métodos matemáticos aplicados a processos químicos e...

1J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo

Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos

Capítulo I : Análise Matricial

DISCIPLINA

José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. AraújoEngenharia Química – UFRJ

[email protected], [email protected]. 21-2562-7535


Vetor Coluna n x 1

Cap. I : Análise Matricial1. Notação

=

nV

VV

VM2

1

Vetor Linha 1 x m

[ ]mT UUUU L21=


Vetor Coluna n x 1


=

nV

VV

VM2

1

Vetor Linha 1 x m

[ ]mT UUUU L21=

A Generalização do Conceito de Vetor (Coluna ou Linha) Leva àNoção de Matriz como Arranjo Bidimensional de Números.

Uma Matriz é um Arranjo em Linha de Vetores Colunares; ouum Arranjo Colunar de Vetores Linha.


Matriz n x m


=

nmnn

m

m

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211


Matriz n x m


=

nmnn

m

m

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

Quadrada : (n=m)Diagonal : (n=m) Λ (i≠k →→→→ Aik=0)Triangular Superior: (n=m) Λ (k<i)→→→→ Aik=0)Triangular Inferior : (n=m) Λ (k>i)→→→→ Aik=0)Tridiagonal : (n=m) Λ ((k< i-1)V(i+1<k))→→→→ Aik=0)Simétrica : (n=m) Λ (Aik= Aki)


Matriz n x m


=

nmnn

m

m

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211



Matriz n x m Representação de Matriz em Linhas

=

nmnn

m

m

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211


=

Tn

T2

T1

A

A

A

M

→Tk

A Linha k de A


Matriz n x m Representação de Matriz em Colunas

=

nmnn

m

m

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211


[ ]mAAA L

L

21

↓↓↓

[ ]m21 AAA L=

Coluna k de A→kA


Soma e Subtração Matricial Definição

ijijij BACBAC ±=⇒±=

Cap. I : Análise Matricial2. Operações

!Propriedades :

Comutativa

Associativa

ABBA +±=±→

( ) ( )CBACBACBA ±±=±±=±±→

)(,, mxnCBA


Multiplicação Matriz por Escalar Definição

ijij ACAC .ββ =⇒=


!Propriedades :

Comutativa

Distributiva

Distributiva

ββ AA =→

BABA βββ +=+→ )(

AAA ηβηβ +=+→ )(

)(, mxnCA


Multiplicação Matricial Definição

∑=

=⇒=m

kkjikij BACBAC

1.


!Propriedades :

Não Comutativa

Associativa

Distributiva

Identidade à Esquerda

Identidade à Direita

ABBA ≠→

CABACBA +=+→ )(

( ) ( )CBACBACBA ==→

)()(),(

pxnCpxmBmxnA

(Em Geral)

( )nxnIAAI =→( )mxmIAIA =→


Multiplicação Matriz e Vetor Definição

∑=

=⇒=m

1kkiki X.ACXAC


)1xm(X)mxn(A



∑=

=⇒=m

1kkiki X.ACXAC


)1xn(C)1xm(X)mxn(A



∑=

=⇒=m

1kkiki X.ACXAC


∑=

=⇒=n

1iijij

TT AYDAYD

)nx1(Y

)mxn(AT

)1xn(C)1xm(X)mxn(A



∑=

=⇒=m

1kkiki X.ACXAC


∑=

=⇒=n

1iijij

TT AYDAYD

)mx1(D

)nx1(Y

)mxn(A

T

T

)1xn(C)1xm(X)mxn(A


Multiplicação Matricial Formatos Válidos

[ ]m21

Tn

T2

T1

AAA

A

A

A

A LM

=

=


)mxn(A

[ ]p21

Tm

T2

T1

BBB

B

B

B

B LM

=

=

)pxm(B



=

=

=

pTn2

Tn1

Tn

pT22

T21

T2

pT12

T11

T1

Tn

T2

T1

Tn

T2

T1

BABABA

BABABA

BABABA

BA

BA

BA

B

A

A

A

BA

L

MMMM

L

L

MM


)pxn(BA)pxm(B)mxn(A




)pxn(BA)pxm(B)mxn(ABT

iΑ

Linha i de BA

=

=

=

pTn2

Tn1

Tn

pT22

T21

T2

pT12

T11

T1

Tn

T2

T1

Tn

T2

T1

BABABA

BABABA

BABABA

BA

BA

BA

B

A

A

A

BA

L

MMMM

L

L

MM




[ ] [ ]p21p21 BABABABBBABA LL ==

)pxn(BA)pxm(B)mxn(A

=

pTn2

Tn1

Tn

pT22

T21

T2

pT12

T11

T1

BABABA

BABABA

BABABA

BA

L

MMMM

L

L




[ ] [ ]p21p21 BABABABBBABA LL ==

)pxn(BA)pxm(B)mxn(A

jBAColuna j de BA

=

pTn2

Tn1

Tn

pT22

T21

T2

pT12

T11

T1

BABABA

BABABA

BABABA

BA

L

MMMM

L

L


Multiplicação Matricial Ortogonalidade de Vetores


=

=

n

2

1

n

2

1

V

VV

V,

U

UU

UMM

)1xn(V)1xn(U


Multiplicação Matricial - Ortogonalidade de Vetores


=

=

n

2

1

n

2

1

V

VV

V,

U

UU

UMM

)1xn(V)1xn(U

0UVVUVU Tn

1iii

T ===∑=

U , V são Ortogonais

VU ⊥


Integração / Diferenciação Matricial Definição


=

)t(A)t(A)t(A

)t(A)t(A)t(A)t(A)t(A)t(A

)t(A

nm2n1n

m22221

m11211

L

MOMM

L

L

)mxn()t(A




( )

=

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

)t(Adtd

nm2n1n

m22221

m11211

L

MOMM

L

L

)mxn()t(A




( )

=

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

dt)t(dA

)t(Adtd

nm2n1n

m22221

m11211

L

MOMM

L

L

)mxn()t(A

=

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫dt)t(Adt)t(Adt)t(A

dt)t(Adt)t(Adt)t(Adt)t(Adt)t(Adt)t(A

dt)t(A

nm2n1n

m22221

m11211

L

MOMM

L

L


Transposição Matricial Definição


)mxn(A

=

nm2n1n

m22221

m11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

TAãoTransposiç

A →

( ) ( ) jijiijT AAA ==

)nxm(AT


Transposição Matricial Definição


)nxm(A

)mxn(A

T

=

nm2n1n

m22221

m11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

TAãoTransposiç

A →

( ) ( ) jijiijT AAA ==

=

nmm2m1

2n2212

1n2111

T

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L


Transposição Matricial Formatos


=

nm2n1n

m22221

m11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

=

nmm2m1

2n2212

1n2111

T

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

[ ]m21

Tn

T2

T1

AAA

A

A

A

LM

=

=

[ ]n21

Tm

T2

T1

AAA

A

AA

LM

=

=


Transposição Matricial Matriz Simétrica


TAA = [ ]n21

Tn

T2

T1

AAA

A

AA

LM

=

=

=

7654654354324321

A

jiij AA =

Exemplo

Requisito : Quadrada


Transposição Matricial Matriz Simétrica


TAA = [ ]n21

Tn

T2

T1

AAA

A

AA

LM

=

=

=

7654654354324321

A

Exemplo

Reflexão Relativa à Diagonal Principal

jiij AA =

Requisito : Quadrada


Transposição Matricial Propriedades


( ) TTT BABA +=+ Transposição da Soma

( ) TTT ABBA = Transposição do Produto


Transposição Matricial Propriedades


( ) TTT BABA +=+ Transposição da Soma

( ) TTT ABBA = Transposição do Produto

( ) ( )( )( )( ) ( )

TTTT

TT

TT

ABCD

BADC

DCBADCBA

=

=

=

Transposição Multi-Produto


Determinante Definição

Cap. I : Análise Matricial3. Determinantes

Função Escalar dos Elementosde Matrizes Quadradas

=

nn2n1n

n22221

n11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

AA DA)A(DET === ∆




=

nn2n1n

n22221

n11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

∑ ∏

∑

=−=

−=

n

1ii

n2

1

n21i

n2n21

1

A)1()A(DET

AAA)1()A(DET

αααα

δ

ααααα

αδ

L

L

L

1n123deimparpermutação0n123deparpermutação

n21

n21

=⇒=⇒

δαααδααα

LL

LL




=

nn2n1n

n22221

n11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

∑ ∏

∑

=−=

−=

n

1ii

n2

1

n21i

n2n21

1

A)1()A(DET

AAA)1()A(DET

αααα

δ

ααααα

αδ

L

L

L

1n123deimparpermutação0n123deparpermutação

n21

n21

=⇒=⇒

δαααδααα

LL

LL

Multiplicações !n)*1n( −


Determinante Exemplo


132103120231121311320123

=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒

δδδδδδ

=

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

A

312213322113

312312332112

322311332211A

AAAAAAAAAAAAAAAAAAD

−++−−+=

32321

1 32

1A AAA)1(D ααααα

αδ∑ −=

Multiplicações 12!3)*13( =−




32321

1 32


αδ∑ −=

Multiplicações

!n)*1n( −

=

nn2n1n

n22221

n11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

1000h2.101215

10s5.10610

10-3s4805

CPUMultiplicaçõesn


Determinante Definição Equivalente e Idêntica


n2n21

1 n2


αδ L

L∑ −=

=

nn2n1n

n22221

n11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

n2

1A n2n21

1AAA)1(D αα

αααα

δ LL∑ −=


Menor e Cofator Definição


=

nnnj2n1n

inij2i1i

n2j22221

n1j11211

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

A

LL

MLMLMM

LL

MLMLMM

LL

LL




=

nnnj2n1n

inij2i1i

n2j22221

n1j11211

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

A

LL

MLMLMM

LL

MLMLMM

LL

LL Menor ij

ijM




=

nnnj2n1n

inij2i1i

n2j22221

n1j11211

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

A

LL

MLMLMM

LL

MLMLMM

LL

LL

Retirar Linha i e Coluna j e Calcular o Determinante n-1 x n-1Resultante para Obter Mij

Menor ij

ijM




=

nnnj2n1n

inij2i1i

n2j22221

n1j11211

AAAA

AAAA

AAAAAAAA

A

LL

MLMLMM

LL

MLMLMM

LL

LL Cofator ij

ijΩ

ijji

ij M)1( +−=Ω


Matriz de Cofatores Definição


=

nn2n1n

n22221

n11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

)nxn(A

=

nn2n1n

n22221

n11211

ΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩ

Ω

L

MOMM

L

L

)nxn(Ω




)nxn(A

[ ]n21

Tn

T2

T1

nn2n1n

n22221

n11211

ΩΩΩ

Ω

Ω

Ω

ΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩ

Ω

L

M

L

MOMM

L

L

=

=

=




[ ]n21

Tn

T2

T1

ΩΩΩ

Ω

Ω

Ω

Ω LM

=

=

[ ]

==

nj

j2

j1

jin2i1iTi

,

Ω

ΩΩ

ΩΩΩΩΩM

L

Cofatores da Linha i

Cofatores da Coluna j


Expansão de Laplace Teorema 1.1


iADn

1jijijA ∀=∑

=Ω Expansão de Laplace via Linha i

O Determinante da MatrizAdmite as Formas EquivalentesAbaixo, Idênticas em EsforçoNumérico à Definição via Permutações

=

nn2n1n

n22221

n11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

jADn

1iijijA ∀=∑

=Ω Expansão de Laplace via Coluna j


Determinante da Transposta Teorema 1.2


=

nn2n1n

n22221

n11211

AAA

AAAAAA

A

L

MOMM

L

L

==

nnn2n1

2n2212

1n2111

T

AAA

AAAAAA

BA

L

MOMM

L

L

)A(DET)A(DET T=⇒


Determinante da Transposta Teorema 1.2


Demonstração

n2n21

1 n2


αδ L

L∑ −=

ijjin2

1A ABBBB)1(Dn2

n211

=−= ∑ ααααα

αδ L

L

)A(DETDD TBA ==

n2

1B n2n21

1BBB)1(D αα

αααα

δ LL∑ −=


Determinante após Multiplicar Linha/Coluna Teorema 1.3


[ ]nj21

Tn

Ti

T2

T1

AAAA

A

A

A

A

A LL

M

M=

= AB

Tn

Ti

T2

T1

DD

A

A

A

A

B λλ

=⇒

=

M

M

[ ] ACnj21 DDAAAAC λλ =⇒= LL




A

n

1j

)A(ijij

n

1j

)B(ijijB DABD λΩλΩ === ∑∑

==

Demonstração

Exp. Laplace via Linha i

A

n

1i

)A(ijij

n

1i

)C(ijijC DACD λΩλΩ === ∑∑

==

Exp. Laplace via Coluna j




Corolário 1.3.1

Matriz com Linha ou Coluna Nula tem Determinante Nulo

Demonstração : Usar Teor. 1.3 com λλλλ=0 na Coluna ou Linhaem Questão


Matrizes com Colunas Comuns Exceto j Teorema 1.4


[ ]n1jk1j21k AAPAAAA LL +−=

∑=

=m

1kAkB k

DD λ

Coluna j

= +− ∑ n1j

m

kkk1j21 AAPAAAB LL λ

Então

Coluna j




= +− ∑ n1j

m

kkk1j21 AAPAAAB LL λ

Demonstração : Exp. de Laplace via Col. j em DB

Coluna j

∑ ∑∑∑∑= == ==

===m

1k

n

1i

)A(ijikk

n

1i

)A(ij

m

1kikk

n

1i

)B(ijijB PPBD ΩλΩλΩ

∑∑ ∑== =

==m

1kAk

m

1k

n

1i

)A(ijikkB k

DPD λΩλ



Corolário 1.4.1

Demonstração : Usar, como no Teor. 1.4, Expansão de Laplacena Linha i


Matrizes com Linhas Comuns Exceto i(Resultado Análogo para Linhas em vez de Colunas)


A Troca de Duas Linhas (ou Duas Colunas) de Teorema 1.5Matriz, Multiplica o Determinante por -1


[ ]nji21 AAAAAA LLL=

Demonstração :

Col. iCol j

[ ]nij21 AAAAAB LLL=

Idênticas, Exceto pelo Intercâmbio de Colunas i e j


Demonstração Teorema 1.5


nji2

1A nji2n21

1AAAAA)1(D αααα

αααα

δ LLLL∑ −=

nji2

1B nji2n21

1BBBBB)1(D αααα

αααα

δ LLLL∑ −=

nij2

1B nji2n21

1AAAAA)1(D αααα

αααα

δ LLLL∑ −=

DB apresenta os mesmos termos de DA exceto pela inversão de paridade devido a haver uma troca a mais nas permutações de DB

AB DD −=⇒



Corolário 1.5.1

Demonstração : Tome a matriz com 2 linhas (colunas) iguais.Troque as linhas (colunas) iguais. A matriz não se altera nem seu determinante.Mas, com Teor 1.5, o determinante troca sinal.Logo é Zero. O único número que, trocandosinal, mantém-se igual.

Troca de Linhas (Cols) Troca Sinal do Det. Teorema 1.5

Matriz Quadrada com Duas Linhas (Cols) Iguais Tem Determinante Nulo



Corolário 1.5.2

Demonstração : Seja a matriz com colunas i e j proporcionais


Matriz com Duas Linhas (Cols) Proporcionais Tem Determinante Nulo

[ ]njj21 AAAAAA LLL λ=

Col. iCol j

[ ]( )njj21A AAAAADETD3.1.T

LLLλ=⇒

00*D5.1.T

A ==⇒

λ



Corolário 1.5.3

Demonstração : Seja matriz com col. i como C.L. das demais


Matriz com Linha (Coluna) Combinação Linear das demais Linhas (Colunas) Tem Determinante Nulo

= ∑

≠n

n

ikkk21 AAAAA LL λ

Col. i

[ ]( ) 00*AAAADETD4.1.T n

ikknk21

n

ikkA ===

⇒ ∑∑≠≠

λλ LL

Na col. i há a col. k repetida



Corolário 1.5.4

Demonstração : Sejam matriz A, n x n, e matriz de cofatores;Matriz B, com col. i repetida na col. j ; pelo C.1.5.1, tem DB=0


Em Matriz Quadrada, o Vetor de Cofatores de uma Coluna (Linha) é Ortogonal às demais Colunas (Linhas)

[ ]nji21 AAAAAA LLL= [ ]nj21 ΩΩΩΩΩ LL=

)A(j

Tj

n

1k

)A(kjkjA AAD ΩΩ ==∑

=

Laplace via Coluna j

[ ]nii21 AAAAAB LLL=

)ji(A0AABD ji

n

1k

)A(j

Ti

)A(kjki

n

1k

)B(kjkjB ≠⊥⇒==== ∑∑

==ΩΩΩΩ



Corolário 1.5.4

Consolidando Corolário 1.5.4


Em Matriz Quadrada, o Vetor de Cofatores de uma Coluna (Linha) é Ortogonal às demais Colunas (Linhas)

[ ]nji21 AAAAAA LLL= [ ]nj21 ΩΩΩΩΩ LL=

jTj

n

1kkjkjA AAD ΩΩ ==∑

=

)ji(A0A jijTi ≠⊥⇒= ΩΩ

kTk

n

1jkjkjA AAD ΩΩ ==∑

=

)ki(A0Akik

Ti

≠⊥⇒= ΩΩ

Laplace via Coluna j Laplace via Linha k



Corolário 1.5.5

Demonstração para colunas (com linhas é análogo) :


Em Matriz Quadrada, a soma de coluna (linha) multiplicada por número a outra coluna (linha) não altera o Determinante.

[ ]nji21 AAAAAA LLL=

( )[ ]niji21 AAAAAAB LLL λ+=

[ ]( )[ ]( )nii21

nji21B

AAAAADET

AAAAADETD4.1.T

LLL

LLL

λ+

+=⇒

AB DD1.5.1.C

=⇒


Determinante de Matriz Diagonal ou Triangular é Igual ao Produto dos Termos da Diagonal Principal. Teorema 1.6


Demonstração p/ Matriz Triangular já que toda matrizdiagonal é triangular. Basta tomar uma matriz triangular típica:

=

44

3433

242322

14131211

A000AA00AAA0AAAA

A44

3433

24232211

11A

A00AA0AAA

)1(AD +−=

44

34331122

1111A A0

AA)1(A)1(AD ++ −−=

44332211A AAAAD =Usando ApenasLaplace na Coluna 1


Cálculo de Determinantes :

# Usar operações linha de pivotamento (da esquerda para direita e de cima para baixo) que não alteram ou que alteram de forma conhecida, o determinante, buscando forma triangular;# Operações Usadas :

(A) Troca de linhas para substituir pivô nulo; (B) Multiplicar linha do pivô por número e somar a outra

linha para anular elemento na coluna do pivô;# Ao atingir a forma triangular, o determinante final é dado pelo produto da diagonal. # Para obter o determinante original, trocar o sinal do determinante triangular tantas vezes quanto utilizada a operação (A).



Cálculo de Determinantes Exemplo


−

−=

1101002301421021

A




−

−

1101002301421021

−−−−

212030402100

1021

Ação Pivô 1 : Coluna 1 Pivotada, Determinante Inalterado




−−−−

212030402100

1021 Pivô 2 Nulo : Troca de Linhas 2 e 4

−−−−

21003040

21201021

−− 2100120021201021

Ação Pivô 2 : Coluna 2 Pivotada, Determinante Troca Sinal




−− 2100120021201021

Ação Pivô 3 : Coluna 3 Pivotada, Determinante Triangular

− 5.1000120021201021

6)5.1(*2*2*1)*1(DA =−−=


Cálculo de Determinantes : Esforço numérico


)1)(2(...)2n)(1n()1n(nçõesMultiplica ++−−+−=

∑=

−=n

1i)1i(içõesMultiplica

2)1n(n

6)1n2)(1n(nii

n

1i

n

1i

2 +−++=−= ∑∑==

3n

3nnçõesMultiplica

33≅−=


Cálculo de Determinantes : Esforço numérico


3n

3nnçõesMultiplica

33≅−=

11202.101215

3305.10610

404805

Multiplicações via Cálculo (n3-n)/3

MultiplicaçõesVia Definição (n-1)n!

n


Determinante do Produto de Matrizes é igual ao Produto dos Respectivos Determinantes. Teorema 1.7


)B(DET).A(DET)BA(DET =

Corolário 1.7.1

Determinante de Multi-Produto Matricial

)D(DET).C(DET).B(DET).A(DET)DCBA(DET)DC(DET).BA(DET)DCBA(DET

))DC)(BA((DET)DCBA(DET

=

==

==


Derivada de determinante n x n é a soma de n determinantes em que cada coluna (linha) é diferenciada por vez. Teorema 1.8


=

)t(A)t(A)t(A

)t(A)t(A)t(A)t(A)t(A)t(A

)t(A

nn2n1n

n22221

n11211

L

MOMM

L

L

Demonstração para colunas (com linhas é análogo) :

∑=

==n

1iijijnn11AA A))t(A,),t(A(D)t(D ΩL

∑∑ ∑ ∑∑∑= = = == = ≠

==

∂∂=

n

1i

n

1j

n

1j

n

1iij

ijij

ijn

1i

n

1j AAij

AijAdt

dAdt

dAAD

dtdA

dtdD

ijkm

ΩΩ

∑∑ ∑== =

=

=

n

1jnj1

n

1j

n

1iij

ijA AAdtdADET

dtdA

dtdD

LLΩ


Sejam m Vetores (n x 1) Ak . Estes Vetores são Linearmente Dependentes (LD) ou Linearmente Independentes (LI) de acordo com : Definição

Cap. I : Análise Matricial4. Dependência e Independência Linear de Vetores

∑=

=≠∃⇒m

1kkkm21 0AqueTal0LDA,,A,A ααL

0parasomente0ALIA,,A,Am

1kkkm21 ==⇒ ∑

=ααL


Seja a matriz A não singular (n x n). Então as colunas e as linhas desta matriz são Linearmente Independentes (LI). Teorema 1.9


0parasomente0An

1kkk ==∑

=αα

Demonstração para colunas (para Linhas é Análogo) :

[ ]( ) 0AAADET)A(DET n21 ≠= L

Queremos provar que

Hipótese: Admita colunas LD ∑=

=≠∃n

1kkk 0Acom0 αα

Assim algum destes Ai é C.L. dos demais

−= ∑

≠

n

ikk

ii A1A

α

Mas, Pelo C.1.5.3, DET(A)=0, Contrariando a Premissa acima

Premissa


Prova-se, adicionalmente, o converso disto: Se as colunas (e as linhas) desta matriz são Linearmente Independentes (LI), a matriz A é não singular (n x n). Teorema 1.9b


Com Teoremas 1.9 e 1.9b, Tem-se a Equivalência :

0)A(DETLIAAA n21 ≠⇔L


O Posto de uma Matriz é a Ordem do Maior Sub-Determinante não Nulo Existente nesta Matriz. Definição

Cap. I : Análise Matricial5. Posto

# Como as Operações Linha utilizadas para cálculo de determinantes no Item 3, não são capazes de anular determinantes (nem os sub-determinantes existentes), elas podem ser usadas para Determinar o Posto de Matrizes; isto é, o Posto é Invariante à Triangulização por Pivotamento. # O Algoritmo procede de forma similar ao utilizado para cálculo de Determinantes visando-se forma final Triangular. # O Posto é interpretado ao final da triangulização pela sua Definição; isto é, como o Maior Sub-Determinante Não-Nulo Existente. # Operações Coluna também podem ser usadas se necessário.


O Posto de uma Matriz é a Ordem do Maior Sub-Determinante não Nulo Existente nesta Matriz. Exemplo


−−

=

210021201110110101

111011

A




−−

210021201110110101

111011

−

−−−−

101010201110201110

111011

Ação Pivô 1 : Coluna 1 Pivotada, Determinante InalteradoPosto Inalterado




−

−−−−

101010201110201110

111011

Ação Pivô 2 : Coluna 2 Pivotada, Determinante InalteradoPosto Inalterado

−−−

−−−−

102100000000201110

111011




Não há Ação do Pivô 3. A Triangulização Chega aoFim. Determinante TrocaSinal. Posto Inalterado

−−−

−−−−

102100000000201110

111011 Pivô 3 NuloTroca de Linhas 3 e 4

−−−−−−−

000000102100201110

111011




O Posto Final é 3. O MaiorSub-determinante Não Nulo é3 x 3, como o produto daTriangulização (DET=1) mostrado. Qualquer outroSub-determinante serásingular ou terá ordem 3.

−−−−−−−

000000102100201110

111011

Portanto, como o PostoInicial é igual ao PostoFinal, a Matriz Original tem Posto 3.


Seja a Matriz A (n x n). Analisamos as condições acerca da matriz inversa de A. Definição

Cap. I : Análise Matricial6. Matriz Inversa

IDAIAE

=

= Inversa à Esquerda

Inversa à Direita

Se a Matriz A (n x n) tem inversa, então a Inversa à esquerda éigual à Inversa à direita. Teorema 1.10a

Demonstração

( ) DEDDAEDDAEIDA,IAE =⇒=⇒=⇒==



Se A (n x n) tem inversa, então Ela é Única. Teorema 1.10b

Demonstração, por absurdo, admita duas Inversas Distintas:

AdeInversas)VU(V,U ≠

( ) VUVVAUVVAUIAVVAIAUUA

=⇒=⇒=⇒

====

Logo se Existir, só Há uma Inversa



A, B (n x n) têm inversa, então : Teorema 1.11

Demonstração

111 AB)BA( −−− =

1111111

11111

1

AB)BA(AB)BA(BB

A)BA(BA)BA)(BA(A

I)BA)(BA(

−−−−−−−

−−−−−

−

=⇒=

=⇒=

=



A (n x n) tem inversa, então : Teorema 1.12

Demonstração

( )T11T A)A( −− =

( ) ( )

( ) T11T1T1T

11T1TT1T1TT

)A()A(T

A)A(

AAA)A(IA)A(T

I)A(A

−−−−

−−−−−

=⇒=

=⇒=⇒=



A (n x n) tem inversa, então : Teorema 1.12

( )T11T A)A( −− =

Corolário 1.12.1

A (n x n), simétrica, tem inversa; então a inversa é simétrica.

Demonstração com T.1.12

( ) ( ) SimétricaAAAA)A(

AA 1T11T11T

T−−−

−−⇒=⇒

=

=



Expressão da Inversa de A (n x n) Não Singular Teorema 1.13

( ) 01 )(1 ≠Ω=−A

TA

A

DD

A

[ ][ ]n

A

nAAAA

ΩΩΩ=Ω

=

L

L

21)(

21



Expressão da Inversa de A (n x n) Não Singular Teorema 1.13

T

ADA Ω=− 11

Demonstração por Substituição Direta na Identidade da Inversão

[ ]

=

==−

nTn2

Tn1

Tn

nT22

T21

T2

nT12

T11

T1

An21

Tn

T2

T1

A

T

A

1

AAA

AAAAAA

D1AAA

D1A

D1AA

ΩΩΩ

ΩΩΩΩΩΩ

Ω

ΩΩ

Ω

L

MMMM

L

L

LM

0DI

D00

0D000D

D1A

D1AA A

A

A

A

A

T

A

1 ≠=

==−

L

MOMM

L

L

Ω

[ ] [ ]n21n21 ,AAAA ΩΩΩΩ LL ==



Inversa de A (n x n) Não Singular Exemplo

−−

−=

−−−−−−

−=

−

−

3/23/13/23/13/13/13/23/13/1

212111211

31

1

1

A

A

T

=

011120101

A 31120

10110

)1(00112

1 −=+−+=AD

,22001

,11011

,21210

,11101

,10111

10110

,21120

,10110

,10112

3332312322

21131211

==Ω−=−=Ω−==Ω−=−=Ω−==Ω

=−=Ω−==Ω=−=Ω−==Ω

IAA =

−−

−=−

011120101

3/23/13/23/13/13/13/23/13/1

1


Cap. I : Análise Matricial7. Sistema Linear de Equações

Sistema Linear de n Equações em m Variáveis Definição

BXA =

)1()1()(

xnBxmXmxnA [ ]mAAAA L21=



Sistema Linear de n Equações em m Variáveis Definição

BXA =

)1()1()(

xnBxmXmxnA [ ]mAAAA L21=

Formas Equivalentes

=++

=++=++

⇒=∑=

nmnmnn

mm

mm

m

jjj

BXAXAXA

BXAXAXABXAXAXA

BXA

L

MMMM

L

L

2211

22222121

11212111

1



Sistema Linear Análise de Solução

⇒= BXA ∑=

=m

jjj BXA

1

( ) [ ]( ) SoluçãoTemSistemapBAPostoAPosto ⇒==

Condição Necessária e Suficiente para Solução : B pode ser expresso como Combinação Linear das Colunas A1 ... AmPosto(A)=Posto([A B])

( ) [ ]( ) SoluçãoSemSistemaBAPostopAPosto ⇒<=



Sistema Linear Graus de Liberdade na Solução

BXA =

)1()1()(

xnBxmXmxnA

[ ]mpp AAAAA LL 11 +=

Posto de A : p p Colunas L.I. em A. Admitimos as p primeiras

p Colunas L.I.

m-p Colunas L.D.



Sistema Linear Análise de Solução

BXA =

∑∑+==

−=m

pkkk

p

jjj XABXA

11

Há m-p Graus de Liberdade na Solução Xp+1 , Xp+2 , ... , Xm

p

m

pkkkmp XXXABXXcadaa ,,,, 1

11 LL ⇒−⇒ ∑

+=+

O Lugar de Soluções é Hiperplano m-p Dimensional no Rm

Se p=m a Solução é 0-Dimensional, i.e. é um Ponto no Rm



Sistema Linear Resumo da Análise de Solução

( ) [ ]( )

m

m

RnolDimensionapmHiperplanoemSoluçõesInfinitaspm

RnoXPontoUmÚnicaSoluçãopm

SoluçãoTemSistemaBAPostopAPosto

BXA

−⇒>⊗⇒=⊗

⇒==⊗

=

:



Sistema Linear Obtenção e Análise da Solução

# Usar as operações linha sobre a Matriz Aumentada [A B] do sistema visando a diagonalização com pivôs = 1 na matriz A;# O Algoritmo é similar ao de Determinantes, mas visa-se forma final Diagonal com Pivôs Unitários. Postos são Conservados.# Operações Usadas:(A) Troca com linha abaixo de um pivô nulo para substituí-lo; (B) Dividir linha do pivô pelo mesmo para transformá-lo em 1;(C) Multiplicar linha do pivô=1 por número e somar a outra

linha para anular elemento acima e abaixo nesta coluna;# A Solução surge ao final na Coluna B;# Análise de Postos podem ser feitos simultaneamente.



Exemplo

01

1

000200111010121

)(1101

101011101110121

101

101011101110121

5

4

3

2

1

−−

−−

=

oNormalizadPivô

AumentadoTableauXXXXX

111

0110001110121013

211

022000111012101

2011

0002001110101212

−

−−

−

−

−−

−

−−

PivôNormaliza

Pivô

PivôNormaliza

−

+

−

+

=

+==−−===

=−⇒=>=

==−

10001

01101

00100

1,0,,

,:..,,:.

235..2

])([3)(100

011000001011001

3

32

154

54

321

βα

αβαβα

X

XXXXX

XXBásNãoVarXXXBásicasVarpmpmLGcomSoluçãoHá

BAPostoAPosto

Pivô



Utilização para Inversão de Matrizes Quadradas Não singulares

[ ][ ]

[ ] [ ]

1

21

2121

211

21

−

−

⇒

==

=

=

AIIA

IIIA

IIIIXXXAXXXA

AAAA

n

nn

n

n

L

LL

L

L



Inversão de Matrizes Não singulares Exemplo

101110010120001101

1100011010120001101

011120101

−−

=

Pivô

Tableau

A

3/23/13/210002/102/110001101

312/112/30002/102/110001101

210111002/102/110001101

2

−

−−−

−−

PivôNormaliza

Pivô

PivôNormaliza

−−

−=

−−

−

−

3/23/13/23/13/13/13/23/13/1

3/23/13/21003/13/13/10103/23/13/1001

3

1A

Pivô



Resolução de Sistemas Quadrados Não Singulares via Inversão

BAX

xnBxnX

nAPostonxnABXA

1

11

)(,

−=

==


Cap. I : Análise Matricial8. Método Newton-Raphson para Equações Não Lineares

Passo Chave : Linearização Iterada em Estimativa da Solução

[ ]

[ ]

.2;1.6

;.5

0)(.4

0)()(.3

.);(..2

0;.1

.

,11

0)(

)1()()1(

)(1)()1()()(

)()(

)()()(

)0(

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

)0(

aVoltarnn

XXFimXXSe

FJXXXXJF

XXJFXF

XemFJCalcXFFCalc

nXEntrar

EqsdasJacobianaMatriz

XF

XF

XF

XF

XF

XF

XF

XF

XF

FJ

SoluçãoEstimativaXxnXxnF

XF

nnn

nnnnn

nn

nTTX

nn

n

nnn

n

n

TTX

+=

=⇒≤−

−=⇒=−+

=−+≅

∇==

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∇=

=

++

−+

ε

L

MOMM

L

L


Cap. I : Análise Matricial8. Método Newton-Raphson para Equações Não Lineares

Exemplo

SoluçãoXT=0T

[ ]

[ ]

[ ] EtcXFJXX

JF

n

XFJXX

JJF

n

XXXXX

XJXXXXXXXXXX

XF

⇒

−−−

=⇒−=

−−

−−=

−

−=

=

−−

−=⇒−=

−−−

−=

−−−−−

=

=

=

−−−−−

=

==

−−−

−+=

−

−

−

5695.189661.061653.0

114375.3625.41025.975.64

,06094.356

1625.4375.32

75.2125.1125.025.2875.0125.015.00

,1142210442

,061

0

11410

222)(,

221

,0410)(

)2()1(1)1()1()2(

)1()1(

)1()0(1)0()0()1(

1)0()0()0(

23

321)0(

321

321

23

22

21

métodos matemáticos aplicados a processos químicos e...

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