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SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO
Pós-graduação em Engenharia de Transportes
D f õ N t ã I di i lDeformações na Notação IndicialMAJ MONIZ DE ARAGÃO
• Campo de deslocamentos; Componentes de deformação; Relações deformação-deslocamento; Deformação linear específica numa direção qualquer; Deformações Principais.
Referências bibliográficas:• Elasticidade Não Linear, Taborda Garcia, L. F., Ed. Letra Capital,
2007.• Theory of Elasticity, Timoshenko, S. P., Goodier, J.N., McGraw-Hill
Classic Textbook Reissue Series, 3rd Ed., 1970.
Notação Indicial (Indicial Notation)ç ( )
Notação indicial é uma forma compacta de escrever sistemas deequações.
Ela pode ser usada em substituição da forma escrita por extensoou representação matricialou representação matricial.
A t i é i li t t dA matriz é mais valiosa para representar o armazenamento devalores no sistema, mas para escrever equações em uma formacompacta, e especialmente para tensores de ordem superior, anotação indicial é mais eficiente.
Deformações: notação indicialç ç
Na notação indicial no lugar das variáveisNa notação indicial, no lugar das variáveis
x, y e z usa-se:33,x
(subentende-se i=1, 2 ou 3) 3A*
2
1
xx
xix“tensor de 1ª ordem”
3xA
3x
Desta forma, a posição dos pontos após a deformação pode ser definida como:
1x
2x22,x
2
321 xxxii ,, ou inversamente por:
1
11,xi Coordenadas Eulerianasix Coordenadas Lagrangianas
321 ,,ii xx
Regras da notação indicial
1 Quando um índice aparece uma única vez em um termo
g ç
1. Quando um índice aparece uma única vez em um termo(monômio), é chamado de índice livre (unique/free index) eassume sucessivamente os valores 1, 2 e 3. O número de índiceslivres indica a ordem do tensor:livres indica a ordem do tensor:
Regras da notação indicial
2 Quando um índice aparece duas vezes em um termo (monômio) é
g ç
2. Quando um índice aparece duas vezes em um termo (monômio), é denominado de índice mudo (repeated/dummy index) e corresponde à soma implícita de três termos (regra de soma de Einstein):
3. O mesmo índice pode não aparecer mais que duas vezes em qualquer termo (monômio) dado dentro de uma equação.
Exemplos de notação indicialp ç
iB
B iB
Tensor de 1ª ordem
Exemplos de notação indicialp ç
Tensor de 2ª ordem
Deformações: notação indicial
C d d E l i d it f ã d
ç ç
Como as coordenadas Eulerianas podem ser escritas em função de
, suas diferenciais totais são:i
321 xxx ,,
Deformações: notação indicial 33
22
11
dxx
dxx
dxx
d iiii
321 xxxii ,,
i dd
Na notação indicial tem-se:
jj
ii dx
xd
Analogamente, fazendo-se: , obtém-se: 321 ,,ii xx
ixj
j
ii dxdx
Deformações: notação indicialç ç
O comprimento ds do segmento AB fica então:O comprimento ds do segmento AB fica então:
dxdxdxdxdxds 2222iidxdxdxdxdxds 321
Na configuração deformada, temos analogamente:
2222iidddddds 2
32
22
12*
kjk
i
j
i dxdxxx
ds
2*
jj
ii dx
xd
mas
j
notação indicial: delta de Kroneckerç
Exemplos:
jiji AA
AA jkijik AA
Deformações: notação indicialç ç
Quantificando se a variação de comprimento do segmento através daQuantificando-se a variação de comprimento do segmento através da diferença entre os quadrados dos segmentos, após e antes da deformação, evita-se a medição dos deslocamentos de corpo rígido, obtendo-se:
kikjij dxi
dxikj
k
i
j
i dxdxdxdxxx
dsds
22*
kjjk
kikjij
dxdx
kjjkii dxdxdsds
22*kjjk
kj
dxdxxx
dsds
2é o TENSOR DEFORMAÇÃO DE GREEN,
ij2
ii1 Ç
expresso em função das coordenadas Lagrangianas xi
jkk
i
j
iij xx2
1 [Eq. 1]
Como o Tensor de Green se relaciona com a definição de deformação linear específica ?definição de deformação linear específica ?
Denominando se de u as componentes do deslocamento de um ponto A tem seDenominando-se de ui as componentes do deslocamento de um ponto A, tem-se a seguinte relação entre as coordenadas:
iii xu 22 x 22,x
A*
exprimindo também os deslocamentos em função das coordenadas Lagrangeanas, pode-se obter:
2u
A*
u
p
321 ,, xxxuu ii
2x2 A
j
i
j
i
j
i
xx
xxu
1x11,x
1u
ij
jjj
ii u
[Eq. 2]1x
1
1u ijjj xx
[ q ]
Como o Tensor de Green se relaciona com a definição de deformação linear específica ?definição de deformação linear específica ?
S b tit i d E 2 E 1 bté ã d T d GSubstituindo-se a Eq. 2 na Eq. 1, obtém-se a expressão do Tensor de Green em função dos deslocamentos:
ijkjj
kki
i
kij x
uxu
21
ijkjkik
kikjkkk
ijuuuu
21
jjj
jiji
j xxxx2
Pode se perceber que o tensor geral
j
k
i
k
i
j
j
iij x
uxu
xu
xu
21
Pode-se perceber que o tensor geral de (grande) deformação contém um termo quadrático. Isto significa que todas as análises de grandes jiij xxxx2 todas as análises de grandes deformações são não-lineares.
Regras da notação indicial: convenção da derivada
4 Uma vírgula entre índices implica uma derivada relativamente à
g ç ç
4. Uma vírgula entre índices implica uma derivada relativamente à variável designada pelo(s) índice(s) depois da vírgula:
j
iji x
uu
,i
jmi xxuu
2
,jx mj xx
jkikijjij
k
i
k
i
j
j
iij uuuu
xu
xu
xu
xu
,,,,21
21
jiij
Relações Deformação – DeslocamentoSi lifi ã d d fi ãSimplificação para pequenas mudanças de configuração
Considerando a classe de problemas em que as derivadas dos deslocamentos p qem relação às coordenadas são muito pequenas em relação à unidade:
1u1u kk
11
x ii
,
os termos quadráticos na equação do tensor deformação se tornam de ordem inferior em relação aos lineares, podendo ser desprezados. Além disso, passa a ser irrelevante que as derivadas dos deslocamentos sejam calculadas para um certo ponto na sua posição inicial ou final, não sendo necessário portanto se di ti i t d d L E l i õ ddistinguir entre coordenadas Lagrangeanas e Eulerianas nas expressões das componentes da deformação.
Tem-se assim:
ijjiij uu21
,, Assim, supondo-se que a deformação é pequena, caem os termos quadráticos do t d G l i l à d fi i ã
ijjiij 2 ,, tensor de Green e ele se iguala à definição de deformação específica linear
Relações Deformação – Deslocamento LinearesRelações Deformação Deslocamento Lineares
Na notação algébrica usual: ,,,, 321 zyxxxx Na notação algébrica usual:
,,,,,,,,
321
321
wvuuuuzyxxxx
...,,...,, xyxx1211
u
1vu1
vxu
y
x
xzxz
xyxy
1wu121
xv
yu
21
zwy
z
y
yzyz
xzxz
21
yw
zv
21
2xz2
z 2yz2
x é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementar originalmente na direção x.
x é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x.
Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
Na figura abaixo um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s éNa figura abaixo, um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s é representado na sua configuração inicial.
co-senos diretores:co senos diretores:
xs
ddx ,cos1
d
ysdsdyds
,cos2
zs
dsdz ,cos3
Transformação dos Tensoresç
Pode se mostrar pelas propriedades dos Tensores que o Tensor de primeira ouPode-se mostrar pelas propriedades dos Tensores, que o Tensor de primeira ou segunda ordem pode ser colocado sob novas coordenadas x’, y’, z’ como:
t
Lei de Transformação do Tensor de 1ª ordem: ρR ρ 'tRρR ρ 'Lei de Transformação do Tensor de 2ª ordem:
onde:
),'cos(),'cos(),'cos(),'cos(),'cos(),'cos(
232221
131211
zyyyxyzxyxxx
ij
R
onde:
),'cos(),'cos(),'cos(),(),(),(
333231
232221
zzyzxz
yyyyij
IRR ijjit ij
Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
Após a deformação o segmento passa para a posição P*Q* de comprimento ds*Após a deformação o segmento passa para a posição P Q de comprimento ds .
As projeções dos deslocamentos up e uq sobre a direção s são dadas por:
ssPs uu
ddus
ds
dsuu s
PsQs
Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
Considerando se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:Considerando-se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:
dsudsduuds s
*
dsdu
ds
dsudsds
uds
dsdsds s
ss
s
*
ijsjsisiiss u ,
ijtjsist Para deformações angulares:
Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
ys
xs
s
s vetor de deformações no ponto M associado ao plano de normal s
zs M
Fórmula de Cauchy
xzxyxxxs
nm
zzzyzx
yzyyyx
zs
yss
jiji
Transformação dos Tensoresç
Lei de Transformação do Tensor de 2ª ordem:
ijqjpipq εε '
Equações de compatibilidade de deformações:
0 kiljljkiijklklij εεεε ,,,, kiljljkiijklklij