compreensão do problema, pois é quase
impossível se resolver qualquer tipo de problema se o mesmo não foi compreendido, isso se
estende para qualquer campo de atuação, se o aluno não entender o que o problema esta
pedindo ou do que se trata com toda certeza todas as outras etapas saíra comprometida, esta
etapa esta subdividida em dois estágios que são: “familiarização” e “aperfeiçoamento da
compreensão”.(POLYA,1887)
A segunda etapa e não menos importante é o estabelecimento de um plano que pode
ser uma idéia que surge repentinamente ou até mesmo um caminho tortuoso que precisamos
de algum tempo e disposição para tal planejamento, quando a idéia surge repentinamente não
a muito a ser feito, basta apenas ter cuidado com distrações que podem surgir, mas se não
tivemos esta sorte temos que criar mecanismos, propiciando idéias que irão facilitar no
estabelecimento do plano. (POLYA,1887)
A terceira etapa é a execução do plano, quando compreendemos o problema e
conseguimos estabelecer um plano de resolução agora o que resta é colocar esse plano em
prática, ou seja, ter paciência para executar o plano com sucesso, nesta etapa o que mais se
pede é a paciência e ter concentração no objetivo da resolução. (POLYA,1887)
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O último passo significativo da resolução de problema é o retrospecto, é nesta fase que
temos que ter muita atenção, pois nesta ultima etapa muitos alunos considerados bons se
perdem por achar que a solução encontrada é satisfatória para o problema. Nesta etapa temos
que destrinchar o problema minuciosamente procurando qualquer tipo de erro. Se tiver em
mente que nenhum problema fica completamente esgotado, que sempre resta alguma coisa a
fazer, o aluno nunca cometerá o erro na ultima etapa da resolução, pois com muito estudo e
aperfeiçoamento é possível melhorar qualquer tipo de resolução sempre.(POLYA,1887)
2.2.1 COMPREENSÃO DO PROBLEMA
É uma falta de tempo responder a uma pergunta que não tenha sido compreendida.
Portanto a compreensão do problema proposto é extremamente importante. Isto se estende
para salas de aulas onde o professor tem que criar interesse aos seus alunos na hora que se
propõe um problema, portanto quando um professor for escolher um determinado problema
tem que se fazer com muito estudo e conhecimento de causa, pois terá que detectar se os
alunos terão interesse na resolução, porque o interessante do problema é causar um ar de
desafio para quem o propõe solucioná-lo, para isso o professor tem que fazer as seguintes
indagações:
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer
à condicionante? A condicionante é suficiente para determinar à incógnita? Ou é insuficiente?
Ou redundante? Ou contraditória?
Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da
condicionante. É possível anotá-las?
Com todas essas indagações ficará muito mais fácil compreender o problema. Para
maior compreensão vamos ilustrar alguns pontos que tratamos acima, com o seguinte
problema, retirado do livro “ A Arte de Resolver Problemas” (Polya.1985,p.05):
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Calcular a diagonal de um paralelepípedo retângulo do qual são conhecidos o
comprimento, a largura e a altura.
Para discutir com proveito este problema, os alunos precisam conhecer o teorema de
Pitágoras e algumas das suas aplicações à Geometria Plana, mas basta-lhes um conhecimento
sistemático muito superficial da Geometria Espacial. O professor pode contar com uma
pequena familiaridade dos alunos com as relações espaciais.
Para tornar o problema mais interessante aos olhos dos alunos o professor pode tomar
como exemplo o formato da sala de aula que é um paralelepípedo retangular cujas dimensões
podem ser medidas ou estimadas, os alunos devem medir indiretamente a diagonal da sala de
aula, com a ajuda do professor indicando o comprimento, a largura e a altura da sala de aula.
O diálogo entre o professor e seus alunos pode principiar da seguinte maneira:
Qual é a incógnita?
O comprimento da diagonal de um paralelepípedo.
Quais são os dados?
O comprimento, a largura e a altura do paralelepípedo.
Adote uma notação adequada. Qual a letra que deve denotar a incógnita?
Diagonal “x”.
Quais as letras que escolheria para o comprimento, a largura e a altura?
a, b e c.
Qual é a condicionante que relaciona a, b e c com x?
x é a diagonal do paralelepípedo no qual a, b e c são, respectivamente, o comprimento, a largura e a altura.
Trata-se de um problema razoável? Ou seja, a condicionante é suficiente para determinar à incógnita?
Sim, ele é razoável. Se conhecermos a, b e c, conheceremos o paralelepípedo. Se o paralelepípedo ficar determinado, a sua diagonal também ficará.
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Note que para compreender o problema utilizamos várias indagações que Polya
caracterizou pra resolução de problemas matemáticos.
2.2.2 ESTABELECIMENTO DO PLANO
Quando estabelecemos um plano significa que compreendermos bem o problema, já
identificamos a sua incógnita, agora nos falta elaborar um plano para podermos encontrar a
solução do problema proposto.
Como já havíamos falado esse estabelecimento de plano pode ser como duas faces de
uma moeda, às vezes pode vim como uma idéia que surge do nada, mas quando essa idéia
brilhante não surge temos que ter paciência e nos sentir motivado para tão planejamento. Mas
sabemos que é muito difícil essa idéia surgir se nada sabemos do assunto. Polya relata que:
“as boas idéias são baseadas na experiência passada
e em conhecimentos previamente adquiridos. Para uma boa
idéia, não basta à simples recordação, mas não podemos ter
nenhuma idéia boa relembrar alguns fatos pertinentes”.
(POLYA.1995,p.6)
Portanto no segundo passo precisamos encontrar a conexão entre incógnita e os dados
são bem possíveis que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar
uma conexão imediata e com isso é preciso chegar a um plano para resolução, e como no
primeiro passo Polya elaborou alguns questionamentos que podem nos auxiliar na resolução
que são:
Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente
diferente?
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Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil?
Conhece a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita
ou outra semelhante.
Eis um problema correlato e já antes resolvido? É possível utilizá-lo? É possível
utilizar o seu resultado? É possível utilizar o método? Deve-se introduzir algum elemento
auxiliar para tornar possível a sua utilização?
É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira?
Volte às definições.
Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema
correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais
genérico? Um problema mais especifico? Um problema análogo? É possível resolver uma
parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até
que ponto fica assim determinado à incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos
dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar à
incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal
maneira que fiquem mais próximos entre si?
Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as
noções implicadas no problema?
Estas são todas as indagações que Polya sugere para executar o segundo passo para
resolver qualquer tipo de problema matemático, vamos utilizar estes questionamentos para dar
prosseguimento ao problema da diagonal do paralelepípedo:
Conhece algum problema que tenha a mesma incógnita?
Não. Ainda não resolvemos nenhum problema em que entrasse a diagonal de um paralelepípedo.
Repare, a diagonal é um segmento, um segmento de reta. Nunca resolveu um problema cuja incógnita fosse o comprimento de uma linha?
18
Claro que já resolvemos desses problemas. Por exemplo, calcular o lado de um
triângulo retângulo.
Nesta parte do diálogo entre professor e alunos, queremos enfatizar a importância de já
ter tido resolvido algum problema semelhante ao que esta sendo proposto,quando com ajuda
do professor os alunos conseguirem assimilar o triângulo retângulo o professor perceberá que
os alunos estão indo pro caminho certo da resolução, dará continuidade ao diálogo:
Não gostaria de ter triângulo na figura?
Que tipo de triângulo gostaria de ter na figura?
Figura 1 : Paralelepípedo com Representação do triangulo de Pitágoras.
Fonte: (ARAÚJO.2010.UNIR)
Não pode ainda calcular a diagonal, mas já disse que é capaz de calcular o lado de um triângulo. Então o que fará agora?
Poderia calcular, a diagonal se ela fosse o lado de um triângulo?
19
Acho que foi uma boa idéia traçar aquele triângulo. Agora tem um triângulo, mas a incógnita?
A incógnita é a hipotenusa do triângulo. Podemos calculá-la pelo teorema de Pitágoras.
Sim, se forem conhecidos os dois catetos. Mas não são?
Um cateto é dado, é c.O outro, parece que não é difícil de achar. Sim, o outro cateto é a hipotenusa de outro triângulo retângulo.
Muito bem! Agora vejo que já tem um plano.
2.2.3 EXECUÇÃO DO PLANO
Executar o plano é muito mais fácil paciência é o que mais se precisa, pois precisamos
estar atentos a cada passo da resolução.
É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que
ele está correto?
Retornando o problema onde deixamos, o professor percebe que o aluno consegue
identificar o triângulo no qual a incógnita x é a hipotenusa e a altura dada c é um dos catetos,
o outro cateto é a diagonal de uma face. Deve-se, possivelmente, insistir para que o aluno
adote uma notação apropriada. Ele deve escolher y para denotar o outro cateto, que é a
diagonal da face cujos lados são a e b. Assim conseguirá perceber com maior clareza a idéia
da resolução, que consiste em introduzir um problema auxiliar cuja incógnita será y. Por fim,
calculando um triângulo após outro, ele poderá chegar a
x² = y² + c²
y² = a² + b²
e daí, eliminando a incógnita auxiliar y,
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x² = a² + b² + c²
x = √a² + b² + c².
Chegando neste passo o professor irá ter toda certeza que seu aluno conseguiu atingir
o objetivo da resolução, agora é só ficar atento na questão dos cálculos.
2.2.4 RETROSPECTO
Neste ponto da resolução o aluno já terá passado por todos os outros passos e por
isso que é possível algum erro, principalmente por distração, pois o aluno já este convicto que
fez tudo que deveria ser feito, poderá cometer erros, especialmente se o argumento for longo e
trabalhoso. Daí a importância da verificação, Polya no quarto e decisivo passo nos sugerem as
seguintes indagações:
Examine a solução obtida. É possível verificar o resultado? É possível verificar o
argumento?
É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto
num relance?
É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?
Estas indagações produzem diversos efeitos bons. Primeiro, um estudante
inteligente não poderá deixar de impressionar-se pelo fato de que a fórmula passou em tantos
testes. Ele já ficará convicto de estar certa a fórmula porque ele a deduzira cuidadosamente.
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2.3 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
A partir das afirmações descritas sobre resolução de problemas matemáticos,
descreveremos o quadro a seguir, destacando as definições sobre a temática:
Autores Ano Definição
Mayer
1981
Dados: o problema começa num certo estado, com certas condições, objetos, peças de informação, e assim por diante, estando presentes no inicio do trabalho.
Metas: o estado desejado ou terminal do problema é o estado final, sendo necessário pensamento para transformar o problema dado para o estado final.
Obstáculos: o pensador tem a sua disposição certos caminhos para mudar o estado dado ou o estado final do problema. O pensador, contudo, não sabe ainda a resposta correta; isto é, a sequência correta de comportamentos que resolverão o problema não está patente de imediato.
Polya
1985
Temos um problema sempre que procuramos os meios para atingir um objetivo. Quando temos um desejo que não podemos satisfazer imediatamente, pensamos nos meios de satisfazê-lo e
22
assim se põe um problema. A maior parte da nossa atividade pensante, que não seja simplesmente sonhar acordado, ocupa-se daquilo que desejamos e dos meios para obtê-lo, isto é, de problemas.
Dante
1994
Um problema matemático é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-lo.
Gonzalés
1995
Situações em que, explícita ou implicitamente, são identificáveis noções matemáticas de algum tipo, e requerem que se achem outras que não aparecem diretamente expostas na situação.
PCNs
1997
Uma situação que demanda a realização de uma sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la.
Fonte:Ana Fanny B. de O. Bastos_Dissertação de Pós-Graduação em Educação.2003.
Este quadro nos dá uma definição bem ampla do que é resolução de problemas
levando em conta autores importantes que estudaram a fundo este tema, no presente trabalho
utilizamos a definição de Polya, pois afirmamos que a maioria dos autores que estudam este
tema sempre cita Polya, portanto acreditamos que este autor é referência neste assunto.
Um professor que conhece bem a definição de problemas sempre colocará em sala
de aula problemas que irão estimular o raciocínio do aluno, e este professor estará exercendo
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o papel de mediador, ajudando seus alunos em eventuais dúvidas que seguem no decorrer das
resoluções.
“Um professor de Matemática tem, assim, uma grande oportunidade.
Se ele preenche o tempo que lhe é concedido a exercitar seus alunos
em operações rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o
desenvolvimento intelectual dos estudantes, desperdiçando, dessa
maneira, a sua oportunidade. Mas se ele desafia a curiosidade dos
alunos, apresentando- lhes problemas compatível com os
conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagações
estimulantes, poderá incutir- lhes o gosto pelo raciocínio
independente e proporcionar-lhes certos meios para alcançar este
objetivo” (POLYA.1887,p.05).
Portanto um professor que estimula seus alunos em sala de aula se torna uma peça
chave no ensino-aprendizagem, proporcionando formas diferenciadas de conhecimento e
tornando o aluno mais independente, isso quer dizer que o professor passar a ser um mediador
do conhecimento, tendo um papel de auxiliador.
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3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS PARA O ENSINO MÉDIO
Este capítulo trata-se da importância de abordar a didática da Resolução de
Problemas com alunos do Ensino Médio, segundo grau, detalharemos alguns aspectos que
julgamos relevantes e discutiremos sobre esta problemática.
3.1 O ENSINO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS
O ensino da resolução de problemas é um desafio para os professores do Ensino
Médio, pois estão “acostumados” a passar para seus alunos os problemas fechados que são os
problemas que no enunciado indica rapidamente a forma de se resolver são problemas que
não proporciona nem um pouco a curiosidade de quem se propõe a resolver
“[...] só há problema se o aluno percebe uma dificuldade; uma determinada
situação que provoca problema para um determinado aluno pode ser
resolvido imediatamente por outro (e então não será percebida por este
último como sendo um problema). Há então, uma idéia de obstáculo a ser
superado. Por fim, o meio é um elemento do problema, particularmente as
condições didáticas da resolução (organização da aula, intercâmbio,
expectativas explícitas ou implícitas do professor)”(CHARNAY.1996,p.46).
Portanto mais uma vez nos deparamos com a problemática que muitos professores se
confundem na hora de se utilizar da ferramenta da resolução de problemas, aplicando
problemas fechados, mas que na verdade não passa de meros exercícios matemáticos, pois
um professor que acaba de explicar um determinado assunto e expõe para seus alunos um
problema do assunto dado, não esta fazendo nada de mais, pois os alunos já esperam que
assim o faça, já que estão trabalhando com o determinado assunto, eles tendem a procurar no
enunciado do problema pistas evidentes que o problema se trata do assunto que acabará de ser
explicado, com isso o professor não instigou em nada a curiosidade e criatividade de seus
alunos e sim aplicou mais uma fez um exercício matemático.(MINUZZI,2009)
25
3.2 RECOMENDAÇÕES PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO MÉDIO
No ensino médio os alunos já vêm com certa bagagem de anos de estudos, portanto o
professor que se propuser a utilizar a didática de resolução de problemas estará diante de
alunos capazes de aceitar uma didática tão diferenciada como a de resolução, portanto basta o
professor está bem preparado para tal desafio.
“O professor que deseja desenvolver nos seus alunos o espírito solucionador
e a capacidade de resolução de problemas deve incluir em suas mentes algum
interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e
de praticar. Além disso, quando o professor resolve um problema em sala de
aula, deve dramatizar um pouco as suas idéias, e fazer a si próprio as mesmas
indagações que utiliza para ajudar os alunos. Por meio desta orientação, o
estudante acabará por descobrir o uso das indagações e sugestões e, ao fazê-
lo, adquirirá algo mais importante do que um simples conhecimento de um
fato matemático qualquer”(POLYA.1978,p.81).
Nos tempos atuais, os nossos alunos estão em um contexto socioeconômico diferente,
precisamos formar cidadãos críticos, capazes de solucionar todos os tipos de problemas, ou
seja, formando para a vida, pensando nesses aspectos o PCN´S + , voltado diretamente para o
ensino médio diz que:
� Saber se informar, comunicar-se, argumentar, compreender e agir;
� Enfrentar problemas de diferentes naturezas;
� Participar socialmente, de forma prática e solidária;
� Ser capaz de elaborar críticas ou propostas; e,
� Especialmente, adquirir uma atitude de permanente aprendizado.
Uma formação com tal ambição exige métodos de aprendizado compatíveis, ou seja, condições efetivas para que os alunos possam:
� Comunicar-se e argumentar;
� Defrontar-se com problemas, compreendê-los e enfrentá-los;
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� Participar de um convívio social que lhes dê oportunidades de se realizarem como cidadãos;
� Fazer escolhas e proposições;
� Tomar gosto pelo conhecimento, aprender a aprender.
Com essa idéia dos PCN´S + indica que não é mais interessante ter um professor em
sala de aula que utiliza apenas de exercícios matemáticos, precisamos de um professor que
faça seus alunos encontre prazer em aprender, ou seja precisamos de professores
incentivadores, mediadores do saber, que estão em sala de aula pra auxiliar o crescimento
acadêmico e pessoal de seus alunos.
“A solução de problemas matemáticos constitui, ao mesmo tempo, um método
de aprendizagem e um objetivo do mesmo. É um método de aprendizagem na
medida em que grande parte do conteúdo da Matemática escolar trata da
aprendizagem de habilidades, técnicas, algoritmos ou procedimentos
heurísticos que podem ser usados em diversos contextos (cotidiano, científico,
etc.). Para alcançar uma aprendizagem significativa desse tipo de técnicas é
necessário aprender a usá-las no contexto de diversos
problemas.”(ECHEVER.1998,p.63)
Se os professores apresentar problemas compatíveis com a realidade de seus alunos,
muito raramente estes mesmo alunos não terão curiosidade de solucionar o problema
proposto, isso se dá o nome de contextualização de assuntos da matemática com o cotidiano
do aluno.
“É necessário resgatar a Matemática que está inserida na
codificação de toda uma realidade física e social, vivenciadas pelos
educandos, e analisar, junto com eles, de forma dialógica, os diferentes
significados atribuídos e as diferentes formas de pôr ordem na idéias para a
construção desse conhecimento [...] Interrogar, pois, o que é problema,
implica não apenas considerar, mas também interrogar o que é realidade
para as pessoas envolvidas na ação pedagógica”(MEDEIROS.1995,p.40).
27
Portanto os professores atuais têm que estar em constante busca pelo conhecimento e
tornando em sala de aula um mediador, pois só há sucesso na didática de resolução de
problemas se o professor que esta inserido neste contexto estiver suficientemente preparado
para atuar como mediador do conhecimento. Se não houver este preparo com toda certeza as
tentativas de resolução de problemas será frustrante para ambos os lados.
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4 PESQUISA COM ALUNOS DA ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO FUNDAMENTAL E
MÉDIO RIO URUPÁ
Neste capítulo apresentaremos uma pesquisa realizada com alunos do segundo ano
do ensino médio da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Rio Urupá, pesquisa
essa que teve como objetivo presenciar o real interesse dos alunos da faixa etária de 15 a 17
anos em resoluções de problemas.
4.1 DADOS E ANÁLISE DA PESQUISA COM ALUNOS DA ESCOLA ESTADUAL
DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO RIO URUPÁ.
Esta escola está situada num bairro de classe média, a pesquisa realizada na Escola
Estadual de Ensino Fundamental e Médio Rio Urupá foi realizada em dois estágios. O
primeiro estágio foi oferecido problemas matemáticos diversos, tendo a preocupação de se
elaborar problemas que os alunos tivessem capacidade de resolver levando em conta a série
dos mesmos. No segundo estágio aplicamos um questionário com três perguntas abertas, estas
perguntas foram elaboradas para destacar o perfil dos alunos e como eles viam a resolução de
problema. Efetuo-se tal pesquisa no período do mês de Março a Junho, quando estava
exercendo as atividades de estágio do ensino médio.
O objetivo central desta pesquisa é mostrar o real interesse de jovens na faixa etária de
15 aos 17 anos em relação com a resolução de problemas e tentar destacar quais são as
principais dificuldades na resolução tomando em relação das quatro etapas da resolução de
problemas. Esta sala de segundo ano foi escolhida pelo motivo que a professora titular da
turma deu total apoio a pesquisa realizada, deixando que se adotasse a didática de resolução,
portanto o trabalho foi feito com o objetivo de apresentar o interesse dos alunos dessa faixa
etária, a turma apresenta um total de vinte e três alunos, sendo que dezesseis é do sexo
feminino e sete do sexo masculino.
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Gráfico 1_ Apresentando a diferença de alunos do sexo feminino e sexo
masculino.
Meninas
Meninos
Fonte:ARAÚJO.2010.UNIR
Os problemas que foram propostos pelos alunos do segundo ano do ensino médio estarão
destacados no anexo deste trabalho, estes problemas foram especialmente escolhidos para que
pudéssemos discutir as quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya e propor
formas diferenciadas de estudos.
Destacaremos a seguir dois dos dez problemas que foram desenvolvidos nesta turma e terá
destaque algumas características desses alunos que denominaremos com o nome de Adriano,
Juliana, Patrícia, Ana e Gustavo sendo estes nomes genéricos.
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Solução do problema das Oito caixas_ ALUNO ADRIANO
Este problema das oito caixas trata-se de um problema que envolve o raciocínio lógico
matemático em diversos campos, o aluno que denominamos como Adriano teve êxito nas
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quatro etapas de Polya, pois interpretou o problema, desenvolveu um plano, executou o plano
e fez o retrospecto do plano.
Em relação à sala o aluno Adriano foi um dos destaques, pois nem todos conseguiram
alcançar o êxito da solução correta, podemos destacar que a etapa que apresentou maior falha
foi logo a primeira etapa que consistem em interpretar o problema, muitos alunos tiveram
dificuldade em entender o que se pede neste problema, exemplo seriam as alunas Juliana e
Ana.
O aluno Adriano usou a estratégica de desenhos para a resolução do problema, ou seja,
ele usou mecanismos usuais para a resolução, portanto percebe-se que no primeiro momento
ele não consegue visualizar uma resolução imediata por isso que faz uso de desenhos, o
problema em questão trata do contexto de progressões geométricas, que aplicando a fórmula
encontraria o resultado imediatamente.
No segundo problema que será destacado a seguir o aluno Adriano, também obteve
sucesso na resolução.
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Solução do Problema do Pão-Duro_ADRIANO.
Neste problema o aluno Adriano também teve êxito nas quatro etapas de resolução e
conseguiu observar que este problema poderia ser solucionado com a fórmula da soma de
progressões geométricas. Mas vale lembrar que este último problema foi apresentado nas
últimas aulas que ofereci sobre resolução de problemas, portanto podemos concluir que o
aluno já tinha adquirido algumas técnicas de resolução.
33
Mas como toda pesquisa onde envolve resoluções de problemas percebe-se que nem
todos os alunos atingem êxito na resolução de problemas, as alunas Juliana, Patrícia e Ana
tiveram dificuldade na mesma etapa que é a primeira que consiste em “Interpretar o
Problema”, onde se pode afirmar que é a maior dificuldade para alunos que estão iniciando na
didática de resolução de problemas, pois se não entende o que o problema pede ou ao menos
no que se trata o problema, fica impossível obter um resultado satisfatório.
Nas resoluções dos problemas propostos no contexto amplo, podemos destacar que os
alunos tiveram maior dificuldade na primeira etapa e na última etapa que diz respeito ao
retrospecto, muitos conseguiam elaborar um plano para resolução mais ficavam tão confiantes
com o resultado obtido que não faziam conta desta etapa tão importante para se obter uma
resolução satisfatória.
Na última etapa da pesquisa elaboramos um questionário com as seguintes perguntas:
� O QUE É PROBLEMA?
� VOCÊ GOSTA DE RESOLVER PROBLEMAS?POR QUÊ?
� COM QUE FREGUÊNCIA VOCÊ RESOLVE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS?
O objetivo da primeira pergunta foi constatar que a maioria dos alunos caracterização
como problema, só aquilo que necessita cálculos para a resolução, ou seja, associam
problemas só com a disciplina de Matemática.
A segunda pergunta foi apresentada para os alunos com objetivo de provar que na
maioria das vezes o aluno só gosta de fazer aquilo que ele entende, portanto muitos alunos
têm dificuldade logo na primeira etapa de Polya que é a compreensão do problema.
A terceira pergunta mostra para os professores que alunos podem sim resolver mais
problemas, basta ser oferecidos com maior freguência, mas isto ainda não esta sendo tão
oferecidos para os alunos.
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Pode-se descrever que muitos alunos têm um conceito pré estabelecido de resolução
de problemas ainda distorcido, pois muitos afirmam que problema é só aquilo que envolve a
disciplina de Matemática, esquecendo que todos enfrentam problemas no cotidiano. Onde
muitos conseguem resolver estes problemas rotineiros com êxito, pois criam estratégias que
para o problema que foi apresentado será por vez satisfeita, mas quando se deparam com
problemas de Matemática muitos dos alunos travam, portanto cabe ao professor mostrar
mecanismos satisfatórios para a resolução e incutir no aluno o prazer de resolver um problema
de matemática, atiçando a curiosidade de cada aluno.
“A Matemática é interessante na medida em que ocupa as nossas faculdades
de raciocínio e de invenção. Mas nada se aprenderá sobre raciocínio ou
invenção se a motivação e a finalidade do passo mais notável permanecer
incompreensível. (POZO. 1998, p.72)
A seguir serão destacados dois questionários que foram aplicados e notaremos que as
respostas são totalmente antagônicas, tentaremos analisar tais respostas com bases nos estudos
deste trabalho.
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Segundo Questionário_ ALUNA ANA.
Neste questionário a aluna Ana se mostra sem muito interesse na didática de resolução
de problemas e tem umas características que é comum a muitas pessoas que vêem resolução
de problemas como algo que envolve só Matemática, e podemos afirmar que essa
característica esteve presente em alguns alunos onde foi feito este trabalho de resoluções de
problemas.
A aluna não consegue contextualizar resolução de problemas no seu dia a dia,
afirmando que resolve problemas somente na aula de Matemática, e isso fica mais evidente
quando a aluna define problema como sendo uma conta de Matemática.
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Segundo Questionário_ ALUNO ADRIANO.
Já o questionário do aluno Adriano se apresenta de forma mais ampla no contexto
ensino-aprendizagem, o aluno descreve o que é problema de forma mais geral, ou seja,
consegue fazer conexões do cotidiano que está inserido e a escola. Tratando problema como
tudo aquilo que precisa criar alguma estratégia para obter uma solução satisfatória. Podemos
perceber que mesmo tendo uma facilidade em distinguir um problema ele afirma que se
interessa em resolver problemas apenas que ele consiga responder, em outras palavras
problemas que ele consegue ter sucesso na primeira etapa que é da compreensão do problema.
Fazendo uma análise ampla pode-se afirmar que tanto a aluna Ana como o aluno
Adriano têm dificuldade na primeira etapa de Polya que é o da compreensão do problema, o
que se pode concluir que os alunos não gostam de resolver aquilo que eles julgam impossível
de resolver, neste caso essa é uma das etapas que o professores ao adotar a didática de
resolução de problemas têm que ter um maior cuidado, pois sem ter a capacidade de entender
o que esta sendo proposto nada valerá do esforço das etapas seguintes.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Podemos concluir que a didática da resolução de problemas quando utilizada de forma
bem elaborada desenvolve no aluno um hábito de pensar, pois para se encontrar uma solução
precisam-se desenvolver vários mecanismos para tal.
Muitos que não conhecem as quatro etapas de resolução de problemas utilizam-se da
didática de “tentativa e erro”, o que é muito trabalhoso e nem sempre favorece um resultado
satisfatório, isso é um dos diversos motivos que muitos alunos encontram dificuldades na
resolução de problemas.
A didática de resolução de problemas vem por sua vez facilitar o professor a mediar os
alunos nessa arte de resolução de problemas, um professor bem preparado que conhece bem
as quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya, se encontra preparado para adotar
em sala de aula esta didática diferenciada. Com o objetivo de facilitar o ensino aprendizagem
dos seus alunos.
Defendemos a idéia que se o professor utilizar das quatro etapas de resolução de
problemas segundo Polya o êxito ao se resolver um problema cresce em altas proporções,
prova disso é os problemas que foram oferecidos para os alunos da Escola Estadual de Ensino
Fundamental e Médio Rio Urupá, a maioria dos alunos quando conduzido de forma adequada
mostraram interesse na didática de resolução, portanto é uma didática que pode ser trabalhada
de forma continua em sala de aula. Assim estaremos formando alunos críticos e capazes de
pensar com a sua própria cabeça.
Levando em consideração a pesquisa de campo e toda a parte bibliográfica , deixa
claro que o professor que estiver interesse de adotar a didática de resolução de problemas,
ajudará seus alunos no que diz respeito a estar formando cidadãos críticos e ensinando o aluno
a pensar e criar estratégias para seus problemas no cotidiano, fazendo assim relação entre sala
de aula e sociedade em que está inserido.
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REFERÊNCIAS
BASTOS, Ana Fanny B. de Oliveira. Metacognição e Resolução de Problemas
Matemáticos na Formação de Professores das Séries Inicias do Ensino Fundamental.
Dissertação para obtenção do título de mestre. Cuiabá:UFMT, IE, 2003.
DANTE. Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. Editora
Ática. São Paulo, nº 9, 2005.
ECHEVER. Maria Del Puy Pérez. CASTILHO. Jesus Dominguez.CRESPO. Miguel Ángel Gómez. ANGÓN.Yolanda Postilho. Tradução Juan Ignacio Poz. ASolução de Problemas (Aprender a Resolver, Resolver para Aprender). Editora Artmed. São Paulo, 1994.
NACIONAIS. Parâmetros Curriculares. Orientação para o Ensino Médio_PCN +. São Paulo, 2005
MATEUS. Antonio Angelo. MATIAS. João Batista de Oliveira. CARNEIRO. Thiago Rodrigo Alves. Problemas Matemáticos: Caracterização, importância e estratégias de Resolução. São Paulo, USP. Março. 2002.
MEDEIROS. Kátia Maria de. O Contrato Didático e a Resolução de Problemas Matemáticos em Sala de Aula. Pernambuco, 1998.
MENDES. Renata Moreira. Resoluções de Problemas na Matemática e Leitura de textos em Língua Estrangeira. Pernambuco: UFPE, 2004.
MINUZZI. Itajana. CAMARGO. Mariza. O Ensino-Aprendizagem de Matemática Através da Resolução de Problemas. Ijuí-Rio Grande do Sul, Julho.2009.
MORIN, E. A Cabeça bem Feita: Repensar a Reforma, Reformar o Pensamento. 5ª Ed. Rio de Janeiro: Editora Bertrand, 2002.
POLYA, G. George, 1887. A Arte de Resolver Problemas: Um Novo Aspecto do Método Matemático/ G. Polya; tradução Heitor Lisboa de Araújo. Editora Interciência Ltda. Rio de Janeiro, nº 2, 1995.
POZO, J. I. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: Editora Artmed, 1998.
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ANEXOS
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Problemas que foram resolvidos em sala de aula com os alunos e as respectivas
estratégias que foram utilizadas:
Problema 1. Havia oito caixas de madeira e cada uma dessas caixas é o prêmio que será
dado ao calculista. As caixas estão enumeradas de um até oito, adotei a ordem crescente,
não é possível encontrar duas caixas com o mesmo número de moedas. Com as quantias
distribuídas pelas oito caixas, podemos fazer qualquer pagamento, desde um dinar até o
número total contido nas caixas. Sabendo que estas caixas, numeradas de um até oito,
contém dinares em números que não se repetem; sabendo-se também que é possível
efetuar qualquer pagamento até o número total de moedas, sem abrir nenhuma caixa,
pergunta-se:
1º) Quantas moedas contém, respectivamente cada uma das caixas?
2º) Como determinar, por meio do raciocínio, matematicamente certo, a quantia contida
em cada caixa?
Estratégias Utilizadas:
Qual é a incógnita? Quantidade de moedas _ Quais são os dados? _ Conhece um
problema correlato?
Com essas perguntas feitas aos alunos aos poucos eles foram percebendo que este
problema se tratava de progressões geométricas, e para resolução a maioria utilizou a
estratégia de desenhos, desenhando cubos e na frente colocando a quantidade possível que
poderia haver em cada caixa.
Problema retirado do livro “ O homem que calculava” do autor Malba Tahan.
Problema 2. Um avarento que o povo apelidara de Pão-Duro, movido pela mania mórbida
de juntar dinheiro, resolveu, certa vez, economizar da seguinte forma: no primeiro dia do
mês, guardaria num cofre 1 vintém; no segundo dia 2 vinténs; no terceiro dia 4 vinténs, no
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quarto dia 8 vinténs e, assim dobrando sucessivamente, durante trinta dias seguidos.
Quanto teria o Pão-Duro amealhado, desse modo, quando terminasse o mês? Mais de um
conto de réis? Menos de um conto?
Estratégias Utilizadas:
Considere a incógnita?_ Quais são os dados? Eles são suficientes para a
resolução?.Com essas indagações feitas os alunos foram juntando os dados do problema e
a primeira coisa a ser notada foi que crescia os vinténs na mesma proporção ao multiplicar
o valor de todos os vinténs por 2, assim a estratégia utilizada for perceber que eles
estavam diante de uma progressão geométrica de razão igual a 2.
Problema retirado do livro “Matemática Divertida e curiosa” do autor Malba Tahan.
Problema 3. Roberto tem 10 bolsos e 44 moedas. Ele quer colocar as moedas nos bolsos,
mas de tal maneira distribuídas que em cada bolso fique um número diferente de moedas.
Será possível conseguí-lo?
Estratégias Utilizadas:
Se Roberto tivesse muitas moedas, naturalmente não teria nenhuma dificuldade em
colocar nos bolsos moedas em números diferentes. É possível reformular o problema?
Qual o menos número de moedas que pode ser colocado nos 10 bolsos, de modo que não
fiquem dois bolsos com o mesmo número de moedas?
Problema retirado do livro “A Arte de Resolver Problemas” do autor Polya.
Problema 4. Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 12% ao mês.Quanto tempo,
no mínimo, ele deve ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar o quádruplo da
quantia aplicada?
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Estratégias Utilizadas:
Este problema foi apresentado a turma para que eles pudessem resolver problemas de
juros simples sem ter a preocupação de decorar fórmulas, pois o problema dá todo suporte
de resolução sem que necessite de tal fórmulas.
Problema retirado da apostila, confeccionada pelo Professor Mestre Marcos Leandro
Ohse.
Problema 5. Para numerar as páginas de um grosso volume o tipógrafo utilizou 2989
algarismos. Quantas páginas têm o volume?
Estratégias Utilizadas:
Eis um problema correlato: Se o livro contiver 9 páginas numeradas, quantos algarismos
utilizará o tipógrafo? (9, é claro). Eis outro problema correlato; se o livro contiver
exatamente 99 páginas numeradas, quanto algarismo utilizará o tipógrafo?
Problema retirado do livro “A Arte de Resolver Problemas” do autor Polya.
Problema 6. Ao escalar uma montanha, um alpinista percorre 256 metros na primeira
hora, 128 metros na segunda hora, 64 metros na terceira hora, e assim sucessivamente.
Quando tiver percorrido 496 metros terão passados, quantas horas?
Estratégias Utilizadas:
Qual a incógnita? A quantidade de horas percorridas_ Quais são os dados? Todos estão
explícitos do problema?
Problema retirado do livro do Ensino Médio_Matemática dos autores Antonio Nicolau,
Elizabeth Soares e Vicente Paz.
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Problema 7. Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas e, entra
as vacinadas, 92 morreram. Entre as galinhas vacinadas, qual é a razão do número de
mortas para o número de vivas?
Estratégias Utilizadas:
Este problema estimula o raciocínio lógico matemático, não há nenhuma fórmula pré-
estabelecida para se obter a resolução, o que deixa o problema mais interessante.
Problema retirado da apostila confeccionada pelo Professor Mestre Marcos Leandro Ohse.
Problema 8. Se o poder de compra de meu salário é hoje 30% daquele de um ano atrás,
então para reaver aquele poder de compra, meu salário deve ser reajustado em que
porcentagem?
Estratégias Utilizadas:
Qual a condicionante? Qual a incógnita?_Fazendo essas indagações os alunos
perceberam que este problema trata-se de porcentagem simples.
Problema retirado da apostila confeccionada pelo Professor Marcos Leandro Ohse.
Problema 9. Se Maria emagrecesse 10 kg, ela passaria a ter 75% de seu peso atual. Então,
qual seria seu atual peso?
Estratégias Utilizadas:
Problema resolvido com facilidade, pois todos os dados que há no problema é suficiente
para a sua resolução, levando em consideração que foi um dos primeiros que foi
apresentado aos alunos.
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Problema retirado do livro do Ensino Médio_Matemática dos autores Antonio Nicolau,
Elizabeth Soares e Vicente Paz.
Problema 10. Uma loja vende um refrigerador por R$ 1100,00 à vista. A prazo, vende por
R$1400,00, sendo R$ 400,00 de entrada e o restante após 6 meses. Nessas condições que
taxa é cobrada?
Estratégia Utilizada:
Qual a incógnita? A taxa_ Todos os dados estão no problema?Sim. Com essas
indagações fica claro que o problema tem solução possível.
Problema retirado do livro do Ensino Médio_Matemática dos autores Antonio Nicolau,
Elizabeth Soares e Vicente Paz.