1 EXERCCIOS DE VIBRAES DE NAVIOS Srgio Ribeiro e Silva Nuno Fonseca Junho de 2008 2 Conjunto de Exerccios 1 - Revises EXERCCIO NR. 1 Considere o sistema na figura 1: a) Obtenha uma expresso para a rigidez equivalente do sistema. b) Determine a equao diferencial do movimento Figura 1 EXERCCIO NR. 2 (a)Considerandoosistemadoproblemaanterioresabendoquek1=k2= 8.7563x104[N/m],k3=2.6269x105[N/m]em=262.69[kg],calculea frequncia natural do sistema.(b)Considereumaforadeexcitaoharmnicaaplicadaemm nadireco do eixo-x e de amplitude 1.0 x104 [N/m]. Calcule a amplitude e o ngulo de fasedarespostaforadaparatodaagamadefrequnciasdeexcitao. Apresente os resultados graficamente. (c)Repita os clculos da alnea anterior, mas agora assumindo que o sistema amortecido.Considereosseguintesfactoresdeamortecimento:0.05, 0.10, 0.20. Apresente os resultados graficamente. m x k1 k2 k3 3 EXERCCIO NR. 3 Afigura2mostraumabarrargidacommassadesprezvelesimplesmente apoiadanopontoO.Sabendoquek1=4.3782x105[N/m],k2=1.57X105 [N/m],m=175.13[kg],a=2.03[m]eb=2.54[m],determineafrequncia natural de oscilao do sistema. Figura 2 EXERCCIO NR. 4 A um corpo flutuante de seco transversal Af e massa m aplicou-se uma fora queprovocouumdeslocamentoxapartirdasuaposiodeequilbrio,aps aqueleinstanteocorpolibertado.Determineaequaodiferencialdo movimento e obtenha a frequncia natural de oscilao. A massa especfica do lquido r. K2 K1 m b a 4 Figura 3 EXERCCIO NR. 5 O sistema da figura 4, composto por uma massa m de valor desconhecido e deumamolacomconstantektambmdevalordesconhecido.Paraeste sistemaobservou-sequeoscilavacomumafrequncianaturalde100[rad/s]. Determineovalordamassamedaconstantek,sabendoquequandose adiciona uma massa M=0.9 [kg], a frequncia natural baixa para os 80 [rad/s]. Figura 4 x Seco Transversal Af k m M x 5 Conjunto de Exerccios 6 - Anlise dinmica de sistemas discretos, mtodos de iterao matricial e de Jacobi. EXERCCIO NR. 1Considere o seguinte sistema com trs graus de liberdade, representado na Figura A. Figura A Calcule,utilizandoomtododaIteraoMatricial,osmodoseasfrequnciasnaturaisdo sistema. EXERCCIO NR. 2Repita o problema anterior, utilizando o Mtodo de Jacobi. Dados: K1 = K3 = k K2 = K4 = 2k K5 = K6 = k/6 C1 = C2 = C3 = C4 = c m1 = m m2 = m3 = 2m 6 EXERCCIO NR. 3Considere o movimento de rotao de trs rotores com momentos polares de inrcia 1I , 2Ie 3I queestocolocadosnumveiocomsecouniformeentremassaseencastradonos extremos, como mostra a figura B. A rigidez torcional dos veios de 1GJ , 2GJ, 3GJe 4GJ o que implica que as constantes de mola associadas a cada seco do veio so dadas por: Figura B Dados: a) Calcule as matrizes de rigidez, inrcia e matriz dinmica do sistema b)Atravsdomtododaiteraomatricialcalculeasfrequnciasnaturaiseosmodosde vibrao do sistema c) Calcule as frequncias naturais e os modos de vibrao do sistema, Utilizando o Mtodo de Jacobi. I1 2GJI2 I3 1 2 3 1GJ3GJ4GJ7 Conjunto de Exerccios 7 Anlise dinmica de sistemas contnuos EXERCCIO NR. 1 Considereumcabouniforme,fixoemambasasextremidades(x=0ex=L)e com tenso axial genrica T(x) , representado esquematicamente na Figura A. (a) Indique quais as condies de fronteira do sistema. (b) Partindo do diagrama de corpo livre de um elemento infinitesimal de cabo e aplicandoasegundaleideNewtonaeste,deduzaoproblemadevalores prprios do sistema, assuma carregamento nulo sobre o cabo.Nota: dever chegar ao par de equaes:0 ) () (222= + t Fdtt F d; ) ( ) () () (2x Y xdxx dYx Tdxd =

(c) Diga o que entende por movimento sncrono.(d) Qual a razo pela qual a constante (2 ), entra na deduo do problema de valores prprios com sinal negativo? (e)Resolvaoproblemadevaloresprpriosdeduzidonaalnea(b),considere que (x)== const., T(x) =T= const. Calcule os primeiros trs modos prprios e represente-osgraficamente,paraestarepresentaoaconselhvelousode uma folha do Microsoft Excel.(f) Considere a corda de um piano. Um modelo razovel da corda de um piano umcabofixonasduasextremidades.Sabendoqueestatemum comprimento L=1.4 m, massa m=110 g e uma tensoN T410 1 . 11 = . Calcule a frequncia Natural Fundamental em Hz. Figura A 8 EXERCCIO NR. 2 ConsidereocabodafiguraB,queseencontrafixonumadasextremidadese ligado a uma mola na outra.(a) Indique quais as condies de fronteira do sistema (b) Determine a equao diferencial que rege o movimento vibratrio do cabo. Figura B k u(x,t) r,T x y L 9 EXERCCIO NR. 3 Deduza o problema de valores prprios associado a uma barra com vibraes longitudinais. A barra encontra-se encastrada em x=0 e em x=L, como mostra a figura C. Figura C EXERCCIO NR. 4 Considereosistemadoproblemaanterior,sendoEA(x)=EA=Const., m(x)=m=const,resolvaoproblemadevaloresprpriosparaocasoemque EA=2kL,obtenhaasprimeirastrsfrequnciasnaturaisdosistemaeos respectivosmodosprprios.Representegraficamenteessesmodosde vibrao. EXERCCIO NR. 5 Resolva o problema de valores prprios associado a uma barra com vibraes longitudinais,considerequeEA(x)=EA=4kL=const.,m(x)=m=const.A barraencontra-seencastradaemx=0eligadaaumamoladerigidezk,em x=L,ondeaoutraextremidadedamolaencontra-sefixaaomuro(stem deslocamentos no eixo dos xx), tal como se representa na figura D. L u(x,t) x m(x),EA(x) 10 Obtenhaasprimeirastrsfrequnciasnaturaisdo sistemaeasequaesdos respectivosmodosprprios,paratalconsiderequeabarratemcomprimento unitrio. Faa a representao grfica desses modos de vibrao. Figura D EXERCCIO NR. 6 Pretende-se uma anlise de vibraes longitudinais de uma coluna de suporte deumnaviomodeloparaensaiosdecomportamentonomar,Imagem1.Na situaoLivreLivreconsidereconstanteaolongodocomprimentodabarra os valores de A, E e . O sistema equivalente representado na figura E. L u(x,t) m(x),EA(x) k 11

Imagem 1Figura E Determine: (a) As condies de fronteira que caracterizam o sistema. (b)A varivel de separao( ) da equao diferencial espacial (em ordem a x) assumindo que existe movimento sncrono, ou seja em termos matemticos, que) ( ). ( ) , ( t T x U t x u = . (c) A equao caracterstica do sistema. 3M M L x 12 Grupo de Exerccios 8 Anlise dinmica de sistemas contnuos EXERCCIO NR. 1 Paraumveiopropulsor,manufacturadoemaoealumnio,conforme representado na Figura A. Determine: (a)A rgidez torsional do sistema homogneo equivalente; (b)As condies fronteira do sistema; (c)Utilizandoaequaotranscendentaldosistematorsional,assuas frequncias naturais; (d)Casofossenecessriofixarafrequnciafundamentalem100[rad/s], qual seria o valor apropriado para a inrcia [Kg.m2] do hlice. Dados: Gao = 80 [GPa] Galumnio = 30 [GPa] ao = 7.35 [Ton/m3] alumnio = 2.71 [Ton/m3] L = 5 [m] D1 int = 15 [cm] D2 int = 10 [cm] Dext = 25 [cm] Ihlice = 30 [Kg.m2] 13 Figura A EXERCCIO NR. 2 Considere o modelo simplificado de uma caixa redutora representado na Figura B. Determine: (a) Um sistema dinmico equivalente; (b)Apartirdosistemaequivalenteeutilizandoaequaotranscendentaldo sistema torsional, a equao das suas frequncias naturais, calcule o valor das trs primeiras; Figura B EXERCCIO NR. 3 Umnodosacrificialcomcomprimento1.5[m],comumasecotransversal quadradacomdimenses:200x200[mm]emassaporunidadede comprimento160[Kg/m],estapoiadoaumpilardeaoconforme representado na Fig. C. Existemsuspeitasdequeasfrequnciasnaturaisdevibraodonodo possam coincidir com as frequncias de excitao vertical do pilar. Dados: G = 80 [GPa] = 7.35 [Ton/m3] L1 = L2 = 50 [cm] Veios D1 ext = 10 [cm]D2 = 8 [cm] D1 int = 5 [cm](macio) Carretos M1 = 20 [Kg]M2 = 10 [Kg] D1 = 80 [cm]D2 = 40 [cm] 14 (a) Indique as condies fronteira que caracterizam o sistema; (b) Desprezandoasdeformaesdevidasaoesforotransversoeainrcia rotacionaldonodo,calculeas3primeiras frequncianaturaisdonodoe indique qual a mais precisa. Justifique. (c) Caso o nodo fosse encastrado no pilar, indique quais seriam as condies fronteira do sistema. AsequaesdiferenciaisacopladasdavigadeTimoshenkoemvibraolivre so dadas por: ( )= + +

= +

0022 222 j kAGdxdEIdxdjdxdv mdxdEIdxd onde as variveis tm o significado habitual. Assuma que kGEtem o valor de 3 eE 70 [Gpa]. 15 EXERCCIO NR. 4 Considereumavigaqueseencontraencastradanumaextremidadee simplesmenteapoiadanaoutra,representadanafiguraD.Considerando vibraes transversais na viga: (a) Indique quais as condies de fronteira do sistema. (b)Partindododiagramadecorpolivredeumelementoinfinitesimaldeviga, deduzaoproblemadevaloresprpriosdosistema,assumaquenoexistem foras exteriores sobre a viga.(c)Calculeasfrequnciasnaturaisdosistema,assumindoqueamassaea inrciadaviganovariamaolongodocomprimentodesta,considereainda que a viga tem comprimento unitrio. Figura D L m(x),EI(x) 16 EXERCCIO NR. 5 Umnavioidealizadoporumavigauniforme,comambasasextremidades livres.Aequaodomovimentonoamortecidodeumavigauniformeem vibrao flexural livre) (x v dada pela seguinte equao diferencial: 0444= vxvOnde EIm24 =,EI a rigidez flexural por unidade de comprimento em a massa por unidade de comprimento. (a) Determine as trs primeiras frequncias naturais e os respectivos modos de vibrao, represente-os graficamente. (b)Comentequalainfluenciadarigidezflexuralnasfrequnciasnaturaisdo navio. Nota: Asrazesdaequao1 cosh . cos = podemseraproximadaspor ( ) .... 3 , 2 , 1 , .21= + = r rr EXERCCIO NR. 6 Na figura E est representada uma viga, de seco transversal 410 2 = A [m2] ,segundomomentoderea 910 5 . 1 = I [m4],mdulodeYoung 1110 2 = E [N/m2], massa especifica7800 = [kg/m3]e comprimento L=1[m], em queaextremidadeinferiorumencastramentodeslizanteeaextremidade superior livre. As condies de fronteira so as seguintes: Encastramento deslizante rotao e esforo transverso nulos; 17 Extremidade livre momento-flector e esforo transverso nulos. Responda s seguintes questes: (a) Calcule os valores das 3 primeiras frequncias naturais (em Hertz); (b) Calcule os respectivos modos de vibrao; Figura E 18 Grupo de Exerccios 9 Mtodos aproximados para anlise de sistemas contnuos EXERCCIO NR. 1 AtravsdomtododeRayleighpara meioscontnuos(vibraestransversais) determineumaestimativadafrequncianaturaldeumavigasimplesmente apoiada com trs massas igualmente espaadas entre si e os apoios (Figura A) Assumaqueacurvadedeformaopodeserrepresentadaporumaequao do tipo: ||

\|=LxSin C x Z.. ) ( Considere a viga uniforme com valores constantes de , E, A e I. Figura A L 2M M 2M L/4L/4 19 EXERCCIO NR. 2 Considere o veio propulsor objecto de estudo no Exerccio N1 dos enunciados de exerccios N 8. (Figura B) Figura B UtilizeoquocientedeRayleigh,paraadeterminaodafrequncianatural fundamental, face s vibraes longitudinais. Admita que o hlice tem um peso de300kgequeoveiopossuiummdulodeelasticidadede210Gpa,tendo sidoremovidoointerioremalumnio.Utilizecomofunodetestedas deformadasumadasseguintesfunes( ) (1x u ou ) (2x u ),aquelaquelhe parecer mais adequada a este sistema. Justifique a sua escolha. ||

\|=LxB x u2sin ) (1 ||

\|=LxC x u2cos ) (2 20 EXERCCIO NR. 3 Umavigauniformeencastrada,comcomprimentoL,massaporunidadede comprimentomerigidezflexuralEI,suportanasuaextremidadelivreuma massamLqueestligadaaumamolacomrigidezelstica6EI/L3.A configurao do sistema a que se encontra representada na Figura C. (a)Indique quais as condies fronteira do sistema; (b)Assumindoumacurvadedeformaotransversalapropriada,utilizeo quocientedeRayleighparameioscontnuos,paraobterumaaproximaoda frequncia fundamental, face s vibraes transversais da viga; (c)Indiquequaisassimplificaespraticadas,naaproximaoreferidana alnea anterior. Figura C 21 EXERCCIO NR. 4 Considere o modelo simplificado de uma caixa redutora representado na Figura D(jestudadonoExerccioN2dosenunciados8dacadeira).Utilizandoo quocientedeRayleighparameioscontnuos,obtenhaumaaproximaoda frequnciafundamental,facesvibraestorsionais.Utilizecomofunode testedasdeformadasumadasseguintesfunes( ) (1x ou ) (2x ),aquelaque lhe parecer mais adequada a este sistema. Justifique a sua escolha. ||

\|=LxSin B x2. ) (1||

\|=LxCos C x2. ) (2

Dados: G = 80 [GPa] = 7.35 [Ton/m3] L1 = L2 = 50 [cm] Veios D1 ext = 10 [cm]D2 = 8 [cm] D1 int = 5 [cm](macio) Carretos M1 = 20 [Kg]M2 = 10 [Kg] D1 = 80 [cm]D2 = 40 [cm] Figura D 22 Grupo de Exerccios 10 - Mtodos aproximados para anlise de sistemas contnuos EXERCCIO NR. 1 Umveiolivreemambasasextremidades,temdoisdiscosacopladosnas extremidades, com as respectivas inrcias 21. 2 m kg I =e 22. 4 m kg I = . O veio de ligaoentreosdiscostemumarigidezde4MNm/rad.Utilizeomtodode Holzerparacalcularafrequncianaturaldevibraoeorespectivomodo prprio,indicandoaposiodon.Assumaqueoveiotemcomprimento unitrio. Figura A EXERCCIO NR. 2 Umveiocomtrsinrciasacopladasde2,4e2kg.m2respectivamenteda esquerdaparaadireita.Oveiodeligaoentreosprimeirosdoisdiscostm umarigidezde3MNm/radiano,eoveioqueligaosltimosdoisdiscostm umarigidezde2MNm/radiano,osistemasuportadoporrolamentosnas extremidades. Despreze a inrcia dos veios de ligao e calcule as frequncias naturais do sistema. 12I1I2GJ23 Figura B EXERCCIO NR. 3 Considereumavigaelstica,linear,nouniformeeaproxime-seporum conjuntodemassasconcentradasligadasporsegmentos(ouvigas)sem massa mas com uma rigidez de flexo constante, como representado na figura C.UtilizandoomtododeMyklestadparavibraestransversaisdevigas, calcule: (a) As frequncias naturais do sistema(b)Indiquecomodeterminariaoscorrespondentesmodosdevibraodo sistema.(Nonecessitadeefectuarclculos,apenasindicarasmatrizesque utilizaria, como as determinaria e as operaes algbricas) (c)UtilizeoquocientedeRayleighparameioscontnuos,eobtenhauma aproximaodafrequnciafundamental.Assumaqueacurvadedeformao pode ser representada por uma equao do tipo: ||

\| =LxCos x w. 2.1 ) ( 12I1I23I3GJ1GJ224 (d)Utilizeasoluoanaltica(parasistemascontnuos),paracalculara frequncianaturalfundamental,comparecomoresultadoobtidonaalneaa) efectuandoocalculodoerrorelativodoresultadoobtidopelomtodode Myklestad.Assumaqueosomatriodastrsmassauniformemente distribudo pelo comprimento da viga. (Sugesto:Aexpressoreferenteaesteclculopodeserencontradano capitulo 5 dos apontamentosde VibraesdeNaviosdo Professor C. Guedes Soares) Figura C Dados: m1 = 100 [kg] m2 = 1.5 m1 m3 = 2 m1 L = 0.5 [m] EI = 0.1x106 [N.m2] m1m2m3L L L25 EXERCCIO NR. 4 Repita o exerccio NR.3 para o seguinte sistema: Figura D EXERCCIO NR. 5 O veio de um motor hidrulico suportado por rolamentos, na sua extremidade livreetemacopladoumconjuntoderoldanas.Omotortemummomentode inrciade0.8kg.m2eoconjuntoderoldanasde2kg.m2.Oveiotmuma rigidezde500N.m/rad.Paravibraestorsionaiseutilizandoomtodode Holzer, calcule a frequncia natural fundamental do sistema. (R: 298 Hz) Figura E EXERCCIO NR. 6 OesquemadafiguraF,representaumsistemamecnicoparteintegrantede umelevador.Mostrequeaprimeiraesegundafrequnciasnaturaisse encontramentreos100eos200rad/seentreos400eos500rad/s, respectivamente: m1m2m3L LMotorRoldanaskt26 Figura F Dados: kt1 = 80 kN.m/radkt2 = 60 kN.m/radI Motor = 2 kg.m2 I Acoplamento = 0.8 kg.m2I Roldana = 3 kg.m2 EXERCCIO NR. 7 NafiguraGencontra-seoesquemadeumaturbinaags.Existemcinco momentosdeinrciaequatrosecesdeveio.Mostrequeexisteuma frequncianaturalpertodos300rad/seumaoutraentre500e600rad/s. Determineemquesecesexistemns,paracadaumadasfrequncias determinadas anteriormente. Figura G Dados: I compressor = 12 kg.m2I Acoplamento 1 = 0.8 kg.m2I Acoplamento 2 = 1.0 kg.m2 I Turbina = 8 kg.m2 I Gerador = 6 kg.m2

kt1 = kt2 = 1 MN.m/radkt3 = kt4 = 0.5 MN.m/rad Acoplamento 1 Turbinakt1kt2kt3kt4Acoplamento 2 Compressor GeradorMotorAcoplamentoRoldanaskt1kt2