GABARITO PREC – 2013

Questão Resposta

1 A

2 A

3 A

4 E

5 C

6 D

7 D

8 A

9 E

10 B

11 A

12 C

13 D

14 E

15 C

16 C

MAT2457 - Álgebra Linear para Engenharia I

Prova de Recuperação - 24/07/2013

Nome: NUSP:

Professor: Turma:

INSTRUÇÕES

(1) A prova tem início às 7:30 e duração de 2 horas.(2) Não é permitido deixar a sala sem entregar a prova.(3) Todo material não necessário à prova (mochilas, bolsas, calculadoras, agasalhos, bonés, celulares, livros, etc.) deve ficar na frente da sala.(4) Sobre a carteira devem permanecer apenas lápis, caneta, borracha e documento de identidade com foto.(5) É permitida a entrada na sala até as 8:00 e não é permitida a saída da sala antes das 8:40.(6) As respostas devem ser transferidas para a folha óptica durante as 2 horas de prova (não há tempo extra para o preenchimento da folha

óptica).(7) Só destaque o gabarito do aluno (última folha) quando for entregar a prova. Não esqueça de anotar o tipo de prova no gabarito do aluno

(para que você possa depois conferir suas respostas com o gabarito oficial).(8) A folha óptica deve ser preenchida com caneta esferográfica azul ou preta.(9) Para o correto preenchimento da folha óptica siga o exemplo abaixo.

Notação: Se v1, . . . , vn são vetores de um espaço vetorial V, o subespaço

vetorial de V gerado por eles será denotado por [v1, . . . , vn].

O espaço vetorial de todas as funções f : R → R será denotado por

F (R) e o espaço vetorial formado por todos os polinômios de grau me-

nor ou igual a n (mais o polinômio nulo) será denotado por Pn(R).

Questão 1. Considere fixados uma orientação em V3 e um sistema de

coordenadas para E3 com base ortonormal e positiva. Sejam π1, π2 e π3

os planos de E3 dados por

π1 : x + y− 3z + 1 = 0

π2 : X = (2, 1, 1) + λ(1, 0, 1) + µ(0, 2,−1) (λ, µ ∈ R)

π3 : 4x− y + z = 0.

Se r = π1 ∩ π2, então a medida, em radianos, entre 0 e π/2, do ângulo

entre r e a direção normal ao plano π3 é igual a

a. arccos( 19

30

)b. arccos

( 130

)c. arccos

( 1√2

)d. arccos

( 17

)e. arccos

( 1√57

)

2

Questão 2. A respeito dos subconjuntos

S = {p ∈ P2(R) : p(0) = 3p(1)} e

T = { f ∈ F (R) : f (x) = 0 para todo x 6=√

2 ou x 6= π}

do espaço vetorial F (R) é correto afirmar que

a. S é um subespaço de P2(R) de dimensão 2 e T é um subespaço de

F (R) de dimensão 2.

b. S é um subespaço de P2(R) de dimensão 2 e T não é um subespaço

de F (R).

c. S é um subespaço de P2(R) de dimensão 1 e T é subespaço de F (R)

de dimensão 2.

d. S não é um subespaço de P2(R) e T não é um subespaço de F (R).

e. S não é um subespaço de P2(R) e T é um subespaço de F (R) de

dimensão 2.

Questão 3. Considere as afirmações abaixo a respeito de vetores vi de

um espaço vetorial V de dimensão n.

(I) Se k < n e {v1, . . . , vk} é linearmente independente, então existe

uma base de V que contém {v1, . . . , vk}.(II) Se [v1, . . . , vn] = V, então {v1, . . . , vn} é linearmente indepen-

dente e, portanto, uma base de V.

(III) Se [v1, . . . , vn+1] = V, então {v1, . . . , vn+1} é linearmente depen-

dente e existe uma base de V contida em {v1, . . . , vn+1}.Está correto o que se afirma em

a. (I), (II) e (III).

b. (I) e (III), apenas.

c. (I), apenas.

d. (I) e (II), apenas.

e. (II) e (III), apenas.

3

Questão 4. O valor de k para que o espaço de soluções do sistema2x + 6y− 4z− 4w = 0

3x + 6y− 12z + 9w = 0

x + 5y + (5− k)z− 12w = 0

tenha dimensão 2 é

a. 2b. 6c. 5d. 4e. 3

Questão 5. Considere o sistema de coordenadas Σ =(E, {−→EA,

−→EH,−→EF}

),

em que A, B, C, D, E, F, G, H são vértices de um cubo, conforme a figura

abaixo.

F

H G

E

A B

CD

Se M é o ponto da aresta BF tal que−→BM = 2

−→MF e N é o ponto da aresta

HG tal que−→NG = 4

−−→HN, então, com respeito ao sistema de coordena-

das Σ, uma equação vetorial para o plano que passa pelo ponto M e é

paralelo aos vetores−−→MN e

−→AC é dada por

a. X =( 1

3 , 0, 1)+ λ

(− 1

3 , 1, 15

)+ µ (0, 1, 1) (λ, µ ∈ R)

b. X =( 1

3 , 0, 1)+ λ

(− 1

2 , 1, 14

)+ µ (0, 1, 1) (λ, µ ∈ R)

c. X =( 1

3 , 0, 1)+ λ

(− 1

3 , 1,− 45

)+ µ (0, 1, 1) (λ, µ ∈ R)

d. X =( 1

3 , 0, 1)+ λ

( 12 , 1,− 3

4

)+ µ

(0, 1

2 , 12

)(λ, µ ∈ R)

e. X = (1, 0, 3) + λ( 1

3 , 1,− 45

)+ µ(0, 2, 2) (λ, µ ∈ R)

4

Questão 6. A soma dos elementos na diagonal principal da inversa da

matriz

1 0 1 11 0 −1 10 1 0 12 0 2 0

é igual a

a. 1b. 1/2c. −1/2d. −1e. 0

Questão 7. Considere as afirmações abaixo acerca de três vetores dis-

tintos u, v, w em um espaço vetorial.

(I) O conjunto {u + v, u− 3w, v + 3w} é linearmente dependente.

(II) Se u não é combinação linear de v e w, então v não é combinação

linear de u e w.

(III) Se w não é combinação linear de u e v, então {u, v, w} é linear-

mente independente.

Está correto o que se afirma em

a. (III), apenas.

b. (I), (II) e (III).

c. (I) e (III), apenas.

d. (I), apenas.

e. (I) e (II), apenas.

5

Questão 8. Sejam A, B, C, D pontos de E3 tais que ‖−→AB‖ = ‖−→AC‖ = 1 e

‖−→AD‖ = 3. Sabendo que o ângulo interno do triângulo ABC no vértice

A mede π/3 radianos e que a reta AD é perpendicular ao plano ABC,

pode-se afirmar que o volume do tetraedro ABCD é igual a

a.√

34

b.√

23

c.√

32

d. 12

e.√

312

Questão 9. Sejam A ∈ Mm×n(R) e B ∈ Mm×1(R). Considere as seguin-

tes afirmações a respeito do sistema linear AX = B e do sistema linear

homogêneo AX = 0.

(I) Se AX = B não tem solução, então o conjunto das soluções de

AX = 0 é um subespaço de Rn de dimensão maior ou igual a 1.

(II) Se a dimensão do subespaço de Rn formado pelas soluções de

AX = 0 é maior ou igual a 1, então AX = B tem infinitas solu-

ções.

(III) Se m > n, então o conjunto das soluções de AX = 0 é um subes-

paço de Rn de dimensão maior ou igual a m− n.

Assinale a alternativa correta.

a. Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.

b. As três afirmações são verdadeiras.

c. Apenas a afirmação (I) é verdadeira.

d. Apenas a afirmação (II) é verdadeira.

e. As três afirmações são falsas.

6

Questão 10. Sejam E e F bases de V3 tais que

F ={(1, 0, 1)E, (0, 1, 2)E, (2, 2, 1)E

}.

Se a ∈ R e ~v = (a,−2a, 2a)F, então a soma das coordenada de v com

respeito à base E é igual a

a. 10ab. 6ac. 0d. 4ae. 5a

Questão 11. Considere os seguintes subespaços vetoriais de M3(R):

S = {A ∈ M3(R) : A = At} e T = {A ∈ M3(R) : tr(A) = 0},

em que At denota a matriz transposta de A e tr(A) denota o traço de

A, isto é, a soma dos elementos na diagonal principal de A. Então, a

dimensão de S ∩ T é igual a

a. 5b. 3c. 7d. 6e. 4

7

Questão 12. Sejam A, B, C, D os vértices de um tetraedro regular de

aresta unitária, isso é, vértices de um tetraedo no qual todas as ares-

tas têm comprimento 1 e o ângulo entre duas arestas quaisquer mede

π/3 radianos. Considere a base E = {~a,~b,~c} de V3 na qual ~a =−→DA,

~b =−→DB e~c =

−→DC. Então, o produto escalar (2, 1, 0)E · (1, 1, 1)E é igual a

a. 0b. 3c. 6d. 3/2e. −1

Questão 13. Considere as afirmações abaixo acerca de bases de V3, fi-

xada uma orientação de V3.

(I) Se E ={~e1,~e2,~e3

}e F =

{~f1, ~f2, ~f3

}são bases de V3 tais que

~f1, ~f2, ~f3 são combinações lineares de~e1,~e2,~e3 com todos os coe-

ficientes positivos, então E e F têm a mesma orientação.

(II) Se{~e1,~e2,~e3

}é uma base ortonormal positiva, então{~e1 +~e3, ~e2 + 2~e3, 2~e1 + 2~e2 +~e3

}é uma base ortogonal positiva.

(III) Se{~e1,~e2,~e3

}é uma base ortonormal positiva, então{

~e1 ∧~e2, ~e2 ∧~e3, ~e3 ∧~e1}

é uma base positiva.

Está correto o que se afirma em

a. (I) e (III), apenas.

b. (I), apenas.

c. (I) e (II), apenas.

d. (III), apenas.

e. (II), apenas

8

Questão 14. Seja α ∈ R. Então, o polinômio p(t) = 6+ 3t+ 9t2 pertence

ao subespaço de P2(R) gerado pelos polinômios

p1(t) = (1− α)t2, p2(t) = 2− 3αt + t2 e p3(t) = α(4t + t2)

se, e somente se,

a. α 6= 0.

b. α = 0 ou α = 1.

c. α é um número real qualquer.

d. α 6= 1.

e. α 6= 0 e α 6= 1.

Questão 15. Seja E uma base de P2(R) e seja α ∈ R. Considere as se-

guintes afirmações a respeito dos vetores u = (α, 1, 1)E, v = (1, 0,−α)E

e w = (1, α, 1)E de P2(R).

(I) Se α 6= 1, então {u, v, w} é uma base de P2(R).

(II) O conjunto {u, v} é linearmente independente para todo α ∈ R.

(III) O conjunto {u, w} é linearmente independente para todo α ∈ R.

Está correto o que se afirma em

a. (I) e (III), apenas.

b. (I), (II) e (III).

c. (I) e (II), apenas.

d. (II), apenas.

e. (III), apenas.

9

Questão 16. Considere os seguintes vetores do espaço vetorial F (R):

f1(x) = ex, f2(x) = cos2 x, f3(x) = sen2 x, f4(x) = 1.

Então, a dimensão de [ f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)] é igual a

a. 2b. 5c. 3d. 4e. 1

10

Gabarito do Aluno

Nome: NUSP:

Tipo de prova:

a b c d eQuestão

123456789

10111213141516